Trigonometria ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOEN ARTEKO ERLAZIOAK

Transcript

1 Trigonometria ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK SINUA KOSINUA TANGENTEA ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOEN ARTEKO ERLAZIOAK sin α + cos α = sin α cos α = tg α 0º, º ETA 60º-KO ANGELUEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK EDOZEIN ANGELUREN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK ANGELUAK LEHEN KOADRANTEAN ADIERAZTEA OSAGARRIA BETEGARRIA AURKAKOA 0

2 Zeruaren ahoak Ziur asko botere magikoak zituen. Zilarrezko apaingarriak zituen ebanozko kutxa hori oso deigarria gertatu zitzaion, eta edozein gauza emango luke Claudio Ptolomeo bere maisuak hor barruan errezeloz zer gordetzen zuen asmatzeko. Unea heldu zen eta bazirudien bihotzak ahotik ihes egingo ziola. Ptolomeo, azkenean, lana bukatu zuen eta misterioaren berri emango zuen. Nemes gaztea gelditu gabe hitz eginez bultzatzen ari zen. Badakizu, maisu? Beti ikusi nahi izan dut kutxan dagoen altxorra. Batzuetan sarrailatik sartzeko moduko tamaina nuela amets egiten nuen, eta hara sartzean mundu guztia zegoen barruan eta milaka abentura izaten nituen... eta... mesedez, esaidazue zer dagoen! Ptolomeok ezin izan zion eutsi irri egiteari kutxa irekitzen zuen bitartean, eta seriotasunez hau esan zion: Hemen duzu mundu osoa: itsasoak, lurrak, ibaiak, basamortuak, mendiak eta haranak. Nemesek ezin zuen sinetsi ikusten ari zena: mundu osoa adierazten zuen mapa. Nilo ibaiari jarraitu zion hatzaz, eta bat-batean hau adierazi zuen: Jainkotasuna apaizek esaten duten moduan sortzen da: «Zeruaren Ahoak aurkituko dituzu Ilargiko Mendietatik harantz». Baina, nola izan zarete gai leku zehatza zein den jakiteko leku horietan inoiz ez bazarete egon? Bidaiariekin hitz egin dut; batzuek izarrak zer angelurekin ikusten dituzten neurtzen dute, eta horrek egoera zehatzaren berri ematen dit: angelu berdinei distantzia antzekoak dagozkie. cm luze den berdina ez den aldearen gaineko altuera cm luze da triangelu isoszele batean. Zenbat neurtuko luke beste antzeko batek cm altu izango balitz? cm cm cm = x = = 8, cm x

3 Trigonometria ARIKETAK 00 Kalkulatu α eta β angeluen arrazoi trigonometrikoak. a) b) cm β cm 9 cm β 0 cm α α cm 0 cm a) sin α = 0 = 06, sin β = = 08, cos α = 0 = 08, cos β = = 06, tg α = 0 = 0, tg β = 0 =, b) sin α = 0 = 069, sin β = 9 9 = 0, cos α = 0 = 0, cos β = 9 9 = 069, tg α = 0 = 09, tg β = 0 = 0, 00 Kalkulatu angeluen arrazoi trigonometrikoak. β cm α h 6 cm h = 6 + = 6 cm sin α = 6 = 086, sin β = 6 6 = 0, cos α = 6 = 0, cos β = 6 6 = 086, tg α = 6 =, tg β = 6 = 09, 00 Arrazoitu zergatik ez diren aukeratutako triangeluaren mendekoak angelu baten arrazoi trigonometrikoak. Arrazoiak ez daude triangeluaren menpe triangelu antzekoak direlako eta aldeen zatidura konstantea delako.

4 ERANTZUNAK 00 Kalkulatu gainerako arrazoi trigonometrikoak, haien arteko erlazioak erabiliz. a) sin α=0, b) sin β=0 c) cos γ=0, d) tg δ= a) sin α + cos α = ( 0,) + cos α = cos α = ( 0,) = 0,9 = 0,9 sin α 0, tg α = tg α = = 0, cos α 0,9 cos b) sin β + cos β = 0 + cos β = cos β = cos sin β tg β = = 0 cos β c) sin γ + cos γ = sin γ + ( 0,) = sin γ = 0,6 = 0,8 = 0,9 sin γ 0,9 tg γ = tg γ = =, cos γ 0, d) sin δ + cos δ = sin sin δ δ= cos δ ( cos δ) + cos δ = = cos δ cos δ = cos δ = = sin δ = cos δ sin δ = = β β = = Ba al dago sin α=0, eta cos α=0,6 dituen angelurik? Arrazoitu erantzuna. sin α+cos α= (0,) + (0,6) = 0,6 + 0,6 = 0, Ez dago. Ba al dago tg α= eta kosinua halako bi duen angelurik? tg α = sin α cos α = sin α = cos α Bai, badago. Kalkulatu adierazpen bakoitzaren balioa. a) cos 0 sin 60 + tg c) tg 60 + sin cos 0 b) cos 60 sin d) tg 0 + tg 60 sin 0 cos 0 a) cos 0 sin 60 + tg º = + = b) cos 60 sin = = c) tg 60 + sin cos 0 = + = + d) tg 0 + tg 60 sin 0 cos 0 = + =

