Методина гранични елементи за инженери

Методина гранични елементи за инженери доц. д-р Тодорка Самарџиоска Градежен факултет УКИМ -Скопје

Типовина формулации со гранични елементи директна формулација: Интегралната равенка е формулирана во врска со непознатите гранични изворни функции (потенцијали или генерализирани поместувања) и нивните изводи (флуксови или генерализирани деформации). Почетната точка за изведување на директната интегрална равенка е или користење на исказот со тежинските остатоци или користење на Bett-реципрочната теорија. Функциите во внатрешните точки се пресметуваат со користење на друга интегрална равенка базирана на интегралите од првата гранична интегрална равенка. Заради диференцирањето, редот на сингуларитет во втората интегрална равенка е повисок (вообичаено хипер сингуларност). Меѓутоа, таков сингуларитет не се појавува бидејќи таквата равенка се користи само за пресметување на функциите во внатрешните точки. Недоволна точност може да се добие за точки блиски до границата. Таквите нови равенки се многу корисни во моделирање на прснатини или за точно пресметување на граничните флуксови или напрегања. Исто така, може да се користат и за генерирање на нови равенки за точките во аглите на повеќе поврзани домени.

Типовина формулации со гранични елементи индиректна формулација: Формулирана е со земање во предвид на суперпозиција на ефектите на фиктивните флуксови или деформации приложени на границата во внатрешна точка. (а не во врска со изворните функции и нивните деривативи, како во директната формулација). Ако истата формулација се спроведе врз основа на дисконтинуирани поместувања, резултирачката формулација содржи хипер сингуларни интеграли и се вика индиректна формулација базирана на дисконтинуираност на поместувањата. Последнава метода се користи за моделирање прснатини, бидејќи може да се разгледува како еквивалентен случај на хипер-сингуларните директни интегрални равенки.

МЕТОДАНА ГРАНИЧНИ ЕЛЕМЕНТИ (МГЕ) ЗА РАВЕНКИТЕ 0 И b. Општо За да се конструира квантитативен математички модел за речиси секој вид на систем, се почнува од определување на однесувањето на бесконечно мал диференцијален елемент, базирано врз претпоставени врски помеѓу главните инволвирани променливи, што води кон опис со систем од диференцијани равенки. МГЕ тежнее да ги интегрира на некој начин диференцијалните равенки аналитички, пред било какво спроведување на некаква дискретизациона шема или воведување на некакви апроксимации.

МЕТОДАНА ГРАНИЧНИ ЕЛЕМЕНТИ (МГЕ) ЗА РАВЕНКИТЕ Основната идеја на МГЕ е да ја трансформира оригиналната парцијална диференцијална равенка (ПДР), или систем од ПДРи што го дефинираат даден физички проблем, во еквивалентна интегрална равенка (или систем) со користење на соодветната Гринова теорема и нејзиното фундаментално решение. На овој начин, некоја или сите променливи во полето е неопходно да се дефинираат само по границата. 0 И b Ω qq n Слика.: Геометриска дефиниција на доменот со границата

.. Равенка на Лаплас (Laplace) 0.. Основни релации Почетната гранична интегрална равенка која е потребна за методата може да се изведе на едноставен начин врз основа на принципот на тежински остатоци, реципрочната теорема на Бети, третиот идентитет на Грин или со фундаменталните принципи како што е виртуелната работа. Предноста на користењето на техниката со тежински остатоци е нејзината општост; таа дозволува екстензија на методата за решавање на покомплексни парцијални диференцијални равенки и може да се користи исто така за да методата на гранични елементи се доведе во врска со други нумерички техники.

.. Равенка на Лаплас (Laplace) 0 Равенкана Лаплас во Д или 3Д домен: 0 во домен Ω (.) со следните гранични услови: неопходни или Drchlet, тип на, q n природни или Nemann, тип на. (.) + е надворешната граница што го затвора доменот Ω, а n е нејзината надворешна нормала. Можат да се приложат и мешани или Robn, покомплексни гранични услови од типот, a + b c n (.3) каде што a, bи cсе познати параметри. Последните нема да бидат овде разгледувани, заради поедноставување на проблемот. q

.. Равенка на Лаплас (Laplace) 0 Грешките вклучени во горните равенки, ако точните (но непознати) променливи на и q се заменети со приближно решение, можат да се минимизираат со нивно ортогонализирање во функција од тежинската функција, чиј нормален дериватив вдолж границата е q n. Со други зборови, ако R се остатоците, во општ облик може да се напише дека: R 0 R R q q во Ω (.4) на, на каде и q се приближни вредности (фактот дека еден или повеќеодостатоцитеможатдабидатеднаквинанулане отстапува од општоста на аргументот). 0 0

