ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ Τι ονομάζουμε στάσιμο κύμα f()=0.5sin() Εξαιτίας της συμβοής δύο κυμάτων του ίδιου πάτους και της ίδιας συχνότητας που διαδίδονται ταυτόχρονα στο ίδιο γραμμικό εαστικό μέσο με αντίθετη φορά, προκύπτει μια ιδιάζουσα κυματική κατάσταση η ο- 0 ποία ονομάζεται στάσιμο κύμα. Στάσιμο κύμα έγεται το αποτέεσμα της συμβοής δύο κυμάτων με ίδιο πάτος και ίδια συχνότητα τα οποία διαδίδονται στο ίδιο μέσο με αντίθετες κατευθύνσεις. Η εξίσωση του στάσιμου κύματος Έστω ότι κατά μήκος ενός γραμμικού εαστικού μέσου διαδίδονται δύο αρμονικά κύματα ίδιου πάτους Α και ίδιας περιόδου Τ με αντίθετες κατευθύνσεις. Επειδή διαδίδονται με την ίδια ταχύτητα, θα έχουν και το ίδιο μήκος κύματος. Θεωρούμε ως αρχή μέτρησης των αποστάσεων ( = 0) ένα σημείο Ο για το οποίο οι α- πομακρύνσεις εξαιτίας του κάθε κύματος χωριστά περιγράφονται από την ίδια εξίσωση A t T. To t κύμα που διαδίδεται προς τα δεξιά περιγράφεται από την εξίσωση: 1 A (1) t ενώ το κύμα που διαδίδεται προς τ' αριστερά περιγράφεται από την εξίσωση: A () Σύμφωνα με την αρχή της επαηίας, η απομάκρυνση ενός σημείου Σ του μέσου διάδοσης το οποία βρίσκεται στη θέση του άξονα τη χρονική στιγμή t είναι: = 1 + η οποία, όγω των εξισώσεων (1) και (), γίνεται: t t A Χρησιμοποιώντας την ταυτότητα π πt = Aσυν ημ Τ προκύπτει: ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 11 71, 69756063 W.U. 1
Η παραπάνω εξίσωση αποτεεί την εξίσωση του στάσιμου κύματος. Από την εξίσωση αυτή προκύπτει ότι η απομάκρυνση των διαφόρων σημείων του μέσου είναι ημιτονοειδής συνάρτηση του χρόνου. Επίσης, ο παράγοντας A δε μεταβάεται με το χρόνο και εξαρτάται μόνο από τη θέση του σημείου. Κάθε σημείο του μέσου εκτεεί απή αρμονική ταάντωση με σταθερό πάτος, το οποίο όμως διαφέρει από σημείο σε σημείο και είναι ίσο με την απόυτη τιμή του παράγοντα Α. π Πάτος = Α = A συν Οι θέσεις που βρίσκονται τα υικά σημεία που τααντώνονται με μέγιστο πάτος (κοιίες) Το πάτος της ταάντωσης κάθε υικού σημείου του μέσου διάδοσης είναι ίσο με την απόυτη τιμή του παράγοντα A. Κατά συνέπεια, τα υικά σημεία τα οποία τααντώνονται με μέγιστο πάτος (Α) είναι τα σημεία εκείνα t = 0 των οποίων οι θέσεις στον άξονα O ικανοποιούν την εξίσωση: A 1 1, όπου Ν = 0, ±1, ±,... t = T Επομένως η τετμημένη των υικών σημείων που τααντώνονται με μέγιστο πάτος είναι: με Ν=0, ±1, ±,... Οι θέσεις που βρίσκονται τα υικά σημεία που παραμένουν ακίνητα (δεσμοί) t = T Για τα υικά σημεία που παραμένουν ακίνητα το πάτος είναι μηδέν (Α' = 0). Συνεπώς οι θέσεις των σημείων αυτών στον άξονα O ικανοποιούν την εξίσωση: 0 0 ( 1), όπου Ν = 0, ± 1, ±,... Επομένως η τετμημένη των υικών σημείων που παραμένουν ακίνητα είναι: ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 11 71, 69756063 W.U.
