ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με το μισό της. Μονάδες 15 A2. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος; o 1. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο Â 90 με διάμεσο ΑΜ. Αν Δ σημείο της διαμέσου ΑΜ, τότε το Δ ισαπέχει από τις κορυφές Β και Γ του τριγώνου. 2. Ένα τετράπλευρο που οι πλευρές του τέμνονται κάθετα μπορεί να μην είναι ρόμβος. 3. Δύο τρίγωνα είναι σε κάθε περίπτωση ίσα όταν τρεις γωνίες του ενός είναι ίσες μία προς μία με τρεις γωνίες του άλλου. 4. Αν σε έναν κύκλο δύο αποστήματα είναι άνισα, τότε και οι αντίστοιχες χορδές, είναι ομοίως άνισες. 5. Σε ένα πεντάγωνο, το άθροισμα των γωνιών του είναι ίσο με 504 ο Μονάδες 10
ΘΕΜΑ B Δίνεται κύκλος με κέντρο Ο και Α εξωτερικό σημείο από το οποίο φέρουμε εφαπτόμενα τμήματα ΑΒ και ΑΓ. Αν Δ αντιδιαμετρικό του Β και Ε αντιδιαμετρικό του Γ, τότε να αποδείξετε ότι: Β1. τα τρίγωνα ΑΓΕ και ΑΒΔ είναι ίσα. Μονάδες 8 Β2. Aˆ Aˆ Μονάδες 8 Β3. τα τρίγωνα ΑΓΔ και ΑΒΕ είναι ίσα. Μονάδες 9 ΘΕΜΑ Γ Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και ˆ 90 και η διάμεσός του ΑΜ. Αν ΑΜ = ΑΓ = 3cm, να βρείτε: Γ1. το ΜΓ Μονάδες 5 Γ2. το ΒΓ Μονάδες 5
Αν ΜΔ//ΑΓ, τότε να βρείτε: Γ3. τις γωνίες ˆ, ˆ Μονάδες 10 Γ4. το ΜΔ Μονάδες 5 ΘΕΜΑ Δ Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ < ΑΓ, η διχοτόμος του ΑΔ και Μ το μέσο της ΒΓ. Παίρνουμε σημείο Ζ στην ΑΓ τέτοιο ώστε ΑΖ = ΑΒ. Αν η ΒΖ τέμνει την ΑΔ στο Ε να αποδείξετε ότι: Δ1. Η ΕΜ είναι παράλληλη με την ΑΓ. Μονάδες 8 Δ2. Μονάδες 8 ˆ Δ3. ˆ Μονάδες 9
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΘΕΜΑ Α Α1. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος; 1. Οι προσκείμενες στη βάση γωνίες ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες. 2. Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός ευθυγράμμου τμήματος ισαπέχει από τα άκρα του. 3. Τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου που άγονται από σημείο εκτός αυτού δεν είναι ίσα. 4. Όλες οι γωνίες ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι ορθές. 5. Κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου είναι ίση με τη διαφορά των δύο απέναντι εσωτερικών γωνιών του τριγώνου. Μονάδες 10 A2. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με το μισό της. Μονάδες 15
ΘΕΜΑ B Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και οι διχοτόμοι ΒΕ και ΓΔ των γωνιών ˆB και ˆ αντίστοιχα και Ι το σημείο τομής τους. Να αποδείξετε ότι: Β1. Το τρίγωνο ΒΙΓ είναι ισοσκελές Μονάδες 8 Β2. ΑΙ διχοτόμος της γωνίας ˆ Μονάδες 8 Β3. ΑΙ μεσοκάθετος της ΒΓ. Μονάδες 9 ΘΕΜΑ Γ Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ˆ 90 με ΒΓ αντίστοιχα. Προεκτείνουμε την ΕΔ κατά τμήμα ΔΖ = ΕΔ. Να αποδείξετε ότι: ˆΒ 30 ο και Δ, Ε τα μέσα των πλευρών ΑΒ και Γ1. ΑΓ = ΖΕ Μονάδες 10 Γ2. το ΑΓΕΖ είναι ρόμβος. Μονάδες 15
ΘΕΜΑ Δ Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ˆ 120. Αν η διχοτόμος της γωνίας ˆ τέμνει την ΒΓ στο μέσον της Ε. Να αποδείξετε ότι: Δ1. το τρίγωνο ΑΒΕ είναι ισόπλευρο. Μονάδες 10 Δ2. ˆ 90 Μονάδες 15
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: A ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΘΕΜΑ Α A1. Να αποδείξετε ότι σε ένα τρίγωνο, το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα δύο πλευρών ενός τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της. Μονάδες 10 Α2. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή ή λάθος την παρακάτω πρόταση: Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο κάθε ύψος είναι διχοτόμος και διάμεσος Μονάδες 5 Α3. Αν Κ,R και Λ, ρ είναι δύο κύκλοι που έχουν διαφορετικά κέντρα και R ρ, ΚΛ δ, να αντιστοιχήσετε κάθε φράση της πρώτης στήλης με την αντίστοιχη σχέση στη δεύτερη στήλη.
