|
|
|
- Ουρανία Ζωγράφος
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1
2
3
4
5
6
7 J J l 2 J T l 1 J T J T l 2
8
9 l 1 J J l 1 c 0 J J J J J l 2 l 2 J J J T J T l 1 J J T J T J T J
10
11 {e n } n N {e n } n N x X {λ n } n N R x = λ n e n {e n } n N {e n : n N} e n 0 n N k 1, k 2,..., k n N λ k1, λ k2,..., λ kn R λ k1 e k1 + λ k2 e k λ kn e kn n = 0
12 {e n } n N { } D = r i e i : {r i } n Q, n N D D X x = λ n e n X ϵ > 0 N N {r i } i N Q λ n e n x < ϵ 2 n > N r i e i x X n > N λ i r i e i < ϵ 2 i+1 i N < λ i r i e i + ϵ 2 i+1 + ϵ 2 < ϵ λ i e i x X {e n } n N x = λ n e n X { } λ i e i < n N x = n N { } λ i e i
13 X n N P n : X X P n (x) = P n ( λ n e n ) = λ i e i n N P n(x) = x x X n { P n (x) } = x x X K > 0 x x K x x X x = n P n (x) x (X, ) { y (k) } k N (X, ) ϵ > 0 k 0 N y (i) y (j) < ϵ i, j > k 0 P n (y (i) ) P n (y (j) ) < ϵ i, j > k 0, n N { P n (y (k) ) } k N < e 1,..., e n > { P n (y (k) ) } k N n N z n = P n (y (k) ) {z n } n N k ϵ > 0 k, N N P n (y (k) ) P n (y (j) ) < ϵ 3 j > k, n N P n (y (k) ) z n < ϵ 3 n N P n (y (k) ) P m (y (k) ) < ϵ 3 n, m > N
14 n, m > N z n z m z n P n (y (k) ) + P n (y (k) ) P m (y (k) ) + P m (y (k) ) z m < ϵ {z n } n N (X, ) {z n } n N z = z n m > n N n P n (z m ) = P n ( P m (y (k) )) = P n (P m (y (k) )) = P n (y (k) )) = z n k k k P n < e 1,..., e n > {α i } i N z n = a i e i n N z 1 < e 1 > α 1 R z 1 = α 1 e 1 P 1 (z 2 ) = z 1 {e n } n N α 2 R z 2 = α 1 e 1 +α 2 e 2 α 1,...α n α n+1 z = n z n P n (z) = α i e i = z n k 0 N k > k 0 n N ϵ > 0 { z n P n (y (k) ) : n N } < ϵ { P n (z) P n (y (k) ) : n N } < ϵ z y (k) < ϵ k y (k) = z (X, ) n N x X P n (x) x K x P n < n N bc({e n } n N ) = P n bc({e n } n N ) n N bc({e n } n N ) 1 x X, x 0 P n (x) P n x bc({e n } n N ) x
15 n n N e n : X R e n(x) = e n( λ k e k ) = λ n x = k=1 e n(x)e n {e n} n N n N x = λ n e n X e n(x) = e n(x)e n e n = n 1 λ i e i λ i e i e n 2 x e n 2K e n x {e n} n N {e n } n N {e n } n N X {e n } n N e n 0 n N [e n : n N] = X [e n : n N] = < e n : n N > K > 0 m > n N λ 1,..., λ m R λ i e i K λ i e i
16 m > n N λ 1,..., λ m R λ i e i = P n (x) = P n (P m (x)) P n P m (x) bc({e n } n N ) λ i e i {e n : n N} n N λ 1,..., λ n R λ 1 e λ n e n = 0 i i 1 λ i e i = λ j e j λ j e j 2K λ i e i = 0 λ i = 0 j=1 j=1 i = 1,..., n n N p n :< e n : n N > < e n : n N > p n ( λ i e i ) = {n,m} p n {e n : n N} {n,m} p n ( λ i e i ) = λ i e i K λ i e i p n p n K n N < e n : n N > X p n p n : X < e n : n N > p n K n N m > n x X p n (x) = p n (p m (x)) x X {λ i } i N p n (x) = λ i e i n N p n(x) = x ϵ > 0 z = n x z < ϵ K + 1 m > k p m(z) = z λ i e i k β i e i < e n : n N > x p m (x) x z + z p m (z) + p m (z) p m (x) (1 + p m ) x z < ϵ
17 1 < p < e n = (0, 0,..., 1, 0,...) l p l p c 0 x = (λ 1, λ 2..., λ n,...) l p s n = λ i e i s n x = ( i=n+1 m > n N λ 1,..., λ m R λ i p ) 1/p n 0 λ i e i = ( λ i p ) 1/p ( λ i p ) 1/p = λ i e i c 0 {e n } n N K 0 m > n N λ 1,..., λ m R λ i e i K λ i e i bc({e n } n N ) K x X x 1 n N P n (x) K P m (x) m > n n P n (x) K x K
18 x X, x 0 {x n} n N X x n = M < n N S X x n(s) k x (s) s S x = w x n n x (x) = x n n(x) x X x X {s n } n N S x = s n ϵ > 0 N, n 0 N n s N x < ϵ 3 {M, x } x n(s N ) x (s N ) < ϵ 3 n n 0 n n 0 x n(x) x (x) x n(x) x n(s N ) + x n(s N ) x (s N ) + x (s N ) x (x) < M s N x + ϵ 3 + x s N x < ϵ 3 + ϵ 3 + ϵ 3 = ϵ {e n } n N x X, x 0 {x k } k N X x k < k N x k (e n) k x (e n ) n N x = w k x k S =< e n : n N > {x k } k N x
19 {x n } n N {x n } n N [x n : n N] {x n } n N [x n : n N] {x n } n N x n : [x n : n N] R x n( α k x k ) = α n k=1 {x n } n N X {x n } n N x n 0 n N K > 0 m > n N λ 1,..., λ m R λ i x i K λ i x i {e n } n N x [e n : n N] x = x (e n )e n m > n N λ 1,..., λ m R x X x 1
20 λ i e i (x) = λ i e i (P n (x)) = Pn( λ i e i )(x) Pn λ i e i λ i e i K λ i e i K λ i e i {e n} n N x [e n : n N] {α n } n N x = λ n e n x (e n ) = λ n n N ϵ > 0 x X x = 1 y (1 + ϵ) y + mx y F m R F S F k k N y 1,..., y k S F S F S(y i, ϵ ) S(y, ϵ) 2 y ϵ j {1,..., k} k yi S X yi (y i ) = y i = 1 Ker(yi ) X x X x = 1 yi (x) = 0 i = 1,..., k y S F 0 < ϵ < 1 j {1,..., k} y y j < ϵ 2
21 m R y + mx y j + mx y y j yj (y j + mx) ϵ 2 = y j (y j ) ϵ 2 = y j ϵ 2 = 1 ϵ < ϵ < ϵ ϵ > 0 y S F m R x S X (1 + ϵ) y + mx 1 y F y 0 ϵ > 0 m R x S X 1 (1 + ϵ) y y + mx y y (1 + ϵ) y + mx ϵ > 0 (1 + ϵ) {ϵ n } n N (1 + ϵ n ) n N 2 n (1 + ϵ n ) (1 + ϵ) n N (1 + ϵ n ) 1 + ϵ x 1 X x 1 = 1 F 1 =< x 1 > x 2 X x 2 = 1 y (1 + ϵ 2 ) y + mx 2 y F 1, m R F 2 =< x 1, x 2 > x 3 X x 3 = 1 y (1 + ϵ 3 ) y + mx 3 y F 2, m R F n =< x 1, x 2,..., x n > x n+1 X x n+1 = 1 y (1 + ϵ n+1 ) y + mx n+1 y F n, m R {x n } n N X 1 + ϵ m > n N α 1,..., α m R y k = k α i e i F k k N
22 α i e i = y n (1 + ϵ n+1 ) y n + α n+1 x n+1 = (1 + ϵ n+1 ) y n+1 (1 + ϵ n+1 )(1 + ϵ n+2 ) y n+1 + α n+2 x n+2 = (1 + ϵ n+1 )(1 + ϵ n+2 ) y n+3 m (1 + ϵ i ) y m (1 + ϵ) α i e i i=n+1 {x n } n N 1 + ϵ {x n } n N X, {y n } n N Y {x n } n N {y n } n N n N α 1,..., α n R c α n x n α n y n C α n x n {x n } n N X, {y n } n N Y {x n } n N {y n } n N {α n } n N R α n x n α n y n T : [x n : n N] [y n : n N] T (x n ) = y n n N i) ii) {α n } n N α n x n { } α i y i ϵ > 0 N N n N
23 m > n > N i=n+1 i=n+1 α i x i < ϵ C α i y i < ϵ T : [x n : n N] Y T (x) = T ( α n x n ) = α n y n T {x n } n N n N T k : X < y 1,..., y n > T n ( α i x i ) = F n :< x 1,..., x n > < y 1,..., y n > F n ( α i x i ) = α i y i α i y i n N T n = F n P n P n (y n ) n N T n F n P n T T (x) = T n (x) x X n T y = α n y n x = α n x n T (x) = y T c = 1 C = T T 1 {x n } n N {y n } n N n N α 1,..., α n R
24 c α n x n α n y n C α n x n {y n } n N m > n N α 1,...α m R α i y i CK α i x i CK m c α i y i T : X X δ (0, 1) x X x T (x) δ x T T T (x) x δ x T (x) (1 + δ) x x T (x) δ x (1 δ) x T (x) T T (X) X T T (X) x 0 S X x 0(x) = 0 x T (X) 0 < δ < 1 x 0 X x 0 = 1 x 0(x 0 ) > δ x 0 T (x 0 ) = {x (x 0 T (x 0 )) : x = 1} x 0 T (x 0 ) x 0(x 0 T (x 0 )) = x 0(x 0 ) > δ = δ x 0
25 {x n } n N, {y n } n N {x n } n N K δ = { x n : n N} > 0 x n y n < n=i δ 3K {y n } n N {x n } n N T : X X T (x n ) = y n {y n } n N {x n } n N m > n α 1,..., α m R α i y i T α i x i T K α i x i T K T 1 α i y i {y n } n N n N α 1,...α n R 1 T 1 α i x i α i y i T n N x [x n : n N] x n(x) x n = α i x i n 1 x i (x)e i x i (x)e i x n 2K x x n 2K δ n N x n X x X x n(x)(y n x n ) X x n(x) y n x n 2K δ x y n x n < 2 3 x
26 T : X X T (x) = x + x n(x)(y n x n ) T T (x n ) = y n n N x T (x) = x n(x)(y n x n ) x x n y n x n < 2 3 x. T l 1 l l 1 l 1 {x n } n N X {x n } n N {x n } n N l 1 l 1 l 1 Y X B Y {s n } n N B Y l 1 l 1 X {s n } n N {s nk } k N
27 { s nk+1 s nk }k N {s n k } k N θ > 0 n N k, m N : n < k < m s k s m θ ( ) ( ) {p n } n N N s p2n s p2n 1 θ n N w u n = s p2n s p2n 1 u n 0 u n θ n N {z n } n N z n = u n Y u n {e n } n N {u n } n N {α i } i N {n i } i N k N u k = k+1 i=n k +1 {e n } n N α i e i {u n } n N u n 0 λ 1,..., λ m R n N m > k N