( 1) με Ν = 0, ±1, ±,... Παρατήρηση: Οι αρνητικές τιμές που παίρνει το Ν στους δύο τύπους και ( 1) μας δίνουν τις θέσεις των κοιιών ή δεσμών που βρίσκονται στον αρνητικό ημιάξονα. Αν εξετάζουμε το στάσιμο κύμα στο θετικό ημιάξονα, τότε χρησιμοποιούμε μόνο τις θετικές τιμές του Ν. Με τι ισούται η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών κοιιών Η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών κοιιών ισούται με τη διαφορά: d = d ( 1) ( ) ( 1) κ-κ Με τι ισούται η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών Η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών είναι ίση με τη διαφορά: d ( 1) ( ) (( 1) 1) ( 1) ( 3) ( 1) d δ-δ = Με τι ισούται η απόσταση μεταξύ ενός δεσμού και της πησιέστερης κοιίας του Η απόσταση μεταξύ ενός δεσμού και της πησιέστερης σε αυτόν κοιίας υποογίζεται από τη διαφορά: d = d ( ) ( ) ( 1) κ-δ Η διαφορά φάσης των τααντώσεων δύο υικών σημείων του μέσου στο οποίο δημιουργείται στάσιμο κύμα. Τα υικά σημεία του εαστικού μέσου τα οποία βρίσκονται μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών έμε ότι βρίσκονται στην ίδια άτρακτο. Οι τααντώσεις των σημείων αυτών έχουν κάθε χρονική στιγμή την ίδια φάση. Επομένως Δφ = 0. Οι τααντώσεις των υικών σημείων του εαστικού μέσου που βρίσκονται δεξιά και αριστερά του ίδιου δεσμού, αά σε απόσταση από αυτόν μικρότερη του (δηαδή βρίσκονται σε διαδοχικές ατράκτους), έχουν διαφορά φάσης ίση με Δφ = π rad. Παρατήρηση: Όταν μεταξύ δύο σημείων του εαστικού μέσου μεσοαβεί περιττός αριθμός δεσμών, τότε οι τααντώσεις των σημείων αυτών εμφανίζουν μεταξύ τους διαφορά φάσης π rad. Όταν μεταξύ δύο σημείων ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 11 71, 69756063 W.U. 3
του εαστικού μέσου δε μεσοαβεί κανένας δεσμός ή μεσοαβεί άρτιος αριθμός δεσμών, τότε οι τααντώσεις των σημείων αυτών εμφανίζουν μεταξύ τους μηδενική διαφορά φάσης. ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 11 71, 69756063 W.U.
Παρατηρήσεις για την ύση των ασκήσεων 1. Με ποιες προϋποθέσεις ισχύει η εξίσωση A t Η εξίσωση: t A παριστάνει ένα στάσιμο κύμα και ισχύει με τις εξής προϋποθέσεις: α. Το σημείο Ο που θεωρήσαμε ως αρχή μέτρησης των αποστάσεων ( = 0) είναι κοιία. β. Τη χρονική στιγμή t 0 = 0 έχει οοκηρωθεί η συμβοή των δύο αντίθετα διαδιδόμενων κυμάτων κατά μήκος του εαστικού μέσου και το σημείο Ο ( = 0) βρίσκεται στη θέση ισορροπίας του έχοντας μέγιστη θετική ταχύτητα.. Η κίνηση που εκτεούν τα υικά σημεία του εαστικού μέσου στο οποίο σχηματίζεται στάσιμο κύμα α. Η συχνότητα ταάντωσης Κάθε υικό σημείο του εαστικού μέσου στο οποίο σχηματίζεται στάσιμο κύμα (εκτός από τους δεσμούς) εκτεεί απή αρμονική ταάντωση με περίοδο Τ (ίση με την περίοδο των κυμάτων που συμβάουν για τη δημιουργία του στάσιμου) και συχνότητα f. Όα τα σημεία του στάσιμου κύματος παίρνουν ταυτόχρονα την μέγιστη (κατ απόυτο ) και εάχιστη τιμή (απομάκρυνση, ταχύτητα, επιτάχυνση) αυτό όμως δεν σημαίνει ότι έχουν ίδιες μέγιστες-στιγμιαίες απομακρύνσεις, ταχύτητες, επιταχύνσεις. β. Το πάτος ταάντωσης Το πάτος ταάντωσης Α' των υικών σημείων του μέσου στο οποίο σχηματίζεται στάσιμο κύμα εξαρτάται από την απόσταση κάθε σημείου από το σημείο Ο που θεωρήσαμε ως αρχή μέτρησης των αποστάσεων ( = 0). Το πάτος ταάντωσης των σημείων του στάσιμου υποογίζεται από τη σχέση: π Α = A συν και παίρνει τιμές από 0 έως Α: 0 Α' Α Ένα σημείο που βρίσκεται σε κοιία διανύει απόσταση 8Α σε κάθε περίοδο (όπου Α το πάτος των κυμάτων που συμβάουν προς δημιουργία στάσιμου κύματος. ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 11 71, 69756063 W.U. 5
γ. Η φάση ταάντωσης Όα τα τααντούμενα σημεία του υικού μέσου διέρχονται ταυτόχρονα από τη θέση ισορροπίας τους και βρίσκονται ταυτόχρονα στις ακραίες θέσεις ταάντωσης τους. Τα υικό σημεία που βρίσκονται μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών διέρχονται ταυτόχρονα από τη θέση ι- σορροπίας τους με ίδια κατεύθυνση ταχύτητας, άρα τα σημεία μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών έχουν κάθε χρονική στιγμή την ίδια φάση. Τα σημεία που βρίσκονται εκατέρωθεν ενός δεσμού (σε απόσταση μικρότερη του /) διέρχονται ταυτόχρονα από τη θέση ισορροπίας τους με αντίθετης κατεύθυνσης ταχύτητες, άρα τα σημεία που βρίσκονται εκατέρωθεν ενός δεσμού έχουν διαφορά φάσης π rad. Συμπεραίνουμε ότι στο στάσιμο κύμα δεν έχουμε μετατόπιση φάσης. Δύο σημεία του μέσου στο οποίο σχηματίζεται στάσιμο κύμα είτε θα βρίσκονται σε φάση (Δφ = 0) είτε θα έχουν αντίθετη φάση (Δφ = π rad). Η φάση των σημείων του στάσιμου κύματος δίνεται από την σχέση π π φ t ωt ή φ t π ωt π. Τ Τ Έτσι είναι προφανές ότι η διαφορά φάσης μεταξύ δύο σημείων του στάσιμου κύματος θα είναι μηδέν ή π ΠΩΣ ΠΡΟΚΥΠΤΕΙ ΤΟ π ΣΤΗΝ ΦΑΣΗ Στην εξίσωση του στάσιμου κύματος αν κάνουμε αντικατάσταση το στο συνημίτονο το αποτέεσμα μπορεί να 'ναι είτε θετικό είτε αρνητικό. Έστω π π β Ασυν 0 ό βημ t Τ. Άρα π φ t t Τ Ενώ αν β < 0 β < 0 και το κύμα γίνεται: π π π β Ασυν 0 ό β ημ t β ημ t π Τ Τ Άρα π φ t t Τ. Γραφική παράσταση της φάσης σημείων του στάσιμου κύματος μία ορισμένη χρονική στιγμή. Όπως είπαμε παραπάνω τα σημεία θα έχουν φάση φ ωt ή φ ωt + π ωt φ ωt π και αάζει από την μία μορφή στη άη όταν "περνάμε" ένα δεσμό, όπως φαίνεται στο διπανό διάγραμμα. 3 5 ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 11 71, 69756063 W.U. 6
Χρονική στιγμή t 1 Όα τα τααντούμενα σημεία βρίσκονται στην ακραία θέση χαάρωσης τους. Χρονική στιγμή t 1 + Δt, Δt < Τ/ Τα τααντούμενα σημεία κινούνται προς τη θέση ισορροπίας τους. Χρονική στιγμή t 1 + Τ/ Τα τααντούμενα σημεία διέρχονται από τη θέση ισορροπίας τους. Χρονική στιγμή t 1 + Δt, Τ/ < Δt < Τ/ Τα τααντούμενα σημεία κινούνται προς την ακραία θέση ταάντωσης τους Χρονική στιγμή t 1 + Τ/ Τα τααντούμενα σημεία βρίσκονται στην ακραία θέση ταάντωσης