Διδακτικό υλικό Μάθημα: Αριθμητικός Γραμματισμός Τάξη: Α Ενότητα: Γεωγραφικές και Καρτεσιανές συντεταγμένες. Χρονική διάρκεια: διδακτικές ώρες. Εκπαιδευτικός: Περυσινάκη Ειρήνη, ΣΔΕ Τυλίσου Ηρακλείου Κρήτης Διδακτικοί στόχοι:. Να κατανοήσουν οι εκπαιδευόμενοι μέσα από το παιχνίδι και την παρατήρηση των χαρτών πως η θέση κάθε σημείου στην επιφάνεια της γης προσδιορίζεται από δύο αριθμούς: το γεωγραφικό μήκος και πλάτος.. Να εντοπίζουν σημεία στην υδρόγειο σφαίρα γνωρίζοντας τις γεωγραφικές τους συντεταγμένες και αντίστροφα.. Να περάσουν στις Καρτεσιανές συντεταγμένες με φυσικό τρόπο: το «+» και το έχουν ρόλο κατευθύνσεων όπως το «ανατολικά», «δυτικά», «βόρεια», «νότια».. Να γίνει κατανοητή η ανάγκη ενός διατεταγμένου ζεύγους αριθμών (τις καρτεσιανές συντεταγμένες) για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου στο επίπεδο.. Να εντοπίσουν σημεία στο επίπεδο από τις καρτεσιανές συντεταγμένες και αντίστροφα.. Να κατανοήσουν την ακρίβεια προσδιορισμού θέσεως που προσφέρουν οι καρτεσιανές συντεταγμένες μέσα από δραστηριότητες όπου εμπλέκονται σημεία με μη ακέραιες καρτεσιανές συντεταγμένες. Γνωστικό επίπεδο εκπαιδευομένων: Οι εκπαιδευόμενοι γνώριζαν: Φυσικούς αριθμούς και θετικούς δεκαδικούς. Την μέτρηση γωνιών και τόξων. Την χρήση του internet για περιήγηση σε ελληνόγλωσσες ιστοσελίδες. Οι εκπαιδευόμενοι δεν γνώριζαν: Ακέραιους αριθμούς Πόλους, Ισημερινό, μεσημβρινούς, παράλληλους Γεωμετρία σφαίρας Την έννοια της μεταβλητής Περιήγηση στο internet σε ξενόγλωσσες ιστοσελίδες. Μέσα διδασκαλίας: Παιχνίδι Ναυμαχίας (είτε εμπορίου είτε σε φύλλο εργασίας), φύλλα εργασίας, υδρόγειος σφαίρα, internet. Τα κριτήρια για την επιλογή της διδακτικής πορείας και σύντομη αξιολόγηση: Στο σχολικό βιβλίο της Α Γυμνασίου γίνεται κάποια εισαγωγή στις Καρτεσιανές συντεταγμένες. Αποφεύγεται όμως η ανάμειξη αρνητικών αριθμών γιατί οι μαθητές έρχονται σε πρώτη επαφή με αυτούς στην Β Γυμνασίου. Επίσης, πρώτα γίνεται η τοποθέτηση των αριθμών σε έναν άξονα και μετά ακολουθούν οι συντεταγμένες στο επίπεδο. Στην παρούσα εργασία η διδακτική πορεία είναι ακριβώς η αντίθετη και στα δύο σημεία και αυτό για τους εξής λόγους: Είναι σχετικά εύκολο να μιλήσουμε για γεωγραφικές συντεταγμένες, κάτι που γίνεται και στο βιβλίο της Γεωγραφίας Α Γυμνασίου. Άλλωστε το θέμα αυτό προσεγγίζει καλύτερα τις προσωπικές εμπειρίες και ενδιαφέροντα των εκπαιδευομένων. Είναι μεγάλη ευκαιρία να εισάγουμε το «+» και το σαν κατευθύνεις όπως το «πάνω», «κάτω», «δεξιά», «αριστερά». Πλησιάζουμε έτσι καλύτερα τον ρόλο του προσήμου, που δυστυχώς όταν τον διδάξουμε με τους ακεραίους και τις πράξεις τους, συγχέεται με την αφαίρεση και την πρόσθεση.
Το επίπεδο είναι εκείνο που προσεγγίζει καλύτερα την σφαιρική επιφάνεια και όχι η ευθεία. Άλλωστε η μελέτη των Γεωγραφικών συντεταγμένων σε έναν χάρτη (όπως και το παιχνίδι της Ναυμαχίας) είναι ουσιαστικά ένα προγύμνασμα για τις Καρτεσιανές συντεταγμένες. Θεωρώ λοιπόν ότι το «πέρασμα» από τις Γεωγραφικές συντεταγμένες στις Καρτεσιανές είναι πιο φυσικό. Συνεπώς, η θέση ενός σημείου στην ευθεία αφήνεται για το τέλος μόνο και μόνο για να συνειδητοποιήσουν οι εκπαιδευόμενοι την ακρίβεια του Καρτεσιανού συστήματος. Τέλος αναφέρω ότι από τις τρεις διδακτικές ώρες έχει πραγματοποιηθεί μόνο η πρώτη: το παιχνίδι της Ναυμαχίας. Το μάθημα λοιπόν είναι σε εξέλιξη και έτσι δεν έχω στοιχεία να το αξιολογήσω και να εκτιμήσω εάν αυτή η διαφορετική προσέγγιση είναι καλύτερη από εκείνη του βιβλίου της Α Γυμνασίου. Γνωρίζοντας όμως σε ένα βαθμό τα ενδιαφέροντα των εκπαιδευομένων μου και τον τρόπο εργασίας τους, θεωρώ ότι το συγκεκριμένο μάθημα τους ταιριάζει καλύτερα αφού τους δίνει ευκαιρίες να δραστηριοποιηθούν και να αναλάβουν πρωτοβουλίες. Αν δεν καταφέρουμε να βρούμε τις γεωγραφικές συντεταγμένες της Τυλίσου, ακόμα καλύτερα. Γιατί τότε θα πρέπει να κινηθούμε όπως την δραστηριότητα του φυλλαδίου και να κάνουμε εκτιμήσεις. Πάντως το παιχνίδι της Ναυμαχίας το έπαιξαν με ιδιαίτερο κέφι το συνέχισαν μάλιστα και σε άλλους γραμματισμούς, με δική τους πρωτοβουλία. Συνοπτική περιγραφή των βημάτων διδασκαλίας: η Διδακτική ώρα: Παίξιμο του παιχνιδιού της Ναυμαχίας. (Οι εκπαιδευόμενοι μπορούν να το παίξουν μέσα από το φύλλο εργασίας σε δυάδες, όμως καλύτερα κατανοούν τους κανόνες τους παιχνιδιού όταν χωριστούν σε μεγαλύτερες αντίπαλες ομάδες επίσης το κέφι είναι μεγαλύτερο). η Διδακτική ώρα: Εργασίες με τις γεωγραφικές συντεταγμένες. Ενδεικτικές ασκήσεις υπάρχουν στο φύλλο εργασίας όπως και μία σπαζοκεφαλιά που στην αρχή φαίνεται παράλογη (τόσο για το απρόσμενο ερώτημα, όσο και για την «αδύνατη» πορεία). Όμως όταν συνειδητοποιήσουμε την σφαιρικότητα της Γης αντιλαμβανόμαστε ότι πρόκειται για μία αρκούδα που ξεκίνησε από τον Βόρειο Πόλο, επομένως είναι άσπρη. Οι εργασίες αυτές θα πρέπει να γίνουν με χρήση τόσο της υδρογείου σφαίρας όσο και του χάρτη. Μάλιστα μία ενδιαφέρουσα άσκηση είναι να τους ζητηθεί να βρουν μία «σύντομη» διαδρομή από την Ελλάδα μέχρι την Καλιφόρνια. Στην υδρόγειο σφαίρα αυτή γίνεται μέσω Γροιλανδίας. Όμως, αν απεικονίσουμε την συγκεκριμένη διαδρομή στον επίπεδο χάρτη, δημιουργείται η ψευδαίσθηση μιας μεγάλης παράκαμψης. η Διδακτική ώρα: Καρτεσιανές συντεταγμένες και διάφορες δραστηριότητες για την κατανόηση τόσο της αναγκαιότητας του διατεταγμένου ζεύγους των αριθμών, όσο και της μεγάλης ακρίβειας προσδιορισμού της θέσης ενός σημείου. Πέρα από τις ενδεικτικές ασκήσεις του φυλλαδίου, αν υπάρχει διαθέσιμος χρόνος, θα μπορούσε π.