5 Trigonometria 008 Kalkulatu cm-ko aldeko triangelu aldeberdin baten altuera, Pitagorasen teorema aplikatu gabe. cm 60 h h = sin 60 = = cm 009 Kalkulatu cm-ko aldea duen karratuaren diagonala, arrazoi trigonometrikoak erabiliz. d cm 6 6 d = = = = sin = cm Adierazi zer koadrantetan dauden angeluak. a) sin α=0,8 b) sin β= 0,8 c) sin γ=0, cos α= 0,6 cos β= 0,6 tg γ=0, a) Bigarren koadrantea b) Hirugarren koadrantea c) Lehen koadrantea Adierazi angeluen arrazoi trigonometriko bakoitzaren zeinua. a) 66 b) c) d) 8 e) a) Arrazoi guztiak positiboak dira. b) Sinu positiboa, kosinua eta tangentea negatiboak. c) Kosinu positiboa, sinua eta tangentea negatiboak. d) Arrazoi guztiak positiboak dira. e) Sinu positiboa, kosinua eta tangentea negatiboak. Zergatik ez du tangenterik 90 -ko angeluak? Gauza bera gertatzen al da 90 -ren angelu multiploekin? Ez dago cos 90 = 0 delako. Hori gertatzen da 90 + n 80 motako angeluekin, n zenbaki osoa denean. Kalkulatu angeluen arrazoi trigonometrikoak, kontutan hartuta cos 0 = 0,68 dela. a) 0 b) 0 c) 0 d) 0 a) sin 0 = cos 0 = 0,68 cos 0 = sin 0 = 0,66 tg 0 = = 0,89 tg 0 b) sin 0 = sin 0 = 0,66 cos 0 = cos 0 = 0,68 tg 0 = tg 0 =,9

6 ERANTZUNAK c) sin 0 = sin 0 = 0,66 cos 0 = cos 0 = 0,68 tg 0 = tg 0 =, 9 d) sin 0 = sin 0 = 0,66 cos 0 = cos 0 = 0,68 tg 0 = tg 0 =,9 0 Badakigu sin = 0,6 dela. Zein dira 0º-ko angeluaren arrazoi trigonometrikoak? sin + cos = cos = ( 0,6) = 0,906 sin 0 = sin = 0,6 cos 0 = cos = 0,906 0 = tg 0 = tg =,6 = 0,66 0,906 0 Kalkulatu 0º-ren arrazoi trigonometrikoak, jakinik cos 0 = 0, dela. sin 0 + cos 0 = sin 0 = cos 0 = ( 0, ) = 0,9 sin 0 = sin 0 = 0,9 cos 0 = cos 0 = 0, 0 = 80 0 sin 0 0,9 tg 0 = = =, cos 0 0, 06 Adierazi angelu hauen arrazoi trigonometrikoak,. koadranteko beste angelu batzuen arrazoien mende. a) c).0 e). b) 88 d) 69 f) 98 a) = sin = cos cos = sin tg = tg b) 88 = sin 88 = cos cos 88 = sin tg 88 = tg c).0 = sin.0 = sin 0 cos.0 = cos 0 tg.0 = tg 0 d) 69 = 60 sin 69 = sin cos 69 = cos tg 69 = tg e). = sin. = cos cos. = sin tg. = tg f) 98 = sin 98 = sin 8 cos 98 = cos 8 tg 98 = tg 8

7 0 m Trigonometria 0 Jakinik sin α=0, dela, kalkulatu: a) sin (90 α) b) sin (80 α) c) sin ( α) a) sin (90 α) = cos α =0,98 b) sin (80 α) = sin α =0, c) sin ( α) = sin α = 0, 08 sin 8 = 0,09 eta cos 8 = 0,9; kalkulatu: a) sin b) cos 6 c) tg ( ) a) sin = cos 8 = 0,9 b) cos 6 = cos 8 = 0,9 c) tg ( ) = =,0 tg 8 09 Zehaztu α eta β angeluen arteko lotura, haien arrazoi trigonometrikoek baldintza hauek betetzen badituzte. a) sin α=cos β b) cos α=cos β c) sin α=sin β a) α=90 ±β b) α=n 60 ±β c) α=80 β 00 Zer azalera du triangeluak, A $ = 0 bada? B C m A h = sin 0 = =, m 0, A = =.8, m 0 Kalkulatu cm-ko aldea duen hexagono erregularraren azalera. α= 60 6 sin 60 A = 6 = 6 = =, cm 6

8 ERANTZUNAK 0 Kalkulatu triangelu isoszele baten azalera, jakinik alde berdinak 8 cm-koak direla, eta angelu desberdina, -koa. 8 8 A = = 6 =,6 cm 0 Enekok etxearen alboan dagoen zuhaitz baten altuera neurtu nahi du. Horretarako, teodolito bat utzi diote, eta zenbait angelu eta distantzia neurtu ditu. Zer altuera du zuhaitzak? h 60 0 G x G 0 m z x tg 60 = h x ( x + 0) tg 0 = h h = = 8,66 m = ( x + 0) x = 0 x = m 0 0 Lur-sail triangeluar baten bi alde 0 m eta 0 m luze dira. Ez dakigu zenbatekoa den bi alde horiek osaturiko angelua, baina beste bi angeluek 80 eta 0 dituzte. Kalkulatu lur-sailaren azalera. Hirugarren angeluaren neurria hau da: = sin 0 A = = 0 m Kalkulatu x-ren balioa. 6 m F 0 0 x m cos 0 = + x 6 x = + x = 6 = + x 6 6 = 0,8 m