.. Равенка на Лаплас (Laplace) 0 Горните остатоци може да се помножат со функциите и q или како што следува: Ω Ω R dω R d R q d ( ) dω ( q q ) d ( ) (.5) (.6) Целта на оваа процедура е да се присилат остатоците да бидат нула во просечна смисла. q d Ω x Со едно интегрирање на (.6) се добива k x k dω q d q d (.7) користејќи ја таканаречената Ајнштајнова конвенција за суми за повторливи индекси, со k,,3. q d + q d

.. Равенка на Лаплас (Laplace) 0 Со повторно интегрирање по делови на членовите од левата страна на равенката се добива, Ω ( ) dω q d q d + q d + (.8) Оваа важна равенка е почетната точка за примена на методата на гранични елементи. Целта е формулата (.8) да се трансформира во гранична интегрална равенка. Ова е направено со користење на специјален тип на тежинска функција, наречена фундаментално решение. q d

.. Равенка на Лаплас (Laplace) 0 Фундаментално решение Фундаменталното решение го претставува полето генерирано со концентриран единечен извор кој дејствува во точка. Ефектот на овој извор се шири од точката кон бесконечност, без земање во предвид на гранични услови. Заради ова, ја задоволува следната равенка на Поасон (Posson), + (.9) каде што ја претставува функцијата Дирак делта која што оди кон бесконечност во точката xx и е еднаква на нула во секоја друга точка. Интегралот од над доменот е еднаков на единица. Употребата на функцијата Дирак делта е елегантен начин на презентирање на единечните концентрирани извори и сили кога се работи со диференцијални равенки. 0

.. Равенка на Лаплас (Laplace) 0 Интегралот на функцијата Дирак делта помножен со друга функција е еднаков на вредноста на таа функција во точката. Оттаму, Ω ( ) dω ( ) dω Ω (.0) Равенката (.8) сега може да се напише како + q d + q d q d + q d (.) Потребно е да се запамти дека равенката (.) одговара на концентриран извор во и, како последица на тоа, вредностите на и q се оние кои одговараат на таа определена позиција на изворната точка. За секоја различна позиција се добива нова интегрална равенка.

.. Равенка на Лаплас (Laplace) 0 За изотропен тридимензионален медиум фундаменталното решение на равенката на Лаплас (.9) е ( x, y, z) 4π r додека за дводимензионален медиум е дадено со: ( x, y) log π r (.) (.3) каде што r е растојанието од точката на апликација на концентрираниот извор до секоја друга точка која што се разгледува.

.. Равенка на Лаплас (Laplace) 0.. Гранични интегрални равенки Изведена е интегралната равенка (.) која важи за секоја точка од доменот Ω. Кај граничните елементи вообичаено е препорачливо од пресметувачки причини равенката (.) да се приложи на границата и заради тоа, неопходно е да се пронајде што се случува кога точката е на границата. Едноставенначиндасенаправитоаедасеразгледаточката која е на границата, но доменот е зголемен со една хемисфера со радиус (во 3Д) како што е покажано на слика.а). За Д се применува истото, со таа разлика што наместо хемисфера се разгледува полукруг, слика.б). Точката се разгледува како центар и потоа се пресметува лимитот како што радиусот тежнее кон нула. Точката потоа ќе стане гранична точка и резултантниот израз ќе биде специјален случајна (.) заточкана.

.. Равенка на Лаплас (Laplace) 0.. Гранични интегрални равенки Изведена е интегралната равенка (.) која важи за секоја точка од доменот Ω. Кај граничните елементи вообичаено е препорачливо од пресметувачки причини равенката (.) да се приложи на границата и заради тоа, неопходно е да се пронајде што се случува кога точката е на границата. Едноставенначиндасенаправитоаедасеразгледаточката која е на границата, но доменот е зголемен со една хемисфера со радиус (во 3Д) како што е покажано на слика.а). За Д се применува истото, со таа разлика што наместо хемисфера се разгледува полукруг, слика.б). Точката се разгледува како центар и потоа се пресметува лимитот како што радиусот тежнее кон нула. Точката потоа ќе стане гранична точка и резултантниот израз ќе биде специјален случајна (.) заточкана.