28 k λ j u j = j=1 k j=1 K λ j n j+1 i=n j +1 n j+1 j=1 i=n j +1 α i e i = k λ j α i e i K n j+1 j=1 i=n j +1 λ j α i e i λ j u j j=1 {u n } n N K {e n } n N {x n } n N δ = x n > 0 e n N n k(x n ) = 0 k N ϵ > 0 {x n} n N {u n } n N {e n } n N x n u n 2 < ϵ 2 x n = 1 n N { } x n n N {b n } n N {e n } n N x n b n 2 < ϵ 2 P k (y n ) = 0 k N k N ϵ > 0 n N N i = 1,..., k e i (x n ) e i < ϵ 2 i n > N n > N k P k (x n ) = e i (x n )e i k e i (x n ) e i < ϵ ( ) 0 < ϵ < δ ( ) k 1 = 1 n 1 = 0 x k1 = α (1) i e i n 2 N n 2 > n 1 n=n 2 +1 α n (1) e n α (1) n e n < ϵ 2 n 2 α (1) n e n < ϵ 2
29 u 1 = n 2 n=n 1 +1 n 3 > n 2 u 2 = n 3 i=n 2 +1 α (1) n e n x k1 u 1 2 < ϵ2 2 ( ) k 2 > k 1 α (2) i e i x k2 = n 2 i=n 3 +1 n 2 α (2) i e i α (2) i e i < ϵ 4 α (2) i e i < ϵ 4 α (2) i e i n 3 i=n 2 +1 α k 2 i e i < ϵ 4 α (2) i e i x k2 u 2 < ϵ 2 x k 2 u 2 2 < ϵ2 4 {k n } n N {u n } n N {e n } n N x kn u n 2 < ϵ2 2 n n N u n > δ ϵ > 0 n N {x n} n N = {x kn } n N x n u n 2 < ϵ 2 (1 ϵ)ϵ x n = 1 n N 0 < ϵ < δ m = 2 0 < m < ϵ < δ {x n} n N {u n } n N 1 ϵ < 1 m < u n n N x n u n 2 < m 2 = (1 ϵ)2 ϵ 2 4 z n = u n u n z n = 1 n N n N
30 x n z n = x n u n u n x n u n u n u n 1 x u n 1 ϵ n 1 ϵ 2 u n 1 + x n u n u n 1 x n z n ϵ 1 ϵ + x n u n 1 ϵ + 2 x n u n 2 (1 ϵ) 2 (1 ϵ) 2 x n u n = 0 u n = 1 n n { } 2 u n {u n N n} n N u n 1 < (1 ϵ)2 ϵ 2 { } x n 4 n N { } x n {b n N n} n N {z n } n N x n b n 2 (1 ϵ) 2 u n (1 ϵ) 2 x n u n 2 < ϵ 2 {e n } n N {x n } n N δ = x n > 0 e n N n k(x n ) = 0 k N ϵ > 0 {x n} n N {u n } n N {e n } n N x n u n < ϵ ϵ = δ 3K K {e n} n N {x n} n N {u n } n N ϵ = δ 3K {x n } n N
31 {x n } n N l 1 {x n } n N l 1 l 1 X {y n )} n N X l 1 m, M > 0 m y n M n N k N x k (y n) x k M n N {x k (y n)} n N k N {y n} n N {y n } n N {x k (y n)} n N k N z n = y n+1 y n k N n x k(z n ) = 0 c, C > 0 m N α 1,..., α m R c α i α i z i C α i n N { z n } > 0 {z n } n N {z n} n N {u n } n N {x n } n N {u n } n N l 1 X {e n } n N X = [e n : n N] X {x n } n N X {x n } n N {λ n } n N n N λ i x i < λ n x n {e n } n N {e n } n N {e n } n N
32 w i) ii) {u n } n N u n = 1 n N u n 0 x X x = λ n e n ϵ > 0 k 0 k > k 0 n=k+1 λ n e n < ϵ u k = k+1 i=n k +1 n k > k 0 ( ) x (u k ) = n=k+1 λ i e i (u k ) = λ n e n(x) < ϵ x 1 ( ) α i e i m N n m > k 0 k > m i=n k +1 λ i e i (u k ) < ϵ u k w 0 ii) i) {e n } n N x / [e n : n N] x = 1 Pn(x ) = x (e i )e i {P n(x )} n N x ϵ > 0 {m k } k N x P m k (x ) 2ϵ k N ( ) n 1 = m 1 ( ) x 1 = x ( i=n 1 +1 n 2 = m k2 x i=n 1 +1 u 1 = λ (1 i )e i n 2 i=n 1 +1 λ (1) n e n X x 1 = 1 λ (1) i e i ) 2ϵ k 2 N m k2 > n 1 n 2 i=n 1 +1 λ (1) i e i < ϵ x ( λ (1) i e i x ( i=n 1 +1 i=n 1 +1 λ (1) i e i ) < x ( λ (1) i e i ) 2ϵ x (u 1 ) > ϵ n 2 i=n 1 +1 λ (1) i e i ) + ϵ
33 ( ) x 2 = λ (2) n e n X x 2 = 1 x ( i=n 2 +1 k 3 N m k3 > n 2 n 3 = m k3 x i=n 2 +1 u 2 = λ (2) i e i n 3 i=n 2 +1 n 3 i=n 2 +1 λ (2) i e i < ϵ x ( λ (2) i e i x ( i=n 2 +1 i=n 1 +1 λ (1) i e i ) < x ( λ (2) i e i ) 2ϵ x (u 2 ) > ϵ n 3 i=n 2 +1 λ (1) i e i ) 2ϵ λ (2) i e i ) + ϵ {u k } k N x (u k ) > ϵ k N {u k } k N {u k } k N u k = P nk+1 (x k ) P nk (x k ) 2K x k = 2K z n = u n u n {e n } n N x X 1 K n N x (e i )e i x n N x = n n N { x (e i )e i = x (e i )e i x (e i )e i } x (e i )y (e i ) : y B X y B X y = x (e i )y (e i ) = x ( y (e i )e i ) x y (e n )e n y (e i )e i ) K x y K x
34 x (e i )e i K x n N 1 K n N x (e i )e i x x B X x = x (x ) = n N x (e n )x (e n) = n x (e i )e i x n N x (e n )e n x (e i )x (e i ) n N x (e i )e i x ( x (e i )e i ) c 0 {e nk } k N c 0 {e nk } k N k e ni = 1 < e ni k N {x n } n N c 0 T : c 0 X z n = T (e n ) {e n } n N c 0 M > 0 z n M n N w w e n 0 z n 0 {u n } n N X {z nk } k N {z n } n N {u n } n N
35 {x nk } k N T {e nk } k N {e n } n N Y = [e n, n N] J : X Y J(x)(y) = y(x) y Y J J x X J(x)(y) = y(x) x y y Y J(x) x J x = α n e n x n = α n e n x = x n n x n K J(x n ) n N J n N x X x = 1 x (x n ) = x n x P n < e 1,..., e n > Y x n = P n (x n ) x n = (x P n )(x n ) = J(x n )(x P n ) x P n J(x n ) K J(x n ) J(x) = x x X { J } y Y y (e i )e i X K 2 y n N y (e i )e i K J( y (e i )e i ) = K y (e i )J(e i ) n N
36 y (e i )J(e i ) K y y = y 1 y(e n )e n Y y (e i )J(e i )(y) = y ( y(e i )e i ) y y(e i )e i y K y K y y (e i )e i x = y (e n)e n y = J(x) {e n } n N {e n } n N i) ii) X = [e n, n N] J X X ii) i) x X P n(x ) = x (e i )e i w x n X w w X P n(x ) w x X = < e n, n N > w = < e n, n N >. { } {α n } n N R α i e i = M α n e n x n = n N α i e i X M B X w
37 X x M B X {x nk } k N {x n } n N x = w k x nk i N e i w e i (x) = e i (w k x nk ) = k e i (x nk ) = α i i N x = e n(x)e n = α n e n X ˆX T : X Y Y = T [X ] ˆX Y = X X = T [X ] ˆX T : X Y T (x )(y) = y(x ) y Y T (x ) = { T (x )(y) : y B Y } = { y(x ) : y B Y } { ˆx(x ) : x B X } = { x (x) : x B X } = x T (x ) = { y(x ) : y B Y } { x (x ) : x B X } = x T T [X ] Y X T [X ] Y Q : Y X Q(y ) = y : X X X X Q P : Y Y P = T Q P Q T = I Y I Y Y (Q T )(x )(x) = T (x )(ˆx) = ˆx(x ) = x (x) x X P 2 = T Q T Q = T Q = P P [Y ] = T [X ] Q Y x X y = ˆx Y Q(y ) = x T [X ] Y Y = T [X ] KerP
38 KerP = ˆX y ˆX P (y )(y) = T (Q(y ) = T (y )(y) = y(y ) = 0 y Y ˆX KerP y KerP T (y ) = 0 T 1 1 y = 0 y ˆX KerP ˆX Y = T [X ] ˆX Y = X (X/Y ) Y T : (X/Y ) Y T (ˆx )(x) = ˆx (x + Y ) x Y T (ˆx )(x) = ˆx (Y ) = 0 x X T (ˆx )(x) = ˆx (x + Y ) ˆx x + Y ˆx x T T x Y ˆx : X/Y R ˆx (x + Y ) = x (x) x X ˆx (x + Y ) = x (x) = x (x y) y Y x x y y Y ˆx (x + Y ) x x + Y ˆx (X/Y ) T (ˆx ) = x ˆx (X/Y ) T (ˆx ) = { T (ˆx )(x) : x B X } { T (ˆx )(x) : x + Y B X/Y } = { ˆx (x + Y ) : x + Y B X/Y } = ˆx x X x + Y 1 ˆx (x + Y ) = T (ˆx )(x) = T (ˆx )(x y) y Y T (ˆx ) x y y Y ˆx (x + Y ) T (ˆx ) x + Y T (ˆx ) T (ˆx ) = ˆx T
39 Y = [e n, n N] X = ˆX Y dim(x / ˆX) = dimy = dim(x /Y ) Y = T [Y ] Ŷ Y = J[X] Y = J [X ] J [ ˆX] = T [Y ] J [Y ] = Ŷ. X = ˆX Y (X / ˆX) = Y (X /Y ) dim(x / ˆX) = dimy = dim(x /Y )
40
41 J n, m N n m [n, m] = {k N : n k m} n N [n, ) = {k N : n k} { { m J = x = {x n } n N R : } } x n 2 < n I i {I i } m J { m x J x = } 1/2 x n 2 n I i {I i } m (J, ) x, y J {I i } m
42 ( (x n + y n ) 2 ) 1/2 = [( x n + y n ) ( x n + y n ) 2 ] 1/2 n I i n I 1 n I 1 n I m n I m ( x n 2 ) 1/2 + ( y n 2 ) 1/2 x + y x + y x + y n I i n I i { x (n)} J ϵ > 0 N n N m > n > N x (m) x (n) < ϵ i N I i { = {i}} x (m) i x (n) i < ϵ m > n > N i N x i = x = {x i } i N x (n) i n N x (n) i n x J x = x (n) ϵ > 0 M N n m > n M x n x m < ϵ 2 {I i } k ( k ( j I i (x (m) j k x (n) j ) 2 ) 1/2 < ϵ 2 j I i (x (n) j x j ) 2 ) 1/2 ϵ 2 m > n M m < ϵ n M ( ) n = M ( ) x (M) x J x J x = x (n) n n N e n = X {n} x J k N s k = k x i e i s k 2 + x s k 2 x 2
43 {I i } m l {1,..., m 1} I i [1, n] i = 1,..., l I i [n + 1, + ) i = l + 1,..., m l s n 2 + (x s n ) 2 = x n 2 x 2 n I i n I i n I i i=l+1 s k 2 + x s k 2 x 2 {e n } n N = (X {n} ) n N J e n 0 n N e n = 1 n N J = [e n : n N] x = {x n } n N J s n = x i e i x = s n. ϵ > 0 n {I i } m x n 2 > x 2 ϵ 2 ( ) n I i n 0 = { n : n } m I i ( ) x 2 s n 2 < ϵ 2 n n 0 n n 0 x s n 2 = x s n 2 + s n 2 s n 2 x 2 s n 2 < ϵ 2 x = s n. k, n N n k > n α 1,..., α k R {I i } m I i [1, n] i = 1,..., m ( α j 2 )) 1/2 j I i k α i e i α i e i k α i e i
44 J c 0 J {α n } n N n N {e n } n N { α i e i < α i e i = α i e i n n N } α i e i 2 ϵ > 0 n N n 0 N m > n > n 0 α i e i 2 m α i e i α i e i 2 i=n+1 α i e i 2 < ϵ 2 α i e i 2 < ϵ J α n e n J < c 00 (N) > c 00 (N) J < c 00 (N) > J I I = e n I J n I I x J ϵ > 0 n 0 N m > n > n 0 e i (x) < ϵ i=n+1