9 Trigonometria ARIKETAK 06 Kalkulatu adierazitako angeluen arrazoi trigonometrikoak. a) c) 0 cm 6 cm 6 cm cm 0 cm 8 cm b) cm cm cm 8 6 a) sin = cos = tg = b) sin = cos = tg = c) sin = 6 cos = 0 tg = 6 0 sin = 0 cos = 6 tg = Triangelu angeluzuzen baten katetoak cm eta cm luze dira, hurrenez hurren. Kalkulatu triangeluaren bi angelu zorrotzen arrazoi trigonometrikoak. cm α cm β cm a = + = cm sin α = = 0,9 cos α = = 0,8 tg α = =, sin β = = 0,8 cos β = = 0, 9 tg β = = 0, 08 Kalkulatu triangelu zuzen baten bo angelu zorrotzen arrazoi trigonometrikoak, hipotenusa cm-koa bada eta kateto bat cm-ekoa. c = = 8 cm 8 sin α = cos α = tg α = 8 sin β = cos β = tg β = 8 8

10 ERANTZUNAK 09 Erregela graduatu baten laguntzaz, kalkulatu adierazitako angeluen arrazoi trigonometrikoen gutxi gorabeherako balioak. α β sin α=, = 0, cos α=, = 0,8 tg α =, = 0,,,, sin β=, = 0,8 cos β=, = 0, tg β =, =,96,,, 00 Irudiko triangelu angeluzuzena emanda, kalkulatu adierazitako angeluaren arrazoi trigonometrikoa, triangelu handia eta txikia erabiliz. Emaitza bera lortzen al da? Arrazoitu. Triangelu handia erabiliz: sin α = = 0,6 cos α = = 0,8 tg α = = 0, Triangelu txikia erabiliz: 60 cm 8 cm 8 0,6 sin α = = 0,6 cos α = ( 0,6) = 0,8 tg α = = 0, 80 0,8 Emaitza bera da, bi triangeluak antzekoak direlako. 00 cm 80 cm 0 EGIN HONELA NOLA ADIERAZTEN DIRA GRADUAK RADIANETAN? ETA ALDERANTZIZ? Zenbat radian dira n gradu? Eta zenbat gradu dira α radian? LEHENA. Hiruko erregelak planteatu behar dira, kantitate ezezagunak kalkulatzeko. 60 π rad 60 π rad n x rad y α rad BIGARRENA. Hiruko erregelak ebaztean, graduak radianetan eta radianak eko eta alderantziz ere aldatzeko formulak lortzen dira. 60 π rad n πrad π x = = n rad n x rad π rad 60 α y = = α 80 y α rad π π gradu Horrela, adibidez: π π 0 = 0 = rad rad = 80 =,96 = ' '' 80 6 π 9

11 Trigonometria 0 Adierazi angeluak radianetan. a) b) 80 c) 0 d) 60 a) = π rad b) 80 =πrad c) 0 = π rad 6 d) 60 = π rad 0 Adierazi angeluak gradutan. π π a) rad b) 0, rad c) rad d) rad a) 0 b) 8,9 c) d),6 0 0 Kalkulatu angeluen arrazoi trigonometrikoak, jakinik: a) sin α=0,6 b) cos α=0, c) tg α=0, d) sin α= a) sin α = 06, c) sin α = 0, cos α = 08, cos α = 0,866 tg α = tg α = 0, b) sin α = 0,89 d) sin α = cos α = 0, cos α = tg α =,98 tg α = Kalkulatu angeluen arrazoi trigonometrikoak, jakinik: a) cos α= b) sin α= 6 06 a) sin α = b) sin α = 6 cos α = cos α = 6 tg α = tg α= Aztertu ea zuzenak diren adierazpenak. a) sin α=0, bada, cos α=0, da. b) tg α= bada, cos α=sin da. cos α c) sin α= bada, tg α= da. d) cos α=0,8 bada, tg α txikiagoa da. a) Okerra b) Zuzena c) Okerra d) Okerra 0

12 ERANTZUNAK 0 EGIN HONELA NOLA KALKULATZEN DIRA ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK, KALKULAGAILUAREN BIDEZ? Kalkulatu sin α, cos α eta tg α baldin eta α=0 ' 0''. LEHENA. Kalkulagailua MODE moduan jarri behar da, gradutan ala radianetan ari garen kontutan hartuta. Graduak MODE DEG Radianak MODE RAD BIGARRENA Angelua kalkulagailuan sartu behar da, graduak, minutuak eta segundoak adieraziz. 0 ''' ''' 0 ''' HIRUGARRENA. Arrazoi trigonometrikoari dagokion tekla sakatu behar da. Sinua 0 ''' ''' 0 sin = 0, Kosinua 0 ''' ''' 0 cos = 0,08... Tangentea 0 ''' ''' 0 tan =,8... Zenbait kalkulagailutan, teklen sekuentzia desberdina da: lehendabizi funtzioa sartu behar da ( sin cos tan ), eta gero, angelua. 08 Kalkulagailuaren laguntzaz,kalkulatu angelu hauen arrazoi trigonometrikoak. a) 6' '' c) ' '' b) 0 ' '' d) 8 0' a) sin α = 0,80 cos α = 0,9 tg α =,6 b) sin α = 0,68 cos α = 0,6 tg α =, c) sin α = 0,0 cos α = 0,9 tg α = 0,9 d) sin α = 0,99 cos α = 0,0 tg α =,8 09 Kalkulatu 8 -ren arrazoi trigonometrikoak, kalkulagailua erabiliz, eta egiaztatu berdintzak betetzen direla. sin 8 a) sin 8 + cos 8 = b) tg 8 = cos 8 sin α = 0, cos α = 0,669 tg α =, a) (0,) + (0,669) = 0, + 0,8 = 0, b) =, 0,669

