3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή

Transcript

1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/ Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή Δύο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα, όταν η τιμή του ενός πολλαπλασιαστεί επί έναν αριθµό, τότε η τιµή του άλλου διαιρείται µε τον αριθµό αυτό. Όταν δύο ποσά και y είναι αντιστρόφως ανάλογα, τότε το γινόµενο των αντιστοίχων τιμών τους είναι σταθερό. Αν α 0 είναι το σταθερό γινόµενο των και y, τότε το y εκφράζεται ως συνάρτηση του από τον τύπο α α H γραφική παράσταση της συνάρτησης, όπου α 0 λέγεται υπερβολή και αποτελείται από δύο κλάδους που βρίσκονται: Στο ο και στο ο τεταρτηµόριο των αξόνων, όταν α>0. Στο ο και στο 4ο τεταρτηµόριο των αξόνων, όταν α<0. Και στις δύο περιπτώσεις η γραφική παράσταση µιας υπερβολής έχει: Κέντρο συµµετρίας την αρχή Ο των αξόνων. Άξονες συµµετρίας τις διχοτόµους των γωνιών των αξόνων, δηλαδή τις ευθείες µε εξισώσεις y= και y= ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ. Σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις τα ποσά και y είναι αντιστρόφως ανάλογα; α) β) 5 5 y y 0, 0, 0,5 5 γ) δ) 5 y 6 4,4 5 y ΑΠΑΝΤΗΣΗ

2 4 ΜΕΡΟΣ Α -.- ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ α) Τα ποσά που είναι αντιστρόφως ανάλογα έχουν σταθερό γινόμενο δηλαδή θα πρέπει τα γινόμενα των στηλών να δίνουν τον ίδιο αριθμό πάντα.. =,. =, 5. =.Άρα στο α είναι αντιστρόφως ανάλογα. 5 β).0,=0,4,.0,=0,9, 5.0,5=,5. Άρα στο β δεν είναι αντιστρόφως ανάλογα. γ).6=,.4=, 5.,4=. Άρα στο γ είναι αντιστρόφως ανάλογα. δ).(-)=-4,.(-)=-9, 5.(-5)=-5. Άρα στο δ δεν είναι αντιστρόφως ανάλογα.. Nα χαρακτηρίσετε ως ΣΩΣΤΗ ή ΛΑΘΟΣ καθεµιά από τις παρακάτω προτάσεις: α) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης συµµετρίας την ευθεία =. έχει άξονα Σωστή Λάθος β) γ) δ) 5 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από την αρχή Ο των αξόνων. 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκετε στο ο και ο τεταρτημόριο των αξόνων 5 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης έχει κέντρο συµµετρίας την αρχή Ο των αξόνων. ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Είναι λάθος γιατί μια υπερβολή έχει άξονες συμμετρίας τις διχοτόμους των γωνιών των ημιαξόνων. β) Είναι λάθος γιατί μια υπερβολή δεν περνά από την αρχή των αξόνων γιατί στο σημείο 0 δεν ορίζεται. γ) Σωστό γιατί είναι το α=0>0. δ) Σωστό γιατί κάθε υπερβολή έχει κέντρο συµµετρίας την αρχή Ο των αξόνων.. Στο διπλανό σχήµα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις (α), (β) και (γ) τριών υπερβολών. Να αντιστοιχίσετε σε καθεµιά την εξίσωσή της.

3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/ Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ 5 () () () ΑΠΑΝΤΗΣΗ Η α είναι η, η β είναι η και η γ είναι η. 4. Στο διπλανό σχήµα παρατηρούµε τον ένα κλάδο της υπερβολής To εµβαδόν του ορθογωνίου ΑΜΒΟ είναι: α) 8 τ.µ. β) τ. µ. γ) 6 τ. µ. Nα επιλέξετε τη σωστή απάντηση. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Η σωστή απάντηση είνι η β δηλαδή τ.μ γιατί. ( ΑΜΒΟ ) = τ.μ

4 6 ΜΕΡΟΣ Α -.- ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ ΑΣΚΗΣΗ Τα ποσά και y είναι αντιστρόφως ανάλογα. Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα. 4 6 y 6 4 Επειδή.4= θα είναι.= =,.= =6, 4.= = 6.= =,.= =. ΑΣΚΗΣΗ Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστηµα ορθογωνίων αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: 5 0 α ) β) γ). 5 g () = 5 f () = y 0 h () = O(0,0) Κάνουμε τον πίνακα τιμών κάθε μιας όπως φαίνεται παρακάτω και κατόπιν την γραφική παράσταση όπως φαίνεται στο σχήμα. ΠΙΝΑΚΑΣ ΤΙΜΩΝ ΤΗΣ - -,5 -,5 y y

