نظریه اطلاعات کوانتمی 1 ترم پاییز 1392-1391 مدرسین: ابوالفتح بیگی و امین زاده گوهري نویسنده: مرتضی نوشاد جلسه 28 1 تقطیر و ترقیق درهم تنیدگی ψ m بین آذر و بابک به اشتراك گذاشته شده است. آذر و AB فرض کنید که m نسخه مستقل یک حالت محض دلخواه بابک با استفاده از یک سري تبدیلات می خواهند این m نسخه را به حالت هاي درهم تنیده بیشینه (حالت هاي بل) تبدیل کنند. اصطلاحا به این عملیات تقطیر درهم تنیدگی 1 می گویند. به بیان دقیق تر آذر و بابک باید بوسیله انجام عملگرهاي ψ m را (بصورت تقریبی) تبدیل به n کپی از حالت هاي بل کنند (بطوري محلی و مخابرات کلاسیک 2 LOCC حالت AB که وفاداري بین حالات تولید شده و حالات بل مطلوب زیاد باشد و یا معادلا فاصله اثر میان آنها کم باشد). به مقدار n m نرخ تقطیر می گویند. هدف یافتن مقدار بیشینه نرخ تقطیر است زمانی که m به سمت بینهایت برود. در اینجا هیچ گونه محدودیتی روي میزان مخابرات کلاسیک وجود ندارد. اما حالت برعکس تقطیر نیز قابل تعریف است. فرض کنیم که یک تعداد کپی از حالت هاي بل را داشته باشیم و می ψ AB کنیم. به این عمل ترقیق درهم تنیدگی 3 یا درهم خواهیم آنها را با عملیات LOCC تبدیل به حالت دلخواه تنیدگی تشکیل ψ 4 گفته می شود. بصورت دقیق تر فرض کنیم که n کپی از حالت بل در اختیار داشته باشیم و از ما خواسته شده که با عملیات LOCC به مقدار هر چه بیشتر کپی هایی از ψ تولید کنیم. حال اگر مقدار کپی هاي تولید شده از این حالت را نیز m در نظر بگیریم نسبت تشکیل می گوییم. فرض کنید که تجزیه اشمیت ψ به صورت زیر باشد: n m هنگامی که n به سمت بینهایت میل کند را نرخ درهم تنیدگی ψ = x p(x) xa x B که در آن ضرایب اشمیت را بصورت p(x) نشان داده ایم A x یک پایه متعامد یکه براي فضاي هیلبرت سیستم A و B x یک پایه متعامد یکه براي فضاي هیلبرت سیستم B است که لزوما ارتباط خاصی با هم ندارند. اگر اثر جزي ی نسبت به سیستم B را محاسبه کنیم خواهیم داشت: ρ A ψ = tr B( ψ ψ ) = x p(x) x A x A 1 Entanglement Distillation 2 Local Operations and Classical Communication 3 Entanglement Dilution 4 Entanglement of Formation 1
نشان خواهیم داد که تقطیر بر هم نهی در صورتی امکان دارد که نرخ تقطیر حداکثر n m < H({p(x)}) = H(ρA ψ ), و ترقیق برهم نهی زمانی ممکن است وقتی که نرخ ترقیق حداقل n m > H({p(x)}) = H(ρA ψ ), H(ρ A ψ بیانگر میزان در هم تنیدگی بر حسب کیوبیت حالت ψ AB است. باشند. این دو نتیجه به این معنی هستند که ) با استفاده از این دو نتیجه می توان قضیه زیر را ثابت کرد: قضیه 1 براي نرخ داده شده R و > 0 ϵ به دلخواه کوچک m به اندازه کافی بزرگ وجود دارد بطوریکه m نسخه از حالت دوبخشی ψ را بتوان با عملیات LOCC به (ϵ m(r نسخه از یک حالت محض دیگري مثل ϕ تبدیل کرد اگر و فقط اگر که درآن R H(ρA ϕ ) H(ρ A ψ ). ρa ϕ از اثر جزي ی گیري حالت ϕ بدست می آید ρ A ψ بصورت مشابه تعریف می شود. نکته 