45 n I e n(x) x J I : J R I (x) = n I e n(x) x J I I J I w = e n I = 1 n I I s w = e n s / [e n : n N] s. = e n 0 < ϵ < 1 n 0 N n 0 s (x) e x=e n0 +1 n(x) < ϵ x B J 1 < ϵ, I / [e n : n N] I J x = α n e n J x n = α i e i { m } 1/2 x n = Ii (x n ) 2 n N {I i } m suppx n n N n ( ) ( ) { m } 1/2 x = Ii (x) 2 {I i } m J J J = [e n, n N] [s ] J
46 {d n } n N J d 1 = e 1 d n = e n e n 1, n > 1 {d n } n N J < d n, n N >=< e n, n N > [d n, n N] = J. n N α 1,..., α n, α n+1 R {I i } m m [1, n] n / I i n+1 n+1 ( Ii ( α i d i ) 2 ) 1/2 = ( Ii ( α i d i ) 2 ) 1/2 α i d i n+1 α i d i α i d i I m = [i, n] i n ( Ii ( m 1 n+1 = ( Ii ( m 1 α i d i ) 2 ) 1/2 = ( n+1 α i d i ) 2 + αi 2 ) 1/2 α i d i Ii ( α i d i ) 2 + Im( α i d i ) 2 ) 1/2 n+1 α i d i α i d i n+1 α i d i α i d i {d n } n N {d n } n N {u n } n N {d n } n N M = u n u n n n N
47 u i m > k N i 2 5M 2 1 i2 i=k i=k J k+1 u k = λ i d i i=k i=n k +1 u i i = λ n k +1 k e nk + λ n k +1 λ nk +2 k e nk λ n k+1 1 λ nk+1 e nk k + ( λ n k+1 λ n k+1 +1 k k + 1 )e n k+1 + λ n k+1+1 λ nk+1+2 e nk k ( λ n m 1 m 1 λ n m +1 m )e n m λ n m+1 1 λ nm+1 e nm λ n m+1 m m e n m+1 {I j } l j=1 {1,..., l} F k = {j {1,..., l} : I j [n k, n k+1 1]} F s = {j {1,..., l} : I j [n s + 1, n s+1 1]}, s = k + 1,..., m 1 F m = {j {1,..., l} : I j [n m + 1, n m+1 ]} m F = i=k F i U = {j {1,..., l} : s 1 < s 2 {k + 1,..., m} : I j supp(u s1 ), I j supp(u s2 ) } F, U {1,...l} s = k, k + 1,..., m F s I u i j ( i ) 2 = 1 I s 2 j (u s ) 2 M 2 I u i s 2 j ( i ) 2 M 2 1 i 2 j F s j F s j F i=k j U i=k s j,1 = {i {1,..., m} : I j supp(u i ) } s j,2 = {i {1,..., m} : I j supp(u i ) } i=k I j ( i=k u i i ) 2 = Ij ( u s j,1 + u s j,2 ) 2 2M 2 + 2M 2 s j,1 s j,2 s 2 j,1 s 2 j,2 4M 2 s 2 j,1
48 U m k + 1 i=k Ij ( j U u i i 2 5M 2 i=k i=k u i i ) 2 4M 2 1 i 2 i=k 1 i 2 u n n x = (d n ) n N x X, ϵ > 0 (u n ) n N (d n ) n N x (u n ) > ϵ n N x x (u n ) 1 (x) = > ϵ = + n n u n n J = [e n, n N] < s > J l 1 J < d n, n N >=< e n, n N > < s > J = [d n, n N] = < e n, n N > < s > [e n, n N] < s > = [e n, n N] < s > dim < s >= 1 < + J = [e n, n N] < s > l 1 c 0 J J
49 J J J J J e J \ J ˆ w ê n e [e n, n N] = [e ] {e n } n N w x J x = λ n e n + λs x (e n ) = λ n + λ n λ n λ n 0 e J ê n e e / J ˆ e w e (s ) = e (e n) = 0 e (s ) = s (e n ) = 1 n [e n, n N] = [e ] x = e ( λ n e n) = w λ n e n [e n, n N] λ n e (e n) = 0 < e > [e n : n N] x [e n : n N] x J y [e n : n N] λ R : x = y + λs x (x ) = λx (s ) = x (s )e (x ) x = x (s )e [e nn : N] < e > [e n, n N] =< e >
50 J = J ˆ [e ] J dim(j / J ˆ ) = 1 {e n } n N J 1 2 J (J, 1 ) (J, 2 ) J J = { {x n } c 0 : { (x p1 x p2 ) 2 + (x p2 x p3 ) (x pm 1 x pm ) 2} < } m N p 1 <... < p m x J x 1 = { (x p1 x p2 ) (x pm 1 x pm ) 2 : m N, p 1 <... < p m N } 1/2 J (J, 1 ) {e n } n N e n = X {n} (J, 1 ) x 2 = { (x p1 x p2 ) (x pm 1 x pm ) 2 + (x pm x p1 ) 2} 1/2 m N p 1 <... < p m 1 x 2 x 1 x 2 2 (J, 2 ) (J, ) (J, 1 )
51 n N α 1,..., α n R α i d i = α i e i 1 m N 1 p 1 p 1 < p 2 p 2 <... < p m p m n I j = [p j, p j] j = 1,..., m α n+1 = 0 Ij ( α i d i ) 2 = (α p1 α p 1 +1) 2 + (α p2 α p 2 +1) (α pm α p m +1) 2 j=1 n+1 α i e i ) 2 1 = α i e i ) 2 1 α i d i ) α i e i ) 1 m N p 1 <... < p m n + 1 I j = [p j, p j+1 1], j = 1,..., m (α p1 α p2 ) (α pm 1 α pm ) 2 = j=1 α i e i 1 Ij ( α i d i ) 2 α i d i α i d i 2 {e n } n N (J, 1 ) (J, 2 ) α i d i = α i e i 1 α 1,..., α n R, n N 1 2 u n {u n } n N {e n } n N n
52 x J {x (e n)} n N x J 1 {e n } n N x 1 = x (e i )e i 1 n N x n = x (e i )e i N N n x 2 1 x N 2 1 < ϵ 2 ( ) k N p 1 <... < p k N +1 x N 1 = [x (e p 1 ) x (e p 2 )] [x (e p k 1 ) x (e p k )] 2. m > n N + 2 x (e m ) x (e n ) < ϵ (x (e n)) n N m N x m 1 > x 1 x 1 = n N x (e i )e i 1 (J, 2 ) π : J J π(x ) = ( λ, x (e 1) λ, x (e 2) λ,...) λ = n x (e n) π α 1 = λ α n = x (e n 1) λ π(x ) = α n e n π(x ) 2 = α n e n 2 = n N α i e i 2 = n N x (e i )e i 2 = x 2 {e n } n N (J, 2 ) x = {x n } n N J (x i+1 x 1 )e i 2 < y n = (x i+1 x 1 )e i {y n } n N n N
53 J x J {y n} n N {y n } n N ŷ n w x x (e n) = x n+1 x 1 n N π(x ) = x J (J, 2 ) J (J, 2 ) J l 2 J l 2 l 2 J {u n } n N {e n } n N m N α 1,..., α m R ( αi 2 ) 1/2 α i u i m N α 1,..., α m R αi 2 = 1 1 α i u i u i = 1 i = 1,..., m {u n } n N {I j } l j=1 1 < l 1 <... < l m 1 < l l 0 = 1 l m = l {I j } l i j=l i 1 supp(u i ) i = 1,..., m l i j=l i 1 I j (u i ) 2 = 1 i = 1,..., m l Ij ( α i u i ) 2 = j=1 αi 2 = 1 1 α i u i
54 {u n } n N {e n } n N n s (u n ) = 0 ϵ > 0 {u n} n N m N α 1,...α m R (1 ϵ m 2 )( αi 2 ) 1/2 u k = k+1 i=n k +1 α i u i ( 5 + ϵ m 2 )( αi 2 ) 1/2 λ i e i y k = u k s (u k )e nk+1 y k 1 + s (u k ) k N u k y k = 0 k {y n} n N (y n ) n N {u n} n N {u n } n N k=1 u k y k 2 < ϵ2 16 y k < 1 + ϵ2 128 k N m N α 1,..., α m R αi 2 = 1 1 ϵ m 2 < 1 α i u i α i y i 5 + ϵ 4 {I j } l j=1 i = 1,..., m m F i = {j {1,..., l} : I j supp(y i)} F = F i i:f i Ij ( α i y i) 2 = Ij (α i y i) 2 j F j F i i:f i α 2 i (1 + ϵ2 128 ) < 1 + ϵ2 32 U = { j {1,..., l} : i 1 < i 2 {1,..., m} : I j supp(y i 1 ), I j supp(y i 2 ) } j U s j,1 = {i {1,..., m} : I j supp(y i) }
55 s j,2 = {i {1,..., m} : I j supp(y i) } Ij ( α i y i) 2 = I j (α sj,1 y s j,1 ) + I j (α sj,2 y s j,2 ) 2 j U j U j U (2α 2 s j,1 I j (y s j,1 ) 2 + 2α 2 s j,2 I j (y s j,2 ) 2 ) 4 + ϵ2 32 F, U {1,..., l} α i y i < 5 + ϵ2 16 < 5 + ϵ 4 α i u i α i u i y i + α i y i ( u i y i 2 ) 1/ ϵ ϵ 2 J l 2 J {x n } n N ϵ > 0 {x n} n N {x n } n N m N α 1,..., α m R (1 ϵ)( αi 2 ) 1/2 α i x i ( 5 + ϵ)( αi 2 ) 1/2 J l 1 {x n } n N J {u n } n N {x n} n N {x n } n N x n u n 2 < ϵ2 4
56 m N α 1,..., α m R αi 2 = 1 α i x i α i x i u i + α i u i 5 + ϵ α i u i α i x i u i α i x i 1 ϵ α i x i
57 J T J T J 2 <N = {σ = (σ 1,..., σ n ) : σ i {0, 1} i = 1,..., n, n N} { } 2 <N : 2 <N N {0} { 0 s = s = n s = (s 1,..., s n ) 2 <N s s 2 <N s, u 2 <N s, u, s t s t s i = t i i = 1,..., s 2 N = {(σ n ) n N R : σ n {0, 1} n N} σ 2 N n N σ n = (σ 1,..., σ n ) 2 <N σ 1,..., σ n 2 N N N σ i N σ j N i, j {1,..., n}
58 i j σ 1,..., σ n I 2 <N s, t I s t t s s, t I w 2 <N s w t w I I I n I = {s 1, s 2,..., s n } s 1 s 2,..., s n s 1 I s n I I in(i) end(i) in(s) end(s) S s, t I s t S I in(s) = s end(s) = t S, I in(s) in(i) end(s) = end(i) I S I σ(i) 2 N n N I = {σ(i) n+k : k = 0, 1,...} σ(i) n in(i) I 1,..., I n σ(i 1 ),..., σ(i n ) I 1,..., I n N σ(i i ) N σ(i j ) N i, j {1,..., n} i j N in(i i ) i = 1,..., n t 1 = t 2 = (0) n > 2 t n = (σ 1,..., σ m ) i = 1,...m σ i = 1 t n+1 = (σ 1,..., σ m, σ m+1) σ i = 0 i = 1,..., m + 1 i 0 = max {i {1,..., m} : σ i = 0} t n+1 = (σ 1,..., σ m) σ i = σ i i = 1,..., i 0 1 σ i 0 = 1 σ i = 0 i = i 0 + 1,..., m 2 <N = {t n : n N} 2 <N n N t n = [ 2 n] [ ] s 2 <N e s = X {s} e n = X {tn } {e s } s 2 <N {e n } n N { { m J T = x : 2 <N R : } } x(t) 2 < t I i
59 {I i } m J T { m x J T x = } 1/2 x(t) 2 t I i {I i } m (J T, ) x, y J T {I i } m ( (x(t) + y(t)) 2 ) 1/2 = [( x(t) + y(t)) ( x(t) + y(t)) 2 ] 1/2 t I i t I 1 t I 1 t I m n I m ( x(t) 2 ) 1/2 + ( y(t) 2 ) 1/2 x + y x + y x + y t I i t I i {x n } n N J ϵ > 0 N m > n N x m x n < ϵ t 2 <N I t = {t} x m (t) x n (t) < ϵ m > n > N {x n (t)} n N t 2 <N x : 2 <N R x(t) = x n (t) x J T x = x n n n ϵ > 0 M N m > n M x n x m < ϵ 2 {I i } k k ( x m (t) x n (t)) 2 ) 1/2 < ϵ 2 t I i k ( x n (t) x 2 ) 1/2 ϵ 2 t I i m > n M m < ϵ n M ( )