.. Равенка на Лаплас (Laplace) 0 Слика.б: Гранични точки за дво-и тро-димензионални случаи, зголемени за хемисфера или полукруг

.. Равенка на Лаплас (Laplace) 0 Заради поедноставување, ја разгледуваме равенката (.) пред да се приложат било какви гранични услови, т.е. q d + qd (.4) Интегралите од типот покажан на десната страна на равенката (.4) се лесни за пресметување бидејќи тие се од понизок ред на сингуларност, т.е. за три-димензионален случаи интегралот по дава: lm ε 0 ε { } πε q d lm q d lm q 0 ε ε 0 ε 4πε ε 0 4πε (.5) Со други зборови, интегралот од десната страна на равенката е континуиран кога изрази како равенките (.) и (.4) се доведенидограницата.

.. Равенка на Лаплас (Laplace) 0 Меѓутоа, интегралот од левата страна на равенката се однесува на друг начин. Во овој случај, го имаме следниот резултат: { } πε lm q d lm d lm (.6) ε 0 0 ε ε 4 0 ε πε ε 4πε Ова значи дека интегралот има дисконтинуитет или скок на границата, и произведува таканаречен слободен член. Лесно е да се провери дека истото ќе се појави и за дводимензионален случај, кога интегралот од десната страна на равеката е еднаков на нула, а интегралот ос левата страна станува lm ε 0 { } πε q d lm d lm ε ε 0 ε πε ε 0 πε (.7)

.. Равенка на Лаплас (Laplace) 0 Користејќи ги равенките (.5) и (.7), за дво- и тродимензионални проблеми кога точката се наоѓа на границата, може да се напише следниот израз: q d q + d (.8) каде што интегралите се во облик на главни вредности на Коши. Оваа гранична интегрална равенка се користи како почетна точка за формулација на граничните елементи.

.. Равенка на Лаплас (Laplace) 0..3. МГЕ за равенката на Лаплас Равенката (.8) треба да се дискретизира за да се изнајде системот од равенки од кој ќе се пресметаат граничните вредности. Заради поедноставност, се претпоставува дека телото е дво-димензионално и неговата граница е поделена во Nсегменти или елементи, слика.3. а) константни елементи б)линеарни елементи в)квадратни елементи Слика.3: Различни видови на гранични елементи

.. Равенка на Лаплас (Laplace) 0 Се усвојува дека границата е поделена на N елементи. Равенката (.8) може да се дискретизира за дадена точка пред приложување на граничните услови, како што следува + N q d (.9) Во случај на константни елементи, вредностите на и q се усвоени како константни по целиот елемент и еднакви на вредноста во јазелот во средина на елементот. Точките на краевите на елементот се користат само заради дефинирање на геометријата на проблемот. Треба да се забележи дека за овој тип на елементи границата е секогаш мазна во јазлите бидејќи тие се наоѓаат во средина на елементите, па заради тоа множителот на е секогаш. N q d

.. Равенка на Лаплас (Laplace) 0 Вредностите и q може да се извадат надвор од интегралите. За секој елемент тие се нарекуваат и q, па следува N N (.0) + q d q d Сега постојат два типа на интеграли кои што треба да се решат по елементите, т.е. q d и d Горните интеграли го доведуваат во врска секој јазел каде што е приложено фундаменталното решение секој друг јазел. Заради ова, нивните резултантни вредности понекогаш се нарекуваат влијателни коефициенти. Ако се заменат со H q d d G и (.)

.. Равенка на Лаплас (Laplace) 0 Оттука, за определена точка може да се напише: Ако се воведе δ + N H H H (.) (.3) каде е Кронекер делта, на таков начин што на му се додава вредноста / кога, тогаш равенката (.) може да биде напишана како N H N (.4) Ако позицијата на јазелот варира од до N, т.е. ако фундаменталното решение се приложува во секој јазел сукцесивно, се добива систем од равенки како резултат на приложувањето на равенката (.4) во секоја гранична точка. N q G + δ G q H

.. Равенка на Лаплас (Laplace) 0 Во матрична форма овој систем од равенки може да се изрази како (.5) H Gq каде што Hи Gсе NxNматрици, а и qсе вектори со должина N. Во системот на равенки (.) има само N непознати, бидејќи N вредности од и N вредности од q се познати на и соодветно (N N + N ). За да се воведат овие гранични услови, системот на равенки треба да се преуреди со преместување на колони од Hи Gод една страна на друга. Кога сите непознати ќе бидат преместени од левата страна на равенката, може да се напише Ax (.6) каде што хе вектор на непознати гранични вредности на и q, а усе определува со множење на соодветните колони од H или G со познатите вредности на или q. Интересно е да се напомене дека сега непознатите се мешавина од потенцијалот и неговите нормални деривативи. y

