Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама r и ϕ.

Transcript

1 VI Савијање кружних плоча Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама и ϕ слика 61 Диференцијална једначина савијања кружне плоче је: ( ϕ) 1 1 w 1 w 1 w Z, ϕ ϕ K Пресечне силе су приказане на слици 6: слика 6 Ротациона симетрија За случај ротационо симетричних граничних услова и оптерећења, ништа не зависи од координате, диференцијална једначина савијања плоче постаје: Једначина (61) је Ојлерова диференцијална једначина чије се решење претпоставља као збир хомогеног w 1 и партикуларног решења w : w w1 + w t Да би се одредило хомогено решење уводи се смена e и диференцијална једначина (61) се своди на следећу диференцијалну једначину са константним коефицијентима: 4 3 d w1 d w1 d w dt dt dt (61) VI-1

2 kt Када се w 1 претпостави у облику w1 e добија се карактеристична једначина: 4 3 k 4k + 4k, чији су корени: k, k 1, 3,4 Коначан израз за хомогени део решења за угиб је: w A B C D 1 + ln + + ln Да би се одредило партикуларно решење w једначина (61) се запише у следећем облику: d d d d d K ( ) 1 d d w 1 dw Z + + Ако израз у другој загради именује као: d w 1 dw + (6) d d K диференцијална једначина (61) може да се напише у облику: d d или: 1 d + Z( ), (63) d 1 d d Z d d ( ) (63а) Једначина (63а) помножи се са и интеграли и добије се израз: d Z( ) d d, који се сад множи са 1 и интеграли, па је: d Z( ) d На основу аналогије једначина (6) и (63) партикуларно решење је: w 1 d d K Изрази за пресечне силе у функцији угиба w за случај ротационе симетрије су: ν dw, d w K + d d ϕ K + ν d d 1 dw d w, 3 d w 1 d w 1 dw T K + d 3 d d ϕ ; T ϕ ϕ, VI-

3 Пример 61 За кружну плочу оптерећену константним површинским оптерећењем, приказану на слици 63, одредити изразе за угиб и пресечне силе Нацртати дијаграме компоненталних напона у тачкама 1 и E 3 Gpa ν d pl m Z 1 kn/m a 3 m Угиб је једнак: слика 63 w w + A+ B + C + D ln ln Одређивање партикуларног интеграла w : 4 Z Израз за угиб може сада да се напише као: w + A+ C или као: 64K Z 4 w ( + A+ C ), што ће и да се користити да вредности за константе А и С, које ће се 64K добити из граничних услова, не би били много мали бројеви Гранични услови: За формирање система једначина потребни су следећи изводи функције угиба по : dw Z 3 d w Z ( 4 + C), ( 1 + C), d 64K d 64K d w ν dw Z K + 1 C + + ν( 4 + C) d d 64 Систем од две линеарне једначине са две непознате је: (1), C () система једначина је: A 351; C 48, односно коначан израз за угиб је: Z w ( ), или: w ( ) 1 m 64K Изрази за пресечне силе су: + 18 ; ; T 5 ϕ VI-3

4 Пример 6 За кружну плочу оптерећену константним површинским оптерећењем, приказану на слици 64, одредити изразе за угиб и пресечне силе Нацртати дијаграме компоненталних напона у тачкама 1 и E 3 Gpa ν d pl m Z 1 kn/m a 3 m слика 64 Израз за угиб је: w Гранични услови: Систем од две линеарне једначине са две непознате је: система једначина је: A C Коначни израз за угиб је: w Изрази за пресечне силе су: ϕ T VI-4

5 Пример 63 За кружну плочу оптерећену моментима савијања по контури, приказану на слици 65, одредити изразе за угиб и пресечне силе Израз за угиб: слика 65 Гранични услови: Систем од две линеарне једначине са две непознате је: A + a C (1) m ( 1+ ν) C () K система једначина је: ma A K 1 ( + ν) m, C, K 1+ ν ( ) односно коначан израз за угиб је: m w a K 1 ( ) ( ) + ν Изрази за пресечне силе су: m, ϕ m, T Овакво напрезање кружне плоче се зове чисто савијање кружне плоче VI-5

6 Пример 64 За кружну плочу оптерећену константним ротационо симетричним површинским оптерећењем, приказану на слици 66, одредити израз за угиб слика 66 Кружна плоча мора да се подели на два дела на месту скоковите промене површинског оптерећења, као што је приказано на слици 67: слика 67 I w II w Гранични услови: Прелазни услови: VI-6

7 Ако су за b једнаки угиби и први изводи функције угиба, да би моменти савијања d w ν dw K + d били једнаки потребно је још да и други изводи буду једнаки па d једначина (5) постаје: Ако су за b једнаки угиби и први и други изводи функције угиба, да би трансверзалне 3 d w 1 d w 1 dw силе T K + d 3 d биле једнаке потребно је још да и трећи изводи буду d једнаки па се једначина (6) своди на: Коначно решење за угиб је: за < < b : ( ) ( ν) ( ) ( ) ( ν) 4 Zb I ν b a b + ν ln a + ν b b w + b ln K 4b 1+ a a 4 1+ a за b< < a : Z b 3+ ν 1 1 ln a ν II 1 w a b b ln a 16K 1+ ν a ( 1+ ν) a VI-7

8 Пример 65 За кружну плочу оптерећену концентрисаном силом која делује у центру кружне плоче, приказану на слици 68, одредити израз за угиб и пресечне силе слика 68 Концентрисана сила P се размаже на кружну површину полупречника b, па је интензитет површинског оптерећења: Z Сада може да се искористи решење из Примера 64: Zb 3+ ν a 1 ν a w limb w limb a 1 ln b 1 b ln, 16K 1+ ν a ( 1+ ν) a P 3+ ν 1 w a ln a 16Kπ 1+ ν a Максимални угиб јавља се у центру кружне плоче: wmax ( ) Изрази за пресечне силе су: ( 1+ ν) P a ln, 4π ϕ ( ν) 1+ P a 1 ν ln + 4π 1+ ν, T VI-8

9 Пример 66 За кружну плочу оптерећену ротационо симетричним површинским оптерећењем, које се мења по линеарном закону, и константним линијским оптерећењем, приказану на слици 69, одредити изразе за угиб и пресечне силе E 3 Gpa ν d pl m Z 1 kn/m P 5 kn/m слика 69 Кружна плоча мора да се подели на три дела, као што је приказано на слици 61: слика 61 Угиби плоча I, II и III су: 4 5 I I I I Z I I w w + A + C + A + C, K 3 5a II II II II II w A B ln C D ln + + +, III III III III III w A B ln C D ln Гранични услови: Прелазни услови: слика 611 VI-9

10 Задаци за домаћи Пример 67 За кружну плочу оптерећену ротационо симетричним површинским оптерећењем, које се мења по закону квадратне параболе, и константним линијским оптерећењем, приказану на слици 61, одредити изразе за угиб и пресечне силе Нацртати дијаграме компоненталних напона у центру кружне плоче слика 61 E 3 Gpa ν d pl 1 m Z 3 kn/m P 1 kn/m a m b 4 m c 6 m Пример 68 За прстенасту кружну плочу, приказану на слици 613, одредити изразе за угиб и пресечне силе услед померања означеног ослонца Померање ослонца има ротационо симетрични карактер Пример 69 слика 613 E 3 Gpa ν d pl 1 m a m b 5 m c o 1 cm За кружну плочу, приказану на слици 614, одредити изразе за угиб и пресечне силе услед померања означеног ослонца E 3 Gpa ν d pl 1 m a 5 m c o 1 cm слика 614 VI-1