Ενότητα 3 η. (Ισχύς, συντελεστής ισχύος, βελτίωση συντελεστή ισχύος. Τριφασικά δίκτυα, γραμμές μεταφοράς)

Transcript

1 - 1 - Ενότητα 3 η (Ισχύς, συντελεστής ισχύος, βελτίωση συντελεστή ισχύος. Τριφασικά δίκτυα, γραμμές μεταφοράς) Στην παρούσα ενότητα παρουσιάζεται το θέμα της ισχύος σε μονοφασικά και τριφασικά συμμετρικά κυκλώματα. Η ανάλυση των τριφασικών συμμετρικών κυκλωμάτων/συστημάτων ανάγεται στην ανάλυση ενός ισοδύναμου μονοφασικού κυκλώματος και τα αποτελέσματα που προκύπτουν επεκτείνονται στη συνέχεια στο τριφασικό σύστημα. Στα κυκλώματα ΕΡ υπεισέρχεται η μιγαδική ισχύς, η οποία εμπεριέχει την πραγματική και την άεργη ισχύ του κυκλώματος. Η πραγματική ή μέση ισχύς είναι αυτή η οποία παράγει το πραγματικό έργο, π.χ. τη μηχανική ισχύ στον άξονα ενός κινητήρα, τη θερμότητα που παράγει μια ηλεκτρική θερμάστρα ή ένα ηλεκτρικός θερμοσίφωνας κλπ., σε ένα κύκλωμα και καταγράφεται από τους μετρητές ηλεκτρικής ενέργειας, ενώ η άεργη ισχύς δεν παράγει πραγματικό έργο, αλλά είναι αναγκαία για τη δημιουργία μαγνητικού ή ηλεκτρικού πεδίου στα πηνία και στους πυκνωτές του κυκλώματος αντίστοιχα. Είναι αναγκαίο, η πραγματική ισχύς να παρέχεται στο φορτίο με όσο το δυνατόν υψηλότερο συντελεστή ισχύος. Υψηλός συντελεστής ισχύος σημαίνει ότι η πηγή προσφέρει την ίδια πραγματική ισχύ στο φορτίο με μικρότερη ένταση ρεύματος γραμμής, άρα με μικρότερες απώλειες γραμμής και επομένως με χαμηλότερο κόστος διάθεσης της ισχύος προς το φορτίο. Τα αντίθετα συμβαίνουν όταν μειώνεται ο συντελεστής ισχύος. Στις περιπτώσεις που αυτό δεν είναι εφικτό, π.χ. σε ισχυρά επαγωγικά φορτία, τότε επιβάλλεται να γίνει διόρθωση του συντελεστή ισχύος του φορτίου με την τοποθέτηση κοντά σε αυτό πυκνωτών αντιστάθμισης κατάλληλης χωρητικότητας. (3.1) Ισχύς σε μονοφασικά γραμμικά κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Ο σκοπός των ηλεκτρικών κυκλωμάτων και γενικότερα των ηλεκτρικών δικτύων είναι η μεταφορά ενέργειας/ισχύος από την πηγή ή τις πηγές ηλεκτρικής ενέργειας στις θέσεις κατανάλωσής της, δηλαδή στα ηλεκτρικά φορτία που μπορεί να είναι ωμικοί αντιστάτες, πηνία ή πυκνωτές ή και συνδυασμός των αυτών. Για την ανάλυση του θέματος θα εξεταστούν μονοφασικά κυκλώματα, τα οποία διεγείρονται από πηγές τάσης ή ρεύματος με ημιτονοειδή σήματα, αφού το σύνολο σχεδόν της ηλεκτρικής ενέργειας παράγεται, διανέμεται και καταναλώνεται υπό ημιτονοειδή μορφή. Το θέμα της ισχύος παρουσιάζεται πρώτα στο πεδίο του χρόνου, προκειμένου να διευκρινιστεί η φυσική σημασία των εννοιών που εξετάζονται, και στη συνέχεια στο πεδίο της συχνότητας, από όπου προκύπτουν τα κατάλληλα εργαλεία για την πρακτική αντιμετώπιση του θέματος.

2 - - (3.1.1) Ισχύς στο πεδίο του χρόνου Έστω η διάταξη του Σχήματος 3.1(α), η οποία αποτελείται από τα κυκλώματα Κ 1 και Κ συνδεδεμένα μεταξύ τους με δύο αγωγούς. Το κύκλωμα Κ 1 περιέχει και πηγές, ενώ το κύκλωμα Κ περιέχει μόνο παθητικά στοιχεία. Έστω, ακόμη, ότι η τάση και το ρεύμα ακροδεκτών είναι ημιτονοειδή σήματα του χρόνου και δίνονται από τις σχέσεις και cos cos v t t t cos cos i t t t όπου είναι το πλάτος της τάσης, είναι το πλάτος του ρεύματος, είναι ενεργός τιμή της τάσης και είναι η ενεργός τιμή του ρεύματος. Υπενθυμίζεται ότι (εξ..6) η σχέση μεταξύ πλάτους και ενεργού τιμής ενός ημιτονοειδούς μεγέθους, π.χ. ηλεκτρικής τάσης, είναι (3.1) (3.) (α) p, v, i, P v(t) p(t) i(t) P wt (1) () phi v - phi i (β) Σχήμα 3.1. (α) Ροή ηλεκτρικής ισχύος από ένα κύκλωμα σε άλλο. (β) Κυματομορφές των p(t), v(t), i(t) και P για επαγωγική συμπεριφορά του παθητικού κυκλώματος Κ.

