ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Transcript

1 ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α. α.. δ. 3. β. 4. γ. 5. α-λ, β-σ, γ-σ, δ-σ, ε-λ. ΘΕΜΑ B. Σωστή απάντηση είναι η (β). Εφαρμόζουμε την αρχή της διατήρησης της ορμής στον άξονα κίνησης για το σύστημα των Σ, Σ λίγο πριν και αμέσως μετά την κρούση. p p x( ) x( ) Θεωρώντας θετική την κατεύθυνση της κίνησης του σώματος Σ πριν την κρούση, η σχέση γράφεται: V V () Aπό την εκφώνηση έχουμε ότι η ενέργεια ταλάντωσης του συσσωματώματος είναι ίση με το ¼ της αρχικής ενέργειας ταλάντωσης. () 4 Η κρούση γίνεται στη θέση ισορροπίας, οπότε η ενέργεια ταλάντωσης συμπίπτει κάθε φορά με την κινητική ενέργεια του σώματος που ταλαντώνεται. Άρα, η σχέση () γράφεται: και με τη βοήθεια της () γίνεται: V (3) 4 Σελίδα από 7

2 Σωστή απάντηση είναι η (β). Οι επιμέρους συχνότητες των ταλαντώσεων είναι f 5Hz, f 7Hz H μέση συχνότητα, που αποτελεί και τη συχνότητα ταλάντωσης του σώματος, είναι f f f 6Hz Οι 60 ταλαντώσεις πραγματοποιούνται σε χρονικό διάστημα που βρίσκεται από τη σχέση: N 60 f t t 0 t f 6 Hz H περίοδος του διακροτήματος είναι f f 0,5 επομένως το πλάτος ταλάντωσης μηδενίζεται κάθε 0,5. H ενέργεια της ταλάντωσης στο διακρότημα μηδενίζεται κάθε φορά που μηδενίζεται το πλάτος του, συνεπώς η ενέργεια ταλάντωσης μηδενίζεται φορά κάθε 0,5 δευτερόλεπτα. Άρα, στα 0 δευτερόλεπτα, η ενέργεια της ταλάντωσης μηδενίζεται 0 φορές. 3. Σωστή απάντηση είναι η (γ). Η θερμότητα που εκλύεται στο περιβάλλον λόγω των αποσβέσεων ισούται αριθμητικά με την αρχική ενέργεια ταλάντωσης. Επομένως για το σώμα Α QA E J kaaa J Όταν φέρουμε το σώμα στη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου και το αφήσουμε να εκτελέσει ταλάντωση, το πλάτος ταλάντωσης Α είναι η κατακόρυφη απόσταση από το φυσικό μήκος μέχρι τη θέση ισορροπίας. g k A Για το σώμα Α στη θέση ισορροπίας έχουμε A A A g k A Για το σώμα B στη θέση ισορροπίας έχουμε B B B Eπειδή Α= B έχουμε kaaa ka A AA Σελίδα από 7

3 ka () QB E ( ) kbab AA QA QB 4J 4. Σωστή απάντηση είναι η (α). Μια εξαναγκασμένη ταλάντωση έχει συχνότητα ίση με την συχνότητα του διεγέρτη. Επειδή η συχνότητα του διεγέρτη παρέμεινε σταθερή, η σωστή απάντηση θα έχει περίοδο ταλάντωσης ίση με την αρχική, (Ι) ή (ΙΙΙ). 5 Η ιδιοπερίοδος του ταλαντούμενου συστήματος είναι αρχικά kg 0 T0 T0 f0 Hz k 400N / 0. Άρα σωστό μπορεί να είναι το διάγραμμα Το σύστημα αρχικά ταλαντώνεται σε συχνότητα 0 ιδιοσυχνότητά του f0 Hz. f 5 Hz που είναι μικρότερη από την Αντικαθιστώντας το σώμα με άλλο τετραπλάσιας μάζας, η ιδιοπερίοδός του γίνεται 4 T0, που συμπίπτει με την περίοδο του διεγέρτη. Άρα το σύστημα k 5 βρίσκεται σε συντονισμό και το πλάτος του μεγιστοποιείται με συνέπεια Α >Α.. ΘΕΜΑ Γ Γ. Οι δύο ακραίες θέσεις της ταλάντωσης απέχουν d=α, όπου Α το πλάτος της ταλάντωσης. Από τη δοσμένη εξίσωση της δύναμης επαναφοράς γνωρίζουμε ότι η μέγιστη τιμή της είναι F ax= DA=40N (). Aν προσδιορίσουμε τη σταθερά επαναφοράς D, από τη σχέση () θα υπολογίσουμε το πλάτος Α. O χρόνος που μεσολαβεί ανάμεσα σε δύο διαδοχικά περάσματα από τη θέση ισορροπίας είναι Τ/, άρα, οπότε από τη σχέση της περιόδου έχουμε: T 0 5 Σελίδα 3 από 7

