6 ο Κεφάλαιο: Πολυφασικά Εναλλασσόμενα Συστήματα

ΤΕΙ Αθηνών Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ 6 ο Κεφάλαιο: Πολυφασικά Εναλλασσόμενα Συστήματα 6.. Από τα Μονοφασικά Συστήματα Εναλλασσόμενης Τάσης στα Πολυφασικά Ένα απλό ηλεκτρικό δίκτυο που τροφοδοτείται από μία πηγή εναλλασσόμενης τάσης, όπως του σχήματος 6., αποτελεί ένα μονοφασικό δίκτυο. Οι περισσότερες ηλεκτρικές καταναλώσεις στις κατοικίες είναι μονοφασικές, όπως λαμπτήρες φωτισμού, στερεοφωνικά, υπολογιστές κτλ. γρ L L Σχήμα 6.: Μονοφασικό κύκλωμα με μία πηγή εναλλασσόμενης τάσης, ένα καλώδιο ισοδύναμης σύνθετης αντίστασης γρ και δύο φορτία σύνθετης αντίστασης L, L Ωστόσο υπάρχει η δυνατότητα να συνδυαστούν περισσότερες της μίας πηγές εναλλασσόμενης τάσης ίδιας συχνότητας με διαφορά φάσης, ώστε να σχηματιστεί ένα πολυφασικό δίκτυο, όπως του σχήματος 6.. γρ a L b c γρ L L γρ Σχήμα 6.: Πολυφασικό κύκλωμα τριών πηγών εναλλασσόμενης τάσης, καλωδίων ισοδύναμης σύνθετης αντίστασης γρ και τριών φορτίων σύνθετης αντίστασης L, L, L Τα πολυφασικά δίκτυα έχουν πολλές εφαρμογές στην παραγωγή, μεταφορά, διανομή και χρήση της ηλεκτρικής ενέργειας. Χαρακτηριστικά παραδείγματα είναι τα ακόλουθα: Το σύστημα ηλεκτρικής ενέργειας μίας χώρας: Ουσιαστικά είναι το σύνολο των εγκαταστάσεων και των μέσων που χρησιμοποιούνται για την παροχή ηλεκτρικής ενέργειας σε διάφορες εξυπηρετούμενες περιοχές κατανάλωσης. Βασικές προϋποθέσεις ασφαλούς λειτουργίας ενός συστήματος ηλεκτρικής ενέργειας είναι να παρέχει ηλεκτρική ενέργεια οπουδήποτε υπάρχει ζήτηση με το ελάχιστο δυνατό κόστος και τις ελάχιστες οικολογικές επιπτώσεις, εξασφαλίζοντας σταθερή συχνότητα, σταθερή τάση και υψηλή αξιοπιστία τροφοδότησης. Στο σχήμα. παρουσιάζεται η σχηματική διάταξη ενός δικτύου. Η τροφοδότηση των καταναλωτών με ηλεκτρική ενέργεια προϋποθέτει τρεις ξεχωριστές λειτουργίες του συστήματο ς ηλεκτρικής ενέργειας: την παραγωγή, τη μεταφορά και τη διανομή. Η παραγωγή της ηλεκτρικής ενέργειας γίνεται στους σταθμούς παραγωγής. Η σύγχρονη βιομηχανία ηλεκτρικής ενέργειας έχει θεμελιωθεί πάνω σε μια σειρά εφευρέσεων και τεχνικών εξελίξεων στη μετατροπή της θερμικής ενέργειας των ορυκτών καυσίμων (άνθρακα, πετρελαίου, φυσικού αερίου) και της μηχανικής ενέργειας των υδάτινων ροών και υδατοπτώσεων σε ηλεκτρική ενέργεια. Όλες αυτές οι εγκαταστάσεις τοποθετούνται μακριά από τα αστικά κέντρα, που παρουσιάζεται κυρίως η κατανάλωση. Η μεταφορά της ηλεκτρικής ενέργειας σε μεγάλες ποσότητες από τα εργοστάσια παραγωγής προς τις περιοχές κατανάλωσης γίνεται με τις γραμμές υψηλής και υπερυψηλής 6-

Μάθημα: Θεωρία Κυκλωμάτων Συστημάτων (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ.Ι. Τσεκούρας τάσεως, οι οποίες μεταφέρουν την ηλεκτρική ενέργεια σε κεντρικά σημεία του δικτύου, τους υποσταθμούς, από όπου ξεκινούν τα δίκτυα διανομής μέσης τάσεως που διανέμουν την ηλεκτρική ενέργεια στους κατανα - λωτές δια μέσου των υποσταθμών διανομής και των γραμμών χαμηλής τάσεως. G Σύγχρονες γεννήτριες 5 - k μέχρι MA Ζυγός παραγωγής G Μετασχηματιστές ανύψωσης 5- k 5 k 4 k Ζυγός μεταφοράς Καταναλωτήςές υψηλής τάσης Γραμμήές υψηλής τάσης (απλού ή διπλού κυκλώματος) Μετασχηματιστές υποβιβασμού 5 k 4 k --5-6,6 k Ζυγός διανομής μέσης τάσης Γραμμές μέσης τάσης Καταναλωτήςές μέσης τάσης Γραμμές χαμηλής τάσης Ζυγός διανομής χαμηλής τάσης Μετασχηματιστές διανομής --5-6,6 k 4 ( ) Καταναλωτές χαμηλής τάσης (τριφασικοί & μονοφασικοί) Σχήμα 6.: Απλοποιημένο μονογραμμικό διάγραμμα συστήματος ηλεκτρικής ενέργειας μίας χώρας όλο το δίκτυο είναι τριφασικό πλην ορισμένων καταναλωτών χαμηλής τάσης που μπορεί να είναι και μονοφασικοί (όλες οι τάσεις που αναφέρονται είναι πολικές, εκτός των που είναι μονοφασική) Το δίκτυο ηλεκτρικής ενέργειας ενός πλήρως εξηλεκτρισμένου πλοίου, όπως παρουσιάζεται στο σχήμα 6.4. Το συγκεκριμένο διαθέτει τρεις γεννήτριες μέσω αεριοστροβίλων, μία βοηθητική γεννήτρια υπό τη δομή ηλεκτροπαραγωγού ζεύγους και τροφοδοτούν μέσω κοινού δικτύου τα φορτία πρόωσης και τα γενικά φορτία του σκάφους. Το δίκτυο είναι τριφασικό, εκτός των κύριων κινητήρων πρόωσης που συνδέονται μέσω κατάλληλων ηλεκτρονικών ισχύος σε ένα δεκαπενταφασικό δίκτυο. Επίσης υπάρχει και η δυνατότητα τροφοδότησης και από εξωτερική παροχή μέσω κατάλληλης διάταξης ηλεκτρονικών ισχύος, όπως ενός μετατροπέα εναλλασσόμενης τάσης σε εναλλασσόμενη τάση διαφορετικού πλάτους και συχνότητας. Το δίκτυο ηλεκτρικής ενέργειας ενός αεροσκάφους, όπως παρουσιάζεται στο σχήμα 6.5. Αντίθετα με το προηγούμενο παράδειγμα εδώ υπάρχουν διαχωρισμένοι ζυγοί τροφοδότησης και βασίζεται στο ότι το αεροσκάφος χρησιμοποιεί ως πηγές ηλεκτρικής ενέργειας δύο μη-παραλληλισμένες γεννήτριες εναλλασσόμενου ρεύματος σταθερής συχνότητας, ενώ το συνεχές ρεύμα λαμβάνεται με χρήση μετασχηματιστών- μετατροπέων εναλλασσόμενου σε συνεχές ρεύμα, που αναγράφονται με τη συντομογραφία T.R.U. (από τη φράση trasfrmer-rectifier uit ). Επίσης για λόγους ασφάλειας και τροφοδότησης φορτίων ζωτικής σημασίας το συνεχές σύστημά του διαθέτει και συσσωρευτή. Επίσης υπάρχει και η δυνατότητα τροφοδότησης και από εξωτερική παροχή μέσω του ηλεκτρονόμου εξωτερικής παροχής. 6-

ΤΕΙ Αθηνών Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Αεριοστρόβιλοι Ηλεκτροπαραγωγό Ζέυγος Μηχανή Εσωτερική Καύσης Κύριες τριφασικές σύγχρονες γεννήτριες G G G GΑ Ζυγός παραγωγής Γραμμές μέσης τάσης Στοιχεία ηλεκτρονικών ισχύος Στοιχεία ηλεκτρονικών ισχύος Μετασχηματιστές υποβιβασμού Ζυγός διανομής μέσης τάσης Ζυγός διανομής χαμηλής τάσης Στοιχεία ηλεκτρονικών ισχύος Μ Ζυγός 5 φάσεων 5 φασικοί επαγωγικοί κινητήρες Έλικες Μ Γενικά φορτία - Καταναλωτές χαμηλής τάσης Παροχή ξηράς Σχήμα 6.4: Απλοποιημένο μονογραμμικό διάγραμμα συστήματος ηλεκτρικής ενέργειας πλήρως εξηλεκτρισμένου πλοίου Νο. Γεννήτριες Νο. Ηλεκτρονόμος εξωτερικής παροχής Ζυγός a.c. Νο. Ζυγός a.c. Νο. Εξωτερική παροχή Δευτερεύοντες καταναλωτές a.c. Διακόπτης διασύνδεσης ζυγών Δευτερεύοντες καταναλωτές a.c. Καταναλωτές d.c. ζωτικής σημασίας Κύριος Ζυγός a.c. Πρωτεύοντες καταναλωτές a.c. Ζυγός συσσωρευτών Ηλεκτρονόμος συσσωρευτών a.c. T.R.U. T.R.U. N. N. Στατικός Μετατροπέας Κύριος Ζυγός d.c. Δευτερεύων Ζυγός d.c. Πρωτεύοντες καταναλωτές d.c. Ηλεκτρονόμος απομόνωσης Δευτερεύοντες καταναλωτές d.c. Σχήμα 6.5: Απλοποιημένη μορφή δικτύου τροφοδότησης διαχωρισμένων ζυγών με κύρια πηγή τροφοδοσίας δύο μη παραλληλισμένες γεννήτριες εναλλασσόμενου ρεύματος (a.c.) σταθερής συχνότητας [E. H. J. Pallett: Aircraft Electrical Systems, rd editi, Pears Pretice Hall, 987, σχήμα 5.] 6-