5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/ Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ 7 ΠΙΝΑΚΑΣ ΤΙΜΩΝ ΤΗΣ 5-5 -,5 -,5 5 y ΠΙΝΑΚΑΣ ΤΙΜΩΝ ΤΗΣ y ΑΣΚΗΣΗ Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστηµα ορθογωνίων αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: g () = y f () = O(0,0) y -0 ΠΙΝΑΚΑΣ ΤΙΜΩΝ ΤΗΣ y

6 8 ΜΕΡΟΣ Α -.- ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΤΙΜΩΝ ΤΗΣ - ΑΣΚΗΣΗ y H απόσταση Γης - Σελήνης είναι περίπου ΓΣ = χιλιόµετρα. α) Ποια είναι η ταχύτητα σε km/h ενός πυραύλου που διανύει την απόσταση ΓΣ σε ηµέρες; β) Να εκφράσετε την ταχύτητα υ ενός πυραύλου ως συνάρτηση του χρόνου t που χρειάζεται για να διανύσει την απόσταση ΓΣ. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης αυτής ,78 km α) Χρησιμοποιούμε τον τύπο της φυσικής α ) υ = 7 h s υ = t β) υ =. β) Χρησιμοποιούμε τον τύπο της φυσικής t s υ = βάζοντας στην θέση του s=80000 t γιατί είναι σταθερό και στην θέση του t το t γιατί είναι μια μεταβληή. ΠΙΝΑΚΑΣ ΤΙΜΩΝ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ t υ

7 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/ Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ 9 ΑΣΚΗΣΗ 5 Θεωρούµε όλα τα ορθογώνια παραλληλόγραµµα µε εµβαδόν 6 cm. α) Ονοµάζοντας και y τις διαστάσεις ενός τέτοιου ορθογωνίου να συµπληρώσετε τον πίνακα: y Τι έχετε να παρατηρήσετε για τα µεγέθη και y; β) Να εκφράσετε το πλάτος y ενός τέτοιου ορθογωνίου ως συνάρτηση του µήκους. γ) Να σχεδιάσετε σε σύστηµα ορθογωνίων αξόνων τη γραφική παράσταση της συνάρτησης αυτής. α) Επειδή το εμβαδόν ενός ορθογωνίου είναι το γινόμενο των διαστασεών του συμπληρώνουμε τον πίνακα έτσι ώστε τα κάθετα γινόμενα να δίνουν y Επειδή τα μεγέθη και y έχουν σταθερό γινόμενο είναι αντιστρόφως ανάλογα. 6 β).y = 6 ( 0). γ) ΠΙΝΑΚΑΣ ΤΙΜΩΝ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ y ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

8 40 ΜΕΡΟΣ Α -.- ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 6 Ένας επενδυτής θέλει ν αγοράσει ένα οικόπεδο εµβαδού 00m, σχή- µατος ορθογωνίου µε διαστάσεις και y (σε µέτρα). α) Να εξηγήσετε γιατί τα ποσά και y είναι αντιστρόφως ανάλογα. β) Να εκφράσετε το y ως συνάρτηση του. Ε=00 m γ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης αυτής σε κατάλληλο σύστηµα αξόνων. α) Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα, γιατί έχουν σταθερό γινόμενο ίσο με το εμβαδόν του ορθογωνίου 00 m. 00 β).y = 00 ( 0). γ) ΠΙΝΑΚΑΣ ΤΙΜΩΝ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ y ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ y

9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/ Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ 4 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y ( α + ) + = διέρχεται από το σημείο Α(, -). α) Υπολογίστε το α. β) Συμπληρώστε τον πίνακα: y γ) Να κάνετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης. α) Επειδή η γραφική παράσταση της συνάρτησης ( α + ) + διέρχεται από το σημείο Α(, -) οι συντεταγμένες του σημείου αυτού επαληθεύουν την εξίσωση ( α + ) +. Επομένως είναι = α = 6α + + 6α = ( ) 6 6α = -6 α = α = - 6 β) Η συνάρτηση μετά την εύρεση του α διαμορφώνεται ως εξής: ( α + ) + [ ( -) + ] + ( + ) + + Για =-,-,0,, βρίσκουμε το y= -(-)+=4+=6, y=-(-)+=+=4, y=-.0+=, y=-.+=0, y=-.+=-4+=- και ο πίνακας γίνεται y γ) ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

