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rq s t s t H,µ,η,,eq è r é t rs t r f g µ f gq, ù f : H ÝÑ H t g : H ÝÑ H s t 1 t s é r s t té st rs r t t q H st è r t t rs S t té r t S S xyq S yqs xq. Id H S S Id H η e, µ Id H Sq µ S Id H q η e. t H n 0 H n è r r é s s s t rs r é H n 0 H n H str t r è r r 1fg 5 x2 1f g 5 H xq2 t 1 H fq 5 x y2 1f 5 xy2 ù r t t f P H t r t t x P H 1f 5 x2 és t f s r x t ù sé 1f g 5 x y2 1f 5 x21g 5 y2. rsq H st s r à H t q H st t r t à é r r t té q é r t t r t r 1x 5 y2 1σ xq 5 y2 ù σ st s r s H ÝÑ H H H gr,, X, H,δ 1 q t t t B x q xpx s H 1é r rt X ts é t rs s A y q ypx B x q xpx ét t s H q ér 1A x 5 B y 2 δ xy, r t t x P X t r t t y P X

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iiq sér S P K11X22 st t r t s ér Sq S 1 X 1 X S iiiq sér S P K11X22 st t t2 r s ér Sq S S t 1S 5 1 X 2 0 ivq sér S P K11X22 ér r tèr r r s s r t t w 1,w 2 q P X q 2 1S 5 w 1 21S 5 w 2 2 1S 5 w 1 w 2 2 é rè r, s, s t S P K11X22 1S 5 1 X 2 0 iq s ss rt s s t s s t éq t s aq S P Lie K 11X22 st r t bq exp Sq S S cq exp Sq ér r tèr r r s iiq S P K11X22 st 1 t s t s t s 1 st sér L t q S exp Lq t C 2 e t s é é t u C t q uq u u et e uq 1. K C st s r t C t s s K.u q st r s u t π u : C ÝÑ C t η u : C ÝÑ K.u s r t rs ss és à tt é s t π u xq x e xq.u, η u xq e xq.u. é t t q é é t x P C st u r t s xq x u u x. é t t C è r s é é ts u r t s C r t s s C té Prim u Cq tr t r s è r s t t s t t s s tt rt r rt s s 1 st t tr s è r s t s è r s r é r q st è r t é t t G è r è r t è r G st é q t t U Gq T 4I è r t s r T G 0 G 1 G n

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P sq α λ B F r ss st t t t λ B : U Prim Bqq ÝÑ B st s r s è r é rè rt r r r r,,, t s t H è r t t r é t 1 s r r s r té r st q 0 rs H st s r à è r r é U Prim Hqq r λ B s s à rés t r q q s 1 s è r s s è r s r t s st é s r s ts r sh : K1X2 K1X2 Ñ K1X2 w 1 w 2 ÞÑ w 1 w 2, t ét r é r té 1 2 ô s rs t é r X : K ÝÑ K1X2 k ÞÝÑ X kq k.1 X st é é t té K1X2,sh, X q st t K è r ss t t r é tt è r st è r s è r é s é ss s r t r r t conc : K1X2 ÝÑ K1X2 K1X2 r ér t ss q é té t conc wq u v. uv wpx e : P P K1X2 ÞÑ e P q 1P 5 1 X 2 P K r ît é é t té r r t conc t K1X2, conc,eq st è r t t P r t t t w x 1 x 2 x k P X t t r r w x k x 2 x 1 P X s s r t s t s ré rs t r 1 X s w 1 X ; n 1 a wq a x 1 x k q x k 1 x n s w x 1 x 2 x n P X k 0 t str r r ré rr t t s r 1 a 1 X q 1 X a x 1 q x 1 a x 1 x 2 q x 1 x 2 x 1 x 2 q x 2 x 1 a x 1 x 2 x 3 q x 1 x 3 x 2 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 q x 3 x 2 x 1

tr t r s è r s t t s t t s t è r t é s t st è r K1X2,conc, X,,eq t a ré é t é t ù r t st é r tr s s t r t s P,P 1,P 2 q P K1X2q 3 1 P q 5 P 1 P 2 2 1P 5 P 1 P 2 2. tt è r st rs t t s t t t s è r sh K1X2,conc, X,,e,a q th K1X2,, X, conc,e,a q s t s è r s s tr t s rès t é rè K1X2 st s r è r t t r é 1 à è r t è r Lie K 1X2 s è r st t Y ty i i 1 t t t t r é r y 1 y 2 r t st st é s r s ts r st : K1X2 K1X2 Ñ K1X2 w 1 w 2 ÞÑ w 1 w 2, t ét r é r té 1 2 ô s rs t é r Y : K ÝÑ K1Y 2 k ÝÑ X kq k.1 Y st t é é t té K1Y 2,st, Y q st t K è r ss t t r é tt è r st è r st è r q s é s é ss s r t r r t conc : K1Y 2 ÝÑ K1Y 2 K1Y 2 r ér t ss q é té t té t conc wq u v. uvq wq e : P P K1Y 2 ÞÑ e P q 1P 5 1 X 2 P K r ît é é t té r r t conc t K1Y 2, conc,eq st è r t t s s r t st r,,, t s t s ré rs t r a y s q 1q n y i1 y in. n 1 i 1 i n s

