فصل 3 نیرو و ایستایی هدف کلی تحلیل نیروها در حالت های ایستا 40
. هدف های رفتاری هنرجو پس از آموزش این فصل قادر خواهد بود: 1 نیرو را تعریف کند. 2 شرایط ایستایی را توصیف کند. 3 تفاوت قاب و خرپا را توضیح دهد. 4 معادالت یک سامانه ایستا را حل کند. ١ ٣ نیرو در کتابهای فیزیک سال اول و دوم با مبحث نیرو و قوانین نیوتن آشنا شدید. نیرو یکی از معدود کمیتهایی است که ما میتوانیم به کمک حواس پنجگانه آن را حس کنیم. در تعریف نیرو گفتهاند کشش یا فشاری است که در دستان خود موقع حمل یک بار حس میکنیم. نیرو یک بردار است و خواص برداری آن مشهود است. فرض کنید نیروی F 1 برابر 1 نیوتن و F 2 برابر 2 نیوتن را به یک نیرو سنج وارد کنیم. اگر هر بار یکی را وارد کنیم نیروسنج همان مقدار را نشان میدهد و اگر هر دور را همزمان با هم و در جهت نیروسنج وارد کنیم این بار نیروسنج جمع بزرگی دو نیرو را نشان میدهد. در آزمایش بعدی اگر نیروی F 1 را عمودی و F 2 را افقی وارد کنیم میبینیم که نیرو سنج زاویه میگیرد و مقداری که نشان میدهد برابر بزرگی برآیند برداری دو نیرو است )شکل 1 3 ) یعنی: 2 2 F = F1 + F 2 = 1+ 4 = 2/ 24 N شکل ١ ٣ نیرو یک بردار است. 41
میدانیم که تا بر جسمی نیرو وارد نشود بردار سرعت آن جسم تغییر نخواهد کرد این موضوع را قانون اول نیوتن مینامند. /V t باشد به این معنی است که حرکت آن اگر بردار سرعت یک جسم تغییر کند یعنی 0 جسم شتابدار است. قانون دوم نیوتن میگوید که مقدار شتابی که یک جسم میگیرد (t a) /V = با نیروی وارد بر آن جسم رابطه مستقیم و با جرم آن رابطه عکس دارد یعنی. a = F/m هرچه جرم جسم بیشتر باشد لختتر است و در برابر شتاب گرفتن مقاومت بیشتری از خود نشان میدهد. حال اگر تعداد زیادی نیرو بر یک جسم وارد شود چه اتفاقی میافتد جسم به اندازه برآیند بردار نیروهای وارد شده شتاب خواهد گرفت. وقتی روی یک قایق سعی کنیم فرد دیگری از یک قایق دیگر را به سمت خود بکشیم )یا هل دهیم( هر دو قایق به هم نزدیک )یا دور( میشوند. قانون سوم نیوتن این پدیده را توجیه میکند. این قانون میگوید هر نیرویی که جسم 1 به جسم 2 وارد کند به همان میزان ولی در خالف جهت جسم 2 به جسم 1 وارد میکند )شکل 2 3 (. شکل 2 3 الف نیرویی که بین میخ و چکش است. شکل 2 3 ب قانون سوم را در تیراندازی توضیح دهید. یادآوری جرم جسم با وزن آن دو تعریف جداگانه دارند. جرم به محیط وابسته نیست و برای یک جسم کامال یکتا است. اما وزن برای یک جسم روی کرات مختلف آسمانی مقادیر مختلفی دارد و حتی روی کره زمین متغیر است. 42
حال میتوانیم از این قوانین در بحثهای این کتاب استفاده کنیم. فعالیت کالسی 1 آیا اگر جسمی در حال سکون باشد به این معنی است که نیرویی برآن وارد نمیشود با ذکر مثال توضیح دهید. یک شناور که با سرعت ثابت در حال حرکت در آب است چطور اگر این جسم یک ذره معلق در هوا باشد چطور 1 1 3 حل مسائل حرکت شناسی و ایستایی به کمک قوانین نیوتن: برای حل مسائل دینامیک و ایستایی به کمک قوانین نیوتن باید موارد زیر را به خوبی اجرا کنید: ١ رسم شکل مناسب ٢ پیدا کردن تمام نیروهای وارد بر جسم مورد تحلیل ٣ رسم نمودار جسم آزاد ٤ نوشتن معادالت نیرو و شتاب )قانون دوم( ترجیحا در راستای x و y بهطور مجزا. در انجام مراحل باال نیز نکاتی را نباید فراموش کرد. برخی از این نکات در زیر فهرست