ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : HΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : HΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι (Υποχρεωτικό 3 ου Εξαμήνου) Διδάσκων : Δ.Σκαρλάτος Προβλήματα Σειρά # 6: Κυκλώματα Συνεχούς Ρεύματος Αντιστοιχεί (α) Στo Κεφάλαιο Η6 (εκτός του υποκεφαλαίου Η6.2) των Serway/Jewett (β) Στo Κεφάλαιο 33 των Halliday / Resnick / Krane (γ) Στά Κεφάλαια 25.4,25.5 και 26 (εκτός του υποκεφαλαίου 26.1) των Young / Freedman Τα προβλήματα παρατίθενται με τη σειρά που διδάχθηκε η ύλη και με αύξουσα σειρά δυσκολίας ανά κατηγορία.η ένδειξη υποδηλώνει λίγο πιο δύσκολο πρόβλημα. Οι φοιτητές μετά την παρακολούθηση και τη μελέτη των λυμένων Παραδειγμάτων θα πρέπει να είναι σε θέση να διαπραγματευτούν και αυτά τα προβλήματα. Η ένδειξη υποδηλώνει απαιτητικό πρόβλημα. Η ένδειξη!! υποδηλώνει πρόβλημα που πρέπει να αντιμετωπισθεί απαραίτητα. Σημείωση : Πολλές από τις τεχνικές που αναφέρονται βρίσκονται σε βιβλία Ηλεκτροτεχνίας. Δύο από τα καλύτερα (κατά τη γνώμη του διδάσκοντος) είναι τα «Ηλεκτροτεχνία, Τόμοι 1 και 2, Βασιλείου Α. Περράκη, Έκδοση Ευγενιδείου Ιδρύματος, Αθήνα 1989» και «Ηλεκτροτεχνία Ι, Γ.Κ.Κοκκινάκη και Γ.Ι.Καρύδη, Έκδοση Ευγενιδείου Ιδρύματος, Αθήνα 1994». ΓΕΝΙΚΑ Ηλεκτρικό Κύκλωμα : Ονομάζεται μια συγκρότηση (α) Πηγών (β) Καταναλωτών (ωμικών αντιστατών και αποδεκτών) (γ) Διακοπτών και πυκνωτών που συνδέονται μεταξύ τους με αγωγούς συνδέσεως (αγώγιμα σύρματα) αμελητέας αντίστασης [εκτός και αν αναφέρεται το αντίθετο, γεγονός που πιστοποιείται από το εάν δίδονται στοιχεία για τα καλώδια συνδέσεως] και χωρητικότητας. Κύκλωμα Συνεχούς Ρεύματος: Ονομάζεται ένα κύκλωμα στο οποίο η πολικότητα των πηγών ρεύματος δεν μεταβάλλεται με τον χρόνο, γεγονός που συνεπάγεται το ότι τα ρεύματα που διαρρέουν τους κλάδους του θα είναι συνεχή.χαρακτηριστική είναι η περίπτωση του Σχήματος. Σε κυκλώματα διακρίνομε τις εξής «τοπογραφικές» έννοιες : Kλάδος : Ονομάζεται ένα τμήμα του που αποτελείται από πηγές και καταναλωτές συνδεσμολογημένους σε σειρά που διαρρέονται από ρεύμα ίδιας εντάσεως. Στο Σχήμα κλάδοι είναι οι : ΑΒ, ΒΓΔ,ΔΕΖ,ΖΗ,ΗΘ,ΘΑ,ΑΙ,ΙΒ,ΒΔ,ΙΚ,ΚΘ,ΚΗ,ΚΖ,ΚΔ. Κόμβος : Ονομάζεται ένα σημείο του στο οποίο συντρέχουν τρείς ή περισσότεροι κλάδοι. Στο Σχήμα κόμβοι είναι οι : Α,Β,Γ,Δ,Ε,Ζ,Η,Θ,Ι,Κ. Βρόγχος : Ονομάζεται οποιαδήποτε κλειστή διαδρομή του που αποτελείται από κλάδους, τους οποίους συναντούμε μόνο μια φορά όταν ξεκινήσομε από ένα σημείο του κυκλώματος (ή δικτύου) και επιστρέψομε στο ίδιο σημείο. Στο Σχήμα ενδεικτικοί βρόγχοι είναι οι : ΑΒΓΔΚΙΑ, ΚΙΒΔΚ, ΗΚΖΗ, ΚΔΕΖΗΚ, ΑΒΓΔΕΖΗΘΑ. 1