Μάθημα: Θεωρία Κυκλωμάτων Συστημάτων (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ.Ι. Τσεκούρας 6.. Λόγοι Ανάπτυξης των Πολυφασικών Συστημάτων Τα πολυφασικά δίκτυα έχουν μία σειρά από σημαντικά πλεονεκτήματα έναντι των μονοφασικών, εκ των οποίων τα κυριότερα είναι τα ακόλουθα: Η στιγμιαία μονοφασική ισχύς είναι μία περιοδική ημιτονοειδής συνάρτηση διπλάσιας συχνότητας της συχνότητας της τάσης μη μηδενικής μέσης τιμής. Συγκεκριμένα έχει αποδειχθεί ότι στην περίπτωση που το ρεύμα είναι συμφασικό με την τάση, δηλαδή στην περίπτωση φορτίου ωμικού χαρακτήρα, η στιγμιαία ισχύς μηδενίζεται δύο φορές σε κάθε περίοδο και κυμαίνεται μεταξύ του μηδενός και της διπλάσιας τιμής της μέσης - ενεργού ισχύος. Στην περίπτωση που τα μεγέθη της τάσης και του ρεύματος δεν είναι συμφασικά, η στιγμιαία ισχύς μηδενίζεται τέσσερις φορές σε κάθε περίοδο και λαμβάνει θετικές και αρνητικές τιμές σε δύο ξεχωριστά χρονικά διαστήματα κάθε περιόδου (μεταβαλλόμενο μεταξύ μίας μέγιστης τιμής ίσης με το άθροισμα της ενεργού ισχύος και της φαινόμενης ισχύος και μίας ελάχιστης τιμής που προκύπτει από την αφαίρεση της φαινόμενης ισχύος από την ενεργό ισχύ). Αντίθετα, η τριφασική στιγμιαία ισχύς υπό συγκεκριμένες συνθήκες (συμμετρική φόρτιση, όπως αυτή οριστεί σε επόμενη παράγραφο) θα αποδειχθεί ότι είναι σταθερή και ίση με την ενεργό ισχύ. Εξαιτίας τούτου η στιγμιαία κινητήρια ροπή ενός μονοφασικού κινητήρα είναι επίσης περιοδική ημιτονοειδής συνάρτηση μη μηδενικής μέσης τιμής, με συνέπεια τα μηχανολογικά του εξαρτήματα (άξονας, ρουλεμάν, εδράσεις κτλ) να φορτίζονται δυσμενέστερα και πρέπει να κατασκευάζονται ισχυρότερα έναντι των αντίστοιχων εξαρτημάτων ενός τριφασικού κινητήρα, του οποίου η στιγμιαία ροπή είναι σταθερή. Οι πολυφασικές μηχανές έχουν μεγαλύτερη ονομαστική ισχύ από την αντίστοιχη ισχύ μονοφασικών του ίδιου φυσικού μεγέθους, δηλαδή της ίδιας ποσότητας υλικού. Συγκεκριμένα οι τριφασικές μηχανές έχουν ονομαστική ισχύ μεγαλύτερη κατά 5% έναντι των μονοφασικών του ίδιου μεγέθους. Συνεπώς το κόστος των πολυφασικών μηχανών ανά μονάδα ισχύος είναι μικρότερο από το αντίστοιχο κόστος των μονοφασικών. Οι πολυφασικές μηχανές παρουσιάζουν μεγαλύτερο βαθμό απόδοσης, συντελεστή ισχύος, γενικά καλύτερα χαρακτηριστικά λειτουργίας (μικρότερο θόρυβο, μικρότερα μεταβατικά φαινόμενα κα.) από τις μονοφασικές. Η εύκολη παραγωγή περιστρεφόμενου μαγνητικού πεδίου από ακίνητα πηνία, το οποίο είναι αρκετά χρήσιμο για τη λειτουργία των ηλεκτρικών μηχανών. Τα πολυφασικά δίκτυα πλεονεκτούν έναντι των μονοφασικών από πλευράς οικονομίας αγώγιμου υλικού κατά τη μεταφορά διανομή ηλεκτρικής ενέργειας. Π.χ. για τη μεταφορά ηλεκτρικής ενέργειας μέσω ενός τριφασικού δικτύου υπό συγκεκριμένες συνθήκες (συμμετρική φόρτιση) χρειάζεται λιγότερο αγώγιμο υλικό κατά 5% από το υλικό που χρειάζεται για τη μεταφορά ηλεκτρικής ενέργειας μέσω ενός μονοφασικού δικτύου για την ίδια μεταφερόμενη ισχύ στην ίδια απόσταση, την ίδια τάση μεταξύ των αγωγών και την ίδια απώλεια ισχύος. Η μεταφορά με τη βοήθεια τριφασικών δικτύων είναι η οικονομικότερη από κάθε άλλη μορφή, καθώς παρουσιάζει το μικρότερο ή ίσο όγκο αγώγιμου υλικού έναντι άλλων συστημάτων (μικρότερο έναντι μονοφασικού, διφασικού, τετραφασικού κτλ. και ίσο με το εξαφασικό κτλ.) και είναι απλούστερο έναντι άλλων συστημάτων (όπως το εξαφασικό). Οι ανορθωτικές διατάξεις που τροφοδοτούνται από πολυφασικό δίκτυο δίνουν ασθενέστερη διακύμανση τάσης συνεχούς ρεύματος έναντι εκείνων που τροφοδοτούνται με μονοφασική τάση. Μία μονονοφασική συσκευή μπορεί να τροφοδοτηθεί από ένα πολυφασικό δίκτυο, αρκεί να συνδεθεί με δύο οποιουσδήποτε από τους αγωγούς του πολυφασικού συστήματος υπό την προϋπόθεση ότι το μέγεθος των τάσεων είναι κατάλληλο. Για να μην αλλοιωθεί η συμμετρία του πολυφασικού συστήματος (όπως αυτή θα οριστεί σε επόμενη παράγραφο), οι μονοφασικές συσκευές διανέμονται ομοιόμορφα στις φάσεις του πολυφασικού συστήματος. Αντίθετα μία πολυφασική συσκευή δεν μπορεί συνήθως να τροφοδοτηθεί από ένα μονοφασικό δίκτυο απευθείας, αλλά χρειάζεται πρόσθετα στοιχεία (π.χ. με κατάλληλη χρήση πυκνωτών μπορεί να εκκινηθεί και να λειτουργήσει τριφασικός κινητήρας από μονοφασικό δίκτυο, χωρίς όμως να επιτυγχάνεται η βέλτιστη λειτουργία του). Ειδικά στην περίπτωση των τριφασικών συστημάτων επιτυγχάνεται βελτιστοποίηση της συμπεριφοράς των συσκευών από πλευράς ισχύος ροπής, οικονομίας υλικού από πλευράς μεταφοράς διανομής και απλότητας από πλευράς δομής (έναντι συστημάτων περισσότερων φάσεων). Επισημαίνεται ότι οι παραπάνω ιδιότητες θα αποδειχθούν στη συνέχεια, εκτός εκείνων των ιδιοτήτων που εμπλέκουν τις ηλεκτρικές μηχανές ή ηλεκτρονικά ισχύος, καθώς αποτελεί αντικείμενο αντίστοιχα των ηλεκτρικών μηχανών και των ηλεκτρονικών ισχύος. 6-4

ΤΕΙ Αθηνών Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ 6.. Πολυφασικό Σήμα Ως -πολυφασικό σήμα συγκεκριμένης κυκλικής συχνότητας ω αποκαλείται ένα σύνολο σημάτων συνημιτονοειδούς μορφής: a ( t) A cs( t ) a ( t) A cs( t ) a ( t) A cs( t ) -φασικό σήμα με... και A A A... A (6.) a ( t) A cs( t ) Στην ειδική περίπτωση που ισχύει ότι A A A... A και 4... m, τότε το σήμα ονομάζεται συμμετρικό -φασικό σήμα m τάξης ευθείας διαδοχής. Δηλαδή ισχύει ότι: a ( t) Acs( t) a ( t) Acs( t m ) a ( t) Acs( t m ) -φασικό συμμετρικό σήμα m τάξης ευθείας διαδοχής (6.) ( ) cs( a t A t m ) Στην ειδική περίπτωση που ισχύει ότι A A A... A και... m, τότε το σήμα ονομάζεται συμμετρικό -φασικό σήμα m τάξης αντίστροφης διαδοχής. Δηλαδή ισχύει ότι: a ( t) Acs( t) a ( t) Acs( t m ) a ( t) Acs( t m ) -φασικό συμμετρικό σήμα m τάξης αντίστροφης διαδοχής (6.) ( ) cs( a t A t m ) Τα σήματα ως συνημιτονοειδή εναλλασσόμενα μεγέθη μπορούν να παρασταθούν με τη βοήθεια φασιθετών (με ενεργές τιμές), δηλαδή στη γενική περίπτωση -φασικού σήματος ισχύει ότι: A A A A A A -φασικό σήμα υπό μορφή φασιθετών με... 6-5 και A A A... A (6.4) A A Στην ειδική περίπτωση του συμμετρικού -φασικού σήματος m τάξης ευθείας διαδοχής γράφεται υπό τη μορφή φασιθετών ως εξής: A A A A A A A A m m m A -φασικό συμμετρικό σήμα m τάξης ευθείας διαδοχής υπό μορφή φασιθετών με A (6.5)