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rq s s r s t A m A m ❸ A m m r t s m, m P M s A m m P M s t és s t s è s A s t q A st r é s s s A m m P M st s t r s è r r t êtr r é ér t s ç s q t s t t s φ : X Ñ M é s r s ttr s t ét 1 ts t r t s s t s è s s t s K1X2 m span tw P X, φ wq m, m P M. r r 1 r t st é r r s ts M st rs ï N, q t t s φ 1 wq 5w5 w P X tt r t st t s s t s s t r s s t s è s 1q s ss K1X2 n span t s s ts r n s t s s t s s ù t st 1 st r ts r é st r tt r s q s tr s s s r t s èr rs ï s t s N Xq, q ï s t s à s rt X s N t t s st é r X Ñ φ 2 : x i ÞÑ N Xq e i 0,...,0,1,0,...q, ét r s ï s 1 ts s rt q φ 2 wq multideg wq st t ré w st à r r rr s q ttr t s éré s w P r 1 s X ta,b,c t w abbcab multideg wq 2,3,1q ê s s t s s t s t è s K1X2 α span t s s ts t ré α α P N Iq s t s t q K1X2 st r é s r t é é té st tt r t q s t s r s s s r r s s ts t è K1X2 B w q wpx t q w P X multideg wq α B w P K1X2q α. st t rs ss rsq s èr s B w q wpx è r r str r D w q wpx é r 1D u 5 B v 2 δ uv u,v P X r r tt st sér s r s q K1X2q K11X22 s s t s 2 ô s t rsq B w q wpx st t è t tr r st 2 ô s q r t s K1X2 t rs str r

s D w s t r q t ré α P N Xq str t tr M M u,v q u,vpx α s ts s B w w P X α s r s ts M u,v 1B u 5 v2. tr N N u,v q u,vpx α s ts s D w w P X α s r s ts st é r N u,v 1D u 5 v2. st r q tr M st rs t t q tr t s s s B w q wpx st tr r r r rt 1 ts M st ss s tr s M t N s t tr r s rs s t ér t t té N t M q 1 r ss s s t s r s r r étés t é é té t tr r té à rès q s s tr r ér r st tr r s ér r 1 t X ta b t α 2,2q tr M 1B u 5 v2q u,vpxα st é r a 2 b 2 abab ab 2 a ba 2 b baba b 2 a 2 B a 2 b2 1 2 0 0 2 1 B abab 0 1 1 1 1 0 B ab 2 a 0 0 1 0 2 1 B ba 2 b 0 0 0 1 2 1, B baba 0 0 0 0 1 1 B b 2 a 2 0 0 0 0 0 1 t tr r r é N 1D u 5 v2q u,vpxα st é r a 2 b 2 abab ab 2 a ba 2 b baba b 2 a 2 D a 2 b 2 1 0 0 0 0 0 D abab 2 1 0 0 0 0 D ab 2 a 2 1 1 0 0 0 D ba 2 b 2 1 0 1 0 0. D baba 4 3 2 2 1 0 D b 2 a 2 1 1 1 1 1 1 t r t à s r q s t t è q ét t s t ê s q r 1D u 5 B v 2 δ uv u,v P X α

rq s s r s t t S i q ipi s s K1X2 t P i q ipi t q 1S i 5 P j 2 δ ij i,jq P I 2 iq rs s S i q ipi st t è st ê P i q ipi q st rs s K1X2 iiq S i q ipi st tr r ér r r r rt 1 ts rs P i q ipi st tr r s ér r P i i P I t V 1 t V 2 1 s s té r r t s r 1. 5.2 ér t V 1 9 V2 t V 2 9 V1 ss s q 1 st s r é I ti 1,i 2,,i m t 1 s é é ts S i t P i i P I r s t t s V 1 t V 2 t s q 1S i 5 P j 2 δ ij i,jq P I 2 rs 1 st q T i q ipi é é ts V 2 t q 1S i 5 T j 2 δ ij i,jq P I 2 s é é ts T i i P I s t és r T im k P i m k k j 1 1P im k 5 S i m k j 2T i m k j. é t t α P N Xq t X α a α 1 1 aαn n a 1 a n P X t n,α 1,,α n P N 1 iq r q t w P X st t è t t ré α α 1,α 2,,α n q s r t X s w P X α, st à r α α 1,,α n q st r rr s q ttr t X s éré s w P X q ttr a s P X r ît α s s s w r 1 s n iiq é t ss t é é té X α r M X α q tw P X 5 w P X α, st à r M X α q st s t s s ts t è s t ré α α 1,α 2,,α n q s r t X rq iq w P X α m α 1 α 2 α nq! α 1!α 2! α n! iiq M X α q tw 1 w 2 w m 1 w m 1

1 t X ta b c iq P r X α a 2 b 2 α 2,2q M a 2 b 2 q ta 2 b 2,abab,ab 2 a,ba 2 b,baba,b 2 a 2 iiq P r X α abc α 1,1,1q M abcq tabc,acb,bac,bca,cab,cba iiiq P r X α ab 2 c α 1,2,1q M ab 2 cq tab 2 c,abcb,acb 2,babc,bacb,b 2 ac,b 2 ca,bcab,bcba,cab 2,cbab,cb 2 a é t t Y ty i,i P N t t t t r é r : y 1 y 2 é t s t s s ts s rαs s r t Y r M Y rαs q tw y α1 y α2 y αn P Y 5 rws rαs, ù α α 1,α 2,,α n q t w P Y r s rws rαs α 1 α 2 α n rq s t t s ré é t s iq r ts w P M Y rαs q st m 2 rαs 1 iiq M Y rαs q tw 1 w 2 w m 1 w m r r rt à r r 1 r q 1 t Y ty 1 y 2 y 3 iq P r rαs 3 M Y 3 q ty 3,y 2 y 1,y 1 y 2,y 3 1 iiq P r rαs 4 M Y 4 q ty 4,y 3 y 1,y 2 2,y 2 y 2 1,y 1 y 3,y 1 y 2 y 1,y 2 1y 2,y 4 1 s s r s 1 s s ts 1 s è r r t è r s s tt rt X és t t t t r é r s s ts 2 s r X st té Lyn Xq t t r s t st r r, r, s l P Lyn Xq 5 l 5 2 st és é r σ lq l 1,l 2 q ù l 2 st t r 2 r t r r l r 1 r s t s ss q t t t w P X t t r s t r t é r ss t ts 2 w l i 1 1...l i k k, l 1 l k, l 1,...,l k P Lyn Xq, k,i 1,i 2,,i k P N 1. s 1 t r s t s r tt t é r s P w q wpx è r r Q1X2 s t r, r, s P w w s 5w5 1 ; rp l1,p l2 s s w l P Lyn Xq X t l 1,l 2 q σ lq ; l i 1 1...l i k k P i 1 l 1...P i k l k s w l 1 l k P Lyn Xq k,i 1,i 2,,i k P N 1.