60 n = M ( ) x M x J T x J T x = x n n x J T k N s k = k x i e i s k 2 + x s k 2 x 2 {e n } n N J T e n 0 n N e n = 1 n N J T = [e n : n N] x J T s n = x(t i )e i x = s n. ϵ > 0 n {I i } m x(t) 2 > x 2 ϵ 2 ( ) t I i n 0 = { t : t } m I i ( ) x 2 s n 2 < ϵ 2 n 2 n 0+1 n 2 n0+1 x s n 2 = x s n 2 + s n 2 s n 2 = x 2 s n 2 < ϵ 2 x = s n. n N n α 1,..., α n, α n+1 R {I i } m m t n+1 / I i ( n+1 α j 2 )) 1/2 α i e i t j I i n+1 α i e i α i e i
61 {e n } n N c 0 J T J T < c 00 (2 <N ) > I I = e s J T I I w = e s J T s I s I I = 1 I σ 2 N σ w = e σ n I / [e n : n N] I {e n } n N J T x J T { m } 1/2 x = Ii (x) 2 {I i } m σ 2 N [e σ n, n N] J T :< e σ n, n N > J T ( λ i e σ i ) = (λ 1,..., λ n, 0,...) T N I 1 = [n 1, n 1],...I m =
62 [n m, n m] 2 <N S 1 = [σ n1, σ n 1 ],..., S m = [σ nm, σ n m ] Ij ( λ i e i ) 2 = j=1 Sj ( λ i e σ i ) 2 T (x) = x j=1 T [e σ n, n N] x = λ n e n J ϵ > 0 N N m > n > N i=n+1 λ n e σ n T ( λ n e σ n ) = λ i e σ i = λ i e i < ϵ i=n+1 λ n e n J T { σ : σ 2 N} 1 σ1 σ2 s 2 <N σ1(e s ) = 1 σ2(e s ) = 0 σ1 σ2 1 J T σ 2 N σ J T \ ˆ J T ê σ n w σ T : [e σ n : n N] J T : J [e σ n : n N] J = [e n, n N] [s ] x [e σ n : n N] (λ n ) n N λ R x = T ( λ n e n + λs ) = λ n (e n T ) + λ(s T )
63 (e σ k ) k N w x J T x [eσ n :n N] [e σ n : n N] k N x (e σ k ) = λ n e n(t (e σ k ))+λs (T (e σ k )) = λ n e n(e k )+λs (e k ) = λ k +λ k λ λ k k 0 σ J T σ = w k ê σ k σ / J ˆ T. σ (σ ) = σ (e σ n ) = 1 n σ ˆ J T σ w σ (σ ) = σ (e σ n ) = 0 l 1 J T l 1 J T J J J T {I n } n N 2 <N x J T In(x) 2 x 2 {α n } n N B l2 α n In(x) x α n In(x) x J T w α n In B J T K = { w } α n In : {α n } n N B l2 {I n } n N K B J T J T x = {k (x) : k K} x = { k (x) : k K} x J T
64 x J T K B J T {k (x) : k K} x n N x n = e i (x)e i {I i } m x n 1 n λ i = ( Ii (x n ) k = Ii (x n ) 2 ) 1/2 m < ( Ii (x n ) 2 ) 1/2 λ i Ii K k (x n ) = ( Ii (x n ) 2 ) 1/2 x n 1 < n k (x n ) {k (x n ) : k K} n x {k (x) : k K} w J T J T (B X, w ) K kn = w α i,n Ii,n K n N α i+1,n α i,n i N {I n } n N {I kn } n N I Ik w n I {I kn } n N { Ik n (e s ) } n N s 2 <N I = { } s 2 <N : n s N s I kn n n s I s, t I n 0 N s, t I kn0 s t t s s, t I w 2 <N s w t I n 0 N s, t I n n n 0 w I n n n 0 w I n I k n (s) = I (s) s 2 <N In = 1 n N
65 M [N] {α i } i N B l2 n M α i,n α i i N {I i } i N I i = w I n M i,n {I i } i N k = w α i Ii K k = w k n M n s 2 <N ϵ > 0 N N ( αi 2 ) 1/2 < ϵ 4 n 0 N n n 0 N i=n+1 α i,n Ii,n(e s ) α i Ii (e s ) < ϵ 4 α N+1,n α N+1 < ϵ n M 4 n n 0 + i=n+1 α i,n Ii,n(e s ) α i I i (e s ) < ϵ 4 + ( α i Ii (e s ) i=n+1 α 2 i ) 1/2 ( N α i,n Ii,n(e s ) α i Ii (e s ) + i=n+1 i=n+1 α i,n I i,n(e s ) + I i (e s ) 2 ) 1/2 + α j,n j N + 1 < ϵ 4 + ϵ 4 + α N+1,n ϵ 2 + α N+1,n α N+1 + α N+1 ϵ 2 + ϵ 4 + ϵ 4 = ϵ kn(e s ) n M k (e s ) s 2 <N (X, A, µ) f L 1 ( µ ) f µ f dµ = f dµ + f dµ X X X f n : (X, A) R f = f n g L 1 ( µ ) n f n g n N X f n dµ = f dµ n X X n X f n f dµ = 0 X µ X µ M r (X)
66 f C (X) µ M r (X) f (f) = f dµ f C(X) X C(K) w {x n } n N J T {I (x n )} n N I {x n } n N w M = { x n } T : J T C(K) T (x) = ˆx K n N T T (x) = ˆx K = { ˆx(x ) : x K} = { x (x) : x K} = x K J T T : C (K) J T x J T f C (K) x = f T x J T µ x M r (K) n N x (x n ) = ˆx n K, dµ x ˆx n K M n N K µ x (K) < x J T {x (x n )} n N x K x = w λ i Ii K α i = Ii (x n ) n ( αi 2 ) 1/2 M λ i α i M ( i=n+1 λ i α i ϵ > 0 N N λ 2 i ) 1/2 < ϵ 3M i=n+1 λ i α i < ϵ 3 n 0 N
67 N n n 0 λ i Ii (x n ) λ i α i < ϵ 3 n n 0 x (x n ) λ i α i N λ i Ii (x n ) λ i α i + λ i Ii (x n ) + λ i α i < ϵ 3 + ( λ 2 i ) 1/2 ( i=n+1 i=n+1 i=n+1 i=n+1 I i (x n ) 2 ) 1/2 + ϵ 3 < ϵ 3 + ϵ 3 + ϵ 3 = ϵ X f n : X R { f n (x) } < x X ϵ > 0 M [N] L n N [M] n L f n (x) n L f n(x) < ϵ x X {f n } n N {L k } k N N k N n L k {n k } k N n k L k f n (x) f n (x) < 1 n L k k x X k N L = {n k : k N} L k N L L k x X f n (x) n L n L k f n (x) = n L n L n L f n (x) (f n ) n L f n (x) f n (x) < 1 n L k k f n (x) k N k l 1 J T
68 l 1 J T J T l 1 l 1 J T {u n } n N M = n N { u n } {u nk } k N {I (u nk } k N I K [N] {S (u n )} n K S ϵ > 0 M [K] L [M] σ (u n ) n L n L σ (u n ) ϵ σ 2 N ϵ > 0 M [K] L [M] σ L 2 N n L σ L(u n ) n L σ L(u n ) > ϵ σ L2 (u n )+ n L n L σ L2 (u n ) > ϵ2 ( ) k N k ϵ2 2 4 > M 2 L 0 [M] σ 1 2 N ( ) σ 2 1 (u n ) σ 2 1 (u n ) ϵ2 n L 0 n L 0 4 L 1 [L 0 ] σ 2 1 (u n ) > ϵ2 n L1 4 σ 2 2 N ( ) σ 1 σ 2 L k L k 1,..., L 1 N σ 1,..., σ k 2 N σ 2 i (u n ) > ϵ2 n Li 4 i = 1,..., k σ 2 i (u n ) > ϵ2 n Lk 4 i = 1,..., k N L k i = 1,..., k σi 2 (u n ) > ϵ2 n L k : n N σ 1,..., σ k 4 {u n } n N k n 0 L k n 0 N u n0 2 σ 2 i (u n0 ) > k ϵ2 4 > M 2 J T w
69 l 1 J T l 1 J T l 1 c 0 J T l 1 w K X conv w (K) = conv. (K) J T J T = [I : I 2 <N ] = [I : I 2 <N ] K J T B J T = conv. (K) = conv w (K) K B J T conv w (K) B J T B J T w x B J T \ conv w (K) w x J T { k (x) : k conv w (K) } < x (x) {k (x) : k K} < x (x) x K J T
70 { { } } l 2 (2 N ) = f : 2 N R : f(σ) 2 : F 2 N < σ F { 1/2 < f, g >= f(σ)g(σ) : F 2 } N σ F l 2 (2 N ) S : l 2 (2 N ) l 2(2 N ) S(f)(g) =< f, g > g l 2 (2 N ) f l 2 (2 N ) {λ n } n N l 2 {σ n } n N 2 N f = λ n X {σn } suppf = { σ 2 N : f(σ) > 1 } suppf n { σ 2 N : f(σ) > n} 1 n N n N k N σ 1,..., σ k 2 N f(σ i ) > 1 i = 1,..., k n k k n < f(σ 2 i ) 2 f 2 k suppf = {σ n : n N} k f(σ i )X {σi } f = n N { i=k+1 f(σ i ) 2 } = i=k+1 f(σ i ) 2 k 0 {f(σ n )} n N l 2 f = f(σ n )X {σn }
71 (X, d) (Y m ) m N P(X) Y = dist(x, Y ) = m dist(x, Y m) x X m=1 Y m x X (dist(x, Y m )) m N Y m Y m N dist(x, Y ) dist(x, Y m) m y Y {y k } k N Y m y {m k } k N y k Y mk k N m 1 N y 1 Y m1 m 2 N y 2 Y m 2 m 2 = {m 1, m 2} + 1 > m 1 y 2 Y m2 y k Y mk m k+1 N y k+1 Y m k+1 m k+1 = { m k, m k+1} + 1 {mk } k N dist(x, Y mk ) d(x, y k ) k N dist(x, Y m) = m dist(x, Y m k ) d(x, y k ) = d(x, y) dist(x, Y k k m) dist(x, Y ) m dist(x, Y ) = dist(x, Y m). m y k k m=1 Y = [e s : s N ] Q : J T J T /Y Q(x ) = x + Y J T /Y = Q[J T ] = Q(< I : I > Q[< I : I >] = [I + Y : I ] J T /Y = [I + Y : I ] J T /Y l 2 (2 N ) < I + Y : I 2 <N > I, S
72 I + Y = S + Y σ(i) = σ(s) I S Y U :< I + Y : I 2 <N > l 2 (2 N ) U( λ i Ii + Y ) = λ i X {σ(ii )} U I 1,..., I n λ 1,..., λ n R λ 2 i = 1 λ i Ii +Y = 1 λ i Ii (x) ( λ 2 i ) 1/2 ( λ i Ii 1 I i λ i Ii + Y 1 2 (x)) 1/2 x x J T N I 1,..., I n Y m =< e s : s m > Y = Y m m N x m = λ i e σ(ii ) m+1 x m = 1 y Y m λ i Ii (x m ) y (x m ) = 1 dist( λ i Ii (x m ) = 1 1 λ i Ii, Y m ) m N = dist( λ i Ii, Y m ) 1 m m=1 m N m N λ i Ii y y Y m λ i Ii + Y = dist( λ i Ii, Y ) = U J T /Y U k f = λ n X {σn} = U( λ n σn +Y ) k f U[J T /Y ] J T /Y U[J T /Y ] U[J T /Y ] l 2 (2 N ) f U[J T /Y ] U J
73 J T J T / ˆ J T J T dim(j T / J ˆ T ) = dim((j T /Y ) ) = dim(l 2(2 N )) = dim(l 2 (2 N )) = + J T = J ˆ T [σ : σ 2 N ] x J T x = ˆx + λ n σn x J T {λ n } n N l 2 {σ n } n N 2 N JˆT [σ : σ 2 N ] = {0} J T y Y y = λ n σ n {λ n } n N l 2 {σ n } n N 2 N T U S l 2 (2 N ) L = T U S : l 2 (2 N ) Y L L L(X {σ} ) = σ σ 2 N σ 2 N I 2 <N L(X {σ} )(I ) = T U S(X {σ} )(I ) = S(X {σ} )(U(I + Y )) = U(I + Y )(σ) = = X {σ(i)} (σ) = σ (I ) L(X {σ} ) = σ J T = [I : I ]. X X ˆX w X ˆX w X X w X l 1 J T