1 ος Κανόνας Kirchhoff (Κανόνας των κόμβων): Το αλγεβρικό άθροισμα των ρευμάτων που συρρέουν προς έναν κόμβο ή απομακρύνονται από αυτόν ισούται με μηδέν (αρχή διατηρήσεως του φορτίου). Κατά σύμβαση : Όσα ρεύματα συρρέουν λαμβάνονται ως θετικά και όσα απομακρύνονται ως αρνητικά. Στον κόμβο Κ : I 1 + I 2 + I 4 -I 3 - I 5 = 0. n i= 1 I n = 0 Ι 2 Ι 1 Ι 3 Κ Ι 5 Ι 4 2 ος Κανόνας Kirchhoff (Κανόνας των βρόγχων ): Το αλγεβρικό άθροισμα των μεταβολών δυναμικού κατά μήκος όλων των στοιχείων γύρω από έναν οποιοδήποτε κλειστό βρόγχο είναι μηδέν (Αρχή διατηρήσεως της ενέργειας). Για την εφαρμογή του : Εκλέγομε μια αυθαίρετη φορά διαγραφής του βρόγχου ξεκινώντας από ένα σημείο και καταλήγοντας στο ίδιο. Εάν κατά την διαγραφή του βρόγχου : α)συναντήσομε αρνητικό πόλο πηγής ΗΕΔ Ε η μεταβολή δυναμικού είναι +Ε. β) Συναντήσομε θετικό πόλο πηγής ΗΕΔ Ε η μεταβολή δυναμικού είναι Ε. γ) Συναντήσομε ωμική αντίσταση R που διαρέεται από ρεύμα φοράς ίδιας με την φορά διαγραφής του βρόγχου η μεταβολή δυναμικού είναι IR. δ) Συναντήσομε ωμική αντίσταση R που διαρέεται από ρεύμα φοράς αντίθετης με την φορά διαγραφής του βρόγχου η μεταβολή δυναμικού είναι +IR. 2

Στο ακόλουθο Σχήμα εάν οι φορές των ρευμάτων είναι γνωστές (και αυτές που εικονίζονται) και η φορά διαγραφής του βρόγχου ΑΒΓΔΕΖΑ είναι κατά την φορά των δεικτών του ρολογιού θα έχομε ξεκινώντας από το Α και καταλήγοντας σε αυτό ότι : Ι 1 R 1 -E 1 -I 2 R 2 +I 3 R 3 +E 2 +I 4 R 4 +I 5 R 5 -E 3 -I 6 R 6 = 0. Υπολογισμοί διαφορών δυναμικού μεταξύ σημείων ενός κυκλώματος : Σε πολλές περιπτώσεις ζητείται να υπολογισθεί η διαφορά δυναμικού μεταξύ δύο σημείων ενός κυκλώματος. Στην περίπτωση αυτή ξεκινούμε από το ένα σημείο και αθροίζοντας κατά μήκος μιας οποιασδήποτε διαδρομής μέσα στο κύκλωμα τις μεταβολές δυναμικού (σύμφωνα με τους κανόνες που έχουν εκτεθεί προηγουμένως) καταλήγομε στο άλλο σημείο. Δηλαδή : VA + Ei + IiRi =VB Στο προηγούμενο Σχήμα θα έχομε ενδεικτικά για τις διαφορές δυναμικού V ΑΔ, και V ΑΕ : Κατά μήκος της διαδρομής ΑΒΓΔ : Κατά μήκος της διαδρομής ΑΖΕ : i VA + I1R1 Ε1 I2R2 + I3R3 + E2 = VΔ VA VΔ =... VA + I6R6 + E3 I5R5 = VΕ VA VΕ =... Eίναι προφανές ότι όποια διαδρομή ακολουθήσομε στο κύκλωμα μεταξύ δύο σημείων θα καταλήξομε στην ίδια διαφορά δυναμικού μεταξύ τους. ΜΕΡΟΣ Α : Κυκλώματα ενός βρόγχου Ονομάζονται τα κυκλώματα που μπορούν να αναχθούν σε κυκλώματα ενός βρόγχου μιας ισοδύναμης αντίστασης και μιας ισοδύναμης πηγής χρησιμοποιώντας τις γνωστές τεχνικές συνδεσμολογίας αντιστάσεων και πηγών. Πρόβλημα 6.1 Στο κύκλωμα του Σχήματος δίδονται Ε = 220 V, r = 0, R 1 =35 Ω, R 2 =20 Ω, R 3 =15 Ω, R 4 =25 Ω. Να υπολογιθούν (α) Η ισοδύναμη αντίσταση (β) Τα ρεύματα Ι 1, Ι 2, Ι 3 (γ) Οι πτώσεις τάσεως στα άκρα των αντιστάσεων V 1, V 2, V 3.