2 توجه کنید که قضیه بالا در مورد تبدیل حالات محض به حالات محض است. در صورتی که حالات غیر محض باشند مساله حل نشده است. بصورت خاص نشان داده شده که براي یک حالت غیر محض ممکن است که نرخ درهم تنیدگی تشکیل مثبت باشد اما نرخ در هم تنیدگی تقطیر صفر باشد! 1.1 تبدیل تنها یک نسخه از حالت محض به حالت محض دیگر حال فرض کنید که بجاي اینکه نسخه هاي زیادي از یک حالت محض را داشته باشیم تنها یک نسخه داشته باشیم. در این صورت شرط لازم و کافی براي تبدیل یک حالت به حالت دیگر در قضیه زیر آمده است: قضیه 3 یک حالت دوبخشی ψ می تواند تحت عملیات LOCC به حالت محض دیگري مثل ϕ تبدیل شود اگر و فقط اگر دنباله مقادیر ویژه ي ρ ϕ بر دنباله مقادیر ویژه ρ ψ غلبه کند: λ. ρψ λ ρϕ می گوییم که یک دنباله بر یک دنباله دیگر غلبه 5 می کند اگر پس از مرتب کردن دو دنباله بصورت نزولی براي هر k جمع k جمله ي اول دنباله اول بزرگتر مساوي جمع k جمله ي اول دنباله دوم باشد و بعلاوه جمع تمامی اعضاي دو دنباله با هم مساوي باشند. مثال 4 حالت محض B 0 A 0 همواره و بدون دسترسی به هیچ منبعی با عملیات LOCC قابل ساختن است زیرا کافی است که آذر و بابک هر دو حالت 0 را تولید کنند. این موضوع با قضیه بالا سازگار است زیرا دنباله مقادیر ویژه ي متناظر با این حالت برابر (0,,0,1),0 است که بر هر دنباله مقادیر ویژه ي دیگري غلبه می کند. 5 Majorize 2
مثال 5 اگر آذر و بابک یک حالت بل را به اشتراك گذاشته باشند هر حالت دلخواه محض روي یک کیوبیت سمت آذر و ( 1 2, 1 2 است که هر دنباله یک کیوبیت سمت بابک را می توانند بسازند زیرا دنباله مقادیر ویژه ي متناظر با حالت بل برابر ) دوتایی دیگري به فرم (a,a) 1 بر آن غلبه می کند. 2 ترقیق درهم تنیدگی ابتدا می خواهیم یک پروتکل ساده براي ترقیق درهم تنیدگی اراي ه دهیم. براي m کپی از ψ می توان نوشت: ψ m = x 1,x 2,,x m p(x1 )p(x 2 ) p(x m ) x 1A, x 2A,, x ma x 1B, x 2B,, x mb. حالت جدید m ϕ را به صورت زیر تعریف می کنیم: ϕ m = ϵ typical (x 1,,x m ) p(x1 )p(x 2 ) p(x m ) x 1A, x 2A,, x ma x 1B, x 2B,, x mb. براي این که برداري با طول واحد داشته باشیم تعریف می کنیم ϕ m ϕm ϕ m m ϕ. اما با توجه به قضایاي زیرفضاهاي نوعی خواهیم داشت: 0 tr ψ m ϕ m اگر m به سمت بینهایت میل کند. همچنین تعداد جملات در این مجموع حداکثر برابر )+ϵ) 2 m(h({p(x)})+ϵ) = 2 m(h(ρa ψ است. n = m(h(ρ A ψ حالت بل را به اشتراك گذاشته باشند. براي تولید (تقریبی) حال فرض کنیم که آذر و بابک (ϵ + ) ψ m پروتکل به این صورت می باشد که آذر بصورت محلی هر دو قسمت m ϕ را آماده کرده و سپس با استفاده از حالت هاي بل که با بابک به اشتراك دارد قسمت دوم m ϕ را به بابک فرابرد 6 می کند. بدین ترتیب آذر و بابک می توانند به H(ρ ψ ) + ϵ میل می کند. با کوچک n m ترقیق کنند. در این فرایند ترقیق نسبت ϕ m حالت بل خود را به حالت n گرفتن ϵ می توان نتیجه گرفت که ) ψ H(ρ یک کران بالا براي درهم تنیدگی تشکیل براي حالت ψ می باشد. 3 تقطیر درهم تنیدگی فرض کنیم که آذر و بابک m کپی از ψ را به اشتراك داشته باشند. ادعا می کنیم که آذر با انجام یک اندازه گیري محلی ρ A ψ می تواند حالت مشترك ψ m را به حالت m ϕ تبدیل کند. تصویري به زیر فضاي ϵ -نوعی از تمرین 6 ادعاي بالا را ثابت کنید. ψ) ϵ) m(h(ρ 2 است ) با توجه به نوعی بودن). بزرگترین ضریب اشمیتی که در تجزیه m ϕ ظاهر می شود حداکثر برابر 1 خواهد بود. حال فرض کنیم که n 1 δ 2 m(h(ρ ψ) ϵ) همچنین بزرگترین مقدار ویژه حالت نرمال شده m ϕ برابر طوري انتخاب شود که در نامساوي زیر صدق کند: 6 Teleport 1 1 δ 2 m(h(ρ ψ) ϵ) 2 n. 3
ρ ϕ m به ازاي تک تک عناصر کمتر از n 2 خواهد بود. در این صورت بردار مقادیر ویژه ي برداري به شکل 0), 0,, 0, n n, 2 n,, 2 (2 در نظر بگیرید که تعداد صفرهاي اضافه شده در انتها براي ρ ϕ m بشود. این بردار متناظر با مقادیر ویژه n نسخه از حالت هاي این است که طول این بردار برابر تعداد مقادیر ویژه ρ ϕ m بر دنباله مقادیر ویژه 0), 0,, 0, n n, 2 n,, 2 (2 غلبه بل می باشد. ادعا می کنیم که دنباله مقادیر ویژه ρ ϕ m برابر شود و در نتیجه می کند. در اینجا صفرهاي آخر براي این اضافه شده اند که طول این بردار با تعداد مقادیر ویژه است زیرا هرکدام k دو دنباله قابل مقایسه باشند. دلیل این غلبه کردن این است که جمع k مقادیر ویژه بزرگ حداکثر 2 n است. طبق قضیه 3 حالت m ϕ می تواند تحت عملیات LOCC به n نسخه از حالت هاي بل تبدیل 1 از آنها حداکثر 2 n شود. بنابراین می توان نتیجه گرفت که درهم تنیدگی قابل تقطیر حداقل برابر ) ψ H(ρ است. نکته 7 در جلسات قبل دیدیم که هر دنباله اي بر دنباله توزیع یکنواخت غلبه می کند. در نگاه اول ممکن است به نظر برسد ρ ϕ m باید بر دنباله 0), 0,, 0, n n, 2 n,, 2 (2 غلبه کند چون این دنباله نزدیک توزیع که دنباله مقادیر ویژه یکنواخت است. اما از آنجایی که دنباله 0), 0,, 0, n n, 2 n,, 2 (2 حاوي تعدادي صفر است از یکنواخت بودن خارج شده و تناقضی وجود ندارد. 4 عملگرهاي محلی و مخابرات کلاسیک هدف این بخش فهمیدن بهتر تغییر حالاتی است که از طریق عملگرهاي محلی و مخابرات کلاسیک LOCC حاصل می شود. ابتدا با یک قضیه شروع می کنیم. این قضیه بیان می دارد که اندازه گیري در سمت بابک معادل یک اندازه گیري در سمت آذر و یک تحول یکانی در سمت بابک است. نتیجه استفاده متوالی از این قضیه این است که تمامی اندازه گیري هایی که در سمت بابک انجام می شود را می توان به سمت آذر منتقل کرد و معادل آنها یک تحول یکانی در سمت بابک قرار داد. قضیه 8 فرض کنید که یک حالت محض AB ψ میان آذر و بابک به اشتراك گذاشته شده باشد. یک اندازه گیري دلخواه } j M} سمت بابک را در نظر بگیرید. حاصل اندازه گیري با احتمال p j = (I M i ) ψ AB 2 برابر j بوده و در صورت مشاهده j حالت مشترك سیستم به حالت محض است. ψ j = 1 pj (I M i ) ψ AB سقوط می