ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ : X 6 (s) Σηµαντικό: Στην Ε.Ο.Κ και στο διάγραµµα µετατόπισης -χρόνου: Χ υ = = εφθ Μοτοσικλετιστής κινείται ευθύγραµµα και η κίνηση του περιγράφεται από το διάγραµµα Θέσης χρόνου του διπλανού σχήµατος.αν φ=60 0 τότε : Ποια η ταχύτητα του σώµατος Ποια είναι η µετατόπιση του σώµατος την χρονική στιγµή =6sec. Ποια η µετατόπιση του σώµατος στο 3=0 sec της κίνησης ; Λύση Από το διάγραµµα µετατόπισης χρόνου βλέπουµε ότι η µετατόπιση είναι ανάλογη του χρόνου. Η κίνηση είναι ευθύγραµµη οµαλή.η ταχύτητα είναι σταθερή σε όλη την πορεία της κίνησης και ισούται µε την εφθ A Έτσι υ=εφ 60 0 = 3 m/sec B H θέση του σώµατος την χρονική στιγµή =6sec µπορεί να υπολογιστεί µε τη βοήθεια της εξίσωσης κίνησης : Χ=Χ 0 +υ X = 3 6 m Γ.Εδώ θα πρέπει να προσέξουµε.όταν ζητείται η µετατόπιση στη διάρκεια κάποιου χρονικού διαστήµατος πχ στη διάρκεια του v =ου δευτερολέπτου τότε θα πρέπει : Να βρούµε την µετατόπιση στο v =ο δευτερόλεπτο,να βρούµε την µετατόπιση στο (v-1) δευτερόλεπτο και στη συνέχεια να αφαιρέσουµε τις δυο αυτές µετατοπίσεις :Χv- X(v-1) Aρα η µετατόπιση στο 3 τ0 δευτερόλεπτο είναι Χ=Χ 3 -Χ 2 =υ 3 -υ 2 = 3 (3 2) = 3m υ Γνωρίζουµε ότι η µετατόπιση µπορεί να υπολογιστεί και από το εµβαδόν της γραφικής παράστασης υ=f() 3 W = 3 (3 2) = 3 2 3 ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ : ΧΡΗΣΤΟΥ ΓΙΑΝΝΗΣ 1
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ. 1. Δίνεται το παρακάτω διάγραμμα A.Ποιο από τα δυο κινητά έχει την μεγαλύτερη ταχύτητα ; Β.Ποια η γραφική παράσταση της ταχύτητας σε συνάρτηση με το χρόνο ; X 2 1 ΛΥΣΗ :Το κινητό (1) σε χρόνο βρίσκετε στη θέση Χ 1 Το κινητό (2) στον ίδιο χρόνο aσκεiτε στη θέση Χ 2. Από το σχήµα παρατηρώ ότι Χ 2 >Χ 1 Άρα εάν διαιρέσω µε το χρόνο την παραπάνω σχέση έχουµε : X 2 X 1 > υ 2 > υ1 Άρα το όχηµα 2 έχει µεγαλύτερη ταχύτητα από το όχηµα (1) Χ (m) 2. Δίνεται η παρακάτω γραφική παράσταση : A Πόσο διάστημα έχει διανύσει το σώμα για τα 12 πρώτα δευτερόλεπτα. Β.Να γίνει η γραφική παράσταση ταχύτητας χρόνου. -10 10 2 4 6 8 10 12 (sec) ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ : ΧΡΗΣΤΟΥ ΓΙΑΝΝΗΣ 2
3 Δίνετε η γραφική παράσταση του σχήματος.να βρεθεί η ταχύτητα για κάθε φάση της κίνησης και να γίνει το διάγραμμα ταχύτητας χρόνου. ΛΥΣΗ : Χ 10 Παρατηρούµε ότι από 0 έως 2 4 2 δευτερόλεπτα το σώµα κινείται προς τα δεξιά και η ταχύτητα του σώµα τος σε µέτρο δίνεται : 10 = 5m / sec 2 Από 2 έως 4 δευτερόλεπτα το σώµα κινείται προς τα αριστερά και η µετατόπιση είναι αρνητική και η ταχύτητα κατά συνέπεια είναι αρνητική. Έτσι η ταχύτητα για χρόνο από 2 έως 4 είναι : υ = υ = 0 10 10 = = 5m / sec 4 2 2 Το διάγραµµα ταχύτητας χρόνου θα είναι : 5 υ 2 4-5 4 Δίνετε η γραφική παράσταση Χ=f().Nα βρείτε τις ταχύτητες και να γίνει η γραφική παράσταση ταχύτητας χρόνου. 30 10 Χ 2 5 6 ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ : ΧΡΗΣΤΟΥ ΓΙΑΝΝΗΣ 3