rq s s r s t tt s st t s P ré r tt ss é à s P l q lplyn Xq è r r Lie Q 1X2 s é é ts r t s P l, l P Lyn Xq s t és r ts st r P w q wpx α st tr r P w w 1P w 5 u2 u u w upx α t t è t é é té s P w w P X α t r s str t s S w q wpx α Q1X2 α r s t s s t 1S u 5 P v 2 δ uv r t s u,v P X α s é t r t s r, r, s 1X w w 1 X w, au bv a u bvq b au vq, s a,b, P X u,v,w P X 1 X t é ç t t r r, r, s t tré q w s 5w5 1 X ; as u s w au t w P Lyn Xq ; S w S i 1 l 1 S i k l i 1 1...l i k k l k s w l i 1!...i k! 1 l k P Lyn Xq k,i 1,i 2,,i k P N 1. ér s r, r, s q r t t t w P X α S w w 1S w 5 u2 u. u w upx α tr s t r s s é é ts s s s S w q wpx α t P w q wpx α s t tr r s é r rs t tr r s s ér rs t s s t t è s t ré α s q té rés r t ré t é s tr r tés s 2 ô s P r t str r s tr s tr r s M t N tt t ts s ts s ts t è s t ré α s 2 ô s tr r s P w q wpx α t S w q wpx α s s K1X2 α r s t t M 1P u 5 v2q u,vpx α et N 1S u 5 v2q u,vpx α. s tr s M t N s t tr r s rs s t ér t t té M t N q 1 1 t t X ta,b a b P r s s ts 1S u 5 v2 r s ts u,v P X α t s s

M a 2 b 2 q ta 2 b 2,abab,ab 2 a,ba 2 b,baba,b 2 a 2 s t s s ts t è s t ré α 2,2q s s s ss t S a 2 b 2 a2 b 2 ; S abab S 2 ab 2! 1 2 ab abq abab 2a2 b 2 ; S ab 2 a ab 2 a 2a 2 b 2 ab 2 a abab ; S ba 2 b b a 2 b ba 2 b abab 2a 2 b 2 ; S baba b ab a 4a 2 b 2 3abab 2ba 2 b 2ab 2 a baba ; S 2 a 2! 2! b 2 a 2 a 2 b 2 ba 2 b ab 2 a abab baba. S b 2 a 2 S 2 b tr r r é N 1S u 5 v2q u,vpxα st é r a 2 b 2 abab ab 2 a ba 2 b baba b 2 a 2 S a 2 b 2 1 0 0 0 0 0 S abab 2 1 0 0 0 0 S ab 2 a 2 1 1 0 0 0 S ba 2 b 2 1 0 1 0 0 S baba 4 3 2 2 1 0 S b 2 a 2 1 1 1 1 1 1. rt r s s é r r r s t s t Pr s t t α P N X q t w P X α rs P w w 1S u 5 w2p u. u w upx α

rq s s r s t 1 P b 2 a 2 b2 a 2 ; P baba baba P b 2 a 2 baba b 2 a 2 ; P ba 2 b ba 2 b 2P baba P b 2 a 2 ba 2 b 2baba b 2 a 2 ; P ab 2 a ab 2 a 2P baba P b 2 a 2 ab 2 a 2baba b 2 a 2 ; P abab abab P ab 2 a P ba 2 b 3P baba P b 2 a 2 abab ab 2 a ba 2 b baba ; P a 2 b 2 a2 b 2 2P abab 2P ab 2 a 2P ba 2 b 4P baba P b 2 a 2 a 2 b 2 2abab 2baba b 2 a 2. tr r r é M t N q 1 1P u 5 v2q u,vpx α st é r P a 2 b a 2 b 2 abab ab 2 a ba 2 b baba b 2 a 2 2 1 2 0 0 2 1 P abab 0 1 1 1 1 0 P ab 2 a 0 0 1 0 2 1 P ba 2 b 0 0 0 1 2 1 P baba 0 0 0 0 1 1 P b 2 a 2 0 0 0 0 0 1, s 1 s t ér t s 2 t ès s t é rè P r séq t P sq wpx α S w P w lplyn Xq exp S l P l q. S w P w w w t r s t é r r wpx α wpx α wpx α w w lplyn Xq exp S l P l q. P r séq t s D X és sér s r X D X wpx α w w.

t r s t üt3 r r wpx α S w P w lplyn Xq t r s t sér D X lplyn Xq exp S l P l q. exp S l P l q. s t s r s s r s t s s tr s 5 t 6 1 s è r r t è r st t Y ty i i 1 t t t t r é r y 1 y 2 é t t y s,y t P Y t u,v P Y rs s é ss s r t st q ré rs t s t 1Y u u 1 Y u, y s u y t v y s u y t vq y t y s u vq y s t u vq. 1 y 2 y 3 y 1 y 2 y 3 y 1 y 3 y 2 y 1 y 3 y 1 y 2 y 3 y 3 y 5 y 1 r t 1 Y q st t t ss t t té é é t tr ét t t t r t q st r s t q t êtr é s t r t t ttr y s P Y 1 Y q 1 Y 1 Y, y s q y s 1 Y 1 Y y s t w y s1 y s2 y sk P Y rws s 1 s 2 s k s 1 s 2 s y s1 y s2. s q t t t 2 l P Lyn Y q 5 l 5 2 t t r s t st r σ lq l 1,l 2 q r s t t t t t w P Y t ss t r s t r t é r ss t ts 2 w l i 1 1...l i k k, l 1 l k, l 1,...,l k P Lyn Y q, k,i 1,i 2,,i k P N 1. s 1 t r s t s r tt t é r s Π w q wpy è r r Q1Y 2 s t