χ. να δοθεί μια «μαγική εικόνα» που θα σχηματιστεί αν ενωθούν κάποια σημεία. να δοθούν σκόρπια Γράμματα Σημεία του επιπέδου που όταν ενωθούν με μία ειδική σειρά να σχηματιστεί μια «κρυμμένη λέξη» να γίνει συνδυασμός των καρτεσιανών συντεταγμένων και της αξονικής συμμετρίας ζητώντας να σχεδιάσουν το συμμετρικό (ως προς κάποιο άξονα συντεταγμένων) ενός πολυγώνου και να βρουν μετά τις συντεταγμένες των κορυφών του. να δοθούν «σημεία κόμβοι» που βρίσκονται στην ίδια ευθεία και να ζητηθεί να βρουν μία σχέση για τις συντεταγμένες τους. (Φυσικά θα πρέπει να δοθούν απλές ευθείες όπως οι ευθείες x = α, y = β, y = x, y = -x).
Φύλλο Εργασίας Το παιχνίδι της Ναυμαχίας και οι συντεταγμένες Οι δύο πίνακες της Ναυμαχίας: Σ αυτόν τον πίνακα σημείωσε τις βολές σου εναντίον του αντιπάλου. Κάθε επιτυχημένη βολή να την σημειώνεις με ενώ τις αποτυχημένες σου βολές με. α β γ δ ε ζ η θ ι κ α β γ δ ε ζ η θ ι κ Σ αυτόν τον πίνακα τοποθέτησε τα πέντε καράβια σου κάθετα ή οριζόντια. Πάλι να σημειώνεις τις επιτυχημένες βολές του αντιπάλου με και τις αποτυχημένες με. α β γ δ ε ζ η θ ι κ α β γ δ ε ζ η θ ι κ
Τα καράβια της Ναυμαχίας. Για να τοποθετήσεις τα καράβια σου κύκλωσε,, ή διαδοχικές κουκίδες οριζόντια ή κάθετα (δες τα σχεδιαγράμματα παρακάτω και το παράδειγμα) ώστε να έχεις: καράβι δύο κουκίδων καράβια τριών κουκίδων καράβι τεσσάρων κουκίδων καράβι πέντε κουκίδων Ένα παράδειγμα: α β γ δ ε ζ η θ ι κ Δίπλα βλέπουμε τον πίνακα ενός παίκτη και την τοποθέτηση των καραβιών του. Επίσης βλέπουμε ότι έχει δεχθεί βολές από τον αντίπαλό του: άστοχες βολές: τις β, ζ και γ. εύστοχες βολές: τις ε και ζ. α β γ δ ε ζ η θ ι κ Οι κανονισμοί του παιχνιδιού Η ναυμαχία είναι παιχνίδι για δύο παίκτες οι οποίοι παίζουν εναλλάξ. Κάθε παίκτης τοποθετεί (σχεδιάζει ) τα καράβια του στον ένα πίνακα σύμφωνα με τις οδηγίες που δόθηκαν παραπάνω. Τον άλλο πίνακα τον χρησιμοποιεί για να σημειώσει τις βολές του κατά του αντιπάλου. Κάθε βολή προσδιορίζεται με ένα γράμμα και έναν αριθμό. Στο παράδειγμα είδαμε ότι οι πέντε βολές είναι οι β, ζ, γ, ε και ζ. Σημειώνουμε τις εύστοχες βολές με και τις άστοχες με. Οι βολές πρέπει να σημειώνονται όλες: τόσο αυτές που δέχεται ένας παίκτης από τον αντίπαλό του (στον πίνακα με τα καράβια του), όσο και εκείνες που εξαπολύει κατά του αντιπάλου του (στον άλλο πίνακα). Ένα καράβι βυθίζεται όταν δεχθεί (εύστοχες) βολές σε όλες τις κουκίδες του. Μόλις ένας παίκτης «χάσει» ένα καράβι ενημερώνει αμέσως τον αντίπαλό του τόσο για την απώλεια, όσο και για το είδος του καραβιού που βυθίστηκε. Νικητής είναι ο παίκτης που θα καταρρίψει πρώτος τον στόλο του αντιπάλου.