3 - 3 -,77 (3.3) Λαμβάνοντας υπόψη τις συζευγμένες φορές αναφοράς (παρ.1..1), η στιγμιαία ηλεκτρική ισχύς, p(t), που μεταφέρεται από το ένα κύκλωμα στο άλλο στη διάταξη του Σχήματος 3.1 μπορεί να είναι θετική p t v t i t που σημαίνει ότι η ισχύς ρέει από το κύκλωμα Κ 1 προς το κύκλωμα Κ ή αρνητική p t v t i t που σημαίνει ότι η ισχύς ρέει από το κύκλωμα Κ προς το κύκλωμα Κ 1. Η στιγμιαία ηλεκτρική ισχύς (εξ.1.3) στο κύκλωμα του Σχήματος 1.3(α) είναι cos cos cos cos p t v t i t t t t t και λαμβάνοντας υπόψη την τριγωνομετρική ταυτότητα (3.4) (3.5) (3.6) 1 cos Acos B cos cos A B A B (3.7) η εξ.(3.6) μετατρέπεται στην cos cos p t t t 1 1 p t t p t t cos cos cos cos Η εξ.(3.8) παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον στην ανάλυση της ηλεκτρικής ισχύος κυκλώματος ΕΡ στη μόνιμη ημιτονοειδή κατάσταση. Ο πρώτος όρος είναι μία σταθερά, ανεξάρτητη από το χρόνο και ονομάζεται μέση ισχύς (average power) ή πραγματική ισχύς (real power) ή ενεργός ή δρώσα ισχύς active power) και ο δεύτερος όρος είναι μια εναλλασσόμενη ημιτονοειδή ισχύς με διπλάσια συχνότητα από αυτή που επιβάλλεται από τις πηγές του κυκλώματος (Κ 1 ) και ονομάζεται άεργη ισχύς (reactive power). Στο Σχήμα 3.1(β) παρουσιάζονται οι κυματομορφές των όρων της εξ.(3.8), δηλαδή της στιγμιαίας ισχύος pt, της μέσης ισχύος cos P και της ημιτονοειδούς ισχύος cos t όταν το παθητικό κύκλωμα Κ 1 έχει επαγωγική συμπεριφορά (το ρεύμα καθυστερεί της τάσης ακροδεκτών). Η στιγμιαία ισχύς ως φυσικό μέγεθος έχει περιορισμένη εφαρμογή. Ενδιαφέρει συνήθως σε ηλεκτρονικά κυκλώματα με ημιαγωγούς (τρανζίστορ, θυρίστορ κλπ.) η μέγιστη τιμή της στιγμιαίας ισχύος να μην υπερβεί κάποιο ανώτερο όριο, προκειμένου να διασφαλιστεί η ασφαλής και (3.8)

4 - 4 - αποτελεσματική λειτουργία αυτών των διατάξεων. Από το Σχήμα 3.1(β), παρατηρούμε ότι η στιγμιαία ισχύς μηδενίζεται στα σημεία που μηδενίζεται η τάση ή το ρεύμα. Η μέση ισχύς που μεταφέρεται από το ένα κύκλωμα στο άλλο εντός μιας περιόδου Τ είναι η μέση τιμή της ποσότητας p(t) στην εξ.(3.8) T pt pt dt cos cos t dt T T T 1 1 pt cos dt T και T 1 p t P cos cos Δηλαδή, η πραγματική ισχύς ισούται με το γινόμενο των ενεργών τιμών της τάσης επί του ρεύματος επί το συνημίτονο της μεταξύ τους διαφοράς φάσης. Βέβαια, η εξ.(3.9) προκύπτει και με απλή θεώρηση της εξ.(3.8), εάν ληφθεί υπόψη ότι ο δεύτερος όρος του δεύτερου μέλους της εξ.(3.8) ισούται με μηδέν, αφού η μέση τιμή ημιτονοειδούς συνάρτησης του χρόνου είναι μηδενική. Επειδή σε ένα παθητικό κύκλωμα, όπως για παράδειγμα το Κ, η διαφορά φάσης μεταξύ της τάσης και του ρεύματος ακροδεκτών βρίσκεται πάντα στο διάστημα (3.1) η ποσότητα cos είναι πάντοτε θετική ( cos 1 ) και επομένως η πραγματική ισχύς (εξ.3.9) είναι πάντοτε θετική. Για την περίπτωση της διάταξης του Σχήματος 3.1(α) η πραγματική ισχύς ρέει από το κύκλωμα Κ 1 προς το κύκλωμα Κ, όπου και καταναλώνεται. Ο όρος cos στην εξ.(3.9) ονομάζεται συντελεστής ισχύος (ΣΙ, power factor, pf) και παρουσιάζει ιδιαίτερο πρακτικό και οικονομικό ενδιαφέρον στη μεταφορά και διανομή της ηλεκτρικής ενέργειας στις καταναλώσεις (ηλεκτρικά φορτία). Η σημασία του συντελεστή ισχύος θα αναλυθεί στην επόμενη παράγραφο. Η εναλλασσόμενη ισχύς που μεταβάλλεται ημιτονοειδώς με διπλάσια συχνότητα γύρω από τη μέση ισχύ, δεν εκφράζει μια πραγματικά καταναλισκόμενη ισχύ, αφού η μέση τιμή της εντός μιας περιόδου είναι μηδενική, και για το λόγο αυτό ονομάζεται άεργη ισχύς. Όπως παρατηρούμε από το Σχήμα 3.1(β), η άεργη ισχύς αλλάζει πρόσημο και συνεπώς εκφράζει μια ανταλλαγή ισχύος μεταξύ των κυκλωμάτων Κ 1 και Κ. Έτσι, για το διάστημα (1) (αρνητική ημιπερίοδος) είναι p(t) < και η ισχύς ρέει από το κύκλωμα Κ προς το κύκλωμα Κ 1, ενώ για το διάστημα (1) () είναι p(t) > και η ισχύς ρέει από το κύκλωμα Κ 1 προς το κύκλωμα Κ. Διαφορετικά, κατά τη θετική ημιπερίοδο προσφέρεται άεργη και πραγματική ισχύς από την πηγή προς το φορτίο και κατά την αρνητική ημιπερίοδο επιστρέφεται άεργη ισχύς από το φορτίο (3.9)

5 - 5 - p(t) v(t) i(t) wt (α) (β) v(t) p(t) i(t) wt (γ) p(t) (δ) v(t) i(t) wt (ε) (στ) Σχήμα 3.. Κυκλώματα με παθητικά στοιχεία R, L, και οι κυματομορφές της στιγμιαίας ισχύος p(t), της τάσης v(t) και του ρεύματος i(t). (α), (β) Για καθαρό ωμικό αντιστάτη. (γ), (δ) Για καθαρή αυτεπαγωγή. (ε), (στ) Για καθαρή χωρητικότητα. προς την πηγή. Τελικώς, επειδή τα θετικά εμβαδά της p(t) είναι μεγαλύτερα από τα αρνητικά εμβαδά συνάγεται ότι, κατά μέσο όρο, κατά τη θετική ημιπερίοδο υπάρχει μια καθαρή ροή ισχύος (η πραγματική ισχύς) που ρέει σταθερά από το κύκλωμα Κ 1 προς το κύκλωμα Κ.