[Απ. (α) 48,3Ω, (β) Ι 1 =4,55Α, Ι 2 =3Α, Ι 3 =1,5Α (γ) V 1 =159,3V, V 2 =61,7V, V 3 =37,5V] Πρόβλημα 6.2 Στο κύκλωμα του Σχήματος να υπολογιθούν (α) Η ισοδύναμη αντίσταση (β) Το ρεύμα που διαρρέει την πηγή (γ) Η ισχύς που καταναλώνεται στους αντιστάτες R 1 και R 6 (δ) Η δαπάνη για δεκάωρη λειτουργία του κυκλώματος εάν το 1KWh στοιχίζει 10 δρχ (0,03 EURO). [Απ. (α) 8Ω, (β) 3Α, (γ)p 1 =0,33W, P 6 =12,8 W, (δ) 8,10 δρχ]!!πρόβλημα 6.3 Μια συστοιχία αποτελείται από 50 ηλεκτρικά στοιχεία συνδεδεμένα σε σειρά. Η ΗΕΔ κάθε στοιχείου είναι Ε = 2 V και η εσωτερική του αντίσταση αμελητέα (r = 0). Η συστοιχεία τροφοδοτεί τις καταναλώσεις του Σχήματος όπου R 1 =200 Ω, R 2 =R 3 =R 4 =400 Ω, R 5 = 100Ω, R 6 =R 7 =240 Ω. Να υπολογιθούν (α) Η ισοδύναμη αντίσταση της συνδεσμολογίας (β) Η ολική ΗΕΔ της συστοιχίας και η πολική της τάση (γ) Το ρεύμα Ι (δ) Η πτώση τάσεως στον αντιστάτη R 4. [Απ. (α) 90Ω, (β) Ε t = V t = 100 V (γ) Ι=1,111Α (δ) V 4 =66,66V] i 3

!!Πρόβλημα 6.4 Μια συστοιχία αποτελείται από 6 πηγές συνδεδεμένες σε σειρά. Η ΗΕΔ κάθε πηγής είναι Ε = 2 V και η εσωτερική της αντίσταση r = 0,003Ω. Η συστοιχεία τροφοδοτεί μέσω γραμμής μήκους = 60 m μια συνδεσμολογία 5 παράλληλων αντιστατών R = 2,85Ω, όπως στο Σχήμα. Η διατομή των αγωγών σύνδεσης είναι 6 mm 2 και η ειδική αντίστασή τους ρ = 0,0178 Ω mm 2 /m. Να υπολογιθούν (α) Η ολική ΗΕΔ της συστοιχίας και η εσωτερική της αντίσταση (β) Η ισοδύναμη αντίσταση στο εξωτερικό κύκλωμα (γ) Η ένταση του ρεύματος (δ) Η πολική τάση της συστοιχίας (ε) Η πτώση τάσεως στη γραμμή V γ (στ) Η τάση στα άκρα των αντιστατών V R. [Απ. ( (α) Ε t = 12 V, r t =0,018Ω (β) R t = 0,926Ω (γ) Ι=12,71Α (δ) V t =11,771V (ε) V γ =4,524V (στ) V R =7,247V ]!!Πρόβλημα 6.5 Μια συστοιχία αποτελείται από 2 πηγές συνδεδεμένες παράλληλα. Η ΗΕΔ κάθε πηγής είναι Ε = 126 V και η εσωτερική της αντίσταση r = 0,4Ω. Η συστοιχία τροφοδοτεί τις καταναλώσεις του Σχήματος που είναι : (i) 40 λαμπτήρες συνδεδμένοι παράλληλα που καθένας έχει αντίσταση R λ = 240 Ω. (ii) Μια ηλεκτρική θερμάστρα με αντίσταση R σ = 12 Ω. (iii) Ένας θερμοσίφωνας με αντίσταση R θ = 6 Ω. Η συνολική αντίσταση της γραμμής συνδέσεως είναι R γ = 0,2 Ω. Να υπολογιθούν (α) Η ολική ΗΕΔ της συστοιχίας και η εσωτερική της αντίσταση (β) Η ισοδύναμη αντίσταση στο εξωτερικό κύκλωμα (γ) Η ένταση του ρεύματος (δ) Η πολική τάση της συστοιχίας V AB (ε) Η πτώση τάσεως στη γραμμή V γ (στ) Η τάση στα άκρα των καταναλωτών V ΓΔ (ζ) Οι εντάσεις Ι σ και Ι θ. [Απ. (α) Ε t = 126 V, r t =0,2Ω (β) R t = 2,4Ω (γ) Ι=45Α (δ) V AB =117V (ε) V γ =9V (στ) V ΓΔ =108V (ζ) Ι σ =9Α και Ι θ =18Α]!!