10 4 ΜΕΡΟΣ Α -.- ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Από 0 κιλά τεύτλα παράγονται 8 κιλά ζάχαρη. α) Να συμπληρώσετε τον πίνακα: Βάρος τεύτλων σε κιλά Βάρος ζάχαρης σε κιλά y ,5 54 β) Να εκφράσετε το βάρος της παραγόμενης ζάχαρης ως συνάρτηση του βάρους των τεύτλων. γ) Πόση ζάχαρη θα παραχθεί από 0 τόνους τεύτλα; δ) Για να έχουμε παραγωγή τόνων ζάχαρης, πόσα τεύτλα χρειάζονται; α) Είναι = 0 = = 080 = = = = = 40 = = 40 = 0 = = 540 = = 4, = 8 = = 6480 = = Οπότε συμπληρώνουμε τον πίνακα με τις τιμές. 0 0 β) Είναι = = 0. y 8 y 0 Άρα το βάρος της παραγόμενης ζάχαρης ως συνάρτησης του βάρους των τεύτλων δίνεται από την σχέση. 0 γ) Επομένως η ζάχαρη που θα παραχθεί από 0 τόνους τεύτλα είναι = 500 kg ( τόνος=000 kg). 0 0 δ) Αντίστοιχα για να έχουμε παραγωγή τόνων ζάχαρης χρειάζονται =. = = = 0000 kg τεύτλα 0 0. Μία ευθεία διέρχεται από την αρχή των αξόνων και από το σημείο Α(, ). α) Να βρείτε τη συνάρτηση που έχει ως γραφική παράσταση την ευθεία αυτή. β) Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει η παραπάνω ευθεία με τον άξονα Ο.

11 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/ Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ 4 α) Το γεγονός ότι η ευθεία διέρχεται από την αρχή των αξόνων σημαίνει ότι έχει την μορφή y=α. Επίσης εφόσον διέρχεται από το σημείο Α(, ) σημαίνει ότι οι συντεταγμένες του σημείου αυτού επαληθεύουν την εξίσωση της,δηλαδή... = α. α = = = = =. ( ) Επομένως η συνάρτηση που έχει ως γραφική παράσταση την ευθεία αυτή είναι η.. β) Η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία αυτή με τον άξονα 0 είναι η κλίση της, δηλαδή εφω = ω = Ο μισθός ενός υπαλλήλου αυξήθηκε κατά 0%. α) Να εκφράσετε τις νέες αποδοχές του υπαλλήλου ως συνάρτηση των προηγούμενων αποδοχών του. β) Αν οι νέες μηνιαίες αποδοχές του είναι 00, να βρείτε τις προηγούμενες αποδοχές του. α) Αν οι αποδοχές του υπαλλήλου ήταν, τότε η αύξηση ήταν 0. = 0,. Επομένως οι νέες αποδοχές θα είναι y=+0,=,. Άρα οι 00 νέες αποδοχές του υπαλλήλου θα εκφράζονται από την συνάρτηση y=,. β) Αν οι νέες μηνιαίες αποδοχές του είναι 00 τότε από την σχέση y=, βρίσκουμε τις προηγούμενες 00 =, = = 8, 8. 00, 5. α) Να σχεδιάσετε την ευθεία λ +, αν γνωρίζετε ότι το σημείο Α(-7,-) ανήκει στην ευθεία αυτή. β) Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω ευθείες είναι παράλληλες χωρίς να τις σχεδιάσετε: i ) + ii) + iii) 0,5 iv) + v) - Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. α) Επειδή η ευθεία λ + περνά από το σημείο Α(-7,-) σημαίνει ότι οι συντεταγμένες του σημείου αυτού επαληθεύουν την εξίσωση της,δηλαδή = λ. ( 7) + = 7λ + 7λ = 4 λ =. Επομένως η ευθεία είναι η y=+. Ο πίνακας τιμών της συνάρτησης και η γραφική της παράσταση είναι:

12 44 ΜΕΡΟΣ Α -.- ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΤΙΜΩΝ 0 - y 0 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ β) Παράλληλες είναι οι ευθείες με εξισώσεις i ) + iii) 0,5 (έχουν την ίδια κλίση α=0,5). ii) + v) - (έχουν την ίδια κλίση α=). 6. Ένα αυτοκίνητο διανύει μια απόσταση 400 km σε 6 ώρες. Πόσο πρέπει να αυξήσει την ταχύτητά του, ώστε να διανύσει την ίδια απόσταση σε 5 ώρες; υ = υ + = + Αν η νέα ταχύτητα είναι υ και η παλιά υ 5 6 Έστω ότι πρέπει να την αυξήσει km/h τότε χρησιμοποιώντας τον τύπο της ταχύτητας από την φυσική δημιουργούμε την δι- 0. = πλανή εξίσωση και την λύνουμε ως προς = = = 400 = =, km/h 7. Δίνεται η συνάρτηση f ( ) = + 5. α) Να υπολογίσετε την παράσταση A( ) = f ( + ) + f ( ) β) Να λύσετε την εξίσωση Α() = 0.