5 Δίνετε το διάγραμμα ταχύτητας χρόνου.αν Χ 0=0 να γίνει το διάγραμμα Χ=f() και να βρεθεί η ολική μετατόπιση και το ολικό διάστημα. 10-20 20 υ 2 4 5 7 6 Δίνετε το διάγραμμα ταχύτητας χρόνου για ένα κινητό που εκτελεί ευθύγραμμη υ ομαλή κίνηση. Α Ποια η μετατόπιση του κινητού από την αρχική θέση έως τη στιγμή =20sec. B Ποιο είναι το διάστημα που έχει διανύσει το κινητό στον ίδιο χρόνο. 50-20 5 10 20 7 Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται το διάγραμμα θεσης χρόνο για δυο κινητα Α και Β Α Να υπολογίσετε τα μέτρα των ταχυτητων των δυο κινητων. 100 40 X Β Ποια χρονική στιγμή τα δυο κινητα θα απεχουν απόσταση παλι 100m. 5 Παρατηρήσεις ιαβάστε προσεκτικά τις παρακάτω παρατηρήσεις ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ : ΧΡΗΣΤΟΥ ΓΙΑΝΝΗΣ 4
Α. Πριν αρχίσετε να λύνετε την άσκηση διαβαστε την προσεκτικά και παραστήστε με σύμβολα τα δεδομένα ζητούμενα. Β.Όσο απλή και αν είναι η ασκηση να φτιάχνεται ένα σχήμα και πάνω σε αυτό να σημειώνεται τα μεγέθη τα οποία μπορείτε. Γ.Να γράφεται τις εξισώσεις που προκύπτουν από την άσκηση και από αυτές να καταλήγετε σε έναν τελικό τύπο,που στο ένα μέρος θα έχει το ζητούμενο μέγεθος και στο άλλο τα δεδομένα μεγέθη. Δ.Στον τελικό τύπο να κάνετε αντικατάσταση αφού πρώτα μετατρέψετε όλες τις μονάδες σε μονάδες το ίδιου συστήματος. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 Σε έναν ευθύγραµµο αυτοκινητόδροµο κινούνται ένα λεωφορείο προς τα αριστερά µε ταχύτητα 20m/sec,ένα Ι.Χ αυτοκίνητο προς τα δεξιά µε ταχύτητα 15m/sec και ένα µοτοσικλετιστής προς τα αριστερά µε ταχύτητα 10m/sec.Οι θέσεις των 3 οχηµάτων κάποια χρονική στιγµή σε κάποιο σύστηµα αναφοράς είναι 500m,200m, - 300m.Υπολογίστε: Α.Τη θέση του λεωφορείου 5 δευτερόλεπτα αργότερα. Β.Τη θέση του Ι.Χ και το διάστηµα που αυτό διήνυσε 10 δευτερόλεπτα µετά την αρχική στιγµή. Γ.Σε πόσα δευτερόλεπτα η θέση του µοτοσικλετιστή θα είναι στη θέση -600m Δ.Ποια χρονική στιγµή το λεωφορείο περνά από τη θέση µηδέν ; 2 Η κίνηση ενός φορτηγού περιγράφεται από τη σχέση Χ 1 =-270+12,ενώ η κίνηση ενός πεζού από τη εξίσωση Χ 2 =270-12.Ποιες οι ταχύτητες του φορτηγού και του πεζού.σχεδιάστε το δρόµο και δείξτε τη θέση του πεζού και τη θέση του φορτηγού την χρονική στιγµή =0.Δείξτε τη θέση τους 10 sec αργότερα. 3 Δυο υλικά σηµεία κινούνται µε ταχύτητες υ 1 =8m/sec και υ 2 =4m/sec.Αρχικά το πρώτο βρισκόταν στη θέση Χ 1 =-21m,ενώ το δεύτερο στη θέση Χ 2 =7m. Α Σε πόσο χρόνο το πρώτο θα φτάσει το δεύτερο; Β Που θα συµβεί αυτό; ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ : ΧΡΗΣΤΟΥ ΓΙΑΝΝΗΣ 5