Μάθημα: Θεωρία Κυκλωμάτων Συστημάτων (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ.Ι. Τσεκούρας Στην ειδική περίπτωση του συμμετρικού -φασικού σήματος m τάξης αντίστροφης διαδοχής γράφεται υπό τη μορφή φασιθετών ως εξής: A A A A A A m m m -φασικό συμμετρικό σήμα m τάξης αντίστροφης διαδοχής υπό μορφή φασιθετών με A A Ακολούθως σημειώνονται ορισμένες ιδιότητες των -πολυφασικών σημάτων: Ένα ευθύ -φασικό σήμα m τάξης είναι ισοδύναμο με το αντίστροφο -m τάξης, καθώς: A A (6.6) a jύm( t) Acs( t j m ) Acs( t j m j ) Acs( t m j ) a ( t) jί m Ένα ευθύ -φασικό σήμα mk τάξης είναι ισοδύναμο με το -φασικό m τάξης με k φυσικός, καθώς: ( ) cs( ) cs( ) cs( a t A t j m k A t j m k A t j m ) a j ύ m( t) jύ mk Π.χ. -φασικό σύστημα () τάξης ταυτίζεται με -φασικό σύστημα ης τάξης, -φασικό σύστημα () τάξης ταυτίζεται με -φασικό σύστημα ης τάξης, κτλ. Αν ο αριθμός είναι πρώτος, υπάρχουν - δυνατά ευθέα συμμετρικά πολυφασικά σήματα τάξεων,,..., (-) που είναι ταυτόσημα με τα αντίστροφα τάξεων (-),...,,. Αν ο αριθμός δεν είναι πρώτος, υπάρχουν τόσα δυνατά ευθέα συμμετρικά πολυφασικά σήματα, όσα είναι οι πρώτοι αριθμοί μεταξύ (, ). Καθένας από τους πρώτους αριθμούς δίνει την τάξη του ευθέως συμμετρικού - φασικού συστήματος. Το άθροισμα των συναρτήσεων που αποτελούν τις φάσεις ενός συμμετρικού -φασικού σήματος είναι ίσο με το μηδέν, το οποίο αποδεικνύεται σχετικά εύκολα με τη χρήση φασιθετών. Συγκεκριμένα το άθροισμα όλων των τάσεων ενός συμμετρικού -φασικού σήματος m τάξης ευθείας διαδοχής είναι ίσο με μηδέν με χρήση της γεωμετρικής προόδου με πολλαπλασιαστικό όρο e jm και πλήθος όρων: jm e ί ό j i m ( ) cs( ) A A ai ύ m t A t i m A ί ό i ύ m e i i i i jm e jm jm A e A e A cs m j si m A j Ai ύm i jm jm jm jm e e e e i ί ό A i ύ m ai ί ό i ύm ( t) Τέλος σημειώνεται ότι με τον όρο φάση σε πολυφασικά συστήματα εννοείται τόσο η σχετική χρονική μετατόπιση μεταξύ των σημάτων (τάσεων ή ρευμάτων), όσο εκείνο το τμήμα του πολυφασικού συστήματος που φέρει μία από τις τάσεις ή τα ρεύματα του συστήματος. Εφαρμογή 6.. Να προσδιοριστεί στο πεδίο του χρόνου και στο πεδίο της συχνότητας το διφασικό σήμα πλάτους lt για την πρώτη συνιστώσα και lt για τη δεύτερη συνιστώσα, ενώ η πρώτη συνιστώσα προηγείται της δεύτερης κατά 9 ο. Να δοθούν οι αντίστοιχες παραστάσεις στα πεδία του χρόνου και της συχνότητας. Λύση: Με βάση το γενικό ορισμό του πολυφασικού σήματος (σχέση 6.) για το πεδίο του χρόνου και θεωρώντας ως άνυσμα αναφοράς την πρώτη συνιστώσα προκύπτει ότι: a ( t ) cs( t ) lt & a ( t) cs( t ) lt Αντίστοιχα στο πεδίο συχνοτήτων ισχύει ότι: 6-6

ΤΕΙ Αθηνών Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ lt & 9 A 7, 7 A 84,85 lt Στο σχήμα 6.6 παρουσιάζεται η αντίστοιχη γραφική παράσταση, ενώ στο σχήμα 6.7 το αντίστοιχο διανυσματικό διάγραμμα των φασιθετών, όπου επισημαίνεται ότι υπάρχει κλίμακα για τους φασιθέτες ( mm ανά lt). 9 (lt) 5 75 5 5-5 -5-75 - -5 Τ8 Τ4 Τ8 Τ 5Τ8 Τ4 7Τ8 Τ t Σχήμα 6.6: Παράσταση ασύμμετρου διφασικού σήματος εφαρμογής 6.. στο πεδίο του χρόνου Â Άξονας αναφοράς 9 ο Â Κλίμακα: mm = lt Σχήμα 6.7: Παράσταση φασιθετών ασύμμετρου διφασικού σήματος εφαρμογής 6.. (πεδίο της συχνότητας) Εφαρμογή 6.. Να προσδιοριστεί στο πεδίο του χρόνου και στο πεδίο της συχνότητας το συμμετρικό διφασικό σήμα ευθείας διαδοχής πλάτους lt. Να δοθούν οι αντίστοιχες παραστάσεις στα πεδία του χρόνου και της συχνότητας. Λύση: Με βάση τον ορισμό του συμμετρικού πολυφασικού σήματος (σχέση 6.) για το πεδίο του χρόνου και θεωρώντας ως άνυσμα αναφοράς την πρώτη συνιστώσα προκύπτει ότι: Αντίστοιχα στο πεδίο συχνοτήτων ισχύει ότι: a ( t ) cs( t ) lt & a ( t ) cs( t ) lt A 7, 7 lt & 8 A 7, 7 Στο σχήμα 6.8 παρουσιάζεται η αντίστοιχη γραφική παράσταση, ενώ στο σχήμα 6.9 το αντίστοιχο διανυσματικό διάγραμμα των φασιθετών, όπου επισημαίνεται ότι υπάρχει κλίμακα για τους φασιθέτες ( mm ανά lt). 8 lt 6-7

Μάθημα: Θεωρία Κυκλωμάτων Συστημάτων (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ.Ι. Τσεκούρας (lt) 5 75 5 5-5 -5-75 - -5 Τ8 Τ4 Τ8 Τ 5Τ8 Τ4 7Τ8 Τ t Σχήμα 6.8: Παράσταση συμμετρικού διφασικού σήματος εφαρμογής 6.. στο πεδίο του χρόνου Â Άξονας αναφοράς Â 8 ο Κλίμακα: mm = lt Σχήμα 6.9: Παράσταση φασιθετών συμμετρικού διφασικού σήματος εφαρμογής 6.. (πεδίο της συχνότητας) Εφαρμογή 6.. Να προσδιοριστούν στο πεδίο του χρόνου και στο πεδίο της συχνότητας τα συμμετρικά πενταφασικά σήματα ευθείας και αντίστροφης διαδοχής πρώτης τάξης πλάτους 5 lt. Να δοθούν οι αντίστοιχες παραστάσεις στο πεδίο της συχνότητας. Λύση: Με βάση τους ορισμούς του συμμετρικού πολυφασικού σήματος ευθείας διαδοχής (σχέση 6. ) και του συμμετρικού πολυφασικού σήματος αντίστροφης διαδοχής (σχέση 6.) για το πεδίο του χρόνου, θεωρώντας ως άνυσμα αναφοράς την πρώτη συνιστώσα και λαμβάνοντας υπόψη ότι 6 ο 5 = 7 ο = π5 προκύπτει ότι: a ( t) 5cs( t) lt a ( t) 5cs( t 5) lt a ( t) 5cs( t 4 5) lt a4 ( t) 5cs( t 6 5) lt a5 ( t) 5cs( t 8 5) lt Αντίστοιχα στο πεδίο συχνοτήτων ισχύει ότι: 5 A 6, 66 lt 7 5 7 A 6, 66 lt 7 5 44 A 6, 66 lt 7 5 6 A4 6, 66 lt 47 5 88 A5 6, 66 lt 5-φασικό σήμα ευθείας διαδοχής πρώτης τάξης 5-φασικό σήμα ευθείας διαδοχής πρώτης τάξης 6-8 a ( t) 5cs( t) lt a ( t) 5cs( t 5) lt a ( t) 5cs( t 4 5) lt a4 ( t) 5cs( t 6 5) lt a5 ( t) 5cs( t 8 5) lt 5 A 6, 66 lt 7 5 7 A 6, 66 lt 7 5 44 A 6, 66 lt 7 5 6 A4 6, 66 lt 47 5 88 A5 6, 66 lt 5-φασικό σήμα αντίστροφης διαδοχής πρώτης τάξης 5-φασικό σήμα αντίστροφης διαδοχής πρώτης τάξης Στο σχήμα 6. παρουσιάζονται τα αντίστοιχα διανυσματικά διαγράμματα των φασιθετών για το πενταφασικό σήμα ευθείας και αντίστροφης διαδοχής, όπου επισημαίνεται ότι υπάρχει κλίμακα για τους φασιθέτες ( mm ανά 4 lt).

ΤΕΙ Αθηνών Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Â 4-6 ο Â -88 ο -44 ο Ευθύ Â 5 Â Â -7 ο Άξονας αναφοράς Κλίμακα: mm = 4 lt Σχήμα 6.: Παράσταση φασιθετών για το πενταφασικό σήμα ευθείας και αντίστροφης διαδοχής εφαρμογής 6.. Â 6 ο Â 4 44 ο 88 ο Â Â 5 Αντίστροφο 7 ο Â Άξονας αναφοράς 6.4. Πολυφασικό Σύστημα 6.4.. Ορισμός Πολυφασικού Συστήματος Το πολυφασικό σύστημα αποτελείται από: Τις πηγές που ονομάζονται πολυφασικές γεννήτριες των οποίων οι τάσεις έχουν την ίδια συχνότητα, ενώ βρίσκονται σε φασική απόκλιση μεταξύ τους. Τις γραμμές μεταφοράς που ονομάζονται πολυφασικές γραμμές με ενδιάμεσους πολυφασικούς μετασχηματιστές ή άλλα εγκάρσια στοιχεία. Τα πολυφασικά φορτία που είναι πολυφασικοί κινητήρες ή γενικότερα πάσης φύσεως πολυφασικοί καταναλωτές. Οι πηγές αποτελούνται από τυλίγματα ίσου πλήθους με τις φάσεις του πολυφασικού συστήματος. Αντίστοιχες φάσεις υπάρχουν στα φορτία και στις γραμμές μεταφοράς. 6.4.. Διάκριση Πολυφασικών Συστημάτων με βάση τον Τρόπο Σύνδεσης των Γραμμών Μεταφοράς & τον Τρόπο Ζεύξης των Πηγών και των Καταναλωτών Τα πολυφασικά συστήματα μπορούν να διακριθούν σε δύο βασικές κατηγορίες ανάλογα με το αν οι γραμμές μεταφοράς ανά φάση είναι ανεξάρτητες η μία από την άλλη: στα ανεξάρτητα συστήματα, όπου είναι ανεξάρτητες η μία από την άλλη, όπως παρουσιάζεται και στο σχήμα 6.. Δηλαδή για ένα φασικό σύστημα χρειάζονται αγωγοί και τροφοδοτούνται φορτία. Οι αγωγοί που ξεκινούν από τους κόμβους των πηγών (,,, 4, 5, 6) και καταλήγουν στους κόμβους των φορτίων (,,, 4, 5, 6 ) λέγονται αγωγοί φάσης, ενώ οι αγωγοί που ξεκινούν από τους κόμβους των πηγών (,,, 4, 5, 6 ) και καταλήγουν στους κόμβους των φορτίων (,,, 4, 5, 6 ) λέγονται αγωγοί επιστροφής. Ουσιαστικά είναι σαν να υπάρχουν ανεξάρτητα μονοφασικά κυκλώματα που επιλύονται ξεχωριστά το καθένα. στα αλληλένδετα συστήματα, όπου οι γραμμές μεταφοράς είναι εξαρτημένες, καθώς είτε υπάρχει ένας κοινός αγωγός επιστροφής, όπως φαίνεται στο κύκλωμα του σχήματος 6., είτε δεν υπάρχει καν κοινός αγωγός επιστροφής, όπως στα κυκλώματα των σχημάτων 6., 6.4, 6.5 και 6.6, όπου παρουσιάζονται όλοι οι δυνατοί συνδυασμοί πηγών και φορτίων σε συνδέσεις κατά αστέρα και πολύγωνο. Ειδικότερα στα αλληλένδετα συστήματα τα τυλίγματα των φάσεων στις πηγές γεννήτριες και στους καταναλωτές φορτία ζευγνύονται μεταξύ τους με δύο τρόπους: Κατά αστέρα, όπου ο ένας πόλος των τυλιγμάτων φάσεων (συνήθως ο αρνητικός) συνδέεται σε κοινό κόμβο, από όπου μπορεί να αναχωρεί ο επονομαζόμενος ουδέτερος αγωγός. Από την εφαρμογή του νόμου των εντάσεων του Kirchhff στο εξαφασικό σύστημα του σχήματος 6. σε οποιονδήποτε από τους κόμβους Ν και Ν προκύπτει η ακόλουθη εξίσωση: I I I I4 I5 I6 I (6.7) Γενικότερα ισχύει ότι: 6-9