کند. در این صورت اندازه گیري N j در سمت آذر و عملگر یکانی W j روي سیستم بابک وجود دارند به طوري که اگر ابتدا آذر با استفاده از N j سیستمش را اندازه گیري کند احتمال مشاهده j همان p j بوده و در صورتی که پس از اندازه گیري آذر بابک عملگر W j را روي سیستمش اعمال کند حالت مشترك سیستم به همان حالت محض j ψ تغییر کند. به عبارت دیگر اندازه گیري در سمت بابک معادل اندازه گیري در سمت آذر به همراه یک تحول زمانی در سمت بابک 4
اثبات: توجه کنید که با نشاندن فضاهاي H A و H B در فضاهاي با بعد بزرگتر بدون کاسته شدن از کلیت مسا له می توانیم فرض کنیم که.dim H A = dim H B به همین ترتیب بدون کاسته شدن از کلیت مسا له می توان فرض کرد که عملگرهاي M j فضاي H B را به خودش می برند. حال فرض کنید که AB ψ داراي تجزیه اشمیت B ψ = l λ l l A l باشد که در آن 1} d { l A : l = 0,..., پایه اي متعامد یکه براي فضاي H A و 1} d { l B : l = 0,..., پایه اي متعامد یکه براي فضاي H B هستند. تعریف کنید Φ AB = l l A l B, و Λ ماتریسی قطري (در پایه ي مشخص شده) بگیرید که درایه ي l -ام روي قطر آن λ l باشد. در اینصورت 7 ψ = Λ I Φ = I Λ Φ. در ادامه از رابطه ي Φ X I Φ = I X T استفاده می کنیم که براي هر ماتریس X برقرار است و اثبات آن به خواننده واگذار می شود. داریم: I M j ψ = (I M j )(Λ I) Φ = (Λ I)(I M j ) Φ = (Λ I)(M T j I) Φ = ΛM T j I Φ. با استفاده از قضیه ي تجزیه ي مقادیر تکین براحتی قابل اثبات است 8 که براي هر عملگر X عملگرهاي یکانی,U V.ΛM T j در وجود دارند به طوري که.X = UX T V بنابراین عملگرهاي یکانی U j, V j وجود دارند که = U j M j ΛV j نتیجه I M j ψ = U j M j ΛV j I Φ = U j M j V T j Λ Φ = U j M j V T j ψ. W. j = V T واضح است که } j N} یک اندازه گیري در سمت آذر تعریف می کند و اثبات حال قرار دهید N j = U j M j و j تمام است. قضیه 9 فرض کنید آذر و بابک با انجام عملگرهاي محلی (کوانتمی) و مخابرات کلاسیک LOCC حالت محضی را که به اشتراك گذاشته اند به حالت محض دیگري تبدیل کنند. در این صورت این تبدیل را می توان با شرط این که آذر فقط یک پیغام کلاسیک به بابک می فرستد انجام داد. به عبارت دیگر عملیات LOCC که حالت محضی را به حالت محضی تبدیل می کنند به صورت زیر نیز قابل شبیه سازي است: آذر یک اندازه گیري انجام داده و حاصل را براي بابک می فرستد بابک با توجه به حاصل اندازه گیري آذر یک تحول یکانی روي سیستمش اعمال می کند. اثبات: مانند اثبات قضیه ي قبل بدون کاسته شدن از کلیت مسا له می توان فرض کرد که بعد فضاي هیلبرت سیستم آذر برابر با بعد فضاي هیلبرت سیستم بابک است. همچنین توجه کنید که ممکن است در میانه ي پروتکل آذر یا بابک از (مثلا) کیوبیت هاي کمکی که در حالت 0 آماده سازي شده اند استفاده کنند ولی به راحتی قابل بررسی که این مانند 7 سو ال اول امتحان دوم بخش جبر خطی را بیاد آورید 8 فرض کنید که X = UΣV تجزیه مقادیر تکین X باشد. در این صورت X T = V T ΣU T خواهد بود و تجزیه مقادیر تکینی براي X T مشخص میکند زیر ترانهانده هر ماتریس یکانی یکانی است. پس.X = UΣV = U(V T ) 1 Σ(U T ) 1 V پس X = U 1 X T V 1 که در آن.U 1 = U(V T ) 1, V 1 = (U T ) 1 V 5