شده است: فقط جایی نیرو وجود دارد که حداقل دو جسم وجود دارد. یعنی اگر نیرویی بر جسمی وارد شد حتما جسم دومی وجود دارد و در غیر این صورت نیرویی که در نظر گرفتهاید اشتباه است. نیروهای کنش و واکنش همزمان وجود دارند ولی از آنجایی که این نیروها به 2 جسم مختلف وارد میشوند همدیگر را خنثی نمیکنند. برای بررسی حرکت یا حرکت نکردن یک جسم باید همه نیروهای وارد بر آن جسم را به حساب بیاوریم. به فعالیت کالسی 1 مراجعه کنید. 2 1 3 رسم نمودار جسم آزاد: برای اینکه بتوان تمام نیروهای وارد بر جسم را بهخوبی از هم تفکیک کرد و برآیند آنها را محاسبه کرد الزم است که این نیروها در شکلی کامال از هم تفکیک شده رسم شوند. به این شکل»نمودار جسم آزاد«میگویند. در نمودار جسم آزاد فقط جسم مورد نظر را رسم میکنند و سایر اجسام حذف میشوند و فقط اثر نیرویی آنها در شکل باقی میماند. به شکل 3 3 توجه کنید. 43
در شکل 3 3 الف نیروهای بین پنکه میز و کره زمین رسم شده است. F g نیروی جاذبه بین زمین و پنکه است و n نیروی عکس العمل سطح است که میز به پنکه وارد میکند. نیروهای قانون سوم F نیرویی است که پنکه به کره زمین وارد میکند و n نیز نیز با عالمت پریم مشخص شده اند. یعنی g نیروی عکس العمل سطح است که جسم به میز وارد میکند. در شکل 3 3 ب جسمهای غیر از پنکه حذف شدهاند و فقط اثر آنها باقی مانده است. به این رسم نمودار جسم آزاد میگویند. یعنی مثال میز که پنکه را در موقعیتش نگه میداشته و در واقع آن را به باال هل میداده با یک نیروی عکس العمل سطح جایگزین شده است. + n n F g n F g شکل 3 3 الف نیروهای وارده برپنکه میز و کره زمین شکل 3 3 ب نمودار جسم آزاد )پنکه( میدانیم که پنکه در جایش ایستاده است. پس ایستا است. طبق قانونهای اول و دوم نیوتن باید برآیند نیروهای وارد بر این جسم صفر باشد. پس داریم: n - F g = 0 n = F g مثال 1: یک جعبه توسط یک طناب روی زمین کشیده میشود. مقدار اصطکاک چقدر باشد تا جسم ساکن بماند حل: ابتدا شکل و سپس نمودار آزاد جعبه را رسم میکنیم. از آنجا که جسم ساکن است باید در هر دو جهت عمودی و افقی برآیند نیروهای وارد بر آن صفر شود. F g 44
n y x T F s F g شکل 4 3 الف فردی سعی دارد جعبه را بکشد! شکل 4 3 ب نمودار جسم آزاد )جعبه( در شکل 4 3 T نیروی طناب و F s نیروی اصطکاک ایستایی است که از طرف زمین بر جعبه وارد میشود. حال معادالت سامانه را بهطور مجزا و در جهتهای x و y که در شکل فرض کردهایم مینویسیم. x: T - F s = ma x = 0 T = F s y: n - F g = ma y = 0 n = F g که در آن g شتاب در راستای x و g شتاب در راستای y است.پس میبینیم تا زمانی که جعبه y x به حرکت در نیامده نیروی اصطکاک ایستایی دقیقا برابر نیرویی است که ما بر جعبه وارد میکنیم. 3 1 3 گشتاور: همانطورکه در فیزیک سال گذشته خواندهاید به اثر گرداننده نیرو گشتاور میگوییم. وقتی نیرو در خارج از تکیهگاه یا خارج از مرکز جرم جسم به آن وارد میشود اثر گشتاوری خود را نشان میدهد. گشتاور میتواند مانند نیرو موجب تغییر شکل و یا به حرکت در آمدن یک جسم شود. قوانین نیوتن با کمی تفاوت برای گشتاور نیز کاربرد دارد. قانون اول به همان شکل است. یعنی تا بردار سرعت جسمی تغییر نکند گشتاوری برآن وارد نشده یا برآیند گشتاورهای وارد برآن صفر است. قانون دوم نیز در فصل 4 توضیح داده شده است. اما در مورد قانون سوم نمیتوان به همان شکل استناد کرد زیرا در واقع گشتاور ناشی از یک نیرو و یک بازو است. پس ممکن است عکسالعمل آن به دلیل متفاوت بودن بازو و نیرویی یکسان به گشتاوری متفاوت منجر شود. گشتاور وارد بر یک جسم از طریق ضرب خارجی بازو در نیرو بهدست میآید. گشتاور یک بردار است که بزرگی آن از رابطه ) 1 3 ( که بر اساس متغیرهای شکل 5 3 نوشته شده بهدست آمده و جهت آن از قانون دست راست بهدست میآید. 45