Μάθημα: Θεωρία Κυκλωμάτων Συστημάτων (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ.Ι. Τσεκούρας I I I... I I I (6.8) Στην ειδική περίπτωση που δεν υπάρχει ουδέτερος αγωγός, όπως συμβαίνει στο κύκλωμα του σχήματος 6., το ρεύμα του ουδέτερου αγωγού είναι μηδέν. Σημειώνεται ότι στα κυκλώματα των σχημάτων 6., 6. και 6.4 οι πηγές είναι σε συνδεσμολογία αστέρα, στα κυκλώματα των σχημάτων 6., 6. και 6.6 τα φορτία είναι σε συνδεσμολογία αστέρα, ενώ μόνο στο σχήμα 6. υπάρχει ουδέτερος αγωγός. Κατά πολύγωνο, όπου ο αρνητικός πόλος του ενός τυλίγματοςτης μίας φάσης συνδέεται με το θετικό πόλο του ενός επόμενου τυλίγματοςτης επόμενης φάσης. Με αυτόν τον τρόπο ζεύξης δεν υπάρχει δυνατότητα χρήσης ουδετέρου αγωγού. Από το νόμο των τάσεων του Kirchhff στο εξαφασικό σύστημα του σχήματος 6.4 για τα φορτία προκύπτει η ακόλουθη σχέση: 4 45 56 6 (6.9) Γενικότερα ισχύει ότι:... (6.) 4 ( ) Δηλαδή το άθροισμα των τάσεων κατά μήκος του πολυγώνου είναι ίσο με το μηδέν. Επίσης η ίδια σχέση ισχύει τόσο για τα φορτία, όσο και για τις πηγές, όταν έχουν πολυγωνική συνδεσμολογία. Σημειώνεται ότι στα κυκλώματα των σχημάτων 6.5 και 6.6 οι πηγές είναι σε συνδεσμολογία πολυγώνου, ενώ στα κυκλώματα των σχημάτων 6.4 και 6.5 τα φορτία είναι σε συνδεσμολογία πολυγώνου. 5 4 4 6 5 5 4 6 6 Γραμμή Γραμμή 5 Γραμμή 6 επιστροφές Γραμμή Γραμμή Γραμμή 4 Σχήμα 6.: Ανεξάρτητο εξαφασικό σύστημα, όπου υπάρχουν 6 πηγές, 6 ανεξάρτητες γραμμές μεταφοράς ( αγωγοί) και 6 φορτία Γραμμή 5 6 6 6 5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 6 5 6 Γραμμή 6 Γραμμή κοινή επιστροφή Ν Ν ουδέτερος 6 Γραμμή Γραμμή 4 6 6 5 4 5 4 Γραμμή 4 Σχήμα 6.: Αλληλένδετο εξαφασικό σύστημα με ουδέτερο, όπου υπάρχουν 6 πηγές κατ αστέρα, 6 γραμμές μεταφοράς με κοινή επιστροφή (7 αγωγοί) και 6 φορτία κατ αστέρα 6-

ΤΕΙ Αθηνών Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Γραμμή 5 5 6 6 5 Γραμμή 6 Γραμμή 6 6 5 5 Σχήμα 6.: Αλληλένδετο εξαφασικό σύστημα χωρίς ουδέτερο, όπου υπάρχουν 6 πηγές κατ αστέρα, 6 γραμμές μεταφοράς (6 αγωγοί) και 6 φορτία κατ αστέρα 5 4 4 Σχήμα 6.4: Αλληλένδετο εξαφασικό σύστημα με 6 πηγές κατ αστέρα, 6 γραμμές μεταφοράς (6 αγωγοί) και 6 φορτία σε πολύγωνο 5 45 4 5 4 4 56 45 4 4 6 6 5 6 Ν Ν 56 6 4 6 Γραμμή Γραμμή Γραμμή 4 Γραμμή 6 Γραμμή 5 Γραμμή 6 Γραμμή Γραμμή Γραμμή 4 Γραμμή 5 Γραμμή Γραμμή 6 Γραμμή Γραμμή Γραμμή 4 Σχήμα 6.5: Αλληλένδετο εξαφασικό σύστημα με 6 πηγές σε πολύγωνο, 6 γραμμές μεταφοράς (6 αγωγοί) και 6 φορτία σε πολύγωνο 6-45 45 6 6 6 Ν 6 6 4 4 56 4 56 4 56 45 4 5 4 5 4

Μάθημα: Θεωρία Κυκλωμάτων Συστημάτων (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ.Ι. Τσεκούρας 5 45 4 5 4 56 45 4 6 56 6 6 4 6 Γραμμή 5 Γραμμή 6 Γραμμή Γραμμή Γραμμή Γραμμή 4 Σχήμα 6.6: Αλληλένδετο εξαφασικό σύστημα με 6 πηγές σε πολύγωνο, 6 γραμμές μεταφοράς (6 αγωγοί) και 6 φορτία σε αστέρα Ειδικότερα στο σχήμα 6. οι πηγές έχουν συνδεσμολογία αστέρα, τα φορτία έχουν ομοίως συνδεσμολογία αστέρα και μεταξύ τους υπάρχουν γραμμές μεταφοράς με μία κοινή επιστροφή, δηλαδή αγωγοί. Συγχρόνως σχηματίζονται δύο κόμβοι (Ν και Ν ). Στον κόμβο Ν καταλήγουν οι πηγές, αποτελεί τον κοινό κόμβο των πηγών και ονομάζεται ουδέτερος κόμβος πηγών. Στον κόμβο Ν καταλήγουν τα φορτία, αποτελεί τον κοινό κόμβο των φορτίων και ονομάζεται ουδέτερος κόμβος φορτίων. Οι κόμβοι Ν και Ν συνδέονται μέσω ενός κοινού αγωγού, του επονομαζόμενου αγωγού επιστροφής ή ουδέτερου αγωγού. Οι αγωγοί που ξεκινούν από τους υπόλοιπους κόμβους των πηγών (,,, 4, 5, 6) και καταλήγουν στους υπόλοιπους κόμβους των φορτίων (,,, 4, 5, 6 ) λέγονται αγωγοί φάσης. Στο σχήμα 6. οι πηγές έχουν συνδεσμολογία αστέρα, τα φορτία έχουν ομοίως συνδεσμολογία αστέρα και μεταξύ τους υπάρχουν γραμμές μεταφοράς χωρίς καμία επιστροφή, δηλαδή υπάρχουν αγωγοί. Η ροή των ρευμάτων εξασφαλίζεται μέσω των αγωγών, ενώ σχηματίζονται δύο ουδέτεροι κόμβοι, Ν των πηγών και Ν των φορτίων. Στο σχήμα 6.4 οι πηγές έχουν συνδεσμολογία αστέρα, τα φορτία είναι συνδεδεμένα κατά πολύγωνο και μεταξύ τους υπάρχουν γραμμές μεταφοράς, δηλαδή υπάρχουν αγωγοί. Δεν υπάρχει δυνατότητα κατασκευής γραμμής κοινής επιστροφής, ενώ σχηματίζεται ένας κοινός κόμβος των πηγών Ν για τις πηγές. Ουσιαστικά, όπως παρατηρείται, το δεύτερο άκρο της μίας σύνθετης αντίστασης των φορτίων συνδέεται με το πρώτο άκρο της επόμενης αντίστασης σχηματίζοντας ένα πολύγωνο. Στο σχήμα 6.5 οι πηγές έχουν συνδεσμολογία κατά πολύγωνο, τα φορτία είναι συνδεδεμένα κατά πολύγωνο και μεταξύ τους υπάρχουν γραμμές μεταφοράς, δηλαδή υπάρχουν αγωγοί. Δεν υπάρχει δυνατότητα κατασκευής γραμμής κοινής επιστροφής, ενώ δεν σχηματίζεται κανένας κοινός κόμβος. Στο σχήμα 6.6 οι πηγές έχουν συνδεσμολογία κατά πολύγωνο, τα φορτία είναι συνδεδεμένα κατά αστέρα και μεταξύ τους υπάρχουν γραμμές μεταφοράς, δηλαδή υπάρχουν αγωγοί. Δεν υπάρχει δυνατότητα κατασκευής γραμμής κοινής επιστροφής, ενώ σχηματίζεται ένας κοινός κόμβος των φορτίων Ν για τα φορτία. Δηλαδή διαπιστώνεται ότι μόνο στη συνδεσμολογία πηγών κατ αστέρα και φορ τίων κατ αστέρα υπάρχει η δυνατότητα σύνδεσης με χρήση ουδετέρου. 6 6 Ν 5 4 5 4 6.4.. Διάκριση Πολυφασικών Συστημάτων με βάση την Ύπαρξη ή μη Συμμετρίας Τα πολυφασικά συστήματα μπορούν να διακριθούν σε δύο βασικές κατηγορίες ανάλογα με το αν υπάρχει ή όχι συμμετρία: στα συμμετρικά συστήματα, όταν η πολυφασική πηγή δίνει συμμετρικό πολυφασικό σήμα, αλλά συγχρόνως και το φορτίο είναι συμμετρικό (δηλαδή οι σύνθετες αντιστάσεις φορτίων είναι ίσες μεταξύ τους), καθώς και οι αγωγοί φάσεων των γραμμών μεταφοράς είναι ίδιοι μεταξύ τους (δηλαδή οι σύνθετες αντιστάσεις των φάσεων των γραμμών μεταφοράς είναι ίσες μεταξύ τους). Η ύπαρξη ή μη ουδέτερου αγωγού δεν επηρεάζει το συμμετρικό 6-

