ΕΝΟΣ ΒΑΘΜΟΥ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ

ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΝΟΣ ΒΑΘΜΟΥ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΝΟΣ ΒΑΘΜΟΥ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ.1. Ελεύθερη ταλάντση συστήματος ενός βαθμού ελευθερίας Φυσική συχνότητα και απόκριση Ο αρμονικός ταλανττής (βλ. σχήμα.1.α) είναι μια πολύ απλή ταλανττική διάταξη που αν και στην πράξη δεν εμφανίζεται παρά μόνο σε σπάνιες περιπτώσεις, χρησιμοποιείται εν τούτοις ευρές για την μελέτη τν απλών εννοιών και την διατύπση απλών εξισώσεν κίνησης. Ο αρμονικός ταλανττής αποτελείται από τη μάζα m (Kg) και το ελατήριο (N/m). Η μάζα μπορεί να ταλαντώνεται κατακόρυφα, είτε ελεύθερα είτε με εξαναγκασμένο τρόπο και αυτή η ταλανττική της κίνηση (μετατόπιση) περιγράφεται με την μετατόπιση 1 του κέντρου μάζας της (m) που είναι συνάρτηση του χρόνου και γράφεται (). () m Κ.Μ. m Κ.Μ. () m Κ.Μ. m() α. Η κίνηση στον αρμονικό ταλανττή. β. Δυνάμεις στην μάζα του αρμονικού ταλανττή. Σχήμα.1. Ο απλός αρμονικός ταλανττής 1 Εδώ γίνεται η παραδοχή ότι το ελατήριο παρουσιάζει ελαστικότητα μόνο κατά την κατακόρυφη διεύθυνση. Σε αντίθετη περίπτση χρειάζονται επιπλέον μεταβλητές για να περιγράψουν και τις άλλες μετατοπίσεις ή στροφές της μάζας.

1 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εάν θερήσουμε την μάζα μετατοπισμένη στην θέση () (m) κατά την χρονική στιγμή (sec) (βλ. σχήμα.1.α), τότε η εφαρμογή του ου Νόμου του Newo (βλ. σχήμα.1.β) δίνει: και άρα FΚ.Μ. m( ) ( ) m( ) (N) m( ) ( ) (N) (.1) Στην ίδια σχέση θα κατέληγε κανείς εάν αντιμετώπιζε το θέμα ενεργειακά. Πράγματι, θερώντας το σύστημα συντηρητικό 11 και εάν T (Nm) είναι η κινητική του ενέργεια και αντίστοιχα U (Nm) η δυναμική, τότε θα είναι T U cos. και επομένς d ( T U ) d (Nm) (.) Επειδή είναι: 1 T m () και 1 U () (Nm) (.3) τότε από τις σχέσεις (.) και (.3) εύκολα προκύπτει η (.1) Η διαφορική εξίσση (.1) είναι μία κλασσική ομογενής γραμμική διαφορική εξίσση δεύτερης τάξης. Η γενική της λύση θα είναι της μορφής: ( ) Asi( ) Bcos( ) (.4) όπου τα A, B και είναι σταθερές που θα πρέπει να προσδιορισθούν. Με αντικατάσταση από την (.4) στην (.1) προκύπτει: ( m ) Asi( ) ( m ) Bcos( ) (.5) Εξισώνοντας τους συντελεστές τν τριγνομετρικών όρν στην (.5) προκύπτουν οι παρακάτ δύο σχέσεις: ( m ) A και ( m ) B (.6) Επειδή θα πρέπει τουλάχιστον μία από τις σταθερές A και B να είναι διάφορη του μηδενός και επειδή η (.4) θα πρέπει να αποτελεί λύση της (.1) θα ισχύει: 11 Η θεώρηση ενός συστήματος ς ενεργειακά συντηρητικού σημαίνει πλήρη απουσία οποιουδήποτε μηχανισμού διάχυσης ενέργειας προς το περιβάλλον.

ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΝΟΣ ΒΑΘΜΟΥ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ 13 και άρα: m (.7) 1,, m m (rad/sec) (.8) Η σχέση (.7) ονομάζεται χαρακτηριστική εξίσση της συχνότητας και έχει δυο λύσεις (βλ. σχέση (.8)). Η θετική λύση συμβολίζεται συνήθς με, έχει μονάδες (rad/sec), ονομάζεται φυσική κυκλική συχνότητα ή απλώς φυσική συχνότητα ταλάντσης του συστήματος 1, εξαρτάται δε από τις ελαστικές και αδρανειακές παραμέτρους του. Με βάση τα παραπάν η γενική λύση της (.1) θα είναι: ( ) Asi( ) Bcos( ) (.9) Στην λύση αυτή θα πρέπει να προσδιορισθούν οι δύο σταθερές A και B. Τούτο μπορεί να γίνει μόνο μέσ τν αρχικών συνθηκών. Κατόπιν η γενική λύση θα μετατραπεί σε ειδική (paricular) λύση και θα ισχύει μόνο για τις συγκεκριμένες αρχικές συνθήκες. Εάν ( ) (m) και ( ) συνθήκες, τότε, σε συνδυασμό με την (.9) θα είναι: (m/sec) είναι οι δεδομένες αρχικές ( ) B και ( ) A A (.1) και η πλήρης τελική μορφή της λύσης θα είναι: ( ) si( ) cos( ) (m) (.11) Αντί για την παραπάν μορφή μπορεί να χρησιμοποιηθεί εναλλακτικά η έκφραση: ( ) X si( φ ) (.1) όπου τα X και φ θα πρέπει να προσδιορισθούν συναρτήσει τν και. Επειδή είναι: ( ) X cos φsi( ) X si φcos( ) (.13) 1 Θα πρέπει να δίνεται πάντα προσοχή στους σχετικούς όρους. Γενικά, η κυκλική συχνότητα ονομάζεται και γνιακή ταχύτητα. Και οι δύο όροι είναι πάντς διαφορετικοί από την συχνότητα f που μετριέται σε (Hz) και συνδέεται με την κυκλική συχνότητα (ή γνιακή ταχύτητα) σύμφνα με την γνστή σχέση πf. Εξαίρεση ισοδύναμης χρήσης τν παραπάν όρν αποτελεί η αναφορά στην φυσική συχνότητα οπότε και πάλι θα πρέπει να δίνεται ιδιαίτερη προσοχή στις μονάδες.