Οι γεωγραφικές συντεταγμένες Το παιχνίδι της Ναυμαχίας είναι αρκετά συναρπαστικό, αλλά και διδακτικό: Κάθε κουκίδα στο παιχνίδι προσδιορίζεται από ένα γράμμα και έναν αριθμό. Αυτό δεν απέχει και πολύ από την πραγματικότητα. Κάθε στιγμή οποιοδήποτε πλοίο, αεροπλάνο, αντικείμενο μπορεί να προσδιορίσει με ακρίβεια την θέση του πάνω στην γη. Πώς μπορεί όμως να συμβεί αυτό; Στην πράξη εντοπίζουμε δύο προβλήματα: ον : Η γη είναι σφαιρική και όχι επίπεδη. ον : Τα γράμματα είναι πολύ λίγα για να μας φανούν χρήσιμα. (Αν φανταστούμε ότι κάθε μικρούλα περιοχή είναι και μία κουκίδα στον χάρτη, τότε η γη αποτελείται από πάρα πολλές τέτοιες μικρές κουκίδες και όχι μόνο από 0). Τα προβλήματα αυτά τα λύνουμε με τις λεγόμενες γεωγραφικές συντεταγμένες που στην ουσία είναι δύο αριθμοί. Ο ένας λέγεται γεωγραφικό μήκος και μετράει πόσο ανατολικά ή δυτικά βρίσκεται μία περιοχή ενώ ο άλλος λέγεται γεωγραφικό πλάτος και μετράει πόσο βόρεια ή νότια βρίσκεται μία περιοχή. Πιο συγκεκριμένα έχουμε: Ο Ισημερινός: Είναι ο νοητός κύκλος που χωρίζει την επιφάνεια της γης στο Βόρειο και το Νότιο ημισφαίριο. Το κέντρο αυτού του νοητού κύκλου είναι το κέντρο της γης. Το Γεωγραφικό Μήκος ενός τόπου: Σε μια γειτονιά του Λονδίνου (Αγγλία) που λέγεται Γκρίνουιτς υπάρχει ένα αστεροσκοπείο. Φανταστείτε λοιπόν μία γραμμή που ξεκινά από τον Βόρειο Πόλο, περνά από το αστεροσκοπείο του Γκρίνουιτς και σταματά στο Νότιο Πόλο. Επειδή η γη είναι σφαιρική, η γραμμή αυτή θα έχει σχήμα ημικύκλιο. Αυτό το ημικύκλιο λέγεται πρώτος μεσημβρινός. Τέτοια
ημικύκλια μπορούμε να σχεδιάσουμε τόσο ανατολικά του Μεσημβρινού του Γκρίνουιτς, όσο και δυτικά του. Τα ημικύκλια αυτά λέγονται Μεσημβρινοί. Όλες οι περιοχές που βρίσκονται στον ίδιο μεσημβρινό λέμε ότι έχουν το ίδιο γεωγραφικό μήκος. Μετράμε το γεωγραφικό μήκος σε μοίρες ως εξής: - Ο μεσημβρινός του Γκρίνουιτς έχει 0 μοίρες (0 ο ) γεωγραφικό μήκος. - Για να καθορίσουμε το γεωγραφικό μήκος ενός άλλου μεσημβρινού παρατηρούμε το σημείο που «κόβει» τον Ισημερινό. Το σημείο αυτό μαζί με το αντίστοιχο σημείο του μεσημβρινού του Γκρίνουιτς σχηματίζουν ένα τόξο πάνω στον Ισημερινό. Οι μοίρες αυτού του τόξου (που είναι από 0 ο μέχρι ο ) μαζί με τον προσδιορισμό αν είναι ανατολικά ή δυτικά του Γκρίνουιτς αποτελούν το γεωγραφικό μήκος του μεσημβρινού. Το Γεωγραφικό Πλάτος και οι Παράλληλοι: Παράλληλους λέμε όλους εκείνους τους