شکل ٥ ٣ نیروی خارج از مرکز گشتاور ایجاد می کند. همانطور که گفته شد برای محاسبه مقدار گشتاور از ضرب خارجی استفاده میکنیم. البته میتوان همانند شکل 5 3 امتداد خط اثر نیرو را رسم کرد و سپس از نقطهای که میخواهیم گشتاور را حول آن حساب کنیم خطی فرضی برآن عمود کنیم. طول پاره خط برابر d است. مقدار d از روابط مثلثاتی برابر r.cos(θ) خواهد بود. همچنین میتوان مؤلفه عمود بردار نیرو را بر بردار بازو پیدا کرد. این مؤلفه عمودی برابر F.sin(θ) است. هر 3 روش در واقع به یک رابطه ختم میشود: τ = r F τ= rf.sin( θ ) ) 1 3 ) که در این رابطه t بردار گشتاور را نشان میدهد. واحد گشتاور از رابطه باال برابر میشود با نیوتن در متر یا به اختصار نیوتن متر )N.m( و باوجود شباهت رابطه به رابطه کار و انرژی این واحد با ژول متفاوت است و واحدی مستقل است. قانون دست راست: هرگاه انگشتان دست راست را ابتدا در جهت بازوی گشتاور نگهدارید و سپس به سمت نیرو مشت کنید انگشت شست شما جهت بردار گشتاور را نشان میدهد. )این روش در ضربهای خارجی برداری کاربرد دارد(. در اینجا برای سادهسازی از حالت ضرب خارجی برداری برای بیان گشتاور اجتناب شده است )شکل ٦ ٣ (. شکل ٦ ٣ قانون دست راست 46
گشتاور جفت نیرو: هنگامی که دو نیرو که از نظر اندازه با هم برابرند ولی در خالف جهت هم هستند و خط اثری متفاوت دارند همزمان بر یک جسم وارد شوند باعث ایجاد گشتاور جفت نیرو میشوند و باعث جابه جایی یا شتاب گرفتن خطی جسم نخواهند شد. پره یک قایق را که در شکل ٧ 3 آمده است فرض کنید. 1 1 شکل ٧ ٣ جفت نیروی وارد بر یک پروانه قایق اگر برآیند این نیروها صفر نبود باعث میشد که قایق به یک طرف )سمت یکی از نیروها( کشیده شود. اما میبینیم که این نیروها فقط باعث دوران جسم میشوند )در اینجا این نیروها باعث ثابت ماندن سرعت دورانی جسم میشوند(. پس برآیند نیروهای وارده صفر است ولی گشتاور از رابطه ) 2 3 ( بهدست میآید. ) 2 3 ) 1 τ = d.f مثال 2: در اطالعات فنی مونتاژ یک سرسیلندر نوشته شده است که پیچهای آن باید با گشتاور 120 نیوتنمتر سفت شوند. برای اینکار از یک آچار ترکمتر 1 به طول بازوی 80 سانتیمتر استفاده میشود. با فرض اینکه نیروی دست عمود بر دسته آچار وارد شود نیرویی که ما باید بر آچار وارد کنیم را بیابید حل: از آنجا که نیرو به صورت عمود وارد شده است مسئله به راحتی قابل حل است. داریم: θ = 90 º و r = 0/8 m τ = ١٢٠N.m F= τ = 120 = 150 N پس از رابطه 1 3 خواهیم داشت: r.sin( θ) 08 / 47 Torque meter ١