Στήλη Α Στήλη Β α. Ο κύκλος Λ, ρ είναι εσωτερικός του Κ,R 1. δ R ρ β. Ο κύκλος Λ, ρ είναι εφάπτεται εσωτερικά του Κ,R γ. Οι κύκλοι Κ,R και Λ, ρ τέμνονται. 2. δ R ρ 3. δ R ρ 4. δ R ρ 5. 2δ R ρ 6. ρ δ R 7. 2δ Rρ 8. R ρ δ R ρ δ. Οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά ε. Κάθε κύκλος είναι εξωτερικός του άλλου Μονάδες 5 Α4. Η διάμεσος ΕΖ του τραπέζιου ΑΒΓΔ είναι ίση με: 1. 3cm 2. 3,5cm 3. 4cm 4. 4,5cm 5. 5cm Μονάδες 5
ΘΕΜΑ Β Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο AB με ΑΒ = ΑΓ. Στις ίσες πλευρές ΑΒ, ΑΓ παίρνουμε τα σημεία Ε και Ζ έτσι ώστε ΑΕ = ΑΖ. Να αποδείξετε ότι : Β1. ΒΖ = ΓΕ Μονάδες 6 Β2. αν Κ το σημείο τομής των ΒΖ, ΓΕ, τότε ΒΕΚ ˆ ΓΖΚ ˆ Μονάδες 6 Β3. ΑΚ διχοτόμος της γωνίας ˆΑ Μονάδες 6 Β4. ΕΖ//ΒΓ Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Γ Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ με ΑΒ//ΓΔ και ΑΒ = 3cm, ΓΔ = 7cm και περίμετρο 18cm. Να βρείτε: Γ1. το μήκος της διαμέσου του τραπεζίου. Μονάδες 6 Γ2. το μήκος του τμήματος που ενώνει τα μέσα των διαγωνίων του τραπεζίου. Μονάδες 6 Γ3. το μήκος των ίσων πλευρών. Μονάδες 6 Γ4. τις γωνίες του τραπεζίου Μονάδες 7
ΘΕΜΑ Δ Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Φέρουμε ΑΚ Να αποδείξετε ότι: ΔΓ και ΓΛ ΑΒ. Δ1. ΔΚ = ΒΛ Μονάδες 8 Δ2. ΑΛΓΚ ορθογώνιο Μονάδες 8 Δ3. ΑΓ, ΒΔ, ΚΛ συντρέχουν. Μονάδες 9
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΘΕΜΑ Α A1. Να χαρακτηρίσετε κάθε μία από τις ακόλουθες προτάσεις ως Σωστή ή Λάθος. α. Αν δύο τρίγωνα έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα. β. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η διπλή ανισοτική σχέση:, εφόσον. γ. Αν δυο τεμνόμενες ευθείες από τρίτη ευθεία σχηματίζουν τις εντός εναλλάξ γωνίες ίσες, τότε είναι παράλληλες. δ. Η διάκεντρος δύο κύκλων που τέμνονται είναι ίση με το άθροισμα των ακτίνων τους. ε. Οι οξείες γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι συμπληρωματικές. Μονάδες 10 Α2. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο: Οι γωνίες που πρόσκεινται στη βάση είναι ίσες. Η διχοτόμος της γωνίας της κορυφής είναι διάμεσος και ύψος Μονάδες 15