74 J ˆ T w J T x {x n } n N J T x = w ˆx n n J T x = ˆx + j=1 σ 1,..., σ n x n = x + λ j σ j x 1 = x n > 1 k n λ j e σj kn {x n } n N {λ n } n N l 2 I (x n ) n λ j σj (I ) I j=1 I i N σ(i) = σ i n n 0 I (x n ) = λ i = λ n σn (I ) I (x n ) = 0 = λ j σj (I ) n N I I (x n ) n j=1 j=1 j=1 λ j σ j (I ) J T l 2 J T l 2 l 2 M M (2) = {(n, m) : n, m M, n < m} [M] M
75 A 1,..., A k N N (2) = M (2) A i k A i M [N] i {1,..., k} L [N] n N {n} (2) L = {n, m) : m L, n < m} M 1 = N m 1 M 1 M 2 [M 1 ] i 1 {1,..., k} {m 1 } (2) M 2 A i1 m 2 M 2 m 2 > m 1 M 3 [M 2 ] i 2 {1,..., k} {m 2 } (2) M 3 A i2 {m n } n N N {M n } n N [N] {i n } n N {1,..., k} m p M n p n {m n } (2) M n+1 A in n N k { N = n N : {m n } (2) M n+1 A i } i {1,..., k} { } L = n N : {m n } (2) M n+1 A i M = {m n : n L} [N] m n, m p M m n < m p n < p m p M n+1 (m n, m p ) A i M (2) A i {x n } n N J T n I (x n ) = 0 I ϵ > 0 {x n } n M S in(s) = S (x n ) ϵ n M n(s) M S ϵ > 0 K = { x n } n N n N α n = {supp(x n )} Q n = { t 2 <N : t = α n St (x n ) > ϵ S t in(s) = t }
76 n N ϵ 2 Q n < St (x n ) 2 x n 2 K 2 Q n K2 ϵ 2 t Q n n N α N {0} L [N] Q n = α n L α = 0 (x n ) n L Q n = n L α 1 n L Q n = {t i,n : 1 i α} i, j {1,..., α} A i,j = {n, m L : n < m S t i,n t j,m S (x n ) > ϵ} A = N (2) \ 1 i,j α A i,j N (2) = A 1 i,j α A i,j M [N] M (2) A M (2) A i,j i, j {1,..., α} i, j {1,..., α} M (2) A i,j n, k M n+1 < k (n, k), (n+1, k) M (2) t i,n t i,n+1 S 1 t i,n S 2 t i,n+1 t j,k S1(x n ) > ϵ S2(x n+1 ) > ϵ t i,n+1 S 1 S n,n+1 t i,n t i,n+1 Sn,n+1(x n ) = S1(x n ) > ϵ I = S n,n+1 I I (x n ) = Sn,n+1(x n ) > ϵ n M I (x n ) = 0 M (2) A n (x n ) n M S in(s) = n, m M n < m S (x n ) > ϵ S (x m ) > ϵ t 1 S t 1 = α n t 2 S t 2 = α m Q n Q m i, j {1,..., α} t 1 = t i,n t 2 = t j,m (n, m) A i,j A A i,j =. 1 i,j α (x n ) n N J T ϵ > 0 M [N] S in(s) = S (x n ) ϵ n M n(s) ϵ {y n } n N J T n I (x n ) = 0 I ϵ > 0 {y n} n N n N
77 λ 1,..., λ n R ( λ 2 i ) 1/2 λ i y i 2(1 + ϵ)( λ 2 i ) 1/2 ϵ > 0 {ϵ k } k N R {M k } k N [N] {y n } n Mk ϵ k k N k N S in(s) = S(y n ) ϵ k n M k n(s) M k n N α n = {supp(x n )} m n = 2 α n {p n } n N {k n } n N p n M kn n N m n ( l=n+1 ϵ 2 k l ) < ϵ 2 k 1 = 1 p 1 M k1 ϵ n n 0 L 1 [N] r L 1 ϵ 2 r < ϵ2 2m 1 n L k 2 L 1 k 2 L 1 p 2 M k2 p 2 > p 1 ϵ 1 n 0 L 2 [L 1 ] ϵ 2 r < ϵ2 2 2 m 2 r L 2 k 3 L 2 k 3 > k 2 p 3 M k3 p 3 > p 2 {k n } n N {p n } n N p n M kn n N {L n } n N [N] k n L n ϵ 2 r < ϵ2 n N k 2 n l L n l n + 1 m n r L n l=n+1 ϵ 2 k l r L n ϵ 2 r < ϵ2 2 n m n n N m n ( l=n+1 ϵ 2 k l ) < ϵ 2 {k n } n N {p n } n N n N y n = y pn, b n = α pn, δ n = ϵ kn {y n} n k δ k k N k N
78 p n M k n k {y n} n k {y n } n Mk δ k m n ( δl 2 ) < ϵ 2 l=n+1 S i(s) = {n N : in(s) b n } in(s) = b i(s) S A(S) = {n N : S(y n) > δ n } A(S) λ(s) = mina(s) λ(s) = + S (y n) 2 n λ(s) n i(s) A(S) = {n 1 < n 2 <... < n j < n j+1 <...} λ(s) = n 1 i(s) n 1 j N (y n) n nj δ nj S (y n j ) > δ nj S (y n j+1 δ nj S (y n) 2 = S (y n) 2 = S (y n j ) 2 + S (y n) 2 n λ(s) n i(s):n n 1 j=2 n i(s):n/ A(S) δn 2 j + δn 2 = j=1 n i(s):n/ A(S) n N λ 1,..., λ n R δ 2 n n i(s) 1 δ 2 n λ 2 i = 1 λ i y i U S U S = S 0 S S 0 = { t S : t < b i(s) } S = { t S : b i(s) t } S 0, S S S = S1 S S 1 = { t S : b i(s) t < b i(s)+1 } S = { t S : b i(s)+1 t }
79 S S = S 1 S 2 S 3 { } S 1 = t S : b i(s)+1 t < b λ(s ) } S 2 = {t S : b ) λ(s t < b )+1 λ(s } S 3 = {t S : b λ(s )+1 t λ(s ) = + b λ(s ) = + S = S 0 S 1 S 1 S 2 S 3 x = λ i y i S (x) 2 = S U S U 4 S U S 0(x) + S 1(x) + S 1 (x) + S 2 (x) + S 3 (x) 2 ( S0(x) 2 + S1(x) 2 + S 2 (x) 2 )) + 4 S 1 (x) + S 3 (x) 2 S U R S 0, S 1, S 2 R(x) = λ i R(y i) i {1,..., n} R(x) 2 = λ 2 i R(y i) 2 S U ( S 0(x) 2 + S 1(x) 2 + S 2 (x) 2 )) = S U = λ 2 i ( S U ( S 0(y i) 2 + S 1(y i) 2 + S 2 (y i) 2 )) (λ 2 i ( S 0(y i) 2 + S 1(y i) 2 + S 2 (y i) 2 )) λ 2 i y i = λ 2 i = 1 S U S 1 (x) + S 3 (x) 2 =,i λ(s ) n λ(s ) λ i S (y i) 2 ( S (y n) 2 n i(s ),i λ(s ) δ 2 n λ 2 i )(,i λ(s ) S (y i) 2 ) k N U k = {S U : i(s) = k} S U k i(s ) = k + 1
80 S U = S 1 (x) + S 3 (x) 2 = k=1 S U k n i(s ) δ 2 n = S 1 (x) + S 3 (x) S U k δn 2 m k ( k=1 k=1 S U k n k+1) k=1 n=k+1 δ 2 n) < ϵ 2 U S (x) 2 < 4 + 4ϵ 2 < 4(1 + ϵ) 2 S U λ i y i 2(1 + ϵ) 1 λy i 2(1 + ϵ) J T l 2 Y {x n } n N Y ϵ > 0 {x n} n N n N λ 1,..., λ n R (1 ϵ)( λ 2 i ) 1/2 λ i x i (2 + 3ϵ)( λ 2 i ) 1/2 Y J T l 1 J T {x n } n N Y ϵ > 0 {x n} n N (y n ) n N x n y n 2 < ϵ 2 ( )
81 I (x n) n 0 ( ) x n y n n 0 I I (y n ) I (x n ) + I x n y n n N I (y n ) = 0 n ϵ > 0 {y n} n N n N λ 1,..., λ n R ( λ 2 i ) 1/2 λ i y i 2(1 + ϵ)( λ 2 i ) 1/2 {x n} n N {x n} n N n N λ 1,..., λ n R λ i x i λ i x i y i + λ i y i ( λ 2 i ) 1/2 ( x i y i 2 ) 1/2 + 2(1 + ϵ)( (2 + 3ϵ)( λ 2 i ) 1/2 λ 2 i ) 1/2 λ i y i λ i x i y i ( λ 2 i ) 1/2 ( λ 2 i ) 1/2 ( x i y i 2 ) 1/2 (1 ϵ)( λ 2 i ) 1/2 λ i x i λ i x i λ i x i (1 ϵ)( λ 2 i ) 1/2 λ i x i (2 + 3ϵ)( λ 2 i ) 1/2
82
83 l 1 l 1
Αφιερώνεται στα παιδιά μας Σπυριδούλα, Αχιλλέα και Αναστασία
0 3 10 71 < < 3 1 7 ; (y k ) 0 LU n n M (2; 4; 1; 2) 2 n 2 = 2 2 n 2 n 2 = 2y 2 n n ' y = x [a; b] [a; b] x n = '(x n 1 ) (x n ) x 0 = 0 S p R 2 ; S p := fx 2 R 2 : kxk p = 1g; p = 1; 2; 1 K i
(x y) = (X = x Y = y) = (Y = y) (x y) = f X,Y (x, y) x f X
X, Y f X,Y x, y X x, Y y f X Y x y X x Y y X x, Y y Y y f X,Y x, y f Y y f X Y x y x y X Y f X,Y x, y f X Y x y f X,Y x, y f Y y x y X : Ω R Y : Ω E X < y Y Y y 0 X Y y x R x f X Y x y gy X Y gy gy : Ω
l 1 p r i = ρ ij α j + w i j=1 ρ ij λ α j j p w i p α j = 1, α j 0, j = 1,..., p j=1 R B B B m j [ρ 1j, ρ 2j,..., ρ Bj ] T = }{{} α + [,,..., ] R B p p α [α 1,..., α p ] [w 1,..., w p ] M m 1 m 2,
Κεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα
x + = 0 N = {,, 3....}, Z Q, b, b N c, d c, d N + b = c, b = d. N = =. < > P n P (n) P () n = P (n) P (n + ) n n + P (n) n P (n) n P n P (n) P (m) P (n) n m P (n + ) P (n) n m P n P (n) P () P (), P (),...,
γ 1 6 M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.2 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.05 F 2 2 λ τ M = 6000 M = 10000 M = 15000 M = 6000 M = 10000 M = 15000 1 6 τ = 36 1 6 τ = 102 1 6 M = 5000
m i N 1 F i = j i F ij + F x
N m i i = 1,..., N m i Fi x N 1 F ij, j = 1, 2,... i 1, i + 1,..., N m i F i = j i F ij + F x i mi Fi j Fj i mj O P i = F i = j i F ij + F x i, i = 1,..., N P = i F i = N F ij + i j i N i F x i, i = 1,...,
φ(t) TE 0 φ(z) φ(z) φ(z) φ(z) η(λ) G(z,λ) λ φ(z) η(λ) η(λ) = t CIGS 0 G(z,λ)φ(z)dz t CIGS η(λ) φ(z) 0 z
k k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)
l dmin dmin p k δ i = m p (p l ) p l µ p BCH µ WB t (q+) l l i m h(x) A B C = A B k SNR rec. db k SNR rec. db SNR rec. db p = p = p = SNR rec. db p = k = q = t k σ p(k;{a i} n i= ) n σ p(n;{a i} n i= )
10 20 X i a i (i, j) a ij (i, j, k) X x ijk j :j i i: R I J R K L IK JL a 11 a 12... a 1J a 21 a 22... a 2J = a I1 a I2... a IJ = [ 1 1 1 2 1 3... J L 1 J L ] R I K R J K IJ K = [ 1 1 2 2... K
k k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)
(G) = 4 1 (G) = 3 (G) = 6 6 W G G C = {K 2,i i = 1, 2,...} (C[, 2]) (C[, 2]) {u 1, u 2, u 3 } {u 2, u 3, u 4 } {u 3, u 4, u 5 } {u 3, u 4, u 6 } G u v G (G) = 2 O 1 O 2, O 3, O 4, O 5, O 6, O 7 O 8, O
Ax = b. 7x = 21. x = 21 7 = 3.