2 3 ایستایی هرگاه جسمی با وجود تمام نیروها و گشتاورهای وارده ثابت باشد به آن ایستا میگوییم و محدوده حل مسئله آن را نیز مسئله ایستایی مینامیم. در این حالت طبق قانون دوم نیوتن برآیند نیروها و گشتاورهای وارد بر جسم صفر است یعنی: F = 0 ) 3 3 ( τ= 0 ) 4 3 ) رابطه ) 3 3 ( برای حالت برداری نیرو نوشته شده است برای حل راحتتر مسائل این رابطه را به مؤلفههای اصلی تجزیه میکنیم. رابطه ) 5 3 ( شکل مؤلفهای این رابطه را برای مسائل 2 بعدی نشان میدهد. و ) 5 3 ) F x = 0 F y = 0 فراموش نکنید که رابطه ) 4 3 ( نیز در مورد یک نقطه خاص نوشته میشود. معموال برای اینکار یکی از تکیهگاهها یا مرکز جرم جسم را در نظر میگیرند. یادآوری دقت داشته باشید که اگر جسمی با سرعت ثابت و نیز در حرکت باشند برآیند نیروها و گشتاورهای وارد بر آن صفر است. 1 2 3 انواع تکیهگاه: برای اینکه یک سازه تحت تأثیر نیروهای خارجی یا وزن خود حرکت نکند باید توسط قیدهایی به محیط )زمین یا هر جسم دیگر( متصل شود. به این قیدها تکیهگاه 1 میگویند. تکیهگاهها بر حسب قیدی که در مقابل حرکت به وجود میآورند به انواع مختلفی دستهبندی میشوند. در ادامه سه نمونه از معروفترین و کاربردیترین آنها فهرست شده است. تکیهگاه مفصلی ثابت )لوالیی(: تکیهگاه مفصلی ثابت یا تکیهگاه لوالیی 2 نوعی از تکیهگاهاست که از تغییر مکان نقطه تکیهگاهی )در فضا و یا در صفحه( جلوگیری به عمل میآورد ولی هیچ گونه مقاومتی در برابر دوران سازه حول محورهای تکیهگاه ندارد. بنابراین چنانچه سازهای به این نوع تکیهگاه متکی باشد در مقابل چرخش آن حول محورهای پایه هیچ گونه گشتاور واکنشی ایجاد نمیشود و به علت محدود شدن دو امتداد حرکت در صفحه درحالت کلی دو مؤلفه واکنش تکیهگاهی Support ١ Hinged Support 2 48
این نماد الف 3 8 است.شکل تکیهگاه این از نمونه یک در لوالی میشود. ایجاد صفحه در میدهد. نشان را تکیهگاه عکسالعمل آزاد نمودار ب 3 8 شکل و تکیهگاه A x A y لوالیی تکیهگاه الف 3 ٨ شکل لوالیی تکیهگاه آزاد نمودار ب 3 ٨ شکل شبیه کامال 2 متحرک مفصلی تکیهگاه یا 1 غلتکی تکیهگاه )غلتکی(: متحرک مفصلی تکیهگاه همان آزادی درجه این دارد. بیشتری آزادی درجه آن به نسبت که تفاوت این با است لوالیی تکیهگاه حرکت امتداد یک تنها تکیهگاهها نوع این در واقع در غلتکهاست. حرکت امتداد در پایه حرکت آن در پایه حرکت از که است امتدادی در شده ایجاد تکیهگاهی واکنش نتیجه در و میشود محدود زا که تکیهگاهاست حرکت قابل امتداد بر عمود تکیهگاهی واکنش این شدهاست. جلوگیری امتداد تکیهگاه به شبیه چیزی میگذارید میز لبه روی را خطکش انتهای یک وقتی میگذرد. هم مفصل مرکز عکسالعمل آزاد نمودار ب ٩ 3 شکل و تکیهگاه این نماد الف ٩ 3 شکل میشود. تشکیل غلتکی میدهد. نشان را تکیهگاه ١ Roller Support غلتکی تکیهگاه الف ٩ 3 شکل غلتکی تکیهگاه آزاد نمودار ب ٩ 3 شکل ٢ Movable Support 49
تکیه گاه گیردار 1 )طره ای(: تکیهگاه گیردار از حرکت نقطه تکیهگاهی در امتداد محورهای x و y و همچنین از دوران جسم حول نقطه تکیهگاهی جلوگیری میکند. بنابر این سه مؤلفه واکنش تکیهگاهی در این نوع تکیهگاه ایجاد میشود. اگر جسمی فقط یک تکیهگاه گیردار داشته باشد کامال پایدار خواهد بود. برای مثال از این نوع تکیهگاه میتوان به میله پرچم در پایه آن اشاره کرد. شکل 10 3 الف نماد این تکیهگاه و شکل 10 3 ب نمودار آزاد عکسالعمل تکیهگاه را نشان میدهد. شکل 10 3 الف تکیهگاه طرهای شکل 10 3 ب نمودار آزاد تکیهگاه طرهای 2 2 3 حل مسائل ایستایی جسم صلب: حل مسائل استاتیکی با دانستن معادالت ) 3 3 ( الی ) 5 3 ( دانستههای بند 1 1 3 و بند 2 1 3 و آشنا شدن با نمودار آزاد انواع