ΤΕΙ Αθηνών Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ σύστημα, διότι, όπως θα αποδειχθεί στη συνέχεια, δεν διαρρέεται από ρεύμα (οπότε το μέγεθος της αντίστοιχης σύνθετης αντίστασης του ουδέτερου αγωγού δεν επηρεάζει τη συμμετρία του εκάστοτε συστήματος). στα ασύμμετρα ή μη συμμετρικά συστήματα, όταν είτε η πολυφασική πηγή δεν δίνει συμμετρικό πολυφασικό σήμα, είτε το φορτίο δεν είναι συμμετρικό (δηλαδή οι σύνθετες αντιστάσεις φορτίων δεν είναι όλες ίσες μεταξύ τους), είτε οι αγωγοί φάσεων των γραμμών μεταφοράς δεν είναι ίδιοι μεταξύ τους, είτε αν ισχύουν κάποια από τα προηγούμενα συγχρόνως. Η πιο συνηθισμένη περίπτωση είναι η ασυμμετρία στο φορτίο, δηλαδή υπάρχει ανισοκατανομή του φορτίου στις φάσεις του συστήματος. Γενικά η ασυμμετρία στα πολυφασικά συστήματα οδηγούν σε αυξημένες απώλειες στις γρα μμές μεταφοράς, πρόσθετων δυσκολιών αντιμετώπισης βραχυκυκλωμάτων, δημιουργία παρενοχλήσεων σε τηλεπικοινωνιακές γραμμές που είναι παράλληλες σε γραμμές μεταφοράς ηλεκτρικές ενέργειας (ηλεκτρομαγνητικές παρεμβολές). Εξαιτίας των προαναφερθέντων λαμβάνεται μέριμνα για ισοκατανομή του συνολικού φορτίου των καταναλώσεων στις φάσεις, καθώς επίσης λαμβάνονται μέτρα για την εξασφάλιση ίσων σύνθετων αντιστάσεων των φάσεων των γραμμών μεταφοράς (π.χ. κατάλληλη αντιμετάθεση των αγωγών των δικτύων μεταφοράς σε απ οστάσεις ίσες του του συνολικού μήκους της εκάστοτε γραμμής μεταφοράς). 6.4.4. Φασικά Μεγέθη και Μεγέθη Γραμμής Γενικά σε ένα ασύμμετρο πολυφασικό σύστημα ορίζονται: ως φασική τάση η τάση μεταξύ των ακροδεκτών κάθε τυλίγματος της πολυφασικής πηγής ή της συσκευής κατανάλωσης. Στο σχήμα 6. του εξαφασικού συστήματος οι τάσεις,,..., 6 είναι οι φασικές τάσεις της πολυφασικής γεννήτριας συνδεσμολογίας αστέρα, όπως επίσης στο σχήμα 6.5 οι τάσεις,,..., 6 είναι οι φασικές τάσεις της πολυφασικής γεννήτριας συνδεσμολογίας πολυγώνου. Στο σχήμα 6.5 του εξαφασικού συστήματος οι τάσεις,,..., είναι οι φασικές τάσεις του πολυφασικού φορτίου συνδεσμολογίας 6 πολυγώνου, όπως επίσης στο σχήμα 6.6 οι τάσεις,,..., είναι οι φασικές τάσεις του πολυφασικού N φορτίου συνδεσμολογίας αστέρα. ως φασικό ρεύμα το ρεύμα που διαρρέει κάθε τύλιγμα της πολυφασικής πηγής ή της συσκευής κατανάλωσης. Στο σχήμα 6. του εξαφασικού συστήματος οι εντάσεις,,..., 6 είναι τα φασικά ρεύματα της πολυφασικής N 6 N γεννήτριας συνδεσμολογίας αστέρα, όπως επίσης στο σχήμα 6. 5 οι εντάσεις,,..., 6 είναι τα φασικά ρεύματα της πολυφασικής γεννήτριας συνδεσμολογίας πολυγώνου. Στο σχήμα 6.5 του εξαφασικού συστήματος οι εντάσεις,,..., είναι τα φασικά ρεύματα του πολυφασικού φορτίου συνδεσμολογίας πολυγώνου, 6 όπως επίσης στο σχήμα 6.6 οι εντάσεις,,..., 6 είναι τα φασικά ρεύματα του πολυφασικού φορτίου συνδεσμολογίας αστέρα. ως ρεύμα γραμμής ή πολικό ρεύμα, το ρεύμα που διαρρέει κάθε αγωγό σύνδεσης, των πηγών με τις συσκευές κατανάλωσης, με εξαίρεση τον ουδέτερο αγωγό, του οποίου το ρεύμα είναι το ρεύμα ουδετέρου. Στα σχήματα 6. ως 6.6 του εξαφασικού συστήματος οι εντάσεις,,..., 6 είναι τα ρεύματα γραμμής που διαρρέουν τις γραμμές μεταφοράς και ταυτίζονται με τα εξερχόμενα πολικά ρεύματα της πολυφασικής γεννήτριας και τα εισερχόμενα πολικά ρεύματα του πολυφασικού φορτίου. Παρατηρείται ότι στην περίπτωση συνδεσμολογίας αστέρα είτε πολυφασικής γεννήτριας, είτε πολυφασικού φορτίου, τα πολικά ρεύματα ταυτίζονται με τα αντίστοιχα φασικά ρεύματα. Στην περίπτωση συνδεσμολογίας πολυγώνου για την περίπτωση πολυφασικής γεννήτριας με βάση τις φορές των σχημάτων 6.5 ως 6.6 ισχύει ότι: I I I (6.) k k ( k ) ( k ) k Δηλαδή στην περίπτωση του εξαφασικού κυκλώματος του σχήματος 6.5 ισχύουν ότι: I I I6, I I I, I I 4 I, I 4 I 45 I4, I 5 I 56 I45, I 6 I 6 I56 Για πολυφασικό φορτίο συνδεσμολογίας πολυγώνου με βάση τις φορές των σχημάτων 6.4 ως 6.5 ισχύει ότι: I I I (6.) k k ( k ) ( k ) k Δηλαδή στην περίπτωση του εξαφασικού κυκλώματος του σχήματος 6.5 ισχύουν ότι: I I I, I I I, I I I, I I I, I I I, I I I 6 4 4 4 5 4 5 5 6 4 5 6 6 5 6 6-

Μάθημα: Θεωρία Κυκλωμάτων Συστημάτων (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ.Ι. Τσεκούρας ως τάση γραμμής ή πολική τάση, την τάση μεταξύ δύο από τους αγωγούς αυτούς που αναχωρούν από τα άκρα δύο αλληλοδιαδοχικών τυλιγμάτων. Στα σχήματα 6., 6.5, 6.6 του εξαφασικού συστήματος οι τάσεις,,..., 6 είναι οι πολικές τάσεις στην αναχώρηση της πολυφασικής γεννήτριας και οι τάσεις,,..., είναι πολικές τάσεις άφιξης του πολυφασικού φορτίου. Παρατηρείται ότι στην περίπτωση συνδεσμολογίας πολυγώνου είτε πολυφασικής γεννήτριας, είτε πολυφασικού φορτίου, οι πολικές τάσεις ταυτίζονται με τις αντίστοιχες φασικές τάσεις. Στην περίπτωση συνδεσμολογίας αστέρα για την περίπτωση πολυφασικής γεννήτριας με βάση τις φορές των σχημάτων 6. ως 6.6 ισχύει ότι: (6.) k ( k ) k k Δηλαδή στην περίπτωση του εξαφασικού κυκλώματος του σχήματος 6. ισχύουν ότι:,, 4 4, 45 4 5, 56 5 6, 6 6 Για πολυφασικό φορτίο συνδεσμολογίας αστέρα με βάση τις φορές των σχημάτων 6. ως 6.6 ισχύει ότι: (6.4) k ( k ) k ( k ) Δηλαδή στην περίπτωση του εξαφασικού κυκλώματος του σχήματος 6. ισχύουν ότι:,,,,, 4 4 4 5 4 5 5 6 5 6 6 6 Η φασική τάση και το φασικό ρεύμα ονομάζονται γενικά φασικά μεγέθη, ενώ η τάση γραμμής και το ρεύμα γραμμής ονομάζονται μεγέθη γραμμής ή πολικά μεγέθη. Στην περίπτωση ενός συμμετρικού πολυφασικού συστήματος ευθείας διαδοχής τα πολικά μεγέθη συνδέονται με τα φασικά μεγέθη ανάλογα με το είδος της συνδεσμολογίας ως εξής: Στη συνδεσμολογία αστέρα τα πολικά ρεύματα ταυτίζονται με τα φασικά ρεύματα ( I I ), ενώ οι πολικές τάσεις συνδέονται με τις αντίστοιχες φασικές τάσεις σύμφωνα με τη σχέση: k ( k ) k si si 6 (6.5) Απόδειξη: Χωρίς βλάβη της γενικότητας έστωσαν οι δύο πρώτες φασικές τάσεις ενός συμμετρικού -φασικού συστήματος ευθείας διαδοχής και. Οπότε με εφαρμογή της σχέσης (6.) ισχύει ότι: cs j si cs j si Οπότε η ενεργός τιμή του φασιθέτη υπολογίζεται ως εξής: cs si cs si cs cs si cs cs si si si Η διαφορά φάσης μεταξύ του και του δίνεται από τη σχέση: si si si cs cs ta ct ta cs cs si si Οπότε συνδυάζοντας την προσδιορισμένη ενεργό τάση και τη διαφορά φάσης προκύπτει ότι: si 6-4