4 Aντικαθιστώντας στην () παίρνουμε 4 4 kg N D T T D D 00 5 F D 40 N 00 N / ax A 0, Άρα, οι δύο ακραίες θέσεις της ταλάντωσης απέχουν d=α=0,4. Γ. Η σχέση που δίνει τη δύναμη επαναφοράς σε συνάρτηση με την απόσταση x από τη θέση ισορροπίας είναι F Dx F 00x (SI) 0, x 0, H γραφική παράσταση φαίνεται στο διπλανό διάγραμμα Γ3. Από τη δοσμένη εξίσωση της δύναμης επαναφοράς γνωρίζουμε ότι δεν υπάρχει αρχική φάση. Επομένως η θέση του σώματος δίνεται από τη σχέση x At 0, t, (SI) ( / 5) Αντικαθιστώντας στην παραπάνω εξίσωση την τιμή t=(5π/60) παίρνουμε: 5 5 x 0, 0, x 0, x 0, ( / 5) 60 6 Η μετατόπιση του σώματος στο ζητούμενο χρονικό διάστημα είναι: Δx=x=0,. 5 3 H χρονική στιγμή t είναι μεγαλύτερη από και μικρότερη από Έτσι, το σώμα τη χρονική στιγμή t βρίσκεται σε θετική απομάκρυνση και 60 κινείται προς τη θέση ισορροπίας, δηλαδή στο ζητούμενο χρονικό διάστημα το σώμα έχει αλλάξει κατεύθυνση κίνησης. Άρα x x 0, 0 0, 0, 0,3 B Σελίδα 4 από 7

5 Γ4. O ρυθμός μεταβολής κινητικής ενέργειας του σώματος δίνεται από τη σχέση dk dw F Fdx dk F Dx, () dt dt dt dt To σώμα διέρχεται από τη θέση x=a/ και επιταχύνεται, επομένως κατευθύνεται προς τη θέση ισορροπίας έχοντας αρνητική ταχύτητα. Η ταχύτητα υ θα υπολογιστεί εφαρμόζοντας την διατήρησης ενέργειας για την ταλάντωση μεταξύ των θέσεων x= Α/ και της ακραίας θέσης. A K U E Dx DA D DA A 3D 0, Από τις δύο τιμές θα χρησιμοποιήσουμε την αρνητική. Αντικαθιστώντας στη σχέση () παίρνουμε: dk N 0, dk J Dx dt dt To θετικό πρόσημο δηλώνει ότι η κινητική ενέργεια του ταλαντούμενου σώματος αυξάνεται, κάτι που είναι αναμενόμενο αφού αυτό κατευθύνεται προς τη θέση ισορροπίας της ταλάντωσης. ΘΕΜΑ Δ Στο πρόβλημα συναντάμε τα εξής φαινόμενα: - Ισορροπία σώματος στερεωμένο σε κατακόρυφο ελατήριο, του Σ. - Κατακόρυφη εκτόξευση σώματος προς τα πάνω, του Σ. - Πλαστική κρούση δύο σωμάτων, των Σ και Σ. - Απλή αρμονική ταλάντωση συστήματος μάζας ελατηρίου, των ( + ) - k. Δ. Αν με συμβολίσουμε τη μεταβολή του φυσικού μήκους του ελατηρίου, η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου βρίσκεται από τη σχέση U k και μηδενίζεται κάθε φορά που το σώμα διέρχεται από το φυσικό μήκος του ελατηρίου. Σελίδα 5 από 7