3 s st 3 r 3 t r 3 3 t s st t 3t s 3 3 r 3 3 st t t r 3 s t t r r r t st t rr 3t r t 3 3 rt3 3 t 3 3 r st 3 t 3 tr 3 r t3 t 3 s st t Ax = b. s t 3 t 3 3 r r t n r A tr 3 rr t 3 t n ts b 3 t t r r t x 3
1951 {0, 1} N = N \ {0} n m M n, m N F x i = (x i 1,..., xi m) x j = (x 1 j,..., xn j ) i j M M i j x i j m n M M M M T f : F m F f(m) f M (f(x 1 1,..., x1 m),..., f(x n 1,..., xn m)) T R F M R M R x
η η η η GAR = 1 F RR η F RR F AR F AR F RR η F RR F AR µ µ µ µ µ µ Γ R N=mxn W T X x mean X W T x g W P x = W T (x g x mean ) X = X x mean P x = W T X d P x P i, i = 1, 2..., G M s t t
Λύσεις στην Συναρτησιακή Ανάλυση Κανονική εξεταστική 2009 (μπορεί να περιέχουν λάθη)
Λύσεις στην Συναρτησιακή Ανάλυση Κανονική εξεταστική 009 (μπορεί να περιέχουν λάθη) (L) Θέμα 1 α) i Ένα σύνολο A X λέγεται γραμμικά ανεξάρτητο αν κάθε πεπερασμένο υποσύνολό του είναι γραμμικά ανεξάρτητο.
Q π (/) ^ ^ ^ Η φ. <f) c>o. ^ ο. ö ê ω Q. Ο. o 'c. _o _) o U 03. ,,, ω ^ ^ -g'^ ο 0) f ο. Ε. ιη ο Φ. ο 0) κ. ο 03.,Ο. g 2< οο"" ο φ.
II 4»» «i p û»7'' s V -Ζ G -7 y 1 X s? ' (/) Ζ L. - =! i- Ζ ) Η f) " i L. Û - 1 1 Ι û ( - " - ' t - ' t/î " ι-8. Ι -. : wî ' j 1 Τ J en " il-' - - ö ê., t= ' -; '9 ',,, ) Τ '.,/,. - ϊζ L - (- - s.1 ai
u(x, y) =f(x, y) Ω=(0, 1) (0, 1)
u(x, y) =f(x, y) Ω=(0, 1) (0, 1) u(x, y) =g(x, y) Γ=δΩ ={0, 1} {0, 1} Ω Ω Ω h Ω h h ˆ Ω ˆ u v = fv Ω u = f in Ω v V H 1 (Ω) V V h V h ψ 1,ψ 2,...,ψ N, ˆ ˆ u v = Ω Ω fv v V ˆ ˆ u v = Ω ˆ ˆ u ψ i = Ω Ω Ω
4 8 c +t +t - (t +t ) - <t +t < - < t t < + +c ( ) +t + ( ) +t + [ - (t +t )] (t + t ) + t + t t 0 + +c c x i R + (i ΔABC ABC ) x i x i c ABC 0 ABC AC
![4 8 c +t +t - (t +t ) - <t +t < - < t t < + +c ( ) +t + ( ) +t + [ - (t +t )] (t + t ) + t + t t 0 + +c c x i R + (i ΔABC ABC ) x i x i c ABC 0 ABC AC](/thumbs/91/105344508.jpg "4 8 c +t +t - (t +t ) - <t +t < - < t t < + +c ( ) +t + ( ) +t + [ - (t +t )] (t + t ) + t + t t 0 + +c c x i R + (i ΔABC ABC ) x i x i c ABC 0 ABC AC")
8 No8Vol JOURNALOF NEIJIANG NORMAL UNIVERSITY * * ( 6499) : ; ; ; ; ; : ; ; DOI:060/jcki-6/z0808006 :G647 :A :67-78(08)08-00-09 0 [4] [] [6] [7] ( ) ( [8] ) [9] [] : [] [] :08-06- : (ZG0464) (ZY600) 06
MÉTHODES ET EXERCICES
J.-M. MONIER I G. HABERER I C. LARDON MATHS PCSI PTSI MÉTHODES ET EXERCICES 4 e édition Création graphique de la couverture : Hokus Pokus Créations Dunod, 2018 11 rue Paul Bert, 92240 Malakoff www.dunod.com
Απόδειξη. Η ιδιότητα(vi) του ορισμού δεν ισχύει στην πράξη αυτή. Πράγματι, έχουμε. 1 (x, y, z) =(1 x, 1 y, 2 1 z) =(x, y, 2z)
1 ιανυσματικοί χώροι Άσκηση 1.1 Στο σύνολο R 3 όλων των διατεταγμένων τριάδων διατηρούμε την πρόσθεση, που ορίσαμε στο αντίστοιχο παράδειγμα, και ορίζουμε εξωτερικό πολλαπλασιασμό με τη σχέση λ(a 1,a 2,a
2 (3x2 1) 5x 1 ) 5x 3 4x 3 )= 1 2 (5x3 3x) 7x 1 2 (5x3 3x) 3 ) + 48x ) 16x 3 )= 1 8 (63x5 70x 3 +15x)
1 Prìblhma 4 Η αναδρομική σχέση γράφεται στη μορφή Για n =1 P n+1 = 1 n +1 [2n +1)xP n np n 1 ] P 2 = 1 2 3xP 1 P )= 1 2 3x2 1) Για n =2 P 3 = 1 3 5xP 2 2P 1 )= 1 3 = 1 2 5x3x2 3 5x 1 ) 2 3x2 1) 2x 5x
M p f(p, q) = (p + q) O(1)
l k M = E, I S = {S,..., S t } E S i = p i {,..., t} S S q S Y E q X S X Y = X Y I X S X Y = X Y I S q S q q p+q p q S q p i O q S pq p i O S 2 p q q p+q p q p+q p fp, q AM S O fp, q p + q p p+q p AM
y(t) S x(t) S dy dx E, E E T1 T2 T1 T2 1 T 1 T 2 2 T 2 1 T 2 2 3 T 3 1 T 3 2... V o R R R T V CC P F A P g h V ext V sin 2 S f S t V 1 V 2 V out sin 2 f S t x 1 F k q K x q K k F d F x d V
Łs t r t rs tø r P r s tø PrØ rø rs tø P r s r t t r s t Ø t q s P r s tr. 2stŁ s q t q s t rt r s t s t ss s Ø r s t r t. Łs t r t t Ø t q s
Łs t r t rs tø r P r s tø PrØ rø rs tø P r s r t t r s t Ø t q s P r s tr st t t t Ø t q s ss P r s P 2stŁ s q t q s t rt r s t s t ss s Ø r s t r t P r røs r Łs t r t t Ø t q s r Ø r t t r t q t rs tø
F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2
F (x) = kx x k F = F (x) U(0) U(x) = x F = kx 0 F (x )dx U(x) = U(0) + 1 2 kx2 x U(0) = 0 U(x) = 1 2 kx2 U(x) x 0 = 0 x 1 U(x) U(0) + U (0) x + 1 2 U (0) x 2 U (0) = 0 U(x) U(0) + 1 2 U (0) x 2 U(0) =
Διαφορικές εξισώσεις 302.
Διαφορικές εξισώσεις 32. Μαθηματικό Αθήνας Συλλογή ασκήσεων 1 Λύτες: Βουλγαρίδου Εύα Ορμάνογλου Στράβων Παπαμικρούλη Ελένη Παπανίκου Μυρτώ Καθηγητές: Αθανασιάδου - Μπαρμπάτης Επιμέλεια L A TEX: Βώβος Μάριος
III.5 Μέθοδοι Παραγοντοποίησης
III.5 Μέθοδοι Παραγοντοποίησης III.5. Μέθοδος διάσπασης LU Η µέθοδος πραγµατοποίησης η διάσπασης διάσπασης ενός πίνακα Α στη µορφή LU αναφέρεται στο πρόβληµα της A=LU (III.5.) Όπου Ο L είναι κάτω τριγωνικός
Z L L L N b d g 5 * " # $ % $ ' $ % % % ) * + *, - %. / / + 3 / / / / + * 4 / / 1 " 5 % / 6, 7 # * $ 8 2. / / % 1 9 ; < ; = ; ; >? 8 3 " #
Z L L L N b d g 5 * " # $ % $ ' $ % % % ) * + *, - %. / 0 1 2 / + 3 / / 1 2 3 / / + * 4 / / 1 " 5 % / 6, 7 # * $ 8 2. / / % 1 9 ; < ; = ; ; >? 8 3 " # $ % $ ' $ % ) * % @ + * 1 A B C D E D F 9 O O D H
ΑΝΑΛΥΤΙΚΟΣ ΤΙΜΟΚΑΤΑΛΟΓΟΣ BMW / MINI (Ισχύει από 15/01/2018) ΚΙΒΩΤΙΟ ΤΑΧΥΤΗΤΩΝ ΚΥΒΙΣΜΟΣ ΙΣΧΥΣ (HP)
Υ F21 LCI - Σειρά 1 3θυρη 1W11 120i ΧΚ 1.998 184 131 21.941,48 33.000 1W31 125i ΑΚ 1.998 224 130 26.407,03 42.040 1W91 M140i ΧΚ 2.998 340 179 31.878,02 52.790 1P91 M140i xdrive ΑΚ 2.998 340 169 35.428,74
Multi-GPU numerical simulation of electromagnetic waves
Multi-GPU numerical simulation of electromagnetic waves Philippe Helluy, Thomas Strub To cite this version: Philippe Helluy, Thomas Strub. Multi-GPU numerical simulation of electromagnetic waves. ESAIM:
γ n ϑ n n ψ T 8 Q 6 j, k, m, n, p, r, r t, x, y f m (x) (f(x)) m / a/b (f g)(x) = f(g(x)) n f f n I J α β I = α + βj N, Z, Q ϕ Εὐκλείδης ὁ Ἀλεξανδρεύς Στοιχεῖα ἄκρος καὶ μέσος λόγος ὕδωρ αἰθήρ ϕ φ Φ τ
10 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
SECTION 0 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 0. Ορισµοί Συνήθης διαφορική εξίσωση (Σ Ε) καλείται µια εξίσωση της µορφής f [y (n), y (n ),..., y'', y', y, x] 0 όπου y', y'',..., y (n ), y (n) είναι οι παράγωγοι
Gradient Descent for Optimization Problems With Sparse Solutions
Gradient Descent for Optimization Problems With Sparse Solutions The Harvard community has made this article openly available. Please share how this access benefits you. Your story matters Citation Chen,
ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΤΑΝΕΜΗΜΕΝΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ
ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΤΑΝΕΜΗΜΕΝΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ x x x y y x y?? Ευριπίδης Μάρκου Ευάγγελος Κρανάκης Άρης Παγουρτζής Ντάννυ Κριζάνκ ΕΥΡΙΠΙΔΗΣ ΜΑΡΚΟΥ Τµήµα Πληροφορικής µε Εφαρµογές στη Βιοϊατρική Πανεπιστήµιο
Ιστοσελίδα:
½¾ Â ÛÖ ÈÐ ÖÓ ÓÖ ÃÛ ÛÒ ÌÀÄ ½ Ð Ü Ιστοσελίδα: www.telecom.tuc.gr/courses/tel4 ÌÀÄ ½¾ Â ÛÖ ÈÐ ÖÓ ÓÖ ÃÛ ÛÒ ¼ ÌÑ Ñ ÀÅÅÍ ÈÓÐÙØ ÕÒ Ó ÃÖ Ø Αποκωδικοποιηση Γραμμικων Κωδικων Μπλοκ Soft-Decision Decoding ψ(t),
B G [0; 1) S S # S y 1 ; y 3 0 t 20 y 2 ; y 4 0 t 20 y 1 y 2 h n t: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 1; 3: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 2; 4: r = 10 5 ; a = 10 6 t = 20
X 1 X 2. X d X = 2 Y (x) = e x 2. f X+Y (x) = f X f Y (x) = f X (y)f Y (x y)dy. exp. exp. dy, (1) f X+Y (x) = j= σ2 2) exp x 2 )
Εστω X : Ω R d τυχαίο διάνυσμα με ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΗ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ X Εχουμε δει ότι η γνώση της κατανομής καθεμιάς από τις X, X,, X d δεν αρκεί για να προσδιορίσουμε την κατανομή του X, αφού δεν περιέχει
l 0 l 2 l 1 l 1 l 1 l 2 l 2 l 1 l p λ λ µ R N l 2 R N l 2 2 = N x i l p p R N l p N p = ( x i p ) 1 p i=1 l 2 l p p = 2 l p l 1 R N l 1 i=1 x 2 i 1 = N x i i=1 l p p p R N l 0 0 = {i x i 0} R
lim f n(x) = f(x) 1 ǫ < n ln ǫ N (ǫ, x) = ln ( )
ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΣΥΓΚΛΙΣΗ Εστω {f n x), n N} µια ακολουθία συναρτήσεων ορισµένων στο διάστηµα I = [, b] ή, b] ή [, b) ή, b) ) ΟΡΙΣΜΟΣ Η ακολουθία συναστήσεων συγκλίνει σηµειακά point wise convergence) στην συνάρτηση
Laplace Expansion. Peter McCullagh. WHOA-PSI, St Louis August, Department of Statistics University of Chicago
Laplace Expansion Peter McCullagh Department of Statistics University of Chicago WHOA-PSI, St Louis August, 2017 Outline Laplace approximation in 1D Laplace expansion in 1D Laplace expansion in R p Formal
ιαφορικές Εξισώσεις 1
Κεφάλαιο 6 ιαφορικές Εξισώσεις 1 6.1 Γενικά Για τη επίλυση των διαφόρων προβληµάτων υπάρχουν γενικά δύο τύποι µαθηµατικών µοντέλων. 1. Στατικά µοντέλα, π.χ. το κυκλοφοριακό σύστηµα µιας πόλης, ελαχιστοποίηση
D 1 D, D n+1 D n, D n G n, diam(d n ) < 1 n. B := ρ(x n, x m ) diam(d m ) < 1 m.