ΘΕΜΑ B Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ). Στις προεκτάσεις των ΒΑ, ΓΑ παίρνουμε τα σημεία Ε, Δ αντιστοίχως, ώστε ΑΕ = ΑΔ. Αν Μ είναι το μέσο της βάσης ΒΓ, να αποδείξετε ότι: Β1. τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΕ είναι ίσα. Μονάδες 10 Β2. το τρίγωνο ΜΕΔ είναι ισοσκελές. Μονάδες 15 ΘΕΜΑ Γ Δίνονται οι κύκλοι K, και, όπου ΚΛ > 2ρ. Αν Μ είναι ένα σημείο της μεσοκαθέτου ε της διακέντρου ΚΛ και ΜΑ, ΜΒ τα εφαπτόμενα τμήματα από το Μ στους δύο κύκλους, να αποδείξετε ότι: Γ1. ΜΑ = ΜΒ Μονάδες 12 Γ2. Η γωνία ˆ διχοτομείται από την ευθεία ε. Μονάδες 13
ΘΕΜΑ Δ Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ, στο οποίο ισχύει: ˆ ˆ 30. Οι διχοτόμοι του ΒΔ και ΓΕ τέμνονται στο Ι. Δ1. Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ. Μονάδες 8 Δ2. Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΙΓΔ. Μονάδες 8 Δ3. Να αποδείξτε ότι ΕΔ//ΒΓ Μονάδες 9
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΘΕΜΑ Α A1. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος; 1. Κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου είναι ίση με την ημιδιαφορά των δύο απέναντι εσωτερικών γωνιών του τριγώνου. Σ Λ 2. Αν δύο τρίγωνα έχουν όλες τις γωνίες τους ίσες μία προς μία τότε είναι ίσα.σ Λ 3. Οι διαγώνιοι ισοσκελούς τραπεζίου είναι ίσες. Σ Λ 4. Κάθε ρόμβος είναι τετράγωνο. Σ Λ 5. Κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές του. Σ Λ (15 Μονάδες) Α2. Να αποδείξετε ότι η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. (10 Μονάδες)
ΘΕΜΑ Β Δίνεται τρίγωνο AB με o  80 και η γωνία ˆB είναι 20 ο μεγαλύτερη από τη ˆΓ. Β1. Να υπολογίσετε τα μέτρα των γωνιών του τριγώνου AB (10 Μονάδες) Β2. Φέρουμε την διχοτόμο ΑΔ και από το Δ παράλληλη στην ΑΒ που τέμνει την ΑΓ στο Ε. Να υπολογίσετε τις γωνίες ˆ ΑΔΕ και ˆ ΕΔΓ (15 Μονάδες) ΘΕΜΑ Γ Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και η διχοτόμος ΔΡ της γωνίας ˆΔ και η προέκταση ΑΕ της πλευράς ΔΑ με ΑΕ = ΑΔ. Γ1. Να αποδείξετε ότι A ισοσκελές. (8 Μονάδες)
Γ2. Να αποδείξετε ότι ΕΡ ΔΡ. (9 Μονάδες) Γ3. Αν ˆΒ 60 o, να αποδείξετε ότι ΕΡ = ΒΓ. (8 Μονάδες) ΘΕΜΑ Δ Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ με Αˆ Δˆ 90 o, ΔΓ 2ΑΒ και ˆ ˆ Β 3Γ. Α Β Δ1. να βρεθούν τα μέτρα των γωνιών Β και Γ. (6 Μονάδες) Φέρνουμε την ΒΕ κάθετη στην ΔΓ. Δείξτε ότι: Δ2. Τα τμήματα ΒΕ και ΑΓ διχοτομούνται στο Μ. (6 Μονάδες) Δ3. Το ΑΕ ΒΔ και ΒΔ ΒΓ. (6 Μονάδες) Δ4. Αν Ν το μέσο του ΒΔ, τότε ΔΓ 4ΜΝ. (7 Μονάδες) Δ Ε Γ