νοητούς κύκλους που είναι παράλληλοι με τον Ισημερινό. Όλες οι περιοχές που βρίσκονται στον ίδιο παράλληλο λέμε ότι έχουν το ίδιο γεωγραφικό πλάτος. Το γεωγραφικό πλάτος μετράται σε μοίρες ως εξής: - Ο Ισημερινός έχει 0 μοίρες (0 ο ) γεωγραφικό πλάτος. - Για να καθορίσουμε το γεωγραφικό πλάτος ενός άλλου παραλλήλου κοιτάζουμε το σημείο που «κόβει» τον μεσημβρινό του Γκρίνουιτς. Το σημείο αυτό μαζί με το αντίστοιχο σημείο του Ισημερινού σχηματίζουν ένα τόξο πάνω στον μεσημβρινό του Γκρίνουιτς. Οι μοίρες αυτού του τόξου (που είναι από 0 ο μέχρι 0 ο ) μαζί με τον προσδιορισμό αν είναι βόρεια ή νότια του Ισημερινού αποτελούν το γεωγραφικό πλάτος του παραλλήλου. Ασκήσεις. Παρατηρήστε την εικόνα της υδρογείου σφαίρας στη σελίδα και απαντήστε στις ερωτήσεις Το σημείο με δυτικό γεωγραφικό μήκος 0 ο και βόρειο γεωγραφικό πλάτος 0 ο είναι σε ξηρά ή σε θάλασσα; Το σημείο με δυτικό γεωγραφικό μήκος o και βόρειο γεωγραφικό πλάτος 0 o είναι στον Ατλαντικό ή στον Ειρηνικό ωκεανό; Το σημείο με δυτικό γεωγραφικό μήκος 0 o και βόρειο γεωγραφικό πλάτος o είναι στη Βόρεια ή στη Νότια Αμερική;. Να βρείτε από χάρτη ή το internet (longitude latitude) η Ελλάδα Μεταξύ ποιών παραλλήλων βρίσκεται. Μεταξύ ποιών μεσημβρινών βρίσκεται.. Να βρείτε από τον χάρτη ή το internet τις γεωγραφικές συντεταγμένες της Τυλίσου. Σπαζοκεφαλιά: Μία αρκούδα σε κάποιο περίπατό της περπατάει χιλιόμετρα νότια, ανατολικά και άλλα βόρεια, οπότε και επιστρέφει στο σημείο από όπου ξεκίνησε. Τι χρώμα είναι η αρκούδα;
Οι Καρτεσιανές συντεταγμένες Επιστροφή στο επίπεδο μεγαλύτερη ακρίβεια από το παιχνίδι της Ναυμαχίας Είδαμε πως με τις γεωγραφικές συντεταγμένες μπορούμε να προσδιορίσουμε την θέση κάθε σημείου στην επιφάνεια της γης, προσδιορίζοντας πόσο ανατολικά ή δυτικά βρίσκεται και πόσο βόρεια ή νότια. Ο προσδιορισμός ενός σημείου στο επίπεδο μπορεί να γίνει με ανάλογο τρόπο: Αν έχουμε ένα σημείο αναφοράς που θα παραμένει σταθερό, τότε μπορούμε να πούμε για κάθε άλλο σημείο πόσο «δεξιά» ή «αριστερά» βρίσκεται και πόσο «πάνω» ή «κάτω». Αυτό γίνεται με δύο κάθετους βαθμολογημένους άξονες που διασταυρώνονται στο σημείο αναφοράς που λέγεται και αρχή των αξόνων (origin) και το ονομάζουμε με το γράμμα Ο. + Άξονας τεταγμένων Β(, +) + + + Α(+, +) + + + Άξονας τετμημένων Ο + + + + + + + Γ(, ) Δ(+, )