.. Равенка на Лаплас (Laplace) 0 Равенката (.6) може да се реши и да се определат сите гранични вредности. Потоа, може да се определат и внатрешните вредности на и q. Вредностите на се пресметуваат во секоја внатрешна точка со помош на равенката (.) која може да се напише во кондензирана форма како: q d q d Во овој случај фундаменталното решение се разгледува да делува на внатрешна точка и сите вредности на и q G H N G q (.7) (.8) Коефициентите и треба да се пресметаат одново за секоја различна внатрешна точка. N H

.. Равенка на Лаплас (Laplace) 0 Вредностите на внатрешните флуксови во двата правци, q x x и q y y се пресметуваат со деривација на (.7), т.е. q ( qx ) q d d x x x (.9) ( ) q qy q d d y y y Од горните равенки се забележува дека изводи се бараат само на фундаменталните решенија и q како што се пресметуваат варијациите на флуксот околу точката. Пресметувањето на интегралите за внатрешните точки во (.7) и (.9) вообичаено се прави нумерички.

.. Равенка на Лаплас (Laplace) 0..4. Определување на интегралите G H Коефициентите и во претходните изрази можат да се пресметаат со користење на нумерички инетграциони формули (на пример Гаусова квадратура) за случајот. Во случај кога и се на истиот елемент ( ), сингуларноста на фундаменталното решение бара многу поточна интеграциона шема. За овие интеграли се препорачуваат интеграциони правила од повисок ред или специјални формули (како логаритамски и други трансформации). За практичниот случај на константните елементи, коефициентите H G и може да се пресметаат аналитички. Членовите H се еднакви на нула бидејќи нормалата n и растојанието r од изворната точка се секогаш меѓусебно нормални, т.е. H q d r r n d 0 (.30)

.. Равенка на Лаплас (Laplace) 0 G Интегралите бараат специјално внимание. За Д случај тие се од форма G d π Сл..4: Координатен систем на елементот ln d r 0 r l ξ (.3) l d dr dξ (.3) l -должина на елементот

.. Равенка на Лаплас (Laplace) 0 Земајќи ја во предвид симетријата, равенката (.3) може да се напише како точка точка G ln d ln d π точка r π јазел r (.33) l π 0 ln dξ lξ l ln + π l ln dξ ξ Последниот интеграл е еднаков на единица, така што 0 G l ln + π l (.34)

.. Равенка на Лаплас (Laplace) 0..5 Линеарни елементи Линеарните елементи подразбираат линеарна промена на и qи за тој случај јазлите се усвоени на краевите на елементот, како што е покажано на слика.5. Граничната интегрална равенка (.8) сега може да се генерализира како c q d q + d (.35) Може да се забележи дека вредноста на коефициентот ½пред е заменета со позната вредност c, затоа што ½ важи само за јазел кој се наоѓа на мазен дел од границата (без агли). Вредноста на c за било која гранична точка може да се пресмета како c θ π каде што θе внатрешниот агол во точката во радијани. (.36)

.. Равенка на Лаплас (Laplace) 0 После дискретизацијата на границата во серија од N елементи, равенката (.35) може да се напише како во претходната глава: c + N N q d (.37) Интегралите во оваа равенка се потешки за изведување отколку за константните елементи, затоа што и qсе менуваат линеарно вдолж секој елемент Гј и не е возможно да се извадат пред интегралите. Вредностите на и q во секоја точка од елементот можат да се дефинираат во врска со нивните јазелни вредности и две линеарни интерполациони функции φ и φ, кои се дадени во функција од хомогената координата ξ како што е покажано на слика.5а). q d

.. Равенка на Лаплас (Laplace) 0 а) Дефиниција на линеарен елемент б) Пресек на два елементи в) Дисконтинуирани елементи Слика.5: Линеарен елемент: основна дефиниција и третман на агли

.. Равенка на Лаплас (Laplace) 0 (.38) Бездимензионалната координата ξсе менува од - до и двете интерполациони функции се: (.39) ( ) [ ] + φ φ φ φ ξ ( ) [ ] + q q q q q φ φ φ φ ξ ( ) φ ξ ( ) φ +ξ

.. Равенка на Лаплас (Laplace) 0 За еден елемент,интегралот од левата страна на равенката (.37) може да се напише како q d [ ] [ ] φ φ q d h h каде за секој елемент јпостојат по два члена (.40) и φ q d h φ q d h (.4) (.4)

.. Равенка на Лаплас (Laplace) 0 Слично, и интегралот од десната страна на равенката (.37) дава q d q q q q [ ] [ ] φ φ d g g (.43) каде и φ d g φ d g (.44) (.45)