تکیهگاه بسیار ساده خواهد بود. مثال 3: از یک تیرآهن به جرم 200 کیلوگرم برای برقراری ارتباط بین دو ساحل رودخانه به فاصله 6 متر استفاده میکنند. یک شکارچی که به همراه شکار و ادوات شکارش 120 کیلوگرم جرم دارد در حال عبور از این پل است )شکل ١1 ٣ (. وقتی که شکارچی به مرکز پل می رسد عکس العمل تکیهگاهها را محاسبه کنید. تکیهگاه سمت راست از نوع مفصلی و سمت چپ از نوع غلتکی است. شکل 11 3 یک پل ساخته شده از تیرآهن Fixed Support 1 50
حل: باید نمودار آزاد همه اجسام داده شده در شکل رسم شود. شکارچی را جرم شماره 1 و تیرآهن را جرم شماره 2 مینامیم. n 12 B x A y m g 2 B y شکل ١٢ ٣ الف نمودار آزاد شکارچی شکل 12 3 ب نمودار آزاد تیرآهن )پل( نمودار آزاد شکارچی در شکل 12 3 الف رسم شده است میبینیم که تنها نیروهای موجود فقط در راستای عمودی هستند. پس معادله ایستایی را برای این جسم مینویسیم: F = 0 n mg= 0 n = mg= 120 10 n = 1200N y 21 1 21 1 21 حال معادالت تعادل را برای تیر مینویسیم فراموش نکنیم که n: 12 = n 21 F A B n mg A B n mg y = 0 y + y 12 2 = 0 y + y = 12 + 2 A y + B y = 1200 + 2000 = 3200N معادله (I) Fx = 0 Bx = 0 برای محاسبه تعادل گشتاوری ابتدا نقطهای را در نظر میگیریم و گشتاور نیروها حول آن را محاسبه میکنیم در اینجا نقطه A را انتخاب کردهایم: τ A = 0 By AB n12 AC m2g AC معادله = 0 (II) حال دو معادله داریم و دو مجهول. نیروهای تکیهگاهها مجهولاند و معادله )I( و )II( معادالتی که برای یافتن مجهوالت به آنها نیاز داریم. (II) 6By = 3 3200 By معادله = 9600 = 1600N 6 با جایگذاری B y در معادله )I( مقدار نیروی عکس العمل تکیهگاه دوم نیز به دست میآید. A y = 3200 - B y = 1600N 51
البته شاید پاسخ این مسئله از ابتدا هم مشخص بود اما مهم این بود که شما روش حل را بیاموزید. حال به سراغ فعالیت 1 3 بروید و آموزههای خود را محک بزنید. فعالیت 3-1 در مثال قبل فرض کنید شکارچی در 1 متری تکیهگاه A باشد. حال نیروهای تکیهگاهی را بیابید. مسائل خاص: در برخی مسائل خاص ممکن است نیروها هم رأس باشند )یعنی امتدادشان از یک نقطه عبور کند( این اتفاق بیشتر در مورد سازههایی که از طناب ساخته شدهاند رخ میدهد. وقتی که نیروها هم رأس باشند طبعا برآیند گشتاور آنها صفر است. زیرا با گشتاور گیری حول نقطه تقاطع این نیروها مقدار بازوی گشتاور همه آنها صفر خواهد بود و در نتیجه گشتاور نیز برابر صفر خواهد شد. از طرفی به دلیل حالت هندسی خاص دیگر نیازی به تجزیه نیروها به مؤلفههایشان نخواهد بود. بلکه میتوان از روشهایی مثل قانون سینوسها استفاده کرد. مثال بعدی به خوبی این قضیه را نشان می دهد. البته برای استفاده از این روشها شرط ایستایی یا تعادل سامانه الزامی است. مثال 4: یک چراغ راهنمایی به وزن 100 نیوتن مطابق شکل ١3 ٣ الف به کمک دو طناب آویزان شده است. نیروی کشش طنابها رابیابید. y T 2 3 T 1 37. 0 º 53 º. 0 º 0 37 0 53 x T 3 شکل 13 3 الف چراغ راهنمایی که به کمک 3 طناب معلق شده است. شکل 13 3 ب نمودار آزاد چراغ راهنمایی شکل 13 3 پ نمودار آزاد گره اتصال 3 طناب 52