6 - 6 - Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η μελέτη της συμπεριφοράς των παθητικών στοιχείων R, L και στη ροή ισχύος, η οποία αναλύεται στη συνέχεια. Στο Σχήμα 3. παρουσιάζονται οι κυματομορφές τάσης, ρεύματος και στιγμιαίας ισχύος των τριών παθητικών στοιχείων, όταν τροφοδοτούνται από πηγή ΕΡ. Εάν το κύκλωμα αποτελείται μόνο από αντιστάσεις (Σχήμα 3.α), η διαφορά φάσης μεταξύ της τάσης και του ρεύματος είναι στο Σχήμα 3.β) με μία μέση ισχύς (εξ.3.9) και η στιγμιαία ισχύς παρουσιάζει μόνο θετικά εμβαδά (καμπύλη p(t) 1 PR R R Εάν το κύκλωμα περιλαμβάνει μόνο πηνία (Σχήμα 3.γ) ή μόνο πυκνωτές (Σχήμα 3.δ), η διαφορά φάσης μεταξύ της τάσης και του ρεύματος είναι πυκνωτές και επομένως θα είναι 9 για τα πηνία και 9 για τους cos. Άρα, η πραγματική ισχύς που καταναλώνεται σε παθητικά κυκλώματα με καθαρή επαγωγική ή χωρητική συμπεριφορά είναι P P L Όπως παρατηρούμε από τα Σχήματα 3.(δ) και (στ), η στιγμιαία ισχύς στα παθητικά στοιχεία αποθήκευσης είναι ημιτονοειδούς μορφής με συχνότητα διπλάσια της συχνότητας της πηγής και επομένως αντιπροσωπεύει άεργη ισχύ. Κατά τη θετική ημιπερίοδο της στιγμιαίας ισχύος, όπου η τάση και το ρεύμα παίρνουν θετικές τιμές, η ισχύς ρέει από την πηγή προς το στοιχείο για τη δημιουργία μαγνητικού ή ηλεκτρικού πεδίου, στην περίπτωση πηνίου ή πυκνωτή αντίστοιχα, ενώ κατά την αρνητική ημιπερίοδο της στιγμιαίας ισχύος, όπου η τάση και το ρεύμα έχουν αντίθετα πρόσημα, η ισχύς ρέει από το στοιχείο προς την πηγή. Δηλαδή, η άεργη ισχύς ανταλλάσσεται διαρκώς ανάμεσα στο στοιχείο και την πηγή. Στα κυκλώματα ΕΡ, θεωρείται η σύμβαση ότι η άεργη ισχύς που αναφέρεται στις επαγωγές λαμβάνεται ως θετική, ενώ η άεργη ισχύς που αναφέρεται στις χωρητικότητες λαμβάνεται ως αρνητική. Ή διαφορετικά, οι επαγωγές (τα πηνία) θεωρούνται καταναλώσεις άεργης ισχύος, ενώ οι χωρητικότητες (πυκνωτές) θεωρούνται πηγές άεργης ισχύος. (3.1.) Ισχύς στο πεδίο της συχνότητας (3.1..1) Μιγαδική ισχύς Για τον ορισμό της μιγαδικής ισχύος (complex power) κυκλώματος ΕΡ αναφερόμαστε στο κύκλωμα Κ δύο ακροδεκτών του Σχήματος 3.3(α), στο οποίο η τάση και το ρεύμα ακροδεκτών στο πεδίο της συχνότητας είναι (3.13) (3.14) (3.11) (3.1

7 - 7 - αντίστοιχα. Όπου, είναι το πλάτος της τάσης και του ρεύματος αντίστοιχα,, είναι η ενεργός τιμή της τάσης και του ρεύματος αντίστοιχα και φ, φ είναι η αρχική φάση της τάσης και του ρεύματος αντίστοιχα. Στις περισσότερες εφαρμογές ανάλυσης δικτύων/κυκλωμάτων ηλεκτρικών εγκαταστάσεων, όπου η πηγή τάσης του κυκλώματος είναι η τάση ΕΡ του δικτύου, η αρχική φάση της τάσης λαμβάνεται φ = και το διάνυσμα της τάσης στο πεδίο της συχνότητας θεωρείται ως διάνυσμα αναφοράς. Εάν το μιγαδικό συζυγές του ρεύματος είναι (Σχήμα 3.3β) (3.15) ορίζεται η ποσότητα (3.16) (α) (β) (γ) (δ) Σχήμα 3.3. (α) Κύκλωμα ΕΡ δύο ακροδεκτών στο πεδίο της συχνότητας. (β) Το μιγαδικό συζυγές διάνυσμα του ρεύματος. (γ) Τρίγωνο ισχύος. (δ) Τρίγωνο ισχύος για επαγωγικό (Q>) και χωρητικό (Q< ) φορτίο. η οποία ονομάζεται μιγαδική ισχύς. Η μιγαδική ισχύς στο πεδίο της συχνότητας είναι ένα διάνυσμα με μέτρο 1 (3.17) και όρισμα

8 - 8 - Το μέτρο της μιγαδικής ισχύος (εξ.3.17) ονομάζεται φαινόμενη ισχύς (apparent power) και υπολογίζεται εύκολα από το γινόμενο των ενεργών τιμών της τάσης και του ρεύματος ακροδεκτών του κυκλώματος. Η ενεργός τιμή της τάσης και του ρεύματος ακροδεκτών λαμβάνεται εύκολα από τις ενδείξεις ενός αμπερομέτρου (Α), το οποίο συνδέεται σε σειρά με το φορτίο και ενός βολτομέτρου (), το οποίο συνδέεται παράλληλα προς το φορτίο, όπως φαίνεται στο Σχήμα 3.3(α). Η μιγαδική ισχύς (εξ.3.16) σε ορθογωνική μορφή είναι 1 1 cos j cos j sin sin (3.18) (3.19) Από την εξ.(3.19), παρατηρούμε ότι το πραγματικό μέρος της μιγαδικής ισχύος είναι η μέση (πραγματική ή ενεργός) ισχύς, η οποία υπολογίστηκε στην παρ.(3.1.1), εξ.(3.9), 1 P cos cos και το φανταστικό μέρος είναι η άεργη ισχύς, η οποία ονομάζεται και φανταστική ισχύς, (3.) 1 Q sin sin Λαμβάνοντας υπόψη τις εξς.(3.) και (3.1), η μιγαδική ισχύς γράφεται P j Q P Q 1 tan Q P (3.1) (3.) και παριστάνεται ως διάνυσμα στο μιγαδικό επίπεδο στο Σχήμα 3.3(γ). Το ορθογώνιο τρίγωνο του Σχήματος 3.3(γ) με υποτείνουσα τη φαινόμενη ισχύ και με κάθετες πλευρές την πραγματική και άεργη ισχύ ονομάζεται τρίγωνο ισχύος. Από το Σχήμα 3.3(γ) ορίζεται και ο συντελεστής ισχύος του κυκλώματος P P PF cos P Q (3.3) Θα πρέπει να επισημανθεί ότι η εξ.(3.3) ισχύει μόνο για τα γραμμικά κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση, τα οποία εξετάζονται στην παρούσα ενότητα, όπου ο συντελεστής ισχύος συμπίπτει με το συνηµίτονο της διαφοράς φάσης μεταξύ της τάσης και ρεύματος ακροδεκτών. Στην περίπτωση των μη γραμμικών κυκλωμάτων, το φορτίο απορροφά από την πηγή ένα περιοδικό μεν εναλλασσόμενο ρεύμα, όχι όμως ημιτονοειδές. Για τον προσδιορισμό του πραγματικού συντελεστή ισχύος ενός μη γραμμικού φορτίου πρέπει να αναλυθεί το ρεύμα φορτίου σε σειρά Fourier (μετασχηματισμός Fourier), δηλαδή να υπολογιστούν τα πλάτη του ρεύματος της θεμελιώδους αρμονικής (fundamental frequency) και τα πλάτη