13 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/ Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ 45 ( ) = f ( + ) + f ( ) ( ) = ( + ) ( ) ( ) = ( ) = 6 + ( ) = 0 Α Α Α Α Α 6 + = 0 6 = = = α) Στη δοθείσα παράσταση στην θέση του βάζουμε + για να βρούμε την f(+) και κατόπιν στην θέση του βάζουμε - για να βρούμε την f(-). β) Εξισώνουμε την παράσταση που βρήκαμε στο προηγούμενο ερώτημα με το μηδέν και λύνουμε την εξίσωση που προκύπτει. 8. Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση (λ + ) + μ -. Αν γνωρίζουμε ότι είναι παράλληλη στην ευθεία με εξίσωση y= και περνάει από το σημείο Β(-, 6), να βρείτε τους αριθμούς λ, μ. Εφόσον η ευθεία (ε) με εξίσωση (λ + ) + μ - είναι παράλληλη στην ευθεία με εξίσωση y= είναι λ+=-5, δηλαδή έχουν την ίδια 6 κλίση. λ + = 5 λ = 5 λ = 6 λ = =. Επίσης το γεγονός ότι η ευθεία (ε) με εξίσωση (λ + ) + μ - περνά από το σημείο Β(-, 6) σημαίνει ότι οι συντεταγμένες του σημείου αυτού επαληθεύουν την εξίσωση της,δηλαδή 6 = + + μ - 6 = μ 6 = [ ( ) ]( ) ( )( ) ( 5)( ) + μ 6 = 5 + μ μ μ = μ = = Επομένως η ευθεία είναι η y=-5+. = Δίνονται οι ευθείες (ε ): και (ε ): -0,5. Να αποδείξετε ότι είναι κάθετες.

14 46 ΜΕΡΟΣ Α -.- ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ g () = -0,5 4 A(,) O(0,0) B(,-0,5) - f () = - -4 Κάνουμε τις γραφικές παραστάσεις των δύο συναρτήσεων ΠΙΝΑΚΑΣ ΤΙΜΩΝ y= 0 y 0 ΠΙΝΑΚΑΣ ΤΙΜΩΝ y=-0,5 0 y 0-0,5 Πρέπει να αποδείξουμε ότι το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ορθογώνιο Είναι ( ΟΑ ) = ( 0) + ( 0) = + 4 = 5 ( ΟΒ ) = ( 0) + ( 0,5 0) = + 0,5 =, 5 ( ΑΒ ) = ( ) + ( 0,5 ) = 0 + 6,5 = 6, 5 Σύμφωνα με το αντίστροφο του πυθαγορείου θεωρήματος έχουμε ότι: ( ΟΑ) + ( ΟΒ) = ( 5) + (,5) ( ΑΒ) = ( 6,5) = 6,5 ( ΑΒ) = ( ΟΑ) + ( ΟΒ) = 5 +,5 = 6,5 Επομένως το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ορθογώνιο στην γωνία Α και οι ευθείες y= και y=-0,5 είναι κάθετες.

15 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/ Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ 47 ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΑΣΚΗΣΗ : Να συμπληρώσετε τον πίνακα με ανάλογα ποσά: ΑΣΚΗΣΗ : Η ευθεία του διπλανού σχήματος έχει κλίση Α. - Β. 4 Γ. - Δ. - Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση ΑΣΚΗΣΗ : Η κλίση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Ο(0,0) και Α(-,4) είναι: Α. - 4 Β.8 Γ. - 5 Δ. - 5 Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση ΑΣΚΗΣΗ 4: Η ευθεία του διπλανού σχήματος έχει εξίσωση: Α. - Β. 5 Γ. -5 Δ. 5 Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση

16 48 ΜΕΡΟΣ Α -.- ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 5: Στο διπλανό σχήμα δίνονται οι ευθείες ε, ε, ε και ε. Να αντιστοιχίσετε σε καθεμιά την εξίσωσή της. ε ε ε ε 4, 0,4 ΑΣΚΗΣΗ 6: Να σχεδιάσετε στο διπλανό σύστημα ορθογωνίων αξόνων τις ευθείες με εξισώσεις:, 5, -4, 7 -