حل اول: روش نوشتن معادالت تعادل را پی میگیریم. ابتدا نمودار آزاد اجسام را مطابق شکل ١٣ ٣ ب و ١٣ ٣ پ رسم میکنیم. سپس معادالت تعادل را از نمودار آزاد استخراج میکنیم. از آنجا که برای اینکار نیاز به مؤلفههای نیروی طنابها داریم باید بردارهای نیروی T 1 و T 2 را تجزیه کنیم. T 3 در راستای محور عمودی است و با توجه به شکل ١٣ ٣ ب به سادگی در مییابیم که برابر F g یا وزن چراغ راهنمایی خواهد بود. F = 0 T.sin( 37 ) + T.sin( 53 ) T = 0 0 / 6 T + 0 / 8 T 100= 0 )I( y 1 2 3 1 2 = 0 37 + 53 = 0 0 8 + 0 6 = 0 F x T 1.cos( ) T 2.sin( ) / T 1 / T 2 T = 06 / T = 0/ 75T 08 / 1 2 2 )II( با استفاده از معادله )II( داریم: با جایگذاری این معادله در معادله )I( خواهیم داشت: 0/6 * 0/75T 2 + 0/8T 2-100 = 0 T 2 = 80N و T 1 = 0/75 * 80 = 60N حل دوم: استفاده از روش سینوسها در حل به جای مؤلفهگیری: زاویه بین دوبردار T 1 و T 2 برابر 90 درجه است زاویه بین T 1 و T 3 53 درجه است و زاویه بین Tو 3 T 2 برابر 37 درجه است. T1 با نوشتن قاعده سینوسها داریم: T 3 53 T 2 T3 T1 = sin90 sin37 مشهود است که با حل معادله باال همان پاسخها بهدست میآید. اما خیلی سریعتر و سادهتر. 3 2 3 خرپا: در هندسه سالهای پیش میخواندیم اگر بین دو مثلث سه متغیر با هم برابر باشند هر دو مثلث با هم برابرند و مثال اگر 2 مثلث سه ضلع یک به یک برابر داشته باشند میگفتیم مثلثها به حالت سه ضلع با هم برابرند. اما در دو چهار ضلعی با داشتن چهار متغیر مثال طول چهار ضلع نمیتوانستیم بگوییم این ا شکال برابرند. حال اگر به کمک 3 میله که در انتها به هم لوال )مفصل( شدهاند یک سازه بسازیم مثلثی تشکیل خواهند داد که این مثلث از نظر هندسی یکتا است. یعنی با اعمال نیروی خارجی به مثلث دیگری تبدیل نخواهد شد. به این مثلث پایدار خرپا می گوییم. خرپا سازهای صلب از واحدهای مثلثی شکل است که از اتصال اجزای باریک و بلند ساخته شده است. خرپاها توانایی تحمل نیروهای کششی و فشاری را دارند.
خرپاها از جمله سادهترین اعضای باربر سازهها هستند که در کل بهصورت اعضای خمشی عمل نموده و در سقفها پلها و سازههای هوا و فضا مورد استفاده قرار میگیرند. در این گونه سازهها به علت نبودن نیروی برشی و لنگر خمشی در تک تک اعضای متشکله مثلثها اتصاالت باید به صورت مفصلی در نظر گرفته شود. خرپا بر حسب تعریف از مجموعهای از اعضایی به وجود میآید که همگی در یک صفحه قرار دارند و ترکیب آنها یک شبکه مثلثی ایجاد می نماید. چون در خرپاها فرض میشود که اعضا در انتهای خود به اعضای دیگر لوال شدهاند بنابراین شکل مثلثی تنها شکل پایدار خواهد بود. به شکل ١٤ ٣ نگاه کنید. می بینید که اضالع متوازی االضالع و مستطیل دو به دو با هم برابرند ولی شکل ها یکسان نیستند. اما مثلث ها کامال با هم برابرند. شکل ١٤ ٣ دو مثلث با سه ضلع برابر با هم برابرند اما دو چهارضلعی خیر! در شکل 15 3 پل بزرگ کارون آمده است. این پل که تماما توسط مهندسان ایرانی طراحی و اجرا شده است در قوس زیرین خود دارای تعداد زیادی خرپا است. به دلیل اینکه در خرپاها میلهها )یا لینکها( فقط در دو انتهای آن به صورت مفصلی با هم در ارتباط هستند اعضای آنها فقط میتوانند تحت کشش یا فشار قرار گیرند. به این اعضا عضو دو نیرویی میگویند. شکل ١٥ ٣ پل بزرگ کارون در جنوب کشور قوس زیرین آن از خرپا ساخته شده است. 54