ΛΥΣΗ : Πρώτος τρόπος Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης Χ=f() Το όχηµα (1) βρίσκεται αρχικά στη θέση Χ 1 =-21m και κινείται µε θετική ταχύτητα υ 1 =8m/sec (προς τα δεξιά) Το όχηµα (2) βρίσκεται αρχικά στη θέση Χ 2 =7 και κινείται µε ταχύτητα υ 2 =4m/sec. Η εξίσωση θέσης του (1) οχήµατος είναι Χ=-21+8 (a) Η εξίσωση θέσης του (2) οχήµατος είναι Χ=7+4 (b) Oι αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις Χ=f() για τα δυο οχήµατα είναι : Χ 7-21 Άρα τα οχήµατα όταν συναντηθούν θα έχουν την ίδια θέση Χ και τον ίδιο χρόνο. Από τις σχέσεις (a) και (b) έχουµε : -21+8=7+4 4 = 28 = 7sec Aρα ο χρόνος συνάντησης των δυο οχηµάτων είναι =7sec και αντικαθιστώντας την τιµή αυτήν του χρόνου στη σχέση (a) ή στη σχέση (b) βρίσκουµε τη θέση συνάντησης των δυο οχηµάτων : Έστω αντικαθιστώ στην ( a) :Χ=-21+8*7=35m. Έτσι τα δυο οχήµατα θα συναντηθούν στη θέση Χ=35 m και σε χρόνο =7sec. Δεύτερος τρόπος : Αρχικά θα πρέπει να κατασκευάσουµε ένα σχήµα και να τοποθετήσουµε τα δυο σώµατα στις θέσεις που µας λέει η άσκηση. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ : ΧΡΗΣΤΟΥ ΓΙΑΝΝΗΣ 6
0-21 28 7 D Εφόσον τα δυο σώµατα θα συναντηθούν το όχηµα (2) έστω ότι θα διανύσει µια απόσταση D µέχρι το σηµείο συνάντησης ενώ το όχηµα (1) µια απόσταση 28+D. Tα δυο κινητά θα συναντηθούν στον ίδιο χρόνο. Έτσι για το κινητό (1) έχουµε (28+D)=8 (g) Ενώ για το κινητό (2) έχουµε :D=4 (d) Aαντικαθιστώντας την (d) στην (g) έχουµε : (28+4)=8 28 = 4 = 7sec Άρα ο χρόνος συνάντησης των δυο κινητών είναι =7sec. Kαι η θέση συνάντησης των δυο κινητών βρίσκεται εάν αντικαταστήσουµε το χρόνο στην (g) ή στην (d) : Με αντικατάσταση στη (δ) έχουµε :D=4*7=28m Aρα η θέση συνάντησης είναι 7+28=35m. 4 Από δυο σηµεία Α και Β µιας ευθείας περνούν ταυτόχρονα δυο κινητά και κινούνται αντίθετα.το κινητό Α έχει ταχύτητα υ α =20m/sec ενώ το κινητό Β έχει ταχύτητα υ β =10m/sec.Η από στάση των δυο σηµείων είναι D=600m. Α Μετά από πόσο χρόνο τα δυο κινητά θα συναντηθούν. Β Σε πόση απόσταση από το Β θα γίνει πάλι D=600m 5 Δυο κινητά που κινούνται οµόρροπα σε ευθύγραµµο δρόµο,περνούν από σηµείο Α του δρόµου ταυτόχρονα και στη συνέχεια από ένα σηµείο Β του δρόµου µε διάφορα χρόνου Δ =2sec.Το ένα αυτοκίνητο έχει σταθερή ταχύτητα υ 1 =30m/sec και το άλλο έχει σταθερή ταχύτητα υ 2 =25m/sec.Να βρεθεί η απόσταση ΑΒ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ : ΧΡΗΣΤΟΥ ΓΙΑΝΝΗΣ 7