9 - 9 - των ανώτερων αρμονικών ρευμάτων (higher order current harmonics) και στη συνέχεια να υπολογιστεί ο πραγματικός συντελεστής ισχύος του φορτίου. Το θέμα, όμως, αυτό θα αναλυθεί σε επόμενη ενότητα. Μέχρι τώρα έχουν οριστεί τα τρία είδη ισχύος που συναντώνται στα γραμμικά κυκλώματα ΕΡ, η φαινόμενη, η πραγματική και η άεργη ισχύς. Και οι τρεις ποσότητες ισχύος πρέπει να εκφράζονται κανονικά με τη φυσική μονάδα μέτρησης της ισχύος, η οποία είναι το Watt (W). Εντούτοις, για να είναι δυνατή η διάκριση μεταξύ τους, χρησιμοποιούνται διαφορετικές μονάδες μέτρησης για κάθε μία από αυτές. Βέβαια, η διαφοροποίηση αυτή στις μονάδες μέτρησης είναι μόνο λεκτική, αφού και οι τρεις ποσότητες εκφράζουν πάντοτε ισχύ. Έτσι, η μονάδα μέτρησης της πραγματικής (μέσης, ενεργού) ισχύος είναι το Watt (W), η μονάδα μέτρησης της άεργης (φανταστικής) ισχύος είναι το olt Ampere Reactive (AR) και η μονάδα μέτρησης της φαινόμενης ισχύος είναι το olt Ampere (A). Ας προσπαθήσουμε τώρα να συνδέσουμε τη μιγαδική ισχύ που προσφέρεται από την πηγή στο φορτίο με τη σύνθετη αντίσταση του φορτίου. Λαμβάνοντας υπόψη τις εξς.(3.13)-(3.14) και με εφαρμογή του νόμου του Ohm στο πεδίο της συχνότητας, η σύνθετη αντίσταση του φορτίου (κύκλωμα Κ στο Σχήμα 3.3α) είναι Z cos j sin R j X (3.4) Z cos j sin R j X Όπου το πραγματικό μέρος της σύνθετης αντίστασης του φορτίου είναι R cos cos και το φανταστικό μέρος της σύνθετης αντίστασης του φορτίου είναι (3.5) X sin sin Αντικαθιστώντας τις εξς.(3.5) και (3.6) στην εξ.(3.19), η μιγαδική ισχύς που προσφέρεται στο φορτίο θα είναι 1 1 P j Q R j X R j X (3.6) (3.7) Από την εξ.(3.7), παρατηρούμε ότι η ενεργός ισχύς που καταναλώνεται στο φορτίο σχετίζεται αποκλειστικά και μόνο με τις ωμικές αντιστάσεις και η άεργη ισχύς σχετίζεται αποκλειστικά και μόνο με το φανταστικό μέρος της σύνθετης αντίστασης του φορτίου, οφείλεται δε μόνο σε στοιχεία που αποθηκεύουν ενέργεια (πηνία ή πυκνωτές). Το μέτρο της πραγματικής και άεργης ισχύος (εξ.3.7) είναι και 1 P R R (3.8)

10 - 1 - αντίστοιχα. και 1 Q X X Εάν το φορτίο έχει επαγωγική συμπεριφορά θα είναι X L 1 QL X X (3.9) (3.3) (3.31) και Εάν το φορτίο έχει χωρητική συμπεριφορά θα είναι 1 X (3.3) Q (3.33) Δηλαδή, επιβεβαιώνεται η παρατήρηση που διατυπώθηκε στην παρ.(3.1.1) ότι, η άεργη ισχύς στο πηνίο είναι θετική και επομένως καταναλώνει άεργη ισχύ, ενώ η άεργη ισχύς στον πυκνωτή είναι αρνητική και επομένως παράγει άεργη ισχύς. Η ιδιότητα αυτή του πυκνωτή να παράγει άεργη ισχύ, αξιοποιείται στην πράξη για τη βελτίωση του συντελεστή ισχύος σε ισχυρά επαγωγικά φορτία, όπως θα αναλύσουμε σε επόμενη παράγραφο. Το γεγονός ότι το πηνίο χαρακτηρίζεται από θετική άεργη ισχύ και ο πυκνωτής από αρνητική άεργη ισχύ, αυτό πρέπει να λαμβάνεται υπόψη κατά τη σχεδίαση του τριγώνου ισχύος. Έτσι, όταν η άεργη ισχύς του καταναλωτή είναι θετική, το τρίγωνο ισχύος σχεδιάζεται με την κάθετη πλευρά Q πάνω από τον οριζόντιο πραγματικό άξονα, ενώ όταν η άεργη ισχύς είναι αρνητική, η κάθετη πλευρά Q σχεδιάζεται κάτω από τον οριζόντιο πραγματικό άξονα (Σχήμα 3.3δ). (3.1..) Βελτίωση του συντελεστή ισχύος Ο συντελεστής ισχύος είναι ένα ιδιαίτερα σημαντικό μέγεθος από οικονομικής σκοπιάς και αφορά τόσο τον καταναλωτή (φορτίο) όσο και την εταιρία παραγωγής και διανομής ηλεκτρικής ενέργειας (ΔΕΗ). Για την κατανόηση της σημασίας του συντελεστή ισχύος, ας θεωρήσουμε ένα επαγωγικό φορτίο που καταναλώνει πραγματική ισχύ Ρ με συντελεστή ισχύος cos(φ φ Ι ) = cosφ, όπου φ = φ φ Ι, και απορροφά από το δίκτυο ενεργό ένταση ρεύματος Ι υπό ενεργό τάση. Το μέτρο της έντασης του ρεύματος που απορροφά ο καταναλωτής από το δίκτυο προκύπτει από την εξ.(3.) και είναι

