5.15 Εφαρμογές της ομογενούς Δ.Ε. 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές

Transcript

1 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 α) y -y +y e x /x 5 Aπ. u(/)x -3 e x β) y +ysecx Aπ. u[csx]ln csx +xsinx γ) y +4ysin x Aπ. u[cs (x)+]/ ) Γενικεύοντας την παραπάν πορεία για n>, δείξτε ότι τα v i (x) ικανοποιούν το σύστημα (). 5.5 Εφαρμογές της ομογενούς Δ.Ε. ης τάξης με σταθερούς συντελεστές ) Αρμονική ταλάντση χρίς απόσβεση. Πρόκειται για κίνηση υλικού σημείου επί ευθείας, η οποία οφείλεται στη δύναμη F(x)-kx (k>). Η Δ.Ε. της κίνησης είναι: k ( ) k F x kx x x+ x x+ x Ομογενής γραμμική Δ.Ε. ας τάξες με σταθερούς συντελεστές. Η χαρακτηριστική της εξίσση είναι: μ + ( ) μ± i. Οπότε η γενική λύση θα έχει την μορφή: x x e C sin + C cs C sin + C cs () Αν επιπλέον έχουμε ς αρχικές συνθήκες x() x και x () v, τότε από την () θα πάρουμε: x() C x, x ( ) C cs Csin v x () C v C Επομένς η () γράφεται γραφεί και στην μορφή ( φ) v x sin + xcs. Η () μπορεί να x Asin + () όπου A το πλάτος της ταλάντσης και φ η φάση. Η () γράφεται x Asin csφ+ Acs sinφ v οπότε έχουμε, A cs φ, Asinφ x

2 και επομένς x anφ και v Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις n τάξης 43 A v + ( x ) A v + ( x ) Για τις αρχικές συνθήκες x 5 και v η κίνηση του αρμονικού ταλανττή φαίνεται στο παρακάτ σχήμα: ) Αρμονική ταλάντση με απόσβεση. Θερούμε την ευθύγραμμη κίνηση υλικού σημείου όπου εκτός από τη δύναμη F( x) kx επιδρά και η απόσβεση, (τριβή), Rx ( ) cx (k, c>). Η Δ.Ε. της κίνησης είναι Θέτοντας c k x + cx + kx x + x x + k και x+ x + x γ ( ) c γ η Δ. Ε. γράφεται: Η χαρακτηριστική της εξίσσης είναι: χαρακτηριστικές ρίζες είναι: γ ± γ ( ) μ, γ ± γ ( ) μ + γμ + και οι

3 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ: Α) Ασθενής απόσβεση. Για μικρή αντίσταση τέτοια ώστε: γ < ( ), θα έχουμε: μ γ ± i γ γ ± i με γ, Η γενική λύση είναι: x()e -γ (c sin+c cs) η οποία μπορεί να γραφεί στη μορφή: x()de -γ cs(+θ) () x( ) Φθίνουσα αρμονική ταλάντση exp(- γ) -exp(-γ όπου τα D και θ προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Η λύση παριστάνει ταλάντση σταθερής συχνότητας με πλάτος το οποίο φθίνει εκθετικά με το χρόνο και τείνει ασυμπττικά στο μηδέν. Η ταλάντση αυτή ονομάζεται φθίνουσα αρμονική ταλάντση. Β) Ισχυρή απόσβεση Για μεγάλες τιμές της αντίστασης τέτοιες ώστε >, θα έχουμε μ, γ ± γ ( ) ( μ, μ < ). γ μ μ Έτσι x() Ce + C e () Γ) Κρίσιμη απόσβεση. Εδώ έχουμε ότι, οπότε, γ μ γ και x() C + C e (3) Τόσο η () όσο και η (3) παριστάνουν κίνηση όπου το υλικό σημείο τείνει ασυμπττικά να ισορροπήσει στην αρχή τν αξόνν x χρίς ταλαντώσεις.

4 Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις n τάξης 45 x() Ισχυρή απόσβεση Κρίσιμη απόσβεση 3) Εξαναγκασμένη αρμονική ταλάντση Θερούμε τον απλό αρμονικό ταλανττή στον οποίο εξασκούμε μια εξτερική δύναμη η οποία είναι συνάρτηση του χρόνου. Η Δ.Ε. κίνησης γράφεται: x + kx F() που είναι μια μη ομογενής γραμμική Δ.Ε. ας τάξες με σταθερούς συντελεστές. Θα μελετήσουμε την περίπτση που η δύναμη είναι: F() F cs όπου F σταθερά και η συχνότητα της δύναμης. Επομένς x + kx F cs () Η αντίστοιχη ομογενής Δ.Ε. είναι x + kx, με χαρακτηριστική εξίσση k k μ + k μ, i i μ ± ±. Έτσι η λύση της ομογενούς Δ.Ε. είναι: k k k xομ () Ccs Csin + xομ () Ccs+ Csin Στη συνέχεια αναζητούμε μια μερική λύση της () της μορφής: u () Acs+ Bsin u () A sin+ Bcs