6 Ένα κινητό περνά από το σηµείο Α µιας ευθείας µε ταχύτητα µέτρου υ 1 =15m/sec.Μετά από χρόνο =5sec περνά από το ίδιο σηµείο δεύτερο κινητό µε ταχύτητα µέτρου υ 2 =5m/sec κινούµενο κατά την ίδια κατεύθυνση µε το πρώτο κινητό.πόσο θα απέχουν µεταξύ τους τα δυο κινητά µετά από χρόνο 2 =20sec από τη στιγµή που πέρασε από την πόλη Α το πρώτο κινητό. 7 Ένα κινητό περνά από ένα σηµείο Α µιας ευθείας µε ταχύτητα µέτρου υ 1 =30m/sec. Μετά από χρόνο =4sec περνά από το ίδιο σηµείο προς την ίδια κατεύθυνση δεύτερο κινητό µε ταχύτητα υ 2.Μετα από χρόνο =20sec από τη στιγµή που πέρασε το πρώτο κινητό από το Α,τα δυο κινητά απέχουν µεταξύ τους απόσταση d=200m,µε το δεύτερο κινητό να προηγείται.να βρείτε την ταχύτητα του δεύτερου κινητού και την απόσταση του από το Α µετά από το χρόνο των 20sec 8 Ένα κινητό περνά από ένα σηµείο Α ενός ευθύγραµµου δρόµου µε ταχύτητα υ 1 =15m/sec.Μετά από χρόνο =5sec,περνά από το ίδιο σηµείο Α ένα δεύτερο αυτοκίνητο µε ταχύτητα υ 2 =30m/sec. Μετά από πόσο χρόνο από τη στιγµή που πέρασε το πρώτο κινητό Από το σηµείο Α το δεύτερο κινητό θα φτάσει πρώτο; 9 Δυο κινητά Α και Β κινούνται στην ίδια ευθεία και κατά την ίδια φορά µε σταθερές ταχύτητες υ Α =20m/sec και υ β =8 m/sec µε το κινητό Β να προηγείται του Α.Καποια χρονική στιγµή η απόσταση των δυο κινητών είναι d=180m.να βρεθεί µετά από Πόσο χρόνο τα δυο κινητά θα απέχουν πάλι απόσταση d. 10 Ακίνητος παρατηρητής βλέπει κάποια χρονική στιγµή να περνά από µπροστά του αυτοκίνητο µε ταχύτητα υ 1 =80Κm/h και µετά από 3min βλέπει να περνά από µπροστά του δεύτερο κινητό µε ταχύτητα υ 2 =100Κm/h.Ποιος ο χρόνος συνάντησης των δυο αυτοκινήτων αν κινούνται : Α Με την ίδια φορά. Β Με αντίθετη φορά. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ : ΧΡΗΣΤΟΥ ΓΙΑΝΝΗΣ 8
11 Ποδηλάτης περνά από την πόλη Α και κατευθύνεται σε πόλη Β που απέχει της Α απόσταση 20Κm µε σταθερή ταχύτητα µέτρου υ 1 =25Κm/h. Στο δρόµο συναντά λεωφορείο κινούµενο κατά την ίδια φορά µε αυτόν και µε σταθερή ταχύτητα υ 2 =50Κm/h.τη στιγµή αυτή ο ποδηλάτης στερεώνει τα χέρια του στο πίσω µέρος του λεωφορείου και συνεχίζει µε αυτό κατά το υπόλοιπο της διαδροµής.έτσι φτάνει στην πόλη Β κατά 14 min νωρίτερα από όσο θα έφτανε αν κινούνταν µόνο του. Ποια χρονική στιγµή συναντήθηκε ο ποδηλάτης και το λεωφορείο. 12.Στον άξονα Χ ΟΧ κινούνται δυο σώµατα (1) και (2) έχοντας εξισώσεις κίνησης Χ 1 =2-2 και Χ 2 =-4+12. A.Να υπολογίσετε την απόσταση των δυο κινητών τη χρονική στιγµή =0. B.Να βρείτε τη χρονική στιγµή που θα συναντηθούν τα δυο σώµατα καθώς και τη θέση συνάντησης τους. C.