rq s s r s t Pr s t r,,, s t D Y sér s ry rs iq log D Y q w π 1 wq wq w wpy wpy iiq r t t w P Y s s π 1 w 1 1w 5 v 1 v k 2 π 1 v 1 qπ 1 v 2 q π 1 v k q k! k 1 v 1,v 2,,v k PY 1 1w 5 v 1 v 2 v k 2 π1 k! v 1q π1 v kq. k 1 v 1,v 2,,v k PY iiiq r t t w P Y s s π 1 wq k 1 1q k 1 k rt r r t t ttr y s P Y s s π 1 y s q y s k 2 v 1,v 2,,v k PY 1w 5 v 1 v k 2 v 1 v 2 v k. 1q k 1 k s 1 s 2 s k s y s1 y s2 y sk. t t iiq à rt r iq t t s é t e log D Y q t D Y t t t iiiq à rt r iq é t r t t sér log D Y q 1 π 1 y 1 q y 1 π 1 y 2 q y 2 1 2 y2 1 π 1 y 3 q y 3 1 2 y 1y 2 y 2 y 1 q 1 3 y3 1 π 1 y 4 q y 4 1 2 y 1y 3 y 2 2 y 3y 1 q 1 3 y2 1y 2 y 1 y 2 y 1 y 2 y 2 1 q 1 4 y4 1 P r séq t s é é ts s Π w q wpy t êtr str ts ré rs t s t r,,, t s π 1 yq s w y P Y ; rπ l1,π l2 s s w l P Lyn Y q Y t l 1,l 2 q σ lq ; Π w l i 1 1...l i k k Π i 1 l1...π i k lk s w l 1 l k P Lyn Y q k,i 1,i 2,,i k P N 1. tt s st t s P ré r tt ss é à s Π l q lplyn Y q è r r Lie Q 1Y 2

ér s r,, s q r t t t w P Y Π w w 1Π w 5 v2 v. w vpy rvs rws tr s t r s s é é ts s Π w q wpy s t tr r s s ér rs t s s t t è s s t é é té s Π w w P Y t r s str t s Σ w q wpy Q1Y 2 s t s s t 1Σ u 5 Π v 2 δ uv r t s u,v P Y tt t s è r Q1Y 2 s é é ts s Σ w q wpy t êtr str ts ré rs t s t r,,, s y s w y P Y ; 1 i! y s ts 1 s Σ i l 1 l n s w l y s1 y sk P Lyn Y q ; 1,,s i 9ts 1,,s k,l 1 lnplyn Y q Σ w ys 1 ys k q ð y s 1,,y s n,l 1,,lnq Σ i 1 l 1... Σ i k l k i 1!...i k! s w ér s r,, s q r t t t w P Y Σ w w 1Σ w 5 u2 u. w upy rws rus l i 1 1...l i k k l 1 l k P Lyn Y q k,i 1,i 2,,i k P N 1. tr s t r s s é é ts s Σ w q wpy s t t è s s s t tr r s ér rs t s 1 P r rαs 4 M Y 4 q ty 4,y 3 y 1,y 2 2,y 2 y 2 1,y 1 y 3,y 1 y 2 y 1,y 2 1y 2,y 4 1 iq tr r r é N 1Π u 5 v2q u,vpm Y4 q st é r y 4 y 3 y 1 y2 2 y 2 y1 2 y 1 y 3 y 1 y 2 y 1 y1y 2 2 y1 4 1 1 1 1 1 1 1 Π y4 1 2 2 3 2 3 3 4 1 1 Π y3 y 1 0 1 0 1 0 0 2 2 1 1 1 Π y 2 2 0 0 1 0 0 2 2 4 Π y2 y 2 1 0 0 0 1 0 2 1 0 1 1 1 Π y1 y 3 0 0 0 0 1 2 2 3 Π y1 y 2 y 1 0 0 0 0 0 1 1 0 Π y 2 1 1 y 2 0 0 0 0 0 0 1 2 Π y 4 1 0 0 0 0 0 0 0 1,

rq s s r s t iiq tr r r é M t Nq 1 1Σ u 5v2 u,v M Y4 y 4 y 3 y 1 y2 2 y 2 y1 2 y 1 y 3 y 1 y 2 y 1 y1y 2 2 y1 4 Σ y4 1 0 0 0 0 0 0 0 1 Σ y3 y 1 1 0 0 0 0 0 0 2 1 Σ y 2 2 0 1 0 0 0 0 0 2 Σ y2 y 2 1 1 1 1 0 0 0 0 1 6 2 2 Σ y1 y 3 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 Σ y1 y 2 y 1 1 2 1 0 0 2 2 2 1 Σ y 2 1 y 2 1 1 1 1 1 1 0 2 1 1 1 1 1 1 1 Σ y 4 1 1 24 6 4 2 6 2 2. 1 Π w w Y Σ w w Y 2 Σ w Π w w Y Σ w Π w w Y l Lyn Y exp Σ l Π l. w Y w w w Y w w l Lyn Y exp Σ l Π l. D Y Y D Y w Y w w. 3 Σ w Π w w Y l Lyn Y exp Σ l Π l. D Y l Lyn Y exp Σ l Π l.