11 P P cos cos Θεωρώντας ότι η πραγματική ισχύς, Ρ, που απορροφά ο καταναλωτής από το δίκτυο ηλεκτρικής ενέργειας είναι δεδομένη και σταθερή, όπως σταθερή θεωρείται και η τάση του δικτύου, τότε οι παράγοντες που μπορούν να μεταβληθούν είναι το ρεύμα και ο συντελεστής ισχύος. Αυτό που ενδιαφέρει κυρίως είναι το μέτρο της έντασης του ρεύματος που απορροφά ο καταναλωτής το δίκτυο. Από την εξ.(3.34), παρατηρούμε ότι η ένταση του ρεύματος μειώνεται με την αύξηση του συντελεστή ισχύος και αυξάνεται με τη μείωση του συντελεστή ισχύος. Μείωση του συντελεστή ισχύος σημαίνει ότι η διαφορά φάσης μεταξύ της τάσης και της έντασης μεγαλώνει και επομένως ο καταναλωτής απορροφά περισσότερη άεργη ισχύ από το δίκτυο. Τα αντίθετα συμβαίνουν με την αύξηση του συντελεστή ισχύος. Δηλαδή, ο συντελεστής ισχύος είναι ένα μέτρο της άεργης ισχύος που ανταλλάσσεται μεταξύ καταναλωτή και δικτύου ηλεκτρικής ενέργειας. Σύμφωνα με τα παραπάνω, εάν ο καταναλωτής έχει χαμηλό συντελεστή ισχύος απορροφά μεγάλη ένταση ρεύματος από το δίκτυο, με αποτέλεσμα να εμφανίζονται υψηλές απώλειες ισχύος (απώλειες Joule, R ) επάνω στη γραμμή μεταφοράς ηλεκτρικής ενέργειας. Επιπλέον, χαμηλός συντελεστής ισχύος σημαίνει ότι ο καταναλωτής απορροφά μεγάλη άεργη ισχύ από το δίκτυο, την οποία βεβαίως πρέπει να παράγουν οι γεννήτριες (πηγές) του δικτύου. Το αποτέλεσμα είναι, με τη μείωση του συντελεστή ισχύος, να αυξάνεται το κόστος διάθεσης ηλεκτρικής ισχύος στον καταναλωτή, το οποίο κόστος επιβαρύνει βεβαίως την εταιρία διανομής ηλεκτρικής ενέργειας. Αυτός είναι ο λόγος που η εταιρία διανομής ηλεκτρικής ενέργειας απαιτεί από τους καταναλωτές να απορροφούν πραγματική ηλεκτρική ισχύ από το δίκτυο με υψηλό συντελεστή ισχύος. Στην πράξη, τώρα, υπάρχουν καταναλωτές με ισχυρά επαγωγικά φορτία, τα οποία καταναλώνουν μεγάλες ποσότητες άεργης ισχύος και επομένως παρουσιάζουν χαμηλό συντελεστή ισχύος. Τέτοιοι καταναλωτές είναι, για παράδειγμα, βιομηχανικές και εμπορικές εγκαταστάσεις, όπου λειτουργεί συνήθως ένας μεγάλος αριθμός συσκευών με επαγωγική συμπεριφορά, όπως ηλεκτρικοί κινητήρες, μετασχηματιστές κλπ. Στις περιπτώσεις αυτές, απαιτείται η βελτίωση του συντελεστή ισχύος της ηλεκτρικής εγκατάστασης, δηλαδή η αύξηση του συντελεστή ισχύος στην επιθυμητή τιμή. Η βελτίωση του συντελεστή ισχύος επαγωγικού φορτίου επιτυγχάνεται με την προσθήκη πυκνωτών συνδεδεμένων παράλληλα προς το φορτίο, η διαδικασία δε αυτή ονομάζεται αντιστάθμιση άεργης ισχύος. Με την τοποθέτηση των πυκνωτών αντιστάθμισης, οι οποίοι είναι πηγές άεργης ισχύος, ένα μέρος της άεργης ισχύος που καταναλώνει το επαγωγικό φορτίο παράγεται τοπικά από τους πυκνωτές και προσφέρεται στο φορτίο, ενώ το υπόλοιπο ποσό άεργης ισχύος του φορτίου παρέχεται από το δίκτυο ηλεκτρικής ενέργειας. Το αποτέλεσμα είναι η αύξηση (βελτίωση) του συντελεστή ισχύος του επαγωγικού (3.34)

12 - 1 - καταναλωτή, αφού τώρα το δίκτυο παρέχει στο φορτίο μόνο ένα τμήμα από το συνολικό ποσό άεργης ισχύος που χρειάζεται. (α) (β) (γ) (δ) (ε) (στ) Σχήμα 3.4. (α) Επαγωγικό φορτίο χωρίς αντιστάθμιση. (β) Επαγωγικό φορτίο με πυκνωτή αντιστάθμισης. (γ) Διανυσματικό διάγραμμα τάσης-έντασης χωρίς αντιστάθμιση. (δ) Διανυσματικό διάγραμμα ισχύων χωρίς αντιστάθμιση. (ε) Διανυσματικό διάγραμμα τάσης-έντασης με αντιστάθμιση. (στ) Διανυσματικό διάγραμμα ισχύων με αντιστάθμιση. Ας υπολογίσουμε τώρα την αναγκαία χωρητικότητα των πυκνωτών αντιστάθμισης. Έστω το επαγωγικό φορτίο του Σχήματος 3.4(α) που συνδέεται σε δίκτυο ΕΡ με σταθερή τάση και το οποίο απορροφά άεργη ισχύ Q L και ένταση ρεύματος L με συντελεστή ισχύος cosφ 1. Στο Σχήμα 3.4(γ) δίνεται το διανυσματικό διάγραμμα τάσης-έντασης του επαγωγικού φορτίου χωρίς αντιστάθμιση. Το διάνυσμα