Ποια χρονική στιγµή απέχουν για δεύτερη φορά απόσταση 10m ; D.Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις θέσης - χρόνου,µετατόπισης -χρόνου, διαστήµατος χρόνου και ταχύτητας - χρόνου για τα δυο σώµατα από την =0 έως τη χρονική στιγµή συνάντησης 13.Δυο οχήµατα (1) και (2) κινούνται στον ίδιο ευθύγραµµο δρόµο έχοντας ταχύτητες ίδιaς φοράς.τη χρονική στιγµή =0 τα δυο σώµατα απέχουν D=20m µε το όχηµα (1) να βρίσκεται στη θέση Χ 0 =-10m.Από τη χρονική στιγµή =0 έως τη στιγµή 1 =10sec το όχηµα (1) έχει διανύσει διάστηµα S 1 =50m. A. Να υπολογίσετε το διάστηµα που θα έχει διανύσει το όχηµα (2) από τη στιγµή =0 έως τη στιγµή =10 sec. B. Na γίνει το διάγραµµα ταχύτητας χρόνου για τα δυο οχήµατα από τη στιγµή =0 έως τη στιγµή που θα συναντηθούν. C. Να υπολογίσετε τη χρονική στιγµή που τα δυο οχήµατα απέχουν για πρώτη και για δεύτερη φορά το ¼ της αρχικής απόστασης. 14. Τη χρονική στιγµή =0 από το σηµείο Α ενός δρόµου διέρχεται αυτοκίνητο (1) µε σταθερή ταχύτητα υ 1 = ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ : ΧΡΗΣΤΟΥ ΓΙΑΝΝΗΣ 9
20m/s προς τα δεξιά.δεύτερο αυτοκίνητο (2) κινούµενο στην ίδια κατεύθυνση φτάνει στο σηµείο Α µετά από χρονικό διάστηµα Δ=6s µε σταθερή ταχύτητα υ 2 =30m/s.Να βρείτε : A. Ποια χρονική στιγµή τα δυο οχήµατα θα συναντηθούν. B. Πόσο απέχει το σηµείο συνάντησης από το σηµείο Α. C. Μετά από πόσο χρόνο από τη στιγµή της συνάντησης τα δυο οχήµατα θα απέχουν µεταξύ τους 150m. 15. Δυο κινητά (1) και (2) κινούνται οµαλά µε αντίθετης φοράς ταχύτητα.τη χρονική στιγµή =0 το κινητό (1) διέρχεται από τη θέση Χ 01 =-60m και έχει ταχύτητα τριπλασίου µέτρου από το µέτρο της ταχύτητας του κινητού (2).Αν τα αυτοκίνητα διασταυρώνονται στη θέση Χ=0 τη χρονική στιγµή =2sec,να βρείτε : A. Το µέτρο της ταχύτητας του κάθε αυτοκινήτου. B. Τη θέση του κινητού (2) τη χρονική στιγµή =0. C. Tη µεταξύ τους απόσταση τη χρονική στιγµή =5sec. D. Tη γραφική παράσταση θέσης χρόνου,µετατόπισης χρόνου,ταχύτητας χρόνου,διαστήµατος χρόνου έως να συναντηθούν. E. Σε ποια θέση θα συναντηθούν αν οι ταχύτητες τους είχαν ίδιο µέτρο ; 16. Τα κινητά (1) και (2) κινούνται πάνω στον ίδιο ευθύγραµµο δρόµο µε σταθερή ταχύτητα και σταθερή κατεύθυνση.τα κινητά περνούν τη χρονική στιγµή =0 από τις θέσεις Χ 01 και Χ 02 µε ταχύτητες υ 1 =20m/s και υ 2 =-30m/s.Ta δυο κινητά θα συναντηθούν στη θέση Χ=40m τη χρονική στιγµή =8s.Να βρείτε : A. Τη µετατόπιση του κάθε κινητού µέχρι τη θέση συνάντησης. B. Ποιες οι αρχικές θέσεις Χ 01 και Χ 02. C. Η µεταξύ τους απόσταση τη χρονική στιγµή =10sec. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ : ΧΡΗΣΤΟΥ ΓΙΑΝΝΗΣ 10