ANGELUAK. 1. Bi zuzenen arteko angeluak. Paralelotasuna eta perpendikulartasuna

Transcript

1 Metika espazioan ANGELUAK 1. Bi zuzenen ateko angeluak. Paalelotasuna eta pependikulatasuna eta s bi zuzenek eatzen duten angelua, beaiek mugatzen duten planoan osatzen duten angeluik txikiena da. A(x 0, y 0, z 0 ) B(x1, y1, z1) Izan bitez, : eta s : bi zuzen. eta s zuzenen ateko v(v1, v 2, v 3 ) w(w1, w 2, w 3 ) angelua beaien bektoe zuzentzaileek eatutako angelua da. v w cos (,s) = v w Bi zuzen paaleloak izango dia ang(, s) = 0º v = t w (v1, v 2, v 3 ) = t (w1, w 2, w 3 ) v1 v 2 v3 = = w w w Bi zuzen elkazutak dia ang(, s) = 90º v w v w = 0 v w1 + v 2 w 2 + v 3 w 3 1 = 0 2. Bi planoen ateko angelua. Paalelotasuna eta pependikulatasuna π eta π 1 planoek eatuiko angelua eta euen bektoe nomalek eatuikoa bedinak dia. Bi planok osatuiko angelua hauxe da n n 1 cos ( ππ π 1 ) = n n Bi plano paaleloak dia beaien bektoe nomalak paaleloak dienean A B C n = t n 1 = = A1 B1 C1 Bi plano elkazutak dia ang π, π ) = 90º n n = 0 AA + BB + CC 0 ( = 1 O. 1

2 Metika espazioan 3. Zuzen baten eta plano baten ateko angelua. Paalelotasuna eta pependikulatasuna Zuzen baten eta plano baten ateko angelua zuzen hoek planoaen gaineko bee poiekzioaekin eatzen duena da. Angelu hoi eta zuzenak planoaen noabide nomalaekin eatzen duen angelua osagaiak dia. sin α = sin (v,n) = cos(90º α) = v n v n Zuzena eta planoa paaleloak izango dia n v n = 0 v A + v B + v C 0 v = Zuzena eta planoa elkazutak dia v v v v = t n = = A B C Aiketak: O , 2 O. 2

3 Metika espazioan DISTANTZIAK 4. Bi puntuen ateko distantzia AB bektoeaen mo- A=(a 1,a 2,a 3 ) eta B=(b 1,b 2,b 3 ) bi puntuen ateko distantzia dulua da. d(a, B) = AB = 2 2 ( b a ) + ( b a ) + ( b ) a 3 5. Puntu eta zuzen baten ateko distantzia Izan bitez P(x 0,y 0,z 0 ) puntua eta A(a1, a 2, a 3 ) : zuzena. P puntua eta zuzenaen v(v1, v 2, v3 ) ateko distantzia PA edo v = AB bektoeek mugatuiko paalelogamoaen altuea da. PA eta v bektoeek mugatzen duten paalelogamoaen azalea ea honetaa emanda dato: P S = PA x v edo S = v h h PA x v = v h A PA x v h = d(p, ) = v Beste foma bat. P puntutik igaotzen den eta zuzenai elkazuta den planoaen (π) ekuazioa Bilatu π eta -en ateko ebakidua (P ) D(P,P ) da D(P,) 6. Puntu batetik plano bateako distantzia. Izan bitez P(x 0,y 0,z 0 ) puntua eta π:ax+by+cz+d=0 planoa. P puntutik planoa dagoen distantzia P puntuaen eta planoaen gaineko bee poiekzioaen ateko distantzia da. Distantzia kalkulatzeko 1. metodoa. P-tik pasatu eta planoaekiko elkazuta den zuzenaen () ekuazioa bilatu π =P puntua ematen du d(p,p ) = d(p,π) Distantzia kalkulatzeko 2. metodoa. PMP 1 hiuki zuzena denez, PM = PP 1 cosα O. 3

4 Metika espazioan Bestalde P1 1 P n = P P n cos α P P1 P n = n P P cos α 1 P1 P =(x 0 -x 1,y 0 -y 1,z 0 -z 1 ) n (A,B,C) n P 1 P n = (x 0 -x 1,y 0 -y 1,z 0 -z 1 ) (A,B,C) =... = Ax 0 +By 0 +Cz 0 -Ax 1 -By 1 -Cz 1 Baina P 1 π --> Ax 1 +By 1 +Cz 1 +D=0 --> D=. Aueko bi espesioak kontuan izanik Ax 0 + By0 + Cz 0 + D d(p, π) = A + B + C M P 1 7. Bi planoen ateko distantzia Bi planoek elka ebakitzen badute, euen ateko distantzia ZERO da. Bi planoek paaleloak badia, bien ateko distantzia plano bateko puntu batetik beste planoa dagoen distantzia da. 8. Zuzen batetik plano bateako distantzia Zuzena eta planoak elka ebakitzen badia, euen ateko distantzia ZERO da. Zuzena eta planoa paaleloak badia, euen ateko distantzia zuzeneko edozein puntutik planoa dagoen distantzia da. 9. Bi zuzenen ateko distantzia Zuzenak ebakitzen badia, euen ateko distantzia ZERO da. Zuzenak paaleloak badia, zuzen bateko puntu bat hatu eta bestea dagoen distantzia kalkulatzen da. Zuzenak guutzatzen badia. Distantzia kalkulatzeko metodo desbedinak daude: R zuzena bane duen eta s zuzenai paaleloa den planoaen ekuazioa bilatu s zuzeneko puntu batetik bilatutako planoa dagoen distantzia da eskatutakoa. eta s zuzenen ateko distantzia s honela definitzen da: d(,s)=min{d(p,s / P } Beaz, eta s zuzenen ateko distantzia u, v eta PQ bektoeek muga- tutako paalelepipedoaen altuea da.paalelepipedo honen bolumena u, v, PQ bideketa nahasiak emanik dato, eta oinaen azalea u eta v bektoeen ateko bideketa Q P v u O. 4