13 Trigonometria 00 0 Arrazoitu ea baden berdintza hauek betetzen dituen a angelurik. sin α = eta cos α = Ez dago betetzen dituen angelurik; izan ere: + = 9 + = Esan ea baden angelurik, adierazitako arrazoi trigonometrikoen balio hauek har ditzakeenik. a) sin α= b) sin α=π c) sin α= d) tg α=0, a) Ez da posible (sin α >). c) Posible da (sin α<). b) Ez da posible (sin α>). d) Posible da Arrazoitu ea baden berdintza hauek betetzen dituen α angelurik. sin α = eta tg α = Kalkulatu α angeluaren arrazoi trigonometrikoak, jakinik tg α = sin α. sin α cos α = = = tg α sin α + cos α = + = = Bai, arrazoi trigonometriko horiek dituen angelua dago. sin α = tg α cos α = sin α = 0 tg α = 0 Kalkulatu α angelu zorrotzaren arrazoi trigonometrikoak, jakinik sin α= cos α. sin α = cos α = sin α + cos α = cos α + cos α = cos α cos α = 0, sin α = 0, = 0,89 cos α tg α = = cos α cos α = sin α bada, kalkulatu angeluaren arrazoi trigonometrikoek, kontuan hartuta α angelu zorrotza dela. sin α = cos α = sin α + cos α = cos α + cos α = cos α cos α = sin α sin α = tg α = = cos α

14 ERANTZUNAK 0 Kalkulatu adierazpen balioak. a) sin 60 + sin 0 tg 0 b) sin + cos 60 sin 0 c) tg 60 tg 0 d) cos 60 cos 0 + sin 60 sin 0 a) sin 60 + sin 0 tg 0 = + = b) sin + cos 60 sin 0 = + = c) tg 60 tg 0 = = d) cos 60 cos 0 + sin 60 sin 0 = = 06 Arrazoitu ea zuzenak diren berdintzak. a) sin 0 + cos 60 = b) tg 0 = tg 60 c) sin + cos = d) cos 0 + sin 60 = tg 0 a) Zuzena: sin 0 cos + 60 = + = b) Zuzena: tg 0 = = = tg 60 c) Okerra: sin + cos = + = d) Okerra: cos 0 + sin 60 = + = tg 0 0 Egiaztatu sin a + cos a = erlazioa betetzen dela, a-ren balio hauetarako: a) 0 b) 60 c) a) sin 0 + cos 0 = + = b) sin 60 + cos 60 = + = c) sin + cos = + =

15 Trigonometria Kalkulatu x aldearen balioa Pitagorasen teorema aplikatu gabe. a) b) x 0 cm 60 x a) 60º-ko angelu berdinak dituen triangelu isoszelea da, eta hirugarren angelua ere 60º-koa da; beraz, aldeberdina da eta hiru aldeak 0 cm luze dira. Marraztu angelu hauek zirkunferentzia goniometrikoan, eta esan zein den arrazoi trigonometrikoen zeinua. π π a) 0 b) 6 c) rad d) e) rad f) rad π Angeluak 0 6 rad Sinua + Kosinua + + Tangentea b) = cos 0 = x = cm x x cm α x π rad Angeluak π rad rad Sinua + Kosinua + Tangentea + rad 6 0 π rad 00 Kalkulatu angelu baten arrazoi trigonometrikoak P puntuak koordenatu hauek baditu. Adierazi zer angelu den kasu bakoitzean. Y Q a) P, R b) Q c) R,, P X a) sin α = cos α = tg α = b) sin α = cos α = tg α = c) sin α = cos α = tg α =

16 ERANTZUNAK 0 Marraztu angelu hauek cm-ko erradioa duen zirkunferentzia batean. Neurtu eta kalkulatu arrazoi trigonometrikoak eta adierazi erradioa cm luze izatea garrantzitsua den. a) 0 b) 80 c) d) a) sin 0 = 0,9 cos 0 = 0, tg 0 =, c) sin = 0,8 cos = 0, tg =, b) sin 80 = 0 d) sin 0 = 0,6 cos 80 = cos 0 = 0, tg 80 = 0 tg 0 = 0,8 Ez da garrantzitsua erradioa cm luze izatea. 0 Kalkulatu falta diren arrazoi trigonometrikoak. a) cos α =, non 80 < α < 0 b) sin α =, non 0 < α < 90 c) cos α =, non 90 < α < 80 d) sen α =, para 0 < α < 60 a) sin α = tg α = b) cos α = tg α = c) sin α = tg α = d) cos α = tg α = 0 Adierazi zer angelutarako diren zuzenak berdintza hauek. a) cos α=sin α b) tg α=sin α c) cos α= sin α a) α= ±n 80 b) α=±n 80 c) α= 8 6' 6"