بزرگ کردن فضاي هیلبرت سیستم آذر و اعمال یک ایزومتري است ( 0 v v ). همچنین ممکن است مثلا بابک در میانه ي پروتکل یک کیوبیت را از سیستم خود خارج کند. به وضوح می توان این خارج کردن را به انتهاي پروتکل تا خیر داد. از طرف دیگر چون فرض کرده ایم در انتها آذر و بابک به حالتی محض رسیده اند این خارج کردن کیوبیت حتما به صورت ( w ( w v خواهد بود. با در نظر گرفتن این نکات نتیجه می گیریم که (با بزرگتر در نظر گرفتن فضاهاي سیستم هاي آذر و بابک) می توان فرض کرد که عملگرهاي آذر و بابک در هر مرحله از پروتکل فقط شامل اندازه گیري و فرستادن حاصل اندازه گیري براي دیگري و اعمال عملگرهاي یکانی است. حال با استفاده از قضیه ي قبل هر اندازه گیري بابک معادل یک اندازه گیري آذر و یک عملگر یکانی در سمت بابک است. پس می توان فرض کرد که آذر همه ي اندازه گیري ها را (چه اندازه گیري هاي خود و چه اندازه گیري هاي مربوط به بابک) پشت سر هم انجام داده حاصل همه ي آنها را به یک باره براي بابک بفرستد و سپس بابک عملگرهاي یکانی مربوطه را یکی پس از دیگري اعمال می کند. نکته در این است که طبق قضیه ي قبل بابک نیازي به انجام اندازه گیري ندارد و فقط عملگرهاي یکانی اعمال می کند لذا پیغامی ندارد که براي آذر بفرستد. تمرین 10 ثابت کنید که دو حالت محض ψ AB و ϕ AB توسط عملگرهاي یکانی محلی (و بدون مخابره کلاسیک) قابل تبدیل به یکدیگرند اگر و فقط اگر ضرایب تجزیه اشمیت آنها یکسان باشد. 5 اثبات قضیه 3 حال می توانیم به اثبات قضیه ي 3 بپردازیم. ولی قبل از آن به قضیه ي دیگري نیاز داریم: قضیه 11 فرض کنیم که F و K دو عملگر هرمیتی باشند. در این صورت دنباله مقادیر ویژه K بر دنباله مقادیر ویژه F غلبه میکند (یا با نمادگذاري معادل F) K اگر و فقط اگر یک توزیع احتمال p j و ماتریس هاي یکانی U j وجود داشته باشند به طوري که F = p j U j KU j. j اثبات قضیه بالا چندان پیچیده نیست و به صفحه 575 کتاب ارجاع داده می شود. 9 حال قضیه 3 را اثبات می کنیم: اثبات: فرض کنیم که حالت ψ بتواند به وسیله LOCC به یک حالت محض دیگري مثل ϕ تبدیل شود. طبق قضیه 9 می توان فرض که این تبدیل حالت به صورت زیر است: آذر یک اندازه گیري انجام می دهد حاصل اندازه گیري را براي بابک می فرستد و بابک با توجه با این حاصل اندازه گیري یک عملگر یکانی روي سیستم خود اعمال می کند. عملگرهاي اندازه گیري آذر را } j M} بگیرید و فرض کنید که اگر حاصل اندازه گیري او j بود بابک عملگر یکانی U j را روي سیستم خود اعمال می کند. 9 ذکر این نکته مفید است که این قضیه شبیه قضیه اي است که در مورد غلبه کردن بردارها داشتیم. یک بردار a بر بردار b غلبه میکرد (a b) اگر b در پوش محدب a و بردارهایی که از جایگشت دادن درایه هاي a بدست می آید قرار میگرفت. اینجا بجاي جایگشت دادن دوران دادن با یک ماتریس یکانی را داریم. 6