τους (αντίθετη από εκείνη στην οποία βρίσκονταν τη χρονική στιγμή t 1 ). δ. Η ταχύτητα ταάντωσης Η απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας κάθε σημείου του μέσου στο οποίο δημιουργείται το στάσιμο κύμα δίνεται από την εξίσωση: A t Η ταχύτητα ταάντωσης των σημείων του στάσιμου δίνεται από την εξίσωση: π πt υ = ωaσυν συν Τ Η μέγιστη ταχύτητα ταάντωσης των σημείων του στάσιμου εξαρτάται από την απόσταση τους από τη θέση π = 0 και έχει μέτρο: υ ma = ωa συν Οι κοιίες του στάσιμου κύματος τααντώνονται με μέγιστο πάτος (Α' = Α) και έχουν μέγιστη ταχύτητα (υ ma, K = ω Α), η οποία είναι μεγαύτερη από τις μέγιστες ταχύτητες όων των υπόοιπων τααντούμενων σημείων. ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 11 71, 69756063 W.U. 7
3. Η ενέργεια στα στάσιμα κύματα Εφόσον κατά μήκος του εαστικού μέσου στο οποίο δημιουργείται στάσιμο κύμα υπάρχουν σημεία τα οποία παραμένουν συνεχώς ακίνητα, συμπεραίνουμε ότι δε μεταφέρεται ενέργεια από το ένα σημείο του στάσιμου κύματος στο άο. Η ενέργεια που είχαν τα αρχικά κύματα, η συμβοή των οποίων δημιουργεί το στάσιμο κύμα, εγκωβίζεται ανάμεσα στους δεσμούς. Κάθε σημείο του μέσου, ανάογα με τη θέση του, αποκτά ορισμένο ποσό ενέργειας, η οποία μετατρέπεται συνεχώς από κινητική ενέργεια, όταν τα σημεία του μέσου διέρχονται από τη θέση ισορροπίας τους, σε εαστική δυναμική ενέργεια, όταν τα σημεία βρίσκονται στις α- κραίες θέσεις ταάντωσης τους. Σε όες τις ενδιάμεσες θέσεις της ταάντωσης τους, τα σημεία του μέσου έχουν και κινητική και δυναμική ενέργεια. ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 11 71, 69756063 W.U. 8
. Διαφορές τρέχοντος και στάσιμου κύματος Τρέχον κύμα Στάσιμο κύμα 1. Όο τα υικά σημεία του μέσου τααντώνονται με 1. Το πάτος ταάντωσης των υικών σημείων του το ίδιο πάτος. μέσου εξαρτάται από τη θέση κάθε σημείου και παίρνει τιμές οπό Α' = 0 (δεσμοί) μέχρι Α' = Α (κοιίες).. Μεταφέρεται ενέργεια.. Η ενέργεια δεν μεταφέρεται, παραμένει εγκωβισμένη μεταξύ των δεσμών. 3. Την ιδία χρονική στιγμή όα τα σημεία του μέσου 3. Τα υικά σημεία του μέσου έχουν είτε την ίδια φά- έχουν διαφορετικές φάσεις: όσο πιο απομακρυσμένο ση (αν βρίσκονται ανάμεσα από δύο δεσμούς) είτε διαφορά φάσης π rad (αν βρίσκονται εκατέρωθεν ενός δεσμού και σε απόσταση μικρότερη από / από αυτόν.. Τα υικά σημείο του μέσου διέρχονται ταυτόχρονα από τη θέση ισορροπίας τους. οπό την πηγή είναι ένα σημείο τόσο μικρότερη είναι η φάση του. Δύο υικά σημεία του μέσου μπορεί να έχουν οποιοδήποτε διαφορά φάσης.. Το υικά σημεία του μέσου διέρχονται από τη θέση ισορροπίας τους σε διαφορετικές χρονικές στιγμές. 5. Κάθε σημείο του μέσου από το οποίο διέρχεται το 5. Υπάρχουν υικά σημείο στο μέσο διάδοσης τα ο- κύμα εκτεεί ταάντωση. ποίο παραμένουν συνεχώς ακίνητα. 6. Διαδίδεται σε ορισμένη διεύθυνση, 6. Δεν διαδίδεται. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΑ ΤΗ ΛΥΣΗ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1. Η εξίσωση t A παριστάνει στάσιμο κύμα με τα εξής χαρακτηριστικά: α. Σχηματίζεται από δύο κύματα ίδιου πάτους Α και ίδιας συχνότητας f, τα οποία διαδίδονται σε αντίθετες κατευθύνσεις. β. Οι απομακρύνσεις που προκαούνται από καθένα από τα κύματα σε ένα σημείο Ο του μέσου, το οποίο θεωρούμε ως αρχή μέτρησης των αποστάσεων ( = 0), περιγράφονται από την ίδια εξίσωση: = Αημωt ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 11 71, 69756063 W.U. 9
γ. Ως αρχή μέτρησης των χρόνων (t 0 = 0) θεωρούμε τη χρονική στιγμή κατά την οποία η φάση του σημείου Ο είναι μηδέν, δηαδή τη χρονική στιγμή t 0 = 0 το σημείο Ο έχει απομάκρυνση = 0 και θετική ταχύτητα. δ. Το κύμα που διαδίδεται κατά τη θετική φορά του άξονα O περιγράφεται από την εξίσωση: t A ενώ το κύμα που διαδίδεται κατά την αρνητική φορά περιγράφεται από την εξίσωση: 1 A t. Αν δίνεται η εξίσωση του στάσιμου κύματος, αντιπαραβάουμε με τη γενική μορφή: A t και υποογίζουμε το πάτος Α, το μήκος κύματος και την περίοδο Τ των συμβαόμενων κυμάτων. Εφαρμογή H εξίσωση του στάσιμου κύματος που σχηματίζεται κατά μήκος εαστικού μέσου οπό τη συμβοή δύο κυμάτων τα οποία διαδίδονται σε αντίθετες κατευθύνσεις περιγράφεται από την εξίσωση = 0,0συν10π ημ0πt S.I. Να υποογίσετε το πάτος A, το μήκος κύματος, την περίοδο Τ και την ταχύτητα διάδοσης των συμβαόμενων κυμάτων και να γράφετε τις εξισώσεις τους. Λύση Αντιπαραβάουμε τη δοθείσα εξίσωση με τη γενική μορφή της εξίσωσης του στάσιμου κύματος t A και προκύπτει ότι: Α = 0,0 m Α = 0,0 m 10 = 0, m t 0 t Τ = 0,1 s, άρα και f = 10 Hz Θα υποογίσουμε την ταχύτητα διάδοσης των συμβαόμενων κυμάτων από τη θεμειώδη εξίσωση της κυματικής: υ = f υ = m/s ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 11 71, 69756063 W.U. 10
t Οι εξισώσεις που περιγράφουν τα δύο κύματα είναι: 1 A 1 0,0 (10t 5) S.I. t A 0,0 (10t 5) S.I. 3. Πως βρίσκουμε την διαφορά φάσης μεταξύ δύο σημείων 1 ος τρόπος : Με απευθείας αντικατάσταση των θέσεων των σημείων Α, Β στην εξίσωση του στάσιμου κύματος και αναόγως τι θα βγει το συνημίτονο θετικό ή αρνητικό βρίσκουμε τη διαφορά φάσης. ος τρόπος : Από την εξίσωση των δεσμών ( κ 1) βρίσκουμε τις θέσεις των δεσμών και μετά εέγ- χουμε αν μεταξύ των σημείων μας υπάρχει περιττός αριθμός δεσμών ή βρίσκονται εκατέρωθεν ενός δεσμού οπότε Δφ = π ενώ αν τα σημεία μας βρίσκονται ανάμεσα σε δύο δεσμούς ή μεταξύ τους παρεμβάεται άρτιος αριθμός δεσμών τότε θα έχουμε Δφ = 0 Παράδειγμα έστω 1 3 5 δεσμοί του στάσιμου κύματος (οι άσπρες κουκίδες) Δφ ΑΒ = 0 Δφ ΑΓ = π Δφ ΑΔ = 0 Δφ ΑΕ = π 1 3 5 Α Β Γ Δ Ε Δφ ΒΓ = π κ.τ... Πως βρίσκουμε την απόσταση κάποιου σημείου από τον κοντινότερο δεσμό ή την κοντινότερη κοιία Αυτό το ερώτημα είναι αρκετά από αφού αρκεί να βρούμε τις θέσεις των κοιιών ή δεσμών ανάογα και μετά να βρούμε την διαφορά του συγκεκριμένου σημείου μας από τον κοντινότερο δεσμό ή κοιία αντίστοιχα. 5. Πως βρίσκουμε την μεταβοή που πρέπει να έχει το μήκος κύματος ώστε ένα σημείο να γίνει η επόμενη κοιία η ο επόμενος δεσμός κ.τ.. Εφαρμογή: Έστω το σημείο Μ είναι ο τρίτος κατά σειρά δεσμός πόσο πρέπει να μεταβηθεί το μήκος κύματος ώστε να γίνει: ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 11 71, 69756063 W.U. 11