ΤΕΙ Αθηνών Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Η τελευταία γενικεύεται με τη σχέση (6.5). Σε αυτό διευκολύνει και η θεώρηση του σχήματος 6.7, όπου παρουσιάζεται το αντίστοιχο διανυσματικό διάγραμμα των φασικών τάσεων και και της πολικής τάσης. Η σχέση μεταξύ των οποιεσδήποτε άλλων φασικών τάσεων k και k μαζί με την εκάστοτε αντίστοιχη πολική τάση k ( k ) μπορεί να προκύψει με απλή περιστροφή του διανυσματικού διαγράμματος του σχήματος 6.7 κατά γωνία π (k-) ωρολογιακά. Στη δε περίπτωση της συμμετρίας αντίστροφης διαδοχής το μέτρο παραμένει αναλλοίωτο, απλώς η διαφορά γωνίας γίνεται ίση με: και η αντίστοιχη σχέση διαμορφώνεται ως: - si π-π π-π π Σχήμα 6.7: Ανυσματικό διάγραμμα φασικών τάσεων και και της πολικής τάσης σε -φασικό σύστημα Στη συνδεσμολογία πολυγώνου οι πολικές τάσεις είναι ίσες με τις αντίστοιχες φασικές τάσεις ( ), ενώ τα πολικά ρεύματα ρεύματα γραμμής συνδέονται με τα αντίστοιχα φασικά ρεύματα σύμφωνα με τη σχέση: I Ik Ik ( k ) si I si 6-5 (6.6) Απόδειξη: Χωρίς βλάβη της γενικότητας έστωσαν τα δύο φασικά ρεύματα ενός συμμετρικού Ν-φασικού συστήματος ευθείας διαδοχής I και I I, ώστε μέσω της σχέσης (6.) (ή της (6.)) να υπολογιστεί το πολικό ρεύμα : I I I I I I I I cs j I si I cs j I si Οπότε η ενεργός τιμή I του φασιθέτη υπολογίζεται ως εξής: I I I cs I si I cs si I I I cs cs si... I si I I I si Η διαφορά φάσης μεταξύ του και του (διάνυσμα αναφοράς) δίνεται από τη σχέση: I si si si cs I cs cs si ta ct ta

Μάθημα: Θεωρία Κυκλωμάτων Συστημάτων (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ.Ι. Τσεκούρας Οπότε συνδυάζοντας την προσδιορισμένη ενεργό ένταση και τη διαφορά φάσης προκύπτει ότι: si I I Η τελευταία γενικεύεται με τη σχέση (6.6). Σ αυτό διευκολύνει και η θεώρηση του σχήματος 6.8, όπου παρουσιάζεται το αντίστοιχο διανυσματικό διάγραμμα των φασικών ρευμάτων I και I I και του πολικού ρεύματος. Η σχέση μεταξύ των οποιεσδήποτε άλλων φασικών εντάσεων Ik ( k ) και I( ) k μαζί με το εκάστοτε αντίστοιχο πολικό ρεύμα I k μπορεί να προκύψει με απλή περιστροφή του διανυσματικού διαγράμματος του σχήματος 6.8 κατά γωνία π (k-) ωρολογιακά. Στη δε περίπτωση της συμμετρίας αντίστροφης διαδοχής το μέτρο παραμένει αναλλοίωτο, απλώς η διαφορά γωνίας γίνεται ίση με: και η αντίστοιχη σχέση διαμορφώνεται ως: si I I I I k π I π-π π-π I Σχήμα 6.8: Διανυσματικό διάγραμμα φασικών εντάσεων και I και του πολικού ρεύματος Δηλαδή στην περίπτωση που τα πολικά μεγέθη δεν ταυτίζονται με τα φασικά μεγέθη (τάσεις στη συνδεσμολογία αστέρα και ρεύματα στη συνδεσμολογία πολυγώνου), οι ενεργές τιμές των πολικών μεγεθών διαφέρουν των αντίστοιχων φασικών μεγεθών κατά το συντελεστή si(π). Όσον αφορά τη διαφορά φάσεων εξαρτάται από τη διαδοχή των πολυφασικών σημάτων (ευθεία και ανάστροφη) και από τη συνδεσμολογία. Δηλαδή στην περίπτωση ευθείας διαδοχής και συνδεσμολογίας αστέρα οι πολικές τάσεις προηγούνται των αντίστοιχων φασ ικών κατά π-π, ενώ στην περίπτωση ευθείας διαδοχής και συνδεσμολογίας πολυγώνου τα πολικά ρεύματα έπονται των αντίστοιχων φασικών κατά π-π. 6.4.5. Γενική Επίλυση Αλληλένδετου Πολυφασικού Συστήματος Συνδεσμολογίας Αστέρα - Αστέρα Η γενική επίλυση του -φασικού συστήματος θα βασιστεί στο κύκλωμα του εξαφασικού κυκλώματος του σχήματος 6.. Συγκεκριμένα από το νόμο των εντάσεων του Kirchhff προκύπτει η εξίσωση: I I I I I I I 4 5 6 Στη γενικότερη περίπτωση ισχύει ότι: I I I... I I I (6.7) Λαμβάνοντας υπόψη ότι η εκάστοτε k-ιοστή γραμμή μεταφοράς έχει σύνθετη αντίσταση ίση με Ζ γk, ο ουδέτερος αγωγός Ζ και τα φορτία Ζ k, τότε, αν εφαρμοστεί το θεώρημα Millma μεταξύ των κόμβων Ν και Ν προσδιορίζεται η αντίστοιχη διαφορά δυναμικού που στην περίπτωση του εξαφασικού συστήματος είναι ίση με: 4 5 6 4 4 5 5 6 6 NN 4 4 5 5 6 6 6-6

ΤΕΙ Αθηνών Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Στη γενικότερη περίπτωση ισχύει ότι:... ( ) NN... ( ) (6.8) Οπότε για να προσδιορισθεί η ένταση ρεύματος I k για k=,...,6, εφαρμόζεται ο νόμος των τάσεων του Kirchhff στο βρόχο Νkk Ν, ο οποίος επεκτείνεται άμεσα και για πλήθος κόμβων δηλαδή: k N N k Ik k Ik k I N N k Η αντίστοιχη πτώση τάσης k πάνω στην εκάστοτε σύνθετη αντίσταση φορτίου Ζ k είναι ίση με: 6-7 k k (6.9) I (6.) k k k Ειδικά για την ένταση του ρεύματος του ουδετέρου με εφαρμογή του νόμου των τάσεων του Kirchhff ισχύει ότι: NN I I NN (6.) Η πολυφασική ισχύς του φορτίου δίνεται από το άθροισμα των επιμέρους ισχύων των σύνθετων αντιστάσεων Ζ k, δηλαδή για το εξαφασικό σύστημα ισχύει ότι: 6 6 * * * * * * * tt 4 5 6 i 4 4 5 5 6 6 i i i i S S S S S S S S I I I I I I I 6 6 6 * * tt i i i i i i i i i i i και S I I I I I Στη γενικότερη περίπτωση ισχύει ότι: S S I I P j Q * i tt i i i i i * tt tt i i i i i S * 6 6 * 6 i i i i tt i * * i i i i i i (6.) Δηλαδή από τη συνολική μιγαδική φαινόμενη ισχύς S tt προκύπτει η ισοδύναμη ενεργός ισχύς του φορτίου P tt και η αντίστοιχη άεργος Q tt. Ο ισοδύναμος συνολικός συντελεστής ισχύος του φορτίου είναι ίσος με: cs P tt tt tt S tt P tt Q tt P (6.) Με βάση το είδος της άεργου ισχύος Q tt προσδιορίζεται αν ο συντελεστής είναι επαγωγικός (για Q tt θετικό), χωρητικός (για Q tt αρνητικό) ή ωμικός (για Q tt =). Στην ειδική περίπτωση που ο ουδέτερος είναι βραχυκυκλωμένος, δηλαδή Ζ =, τότε η αντίστοιχη διαφορά δυναμικού των κόμβων Ν και Ν είναι μηδέν και το ρεύμα του ουδετέρου υπολογίζεται μέσω της σχέσης (6.7). Στην ειδική περίπτωση που ο ουδέτερος είναι ανοικτοκυκλωμένος, δηλαδή δεν υπάρχει, μεταπίπτοντας ουσιαστικά στο κύκλωμα του σχήματος 6., η αντίστοιχη ισοδύναμη αντίσταση Ζ είναι άπειρη, οπότε η αντίστοιχη διαφορά δυναμικού των κόμβων Ν και Ν δίνεται από τη σχέση (6.8), ενώ το ρεύμα του ουδετέρου είναι ίσο με το μηδέν. Στην περίπτωση ενός πλήρους συμμετρικού συστήματος ισχύουν ότι: Λόγω συμμετρίας στοιχείων δικτύου:... ( ) και..., Λόγω συμμετρίας πολυφασικού σήματος τάσεων :... Οπότε με βάση τη σχέση (6.8) προκύπτει ότι:...... NN...