فشار) Compression (: نیرویی که تمایل دارد عضو تحت اثرش را فشرده یا کوتاه کند )شکل 16 3 (. کشش :)Tension( نیرویی که تمایل دارد عضو تحت اثرش را طویل یا گسترده کند. کشش فشار شکل ١٦ ٣ تعریف کشش و فشار 4 2 3 پایداری سازه: با اجرای یک آزمون بسیار ساده میتوان فهمید که یک سازه خرپا است یا خیر. خرپا بودن به معنی پایدار بودن سازه است. رابطه ) 6 3 ( میتواند تعداد مجهوالت را در یک سازه تعیین کند. ) 6 3 ) R K = 2J - که در آن K= تعداد مجهوالت J= تعداد مفاصل M= تعداد اعضا )تعداد اضالع مثلث( = 3 R حال با توجه به شرایط زیر پایداری و قابل حل بودن سازه مشخص میشود: اگر M = K باشد سازه خرپا است یعنی پایدار و قابل حل است. اگر M < K باشد سازه نه پایدار است نه قابل حل. اگر M > K باشد سازه پایدار است اما معادالت آن قابل حل نیست. 55
مثال 5: تعیین کنید که آیا شکل 17 3 خرپا است یا خیر شکل ١٧ ٣ یک سازه با 15 عضو حل: 9=J و 15=M است پس = 15 3 (9) 2 = K با توجه به شرایط ذکر شده سازه خرپا است )پایدار و قابل حل است.(. حل خرپا: برای حل معادالت یک خرپا پس از اینکه بررسی کردیم و متوجه خرپا بودن آن شدیم کافی است معادالت تعادل را یکبار برای کل و یکبار برای تک تک مفاصل بنویسیم. در مثال زیر با این روش آشنا می شوید. دقت کنید که در نوشتن معادالت برای یک مفصل نیازی به نوشتن معادالت مربوط به گشتاور نیست زیرا همه نیروها از یک نقطه میگذرند. مثال 6: آیا سازه زیر خرپا است نیروهای وارد بر اعضا کششی یا فشاری بودن آنها و عکسالعمل تکیهگاه را بیابید. 2000N y D x 7m A θ 12m B C حل: با توجه به تقارن داریم: Ay = Cy = 1000N و به سمت مثبت محور y معادله تعادل را برای نقطه A مینویسیم: 1 7 θ= tan = 30/ 3 12 θ AD F = 0 ADsin 30/ 3 + 1000= 0 AD = 1985N y F ADcos x = 0 30 + AB = 0 AB = 1714N 3 1000 N AB 56
اشتباه شکل در را نیرو این جهت که میگیریم نتیجه شد منفی AD نیروی مقدار اینکه از است کششی نیروی همان AB نیروی اما است. فشاری بلکه نیست کششی نیرو این یعنی گرفتهایم. مه BC نیروی. بود خواهد AD نیروی برابر DC نیروی تقارن بهدلیل زدهایم. حدس ابتدا از که.AB نیروی برابر عمود راستای نیروی تنها زیرا است DB 0= که میشویم متوجه هم B نقطه در معادله نوشتن با است. صفر هردو افقی و عمودی نیروهای برآیند و است DB نیروی برگزار ماکارونی سازههای عنوان با مسابقاتی جهان و ایران سراسر در ساله هر و ساخته قوانین طبق را ماکارونی سازه یک کننده شرکت هر مسابقات این در شود. می بیشتری بار بودن سبکتر حین در که سازههایی معموال میدهد. قرار بارگذاری تحت شد. خواهند برنده کنند تحمل را روشی به واقعی خرپاهای و سازهها شبیهسازی مسابقات این برگزاری از هدف رد دانشجویان و دانشآموزان فنی دانش آن بر عالوه است. بهصرفه مقرون و ارزان میخورد. محک مصالح ومقاومت ایستایی به مربوط مسائل با رابطه بدانیم بیشتر بسازیم ماکارونی سازه چگونه پل یک میخواهید کنید فرض کنیم. تعریف مسابقه یک که است خوب ابتدا بار یک که است قرار و است متر سانتی 30 پل این دهانه بسازید ماکارونی جنس از آن ارتفاع و کند تجاوز سانتیمتر 10 از نمیتواند پل عرض کند. تحمل را کیلوگرمی 2 باشد. بیشتر سانتیمتر 20 از نباید نیز طراحی: اولیۀ نکات حداقل که بسازید شکلی به را پل باید شما است سانتیمتر 30 دهانه که وقتی بگیرد. قرار تکیهگاه روی خوبی به تا باشد سانتیمتر 30 از بیشتر آن طول کند. هدایت تکیهگاه سمت به و گرفته وسط از را بار که باشد طوری باید پل نقشه خرپا قسمت یک که یعنی مربع وجود باشد. خرپا شکل به باید قسمتها همه نیست. 57