α. ο τέταρτος δεσμός β. η επόμενη κοιία. Λύση α. Αφού το σημείο Μ είναι ο τρίτος δεσμός θα απέχει από την αρχή 5 για να γίνει ο τέταρτος δεσμός 1 του νέου στάσιμου κύματος θα πρέπει να ισχύει 7 οπότε: 5 7 1 5 1 7 5 5 β. Για να γίνει η επόμενη κοιία (δηαδή η τέταρτη) θα πρέπει l = άρα 8 6. Πως βρίσκουμε ποια άα ή πόσα άα σημεία τααντώνονται με το ίδιο πάτος με δοσμένο σημείο Για την αντιμετώπιση αυτού του ερωτήματος υπάρχουν δυο τρόποι: 1 ος τρόπος : α. Βρίσκουμε το πάτος του συγκεκριμένου σημείου αν δεν μας το έχουν δώσει από την εξίσωση του κύματος (αν την ξέρουμε) ή από την εξίσωση του πάτους αν ξέρουμε την θέση β. Αυτό που βρήκαμε πιο πάνω το κάνουμε αντικατάσταση στην εξίσωση του πάτους πχ A συν και επειδή όπως βέπουμε στην εξίσωση υπάρχει απόυτη τιμή θα πρέπει να βρούμε σειρές ύσεων, δύο για την θετική τιμή του συνημιτόνου και δύο για την αρνητική τιμή (Τα παραπηρωματικά συνημίτονα έχουν αντίθετες τιμές ). Ή να χρησιμοποιήσουμε τις σχέσεις για τις απόυτες τιμές που αναφέρονται στο τυποόγιο των τααντώσεων. ος τρόπος: Σχεδιάζουμε το στιγμιότυπο του κύματος σε δύο τυχαίες χρονικές στιγμές που η κοιία στη θέση = 0 βρίσκεται στην μέγιστη και την εάχιστη απομάκρυνση = ±A και φέρνουμε μία ευθεία παράηη στον άξονα των θέσεων () στην συγκεκριμένη απομάκρυνση (π.χ. Α 0 Α ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 11 71, 69756063 W.U. 1
= ±A/5) και μετράμε πόσα σημεία τέμνει η ευθεία (η μπε) το στιγμιότυπο του κύματος και έτσι βρίσκουμε πόσα σημεία τααντώνονται με κάποιο συγκεκριμένο πάτος όπως στο παραπάνω σχήμα. Πεονεκτήματα και μειονεκτήματα αυτού του τρόπου α. Μπορούμε να βρούμε πόσα σημεία τααντώνονται με κάποιο συγκεκριμένο πάτος όχι όμως και τις θέσεις τους β. Μπορούμε να βρίσκουμε πόσα σημεία έχουν κάποιο συγκεκριμένο πάτος για πάτη που τριγωνομετρικά είναι αδύνατο να υποογίσουμε χωρίς επιστημονική αριθμομηχανή 7. Ποια είναι η απόσταση μεταξύ δύο σημείων του στάσιμου κύματος Όταν σε ένα εαστικό μέσο έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα τότε δύο σημεία μπορεί να έχουν μεταξύ τους σταθερή απόσταση αά μπορεί και να μεταβάεται μεταξύ δύο τιμών. Για να δούμε πως συμβαίνει αυτό: πρώτη περίπτωση: αν η διαφορά φάσης μεταξύ δύο σημείων είναι μηδέν και τααντώνονται με το ίδιο πάτος τότε η απόσταση τους κατά την διάρκεια της ταάντωσης παραμένει σταθερή και ίση με την οριζόντια απόσταση Α Α Β Γ που έχουν τα δύο σημεία όταν περνάν από την θέση ισορροπίας. Στο σχήμα Α τα σημεία Α και Β έχουν σταθερή οριζόντια απόσταση. Τα