5 Metika espazioan bektoialaen bidez. Hau dela eta, V = B.h = u x v h V= u, v, PQ h = d(, s) = u, v, PQ u x v Aiketak: O O , 3 O , 5, 6, 7 O. 5

6 Metika espazioan Azalea Bolumena 10. Tiangelu baten azalea Izan bedi ABD tiangelua; A, B eta C puntuak mugatzen dutena. Tiangeluaen azalea u = AB eta v = AD bektoeek mugatzen duten paalelogamoaen azalea edia da, 1 A = u v Tetaedo baten bolumena Paalelepipedo batek sei tetaedo ditu Izan bedi P 1, P 2, P 3, P 4 epinak dituen tetaedoa; beonen bolumena bektoeek mugatzen duten paalelepipedoaen seiena da. P 1 P2, P1 P3, P1 P4 V = 1 6 P P 1 2, P1 P3, P1 P4 Aiketak: O , 2 O. 6

7 Metika espazioan Batzuk 12. Bi zuzenekiko elkazuta den zuzenaen ekuazioa P(x, y, z) t : bi zu- w P1 Izan bitez : u eta P2 s : guutzatzen dien bi zuzen. Izan bedi v zenekiko elkazuta den zuzena. w u eta w v w = u v u, v eta PP 1 plano beean daudenez, linealki menpekoak dia; hau da, PP (u w) 0 1 = (1) Bestalde, PP 2, w, v ee plano bebeean daude; beaz, PP 2 (v w) = 0 (2) (1) eta (2) ekuazioek osatzen duten sistema ebatziz t zuzenaen ekuazioa lotzen da. t s 13. Puntu baten simetikoa zuzen batekiko Def: A eta A puntuetatik doan zuzena zuzenaekiko elkazuta baldin bada, eta gainea A eta A zuzen hoekiko distantziakideak baldin badia, A eta A zuzenaekiko simetikoak diela esaten da. A(a, b, c) Izan bitez : zuzena eta A(x0,y0,z0) puntua. Bila dezagun zuzenaekiko simetikoa den A (a1,b1,c1) puntua. v(v1, v2, v3) Bilatu A puntutik pasatzen dien plano guztien ekuazioa. Bilatu plano hauetatik zuzenai elkazuta dena Kalkulatu zuzena eta bilatutako planoaen ateko ebaki puntua P(x1,y1,z1) AA zuzenkiaen edigunea P denez... O. 7

8 Metika espazioan 14. Puntu baten simetikoa plano batekiko Izan bitez Ax+By+Cz+D=0 planoa eta A(x0,y0,z0) puntua. Kalkula nahi dugu A puntuaen simetikoa A (a1,b1,c1) planoaekiko. A puntutik pasatzen dien zuzenen ekuazioa ( ) zuzena planoaekin elkazuta da; beaz, v eta n paaleloak dia. Bilatu zuzena eta planoaekiko ebaki puntua P(x1,y1,z1) AA zuzenkiaen edigunea P denez Zuzen baten poiekzio otogonala plano batean P(a1, a2, a3) Ha ditzagun : zuzena eta π: Ax+By+Cz+D=0 planoa. v(v1, v2, v3) zuzenaen puntuen poiekzioak π planoaen gainean zuzena osatzen dute. zuzen hau, π planoaen gaineko zuzenaen poiekzio otogonala da. zuzenaen ekuazioa aukitzeko, zuzenaen bi puntu aukitu behako ditugu. Kasu bi hauek agetzen zaizkigu: a) Planoa eta zuzena puntu batean elka ebakitzen dute. Kasu honetan, zuzenaen puntu bat, eta π planoaen ateko ebakidua da; Q puntua hain zuzen. Beste puntua, Q 1, zuzenaen puntu baten poiekzio otogonala da. Q eta Q 1 ezagutuz, bi puntuetatik pasatzen den zuzenaen ekuazioa izango da zuzenaen poiekzioa. b) Planoa eta zuzena ebakitzen ez dienean Zuzena eta planoa paaleloak izango dia. Zuzenaen poiekzioa lotzeko pauso hauek jaaitu beha dia: zuzena bane duten planoen ekuazioa bilatu. Plano hauetatik emandakoai elkazuta dena bilatu π 1 π 1 eta π planoen ebaketak ematen du eskatutako zuzenaen ekuazioa O. 8