1 s è r r t è r q st t Y ty i i 1 t t t t r é r t q r é t t y s,y t P Y t u,v P Y rs s é ss s r t q st qq ré rs t s t 1Y qu u q1 Y u, y s u qy t v y s u qy t vq y t y s u qvq qy s t u qvq. 1 y 2 q y 3 y 1 y 2 y 3 y 1 y 3 y 2 y 1 y 3 y 1 y 2 q y 3 y 3 y 5 y 1 q r t t 1 Y qq st t t ss t t té é é t tr ét t t r t q st r s t q t êtr é s t q 1 Y q 1 Y 1 Y, q y s q y s 1 Y 1 Y y s q r t t ttr y s P Y t w y s1 y s2 y sk P Y rws s 1 s 2 s k s 1 s 2 s y s1 y s2. s q t t t 2 l P Lyn Y q 5 l 5 2 t t r s t st r σ lq l 1,l 2 q r s t t t t t w P Y t ss t r s t q r t é r ss t ts 2 w l i 1 1...l i k k, l 1 l k, l 1,...,l k P Lyn Y q, k,i 1,i 2,,i k P N 1. s 1 t r s t s r tt t é r s Π qq w q wpy è r r Qrqs1Y 2 s t Pr s t r,,, s t D Y sér s r Y rs iq log D Y q w π qq π qq 1 q wq w wpy 1 wq iiq r t t w P Y s s w k 1 1 k! k 1 v 1,v 2,,v k PY 1 k! v 1,v 2,,v k PY wpy 1w 5 v 1 q qv k 2 π qq 1 v 1qπ qq 1 v 2q π qq 1 v kq 1w 5 v 1 v 2 v k 2 π qq 1 q v 1 q q q π qq 1 q v k q.

rq s s r s t iiiq r t t w P Y π qq 1 wq s s k 1 1q k 1 k v 1,v 2,,v k PY 1w 5 v 1 q qv k 2 v 1 v 2 v k. rt r r t t ttr y s P Y π qq 1 y sq y s k 2 s s qq k 1 k s 1 s 2 s k s y s1 y s2 y sk. t t iiq à rt r iq t t s é t e log D Y q t D Y t t t iiiq à rt r iq é t r t t sér log D Y q 1 π qq 1 y 1q y 1 π qq 1 y 2q y 2 q 2 y2 1 π qq 1 y 3q y 3 q 2 y 1y 2 y 2 y 1 q q2 3 y3 1 π qq 1 y 4q y 4 q 2 y 1y 3 y 2 2 y 3y 1 q q2 3 y2 1y 2 y 1 y 2 y 1 y 2 y 2 1 q q3 4 y4 1 P r séq t s é é ts s Π qq w q wpy t s t r,,, s Π qq w π qq 1 yq s w y P Y ; Π qq l 1,Π qq l 2 Π qq l 1 q i 1... Π qq l k q i k s w t êtr str ts ré rs s w l P Lyn Y q Y t l 1,l 2 q σ lq ; l i 1 1...l i k k l 1 l k P Lyn Y q k,i 1,i 2,,i k P N 1. tt s st t s P ré r tt ss é à s Π qq l q lplyn Y q è r r Lie Qrqs 1Y 2 ér s r,, s q r t t t w P Y Πw qq w 1Π qq w 5 v2 v. w vpy rvs rws tr s t r s s é é ts s Π qq w q wpy s t t è s s t é é té s Πw qq w P Y Qrqs1Y 2 s t s s t 1Σu qq 5 Π qq s t tr r s s ér rs t s t r s str t s Σ qq w q wpy v 2 δ uv r t s u,v P Y tt t s

è r Qrqs1Y 2 s é é ts s Σ qq w q wpy r,,, s Σ qq w ts 1,,s i 9ts 1,,s k,l 1 lnplyn Y q ys 1 ys k q ð y s 1,,y s n,l 1,,lnq t êtr str ts ré rs t s t y s w y P Y ; q i 1 Σ qq l 1 q q i 1 q... q Σ qq l q k i 1!...i k! ér r,, s q r t t t w P Y i! Σ qq w w y s 1 s i Σ qq l 1 l n s w l y s1 y sk P Lyn Y q ; w upy rws rus q i k 1Σ qq w 5 u2 u. s w l i 1 1...l i k k l 1 l k P Lyn Y q k,i 1,i 2,,i k P N 1. tr s t r s s é é ts s Σ qq w q wpy s t tr r s ér rs t s s t t è s s 1 Π qq y 1 y 1 Π qq y 2 y 2 q 2 y2 1 Π qq y 2 y 1 y 2 y 1 y 1 y 2 Π qq y 3 y 1 y 2 y 3 y 1 y 2 q 2 y 3y 3 1 qy 2y 2 1y 2 q2 4 y 2y 4 1 y 1y 3 y 2 q 2 y 1y 3 y 2 1 q 2 y2 1y 2 2 q2 2 y2 1y 2 y 2 1 y 2 y 3 y 1 q 2 y2 2y 2 1 y 2y 1 y 3 q 2 y2 1y 3 y 1 q 2 y3 1y 3 q2 4 y4 1y 2 Π qq y 3 y 1 y 2 y 1 y 3 y 1 y 2 y 1 y 3 y 2 1y 2 q 2 y 2y 2 1y 2 y 1 y 1 y 3 y 2 y 1 y 1 y 3 y 1 y 2 q 2 y2 1y 2 2y 1 y 2 y 1 y 3 y 1 q 2 y2 1y 2 y 1 y 2 q 2 y 2y 1 y 2 y 2 1 y 2y 2 1y 3 y 1 y 2 y 3 y 1 q 2 y 1y 2 2y 2 1 y 1y 2 y 1 y 3 q 2 y 1y 2 y 2 1y 2 Σ qq y 1 y 1 Σ qq y 2 y 2 Σ qq y 2 y 1 y 2 y 1 q 2 y 3 Σ qq y 3 y 2 y 1 y 3 y 2 y 1 y 3 y 1 y 2 qy 2 3 q 2 y 4y 2 q3 3 y 6 q 2 y 5y 1 Σ qq y 3 y 1 y 2 y 1 y 3 y 1 y 2 y 1 2y 3 y 2 y 2 1 qy 3y 2 2 3q 2 y2 3y 1 q 2 y 3y 1 y 3 q2 2 y 3y 4 q 2 y 4y 2 y 1 q2 4 y 4y 3 qy 5 y 2 1 q2 2 y 5y 2 q2 2 y 6y 1 q3 8 y 7

rq s s r s t s 1 s Π qq w q wpy t Σ qq w q wpy ér t s 2 t ès s t é rè P r séq t P sq wpy Σ qq w Π qq w wpy Σ qq w Π qq w lplyn Y q exp Σ qq l q. l Π qq wpy w w t r s t é r r wpy w w lplyn Y q exp Σ qq l Π qq l q. P r séq t s D Y és sér s r Y D Y w w. wpy t r s t üt3 r r wpy Σ qq w Π qq w t r s t sér D Y lplyn Y q exp Σ qq lplyn Y q exp Σ qq l q. l Π qq l q. l Π qq