σημεία όμως Α και Γ ή Β και Γ παρόο που είναι σε συμφωνία φάσης η απόσταση τους μεταβάεται με την μικρότερη τιμή να την έχει όταν βρίσκονται τα δύο σημεία στη θέση ισορροπίας και την μέγιστη όταν βρίσκονται σε ακραίες θέσεις (δεν θα αναύσουμε την περίπτωση γιατί δεν παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον). δεύτερη περίπτωση: αν η διαφορά φάσης μεταξύ δύο σημείων είναι π και αυτά είναι κοιίες ή μια κοιία και ένας δεσμός τότε η απόσταση Α Β Γ παίρνει τιμές N +1 d N +1 + (A) για δύο κοιίες Α Α (όπου Ν ο αριθμός των κοιιών που παρεμβάονται ανάμεσα στα δύο σημεία. π.χ. αν έχουμε δύο διαδοχικές ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 11 71, 69756063 W.U. 13
κοιίες τότε Ν = 0) και d + A για κοιία και δεσμό (όπου Ν ο αριθμός των κοιιών που παρεμβάονται ανάμεσα στα δύο σημεία). Να θυμίσουμε ότι δεν έχει νόημα να μιάμε για διαφορά φάσης ανάμεσα σε δεσμό και κοιία ή οτιδήποτε άο. Εφαρμογή: Η απόσταση ανάμεσα στα σημεία Α και Β του σχήματος παίρνει τιμές 6 cm d 10 cm. Να βρεθεί το μήκος κύματος και το πά- Α Β Γ τος των κυμάτων που δημιούργησαν το στάσιμο κύμα. Λύση: Αφού το σημείο Α είναι δεσμός και το Β κοιία η εάχιστη τους Α Α απόσταση θα είναι / (όταν το Β περνά από τη θέση ισορροπίας του). Άρα 6cm cm (θέσαμε Ν = 0 αφού ανάμεσα στο Α και το Β "παρεμβάονται μηδέν" κοιίες). Η μέγιστη απόσταση (όταν το Β βρίσκεται σε ακραία θέση) θα είναι: A 10 36 A 100 A cm. 8. Το στιγμιότυπο του στάσιμου κύματος Το στιγμιότυπο του στάσιμου κύματος διακρίνεται σε φάσεις που απέχουν χρονικά και επανααμβάνεται κυκικά σε κάθε περίοδο Τ. Βέβαια μπορεί να μας ζητηθεί να κατασκευάσουμε το κύμα και κάποια άη χρονική στιγμή (αν και κάπως απίθανο) εκτός των στιγμών 3,,,T δεν υπάρχει κάποια ουσιαστική διαφορά απώς οι άες κυματομορφές θα έχουν μικρότερο πάτος, όπως στα παρακάτω σχήματα. ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 11 71, 69756063 W.U. 1
t 0 t 0 + T Σχήμα 1 Σχήμα t 0 + T 3T t 0 + Σχήμα 3 Σχήμα Για να κατασκευάσουμε το στιγμιότυπο του κύματος ακοουθούμε τα εξής βήματα i. Βρίσκουμε τις θέσεις των δεσμών ( κ 1) ii. Αντικαθιστούμε την χρονική στιγμή t o (που μας ζητείται το στιγμιότυπο) στην εξίσωση του στάσιμου κύματος και παίρνουμε την εξίσωση = f() ή = 0 στην περίπτωση που δεν μας βγει = 0 ( όα τα σημεία στη θέση ισορροπίας ) δίνουμε τιμές στο και σχεδιάζουμε το στιγμιότυπο του στάσιμου κύματος (κατάηες τιμές = 0 και = / ) και όπως φαίνεται από τα σχήματα έχουμε διαφορετικές εικόνες Τα παραπάνω στιγμιότυπα αναφέρονται σε κάποια χρονική στιγμή t o που έχουν = +A Όπως βέπουμε στα σχήματα και όα τα σημεία του στάσιμου κύματος έχουν μηδενική απομάκρυνση γι αυτό σχεδιάζουμε τα βεάκια που μας δείχνουν την κατεύθυνση που θα κινηθούν τα σημεία την επόμενη χρονική στιγμή (Προφανώς τα βεάκια δεν θα έχουν το ίδιο μήκος γιατί όα τα σημεία δεν έχουν το ίδιο μέτρο στην ταχύτητα τους. Άωστε στο στάσιμο κύμα όα τα σημεία του εαστικού μέσου παίρνουν ταυτόχρονα την μέγιστη (κατ απόυτη τιμή ) και εάχιστη απομάκρυνση και για να συμβεί αυτό (αφού έχουν διαφορετικές αποστάσεις να διανύσουν) θα πρέπει να έχουν διαφορετικές ταχύτητες ) ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 11 71, 69756063 W.U. 15