Μάθημα: Θεωρία Κυκλωμάτων Συστημάτων (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ.Ι. Τσεκούρας Δηλαδή η αντίστοιχη διαφορά δυναμικού των κόμβων Ν και Ν είναι ίση με το μηδέν, καθώς επίσης και το ρεύμα του ουδετέρου είναι ίσο με το μηδέν (ανεξάρτητα από το μέγεθος της σύνθετης αντίστασης του ουδετέρου. Με βάση τη σχέση (6.9) προκύπτει ότι η ένταση του ρεύματος του k-ιοστού φορτίου είναι ίσο με: I k k Οπότε η αντίστοιχη φασική τάση του k-ιοστού φορτίου είναι ίση με: I k k k Δηλαδή η φασική τάση k του k-ιοστού φορτίου εξαρτάται από την αντίστοιχη φασική τάση k της πηγής πολλαπλασιασμένη με μία μιγαδική ποσότητα που είναι ίδια για όλα τα φορτία. Οπότε, αφού είναι συμμετρικές οι τάσεις της πηγής, προκύπτουν συμμετρικά τόσο οι φασικές τάσεις των φορτίων, όσο και τα ρεύματα των φορτίων. Όσον αφορά την ισχύ που καταναλώνει το εκάστοτε k-ιοστό φορτίο προκύπτει ότι: * * k k k k * * S k I k k k Δηλαδή η ισχύς που καταναλώνουν όλες οι αντιστάσεις των φορτίων είναι ίσες κατά την πλήρη συμμετρία του πολυφασικού συστήματος, καθώς τιμή της φασικής τάσης είναι k για κάθε k=,,. Εναλλακτικά, αν θεωρηθεί ότι η ισοδύναμη ενεργός για κάθε k=,,, ενώ τα αντίστοιχα ρεύματα είναι I με ενιαίο συντελεστή ισχύος cs (λόγω σταθερής διαφοράς γωνίας μεταξύ k και ), τότε προκύπτει ότι: * * k cs si S S I I I I j I Οπότε η συνολική ισχύς του φορτίου είναι ίση με: * tt tt tt i i S P j Q S S I I I cs j I si Αν ληφθεί υπόψη ότι λόγω συνδεσμολογίας αστέρα, τα φασικά ρεύματα I είναι ίδια με τα πολικά I, ενώ οι ενεργές πολικές τάσεις διαφέρουν έναντι των φασικών κατά το συντελεστή [ si(π)], τότε προκύπτει ότι οι ισχύες δίνονται από τις σχέσεις: j S tt I e I e si j S tt I I si (μιγαδική φαινόμενη ισχύς φορτίου) (6.4) (φαινόμενη ισχύς φορτίου) (6.5) P tt I cs I cs (πραγματική ισχύς φορτίου) (6.6) si Q tt I si I si (άεργος ισχύς φορτίου) (6.7) si Η επίλυση άλλων συνδεσμολογιών, όπως πολυφασική πηγή συνδεσμολογίας αστέρα πολυφασικό φορτίου συνδεσμολογίας πολυγώνου ενδέχεται να μην είναι εύκολες υποθέσεις, καθώς σύμφωνα με το θεώρημα Rse δεν είναι δυνατή στη γενική περίπτωση η εύρεση ενός ισοδύναμου αστέρα, αν είναι γνωστές οι αντιστάσεις του ισοδύναμου πολυγώνου να επιλυθεί το κύκλωμα του σχήματος 6. αντί του 6.4. Στη γενική περίπτωση ύπαρξης πολυγώνων τα πολυφασικά συστήματα δύνανται να επιλυθούν με τη συστηματική καταγραφή των εξισώσεων Kirchhff (π.χ. για το κύκλωμα του σχήματος 6.4 γράφονται 6 εξισώσεις ρευμάτων από τους 7 κόμβους και 6 εξισώσεις τάσεων από τους έξι βασικούς οφθαλμούς, ώστε να προσδιοριστούν τα άγνωστα ρεύματα 6 πολικά και 6 φασικά ρεύματα) ή με τη χρήση της μεθόδου των ρευμάτων των βρόχων (π.χ. για το κύκλωμα του σχήματος 6.4 προσδιορίζονται από έξι βασικούς οφθαλμούς έξι ρεύματα βρόχων, ώστε να προσδιοριστούν τα άγνωστα ρεύματα). Όσον αφορά την ισχύ του φορτίου, αυτή υπολογίζεται από τη σχέση (6.) στη γενική περίπτωση και από τις σχέσεις (6.4) ως (6.7) για τα συμμετρικά φορτία ανεξάρτητα της υφιστάμενης συνδεσμολογίας του (αστέρα ή πολύγωνο). 6-8

ΤΕΙ Αθηνών Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ 6.4.6. Εφαρμογές Πολυφασικών Συστημάτων Πολυφασικά συστήματα, όπως εξαφασικά δωδεκαφασικά συστήματα, έχουν βρει εφαρμογή σε διατάξεις ανόρθωσης εναλλασσόμενης τάσης προς παραγωγή συνεχούς τάσης επιτυγχάνοντας μικρότερες διακυμάνσεις της τάσης από τα αντίστοιχα τριφασικά συστήματα. χρησιμοποιούνται σε ειδικές περιπτώσεις. Η παραγωγή εξαφασικού ή δωδεκαφασικής τάσης γίνεται κυρίως με χρήση τριφασικών πηγών τάσης και χρήσης κατάλληλων τριφασικώ ν μετασχηματιστών μέσω των οποίων επιτυγχάνεται η κατάλληλη φασική μετατόπιση των τάσεων. Κατά τα τελευταία χρόνια έχουν εμφανιστεί και άλλα πολυφασικά συστήματα, όπως δεκαπενταφασικά συστήματα για ηλεκτροκινητήρες πρόωσης, τετραφασικά συστήματα βηματικών κινητήρων, των οποίων η παραγωγή των αντίστοιχων πολυφασικών τάσεων γίνεται κατά κύριο λόγο μέσω κατάλληλων ηλεκτρονικών ισχύος. Πάντως, όπως ήδη έχει αναφερθεί, τα τριφασικά συστήματα λόγω της οικονομίας υλικού έναντι του μονοφασικού και του διφασικού συστήματος και της απλούστερης δομής έναντι άλλων συστημάτων περισσότερων φάσεων έχουν κυριαρχήσει σε μεγάλο βαθμό, γι αυτό στη συνέχεια θα αναλυθούν ξεχωριστά και πιο εκτενώς από τα πολυφασικά συστήματα. 6.5. Τριφασικά Σήματα 6.5.. Βασικοί Ορισμοί Τριφασικών Σημάτων Ως τριφασικό σήμα συγκεκριμένης κυκλικής συχνότητας ω αποκαλείται ένα σύνολο τριών σημάτων συνημιτονοειδούς μορφής: a ( t) A cs( t ) a ( t) A cs( t ) τριφασικό σήμα με και A A A (6.8) a ( t) A cs( t ) Αντίστοιχα για τη γενική μορφή του τριφασικού σήματος στο πεδίο της συχνότητας υπό τη μορφή φασιθετών ενεργού τιμής ισχύει ότι: A A A A τριφασικό σήμα με και A A A (6.9) A A Η αντίστοιχη παράσταση φασιθετών παρουσιάζεται στο σχήμα 6.9. Â Â Άξονας αναφοράς Â Σχήμα 6.9: Παράσταση φασιθετών τριφασικού σήματος γενικής μορφής Στην ειδική περίπτωση που ισχύει ότι A A A και m ονομάζεται συμμετρικό τριφασικό σήμα m τάξης ευθείας διαδοχής. Δηλαδή ισχύει ότι: a ( t) Acs( t) ( ) cs( a t A t m ) a ( t) Acs( t m ) 6-9, τότε το σήμα τριφασικό συμμετρικό σήμα m τάξης ευθείας διαδοχής (6.)

Μάθημα: Θεωρία Κυκλωμάτων Συστημάτων (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ.Ι. Τσεκούρας Υπό τη μορφή φασιθετών γράφεται ως εξής: A A A A A A m m τριφασικό συμμετρικό σήμα m τάξης ευθείας διαδοχής υπό μορφή φασιθετών με Στην ειδική περίπτωση που ισχύει ότι A A A και m A A (6.), τότε το σήμα ονομάζεται συμμετρικό τριφασικό σήμα m τάξης αντίστροφης διαδοχής. Δηλαδή ισχύει ότι: a ( t) Acs( t) ( ) cs( a t A t m ) τριφασικό συμμετρικό σήμα m τάξης αντίστροφης διαδοχής (6.) a ( t) Acs( t m ) Υπό τη μορφή φασιθετών γράφεται ως εξής: A A m A A A τριφασικό συμμετρικό σήμα m τάξης αντίστροφης διαδοχής υπό μορφή φασιθετών με A (6.) m A A Ακολούθως σημειώνονται ορισμένες ιδιότητες των τριφασικών σημάτων: το τριφασικό ευθύ σήμα ης τάξης είναι ίδιο με το τριφασικό αντίστροφο σήμα ης τάξης, καθώς: a jύ( t) Acs( t j ) Acs( t j j ) Acs( t j 4 ) a jί ( t) το τριφασικό ευθύ σήμα ης τάξης είναι ίδιο με το τριφασικό αντίστροφο σήμα ης τάξης, καθώς: 4 4 a jύ( t) Acs( t j ) Acs( t j j ) Acs( t j ) a jί ( t) Το άθροισμα των συναρτήσεων που αποτελούν τις φάσεις ενός συμμετρικού τριφασικού σήματος είναι ίσο με το μηδέν, το οποίο έχει ήδη αποδειχθεί γενικά στη 6.. Δηλαδή ισχύει ότι: a ( t) a ( t) a ( t) 6.5.. Τελεστής a & Ανάλυση Τυχόντος Τριφασικού Σήματος σε Συμμετρικές Συνιστώσες Κυρίως χρησιμοποιούνται τα τριφασικά συμμετρικά σήματα ης τάξης ή αλλιώς απλώς τα συμμετρικά σήματα, τα οποία ορίζονται ως εξής: συμμετρικό τριφασικό σήμα ευθείας διαδοχής ή θετικής ακολουθίας ή θετικής διαδοχής φάσεων: a( t) A cs( t) a ( t) A cs( t ) τριφασικό συμμετρικό σήμα ευθείας διαδοχής ή θετικής ακολουθίας (6.4) a ( t) A cs( t 4 ) συμμετρικό τριφασικό σήμα αντίστροφης διαδοχής ή αρνητικής ακολουθίας ή αρνητικής διαδοχής φάσεων: a ( t) Aa cs( t) a ( t) Aa cs( t ) τριφασικό συμμετρικό σήμα αντίστροφης διαδοχής ή αρνητική ακολουθίας (6.5) a ( t) Aa cs( t 4 ) Αντίστοιχα υπό τη μορφή φασιθετών γράφονται ως εξής: A A A A A 4 4 A A A A Aa A a Aa Aa Aa 4 4 Aa Aa Aa A a τριφασικό συμμετρικό σήμα θετικής ακολουθίας με 6- A A (6.6) Aa τριφασικό συμμετρικό σήμα αρνητικής ακολουθίας με Aa (6.7)