13 της τάσης λαμβάνεται ως διάνυσμα αναφοράς (φ = ) και συμπίπτει με τον πραγματικό άξονα. Το ρεύμα L καθυστερεί ως προς την τάση κατά τη γωνία φ Ι = φ 1 και αναλύεται σε δύο συνιστώσες p και q, οι οποίες είναι οι προβολές του διανύσματος του ρεύματος L στον πραγματικό και φανταστικό άξονα αντίστοιχα. Τα μέτρα των συνιστωσών p και q είναι p L cos 1 (3.35) και q L sin 1 (3.36) αντίστοιχα Οι δύο συνιστώσες του ρεύματος έχουν συγκεκριμένο ρόλο στη μεταφορά ισχύος προς το φορτίο. Συγκεκριμένα, στη συμφασική προς την τάση συνιστώσα του ρεύματος, p οφείλεται η μεταφορά της πραγματικής ισχύος (Watt) προς το φορτίο, ενώ στην κάθετη συνιστώσα του ρεύματος, q οφείλεται η μεταφορά της άεργης ισχύος (AR) προς το φορτίο. Πράγματι, συνδυάζοντας τις εξς.(3.) και (3.35), καθώς και τις εξς.(3.1) και (3.36) και θέτοντας, προκύπτει L L και cos1 P cos L L p (3.37) sin1 QL L sin L q (3.38) Η συνιστώσα p ονομάζεται και βαττική συνιστώσα και η συνιστώσα q ονομάζεται άεργη ή αβαττική συνιστώσα. Σύμφωνα λοιπόν με τις εξς.(3.37 και (3.38), η πραγματική ισχύς είναι ανάλογη της βαττικής συνιστώσας p και η άεργη ισχύς είναι ανάλογη της άεργης ή αβαττικής συνιστώσας του ρεύματος q. Ακόμη, συνδυάζοντας τις εξς.(3.35) και (3.36), ισχύει L p q Έστω, τώρα, ότι επιχειρείται η βελτίωση του συντελεστή ισχύος του επαγωγικού φορτίου στην τιμή cosφ > cosφ 1, τοποθετώντας παράλληλα προς το φορτίο πυκνωτή αντιστάθμισης άεργης ισχύος κατάλληλης χωρητικότητας (Σχήμα 3.4β). Το διανυσματικό διάγραμμα τάσης-ρευμάτων για τη διάταξη του Σχήματος 3.4(β) φαίνεται στο Σχήμα 3.4(ε). Το ρεύμα του πυκνωτή j προπορεύεται της τάσης κατά 9 (παρ..4.3) και αφαιρείται από το άεργο ρεύμα του επαγωγικού φορτίου. Έτσι, ενώ χωρίς αντιστάθμιση το άεργο ρεύμα που απορροφά το φορτίο είναι q, με την αντιστάθμιση το φορτίο απορροφά από το δίκτυο μικρότερο άεργο ρεύμα, ίσο με: (3.39) ' q L (3.4)

14 Δηλαδή, μικρότερο κατά το ρεύμα του πυκνωτή. Μείωση όμως του άεργου ρεύματος σημαίνει (εξ.3.39) και μείωση του ρεύματος που απορροφά το φορτίο από το δίκτυο για την ίδια πραγματική ισχύ (Σχήμα 3.4ε). Στα ίδια ποιοτικά συμπεράσματα καταλήγουμε εάν αναλύσουμε το θέμα της αντιστάθμισης με βάση τη μιγαδική ισχύ και το τρίγωνο ισχύων. Τα διανυσματικά διαγράμματα μιγαδικής ισχύος χωρίς και με αντιστάθμιση του φορτίου φαίνονται στα Σχήματα 3.4(δ) και (στ) αντίστοιχα. Παρατηρούμε ότι με την αντιστάθμιση μειώνεται η άεργη ισχύς που απορροφά το φορτίο από το δίκτυο, κατά το ποσόν της άεργης ισχύος του πυκνωτή (Q L Q ). Τελικώς, με τη μείωση της άεργης ισχύος, μειώνεται και η φαινόμενη ισχύς που απορροφά το φορτίο από το δίκτυο ( ). 1 Το ζητούμενο σε διατάξεις αντιστάθμισης είναι να επιλεγεί ο κατάλληλος πυκνωτής, δηλαδή να προσδιοριστεί η αναγκαία χωρητικότητα του πυκνωτή ή των πυκνωτών, σε περίπτωση εγκατάστασης ομάδων πυκνωτών. Από τα Σχήματα 3.4(δ) και (στ), προκύπτουν και Q tan1 L P (3.41) tan Q Q P L Αντικαθιστώντας το Q L από την εξ.(3.41) στην εξ.(3.4), η αναγκαία άεργη ισχύς του πυκνωτή είναι Q P tan tan 1 Επιπλέον, η άεργη ισχύς που παράγει ένας υπολογίζεται και από την εξ.(3.31) και είναι (3.4) (3.43) Συνδυάζοντας τις εξς.(3.43) και (3.44), προκύπτει Q X X P tan1 tan (3.44) (3.45) Παράδειγμα 3.1 Φορτίο με σύνθετη αντίσταση 15 3 Z j συνδέεται με πηγή ΕΡ (δίκτυο ΔΕΗ), συχνότητας load 5 (Hz) και τάσης 3 sin v t t με γραμμή, η οποία εμφανίζει σύνθετη αντίσταση Zline 1,5 j 4. Ζητούνται να υπολογιστούν: (α) το ρεύμα load την πραγματική PL και άεργη ισχύ ισχύ L και η τάση L στο φορτίο, (β) Q που απορροφά το φορτίο, (γ) την πραγματική P Ql που καταναλώνεται στη γραμμή, (δ) την πραγματική P και άεργη ισχύ L line P και άεργη Q που παράγεται από τη l