1 è rt t r t tr té t t s q s

tr q s t r s2 étr q és é t tr st str r r s s té tr t t tr s ts r 1 s r r t s s str t s é é ts S n q m é t s s t s str s s s q s s P ré r tt 2 S qq w q wpx t s tr s è t str t s q s P ré r tt 2 P qq w q wpx t q 1S qq u 5 P qq v 2 δ uv u,v P X s s s str t r s s té ss r s à rt r s t ît rt s r r étés s s r s s ét r s t s q t s t s r s t s rt s s rt q s r tt é r t r s t r s t s s str r s s é s s r s 1 s t r s t s t r t q s s r 1 rés t ts tr s t é rè é ér s t é rè r, s s é rè tr r s t s é é ts l qk l P Lyn Xq t k P N 1 é rè str t ré rs s é é ts S qq w w P X str t s é é ts S n qm s ér s r ètr r q és é σps n q Inv σq s tt rt s rés t s é ér s t r rns q! t é rè st t st q r t t Inv st ré

q t t sé r t r s q s rés t ts ss q s é ér q t r r été q r s é s t q 1 ré èr t r sûr 2 q s rt q t é t 2 s r tèr s t s r r q st s éré êtr q s é ss s q q s q s st r s t r t t sés s tt t ès é t s é t t n,m P N s tm,m 1,m 2,,n m,n s n m q n té rns q st é r rns q 0 i n 1 q n! té rns q! st é r rns q! 1 i n q i. ris q r1s q r2s q rns q. q t 1 t té exp q zq st é r exp q zq i 0 z i ris q!. r s2 étr q t n P N 1 t 1,n t1,2,,n r q r t t r r n st t 1, n rs 1, n r t t rés t r t t σ s r 1 s 1 2... i... j... n σ σ 1q σ 2q... σ iq... σ jq... σ nq P r t s t s s tôt é r t r s t σ σ 1qσ 2q σ iq σ jq σ nq. P r 1 r t t 1 2 3 4 5 σ 2 3 4 5 1 s é r t t t s t σ σ 1qσ 2qσ 3qσ 4qσ 5q 23451

str t s é é ts S n q m t rs S n r s r t t s r r n r s2 étr q r r n s é é ts S n s t és r t t s r S n st n! P r t s i j é é ts 1,n t1,2,,n t s q i j t σ iq σ jq i,jq st é rs r t t σ P S n s s rs s r t t σ P S n té S σq st é r S σq t i,jq 5 i j et σ iq σ jq. r S σq té Inv σq st é r Inv σq #S σq. 1 τ 1 1 2 3 4 5 2 3 4 5 1,τ 2 1 2 3 4 5 3 1 2 5 4,τ 3 1 2 3 1 3 2 Inv τ 1 q 4 r s s rs s st S τ 1 q t 1,5q, 2,5q, 3,5q, 4,5q Inv τ 2 q 3 r s s rs s st S τ 2 q t 1,2q, 1,3q, 4,5q t Inv τ 3 q 1 r s s rs s st S τ 3 q t 2,3q é t t m,n P N 1 é t s s r S n q m S nm s r à S n S n r r s T σq τ 1q τ nmq τ m p 1q kq m σ pq 1q k p P 1,n t k P 1,m P r s s r q s t r s t s t é r r tr t s s T σq τ n 1qm 1q... τ nmq.......... τ m 1q τ 1q... τ 2mq... τ mq s r t q tt tr st t r t t s s tr n 1qm 1... nm.......... m 1... 2m 1... m Inv σq st r s rs s r t t σ P S n..

1 t n 3 t m 2 σ 1 123 ÐÑ τ 1 T σ 1 q 123456 σ 2 132 ÐÑ τ 2 T σ 2 q 125634 σ 3 213 ÐÑ τ 3 T σ 3 q 341256 σ 4 231 ÐÑ τ 4 T σ 4 q 345612 σ 5 312 ÐÑ τ 5 T σ 5 q 561234 t σ 6 321 ÐÑ τ 6 T σ 6 q 563412 P r séq t σ P S 3 t123,132,213,231,312,321 t τ P S 3 q 2 t123456,125634,341256,345612,561234,563412 P r séq t s s é r r t é rè s t é rè t n,m P N 1 rs τ P S nqm q Inv τ q σps n q m2inv σq r1s q m2 rns q m2 rns q m2!. P r r t é rè s s é r r r s t t t é rè s t Pr s t t n,m P N 1 rs S n q m tτ P S nm 5 Inv τq m 2 Inv σq et σ P S n. Pr t n,m P N 1 rt r é t s s é r r q S τq S T σqq r τ P S n q m t σ P S n t r rq t q tr s s t é é t r 1 t t m 2 rs s tr q r s rs s T σq st m 2 #S σqq P r séq t Inv τq #S τq #S T σqq m 2 Inv σq r τ P S n q m t σ P S n é rè r, s n N 1 σ S n q Inv σ 1 q 2 q n q n q!., p p c 1 c 2 c n p! c 1 p! c 2 p! c n p!. P r t t rs i,jq σ P S n 1 t t m 2 rs s I,Jq τ P S n q m I P i 1qm 1,im t J P j 1qm 1,jm