14 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ τότε αντικαθιστώντας τον αριστερό όρο στην (.13) με τον δεξιό της (.11) και εξισώνοντας τους συντελεστές τν τριγνομετρικών όρν προκύπτουν οι παρακάτ δύο σχέσεις: X και φ a 1 (.14) Η ποσότητα X ονομάζεται πλάτος ή απόκριση και δείχνει την μέγιστη απομάκρυνση της μάζας του ταλανττή από την θέση ισορροπίας. Μετριέται σε (m) 13 ή (rad) ανάλογα με την περίπτση 14. Το πλάτος εξαρτάται από τις παραμέτρους του συστήματος και από τις αρχικές συνθήκες, αποτελεί δε μέτρο της ενέργειας που εισάγεται στον αρμονικό ταλανττή μέσ της διέγερσης που οι αρχικές συνθήκες προκαλούν. Η ποσότητα φ ονομάζεται γνία φάσης ή διαφορά φάσης ή απλώς φάση, μετριέται σε ( o ) ή (rad) και αποτελεί ένδειξη της προπορείας ή της καθυστέρησης μεταξύ της πραγματικής απόκρισης του συστήματος και μίας αμιγούς συνημιτονοειδούς απόκρισης. Για την διαφορά φάσης παρουσιάζουν ενδιαφέρον οι εξής περιπτώσεις: α. Εάν (m) τότε, σύμφνα με την (.14), θα είναι φ (rad) β. Εάν (m) τότε, σύμφνα με την (.14), θα είναι φ π / (rad) Σύμφνα με τα παραπάν, ο απαιτούμενος χρόνος για να επανέλθει το σύστημα στην θέση ισορροπίας 15 μετά την επιβολή τν αρχικών συνθηκών θα είναι: π φ, φ φ, φ (sec) (.15) Στο σχήμα. φαίνεται η απόκριση ενός συστήματος ενός βαθμού ελευθερίας που ταλαντώνεται ελεύθερα με αρχικές συνθήκες (m) και (m/sec). Στο ίδιο σχήμα σημειώνονται το πλάτος, ο χρόνος ο σχετικός με την διαφορά φάσης, η περίοδος καθώς και τα σημεία μηδενισμού και ελαχιστοποίησης της ταχύτητας. 13... ή πιο συχνά σε (mm). Η χρήση όμς της μονάδας (m) διατηρεί την συμβατότητα με το σύστημα SI. 14 Ανάλογα με τα αν γίνεται αναφορά σε μεταφορική ή περιστροφική μετατόπιση. 15 Αυτό δεν σημαίνει την παύση της ταλάντσης αλλά «πέρασμα» του συστήματος (εδώ της μάζας) από την θέση ισορροπίας.

ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΝΟΣ ΒΑΘΜΟΥ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ 15 () ( ) ( ) ma. o X T=π/ π φ Σχήμα.. Απόκριση σε ελεύθερη ταλάντση ενός απλού αρμονικού ταλανττή. ΑΣΚΗΣΗ 1 Να μελετηθεί η ελεύθερη στρεπτική ταλάντση του συστήματος του σχήματος με Αρχικές Συνθήκες θ() θ, θ () d,l,g θ J s Σχήμα Α..1. Ελεύθερη στρεπτική ταλάντση συστήματος ενός βαθμού ελευθερίας. ΛΥΣΗ: Η ισοδύναμη σταθερά ελατηρίου του άξονα θα είναι: πgd 3L 4 (Nm/rad) (Α.1.1) όπου G (N/m ) είναι το μέτρο διάτμησης του υλικού του άξονα, L (m) το μήκος του και d (m) η διάμετρός του. (Τα d, G, L θερούνται δεδομένα). Σύμφνα με τον ο Νόμο του Newo θα είναι: MΚ.Μ. Jsθ( ) θ( ) J sθ( ) (Nm) (Α.1.)

16 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ όπου M (Nm) είναι το άθροισμα τν ροπών που εξασκούνται στο δίσκο και J s (Kgm ) είναι η πολική ροπή αδράνειας του δίσκου (γνστή). Άρα σύμφνα με την (.1) θα είναι τελικά: J θ θ (Α.1.3) Εάν υποθέσουμε ότι η απόκριση θ() του δίσκου είναι της μορφής: τότε με αντικατάσταση στη (Α.1.3) θα προκύψει: s θ( ) Asi( ) Bcos( ) (Α.1.4) Js και: J s (rad/sec) (Α.1.5) που είναι η φυσική συχνότητα του συστήματος. Σύμφνα με την (Α.1.4) - η απόκριση θα έχει τη μορφή: θ( ) Asi( ) Bcos( ) (Α.1.6) Εάν χρησιμοποιηθεί εναλλακτικά η (.1) τότε θα είναι: και σύμφνα με τις (.14) θα είναι: θ() Θsi( φ ) (Α.1.7) Θ θ και π φ (Α.1.8) Οπότε η τελική έκφραση θα είναι: π π θ( ) θsi θsi J s (rad) (Α.1.9) Παρατήρηση: Χρησιμοποιώντας τις αρχικές συνθήκες εύκολα προκύπτει ότι και σύμφνα με την (Α.1.6): θ() θ A B 1 B, Α (Α.1.1) θ( ) θcos( ) θcos J s (Α.1.11) που είναι ισοδύναμη με την (Α.1.9). Πρόταση για παραπέρα εργασία:

ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΝΟΣ ΒΑΘΜΟΥ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ 17 Να βρείτε την φυσική συχνότητα όταν d=.4 (m), L=.15 (m), υλικό δοκού και δίσκου = κοινός χάλυβας, διάμετρος δίσκου =.35 (m), πάχος δίσκου =.6 (m). Κατόπιν να σχεδιάσετε την απόκριση του συστήματος για χρονικό διάστημα πέντε (5) περιόδν όταν οι αρχικές συνθήκες είναι θ.1745 (rad) και θ. (rad/sec). Ποια είναι η τιμή της διαφοράς φάσης; Τι παρατηρείτε;.. Ελεύθερη ταλάντση συστήματος ενός βαθμού ελευθερίας με ιξώδη απόσβεση Ο αρμονικός ταλανττής του σχ..1 μπορεί να τροποποιηθεί και να περιλάβει και τον ιξώδη αποσβεστήρα (βλ.σχ...) c c c() () m Κ.Μ. m Κ.Μ. () m Κ.Μ. m() α. Η κίνηση στον αρμονικό ταλανττή. β. Δυνάμεις στην μάζα του αρμονικού ταλανττή. Σχήμα.. Αρμονικός ταλανττής με απόσβεση. Ο ιξώδης αποσβεστήρας είναι μια διάταξη που βασίζει την λειτουργία της στην ιξώδη τριβή που αναπτύσσεται κατά την επαφή ενός στερεού σώματος και ενός ρευστού. Η αναπτυσσόμενη δύναμη ονομάζεται δύναμη απόσβεσης και είναι ανάλογη της ταχύτητας του σώματος: F ( ) ( ) c c (N) (.16) Στην παραπάν σχέση η σταθερά c ονομάζεται σταθερά απόσβεσης του αποσβεστήρα, μετριέται σε (Nsec/m) ή (Nmsec/rad) και η τιμή της εξαρτάται από το δυναμικό ιξώδες του ρευστού και την γεμετρία του αποσβεστήρα. Λαμβάνοντας υπόψη την αναπτυσσόμενη δύναμη απόσβεσης (βλ. σχέση (.16)) και εάν θερήσουμε την μάζα μετατοπισμένη στην θέση () (m) κατά την χρονική στιγμή (sec) (βλ. σχήμα..α), τότε η εφαρμογή του ου Νόμου του Newo (βλ. σχήμα..β) δίνει:

18 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ FΚ.Μ. m( ) c( ) ( ) m( ) (N) και άρα m( ) c( ) ( ) (N) (.17) Η διαφορική εξίσση (.17) είναι μία κλασσική ομογενής γραμμική διαφορική εξίσση δεύτερης τάξης. Η γενική της λύση θα είναι της μορφής: () Ae (.18) όπου τα A και είναι σταθερές που θα πρέπει να προσδιορισθούν. Με αντικατάσταση από την (.18) στην (.17) προκύπτει: που έχει λύσεις: m c (.19) 1, c c 4m m (rad/sec) (.) Η μαθηματική μορφή της λύσης και η φυσική συμπεριφορά του αρμονικού ταλανττή εξαρτάται από το πρόσημο της διακρίνουσας. Η περίπτση να είναι η διακρίνουσα ίση προς το θερείται ς ειδική και εμφανίζεται όταν οι φυσικές παράμετροι του συστήματος παρουσιάζουν ένα συγκεκριμένο συνδυασμό τιμών. Στην περίπτση αυτή το σύστημα θερείται ότι διαθέτει κρίσιμη απόσβεση ή ότι είναι κρίσιμα αποσβεννύμενο. Τότε είναι c 4m και η ειδική αυτή τιμή του συντελεστή απόσβεσης ονομάζεται κρίσιμη απόσβεση ή συντελεστής κρίσιμης απόσβεσης: c m m (Nsec/m) (.1) c Σε σχέση με τα παραπάν ορίζεται και ο λόγος απόσβεσης ζ ς εξής: ζ c c c c m m c (.) Με βάση τα παραπάν και για κάθε περίπτση η (.) μπορεί να ξαναγραφεί ς εξής: ζ ζ (rad/sec) (.3) 1, 1 και η (.17) μπορεί να γραφεί ς: ζ (N) (.4) ( ) ( ) ( )

ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΝΟΣ ΒΑΘΜΟΥ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ 19 Η γενική της λύση (για ζ 1 ) θα είναι: ζ 1 ζ 1 1 ζ 1 1 () C e C e e C e C e (.5) Στην λύση αυτή θα πρέπει να προσδιορισθούν οι δύο σταθερές C 1 και C. Τούτο μπορεί να γίνει μόνο μέσ τν αρχικών συνθηκών. Κατόπιν η γενική λύση θα μετατραπεί σε ειδική (paricular) και θα ισχύει μόνο για τις συγκεκριμένες αρχικές συνθήκες. Σύμφνα με την τιμή του ζ, διακρίνουμε 3 περιπτώσεις για τη ταλανττική συμπεριφορά ενός συστήματος ενός βαθμού ελευθερίας: Περίπτση 1 η : ζ 1 - Ελεύθερη ταλάντση με υποκρίσιμη απόσβεση Στην περίπτση αυτή οι ρίζες της (.4) θα είναι συζυγείς μιγαδικές: 1, ζ i 1 ζ (rad/sec) (.6) Τότε η (.5) θα γίνει: i 1 ζ i 1 ζ 1 1 ζ 1 1 1 () C e C e e C e C e (.7) Εφαρμογή της ταυτότητας του Euler στην παραπάν σχέση θα δώσει: ζ ( ) e C cos 1 ζ isi 1 ζ C cos 1 ζ isi 1 ζ 1 (.8) ζ e C C cos 1 ζ i C C si 1 ζ 1 1 Εάν τεθεί: τότε η (.8) γράφεται: D C1 C και E i C1 C (.9) ( ) e ζ Dcos 1 ζ E si 1 ζ (.3) Εάν ( ) (m) και ( ) συνθήκες, τότε, σε συνδυασμό με την (.3) θα είναι: ( ) D (m/sec) είναι οι δεδομένες αρχικές ζ (.31) ( ) E 1 ζ ζ E ζ 1

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ και η πλήρης τελική μορφή της λύσης θα είναι: ζ ( ) e ζ cos 1 ζ si 1 ζ 1 ζ (m) (.3) Για το άθροισμα τν όρν μέσα στα άγκιστρα μπορεί να χρησιμοποιηθεί εναλλακτικά η έκφραση: ( ) X si( φ ) (.33) d d όπου τα X και φ d θα πρέπει να προσδιορισθούν συναρτήσει τν o και o ενώ το d (rad/sec) ορίζεται ς: d 1 ζ (rad/sec) (.34) και ονομάζεται φυσική κυκλική συχνότητα ή απλώς φυσική συχνότητα ταλάντσης του συστήματος με απόσβεση, εξαρτάται δε από τις ελαστικές, τις αδρανειακές αλλά και τις αποσβεστικές παραμέτρους του. Όσο αφορά τις άλλες δύο σταθερές στην (.33), αυτές προκύπτουν από την ανάπτυξη του δεξιού όρου της (.33) και την εξίσση τν συντελεστών τν τριγνομετρικών όρν ανάμεσα στο άθροισμα τν όρν μέσα στα άγκιστρα στην (.3) και τον ανεπτυγμένο δεξιό όρο της (.33): X ζ d (m) και φ d a ζ 1 d (rad) (.35) Επομένς η (.3) γίνεται: ( ) e ζ X si φ (m) (.36) Στο σχήμα.3 φαίνεται η απόκριση ενός συστήματος ενός βαθμού ελευθερίας με υποκρίσιμη απόσβεση που ταλαντώνεται ελεύθερα με αρχικές συνθήκες (m) και (m/sec). Συγκρίνοντας την μορφή της ταλάντσης με αυτή του σχήματος.1 παρατηρεί κανείς εύκολα ότι πρόκειται για μία μη συντηρητική διαδικασία που καταλήγει μετά από κάποιο χρονικό διάστημα σε πλήρη ακινησία του ταλανττή 16. Σε κάθε κύκλο ταλάντσης η συνολική ενέργεια του συστήματος είναι μικρότερη από τον προηγούμενο και η μείση αυτή έχει ρυθμό που καθορίζεται από τον εκθετικό όρο στην (.36). Η μείση της ενέργειας ανά κύκλο ταλάντσης δίνεται από την σχέση: d d 16 Από μαθηματική άποψη θα ήταν σστό να πει κανείς ότι ο ταλανττής «τείνει» προς την πλήρη ακινησία.

() (m) ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΝΟΣ ΒΑΘΜΟΥ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ 1 ΔE E Ε E E 1 1 e 4 πζ / 1 ζ (.37) όπου E (Nm) και E +1 (Nm) είναι η συνολική ενέργεια του ταλανττή στο τέλος του () και του (+1) κύκλου αντίστοιχα. ζ Xe () () Td T d π d (sec) Σχήμα.3. Απόκριση σε ελεύθερη ταλάντση με υποκρίσιμη απόσβεση. Ένα μέγεθος που δείχνει άμεσα το ρυθμό μείσης του πλάτους είναι η λογαριθμική μείση δ που ορίζεται σαν ο φυσικός λογάριθμος του λόγου δυο διαδοχικών ευρών ταλάντσης. Έτσι: δ l ( ) π ζ ( Td ) 1 ζ (.38) Εάν λοιπόν η απόσβεση ενός συστήματος είναι άγνστη μπορεί να υπολογισθεί μέσ της λογαριθμικής μείσης. Πράγματι, μετρώντας δυο διαδοχικά πλάτη υπολογίζεται το δ. Κατόπιν με βάση τη σχέση (.38) υπολογίζεται το ζ και δεδομένου ότι η κρίσιμη απόσβεση μπορεί να υπολογισθεί (βλ. σχέση (.1)) μπορεί να υπολογισθεί και η απόσβεση του ταλανττή. Περίπτση η : ζ 1 - Ελεύθερη ταλάντση με κρίσιμη απόσβεση Στην περίπτση αυτή η (.19) έχει μια διπλή ρίζα (σύμφνα με την (.)): 1 (.39)