15 γεννήτρια, (ε) οι συντελεστές ισχύος στο φορτίο και στην πηγή και (στ) η χωρητικότητα του πυκνωτή που πρέπει να συνδεθεί παράλληλα προς την πηγή, ώστε ο συντελεστής ισχύος της πηγής να ισούται με τη μονάδα. Να δειχθεί επίσης ότι διατηρείται στο κύκλωμα το ισοζύγιο της ενεργού και άεργης ισχύος. Λύση Για την επίλυση του προβλήματος γίνεται αναφορά στο κύκλωμα του Σχήματος 3.5(α) μετασχηματισμένο στο πεδίο της συχνότητας. (α) Με εφαρμογή του νόμου των τάσεων του Kirchhoff στο πεδίο της συχνότητας στο μοναδικό βρόχο του κυκλώματος του Σχήματος 3.5(α) προκύπτει L Rl RL j Xl X L και L R R j X X L j A 1, ,5 j 34 37, 7964,11 j l L l L,66 5,48 6,9 64,11 ( ) Για τον υπολογισμό της έντασης του ρεύματος χρησιμοποιήθηκε η ενεργός τιμή της τάσης της πηγής (3 ) και όχι το πλάτος της τάσης ( 3 35 ). Επομένως, η ένταση του ρεύματος φορτίου που υπολογίστηκε, καθώς και η τάση φορτίου που θα υπολογιστεί στη συνέχεια θα αφορά στην ενεργός τιμή των μεγεθών αυτών. (α) (β) Σχήμα 3.5. Κύκλωμα στο πεδίο της συχνότητας Παραδείγματος 3.1. (α) Χωρίς αντιστάθμιση. (β) Με πυκνωτή αντιστάθμισης. Η τάση στο φορτίο υπολογίζεται με εφαρμογή του νόμου του Ohm, Z R j X 6, 9 64,11 33, 5463, 43 4,11 j, 4 4,13,13 ( ) L L L L L L (β) Η μιγαδική ισχύς που απορροφά το φορτίο από το δίκτυο είναι (εξ.3.16)

16 L L L L L L j A 4,177 6, ,11 14,3 64,11 54, , 6( ) Και η πραγματική και η άεργη ισχύς του φορτίου θα είναι PL και QL 54,4( W ) 1.117,6( AR ) αντίστοιχα. (γ) Η μιγαδική ισχύς που καταναλώνεται στη γραμμή υπολογίζεται από την εξ.(3.7) P j Q R j X R j X l l l l L l L L l l 37, 38 1,5 j 4 55,56 j148,15( A) l και η πραγματική και η άεργη ισχύς που καταναλώνεται στη γραμμή θα είναι P 55,56( W ) l και Ql 148,15( A ) (δ) Λαμβάνοντας υπόψη τις συζευγμένες φορές αναφοράς (εξ.1.8), ώστε η παραγόμενη ισχύς να παράγεται από την πηγή, η μιγαδική ισχύς της πηγής είναι (εξ.3.16) 1 L L j A 3 6, , ,757 64,11 611, ,3( ) Η πραγματική και η άεργη ισχύς που παράγεται από την πηγή είναι P 611,13( W ) και Q 1.59,3( AR ) Από τα αποτελέσματα στα ερωτήματα (β), (γ) και (δ) επαληθεύεται το ισοζύγιο ενεργού και άεργης ισχύος: P P P, Q Q Q. Οι μικρές αποκλίσεις οφείλονται στις στρογγυλοποιήσεις στα L l L l δεκαδικά των αριθμών. (ε) Ο συντελεστής ισχύος είναι το συνημίτονο της διαφοράς φάσης μεταξύ των διανυσμάτων τάσης και έντασης. Η διαφορά φάσης μεταξύ των διανυσμάτων τάσης και έντασης στην πηγή είναι 64,11 64,11 και ο συντελεστής (pf) ισχύος στην πηγή pf cos cos 64,11, 4366

17 Αντίστοιχα, ο συντελεστής ισχύος στο φορτίο (pf) L είναι,13 64,11 61,98 και pf L cos cos 61,98, 4698 (στ) Το κύκλωμα με πυκνωτή αντιστάθμισης παρουσιάζεται στο Σχήμα 3.5(β). Στο ερώτημα (δ) βρέθηκε ότι η άεργη ισχύς που παράγεται από την πηγή είναι 1.59,3 (AR). Για να λειτουργεί η πηγή με συντελεστή ισχύος ίσο με τη μονάδα, πρέπει αυτή την άεργη ισχύ να την προσφέρει ο πυκνωτής. Δηλαδή, ο πυκνωτής πρέπει να παράγει ισχύ: Q 1.59,3( AR ). Η αναγκαία χωρητικότητα του πυκνωτή αντιστάθμισης υπολογίζεται από την εξ.(3.44) και είναι Q Q 1.59, 3 F F f ,77 1 ( ) 75,77( ) Παράδειγμα 3. Το κύκλωμα του Σχήματος 3.6(α) διεγείρεται από την πηγή ρεύματος i t 1 cos t ( A ). Δίνονται επιπλέον: R 1 = 3 (Ω), L 1 = 35 (mh), R = 7 (Ω), = 4 (µf) και f = 5 (Hz). Ζητούνται να υπολογιστούν: (α) η ενεργός και η άεργη ισχύς που απορροφάται από κάθε κλάδο του κυκλώματος, (β) η ενεργός και η άεργη ισχύς που παράγεται από την πηγή και (γ) οι συντελεστές ισχύος των κλάδων και της πηγής. Λύση (α) Το κύκλωμα στο πεδίο της συχνότητας δίνεται στο Σχήμα 3.6(β). Οι σύνθετες αντιστάσεις των κλάδων (1) και () είναι 3 Z1 R1 j L1 3 j j 1, , 474, 74 ( ) και Z R j R j 7 j 7 j 7,9577 1, 6 48, 66 6 f 541 αντίστοιχα. Τα ρεύματα στους κλάδους (1) και () υπολογίζονται με τον κανόνα του διαιρέτη ρεύματος στο πεδίο της συχνότητας (παρ.1.1). Είναι: Z 1,6 48, ,95 j 9,3 11, 41 65,56 ( A) Z Z 3 j11, 7 j 7, 96 και 1

18 Z 11,4 74, , 5 j 9,3 19, 5 57,84 ( A) 1 Z1 Z 3 j11, 7 j 7, 96 (α) (β) Σχήμα 3.6. Κυκλώματα Παραδείγματος 3.. (α) Στο πεδίο του χρόνου. (β) Στο πεδίο της συχνότητας. Η μιγαδική ισχύς κάθε κλάδου υπολογίζεται από την εξ.(3.7). Η μιγαδική ισχύς του κλάδου (1) είναι P1 jq1 R 1, j X 1, R 1 j X 1 R j L 11, 41 3 j11, j ,74 ( A) και η ενεργός και η άεργη ισχύς του κλάδου (1) P ( W ) και Q ( AR ) αντίστοιχα. Η μιγαδική ισχύς του κλάδου () είναι 1 1 P j Q R, j X, R j X 1 R j 19, 5 7 j7, j , 66 ( A) και η ενεργός και η άεργη ισχύς του κλάδου () P 83.49( W ) και Q 94.64( AR ) αντίστοιχα.

