Banaketa normala eta limitearen teorema zentrala

eta limitearen teorema zentrala Josemari Sarasola Estatistika enpresara aplikatua Josemari Sarasola Banaketa normala eta limitearen teorema zentrala 1 / 13

Estatistikan gehien erabiltzen den banakuntza da arrazoi hauengatik: kanpai itxurakoa eta simetrikoa da, eta horrela errealitatean maiz agertzen diren fenomeno askotara aplika daiteke (hortik datorkio normal izena); beste hainbat probabilitate-banakuntzen limitea da; eta propietate matematiko interesgarriak ditu. Josemari Sarasola Banaketa normala eta limitearen teorema zentrala 2 / 13

XVIII. mendetik ezagutzen da, Abraham de Moivre eta Pierre-Simon de Laplace matematikariei esker. Carl Friedrich Gauss matematikariak aplikatu zuen lehen aldiz, errore astronomikoen arloan. Horregatik, Gauss-en ezkila ere deitzen zaio. Irudia: Alemaniako markoaren billete bat, non Gauss eta banaketa normala agertzen diren. Josemari Sarasola Banaketa normala eta limitearen teorema zentrala 3 / 13

Definizioa, notazioa, parametroak, simetria Dentsitate-funtzioa (ez ikasi, praktikan ez baita erabiltzen): f(x) = 1 σ (x µ) 2 2π e 2σ 2 ; < x < Parametroak: X N(µ, σ) µ : itxaropena σ : desbideratze estandarra µ itxaropenaren inguruan simetrikoa da (erabilgarria probabilitateak kalkulatzeko) Josemari Sarasola Banaketa normala eta limitearen teorema zentrala 4 / 13

Josemari Sarasola Banaketa normala eta limitearen teorema zentrala 5 / 13

Propietatea: aldakuntza lineala X N(µ, σ) banaketa izanik, Y = a + bx zorizko aldagaia ere banaketa normalaren araberakoa izango da, parametro hauekin: Y N(a + bµ, b σ) Josemari Sarasola Banaketa normala eta limitearen teorema zentrala 6 / 13

Propietatea: ugalkortasuna X 1 N(µ 1,σ 1 ) X 2 N(µ 2,σ 2 )... X n N(µ n,σ n) banaketak izanik, elkarrekiko independenteak, honako hau betetzen da; ( ) Y =X 1 +X 2 +...+X n N µ 1 +µ 2 +...+µ n,σ= σ1 2+σ2 2 +...+σ2 n Hau da, banakuntza normalen batura banakuntza normalaren araberakoa da, batezbestekoa batezbestekoen batura eta desbideratzea bariantzen baturaren erroa izanik. Ohartu: σ 2 1 +σ2 2 +...+σ2 n σ 1+σ 2 +...+σ n (bariantzak gehitzen dira beti!) Josemari Sarasola Banaketa normala eta limitearen teorema zentrala 7 / 13

Banaketa normal estandarra Z N(µ = 0, σ = 1) banaketa normal estandarra da. Beti Z deitzen zaio. Oso garrantzitsua da, beste banaketa normalei buruzko probabilitateak kalkulatzeko patroi edo estandar gisa erabiltzen delako, estandarketa izeneko eragiketaz. Josemari Sarasola Banaketa normala eta limitearen teorema zentrala 8 / 13

Estandarketa Probabilitateak kalkulatzeko, banaketa normal guztiak estandar bilakatu behar dira, estandarketa izeneko prozesuaz: X N(µ, σ) Z = X µ N(0, 1) σ Hots, banaketa normal bati batezbestekoa kendu eta zati desbideratzea egiten bazaio, banaketa normal estandar bilakatzen da. Josemari Sarasola Banaketa normala eta limitearen teorema zentrala 9 / 13

R softwareaz pnorm(1.45) #P[Z<1.45] 1-pnorm(1.45) #P[X>1.45] pnorm(1.45,lower.tail=false] #P[X>1.45] pnorm(4,mean=3,sd=1.5) #P[X>4], X:N(3,1.5) qnorm(0.90) #P[Z<z]=0.9,z? qnorm(0.90,,mean=3,sd=1.5) #P[X<x]=0.9, x?,x: N(3,1.5) Josemari Sarasola Banaketa normala eta limitearen teorema zentrala 10 / 13

Binomialaren hurbilketa Banaketa binomial batean, n handia bada (n 30) p txikia izan gabe (orduan Poisson baliatzen baita), hurbilketa gisa banaketa normala erabil daiteke: B(n, p) n 30 N(µ = np, σ = npq) Hurbilketa honi De Moivre-Laplace teorema deitzen zaio. Josemari Sarasola Banaketa normala eta limitearen teorema zentrala 11 / 13

Poisson banaketaren hurbilketa Poisson banaketa batean, λ handia bada (λ 30), hurbilketa gisa banaketa normala erabil daiteke: P (λ) λ 30 N(µ = λ, σ = λ) Josemari Sarasola Banaketa normala eta limitearen teorema zentrala 12 / 13

Limitearen teorema zentrala (LTZ) X 1?(µ 1,σ 1 ) X 2?(µ 2,σ 2 )... X n?(µ n,σ n) harturik, edonolakoak baina batezbesteko eta bariantza jakinekin, elkarrekiko independenteak, honako hau betetzen da, n kopurua aski handia bada (n 30); ( ) Y =X 1 +X 2 +...+X n N µ 1 +µ 2 +...+µ n,σ= σ1 2+σ2 2 +...+σ2 n Hau da, banaketa askoren batura, batezbesteko eta bariantza jakinekin, eta elkarrekiko independenteak izanik, normal banatzen da. Josemari Sarasola Banaketa normala eta limitearen teorema zentrala 13 / 13