Σηµειώσεις Συναρτησιακής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Περιεχόµενα 1. Το ϑεώρηµα κατηγορίας του Baire 4 2. Χώροι Banach 5 3. Φραγµένοι γραµµικοί τελεστές 8 4. Χώροι πεπερασµένης
A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3
16 0 17 0 17 0 18 0 18 0 19 0 20 A A = A 1 î + A 2 ĵ + A 3ˆk A (x, y, z) r = xî + yĵ + zˆk A B A B B A = A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3 = A B θ θ A B = ˆn A B θ A B î ĵ ˆk = A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 W = F
V r,k j F k m N k+1 N k N k+1 H j n = 7 n = 16 Ṽ r ñ,ñ j Ṽ Ṽ j x / Ṽ W 2r V r D N T T 2r 2r N k F k N 2r Ω R 2 n Ω I n = { N: n} n N R 2 x R 2, I n Ω R 2 u R 2, I n x k+1 = x k + u k, u, x R 2,
Διαφορικές Εξισώσεις.
Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 2015-16. Λύσεις του τρίτου φυλλαδίου ασκήσεων. 1. Λύστε τις παρακάτω διαφορικές εξισώσεις. Αν προκύψει αλγεβρική σχέση ανάμεσα στις μεταβλητές x, y η οποία δεν λύνεται
Apì ton diakritì kôbo ston q ro tou Gauss
Apì ton diaritì Ôbo ston q ro tou Gauss 1 Isoperimetri anisìthta sto diaritì Ôbo Θεωρούμε την οικογένεια J των συναρτήσεων J : [0 1] [0 ) που ικανοποιούν τα εξής: J0) = J1) = 0. Για κάθε a b [0 1] a +
9.BbF`2iBbB2`mM; A,.Bz2`2Mx2Mp2`7?`2M 7Ƀ` T `ib2hh2.bz2`2mib H;H2B+?mM;2M 8.BbF`2iBbB2`mM; AA, 6BMBi2 1H2K2Mi2 o2`7?`2m
R R R K h ( ) L 2 (Ω) H k (Ω) H0 k (Ω) R u h R 2 Φ i Φ i L 2 A : R n R n n N + x x Ax x x 2 A x 2 x 3 x 3 a a n A := a n a nn A x = ( 2 5 9 A = )( x ( ) 2 5 9 x 2 ) ( ) 2x +5x = 2. x +9x 2 Ax = b 2x +5x
ΔΙΑΚΡΙΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ. Καηηγορημαηικός Λογιζμός
ΔΙΑΚΡΙΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Καηηγορημαηικός Λογιζμός Μοπθέρ Θεωπημάηων Υπάξρεη έλα αληηθείκελν ώζηε λα ηζρύεη θάηη. Υπαξμηαθόο πνζνδείθηεο Γηα θάζε αληηθείκελν ηζρύεη όηη θάηη. Καζνιηθόο πνζνδείθηεο 2 Καηηγοπήμαηα
(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x
![(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x](/thumbs/62/47493101.jpg "(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x")
ΕΥΓΕΝΙΑ Ν. ΠΕΤΡΟΠΟΥΛΟΥ ΕΠΙΚ. ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙΙ» ΠΑΤΡΑ 2015 1 Ασκήσεις 1η ομάδα ασκήσεων 1. Να χαρακτηρισθούν πλήρως
3. Γραμμικά Συστήματα
3. Γραμμικά Συστήματα Ασκήσεις 3. Αποδείξτε ότι το γινόμενο δύο άνω τριγωνικών πινάκων είναι άνω τριγωνικός πίνακας. Επίσης, στην περίπτωση που ένας άνω τριγωνικός πίνακας U 2 R n;n είναι αντιστρέψιμος,
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πίνακες Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Πίνακες Μητρώα Πίνακας: Ορθογώνια διάταξη αριθμών σε γραμμές και στήλες
Brownian sheet and the reflectionless potential. Setsuo TANIGUCHI. Faculty of Math., Kyushu Univ. Fukuoka , JAPAN
Brownian sheet and the reflectionless potential Setsuo TANIGUCHI Faculty of Math., Kyushu Univ. Fukuoka 812-8581, JAPAN June 1, 24, at Keio Univ. http://www.math.kyushu-u.ac.jp/~taniguch/ Partially supported
!"#! $%&'$% %(' ') '#*#(& ( #'##+,-'!$%(' & ('##$%(' &#' & ('##$%('. )!#)! ##%' " (&! #!$"/001
!"#! $%&'$% %(' ') '#*#(& ( #'##+,-'!$%(' & ('##$%(' &#' & ('##$%('. ') '#*#(& )!#)! ##%' " (&! #!$"/001 ')!' &'# 2' '#)!( 3(&/004&' 5#(& /006 # '#)! 7!+8 8 8 #'%# ( #'## +,-'!$%(' & ('##$%('9&#' & ('##$%('9')
K K 1 2 1 K M N M(2 N 1) K K K K K f f(x 1, x 2,..., x K ) = K f xk (x k ), x 1, x 2,..., x K K K K f Yk (y k x 1, x 2,..., x k ) k=1 M i, i = 1, 2 Xi n n Yi n Xn 1 Xn 2 ˆM i P (n) e = {( ˆM 1, ˆM2 )
H idiìthta prosèggishc kai to prìblhma thc bˆshc se q rouc Banach. Andreac Mhtropouloc
H idiìthta prosèggishc kai to prìblhma thc bˆshc se q rouc Banach Andreac Mhtropouloc Tm ma Majhmatik n Panepist mio Ajhn n Aj na 2012 Perieqìmena 1 Περιγραφή της εργασίας 1 1.1 Το πρόβλημα..................................
Καλώς ήρθατε στη Θεωρία Γραμμικών Τελεστών! (712) http://eclass.uoa.gr/courses/math122/ Χειμερινό Εξάμηνο 2017-18: Εβδομάδες 1 ως 8 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγικά 2 Γραμμικοί χώροι 3 Χώροι με εσωτερικό γινόμενο
TABLICE AKTUARSKE MATEMATIKE
Na temelju članka 160. stavka 4. Zakona o mirovinskom osiguranju («Narodne novine», br. 102/98., 127/00., 59/01., 109/01., 147/02., 117/03., 30/04., 177/04., 92/05., 43/07., 79/07., 35/08., 40/10., 121/10.,
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Λογισμός ΙΙ Ενότητα 1: Λογισμός ΙΙ Κ. Δασκαλογιάννης Τμήμα Μαθηματικών Α.Π.Θ. (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 1 / 210 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
())*+,-./0-1+*)*2, *67()(,01-+4(-8 9 0:,*2./0 30 ;+-7 3* *),+*< 7+)0 3* (=24(-) 04(-() 18(4-3-) 3-2(>*+)(3-3*
! " # $ $ %&&' % $ $! " # ())*+,-./0-1+*)*2,-3-4050+*67()(,01-+4(-8 9 0:,*2./0 30 ;+-7 3* *),+*< 7+)0 3* *),+-30 *5 35(2(),+-./0 30 *,0+ 3* (=24(-) 04(-() 18(4-3-) 3-2(>*+)(3-3* *3*+-830-+-2?< +(*2,-30+
P m (x)p n (x)dx = 2 2n + 1 δn m. P 1 (x) = x. P 2 (x) = 1 2 (3x2 1) P 3 (x) = 1 2 (5x3 3x) P 4 (x) = 1 8 (35x4 30x 2 + 3)
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ LEGENDRE Τα πολυώνυμα Legendre P n (x είναι ορθογώνια πολυώνυμα στο διάστημα [ 1, +1], με συνάρτηση βάρους την w(x = 1, άρα ισχύει: +1 1 P m (xp n (xdx = 2 2n + 1 δn m Τα επτά πρώτα πολυώνυμα
r r t r r t t r t P s r t r P s r s r r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t
r t t r t ts r3 s r r t r r t t r t P s r t r P s r s r P s r 1 s r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r 2s s r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r t r 3 s3 Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t r r r rs
DC BOOKS. H-ml-c-n-s-b- -p-d-n- -v A-d-n-b-p-w-a-p-¼-v
BÀ. tdmj³ Xn-cp-h-\- -]p-cw kz-tz-in. 2004 ap-xâ [-\-Im-cy ]-{X-{]-hÀ- -\cw-k v. XpS- w Zo-]n-I- Zn-\- -{X- nâ. C-t mä am-xr-`q-an Zn-\- -{X- n-sâ {]-Xnhmc _n-kn\-kv t]pm-b "[-\-Im-cy-' n-sâbpw ssz-\w-zn-\
a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)
Κεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα
x 2 + 1 = 0 N = {1, 2, 3....}, Z Q a, b a, b N c, d c, d N a + b = c, a b = d. a a N 1 a = a 1 = a. < > P n P (n) P (1) n = 1 P (n) P (n + 1) n n + 1 P (n) n P (n) n P n P (n) P (m) P (n) n m P (n + 1)
1 Γραμμικές συναρτήσεις
Γραμμικές συναρτήσεις Άσκηση. είξτε ότι η συνάρτηση f : R R, που ορίζεται με τη σχέση f(x, y, z) =(x y + z,x z), για κάθε (x, y, z) R, είναι μια γραμμική συνάρτηση, και να βρεθεί ο πυρήνας της. Απόδειξη.