19 (β) Η τάση στα άκρα της πηγής είναι ίση με την τάση στα άκρα των κλάδων (1) και (). Με εφαρμογή του νόμου του Ohm, προκύπτει 1 1 Z1 Z 1.141, j184, ,8 9,18 ( ) και η μιγαδική ισχύς που προσφέρει η πηγή είναι (εξ.3.16) j A 1.155,8 1 9, , ( ) Από τα αποτελέσματα που προέκυψαν στα ερωτήματα (α) και (β) επιβεβαιώνεται το ισοζύγιο πραγματικής και άεργης ισχύος, αφού ισχύει: P P1 P, Q Q1 Q. (γ) Ο συντελεστής ισχύος του κλάδου (1) είναι pf _1 1 1 cos cos 9,18 65, 56 cos 74, 74, 63 Αντίστοιχα, ο συντελεστής ισχύος του κλάδου () είναι pf _1 cos cos 9,18 57,84 cos 48, 66, 665 και ο συντελεστής ισχύος της πηγής pf _1 cos cos 9,18 cos 9,18,987 Παράδειγμα 3.3 Δύο μονοφασικοί κινητήρες ΕΡ τροφοδοτούνται από το δίκτυο της ΔΕΗ μέσω καλωδίου (γραμμής), όπως δείχνει το Σχήμα 3.7(α). Η τάση του δικτύου είναι v t 3 cos t ( ), η συχνότητα του δικτύου είναι 5 (Hz), η πραγματική ισχύς και ο συντελεστής ισχύος των κινητήρων Μ 1 και Μ είναι P Μ1 = 5 (kw) με (ΣΙ) Μ1 = 8 % και P Μ = 4 (kw) με (ΣΙ) Μ = 7 % αντίστοιχα και η σύνθετη αντίσταση της Z, j,5. Παράλληλα προς την πηγή συνδέεται μια συστοιχία (ομάδα) γραμμής είναι l πυκνωτών, ώστε ο συντελεστής ισχύος της πηγής να ισούται με τη μονάδα. Ζητούνται: (α) να υπολογιστούν τα ρεύματα των κινητήρων, το ρεύμα της πηγής και το ρεύμα γραμμής πριν την τοποθέτηση των πυκνωτών αντιστάθμισης. (β) Να υπολογιστούν τα ίδια μεγέθη του ερωτήματος (α) και επιπλέον να υπολογιστεί η χωρητικότητα και το ρεύμα των πυκνωτών. (γ) Να υπολογιστεί η μιγαδική ισχύς των κινητήρων, η μιγαδική ισχύς της πηγής, η μιγαδική ισχύς απωλειών της γραμμής και να σχεδιαστούν τα διανυσματικά διαγράμματα των ρευμάτων και των ισχύων για τα ερωτήματα (α) και (β). Λύση Η επίλυση του προβλήματος θα πραγματοποιηθεί στο πεδίο της συχνότητας, στη μόνιμη ημιτονοειδή κατάσταση. Το φορτίο της πηγής είναι η γραμμή μεταφοράς ηλεκτρικής ενέργειας, στην οποία καταναλώνεται πραγματική και άεργη ισχύ και οι μονοφασικοί ηλεκτρικοί κινητήρες. Οι ηλεκτρικοί

20 - - κινητήρες είναι συσκευές που μετατρέπουν την ηλεκτρική ισχύ σε μηχανική ισχύ, την οποία αποδίδουν στον άξονα περιστροφής, όπου και συνδέεται το μηχανικό φορτίο του κινητήρα. Η μετατροπή της ηλεκτρικής σε μηχανική ισχύ επιτυγχάνεται μέσω ισχυρών μαγνητικών πεδίων, τα οποία παράγονται από τα πηνία (τυλίγματα) του κινητήρα και τα οποία παρουσιάζουν μεγάλο συντελεστή αυτεπαγωγής. Δηλαδή, οι ηλεκτρικοί κινητήρες είναι ισχυρά επαγωγικά φορτία κατανάλωσης άεργης ισχύος. Έτσι, ο ηλεκτρικός κινητήρας απορροφά πραγματική ισχύ για την παραγωγή της μηχανικής ισχύος στον άξονά του και άεργη ισχύ για τη δημιουργία του αναγκαίου μαγνητικού πεδίου στο διάκενο της μηχανής (πρόκειται για το διάκενο αέρος μεταξύ του στάτη και του δρομέα της μηχανής). (α) Για την εύρεση των ρευμάτων που απορροφούν οι κινητήρες από το δίκτυο, θα αγνοηθεί η πτώση τάσης πάνω στη γραμμή μεταφοράς και επομένως η τάση λειτουργίας των κινητήρων θα θεωρηθεί ότι είναι ίση με την τάση της πηγής. Η παραδοχή αυτή ισχύει μόνο για γραμμές μικρού μήκους. Για γραμμές μεσαίου και μεγάλου μήκους υφίσταται μία πτώση τάσης στη γραμμή μεταφοράς, με αποτέλεσμα η τάση λειτουργίας του κινητήρα (και γενικότερα του φορτίου) να είναι μικρότερη από την τάση της πηγής. Το θέμα όμως αυτό θα αναλυθεί εκτενώς σε επόμενη ενότητα, όπου και θα παρουσιαστεί η μελέτη βιομηχανικών εγκαταστάσεων κίνησης. Κινητήρας Μ 1 Το διάνυσμα της τάσης της πηγής λαμβάνεται ως διάνυσμα αναφοράς: 3. Ο συντελεστής ισχύος του κινητήρα είναι: (ΣΙ) Μ1 = 8% =,8 και επομένως το ρεύμα του κινητήρα καθυστερεί ως προς το διάνυσμα της τάσης κατά τη γωνία: φ Μ1 = cos -1 (,8) = 36,87. Η ενεργός τιμή της έντασης του ρεύματος του κινητήρα είναι (εξ.3.34) P ,87( A ) M1 1 1 cos 1 3cos 36,87 3,8 M M M και η διανυσματική έκφραση του ρεύματος M 1 M 1 M 1 135,87 36,87 ( A ) Η βαττική ( p,m1 ) και η άεργη ( q,m1 ) συνιστώσα του ρεύματος M 1 είναι (εξς.3.35 και 3.36) cos 135,87,8 18, 7( A ) p, M 1 M1 M 1 και sin 1cos 135,87 1,8 81, 5( A ) q, M 1 M1 M1 M 1 M1 αντίστοιχα. Η άεργη και η φαινόμενη ισχύς που απορροφά ο κινητήρας από το δίκτυο υπολογίζονται από τις εξς.(3.1) και (3.) αντίστοιχα