.. Равенка на Лаплас (Laplace) 0..6 Третман на аглите Во општ случај, дискретизацијата со гранични елементи дава серија од точки со геометриски дисконтинуитет, кои бараат посебно внимание, бидејќи условите на двете страни можат да бидат различни. Кога границата е дискретизирана со линеарни елементи, јазелот на елементот ј е истата точка како и јазелот од елементот +, види слика.5б). Често во практичните проблеми за флуксот постојат различни вредности на двете страни, (за потенцијалот ретко). Бидејќи потенцијалот е единствен во секоја точка од границата, од елементот ј и од елементот ј+имаат иста вредност. За да се земе превид можноста флуксот во јазел да биде различен од флуксот во јазел на следниот елемент, флуксовите можат да бидат подредени во Nполе.

.. Равенка на Лаплас (Laplace) 0 Со замена на равенките (.40) и (.43) за сите елементи во (.37) се добива следната равенка за јазел : (.46) каде е еднаков на членот од елементот ј плус членот од елементот -. Оттука, равенката (.46) претставува асемблирана равенка за јазел, и може да биде напишана како: (.47) [ ] [ ] + N N N N q... q q G... G G... H... H H c H h h, + N N q G H c

.. Равенка на Лаплас (Laplace) 0 Слично како што беше покажано за константните елементи, равенка (.4), оваа формула може да биде напишана како: N H N и целиот систем во матрична форма станува G H Gq q (.48) (.49) каде што G е сега правоаголна матрица со големина NxN.

.. Равенка на Лаплас (Laplace) 0 Во граничен јазел можат да се појават неколку ситуации. Прво, границата да е мазна во тој јазел, и во тој случај двата флукса пред и после јазелот се исти освен ако не се пропишани како различни, но во секој случај само една променлива ќе биде непозната. Второ, јазелот може да е аголна точка. Во овој случај се појавуваат четири можности:. Познати вредности: флуксови пред и после аголот. Непознати вредности: потенцијал.. Познати вредности: потенцијал, флукс пред аголот. Непознати вредности: флукс после аголот. 3. Познати вредности: потенцијал, флукс после аголот. Непознати вредности: флукс пред аголот. 4. Познати вредности: потенцијал. Непознати вредности: флуксови пред и после аголот.

.. Равенка на Лаплас (Laplace) 0 За првите три случаи има само по една непозната по јазел; двете познати вредности се земени од десната страна на равенката и се добива вообичаениот систем на равенки Ax y (.50) каде што хе вектор на непознати, а Ае квадратна матрица, чии колони содржат колони од матрицата H, колони ог матрицата G после промената на знакот или сумата на две последователни колони од Gсо промена на знакот кога непознатата е единствена вредност на флуксот во соодветниот јазел. Познатиот вектор усе пресметува од производот на познатите гранични услови и соодветните коефициенти на матриците H или G. Кога бројот на непознатите во аголен јазел е два (случај 4), потребна е една дополнителна равенка за јазелот. Проблемот исто така може да се реши со користење на идејата за дисконтинуирани елементи.

.. Равенка на Лаплас (Laplace) 0 Нумеричко определување на коефициентите c Ако границата не е мазна во точката, тогаш вредноста и равенката (.6) не се повеќе валидни, па треба да се примени равенката (.36). Друга можност е да се пресметаат дијагоналните членови од матрицата H во равенката (.49) со користење на фактот дека кога рамномерен потенцијал се приложува на ограничен регион, сите деривативи (вклучувајќи ги и q вредностите) мора да бидат нула. Така, равенката (.49) станува (.5) H 0 каде е вектор од константни вредности. Така сумата на сите елементи од било која редица од матрицата Hтреба да биде нула и вредностите на дијагоналните коефициенти можат лесно да се пресметаат откога ќе бидат познати сите вондијагонални коефициенти, т.е. N H H ( ) c (.5)

.. Равенка на Лаплас (Laplace) 0 Горните разгледувања се важечки исклучиво за затворени домени. Кога се работи за бесконечни домени равенката (.5) мора да се модифицира. Ако единечен потенцијал се пропише на неограничениот регион, интегралот q d над фиктивна надворешна граница во бесконечност нема да биде нула, туку ќе даде резултат. q d На овој начин, дијагоналните членови се дадени со следната формула N H H ( ) (.53) Квадратните, кубните и елементите од повисок ред се имплементираат поретко во практиката, иако може да бидат интересни во некои посебни апликации.