17 Trigonometria 0 Zenbat angeluk dute angelu jakin baten sinu bera? Infinitu angelu; bi angelu zirkunferentzia-bira bakoitzeko. 0 Adierazi zer zeinu duten angelu hauen arrazoi trigonometrikoek, eta adierazi zer koadrantetan dauden. a) 0 b) 6 c) 0 d) 0 e) 9 f) sin cos tg Esan berdintza hauek zuzenak ala okerrak diren, eta arrazoitu erantzuna. a) cos 90 = sin 60 d) cos 80 = cos 0 b) sin 0 = cos e) tg.00 = cos 90 c) sin 0 = cos 0 f) sin 0 = sin 60 a) Zuzena; cos 90 = cos ( ) = cos 0 = sin 60 b) Zuzena; sin 0 = sin (60 + ) = cos c) Okerra; sin 0 = sin ( ) = sin 60 = cos 0 d) Zuzena; cos 80 = cos ( ) = cos 0 = cos 0 e) Zuzena; tg.00 = tg 0 = cos 90 f) Okerra; sin 0 = sin 60 0 Kalkulatu angeluen arrazoi trigonometrikoak, eta laburtu lehen koadranteko angeluen beste arrazoi ezagun batzuetara. a) 0 b) 0 c) d) 0 a) sin 0 = sin 0 = c) sin º = sin º = cos 0 = cos 0 = cos º = cos º = tg 0 = tg 0 = tg º = tg º = b) sin 0 = sin 60 = d) sin 0º = sin 0º = cos 0 = cos 60 = cos 0º = cos 0º = tg 0 = tg 60 = tg 0º = tg 0º = 08 Kalkulatu angeluen arrazoi trigonometrikoak, eta laburtu lehen koadranteko angeluen beste arrazoi ezagun batzuetara. a) 90 b) 80 c) 8 d) 600 e) 690 f) 6 6

18 ERANTZUNAK a) sin 90 = sin 0 = d) sin 600 = sin 60 = cos 90 = cos 0 = cos 600 = cos 60 = tg 90 = tg 0 = tg 600 = tg 60 = b) sin 80 = sin 60 = e) sin 690 = sin 0 = cos 80 = cos 60 = cos 690 = cos 0 = tg 80 = tg 60 = tg 690 = tg 0 = c) sin 8 = sin = f) sin 6 = sin = cos 8 = cos = cos 6 = cos = tg 8 = tg = tg 6 = tg = 09 sin 0 = 0, dela baldin badakigu, kalkulatu angelu hauen arrazoi trigonometrikoak. a) 0 b) 00 c) 0 d) 80 a) sin 0 = cos 0 = 0,9 cos 0 = sin 0 = 0, tg 0 = =, tg 0 b) sin 00 = sin 0 = 0, cos 00 = cos 0 = 0,9 tg 00 = tg 0 = 0,6 c) sin 0 = sin 0 = 0, cos 0 = cos 0 = 0,9 tg 0 = tg 0 = 0,6 d) sin 80 = sin 0 = 0, cos 80 = cos 0 = 0, 9 tg 80 = tg 0 = 0,6 060 Laburtu angelu hauek. koadrantera. a).90 b) c).0 d) 999 a).90 = Bere arrazoi trigonometrikoak arrazoi hauen bidez kalkulatzen dira: 80 0 = 0. b) = 60 + Bere arrazoi trigonometrikoak º-ko arrazoiarenak berak dira. c).0 = Bere arrazoi trigonometrikoak arrazoi hauen bidez kalkulatzen dira: 60 0 = 0. d) 999 = Bere arrazoi trigonometrikoak arrazoi hauen bidez kalkulatzen dira: 60 9 = 8.

19 Trigonometria 06 sin α= 0, bada eta α. koadrantekoa bada, kalkulatu cos α eta tg α. sin α = 0, cos α = 0,98 tg α = 0,0 06 Baldin eta cos α= 0, bada, zer esan daiteke α angeluaz? Esan daiteke α angelua bigarren edo hirugarren koadrantean dagoela eta 80 ± 0 motako angelua dela. 06 sin α = bada eta α angelu zorrotza bada, kalkulatu kalkulagailua erabili gabe. a) sin (90 α) b) cos (80 α) c) tg α cos α= a) sin ( 90 α) = cos α = b) cos (80 α) = cos α = sen α c) tg α = = cos α 06 cos (80 α) = a) sin α b) cos (90 α) c) tg ( α) bada eta α lehen koadranteko angelua bada, kalkulatu. sin ( 80 α) = a) sin α = sin ( 80 α) = b) cos ( 90 α) = sin α = sin ( 80 α) = c) tg ( α) = tg α = tg (80 α) = 8

20 ERANTZUNAK 06 cos α= 6 bada eta α angelu zorrotza bada, kalkulatu. a) sin (90 +α) c) cos ( α) b) cos (80 +α) d) sin (90 α) sin α= 6 a) sin ( 90 + α) = cos α = 6 b) cos ( 80 + α) = cos α = 6 c) cos ( α) = cos α = 6 d) sin ( 90 α) = cos α = sin = 0,669 bada eta cos = 0,; kalkulatu 8º-ren arrazoi trigonometrikoak. sin 8 = 0, cos 8 = 0,669 tg 8 =, 06 sin = 0, dela baldin badakigu, kalkulatu º eta º-ren arrazoi trigonometrikoak. sin = 0,89 sin = 0, cos = 0, cos = 0,89 tg =,8 tg = 0, 068 cos = 0,9 bada, kalkulatu haren angelu osagarriaren arrazoi trigonometrikoak. sin 66 = 0,9 cos 66 = 0,0 tg 66 =,6 069 Kalkulatu 66º-ren arrazoi trigonometrikoak, cos = 0,0 bada. sin 66 = 0,9 cos 66 = 0,0 tg 66 =,6 00 Kalkulatu triangelu baten azalera, bi alde 0 cm eta cm luze direla eta haien artean dauden alde desberdinek 80º eta 0º dituztela baldin badakigu. Hirugarren angeluaren neurria hau da: = sin 0 A = = 0 cm 9