r t q s t s é s t c 1 c 2 c n 1 t p q P r séq t rc 1 c 2 c n s q! rns q! rc 1 s q!rc 2 s q! rc n s q! σps n q Inv σq Pr é rè s t r st t st q rt r é t t r s t s s é r r q S n q m tτ P S nm 5 Inv τ q m 2 Inv σq et σ P S n. s r é s r, s s t p t é r t p t st é r rc 1 c 2 c n s p! rc 1 s p!rc 2 s p! rc n s p!. t s é s t c 1 c 2 c n 1 t p q m2 P r séq t τ P S nqm q Inv τ q rc q m2 Inv σq 1 c 2 c n s 2! q m q rc σps 1 s 2!rc n q m 2s 2! q m rc ns 2! rns q m2!. q m r t q s s ér s r ètr r q és é s tt rt s s é t r r t q s t s r t s tt s é s s 1 st ts tr r t s t r t q s é t t r r étés r t q s é t t w a 1 a 2 a n P X s t1,2,,n 1,n t r 5w5 n t I s s I s wris 1 X s I ti 1 i 2 i k s wris a i1 a ik rq P r é t s s rt t 1, n st à r p s s s ts I 1,I 2,,I p ér t p j 1 I j 1,n t s ts wri 1 s,,wri p s r tr t r t w t 5w5 n n 1 n 2 n p 5I j 5 n j r t t j P 1,p

1 X ta,b,c I 1 t1,3,4 I 2 t2,7,9 I 3 t5,6,8 wri 1 s abc wri 2 s bca wri 3 s cab rs r tr w abbccacba t 5w5 5I 1 5 5I 2 5 5I 3 5 3 3 3 9 s p ts r n j j P 1,p t é r r s èr r t q rq n 1 n 2 n p s s r r t s t r n 1 s r tr r t 2 s ttr s t u 1 à r t st à r s s rès s tr s t ê r u 2,u 3 sq àu p t s t s s r st t s str t t r n n 1 n 2 n p té w t I j és s s s 1,n s s s r s t r s ttr s t u j r r t t t s s s ss s tt ç t t t s t s s ts s t s t t q r t s s ts u 1,,u p t t s é t r t s é t s s ts r t u 1,,u p P X s ts r 5u j 5 5I j 5 n j j P 1,p r s st 2 ô N1X2 é r ù 5w5 5u 1 u 2 u p 5 n u 1 u 2 u p p j 1 I j 1,n wpx,wri j s u j w, sér t ss ét r é q s é t r t s t t é r t tér ss t q s ré è êtr s rt r str t s r t s s s é r r é t s t é t q s s ts t u 1,,u p P X s ts r 5u j 5 5I j 5 n j j P 1,p é t ér t r p r r q p u1,u 2,,u p q p j 1 ù 5w5 5u 1 u 2 u p 5 n t I 1 I 2 I p P S n I j 1,n wpx,wri j s u j q Inv I 1..I pq w,

r t q s é t t a,b P X t w,u,v P X r t q s st é ré r s t r 1X q w w q 1 X w; au q bv a u q bvq q 5au5 b au q vq. Pr s t t u 1,u 2 P X s ts r 5u j 5 5I j 5 n j j P 1,2 rs q 2 u1,u 2 q u 1 q u 2. 1 t X ta,b,c,d iq P r u 1 ab t u 2 cd q 2 u1,u 2 q u 1 q u 2 abcd qacbd q 2 acdb q 2 cabd q 3 cadb q 4 cdab iiq P r u 1 aab t u 2 ab q 2 u1,u 2 q u 1 q u 2 1 q 4 q 5 qaabab q 2q 2 2q 3 q 4 qaaabb q 6 abaab rq t t ré é t s t t n! n 1! n p! ts tt ér t q q t r tr r t té t r q 0 t r t s r q 1 Pr s t 5X5 2 rs r t q s q q st t t s t s t s q 1 Pr t a,b P X a q b b q a 1 qq ab baq Pr s t r t q s q q st ss t Pr t é str t r ré rr s r s s rs 5 u 5 5 v 5 t 5 w 5 iq 1 X q u u q 1 X u r é t iiq s s q r t s u v t w X t s q 5 u 5 5 v 5 5 w 5 n t u q vq q w u q v q wq

iiiq t u,v,w P X t s q 5 u 5 5 v 5 5 w 5 n 1 t s t a,b,c P X au q bvq q cw a u q bvq q cw q 5au5 b au q vq q cw a u q bvq q cwq q 5au5 q 5au5 b au q vq q cwq q 25au5 a u q bv q cwqq q 5au5 q 5au5 b au q v q cwqq q 25au5 5bv5 c a u q bvq q wq 5bv5 c b au q vq q wq 5bv5 c a u q bvq q wq 5bv5 c b au q vq q wq a u q b v q cwqq q 5bv5 a u q c bv q wqq q 5au5 q 5au5 b au q v q cwqq q 25au5 5bv5 c b au q vq q wq 5bv5 c a u q bvq q wq a u q b v q cwqq q 5bv5 a u q c bv q wqq q 5au5 b au q v q cwqq q 5au5 5bv5 c au q bvq q wq a u q b v q cwqq q 5au5 b au q v q cwqq q 5bv5 a u q c bv q wqq q 5au5 5bv5 c au q bv q wqq au q bv q cwq. rt r s r s t s t s s é r r r r s t r r t u 1,u 2,,u p P X s ts r 5u j 5 5I j 5 n j j P 1,p rs q p u 1,u 2,,u p q u 1 q u 2 q q u p. r t q s t êtr s éré t é r s r Nrqs1X2 q : X X ÝÑ Nrqs1X2q râ à r r été rs r t t s r t é r r q : Nrqs1X2 Nrqs1X2 ÝÑ Nrqs1X2 r r Q1X2, q, X q st è r t t s q 1 t 5X5 2q t ss t té é t t r r étés r t q t q r t r t q s q q s s r s r t t r q Pr s t t w P X rs q wq I J 1,5w5 q Inv I.Jq wris wrjs, ù wris t wrjs s t s s s ts w P X rr s t 1 s é s r I t J