ΤΕΙ Αθηνών Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Επίσης ορίζεται το ομοφασικό τριφασικό σήμα ή αλλιώς το τριφασικό σήμα μηδενικής ακολουθίας ή μηδενικής διαδοχής φάσεων ως εκείνο το σήμα για το οποίο ισχύει A A A A και, δηλαδή: a( t) A cs( t) a ( t) A cs( t) τριφασικό σήμα μηδενικής ακολουθίας (6.8) a( t) A cs( t) Υπό τη μορφή φασιθετών γράφεται ως εξής: A A A A A τριφασικό σήμα μηδενικής ακολουθίας με A (6.9) A A Το αντίστοιχο διανυσματικό διάγραμμα των τριφασικών σημάτων θετικής, αρνητικής και μηδενικής ακολουθίας παρουσιάζονται στο σχήμα 6.. Â Â ο Άξονας αναφοράς ο Άξονας αναφοράς 4 ο 4 ο   ο ο  Ευθύ συμμετρικό τριφασικό σήμα  Αντίστροφο συμμετρικό τριφασικό σήμα  Άξονας αναφοράς Σχήμα 6.: Παράσταση φασιθετών τριφασικού σήματος ευθείας διαδοχής, αντίστροφης διαδοχής και μηδενικής διαδοχής (ομοφασικό) Ορίζεται ο μιγαδικός τελεστής a ως εξής: j a e cs j si, 5 j Οι βασικές ιδιότητες του μιγαδικού τελεστή a είναι ακόλουθες: 4 j j 4 4 a a e e cs j si cs j si, 5 j, 5 j * 4 * j j j j j a e e e e a 4 * 4 4 * j j j j j a e e e e a 6 j j j a e e e a  Ομοφασικό τριφασικό σήμα a a * a a a * a 6-  (6.4)

Μάθημα: Θεωρία Κυκλωμάτων Συστημάτων (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ.Ι. Τσεκούρας Η γεωμετρική παράσταση του τελεστή πάνω στο μιγαδικό επίπεδο μαζί με κάποιες από τις ιδιότητές του φαίνεται στο σχήμα 6.. * Im ο 4 ο Re ο Σχήμα 6.: Παράσταση τελεστή a * Με βάση τον τελεστή a τα συμμετρικά τριφασικά σήματα ευθείας διαδοχής και αντίστροφης διαδοχής, καθώς επίσης και το ομοφασικό σήμα γράφονται ως εξής: A A 4 4 A A A A A A τριφασικό συμμετρικό σήμα θετικής ακολουθίας (6.4) 4 A A A A A A Aa A 4 Aa A A A A A τριφασικό συμμετρικό σήμα αρνητικής ακολουθίας (6.4) 4 4 Aa A A A A A A A A A A τριφασικό σήμα μηδενικής ακολουθίας (6.4) A A A Η πιο σημαντική ιδιότητα είναι ότι το οποιοδήποτε τριφασικό σήμα μπορεί να αναλυθεί σε ένα άθροισμα των τριών τάσεων, δηλαδή της συμμετρικής τριφασικής τάσης θετικής ακολουθίας, της συμμετρικής τριφασικής τάσης αρνητικής ακολουθίας και της τριφασικής τάσης μηδενικής ακολουθίας, το οποίο, όπως θα δειχθεί σε επόμενη παράγραφο, διευκολύνει σημαντικά την επίλυση των τριφασικών κυκλωμάτων με τη χρήση του θεωρήματος της επαλληλίας. Λόγω αυτής της ιδιότητας τα τρία τελευταία ειδικά τριφασικά σήματα αποκαλούνται συνιστώσες με τα εξής αντίστοιχα ονόματα: συμμετρικό σύστημα συνιστωσών θετικής διαδοχής φάσης (psitive phase sequece cmpets) A, A, A, συμμετρικό σύστημα συνιστωσών αρνητικής διαδοχής φάσης (egative phase sequece cmpets) A, A, A, a a a ομοφασικό σύστημα συνιστωσών μηδενικής διαδοχής φάσης (zer phase sequece cmpets) A, A, A 6-. Σύμφωνα με τη μέθοδο ανάλυσης συμμετρικών συνιστωσών ενός τυχόντος τριφασικού σήματος A, A, A, το τυχόν σήμα αναλύεται στις συμμετρικές συνιστώσες βάσει των ακόλουθων σχέσεων: A A A A (6.44) A A A A (6.45) A A A A (6.46)

ΤΕΙ Αθηνών Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Απόδειξη: Λαμβάνοντας υπόψη τις σχέσεις (6.4) ως (6.4) το τυχόν ασύμμετρο τριφασικό σήμα δύναται να γραφτεί ως εξής: A A A A (6.47) A A A A A A A (6.48) A A A A A A A (6.49) Αν πολλαπλασιαστούν η σχέση (6.48) με, η σχέση (6.49) με τότε θα προκύψει: 6- και ακολούθως προστεθούν στη σχέση (6.47), A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A 4 4 A A A A A A A A A A A A Αν πολλαπλασιαστούν η σχέση (6.48) με τότε θα προκύψει: A A A A (6.44), η σχέση (6.49) με και ακολούθως προστεθούν στη σχέση (6.47), A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A 4 A A A A A A 4 A A A A A A A A A A (6.45) Αν προστεθούν οι σχέσεις (6.47), (6.48) και (6.49), τότε θα προκύψει: A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A (6.46) Δηλαδή αποδείχθηκαν πλήρως οι σχέσεις (6.44) ως (6.46). Στην περίπτωση που είναι ευθύ συμμετρικό σήμα, τότε οι αρνητικής και μηδενικής διαδοχής συνιστώσες μηδενίζονται, όπως επίσης όταν είναι αντίστροφο συμμετρικό σήμα, τότε οι θετικής και μηδενικής διαδοχής συνιστώσες μηδενίζονται. Η ανάλυση των συμμετρικών συνιστωσών υλοποιείται κυρίως για τις τάσεις τροφοδοσίας του τριφασικού συστήματος. Τέλος ορίζονται οι ακόλουθοι βαθμοί ασυμμετρίας: ο βαθμός ασυμμετρίας αντίστροφης διαδοχής μ α που χαρακτηρίζει τη ροπή ασυμμετρίας του τριφασικού σήματος ως προς την αντίστροφη διαδοχή: A a a (6.5) A ο βαθμός ασυμμετρίας μηδενικής διαδοχής μ που χαρακτηρίζει τη ροπή ασυμμετρίας του τριφασικού σήματος ως προς τη μηδενική διαδοχή: A (6.5) A Στα τριφασικά συστήματα ηλεκτρικής ενέργειας οι αντίστοιχοι βαθμοί ασυμμετρίας περιορίζονται από αντίστοιχα πρότυπα, με συνηθισμένες ενδεικτικές τιμές μικρότερες του 5%. Ειδικά για την ποιότητα ηλεκτρικής ισχύος του ηλεκτρικού δικτύου χαμηλής τάσης των πολεμικών πλοίων του Ν.Α.Τ.Ο. σύμφωνα με το πρότυπο STANAG 8 editi 9 έχει οριστεί ο συντελεστής ανισορροπίας της τάσης γραμμής Κ (Lie ltage Ubalace Rati) που χαρακτηρίζει την ασυμμετρία των τάσεων γραμμής ενός τριφασικού συστήματος και ορίζεται ως η τετραγωνική ρίζα των μέσων τετραγώνων της συνιστώσας αρνητικής διαδοχής τριφασικής τάσης a προς τη συνιστώσα θετικής διαδοχής τριφασικής τάσης επί τοις εκατό:

Μάθημα: Θεωρία Κυκλωμάτων Συστημάτων (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ.Ι. Τσεκούρας Tstudy v a t dt T study a a T study v t dt T study K % % % Το όριο αυτού του συντελεστή δεν πρέπει να ξεπερνά το %. Στην περίπτωση που οι επιβαλλόμενες τάσεις της τριφασικής πηγής έχουν σταθερά χαρακτηριστικά σε σχέση με το χρόνο συμπίπτει ουσιαστικά με το βαθμό αντίστροφης διαδοχής. Εφαρμογή 6.5. Να προσδιοριστούν οι συμμετρικές συνιστώσες μίας ασύμμετρης τριφασικής πηγής με τα εξής χαρακτηριστικά: lt, lt, αντίστροφης και μηδενικής διαδοχής. 5 5 Σημειώνεται ότι παρά τη μικρή διαφορά των ενεργών τιμών των τριών τάσεων της τριφασικής πηγής και των αντίστοιχων τριών φάσεων προκύπτουν σημαντικές βασικές συνιστώσες αντίστροφης και μηδενικής ακολουθίας, όπως είναι δυνατό να διαπιστώσει κανείς με βάση τους αντίστοιχους βαθμούς ασυμμετρίας, οι οποίοι είναι μεγαλύτεροι του 5%. 6-4 (6.5) lt. Να υπολογιστούν οι αντίστοιχοι βαθμοί ασυμμετρίας Λύση: Με βάση τις σχέσεις (6.44) ως (6.46) προσδιορίζονται οι συμμετρικές συνιστώσες: βασική συμμετρική συνιστώσα θετικής διαδοχής φάσης : (6.44) lt lt 5 lt 5 5 5 6, 658 j 8, 6, 99 j 6,8 67, 65 j 99, 5 68,89 8,6 lt lt lt 6, 96 lt Οπότε οι βασικές συνιστώσες της θετικής διαδοχής φάσης είναι: 8,6,64 6, 96 8,6 8,6 lt, 8,6 8,6 a 6, 96 lt 6, 96 lt, 6, 96 a lt 6, 96 lt βασική συμμετρική συνιστώσα αρνητικής διαδοχής φάσης : (6.45) lt lt 5 lt 5 a 5 55 64,6 4, 4 j 68, 5 6,8 j 6, 99 7, 765 j 58, 46 64, 7 64,6 a lt lt lt, 574 lt Οπότε οι βασικές συνιστώσες της αρνητικής διαδοχής φάσης είναι: a, 574 lt, 574 lt 64,6 55,4 a a,, 574 64,6 a lt, a, 574 lt, 574 lt 64,6 84,6 a a βασική συμμετρική συνιστώσα μηδενικής διαδοχής φάσης : 5 5 (6.46) lt lt lt 5,7 75, 44 j 6, 7 66,7 j 66,7, 44 j 4, 56 4,7 lt lt lt 5,7 4, 46 lt Οπότε οι βασικές συνιστώσες της μηδενικής διαδοχής φάσης είναι: 5,7 4, 46 lt Οι αντίστοιχοι βαθμοί ασυμμετρίας υπολογίζονται με βάση τις ενεργές τιμές ως εξής: ο βαθμός ασυμμετρίας αντίστροφης διαδοχής μ α με βάση τη σχέση (6.5):, 574 lt a a 6, 96 lt, 95 9, 5% ο βαθμός ασυμμετρίας μηδενικής διαδοχής μ με βάση τη σχέση (6.5): 4, 46 lt, 689 6,9% 6, 96 lt lt lt