21 Trigonometria 0 EGIN HONELA NOLA KALKULATZEN DA TRIANGELU ISOSZELE BATEN AZALERA, ALDE BERDINAK ETA ANGELU DESBERDINA JAKINIK? Triangelu isoszele batek cm-ko alde berdinak eta 0º-ko angelu desberdina ditu; lortu azalera. LEHENA. Angelu berdinen neurria kalkulatu behar da. + α+α= α= = BIGARRENA. Altuera lortu behar da. h sin = h = sin =, 8 cm HIRUGARRENA. Oinarriaren luzera lortu behar da. x cos = x = cos =,9 cm Beraz, oinarriaren luzera:,9 =,8 cm 0 cm h cm α α x LAUGARRENA. Azalera kalkulatu behar da. b h A =,8,8 = = 6, cm 0 Kalkulatu triangelu isoszele hauen azalera. a) b) 8 cm 0 0 cm a) Triangeluaren oinarriari b, eta altuerari h esaten badiegu: b h = 8 sin 0 = 6, cm; = 8 cos 0 =, cm b h Triangeluaren azalera hau da: A = =, 6, =, cm. b) h = sin = =,9 cm b = cos = =,9 cm b h Triangeluaren azalera hau da: A = =,9,9 =, cm. 0

22 ERANTZUNAK 0 Zenbat neurtuko dute triangelu angeluzuzen isoszele baten katetoek hipotenusa 0 cm luze bada? Kateto bakoitzari x esango diegu, eta angelu zorrotzak º-koak direla jakinda: x cos = x = 0 cos = 0 = cm 0 0 Kalkulatu 0 cm-ko aldea duen dekagono erregular baten apotemak zer balio duen. Zein da bere azalera? Dekagonoaren angelu nagusiaren neurria hau da: 60 : 0 = 6. 6 tg 0 tg 8 a, cm = = a = 0 0, A = =. cm 0 Kalkulatu dekagono erregular eta oktogono erregular baten azalera, biek 6 cm luze den aldea badute. Zein da handiagoa? Dekagonoa: Dekagonoaren angelu nagusiaren neurria hau da: 60 : 0 = 6. 6 tg 6 tg 8 a 9, cm A d = = a = = a 0 = 8, cm Oktogonoa: Oktogonoaren angelu nagusiaren neurria hau da: 60 : 8 =. tg tg, a, cm A o = = a = = 6 a =, cm Dekagonoak azalera handiagoa du Kalkulatu oktogono erregular honetan itzala duen azalera. cm α α = = 0' tg α A = = 6,9 cm

23 Trigonometria 0 EGIN HONELA NOLA KALKULATZEN DA TRAPEZIO ANGELUZUZEN BATEN AZALERA ETA PERIMETROA? Kalkulatu trapezio angeluzuzenaren azalera. b cm 0 60 B LEHENA. Oinarrien neurriak kalkulatu behar dira. tg 60 = b b = tg 60 = = 9,9 cm B tg 0 = B = tg 0 =, = 06, cm BIGARRENA. Azalera kalkulatu behar da. B + b 06, + 9,9 A = h = =.60,6 cm 08 Kalkulatu trapezio angeluzuzen honen azalera eta perimetroa. b 60 cm c B B = 60 tg =,9 cm b = 60 tg = 8,69 cm c = 60 + (,9 8,69) = 0,69 cm Azalera da:,9 + 8,69 A = 60 = 9.88, cm Perimetroa da: P =,9 + 8, ,69 = 0, cm

24 ERANTZUNAK 09 Zein da zuhaitzaren garaiera? 60 0 cm h = 0, + 0 tg 60 = 0, +,6 =, m Zuhaitza, metro garai da. 0 m 080 Kalkulatu dorrearen altuera. h G m F h, dorrearen altuera bada, hau lortuko dugu: h tg = h = tg = = m Dorrea m altu da. 08 Zer distantziatara nago 0 m altu den eraikin batetik altuen dagoen zatiari 60ºko angeluarekin begiratzen badiot? d, eraikinetik nagoen distantzia bada: 0 tg 60 = 0 d = = 0 = 8,8 m d tg Kometa bat 00 m-ko hari batez lotuta dago lurrera, eta lurraren horizontalarekiko 60º-ko angelu bat osatzen du. Haria erabat luzatuta badago, kalkulatu kometa zer altuerara dagoen. h = 00 sen 60 = 00 = 0 m

25 Trigonometria 08 Txalupa bat kaira lotuta dago m-ko unama batez, eta ertzeko horizontalarekiko 0º-ko angelu bat osatzen du. Unama erabat luzatuta badago, kalkulatu kometa zer distantziara dagoen ertza. Distantzia = sin 0 =, m 08 Kalkulatu zer sakonera duen m zabal den putzuak, hondoaren aurkako ertza 0º-ko angeluarekin ikusten badugu. 0 m d, putzuaren sakonera bada: tg 0 = d = = 6 = d tg 0 =,6 m Putzua,6 m sakon da. 08 Kalkulatu cm-ko erradioa duen zirkunferentzia batean inskribatutako pentagono erregular baten forma duen logotipoaren azalera. Angelu nagusia º-koa da eta haren erdia 6º da. a = cos 6 =,0 cm x = sin 6 =,9cm b = x =,88 cm,0,88 A = =,9 cm x a 086 Itsasontzi batetik itsasargi baten argia ikusten dugu, 0º-ko inklinazioarekin, eta norabide horretatik 8 km ibili eta gero 0º-ko angeluarekin ikusten da. Zer distantziara gaude itsasargitik? x tg 0 = h x 0,8 = (x + 8) 0,6 ( x + 8) tg 0 = h 0,x = 6,8 x = 9, km Distantzia hau da: 8 + 9, =, km.