r t q s s s s RHS wq I J 1,5w5 q Inv I.Jq wris wrjs ù w P X P r tr r q s 1 r ts s t é 1 tr r q rs r ts ss és s t é 1 t RHS RHS rs 1X RHS w w RHS 1 X w, au RHS bv a u RHS bvq q 5au5 b au RHS vq. ù a,b P X t w,u,v P X Pr t a,b P X t u,v P X s s é r r q w RHS 1 X 1w RHS 1 X 5 u2 u upx 1w 1 X 5 RHS uq2 u upx q Inv I.Jq uris urjs 5 w 1 X 2 u ê 1 X RHS w w t upx 1 I J 1,5u5 upx I J 1,5u5 upx I J 1,5u5 w. u wpx I 1,5u5 J q Inv I.Jq 1urIs urjs 5 w 1 X 2 u q Inv I.Jq 1urIs 5 w21urjs 5 1 X 2 u q Inv Iq 1wrIs 5 w211 X 5 1 X 2 w

au RHS bv wpx 1au RHS bv 5 w2 w wpx 1au bv 5 RHS wq2 w wpx 1 wpx wpx wpx wpx w PX w PX a w PX b w PX a I J 1,5w5 I J 1,5w5 1PI I J 1,5w5 1PJ I J 1,5w5 1PI I J 1,5w5 1PJ w PX q 5au5 b I J 1,5w5 1PI I J 1,5w5 1PJ I J 1,5w5 1PI I J 1,5w5 1PJ I J 1,5w5 w PX q Inv I.Jq wris wrjs 5 au bv2 w q Inv I.Jq 1wrIs wrjs 5 au bv2 w q Inv I.Jq 1wrIs wrjs 5 au bv2 w q Inv I.Jq 1wrIs 5 au21wrjs 5 bv2 w q Inv I.Jq 1wrIs 5 au21wrjs 5 bv2 w q Inv I.Jq 1w ri s 5 u21wrjs 5 bv2 aw q 5au5 q Inv I.J q 1wrIs 5 au21wrj s 5 v2 bw I J 1,5w5 a u RHS bvq q 5au5 b au RHS vq q Inv I.Jq 1w ri s wrjs 5 u bv2 w q 5au5 q Inv I.J q 1wrIs wrj s 5 au v2 w q Inv I.Jq 1w ri s wrjs 5 u bv2 w q Inv I.J q 1wrIs wrj s 5 au v2 w ù I I t1 t J J t1 t 1 t 2 1 s t rs s s r s t s 1 t 2 1 2 rs s s 1 2

r t q s Pr s s 1 2 t tr s q 1 2 t w P X s s 1 wq u,vpx 1 1 wq 5 u v2 u v u,vpx 1w 5 u 1 v2 u v u,vpx 1w 5 u 2 v2 u v u,vpx 1 2 wq 5 u v2 u v 2 wq. s s t t r r r s t Pr Pr s t râ tr q RHS q t râ RHS q q é t à 1 X a t ab t w,u,v P X s s 1 q wq 5 u v2 1w 5 u q v2 t q wq 1 u,vpx 1w 5 u q v2u v iq q 1 X q 1 X 1 X iiq q aq a 1 X 1 X a iiiq q abq ab 1 X 1 X ab a b qb a 1 r ss t r s térés r t r t q s s s t s é ér s q é s à r t q q é t s s é r r r s t s t 0q Id; p 1q Id p q pq. Pr s t t w P X t p P N 2 p 1q q wq u 1,u 2,,u ppx p j 1 I j 1,n wpx,wri j s u j 1w 5 u 1 q u 2 q q u p 2u 1 u p q Inv I 1..I pq wri1 sq wri 2 sq wri p sq

5u j 5 5I j 5 n j j P 1,p t n 5w5 5u 1 u 2 u p 5 Pr t u 1,u 2,,u p P X u 1 q u 2 q q u p p j 1 I j 1,n upx,uri j s u j q Inv I 1..I pq u. rs u 1,u 2,,u ppx u 1,u 2,,u ppx u 1,u 2,,u ppx 1w 5 u 1 q u 2 q q u p 2u 1 u p 1w 5 p j 1 p j 1 I j 1,n upx,uri j s u j I j 1,n upx,uri j s u j q Inv I 1..I pq u2u 1 u p q Inv I 1..I pq1w 5 u2u1 u p s s s ss s s t s s s s q 1 q q ss é r r r s t t s s I j s t 1és rs 1w 5 u2 0 q u j wri j s r t t j P 1,p u 1,u 2,,u ppx p j 1 I j 1,n wpx,wri j s u j 1w 5 u 1 q u 2 q q u p 2u 1 u p q Inv I 1..I pq wri1 sq wri 2 sq wri p sq

r t q s r r t w P X t p P N 2 P r q 1 p 1q wq u 1,u 2,,u ppx p j 1 I j 1,n wpx,wri j s u j 1w 5 u 1 u 2 u p 2u 1 u p wri 1 sq wri 2 sq wri p sq 5u j 5 5I j 5 n j j P 1,p t n 5w5 5u 1 u 2 u p 5 1 P r p 2 s s q abbq abb 1 X 1 X abb q q 2 qb ab 1 qqab b a bb q 2 bb a t q s t 1 q t u v s q wq st é t w abb s u q v Pr s t Qrqs1X2, q,eq st è r ss t té t e P q 1P 5 1 X 2 Pr ss t té q tr s q q Idq q Id q q q t w P X s s q Idq q wq u,vpx q Idq1w 5 u q v2u v u,vpx 1w 5 u q v2 q uq v u,vpx 1w 5 u q v2 u 1,u 2 PX 1u 5 u 1 q u 2 2u 1 u 2 v u 1,u 2,vPX 1w 5 u 1 q u 2 q v2u 1 u 2 v. ê Id q q q wq u,v 1,v 2 PX 1w 5 u q v 1 q v 2 2u v 1 v 2 st ê s 1 s ts s t rès