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26 ΙΟΥΛΙΟΥ 2009 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ :
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26
Differentiation exercise show differential equation
Differentiation exercise show differential equation 1. If y x sin 2x, prove that x d2 y 2 2 + 2y x + 4xy 0 y x sin 2x sin 2x + 2x cos 2x 2 2cos 2x + (2 cos 2x 4x sin 2x) x d2 y 2 2 + 2y x + 4xy (2x cos
P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r
r s s s t t P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r t t s st ä r t str t st t tt2 t s s t st
Αριθµητική Ανάλυση. 14 εκεµβρίου Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο 6. Παρεµβολή 14 εκεµβρίου / 28
Αριθµητική Ανάλυση Κεφάλαιο 6 Παρεµβολή 14 εκεµβρίου 2016 Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο 6 Παρεµβολή 14 εκεµβρίου 2016 1 / 28 Τα πολυώνυµα Chebyshev Αν η f (n+1) (x) είναι συνεχής, τότε υπάρχει ένας αριθµός
Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα
Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Περίληψη του μαθήματος Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 1η εβδομάδα. Στα πρώτα δύο μαθήματα είπαμε κάποια πολύ βασικά πράγματα για
a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)
!"#!$% &' ( )*+*,% $ &$ -.&01#(2$#3 4-$ #35667
!"#!$% & &' ( )*+*,% $ -*(-$ -.*/% $- &$ -.&01#(2$#3 4-$ #35667 5051 & 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 9 508&:;&& 0000000000000000000000000000000000000000000000000
SPECIAL FUNCTIONS and POLYNOMIALS
SPECIAL FUNCTIONS and POLYNOMIALS Gerard t Hooft Stefan Nobbenhuis Institute for Theoretical Physics Utrecht University, Leuvenlaan 4 3584 CC Utrecht, the Netherlands and Spinoza Institute Postbox 8.195
Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης
Κεφάλαιο 2 Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης και θα διατυπώσουμε χωρίς απόδειξη βασικά θεωρήματα αυτών. Το εδάφιο 2.1 ασχολείται με γραμμικές
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26 ΙΟΥΛΙΟΥ 2008 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ :
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ
The q-commutators of braided groups
206 ( ) Journal of East China Normal University (Natural Science) No. Jan. 206 : 000-564(206)0-0009-0 q- (, 20024) : R-, [] ABCD U q(g).,, q-. : R- ; ; q- ; ; FRT- : O52.2 : A DOI: 0.3969/j.issn.000-564.206.0.002
X(f) E(ft) df x[i] = 1 F. x(t) E( ft) dt X(f) = x[i] = 1 F
![X(f) E(ft) df x[i] = 1 F. x(t) E( ft) dt X(f) = x[i] = 1 F](/thumbs/70/62947708.jpg "X(f) E(ft) df x[i] = 1 F. x(t) E( ft) dt X(f) = x[i] = 1 F")
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΗΥ240: Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων 4..2006 Φυλλάδιο Τυπολόγιο μετασχηματισμών ourier, Laplace και Z Σύμβολα Για έναν πραγματικό αριθμό x, συμβολίζουμε με x, x, [x], τον αμέσως
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Τομέας Θεωρητικής Φυσικής
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Τομέας Θεωρητικής Φυσικής Τραϊανού Θάλεια, Χανλαρίδης Σάββας Επιβλέπων καθηγητής: Λαλαζήσης Γεώργιος Πυρηνική Αστροφυσική: Μία
I N F O R M A T I C S Μ Λ Κ Γ D E V E L O P M E N d e v e l o p m e n t a g e n c y t A / ^ 1- K i A v / Date :52:54 I A G E N C Y
I N F R A T I S Μ Κ Γ E V E L E N d e v e l e n t g e n y t A / ^ 1- K i A v / te 16.1. 6:5:54 I A G E N Y e e t Resn: Ltin: Athens ΑΔΑ: 7ΨΑ465Ξ-Ε4 ANATTEA ΣΤ ΔΙΑΔΙΚΤΥ ΕΗΝΙΚΗ ΔΗΜΚΡΑΤΙΑ Αθήνα, 19-1-16 ΥΠΥΡΓΕΙ
ẋ = f(x) n 1 f i (i = 1, 2,..., n) x i (i = 1, 2,..., n) x(0) = x o x(t) t > 0 t < 0 x(t) x o U I xo I xo : α xo < t < β xo α xo β xo x(t) t β t α + x f(x) = 0 x x x x V 1 x x o V 1 x(t) t > 0 x o V 1
Γενικά Μαθηματικά ΙΙ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6 η : Μερική Παράγωγος ΙΙ Λουκάς Βλάχος Καθηγητής Αστροφυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
(a + b) n = a k b n k, k. (a + b) p = a p + b p. k=0. n! k! (n k)! k =
ΒΑΣΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Συμπληρωματικές Ασκήσεις Χειμερινό Εξάμηνο 2016 Χρήστος Α. Αθανασιάδης Συμβολίζουμε με Z m το δακτύλιο των ακεραίων modulo m, με ā Z m την κλάση (mod m) του a Z και με M n (R) το δακτύλιο
ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)
(Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 23 εκεµβρίου 29 5.1. Στο τυχαίο πείραµα της ϱίψης δύο διακεκριµένων κύβων έστω X η ένδειξη του πρώτου κύβου και Y η µεγαλύτερη από τις δύο ενδείξεις. Να προσδιορισθούν
1 Επίλυση Συνήθων ιαφορικών Εξισώσεων
1 Επίλυση Συνήθων ιαφορικών Εξισώσεων Εξίσωση πρώτης τάξης µε συνθήκες αρχικών τιµών ΠΡΟΒΛΗΜΑ : Να ευρεθεί συνάρτηση y = y(x) η οποία για x [a, b] ικανοποιεί την εξίσωση y = f(x, y) υπό την αρχική συνθήκη
! " # $ % & $ % & $ & # " ' $ ( $ ) * ) * +, -. / # $ $ ( $ " $ $ $ % $ $ ' ƒ " " ' %. " 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 : ; ; < = : ; > : 0? @ 8? 4 A 1 4 B 3 C 8? D C B? E F 4 5 8 3 G @ H I@ A 1 4 D G 8 5 1 @ J C
ts s ts tr s t tr r n s s q t r t rs d n i : X n X n 1 r n 1 0 i n s t s 2 d n i dn+1 j = d n j dn+1 i+1 r 2 s s s s ts
r s r t r t t tr t t 2 t2 str t s s t2 s r PP rs t P r s r t r2 s r r s ts t 2 t2 str t s s s ts t2 t r2 r s ts r t t t2 s s r ss s q st r s t t s 2 r t t s t t st t t t 2 tr t s s s t r t s t s 2 s ts
Œ ˆ Šˆ ˆ Šˆ Š ˆ Œ.. Šμ ² ± 1, 2,.. μ μ 1,..Œ ͱ Î 2
ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 2009.. 40.. 3 ˆ ˆ ˆŸ ˆŸ Œ ˆˆ Œ Š ˆ ŒˆŠ ˆ Š Š Š ˆ ˆ Œ ˆ Šˆ ˆ Šˆ Š ˆ Œ.. Šμ ² ± 1, 2,.. μ μ 1,..Œ ͱ Î 2 1 ² μ μ ± μ Ê É Ò Ê É É, ² μ μ, μ Ö 2 Í μ ²Ó Ò ÊÎ Ò Í É Ó±μ ± Ë ±μ-é Ì Î ± É ÉÊÉ,
{ } x[n]e jωn (1.3) x[n] x [ n ]... x[n] e jk 2π N n
![{ } x[n]e jωn (1.3) x[n] x [ n ]... x[n] e jk 2π N n](/thumbs/62/48326221.jpg "{ } x[n]e jωn (1.3) x[n] x [ n ]... x[n] e jk 2π N n")
Πανεπιστημιο Κυπρου Τμημα Ηλεκτρολογων Μηχανικων και Μηχανικων Υπολογιστων ΗΜΥ : Σηματα και Συστηματα για Μηχανικους Υπολογιστων Κεφάλαιο 5: Μετασχηματισμοί Fourier σε διακριτά σήματα!"#!"#! "#$% Σημειώσεις
y 1 (x) f(x) W (y 1, y 2 )(x) dx,
Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 07/1/017 Μέρος 1ο: Μη Ομογενείς Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις Δεύτερης Τάξης Θεωρούμε τη γραμμική μή-ομογενή διαφορική εξίσωση y + p(x) y + q(x) y = f(x), x
Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας. Ακαδημαϊκό Έτος Παρουσίαση Νο. 2. Δισδιάστατα Σήματα και Συστήματα #1
Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Ακαδημαϊκό Έτος 009-0 Παρουσίαση Νο. Δισδιάστατα Σήματα και Συστήματα # Βασικοί ορισμοί () Κάθε εικόνα είναι ένα δισδιάστατο (-D) σήμα. Αναλογική εικόνα: x α Ψηφιακή
= λ. u t = u xx UT = U T T T = U U. Οσον αφορά τη χρονική εξίσωση έχουμε. T + λt =0 T (t) =e λt. ενώ για τη χωρική
Prìlhm Το φυσικό πρόβλημα είναι: τοίχος σε επαφή με λουτρό θερμοκρασίας T = αριστερά και μονωμένος δεξιά, με αρχική θερμοκρασία T =.Θέτουμεu(x, t) = U(x)T (t), οπότεu t = UT και u xx = U T, και προχωράμε
Matrices and vectors. Matrix and vector. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = b 1 b 2. b m. R m n, b = = ( a ij. a m1 a m2 a mn. def
Matrices and vectors Matrix and vector a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a m1 a m2 a mn def = ( a ij ) R m n, b = b 1 b 2 b m Rm Matrix and vectors in linear equations: example E 1 : x 1 + x 2 + 3x 4 =
m r = F m r = F ( r) m r = F ( v) F = F (x) m dv dt = F (x) vdv = F (x)dx d dt = dx dv dt dx = v dv dx
m r = F m r = F ( r) m r = F ( v) x F = F (x) m dv dt = F (x) d dt = dx dv dt dx = v dv dx vdv = F (x)dx 2 mv2 x 2 mv2 0 = F (x )dx x 0 K = 2 mv2 W x0 x = x x 0 F (x)dx K K 0 = W x0 x x, x 2 x K 2 K =
x(t) = (x 1 (t), x 1 (t),..., x n (t)) R n R [a, b] t 1:1 c 2 : x(t) = (x(t), y(t)) = (cos t, sin t), t 0, π ]
![x(t) = (x 1 (t), x 1 (t),..., x n (t)) R n R [a, b] t 1:1 c 2 : x(t) = (x(t), y(t)) = (cos t, sin t), t 0, π ]](/thumbs/28/13017068.jpg "x(t) = (x 1 (t), x 1 (t),..., x n (t)) R n R [a, b] t 1:1 c 2 : x(t) = (x(t), y(t)) = (cos t, sin t), t 0, π ]")
συνεχές τόξο (arc) - τροχιά R [a, b] t 1:1 επί x(t) = (x 1 (t), x 1 (t),..., x n (t)) R n x i (t), i = 1, 2,..., n συνεχείς συναρτήσεις, π.χ c 1 : x(t) = (x(t), y(t)) = (1 t, 1 t), t [0, 1] [ c 2 : x(t)
Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι ΣΔΕ Bernoulli, Riccati, Ομογενείς. Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς
Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι ΣΔΕ Bernoulli, Riccati, Ομογενείς Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς Οι εξισώσεις Bernoulli αποτελούν την κλάση των μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων
2x 1 + x 2 x 3 + x 4 = 1. 3x 1 x 2 x 3 +2x 4 = 3 x 1 +2x 2 +6x 3 x 4 = 4
Παράδειγμα 2x 1 +2x 2 +0x 3 +6x 4 = 8 2x 1 + x 2 x 3 + x 4 = 1 3x 1 x 2 x 3 +2x 4 = 3 x 1 +2x 2 +6x 3 x 4 = 4 Επαυξημένος πίνακας: 2 2 0 6 8 2 1 1 1 1 Ã = 3 1 1 2 3 1 2 6 1 4 Γενικό σύστημα a 11 x 1 +a
2x 2 y x 4 +y 2 J (x, y) (0, 0) 0 J (x, y) = (0, 0) I ϕ(t) = (t, at), ψ(t) = (t, t 2 ), a ÑL<ÝÉ b, ½-? A? 2t 2 at t 4 +a 2 t 2 = lim
9çB$ø`çü5 (-ç ) Ch.Ch4 b. è. [a] #8ƒb f(x, y) = { x y x 4 +y J (x, y) (, ) J (x, y) = (, ) I ϕ(t) = (t, at), ψ(t) = (t, t ), a ÑL
Εισαγωγή Η εργασία αυτή έχει βασιστεί στην έρευνα του Καθηγητή Ιωάννη Πολυράκη πάνω στους συνδέσμους-υπόχωρους σε χώρους συναρτήσεων. Το ερώτημα που θ
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Σύνδεσμοι-Υπόχωροι του R n και Εφαρμογές στα Χρηματοοικονομικά με χρήση Matlab Ονοματεπώνυμο: Νίκος Κουδούνας Επιβλέπων