26 ERANTZUNAK 08 Kalkulatu zenbat txapa beharko den oktogono-formako STOP seinale bat egiteko, markatutako diagonala, m luze dela badakigu. Seinale hau egiteko behar den txapa kopurua, : = 0,6 m-ko erradioa duen zirkunferentzia batean inskribatutako oktogono erregular baten azaleraren baliokidea da. Oktogonoa 8 triangelu isoszele berdinetan zatituko dugu. Triangelu isoszele bakoitzaren angelu desberdina 60 : 8 = -ko angelua da. $ A eta $ B esaten badiegu beste bi angeluei, hau lortuko dugu: $ A = $ A$ 80 $ B = = 6, A + $ B + = 80 h, triangeluaren altuera bada, eta b, oinarria: h = 0,6 sin 6, = 0,8 m b = 0,6 cos 6, = 0, m b h A = = 0, 0,8 = 0, m A Osoa = 0, 8 =, m 088 Itsas mailatik m-ra dagoen labar batetik bi itsasontzi ikusten dira. Kalkulatu zer distantziara dauden angeluak 0º eta 60º-koak badira hurrenez hurren m x eta y grafikoan adierazitako distantziak badira. x tg 0 = x = tg 0 = 8,8 m y tg 60 = y = tg 60 =, m Itsasontzien arteko distantzia hau da:, 8,8 = 6,9 m.

27 Trigonometria 089 Lurreko puntu jakin batetik dorre baten goiko zatia ikusten da, eta 0º-ko angelua osatzen du horizontalarekiko. Dorrearen oinera m hurbiltzen bada, angelu hori 60º-koa da. Kalkulatu dorrearen altuera. h, dorrearen altuerari esaten badiogu, eta x, dorreko oinera dagoen distantziari: x tg 0 = h x tg 0 = (x ) tg 60 (x ) tg 60 = h x tg 0 x tg 60 = tg 60 9, x (tg 0 tg 60 ) =, x = =, m 0,, h = x tg 0 =, 0, = 6, m. Dorrea 6, m altu da. 090 Hondartzatik bi itsasontzi ikusten dira. Kalkulatu zer distantzia dagoen hauen artean adierazitako angeluekin. b B m d, itsasontzien artean dagoen distantzia bada. b eta B-ren neurria kalkulatuko dugu. b tg 0 = b = 0 tg 0 =,8 m 0 B tg 60 = B = 0 tg 60 = 0 =,6 m 0 Pitagoras-en teorema erabiliz: d = 0 + (,6,8) = 6,6 d = 6,6 Hortaz, bi ontzien arteko distantzia, m dira. =, m 09 Mendi baten gailurretik,. m-ko altueran, itsas mailatik m-ko altuerara dagoen haran batean dauden herrixka bat eta granja bat ikusten ditugu. Herrixkari 68º-rekin begiratzen badiogu, eta granjari 8º-ko batekin: a) Bi lekuetatik zein dago menditik hurbilen? b) Mendia, herrixka eta granja lerrokatuta badaude, kalkulatu zer distantzia dagoen herrixkaren eta granjaren artean. a) Hurbilago dago gradu txikiagoarekin ikusten den lekua; hots, herrixka. Herrixkara dagoen distantzia hau da: (. ) tg 68 =.8, m. b) Granjara dagoen distantzia hau da: (. ) tg 8 =.699,9 m. Herrixkaren eta granjaren arteko distantzia hau da:.699,9.8, =.,6 m. 6

28 ERANTZUNAK 09 Hegazkin baten pilotuak 0º-ko beherapen-angeluarekin ikusten du lurreko puntu bat. Hamazortzi segundo beranduago, beherapenangelua º-koa da. Horizontalki hegaz egiten badu eta 00 milia/h-ko abiaduran, kalkulatu zer altitudera egin duen hegaldia. 8 Hegazkinak egindako distantzia hau da: 00 = 0 milia..600 x tg = h x, = ( x + 0) 0,8 ( x + 0) tg 0º = h 0,8 x =,6 x =,6 milia h =,6, = 9, milia. Hegaldiaren altitudea 9, miliakoa da. A 0 milia 0 C x h 09 Itsas mailatik 0 m-ra dagoen labar batean bi lagun daude. Batek itsasontzi bat ikusten du 60º-ko beherapenangeluarekin, eta besteak, itsasontziaren gainean dagoen hegazkin bat ikusten du, º-ko gorapen-angeluarekin. a) Zer distantziara dago itsasontzia kostaldetik? b) Zer altueran egiten ari da hegaz hegazkina? c) Bi elementuetatik zein dago urrunen? 0 m 60 a) d, itsasontzia kostaldetik dagoen distantziari esaten badiogu: d tg 0 = d = 0 tg 0 = 0 = 8,8 m 0 Itsasontzia 8,8 m-ra dago kostaldetik. b) Kontuan hartzen badugu hegazkina itsasontziaren gainean dagoela, hau lortuko dugu: h tg = h = 8,8 tg = 8,8 m 8,8 Hegazkina altuera honetara hegaz egiten ari da: 0 + 8,8 = 8,8 m-ko altuerara itsasoaren mailarekiko. c) d, itsasontzia dagoen distantzia bada, eta d, hegazkinarena: 0 d = = 0 =, m cos 0 8, 8 8, 8 8, 8 sin = d = = = 0,8 m d sin Hortaz, itsasontzia urrunago dago lagunengandik hegazkinetik baino.

