2.3. Решавање линеарних једначина с једном непознатом

Transcript

1 . Решимо једначину 5. ( * ) Провера: Број је решење дате једначине... Реши једначину: ) +,5 ) + ) - ) Да ли су следеће једначине еквивалентне? Провери решавањем. ) - 0 и ) +,5 и ) и ) - и 0.. ) Реши једначину: а) -0,5 - б) - в) ( ) 0,5 г) ( ) +. ) Дат је скуп {,, 0,,, }. Који елемент тог скупа је решење једначине: а) + б) - 0,5 - в) 05+, 0,75 г) ^ - h -... Решавање линеарних једначина с једном непознатом Наведимо неке примере израза: 0,5 0 ( ) + y + итд. Међу њима има оних који су линеарни, а има и оних који то нису. Нису линеарни:, а остали јесу. + Под линеарним изразима подразумевамо реалне бројеве и све полиноме првог степена. За полиноме такође знамо да се применом неких својстава реалних бројева, могу довести на тзв. сређени облик. Тако, на пример, за полином ( ), тј. за тај линеарни израз по, биће: ( ) ( ) (дистрибутивни закон) ( ) + (дистрибутивни закон, као и ( ) ) + (јер је ) +. * У даљем решавању једначина изоставља се знак еквиваленције ( ) и навођење правила о еквивалентним једначинама. Тачност резултата се проверава на крају.

2 математикa за VIII разред основне школе Даље, на основу транзитивности једнакости добијамо ( ) +. Десна страна последње једнакости је сређени облик линеарног израза на левој страни. Уопште, важи тврђење о сређеном облику линеарног израза: Нека је A() линеарни израз по. Тада постоје a, b R тако да је A() a + b. 5. ) Дати су изрази: , 0 a πr πr a + b a b. Који од њих су линеарни, а који то нису? ) Доведи на сређени облик линеарне изразе: а) - ` + -- j б) ( ) ( ). Познате су ти неке линеарне једначине. Пример а) + б) в) 8 г) - д) + ђ) 0,5 ^ - h -. Пример Дате су линеарне једначине: 0,5 + 0,5 ( ) a y y 0 z и сл. Прве две су линеарне по, трећа је по a, четврта по y, а пета је линеарна једначина по z. Пример Уочимо линеарну једначину по : + ( ) ( + ). Сређени облици израза леве и десне стране те једначине јесу:, односно. Изврши то сређивање. На основу својства једнакости (једнаке изразе замењујемо једнаким) добијамо да је полазна једначина еквивалентна са једначином. Сада, додавањем израза левој и десној страни једначине добијамо једначину:. (Даље, додавање ), биће: (множењем са ), добија се. Полазна једначина је еквивалентна са једначином. 7

3 Тиме смо проблем решавања полазне једначине свели на решавање једначине, која је једноставнија од полазне. Нека је A B линеарна једначина по. Тада постоје реални бројеви a и b такви да је: A B еквивалентно са a b. За једначину облика a b каже се да је сређена једначина. Тиме је проблем решавања сваке линеарне једначине сведен на проблем решавања одговарајуће сређене једначине. Пример Примери сређених линеарних једначина су: a 8 πr π итд.. ) Напиши неке линеарне једначине у сређеном облику. ) Напиши неке линеарне једначине у облику који није сређен. 7. Одреди сређену једначину еквивалентну са једначином: ),5 + 0,5 ) + - ) ( + ) ( ) ) ) ` j. 8. Реши једначине из задатка 7 и провери добијени резултат. 9. Покажи да су једначине еквивалентне: ) и 5 ) и + 5 ) 0 и ` j. 5 Реши задатак на два начина! 0. Замени једначину еквивалентном једначином једноставнијом за решавање: ) + ) ) - + ^ -^ hh + ) 5 ` j ^ h.. Уочили смо да се решавање линеарних једначина с једном непознатом своди на решавање сређене једначине облика a b, непозната и a, b R. Тада у свим случајевима можемо описати скуп решења: 8

4 математикa за VIII разред основне школе За једначину a b важи тврђење: Ако је a 0, тада једначина има јединствено решење број b. a Заиста: а) -, па је решење б) 0 0 0, па је број 0 решење једначине. Провера: 0 0, тј. 0 0, што потврђује да је 0 решење дате једначине. Да је број b јединствено решење једначине a b, гарантује то што број a 0 има једин- a ствени инверзни број a. Тако имамо: a a a b, тј. b. a Ако је a 0 и b 0, тада једначина a b постаје 0 0, што је тачно за сваки реалан број. Ако је a 0 и b 0, тада једначина a b постаје: 0 b а она нема решењa у скупу реалних бројева. Пример: а) 0 ( ) 0, па је решење једначине број. б) 0 0 итд. Значи, сваки реалан број је решење једначине a b. Пример: а) 0 0, што је нетачно. б) 0 -, 0 -, нетачно. У овом случају једначина a b нема решења (скуп решења је празан скуп).. ) Реши једначину - + 0,5 и покажи да има јединствено решење. ) Скуп реалних бројева је скуп решења једначине Покажи. 8 ) Једначина + нема решења. Покажи. Решења: ) -,5 итд. ) ` j 0 0. Сваки реалан број је решење дате једначине. ) ( ) 0. Не постоји реалан број такав да је производ 0 једнак. Значи, једначина нема решења. 9

5 . Одреди скуп решења једначине: ) -0,5 - ) - 0,5 ) - - ) + ^05, - 0, 5h + 5) ( ) ( ) ) Реши једначину: ) 0, 07, ) 077, - - ) - + ) - 0,5 5) - - 0,5 0,5 ) ( ) ( ) 0,5 7) ( ) 8) ) h (h ) 0 0) ` - j- ` - - j ` j ) 5^ - h -^ -^ -hh ) ^ - h - - ^ - h^ - h ) ` - 5 j ^- hb :. : ) Коју вредност мора имати број a да би разлика израза ^a + h и ^ a + h износила 5 0,? ) Ако је у једначини n природан број, онда је и решење једначине по природан број. Докажи. а) n n б) n n... Примена Једначине се користе за решавање различитих задатака у пракси (физици, геометрији, техничким наукама итд). Задаци (проблеми) биће формулисани обичним речима. Пример Једна страница правоугаоника је cm, а обим 8 cm, одреди дужине страница (сл. ). D C cm Сл. A B Пример Збир два броја је. Један број је два пута већи од другог. Наћи те бројеве. Основни захтев се састоји у томе да се услови задатка исказани обичним речима преведу на тзв. језик једначина. 0