Πρόβλημα 6.6 Να γίνει το διάγραμμα μεταβολών του δυναμικού για το κύκλωμα συνεχούς ρεύματος ενός βρόγχου του Σχήματος ξεκινώντας από και καταλήγοντας στο σημείο Α κατά τη φορά που υποδεικνύεται.!!πρόβλημα 6.7 Στο κύκλωμα του Σχήματος δίδονται Ε =16 V, r = 2 Ω, R 1 =2 Ω, R 2 =6 Ω.Να προσδιοριστεί η θέση x του δρομέα Δ (ουσιαστικά η R ΔΒ ), ώστε η ισχύς στο εξωτερικό κύκλωμα να είναι μέγιστη. [Απ.R ΔΒ =4 Ω] Πρόβλημα 6.1 Πρόβλημα 6.2 Πρόβλημα 6.3 Πρόβλημα 6.4 Πρόβλημα 6.6 Πρόβλημα 6.5 Πρόβλημα 6.7 4

Μέρος Β: Επίλυση Σύνθετου Κυκλώματος (πολλών βρόγχων) με χρήση των κανόνων Kirchhoff Γενική μέθοδος επίλυσης. Επίλυση ηλεκτρικού κυκλώματος συνεχούς ρεύματος ονομάζεται ο προσδιορισμός των ρευμάτων που διαρρέουν τους κλάδους του. Η επίλυση ενός κυκλώματος μπορεί να γίνει με διάφορες μεθόδους. Η πιο αντιπροσωπευτική κάνει χρήση και των δυο κανόνων του Kirchhoff και ονομάζεται Μέθοδος Kirchhoff. Για την εφαρμογή της ακολουθούνται τα εξής βήματα : 1) Παρατηρούμε προσεκτικά το κύκλωμα και καταγράφομε το πλήθος των κόμβων (κ) και των κλάδων (λ) του. 2) Σημειώνομε αυθαίρετα σε κάθε κλάδο τη φορά του ρεύματος. 3) Εφαρμόζομε τον 1 ο κανόνα του Kirchhoff σε κ-1 κόμβους παίρνοντας αντίστοιχα κ-1 ανεξάρτητες εξισώσεις. 4) Εφαρμόζομε τον 2 ο κανόνα του Kirchhoff σε λ-κ+1 βρόγχους παίρνοντας αντίστοιχα λ-κ+1 ανεξάρτητες νέες εξισώσεις. Οι βρόγχοι θα πρέπει να επιλεγούν ώστε συνολικά να συμπεριλαμβάνουν όλες τις πηγές και καθένας τους έναν νέο κλάδο που δεν περιλαμβάνεται στους άλλους βρόγχους. 5) Σηματίζομε το σύστημα των συνολικά (κ -1) + (λ-κ+1)= λ ανεξάρτητων εξισώσεων (είναι όσοι και οι κλάδοι του κυκλώματος) 6) Επιλύομε το σύστημα συνήθως με την μέθοδο των οριζουσών ή με προσθαφαιρέσεις εξισώσεων ή την μέθοδο των αντικαταστάσεων εάν είναι εφικτό. Παρατήρηση : Εάν η τιμή μιας έντασης μετά τον υπολογισμό της με την παραπάνω μέθοδο είναι αρνητική σημαίνει ότι η φορά του ρεύματος που διαρρέει τον συγκεκριμένο κλάδο είναι αντίθετη από αυτήν που αυθαίρετα επιλέξαμε. Αντιπροσωπευτικό Παράδειγμα Να επιλυθεί το κύκλωμα. Δίδονται : Ε 1 =8V, E 2 =16V, R 1 =2Ω, R 2 =4Ω, R 3 =4Ω R 4 =6Ω R 5 =2Ω, R 6 =4Ω. Οι πηγές δεν έχουν εσωτερική αντίσταση. Λύση : Στο συγκεκριμένο κύκλωμα έχομε