Ας δούμε λοιπόν πώς δηλώνεται η θέση των σημείων Α, Β, Γ και Δ του επιπέδου: (σχήμα προηγούμενης σελίδας). Το σημείο Α βρίσκεται μονάδες δεξιά από το Ο και μονάδες πάνω από το Ο. Λέμε λοιπόν ότι είναι το σημείο (+, +). Το σημείο Β βρίσκεται μονάδες αριστερά από το Ο και μονάδες πάνω από το Ο. Λέμε λοιπόν ότι είναι το σημείο (, +). Το σημείο Γ βρίσκεται μονάδες αριστερά από το Ο και μονάδες κάτω από το Ο. Λέμε λοιπόν ότι είναι το σημείο (, ). Το σημείο Δ βρίσκεται μονάδες δεξιά από το Ο και μονάδες κάτω από το Ο. Λέμε λοιπόν ότι είναι το σημείο (+, ). Το σημείο Ο λέμε ότι είναι το σημείο (0, 0). Παρατηρήσεις: Αντί να λέμε δεξιά ή πάνω βάζουμε ένα «+» μπροστά από τον αριθμό. Αντί να λέμε αριστερά ή κάτω βάζουμε ένα μπροστά από τον αριθμό. Ο πρώτος αριθμός στην παρένθεση δηλώνει την θέση του σημείου δεξιά ή αριστερά του Ο και λέγεται τετμημένη. Ο δεύτερος αριθμός στην παρένθεση δηλώνει την θέση του σημείου πάνω ή κάτω από το Ο και λέγεται τεταγμένη. Άσκηση η : Παρατηρήστε το σχήμα στην επόμενη σελίδα και συμπληρώστε τον ακόλουθο πίνακα: Σημείο Α Β Γ Δ Ζ Η Θ Τετμημένη σημείου Τεταγμένη σημείου Συντομογραφία σημείου Άσκηση η : Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων της επόμενης σελίδας να τοποθετήσετε τα σημεία (+, +), (, +), (, ), (+, 0) και (0, ). Άσκηση η : Ποια από τα σημεία της ης άσκησης Απέχουν το ίδιο από το Ο; Απέχουν το ίδιο από τον άξονα των τετμημένων; Απέχουν το ίδιο από τον άξονα των τεταγμένων;
+ + + Α + Η + Γ + Β Θ Δ + Ο + + + + + + + Ζ Μερικές σκέψεις για την ακρίβεια των Καρτεσιανών συντεταγμένων:. Θα μπορούσαμε να σημειώσουμε ένα σημείο με συντεταγμένες (+,,,);. Στο παρακάτω «χαρακάκι» τι αριθμούς θα σημείωνες στις θέσεις α, β, γ και δ; 0 α β γ δ
Δραστηριότητα: Ένα ιστιοφόρο βρίσκεται χιλιόμετρα βόρεια του Ηρακλείου, ανοιχτά στο Κρητικό Πέλαγος. Από εκείνο το σημείο προχωράει βόρεια χιλιόμετρο, όμως εντοπίζοντας ξέρες, αναγκάζεται να παρακάμψει με πορεία βόρεια ανατολική. Σε λεπτά μετά την παράκαμψη βρέθηκε σε ένα σημείο που ήταν χιλιόμετρα βόρεια του Ηρακλείου και ανατολικά.. Να σχεδιάσεις την πορεία του ιστιοφόρου στον παρακάτω χάρτη. ( Η πλευρά κάθε τετραγώνου είναι χιλιόμετρο. Επίσης, πρόσεξε την κατεύθυνση του βορά).. Να εντοπίσεις σε ποιο σημείο βρισκόταν λεπτά μετά την παράκαμψη, θεωρώντας ότι η ταχύτητα του ιστιοφόρου ήταν σταθερή όλες τις χρονικές στιγμές.. Να περιγράψεις την θέση του σημείου αυτού (του ερωτήματος) σε σχέση με το Ηράκλειο. Ηράκλειο