6 Πρέπει να βρούμε την πάνω ακραία θέση του συσσωματώματος σε σχέση με τη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου. Αν το συσσωμάτωμα ξεπερνά τη θέση φυσικού μήκους, η U ελατ θα μηδενίζεται δύο φορές ανά περίοδο. Αν δεν την ξεπερνά, δεν θα μηδενίζεται καμία φορά και αν φθάνει μέχρι τη θέση φυσικού μήκους θα μηδενίζεται μία μόνο φορά. Στη θέση ισορροπίας της ταλάντωσης, θέση (Δ), το ελατήριο είναι επιμηκυμένο κατά που βρίσκεται από τη συνθήκη ισορροπίας, ΣF=0 x x g kg kg0 / k(xx ) g 0 xx k 00N / xx 0, 4 Επειδή μας δίνεται ότι το πλάτος ταλάντωσης είναι 0,4, αυτό δηλώνει ότι το συσσωμάτωμα στην πάνω ακραία θέση του φθάνει μέχρι τη θέση φυσικού μήκους. Άρα η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου μηδενίζεται μια φορά ανά περίοδο. Δ. Στη θέση ισορροπίας του Σ (θέση Α) έχουμε: g F 0 g k x x 0, k Λόγω της προσθήκης του σώματος Σ συμβαίνει μετατόπιση της θέσης ισορροπίας κατά x, που είναι ίσο με x = Α - x = 0,. Άρα η ταλάντωση του συστήματος ξεκινά από τη θέση x =+ 0, με κατεύθυνση προς τα πάνω (θετικά). Εφαρμόζουμε την αρχή της διατήρησης της ενέργειας για την ταλάντωση μεταξύ των θέσεων (Β), όπου το συσσωμάτωμα έχει ταχύτητα Vκ, απομάκρυνση x και της ακραίας θέσης της ταλάντωσης, θέση (Γ). k(a x ) K U E ( )V kx ka V 3 Εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης της ορμής για το σύστημα των Σ, Σ λίγο πριν και αμέσως μετά την κρούση και θεωρώντας θετικά προς τα πάνω παίρνουμε: V p( ) p( ) V 3 Σελίδα 6 από 7

7 Εφαρμόζουμε τo θεώρημα έργου ενέργειας για το σώμα Σ από τη στιγμή που αυτό εκσφενδονίζεται κατακόρυφα με ταχύτητα μέτρου υ ο μέχρι λίγο πριν την κρούση του με το Σ. Ww o gh o gh o 3 0 4,4 o 0 Δ3. H εξίσωση της απομάκρυνσης, στην α.α.τ. στη γενική της μορφή, δίνεται από τη σχέση x A ( t ). () o Όπου: Α=0,4 και k 00 N / rad 5 kg kg. Για τη χρονική στιγμή t=0, γνωρίζουμε ότι το συσσωμάτωμα βρίσκεται στη θέση x =+A/ έχοντας θετική ταχύτητα, επομένως η αρχική φάση της ταλάντωσης αναμένεται στο ο τεταρτημόριο του τριγωνομετρικού κύκλου. Με αντικατάσταση στη σχέση () παίρνουμε: 5 A o o K rad ή o K Επειδή πρέπει 0<φ 0<π πιθανές λύσεις είναι οι o και o 6 6 Επειδή πρέπει υ>0, αποδεκτή είναι η λύση o. 6 Άρα, η εξίσωση της απομάκρυνσης με το χρόνο παίρνει τη μορφή x 0,4 (5t ), (SI) 6 Δ4. Σε μια τυχαία θέση, που το συσσωμάτωμα απέχει x από τη θέση ισορροπίας της ταλάντωσης, (θέση Ζ), η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου δίνεται από τη σχέση U k(a x) 50(0, 4 x) U 50x 40x 8 (SI) 0, 4 x 0, 4 H γραφική παράσταση της U f (t) είναι μια παραβολή με τα κοίλα προς τα θετικά. Για x=-0,4 δίνει U=+3J. Για x=+0,4 δίνει U=0J. Για x=0 δίνει U=+8J. H γραφική παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Σελίδα 7 από 7