Κόμβοι : κ = 4 (Α,Β,Γ,Δ) Κλάδοι : λ = 6 (ΗΒ,ΑΘ,ΔΓ,ΔΚ,ΟΑ,ΒΓ), όσα και τα ρεύματα. Κατά συνέπεια απαιτούνται 6 ανεξάρτητες μεταξύ τους εξισώσεις. Εφαρμόζομε τον 1 ο κανόνα του Kirchhoff σε κ-1 = 3 κόμβους. Κόμβος Α : I 5 + I 1 - I 3 =0 (1) Κόμβος Β : I 3 - I 1 I 6 =0 (2) Κόμβος Γ : I 6 I 2 I 4 =0 (3) Εφαρμόζομε τον 2 ο κανόνα του Kirchhoff σε λ-κ+1 = 3 βρόγχους Βρόγχος ΑΗΒΘΑ (φορά διαγραφής στο Σχήμα) : Ε 1 -Ι 1 R 1 -I 3 R 3 = 0 (4) Βρόγχος ΔΖΓΚΔ (φορά διαγραφής στο Σχήμα) : Ε 2 -Ι 2 R 2 -I 4 R 4 = 0 (5) Βρόγχος ΑΘΒΓΖΔΠΑ (φορά διαγραφής στο Σχήμα) : Ε 3 -Ι 3 R 3 -I 6 R 6 -I 4 R 4 -I 5 R 5 = 0 (6) Παρατηρούμε ότι οι τρείς βρόγχοι που επελέγησαν περιλαμβάνουν συνολικά όλες τις πηγές (Ε 1,Ε 2,Ε 3 ) και καθένας τους περιλαμβάνει έναν τουλάχιστον κλάδο που δεν περιλαμβάνεται στους άλλους δύο. Κατά συνέπεια έχομε το ακόλουθο σύστημα των εξισώσεων. 5

I 1 - I 3 + I 5 = 0 (1) - I 1 +I 3 I 6 = 0 (2) I 2 I 4 + I 6 = 0 (3) 2Ι 1 +4R 3 = Ε 1 = 8 (4) 4Ι 2 +6I 4 = Ε 2 =16 (5) 4Ι 3 +6I 4 +2I 5 + 4I 6 = Ε 3 =12 (6) Το παραπάνω σύστημα λύνεται σχετικά εύκολα με προσθαφαιρέσεις και αντικαταστάσεις [π.χ από (1) + (2) Ι 5 =Ι 6 ] Οι τιμές που προκύπτουν είναι : Ι 1 = 0,113 A Ι 2 = 2,698 A Ι 3 = 1,943 A Ι 4 = -0,868 A Ι 5 =Ι 6 =1,830 A Το αρνητικό πρόσημο του Ι 4 σημαίνει ότι η φορά του αντίστοιχου ρεύματος είναι αντίθετη από αυτή που σχεδιάστηκε στο Σχήμα. Πρόβλημα 6.8 Στο κύκλωμα του σχήματος να βρείτε (α) την ένταση του ρεύματος σε κάθε κλάδο του κυκλώματος (β) τις διαφορές δυναμικού V ΑΔ και V ΗΓ. [Απ. (α) 2Α, 3Α, 5Α, (β) 46V, - 2V] Πρόβλημα 6.9 Στο κύκλωμα του σχήματος να βρείτε (α) τις τιμές των ΗΕΔ Ε 1 και Ε 2 (β) τη διαφορά δυναμικού V ΑΔ. [Απ. (α) Ε 1 = 17V, E 2 = 5V, (β) V ΑΔ = 11V] Πρόβλημα 6.10 Στο κύκλωμα του σχήματος να βρείτε (α) την ένταση του ρεύματος σε κάθε κλάδο του κυκλώματος (β)τις διαφορές δυναμικού V ΑZ και V ΗΓ. [Απ. (α) 2Α, 3Α, 5Α, (β) -5V, -1V]!!Πρόβλημα 6.11 Στο κύκλωμα του σχήματος να βρείτε (α) την ένταση του ρεύματος σε κάθε κλάδο του κυκλώματος (β) τη διαφορά δυναμικού V ΒΔ. [Απ. (α) 0,5 Α, 5,5 Α, 6 A, (β) 20 V]!!Πρόβλημα 6.12 Στο κύκλωμα του σχήματος να βρείτε (α) την ένταση του ρεύματος σε κάθε κλάδο του κυκλώματος (β) τη διαφορά δυναμικού V αβ. [Απ. (α) 0,5Α, 2,25Α, 2,75Α, (β) 1V]!!Πρόβλημα 6.13 Στο κύκλωμα του σχήματος να βρείτε (α) την τιμή της αντίστασης R (β) τις εντάσεις των ρευμάτων που διαρρέουν τους αντιστάτες 6 Ω και 4 Ω (γ) τη διαφορά δυναμικού V ΖΘ. [Απ. (α) 9 Ω (β) 0,5 Α, 2,25 Α,(γ) -9 V] Πρόβλημα 6.8 Πρόβλημα 6.9 Πρόβλημα 6.10 Πρόβλημα 6.11 6