9. Η διατήρηση της ενέργειας Η ενέργεια ενός σωματιδίου του μέσου διάδοσης στο οποίο σχηματίζεται στάσιμο κύματα διατηρείται σταθερή κατά την ταάντωση του. Ισχύει η αρχή διατήρησης της ενέργειας: 1 1 1 E K U D m D 10. Σχηματισμός στάσιμου κύματος κατά μήκος εαστικής χορδής, το ένα άκρο της οποίας είναι δεμένο σε σταθερό σημείο Στάσιμο κύμα σχηματίζεται κατά μήκος της χορδής όταν το μήκος d της χορ- δής και το μήκος κύματος των κυμάτων που συμβάουν συνδέονται με τη σχέση: d (k 1) όπου k ο αριθμός των σημείων που παραμένουν συνεχώς ακίνητα ή ο αριθμός των κοιιών, / η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών ακίνητων σημείων και / η απόσταση του εεύθερου άκρου της χορδής (κοιία) από τον πησιέστερο σε αυτή δεσμό. 11. Σχηματισμός στάσιμου κύματος κατά μήκος εαστικής χορδής, τα δύο άκρα της οποίας είναι δεμένα σε σταθερά σημεία Στάσιμο κύμα σχηματίζεται κατά μήκος της χορδής όταν το μήκος d της χορδής και το μήκος κύματος των κυμάτων που συμβάουν συνδέονται με τη σχέση: d (k 1) όπου k ο αριθμός των σημείων που παραμένουν συνεχώς ακίνητα και / η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών ακίνητων σημείων, ή d k όπου k ο αριθμός των κοιιών. ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 11 71, 69756063 W.U. 16
1. Το πάτος ταάντωσης των σημείων της χορδής α. Στον τύπο υποογισμού του πάτους ταάντωσης των σημείων της χορδής A το είναι η θέση του σημείου κατά μήκος του άξονα Ο και είναι > 0 για σημεία του θετικού ημιάξονα και < 0 για σημεία του αρνητικού ημιάξονα. β. Για να εξετάσουμε αν ένα σημείο του εαστικού μέσου στο οποίο σχηματίζεται στάσιμο κύμα είναι κοιία ή δεσμός του στάσιμου κύματος, μπορούμε να εργαστούμε με δύο τρόπους: 1 ος τρόπος: Αντικαθιστούμε τη θέση του σημείου κατά μήκος του άξονα O ( > 0 για σημεία του θετικού ημιάξονα και < 0 για σημεία του αρνητικού ημιάξονα) είτε στη σχέση k (για να εξετάσουμε αν είναι κοιία) είτε στη σχέση (k 1) (για να εξετάσουμε αν είναι δεσμός). Αν είναι κοιία ή δεσμός θα προκύπτει ακέραιος αριθμός k (k > 0 για σημεία του θετικού ημιάξονα και k < 0 για σημεία του αρνητικού ημιάξονα). Αν το k δεν προκύψει ακέραιος από καμία από τις δύο σχέσεις, συμπεραίνουμε ότι το σημείο τααντώνεται με πάτος 0 < Α < Α. ος τρόπος: Αντικαθιστούμε την τετμημένη του σημείου στον τύπο υποογισμού του πάτους A. Αν προκύψει Α' = Α το σημείο είναι κοιία, ενώ αν προκύψει Α' = 0 είναι δεσμός. 13. Η μέγιστη ταχύτητα ταάντωσης κάθε σημείου της χορδής υποογίζεται από τη σχέση: ma A. ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 11 71, 69756063 W.U. 17