بدانیم بیشتر ضخیم ماکارونیهای از میکنند تحمل فشاری نیروی که قسمتهایی برای طراحی در کنید. استفاده نازک ماکارونی از کشش تحت اجزاء برای و میلیمتری( )2/8 و شوند کمانش پدیده دچار است ممکن زیاد طول دلیل به فشاری عضوهای سازهها کنید. زیاد را آنها قطر و کم را آنها طول ممکن جای تا کنید سعی بنابراین بریزند. فرو هر ببینید و قراردهید فشار تحت مختلف طولهای با را ضخیم ماکارونیهای دارد. را نیرویی چه تحمل طول وارد نیرویی چه فشاری عضوهای به که ببینید و کنید تحلیل را نقشهخود باشد. داشته را نیرو آن تحمل که کنید انتخاب طوری را عضو طول میشود. ساخته صفحات اتصال برای عرضی سازه یک و دوبعدی صفحه دو از پل هر میشود. کنید. رسم کاغذ روی را بعدی 2 صفحه نقشه بچسبانید. میلیمتری 6 شیشه یک زیر را نقشه ترجیحا آنها صفحه دو هر تکمیل از پس بچسبانید. و بچینید نقشه روی را ماکارونیها نکنید. فراموش را عرضی بادبندهای بچسبانید. هم به عرضی جهت در را 58
59
60
61
سوم فصل خودآزمایی آن. جهت کنید. تعریف را خرپا 1 کنید: پر را خالی جاهای 2 خالف در و است واکنشی را کنشی هر الف( است. زمین سطح در جسم یک برای و وابسته محیط به جسم جرم ب( بزنید: عالمت را صحیح گزینه 3 کره روی حتی و دارد مقادیر آسمانی مختلف کرات روی جسم یک برای وزن الف( است. زمین ثابت مختلف 2 متغیر ثابت 1 متغیر مختلف 4 ثابت ثابت 3. تغییر آن سرعت بردار وارد نیرو جسمی بر تا ب( نمیکند. بشود 2 نمیکند. نشود 1 3 و 1 های گزینه 4 میکند. بشود 3 ببرید. نام را تکیهگاه انواع 4 رسم شده داده نشان نیروهای تحت آمدهاند 1٨ 3 شکل در که را زیر اجسام آزاد نمودار 5 دارد. وجود اصطکاک موارد همه در کنید. الف ب ج د m 1 F m 1 m2 m m m 2 θ ١٨ ٣ شکل 62
6 دو نیروی F1 و F 2 مطابق شكل 19 3 بر تیر وارد میشوند. گشتاور هر یک از نیروها در محل تکیهگاه چقدر است O 5m 5m 3 4 F 1 F 2 شکل ١٩ ٣ 7 در مسئله قبل عکس العمل تکیهگاه را محاسبه کنید. 8 چند نیرو مطابق شکل 20 3 بر نقطه ای عمل می کنند. با استفاده از روش رسم اندازه و جهت نیروی برآیند را بیابید. 9 برآیند نیروهای شکل 20 3 را از روش تحلیلی محاسبه کنید. 40N 30N 25N 0 45 0 45 0 30 35N 45N 40N 50N شکل ٢٠ ٣ 63
10 یک کیسه 50 کیلوگرمی سیمان از دو طناب مانند شکل ٢١ 3 آویخته شدهاست. نیروی هر یک از طناب ها را بیابید.) θ 1 60= º و ٣٧= º 2 θ( شکل ٢١ ٣ سیمان 11 یک پروانه کشتی برای گشتن در سرعت مورد نظر نیاز به گشتاور 300 نیوتن متر دارد. با فرض آنکه نقطه اثر نیروی آب روی پروانه در فاصله 1/2 متری از مرکز پروانه باشد نیروی متوسط وارد شده بر هر پره را بیابید. 12 شافتی به جرم 5/097 تن بهوسیله دو زنجیر از یک قالب جرثقیل آویزان می باشد. طول هر زنجیر 4 متر و فاصله بین نقاط اتصال زنجیرها به شافت نیز 4 متر است. فاصله مرکز ثقل شافت از یکی از نقاط اتصال شافت و زنجیر 1/25 متر است. نیروی کششی در هر زنجیر چقدر است 13 در سازه شکل 22 3 کلیه عضوهای مور ب دارای زاویه 45 درجه با عضو مجاورخود هستند. باری به اندازه 100 KN در وسط سازه قرار دارد. نمودار برداری نیروهای موجود در عضوها را رسم و اندازه گیری کنید. اندازه نیروها و ماهیت آنها )کششی یا فشاری( را در یک جدول بنویسید. 100 KN A E B D شکل ٢٢ ٣ C 64