Πρόβλη μα 6.12 Πρόβλημα 6.13 Ειδική Περίπτωση : Επίλυση Σύνθετου Κυκλώματος που περιέχει πυκνωτές σε στάσιμη κατάσταση Με τον όρο αυτό εννοούμε την κατάσταση του πυκνωτή μετά την πλήρη του φόρτιση, κατά την οποία το φορτίο των οπλισμών του έχει σταθεροποιηθεί. Στην περίπτωση αυτή ο πυκνωτής όταν βρίσκεται σε κλάδο κυκλώματος συνεχούς ρεύματος λειτουργεί ουσιαστικά σαν ανοικτός διακόπτης μη επιτρέποντας τη διέλευση ρεύματος από τον συγκεκριμένο κλάδο. Σε τέτοιες περιπτώσεις επιλύομε το κύκλωμα κατά τα γνωστά και υπολογίζομε στο τέλος το σταθερό φορτίο των οπλισμών του πυκνωτή με βάση τη χωρητικότητα και τη διαφορά δυναμικού στα άκρα του. Παράδειγμ α : Στο κύκλωμα του Σχήματος η φόρτιση του πυκνωτή έχει ολοκληρωθεί και αυτός βρίσκεται σε στάσιμη κατάσταση. (α) Να υπολογισθεί το φορτίο των οπλισμών του πυκνωτή. (β) Η διαφορά δυναμικού V ΔΕ. Δίδονται Ε 1 = 8V, Ε 2 = 12V, Ε 3 = 16V, R 1 = R 2 = 3Ω, r 1 = r 2 =1Ω και C = 4 μf. H Λύση : O κλάδος AB λόγω της παρουσίας του πυκνωτή δεν διαρρέεται από ρεύμα. Έτσι ρεύμα εντάσεως Ι και αυθαίρετης φοράς που φαίνεται στο Σχήμα διαρρέει τον βρόγχο ΔΕΖΗΔ. Στον βρόγχο αυτό με βάση τον δεύτερο κανόνα του Kirchhoff έχομε ότι : E2 - E1 4V -IR1- E1- Ir1 + E2 - Ir2 - IR2 = 0 I = = = 0,5A r1+ r2 + R1+ R2 8Ω Η φορά του ρεύματος ήταν σωστή. (α) Για το φορτίο του πυκνωτή πρέπει να υπολογισθεί η τάση V ΑΓ. Για την διαδρομή ΑΗΖΒΓ έχομε ότι : A ( ) V +Ι R +Ιr E + E = V V V = Ι R + r + E E = V 2 2 2 3 Γ A Γ 2 2 2 3 6 Εάν π.χ. είχαμε ακολουθήσει την διαδρομή ΑΔΕΒΓ θα είχαμε ότι : Κατά συνέπεια έχομε ότι : A ( ) V ΙR Ιr E + E = V V V =Ι R + r + E E = V 1 1 1 3 Γ A Γ 1 1 1 3 6 Z 7

6 Q = C V V = 4 10 F 6V = 24μCb A Γ (β) Για τον υπολογισμό της V ΔΕ επιλέγομε την διαδρομή ΔΕ. Έχομε ότι : V Ir V V V Ir V Δ 1 Ε 1 = Ε Δ Ε = 1+Ε 1 = 8,5!!Πρόβλημα 6.14 Στο κύκλωμα του σχήματος οι πυκνωτές είναι φορτισμένοι ήδη και σε στάσιμη κατάσταση. Να υπολογισθούν : (α) Οι τάσεις V, V C, V R.(β) Τα ρεύματα Ι 2 και Ι 3. (γ) Τα φορτία των πυκνωτών. Δίδονται : Ε=48V, r =1Ω, R 1 =R 3 = R 5 = 3Ω, R 2 =6Ω, R 4 =7Ω, C 1 =C 2 =10μF. [Απ. (α) V=45V, V C =30V, V R =9V, (β) Ι 2 = 1Α, Ι 3 =2Α, (γ) Q 1 =Q 2 = 150 μcb]!!πρόβλημα 6.15 Στο κύκλωμα του σχήματος ο διακόπτης δ είναι κλειστός για μεγάλο χρονικό διάστημα. Να βρείτε (α) την ένταση του ρεύματος που διαρρέει την πηγή των 20 V (β) τη διαφορά δυναμικού V ΚΛ (γ) το φορτίο του πυκνωτή. [Απ. (α) 1 Α, (β) -2 V, (γ) 40 μcb]!!