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ και η γενική λύση της (.4) θα είναι: () e C1 C (.4) Εφαρμογή τν αρχικών συνθηκών ( ) και ( ) θα την τροποποιήσει ς εξής: () e (m) (.41) ()/ 1, 1 1 1, 1, 1, 1 (sec) 1, 1 Σχήμα.4. Απόκριση σε ελεύθερη ταλάντση με κρίσιμη απόσβεση (Η αρχική μετατόπιση είναι σε (mm) και η αρχική ταχύτητα σε (mm/sec)). Στο σχήμα.4 φαίνεται η απόκριση ενός συστήματος ενός βαθμού ελευθερίας με κρίσιμη απόσβεση που ταλαντώνεται ελεύθερα με αρχικές συνθήκες και. Στο σχήμα έχουν σχεδιασθεί καμπύλες που αντιστοιχούν σε διαφορετικούς συνδυασμούς τιμών τν συνθηκών αυτών. Μόνο σε μία περίπτση η μάζα του συστήματος διέρχεται από την θέση ισορροπίας. Επομένς ένα σύστημα με κρίσιμη απόσβεση έχει την ελάχιστη απαιτούμενη απόσβεση ώστε να εκτελέσει μη ταλανττική κίνηση και να επιστρέψει στην θέση ισορροπίας του στον ελάχιστο δυνατό χρόνο. Περίπτση 3 η : ζ 1 - Ελεύθερη ταλάντση με υπερκρίσιμη απόσβεση Οι ρίζες τώρα είναι πραγματικές και διακριτές και δίνονται από την σχέση (.3). Η εφαρμογή τν γνστών αρχικών συνθηκών στην (.5) δίνει:

ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΝΟΣ ΒΑΘΜΟΥ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ 3 () e ζ ζ 1 1 ζ ζ ζ 1 e ζ ζ 1 e ζ 1 (m) (.4) Η ελεύθερη ταλάντση ενός συστήματος με υπερκρίσιμη απόσβεση δεν είναι περιοδική όπς άλλστε φαίνεται και στο σχήμα.5. ()/ 1, 9 1 1, 9 (sec) Σχήμα.5. Απόκριση σε ελεύθερη ταλάντση με υπερκρίσιμη απόσβεση (Η αρχική μετατόπιση είναι σε (mm) και η αρχική ταχύτητα σε (mm/sec)). ΑΣΚΗΣΗ Σχεδιάζεται ένα σύστημα ανάρτησης για ένα όχημα βάρους 13 (Kgf). Όταν το όχημα είναι κενό φορτίου, η στατική του μετατόπιση είναι ίση προς.5 (mm). Εκτιμάται ότι το μέγιστο φορτίο που θα μεταφέρει το όχημα δεν θα ξεπερνά τα 1 (Kgf). Να προσδιορισθεί η ελάχιστη τιμή του συντελεστή απόσβεσης έτσι ώστε το όχημα να παρουσιάζει σχετική απόκριση (overshoo) μικρότερη του 5 (%) είτε είναι κενό είτε βρίσκεται υπό φορτίο. ΛΥΣΗ: Η σταθερά ελατηρίου του συστήματος ανάρτησης του κάθε τροχού του οχήματος είναι ίση προς 17 : 17 Θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί το ¼ του βάρους του οχήματος αλλά τότε θα προσδιορίζαμε την σταθερά για το σύστημα ανάρτησης κάθε τροχού. Ο υπολογισμός αυτός δεν είναι χρήσιμος στην

4 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 13 13 9.81.5.5 6 5.11 1 (N/m) (Α..1) Η σχετική απόκριση (overshoo) ορίζεται ς η μετατόπιση s (m) του τροχού στην ταλάντση που εκτελεί όταν εισέλθει σε οπή («λακκούβα») βάθους h (m) και μετριέται στο τέλος του μισού κύκλου ταλάντσης 18. Έτσι είναι: Td π s π / d (m) (Α..) 1 ζ Το όχημα εκτελεί υποκρίσιμη ταλάντση και κατά συνέπεια σύμφνα με την (.36) θα είναι: Td ζ T d ζπ / 1 ζ s e X si d φd e X si( φ d ) (Α..3) Κατά την έναρξη της ταλάντσης θα είναι: ( ) h ( ) (Α..4) Σύμφνα με τις (.36) και (Α..4) θα είναι: και κατά συνέπεια από τις (Α..3) και (Α..5): ( ) h X si( φ d ) (Α..5) ζπ / 1 ζ s he (Α..6) Λύνοντας την παραπάν σχέση ς προς ζ θα προκύψει: ζ 1 s l π h 1 s 1 l π h (Α..7) Επειδή σύμφνα με τα δεδομένα της άσκησης θα πρέπει να είναι ( s/ h ).5, τότε προκύπτει από την (Α..7) ότι για να συμβαίνει αυτό η ελάχιστη τιμή του ζ θα παρούσα άσκηση δεδομένου ότι το όχημα θερείται ότι ταλαντώνεται ενιαία στο κατακόρυφο επίπεδο (βλ. και επόμενη υποσημείση). 18 Στην παρούσα άσκηση γίνονται μια βασική παραδοχή που αφορά το πλήθος τν βαθμών ελευθερίας ταλάντσης του οχήματος. Στην πραγματικότητα ένα ταλαντούμενο όχημα παρουσιάζει έξι (6) βαθμούς ελευθερίας ενώ εδώ θερείται μόνο ο ένας από αυτούς που αφορά ταλαντώσεις στο κατακόρυφο επίπεδο.

ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΝΟΣ ΒΑΘΜΟΥ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ 5 πρέπει είναι ίση προς.691 και η αντίστοιχη τιμή του συντελεστή απόσβεσης θα είναι 5 1.1394 1 (Nsec/m). Οι αντέρ τιμές ισχύουν για την περίπτση του φορτίου εν κενώ. Στην περίπτση που το όχημα βρίσκεται υπό φορτίο, τότε για να διατηρηθεί ίδιο το ζ θα πρέπει να επαναϋπολογιστεί ο συντελεστής απόσβεσης. Πράγματι θα είναι (οριακά): 5.11 1 3 6 5 c ζcc ζ m.691 3 1.4949 1 (Nsec/m) (Α.3.8) και κατά συνέπεια η ελάχιστη τιμή του συντελεστή απόσβεσης ώστε να καλύπτεται η δυσμενέστερη περίπτση θα είναι ίση με την μεγίστη από τις δύο, δηλαδή αυτή που προκύπτει από την (Α.3.8)..3. Ελεύθερη ταλάντση συστήματος ενός βαθμού ελευθερίας με απόσβεση τύπου Coulomb Η απόσβεση τύπου Coulomb αφορά την ταλάντση ενός συστήματος στο οποίο υπάρχουν δύο επιφάνειες σε επαφή οι οποίες ολισθαίνουν σχετικά. Στην περίπτση αυτή η αναπτυσσόμενη δύναμη τριβής λειτουργεί ς δύναμη απόσβεσης. Η απόσβεση αυτού του τύπου συναντάται πολύ συχνά στα μηχανολογικά συστήματα σε σχετικά ολισθαίνουσες λιπαινόμενες ή μη επιφάνειες, σε έδρανα ολίσθησης, στην ιμαντοκίνηση, σε σχετικά κυλιόμενες επιφάνειες, κλπ. m () mg m μ F fr =μmg N m() ( ) ( ) α. Σύστημα ενός βαθμού ελευθερίας με απόσβεση τύπου Coulomb. β. Δυνάμεις και διευθύνσεις κίνησης. Σχήμα.6. Ελεύθερη ταλάντση με απόσβεση τύπου Coulomb. Για την μελέτη του φαινομένου θερείται ένας ταλανττής αποτελούμενος από μία μάζα m (Kg) η οποία ολισθαίνει πάν σε μία επιφάνεια στήριξης όντας εξαρτημένη

6 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ από σταθερό σημείο μέσ ενός ελατηρίου σταθεράς (N/m) (βλ. σχήμα.6.α). Εάν μ ( ) είναι ο κινηματικός συντελεστής τριβής ανάμεσα στην επιφάνεια στήριξης και την επιφάνεια της μάζας, τότε η αναπτυσσόμενη δύναμη τριβής θα είναι ίση προς Ffr μmg (N) και θα είναι πάντοτε αντίθετη προς την κίνηση. Κατά συνέπεια η κίνηση της μάζας θα περιγράφεται ς εξής 19 (βλ. σχήμα.6.β): για και FΚ.Μ. m( ) ( ) μmg m( ) (N) FΚ.Μ. m( ) ( ) μmg m( ) (N) για και οι αντίστοιχες διαφορικές εξισώσεις θα είναι: m μmg m μmg (.43) ή σε γενικευμένη μορφή: m μmg (N) (.44) Η παραπάν διαφορική εξίσση (Δ.Ε.) είναι όμς μη γραμμική γιατί είναι μη γραμμικός ο δεξιός όρος της. Τούτο σημαίνει ότι για να προσδιορισθεί αναλυτική λύση για το πρόβλημα θα πρέπει να προσεγγιστεί διαφορετικά. Πράγματι, έστ ότι γίνεται καταρχήν μελέτη του φαινομένου για τον πρώτο μισό κύκλο του. Έστ επίσης ότι η έναρξη της ταλάντσης γίνεται μετατοπίζοντας την μάζα έτσι ώστε οι αρχικές συνθήκες (Α.Σ.) να είναι ( ) (m) και ( ) (m/esc). Επομένς κατά τον πρώτο μισό κύκλο η ταχύτητα θα είναι αρνητική και άρα θα ισχύει η η από τις Δ.Ε. (.43). Η λύση θα είναι: μmg ( ) cos μmg (.45) Στο τέλος του πρώτου μισού του πρώτου κύκλου ( π ) θα είναι: / π μmg π (.46) και 19 Κατά περίπτση ακολουθείται απλοποιημένη γραφή για τις γενικευμένες, χρονικά εξαρτώμενες συντεταγμένες που περιγράφουν την κίνηση. Έτσι, π.χ., αντί για () χρησιμοποιείται μόνο το σύμβολο (ΠΑΝΤΟΤΕ ΜΙΚΡΟ!!!) εκτός αν υπάρχει κίνδυνος να δημιουργηθεί σύγχυση οπότε δίνεται η πλήρης μορφή.

ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΝΟΣ ΒΑΘΜΟΥ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ 7 Την ταλάντση στο δεύτερο μισό του πρώτου κύκλου θα την περιγράφει η 1 η Δ.Ε. από τις (.43) με Α.Σ. που δίνονται από τις σχέσεις (.46). Η λύση τώρα θα είναι: 3μmg ( ) cos μmg (.47) Στο τέλος του δεύτερου μισού του πρώτου κύκλου ( π/ ) θα είναι: π 4μmg και π (.48) Η συνολική μείση του πλάτους κατά την διάρκεια του 1 ου κύκλου θα είναι ίση προς 4μmg/. Με τον ίδιο τρόπο μπορεί να επαναληφθεί ο υπολογισμός τν μεγεθών του ου κύκλου, του 3 ου, κλπ. θέτοντας για κάθε μισό κάθε κύκλου ς Α.Σ. το πλάτος στο τέλος του προηγούμενου μισού. Παρακάτ δίνονται οι γενικές μαθηματικές εκφράσεις που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον προσδιορισμό της απόκρισης στα δύο μισά του κύκλου καθώς και η σχέση που δίνει την απόκριση στο τέλος του: μmg μmg π 1 π ( ) (4 3) cos, 1 μmg μmg 1 π π ( ) (4 1) cos, π μmg 4 (m) (.49) Με βάση τις παραπάν εκφράσεις έχει σχεδιασθεί η απόκριση ενός ταλανττή με απόσβεση τύπου Coulomb στο σχήμα.7. Ακολουθούν ορισμένες παρατηρήσεις σχετικά με την ταλάντση με απόσβεση τύπου Coulomb: 1. Η απόσβεση τύπου Coulomb δεν επηρεάζει την φυσική κυκλική συχνότητα. Η ταλάντση σταματά όταν η δύναμη τριβής γίνει μεγαλύτερη από την δύναμη επαναφοράς (αδρανειακή δύναμη). Αυτό συμβαίνει κατά τον κύκλο s που δίνεται από την σχέση: s 1 i 1 4μmg 4 Όταν η κίνηση σταματήσει η μάζα παραμένει μετατοπισμένη σε σχέση με την αρχική θέση ισορροπίας κατά μmg/ 3. Σε αντιδιαστολή με την απόκριση με κρίσιμη ή υπερκρίσιμη απόσβεση που δεν είναι περιοδική, η απόκριση με απόσβεση τύπου Coulomb είναι πάντα περιοδική

8 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ () Σχήμα.7. Η μορφή της απόκρισης για ελεύθερη ταλάντση με απόσβεση τύπου Coulomb..4. Ελεύθερη ταλάντση συστήματος ενός βαθμού ελευθερίας με υστερητική απόσβεση Η υστερητική απόσβεση οφείλεται στην ανάπτυξη εστερικής τριβής στο υλικό του ταλαντούμενου σώματος του οποίου τα στρώματα μετακινούνται σχετικά μεταξύ τους καθώς παραμορφώνονται. Θερητικά σε ένα γραμμικά ελαστικό υλικό η σχέση ανάμεσα στην τάση και στην παραμόρφση θα πρέπει να εκφράζεται με μία καμπύλη που περνά από το σημείο (,) τν αξόνν (βλ. σχήμα.8.α) και η οποία είναι γραμμική υπό την προϋπόθεση ότι η τάση δεν υπερβαίνει το όριο διαρροής. Στην πράξη η σχέση τάσης-παραμόρφσης είναι διαφορετική. Η άρση της επιβολής φόρτισης δεν συνεπάγεται πλήρη επαναφορά του υλικού με αποτέλεσμα η σχέση αυτή να εκφράζεται με μία καμπύλη (βλ. σχήμα.8.β). Η καμπύλη αυτή ονομάζεται επιφάνεια ή βρόχος υστέρησης και το μέγεθος της είναι ανάλογο με το μέγεθος της ενέργειας που διαχέεται προς το περιβάλλον λόγ της ανάπτυξης εστερικής τριβής στο υλικό του οποίου τα στρώματα μετακινούνται σχετικά μεταξύ τους καθώς παραμορφώνονται. Τα ελαστομερή υλικά δείχνουν μεγάλη επιφάνεια βρόχου σε αντίθεση με τα μέταλλα που η επιφάνεια του βρόχου είναι μικρή. Σε ένα ταλαντούμενο σύστημα ενός βαθμού ελευθερίας η επιφάνεια υστέρησης παίρνει την μορφή που φαίνεται στο σχήμα.8.γ. Εδώ καταγράφεται η κυκλική σχέση δύναμης - μετατόπισης και η επιφάνεια αντιστοιχεί στην απώλεια ενέργειας ανά κύκλο. Εάν (N/m) είναι η σταθερά ελατήριου και X (m) το πλάτος της ταλάντσης, τότε η απώλεια εαυτή θα είναι: ΔE πγx (Nm) (.5)

ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΝΟΣ ΒΑΘΜΟΥ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ 9 σ σ y σ F Γραμμική περιοχή ε ε -σ y α. Η θερητική καμπύλη υστέρησης. β. Ο βρόχος υστέρησης. γ. Βρόχος υστέρησης για πλήρη κύκλο ταλάντσης. Σχήμα.8. Καμπύλες και βρόχοι υστέρησης. όπου γ είναι ο αδιάστατος συντελεστής υστερητικής απόσβεσης του υλικού που εξαρτάται από τον τρόπο παραγγής του υλικού αλλά και από την γεμετρία του μέλους που εξετάζεται κάθε φορά. Σε αναλογία με την περίπτση του ιξώδους αποσβεστήρα μπορεί και εδώ να ορισθεί η λογαριθμική μείση (βλ. ενότητα.) ς εξής: δ X i l l(1 πγ) X i 1 (.51) Για περιπτώσεις μικρού βρόχου μπορεί να θερηθεί ότι δ πγ. Επιπλέον μπορεί να ορισθεί ο λόγος απόσβεσης ς: ζ δ γ π (.5) Με βάση τα παραπάν μπορεί να εξομοιθεί η υστερητική απόσβεση με ισοδύναμη ιξώδη. Τότε θα είναι (σύμφνα με την (.)): γ c ζ m (Nsec/m) (.53) eq και άρα μπορούν να εφαρμοστούν οι σχέσεις που ισχύουν για την περίπτση της ελεύθερης ταλάντσης με ιξώδη απόσβεση.