5 46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 u A B () () cs ( ) sin Αντικαθιστώντας τις () στην () έχουμε: A( ) cs B( ) sin + k( Acs+ Bsin ) F cs A + ka + B + kb F cs sin cs B + kb B ( ) F F A( ) + ka F A k ( ) k ( ) F A ( ) Έτσι η γενική λύση του προβλήματος γράφεται: F x( ) C cs + C cs + cs ( ) όπου τα C, C προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Έστ δηλαδή ότι για: και x x x ν (4) Από την (3) θα έχουμε: F F x() + C x C x ( ) ( ). H παράγγος της x() είναι: F sin x () C sin+ Ccs ( ) v x C v C. Έτσι στην περίπτση αυτή η (3) γράφεται: οπότε από την (4) θα έχουμε F ν F x( ) x cs+ sin+ cs ( ) ( ) Αν η συχνότητα (συχνότητα εξαναγκασμού) βρίσκεται κοντά στη φυσική συχνότητα του ταλανττή τότε το πλάτος ταλάντσης γίνεται πολύ μεγάλο. Αυτό είναι το γνστό φαινόμενο του συντονισμού. Αν είναι (3)

6 Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις n τάξης 47 η (3) δεν είναι πια αληθής αφού A. Θα ξαναλύσουμε την () η οποία έχει τότε τη μορφή x() F x + x cs (5) Η λύση της ομογενούς είναι ίδια, αλλάζει όμς η μερική λύση. Επειδή τα i, i αποτελούν ζεύγος συζυγών μιγαδικών ριζών με πολλαπλότητα ένα, αναζητούμε μερική λύση της μορφής u () α sin+ β cs Υπολογίζουμε τις παραγώγους u () α sin+ β cs+ αcs βsin u ( ) α cs βsin+ αcs βsin+ ( α sin β cs ) + Αντικαθιστώντας στην (5) την u και τις παραγώγους τις, θα έχουμε: αcs βsin+ α sin β cs + F F + αsin+ βcs cs β και α F Επομένς έχουμε u () sin. οπότε η γενική λύση γράφεται: F x() Ccs+ Csin+ sin Από τις αρχικές συνθήκες ( x() x, x () ν ) x() C x και θα έχουμε:

7 48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 F F x () sin+ sin Csin+ Ccs ν x () C ν C Άρα τελικά η γενική λύση στην περίπτση αυτή γράφεται: ν F x() x cs+ sin+ sin 4) Εξαναγκασμένη αρμονική ταλάντση με απόσβεση Θερούμε τον απλό αρμονικό ταλανττή στον οποίο εξασκείται μια F, η οποία είναι συνάρτηση του χρόνου και μια εξτερική δύναμη δύναμη απόσβεσης cx ( ). Η Δ.Ε. της κίνησης γράφεται: x + cx + kx F () που είναι μια μη ομογενής γραμμική Δ.Ε. ας τάξες με σταθερούς συντελεστές. Και εδώ θα μελετήσουμε την περίπτση που η εξτερική δύναμη είναι: F () Fcs όπου F σταθερά και η συχνότητα της δύναμης. Επομένς c k F x + cx () + kx F () cs x + x + x cs( ) ()

8 Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις n τάξης 49 Θέτοντας k, γ c και f F η Δ.Ε γράφεται: x + γ x + x fcs( ) Η αντίστοιχη ομογενής Δ.Ε. είναι x γx( ) x( ) χαρακτηριστική εξίσση: () μ + γμ+ και χαρακτηριστικές ρίζες: μ γ ± γ, + +, με οι οποίες α) όταν γ>, είναι και οι δυο αρνητικές, β) όταν γ<, είναι συζυγείς μιγαδικές με αρνητικό το πραγματικό μέρος και γ) όταν γ, έ- χουμε μια διπλή αρνητική ρίζα. Αυτό σημαίνει ότι σε όλες τις περιπτώσεις η λύση της ομογενούς είναι μια φθίνουσα συνάρτηση. α) Για γ> η λύση της ομογενούς Δ.Ε. είναι: μ μ xομ Ce + Ce, μ γ± γ, Στη συνέχεια αναζητούμε μια μερική λύση της () της μορφής: u () Asin+ Bcs u () A cs Bsin. u () A sin B cs (3) Αντικαθιστούμε τις (3) στην () και έχουμε: ( A sin B cs) γ ( Acs Bsin ) + + Asin+ Bcs f cs sin A γb+ A + cs B + γ A+ B f ( ) A γb γ A+ ( ) B f ( ) ϕ γ f A, Β 4γ 4γ Επομένς η μερική λύση είναι:

9 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ( ) f γ f u() sin ( ) cs ( ) (4) 4γ 4γ και η γενική λύση του προβλήματος γράφεται: () ( γ+ γ ) γ γ x Ce + Ce + ( ) f γ f + sin ( ) 4γ 4γ cs ( ) όπου τα CC, προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Έστ ότι για (5) έχουμε x x και x v (6) Για την απλούστερη μορφή τν τύπν θέτουμε: M γf, N f, K 4γ + και η εφαρμογή τν αρχικών συνθηκών στην γενική λύση (5) μας δίνει το σύστημα τν εξισώσεν ς προς C, C : N x( ) C+ C + x K M x ( ) μc + μ C + v K η λύση του οποίου είναι: K μ x v + M μ C N, C K v μ x M + μ N μ μ Κ μ μ Κ Τελικά η λύση συναρτήσει τν αρχικών συνθηκών είναι: () x ( μ μ) ( μ μ ) K μ x v + M μ N ( ) cs( ) ( γ+ γ ) e + K v μx M+ μn e Κ M N + sin K K Κ ( γ γ ) + + Η γραφική παράσταση της λύσες (7) για γ3,,.3 και f και με αρχικές συνθήκες x, v φαίνεται στο παρακάτ σχήμα: (7)

10 Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις n τάξης 5 β) Για γ η λύση της ομογενούς Δ. Ε. () είναι: x ( ) ( C C) e γ ομ + Μία μερική λύση u( ) μπορεί να προκύψει από την (4) θέτοντας γ και έχουμε: () f ( ) ( ) f ( ) u sin cs και η γενική λύση της Δ. Ε. γράφεται: () x C Ce γ + + f ( ) ( ) f + sin όπου τα C και C προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες: ( ), ( ) x x x v cs ( ) M f, N ( ) f, K 4 + ( ) Θέτουμε: και έχουμε: N x C + x ( ) K

11 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 γ γ M N x ( ) C e γ C+ C e + cs + sin( ) K K M C γc + v K Από τις παραπάν σχέσεις προκύπτει: N, N C x C M γ x + v K K K Τελικά η λύση συναρτήσει τν αρχικών συνθηκών είναι: N N M γ x() x + γ x + v e + K K K M N + sin cs K K (8) Η γραφική παράσταση της λύσες (8) για γ3, 3,.3 και f και για τις ίδιες αρχικές συνθήκες x, v φαίνεται στο παρακάτ σχήμα: γ) Εάν γ< οι χαρακτηριστικές ρίζες είναι συζυγείς μιγαδικοί αριθμοί μ γ ± ι γ, με γενική λύση της ομογενούς: γ () cs( ) + sin ( ) x e ομ C γ C γ Μία μερική λύση θα είναι της ίδιας μορφής όπς και πριν: sin + cs u A B

12 Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις n τάξης 53 ( ) f γ f με A και B 4γ ( ) 4γ Επομένς η γενική λύση είναι: γ x () e Ccs( γ ) + Csin ( γ ) + M N + sin cs K K Η γραφική παράσταση της λύσες (9) για γ., 3,.3 και f και για τις ίδιες αρχικές συνθήκες x, v φαίνεται στο παρακάτ σχήμα: (9) Όπς είδαμε στις τρεις παραπάν περιπτώσεις οι δυο πρώτοι εκθετικοί προσθετέοι της λύσης αποτελούν μια φθίνουσα συνάρτηση που τείνει στο μηδέν όταν ο χρόνος τείνει στο άπειρο. Γι αυτό ονομάζεται παροδικός όρος, ενώ οι δυο τελευταίοι τριγνομετρικοί προσθετέοι αποτελούν την λύση της σταθεράς κατάστασης. Προφανώς μπορεί κανείς να πειραματισθεί, με την βοήθεια ενός μαθηματικού πακέτου όπς το Maple, μεταβάλλοντας τις τιμές της απόσβεσης γ, της ιδιοσυχνότητας του αρμονικού ταλανττή, της συχνότητας της εξτερικής περιοδικής δύναμης όπς και του πλάτους ff / και να σχεδιάσει τις αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις. 5) Εξισώσεις Lagrange Έστ ολόνομο σύστημα με n βαθμούς ελευθερίας ( Ολόνομο σύστημα: όλοι οι δεσμοί είναι ολόνομοι (βλέπε ολοκληρτικός παράγοντας)) το οποίο εκφράζεται με τις n γενικευμένες συντεταγμένες q,.,q n. Oι εξισώσεις της