πρόβλημα 6.16 Να επιλυθεί το κύκλωμα του Σχήματος και να υπολογισθούν τα φορτία των πυκνωτών εάν θεωρηθεί ότι έχουν φορτισθεί πλήρως και βρίσκονται σε στάσιμη κατάσταση. Δίδονται : Ε=56V, r =4Ω, R 1 =12Ω, R 2 =6Ω, R 3 = 2Ω,R 4 =20Ω, C 1 = 2 μf, C 2 = 8μF. [Aπ. I = 4A, I 1 =Ι 2 =2A, Q 1 = Q 2 = 25,6 μcb]!!πρόβλημα 6.17 Στο κύκλωμα του σχήματος η πηγή έχει μηδενική εσωτερική αντίσταση και ο πυκνωτής είναι φορτισμένος ήδη και σε στάσιμη κατάσταση. Ο ένας οπλισμός του συνδέεται μέσω αγωγού με το μέσον της αντίστασης R και ο άλλος οπλισμός με σημείο της R που την διαιρεί σε δύο τμήματα με λόγο r 1 /r 2 = x. Να υπολογισθούν : (i) Οι εντάσεις των ρευμάτων που διαρρέουν τις R και R,(ii) Το πως μεταβάλλεται το φορτίο του πυκνωτή συναρτήσει των Ε, C και του λόγου x και ποιά η τιμή του για x= 3 / 4. Δίδονται : Ε = 40V, R = 100Ω, R = 150Ω, C = 1 μf. [Aπ. (i) I=0,266A, I =0,4 A, (ii) Q = CE[(x-1)/2(x+1)], Q = 2,857μCb 2 1 Q [x10-5 C] 0-1 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 x -2 ] Πρόβλημα 6.14 Πρόβλημα 6.15 Πρόβλημα 6.16 Πρόβλημα 6.17 8

Μέρος Γ: Κυκλώματα RC συνεχούς ρεύματος στη μεταβατική κατάσταση Με τον όρο αυτό εννοούμε την διάρκεια φόρτισης ή εκφόρτισης του πυκνωτή κατά την οποία το φορτίο των οπλισμών του και το ρεύμα του κυκλώματος είναι συναρτήσεις του χρόνου. Η κατάσταση περιγράφεται από τις εξισώσεις που αναπτύχθηκαν στο μάθημα.!!πρόβλημα 6.18 [Serway Πρόβλημα 28.50] Ένας πυκνωτής κυκλώματος RC σε σειρά φορτίζεται μέσω πηγής και αποκτά το 60% του μέγιστου φορτίου του σε χρόνο 0,9 sec. Ποιά είναι η σταθερά χρόνου του κυκλώματος ; [Απ. τ = RC = 0,982 s]!!πρόβλημα 6.19 [Serway Πρόβλημα 28.48] Ένας φορτισμένος πυκνωτής χωρητικότητας 0,002 μf με αρχικό φορτίο 5,1 μcb εκφορτίζεται μέσω αντίστασης 1300 Ω. (α) Υπολογίστε το ρεύμα που διαρρέει την αντίσταση 9μsec μετά την έναρξη της εκφόρτισης. (β) Πόσο φορτίο παραμένει στον πυκνωτή μετά από 8 μsec; (γ) Ποιό το μέγιστο ρεύμα που διαρρέει την αντίσταση ; [Απ. (α) 61,5 ma (β) 0,235 μcb (γ) 1,96A]!!Πρόβλημα 6.20 (α)στο κύκλωμα του Σχήματος 1 ο διακόπτης κλείνει τη χρονική στιγμή t=0. Πριν το κλείσιμο του διακόπτη οι πυκνωτές είναι αφόρτιστοι.προσδιορίστε τα φορτία των δύο πυκνωτών συναρτήσει του χρόνου κατά τη διάρκεια της διαδικασίας φόρτισής τους.ποιά είναι η τάση στους οπλισμούς τους όταν ολοκληρωθεί η διαδικασία φόρτισης ; (β) Μόλις ολοκληρωθεί η διαδικασία φόρτισης αποσυνδέομε την πηγή και ανοίγομε τον διακόπτη, όπως φαίνεται στο Σχήμα 2.Ο διακόπτης ξανακλείνει την χρονική στιγμή t=0.προσδιορίστε τα φορτία των δύο πυκνωτών συναρτήσει του χρόνου κατά τη διάρκεια της διαδικασίας εκφόρτισής τους. [Απ. (α) Q 1 = 200[1 - e -2500 t ]μcb, Q 2 = 120 [1 - e -2500 t ]μcb, 40V (β) Q 1 = 200e -2500 t μcb, Q 2 = 120e -2500 t μcb]!!