3 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ.5. Εξαναγκασμένη ταλάντση συστήματος ενός βαθμού ελευθερίας χρίς απόσβεση () m Κ.Μ. m Κ.Μ. F e () () m Κ.Μ. F e () m() α. Η κίνηση στον αρμονικό ταλανττή. β. Δυνάμεις στην μάζα του αρμονικού ταλανττή. Σχήμα.9. Εξαναγκασμένη ταλάντση χρίς απόσβεση. Στις προηγούμενες ενότητες εξετάστηκε η ελεύθερη ταλάντση συστήματος ενός βαθμού ελευθερίας (Β.Ε.) σε συνδυασμό με τις αρχικές συνθήκες. Στις επόμενες ενότητες θα εξετασθεί η συμπεριφορά του ιδίου συστήματος υπό την επίδραση εξτερικής διέγερσης που μπορεί να είναι δύναμη, ροπή ή συνδυασμός τν δύο. Σχηματική αναπαράσταση εξαναγκασμένης ταλάντσης για ένα σύστημα ενός βαθμού ελευθερίας χρίς απόσβεση δίνεται στο σχήμα.9.α ενώ στο σχήμα.9.β φαίνονται οι δυνάμεις που δρουν. Εάν θερήσουμε την μάζα μετατοπισμένη στην θέση () κατά την χρονική στιγμή (βλ. σχήμα.9.α), τότε η εφαρμογή του ου νόμου του Newo (βλ. σχήμα.9.β) δίνει: FΚ.Μ. m( ) Fe( ) ( ) m( ) (N) και άρα m( ) ( ) Fe( ) (N) (.54) Η δύναμη F () (N) μπορεί να είναι περιοδική ή αρμονική. Στην περίπτση που e είναι αρμονική, μία πιθανή μορφή της μπορεί να είναι η εξής: F ( ) si( ) e F φ (N) (.55) Μπορεί να είναι και ροπή π.χ. σε ένα σύστημα που εκτελεί στρεπτικές ταλαντώσεις.

ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΝΟΣ ΒΑΘΜΟΥ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ 31 Στην παραπάν σχέση το F (N) ονομάζεται πλάτος της διέγερσης, η (rad/sec) είναι η συχνότητα διέγερσης και φ (rad) είναι η διαφορά φάσης ανάμεσα στον χρόνο έναρξης της ταλάντσης και στον χρόνο έναρξης επιβολής της διέγερσης. Η (.54) είναι μη ομογενής γραμμική διαφορική εξίσση δεύτερης τάξης και η λύσης της θα προκύψει από το άθροισμα της λύσης της ομογενούς Δ.Ε. 1 και της ειδικής λύσης η μορφή της οποίας εξαρτάται από την έκφραση της F () (N). Πράγματι, από την (.9) λαμβάνεται η γενική λύση. Εάν κατόπιν αντικαταστήσ τον δεξιό όρο στην (.54) σύμφνα με την (.55) και υποθέσ (paricular) λύση θα είναι: e ότι η ειδική p ( ) Csi( φ) Dcos( φ ) (.56) τότε, για, με αντικατάσταση στην (.54) σύμφνα με την (.56) θα προκύψει ότι: ( ) F si( ) p φ m (.57) Κατά την χρονική στιγμή = (sec) στο σύστημα θα επιβληθούν οι εξής αρχικές συνθήκες: F ( ) ( ) si φ p m F ( ) ( ) cosφ p m (.58) και επομένς η (.9) σε συνδυασμό με τις (.57) και (.58) θα δώσει: F 1 F ( ) si φ cos( ) cosφ si( ) m F m m si( φ) (.59) Στο σχήμα.1 φαίνεται η εξαναγκασμένη ταλάντση ενός συστήματος ενός βαθμού ελευθερίας χρίς απόσβεση. 1...δηλαδή όταν ο δεξιός όρος είναι ίσος προς το μηδέν... Η υπόθεση αυτή βασίζεται στην μορφή της δύναμης εξαναγκασμού (βλ. σχέση (.55)) και αλλάζει κατά περίπτση.

() 3 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ π/ Λύση της ομογενούς Συνολική απόκριση π/ Μερική λύση Σχήμα.1. Απόκριση συστήματος ενός βαθμού ελευθερίας σε εξαναγκασμένη ταλάντση χρίς απόσβεση. Κατά την περίπτση που (rad/sec), η (.55) θα γίνει: F ( ) F si( φ ) (N) (.6) e Εάν κατόπιν αντικαταστήσ τον δεξιό όρο στην (.54) και υποθέσ ότι η ειδική (paricular) λύση θα είναι: p( ) C si( φ) D cos( φ ) (.61) Τότε με αντικατάσταση από την (.61) στην (.54) θα προκύψει ότι: F φ p( ) cos( ) m (.6) Κατά την χρονική στιγμή = (sec) στο σύστημα θα επιβληθούν οι εξής αρχικές συνθήκες: ( ) ( ) p F ( ) ( ) cosφ p m (.63) και επομένς η (.9) σε συνδυασμό με τις (.6) και (.63) θα δώσει: F F ( ) cos( ) cos φ si( ) cos( φ) m m (m) (.64) Στο σχήμα.11 φαίνεται η εξαναγκασμένη ταλάντση ενός συστήματος ενός βαθμού ελευθερίας χρίς απόσβεση όταν.