ρ A ψ نمایش دهید. در این صورت پس از اندازه گیري او سیستم A با ماتریس چگالی کاهیده روي سیستم آذر را با 1 p j سقوط می کند. حال توجه کنید که عملگر یکانی اي که بابک اعمال می کند سیستم احتمال p j به حالت M j ρ ψ M j آذر را تغییر حالت نمی دهد. از طرف دیگر می دانیم که در انتها حالت مشترك آذر و بابک ϕ است. پس باید داشته باشیم: ρ ϕ = 1 p j M j ρ ψ M j M j ρ ψ M j = p i ρ ϕ. X j X j = p iρ ϕ. X j = M j در این صورت: تعریف کنید ρψ هدف ما حل این معادله و یافتن X j بر حسب p i ρ ϕ است. براي این کار از تجزیه ي قطبی X j استفاده می کنیم. عملگر مثبت نیمه معین T j و عملگر یکانی V j وجود دارند به طوري که X. j = T j V j در نتیجه با استفاده از رابطه فوق داریم T 2 j = p j ρ ϕ = ( p j ρ ϕ ) 2. از آنجا که T j و p j ρ ϕ هر دو مثبت نیمه معین هستند و توان دوم آنها برابر است داریم T. j = p j ρ ϕ نتیجه این که M j ρψ = X j = p j ρ ϕ V j. متاسفانه از این معادله نمی توان مستقیما ρ ψ را یافت چون ممکن است M j وارون پذیر نباشد. اما می دانیم که شرط تمامیت M j با الحاقی آن نتیجه ρψ که این جمله را بسازیم. با ضرب کردن برقرار است. پس تلاش می کنیم j M j M j = I ρψ M j M j ρψ = p j V j ρ ϕv j. می گیریم: با جمع زدن روي j و با در نظر گرفتن شرط تمامیت j M j M j = I داریم ρ ψ = j p j V j ρ ϕv j. پس با توجه به قضیه 11 نتیجه می گیریم که λ. ψ λ ϕ اما اثبات عکس قضیه مشابه است. ابتدا با تحدید فضاي هیلبرت سیستم آذر بدون کاسته شدن از کلیت می توان فرض کرد ρ ψ وارون پذیر است. فرض کنید λ ψ λ ϕ و یا معادلا ρ. ψ ρ ϕ پس با استفاده از قضیه 11 می دانیم که احتمال هاي p j و عملگرهاي یکانی U j وجود دارد به طوري که ρ ψ = j p j U j ρ ϕ U j. با توجه به وارون پذیر بودن ρ ψ عملگر M j وجود دارد که M j ρψ = p j ρ ϕ U j. (1) 7
j M j M j = ρ 1/2 ψ ( j حال شرط تمامیت را بررسی می کنیم: p j U j ρ ϕ U j )ρ 1/2 ψ = ρ 1/2 ψ ρ ψ ρ 1/2 ψ = I. بنابراین } j M} تشکیل یک اندازه گیري می دهد. فرض کنیم که آذر این اندازه گیري را روي سیستم خود انجام داده و حاصل این اندازه گیري j شود. در این صورت حالت مشترك آذر و بابک به I ψ M j و حالت سیستم آذر به سقوط می کنند و این با احتمال M j ρ ψ M j = p jρ ϕ M j I ψ 2 = tr(m j ρ ψ M j ) = p j, pj 1 سقوط می کند و این حالت یک اتفاق می افتد. در واقع پس از اندازه گیري آذر کل سیستم به حالت I ψ M j محض سازي از حالت سیستم آذر (پس از اندازه گیري) یعنی ρ ϕ است. از طرف دیگر ϕ خود نیز یک محض سازي از ρ ϕ است. نتیجه این که عملگر یکانی V j وجود دارد که ϕ = 1 pj M j V j ψ, و بابک پس از اطلاع از حاصل اندازه گیري آذر با اعمال V j می تواند کل سیستم را به حالت ϕ ببرد. 8