πρόβλημα 6.21 Στο κύκλωμα του σχήματος ο πυκνωτής έχει χωρητικότητα C = 50 μf και είναι φορτισμένος μέσω πηγής Ε = 80 V. Οι αντιστάτες R 1 και R 2 έχουν τιμές 10 kω και 40 kω, αντίστοιχα. Τη χρονική στιγμή t = 0 κλείνει ο διακόπτης Δ. (α)να γράψετε την εξίσωση της τάσης του πυκνωτή συναρτήσει του χρόνου. (β)να γράψετε την εξίσωση της έντασης του ρεύματος που διαρρέει κάθε αντιστάτη συναρτήσει του χρόνου. (γ)να γράψετε την εξίσωση που δίνει το ρυθμό με τον οποίο ο πυκνωτής προσφέρει ενέργεια στο σύστημα των δύο αντιστατών σε συνάρτηση με το χρόνο. [Απ. (α) V C = 80 e - 2,5 t (V), (β) I 1 = 8 e -2,5 t (ma), I 2 = 2 e -2,5 t (ma), (γ) P C = 0,8 e -5 t (W)]!!Πρόβλημα 6.22 Ο μεταγωγέας στο κύκλωμα του Σχήματος συνδέεται στη θέση 1 τη χρονική στιγμή t = 0 και μετά από χρόνο t 1 = τln2 συνδέεται στη θέση 2.Να βρεθεί το μεταβατικό ρεύμα για τα διαστήματα 0 < t < t 1 και t 1 < t. [Απ. I = 0.5 e -200 t (A), I = - 0.125 e -100( t - t1) (A)]!!Πρόβλημα 7.23 Στο κύκλωμα του Σχήματος ο διακόπτης κλείνει τη χρονική στιγμή t=0. Πριν το κλείσιμο του διακόπτη οι πυκνωτές είναι αφόρτιστοι.να βρείτε τις εντάσεις των ρευμάτων κατά τη μεταβατική περίοδο φόρτισης των πυκνωτών. [Απ. I 1 = 2e -5000 t (A), I 2 = e -5000 t (A), I = 3e -5000 t (A)]!!Πρόβλημα 6.24 Στο κύκλωμα του Σχήματος 1 ο πυκνωτής είναι φορτισμένος από πηγή ΗΕΔ Ε = 100 V με μηδενική εσωτερική αντίσταση.ο διακόπτης κλείνει τη χρονική στιγμή t=0.να βρείτε τις εντάσεις των ρευμάτων κατά τη μεταβατική περίοδο εκφόρτισης του πυκνωτή.r = 100 Ω. [Απ. I 1 = e -1250 t (A), I 2 = 0.25e -1250 t (A), I = 1,25e -1250 t (A)]!!Πρόβλημα 6.25 (α)στο κύκλωμα του σχήματος ο διακόπτης Δ είναι κλειστός για μεγάλο χρονικό διάστημα.ποιές είναι οι τιμές των ρευμάτων και η τάση στα άκρα του πυκνωτή;δίδονται Ε = 100 V (r=0), R = 1KΩ, C = 10/3 μf. (β) Ο διακόπτης ανοίγει τη χρονική στιγμή t=0.πως μεταβάλεται η τάση στα άκρα του πυκνωτή και η ένταση του ρεύματος; [Απ. (α) Ι = I 1 = 0,05 (A), I 2 = 0, V C = V BH = 50 V. (β) V C = 50 e -150 t V, I = (1/40) e -150 t (A)]!!Πρόβλημα 6.26 (α) Στο κύκλωμα του σχήματος ο διακόπτης Δ είναι κλειστός για μεγάλο χρονικό διάστημα. Ποια είναι η τάση του πυκνωτή; (β) Τη χρονική στιγμή t = 0 ανοίγει ο διακόπτης. Μετά πόσο χρόνο η τάση του πυκνωτή θα γίνει ίση με το μισό της αρχικής της τιμής; [Απ. (α) 9 V, (β) 45 ln2 (μs)] 9

1 2 Πρόβλημα 6.20 Πρόβλημα 6.21 Πρόβλημα 6.22 Πρόβλημα 6.23 Πρόβλημα 6.24 Πρόβλημα 6.25 Πρόβλημα 6.26 10