29 Trigonometria 09 A eta B herriak iparraldetik hegoalderantz doan errepide batean kokatuta daude. Beste herri bat, C, 0 kilometrotara dago lerro zuzenean aurreko errepidetik, eta A-tik 0º-ra dago hego-ekialdetik, eta B-tik, 0º-ra hego-ekialdetik. Zer distantzia dago A eta B-ren artean? B G A 0 AP BP = 0 tg 0 =, km = 0 tg 0º =, km P 0 0 km C AB = AP BP = 0, km 09 Trapezio-formako lur baten azalera.00 m-koa da. graduko bi angelu dituela eta oinarri txikia 6 m luze dela baldin badakigu, kalkulatu oinarri handia eta zer distantzia dagoen oinarrien artean. h x 6 cm x h tg = x = h x 6 + ( 6 + x) x = h h. = 00 h + 6h. 00 = 0 h = h = 80 (ebazpena ez da baliozkoa) B = 6 + x = m Oinarri handia 9 m luze da, eta oinarrien arteko distantzia m-koa da. 096 Zenbat diru lortuko da partzela hau saltzeagatik, 00 /m ordaintzen badira? 0 m h 0 0 m 0 ( 0 sin 0 ) A = =.98,6 m Prezioa =.98,6 00 = 8.08 x 8

30 ERANTZUNAK 09 Kalkulatu lur honen azalera. BAC = ' CAD = ' DAE = ' EAF = ' D E F m m m m A 0 m B C A BAC = 0 sin ' =.9,6 m A CAD = sin ' =.6, m A DAE = sin ' =.698, m AEAF = sin ' =.9,9 m A = ABAC + ACAD + ADAE + AEAF =., m Kalkulagailua erabili gabe, ordenatu txikienetik handienera. a) cos sin cos 9 b) tg,0 a) cos sin = sin ( 90 + ) = cos cos 9 = cos ( ) = cos 68 Angelu zorrotzetan angelua zenbat eta handiagoa izan kosinua orduan eta txikiagoa izango da. cos 9 < sin < cos b) tg = tg ( ) = tg 6 tg 60 = >,0 Angelu zorrotzetan angelua zenbat eta handiagoa izan tangentea orduan eta handiagoa izango da.,0 < tg 6 Triangelu baten aldeak cm eta 0 cm luze dira. a) Zein da triangelu honek izan dezakeen gehienezko azalera? Zergatik? b) Zer motatako triangelua da kasu honetan? a) Triangelu baten azalera hau da: a b sin α sin α a b A = A 0 A = 0 Har dezakeen baliorik handiena 0 cm izango da, sinua bada. b) Baliorik handiena ematen da sinua denean; hots, angelua 90º-koa bada. Beraz, triangelu aldeberdina da. 9

31 Trigonometria 00 Ondorioztatu formula bat tg (α+β)-rako, irudiaren zuzenkien luzera kontuan hartuta. D E C F α + β β α m A B tg ( α + β) = AB AF EGUNEROKOAN 0 Komunikabideetan agertu diren datuek adierazten dutenez, uda osoan zehar izandako suteak ez dira asko izan. Hala ere, azken asteburuan, sute bat izan da parke natural batean. Babes Zibileko helikopteroetako batetik (radarrean, koordenatu-jatorrian dagoen puntua da), pilotuak hau dakusa: sute bat iparraldean, gertuen dagoen urtegia -ra eta udal igerilekua 0 -ra. 0

32 ERANTZUNAK Kontrol-dorretik ohartarazi diote haizea gero eta indartsuagoa dela, eta sutea kontrolatu egin behar dela, zabaldu baino lehenago. Suterainoko distantzia 0 km-koa da. Eta urtegirainoko distantzia 0 km-koa. Nora joango dira ur bila? Igerilekua d d 0 F 0 d 0 Lakua a a Distantziarik txikiena kalkulatu behar da: 0 + d, d + d. d = ( 0 sen 6 ) + ( 0 0 cos 6 ) = 8, km 0 + d = 8, km a 8, a = 0 cos = 8, d = = = 6, 6km cos 60 0, d = ( 0 sin 0 ) + ( 6,6 0 cos 0 ) = 8,0 d + d = 6, km Lakura joango dira ur bila.

33 Trigonometria 0 Udalak babes ofizialeko etxebizitzak egin behar ditu lur-sail batean. Proiektua egiteko, arkitektoen enpresa bat kontratatu du. Udaleko arduradunek ez dizkiete lur-sailaren neurriak eman arkitektoei, eta aparejadore bat hara joan da, neurketak egitera. Ondoren, azterketa aurkeztu dute lurraren sare geodesikoak eta guzti. Neurriak zehaztasun handiz hartzeko erabiltzen diren puntuek osatzen dituzte sare horiek. Puntuak, gainera, elkarren ondoan jarritako triangeluen erpinak dira. 0 m 0 m m 0 0 m

34 ERANTZUNAK Datuak kontuan hartuta, kalkulatu lur-sailaren azalera. 0 m b m h a 0 0 h ' 0 m m h = sin 0 =,8 m a = cos 0 =, m b = 0,8 = 6, m h' = sin 0 = 0, m A A ACD = ABC = ( a + b) h,6,8 = =, m ( a + b) h',6 0, = =,86 m A = AACD + AABC =, +,86 =.,09 m Eraiki daitekeen lurraren azalera.,09 m -koa da.