ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β 1 ΓΕΝΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1. ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε α=7, β=5, γ=4. Να βρείτε: 1. το είδος του τριγώνου. την προβολή της β πάνω στη γ 3. το µήκος της διαµέσου ΒΜ 4. την προβολή της ΒΜ στην ΑΓ 5. το ύψος Β 6. το (ΑΒΓ) 7. το ύψος ΑΗ 8. την ακτίνα R του περιγεγραµµένου κύκλου (Ο, R) 9. την ακτίνα ρ του εγγεγραµµένου κύκλου 10. το ηµα 11. το συνα 1. το ΜΕ όπου Ε σηµείο τοµής της ΒΜ µε τον περιγεγραµµένο κύκλο 13. το ΟΜ Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 9 ΘΕΜΑ 1 Ο Στο διπλανό σχήµα η ΒΓ είναι διάµετρος του κύκλου. Α ίνονται ΑΒ=4, ΑΓ=3 και Β =. ( Κ ΒΓ ) Να υπολογίσετε : Β Κ Γ i) την ακτίνα του κύκλου ii) τα µήκη των τµηµάτων Γ, ΚΓ, ΚΒ, Κ ΘΕΜΑ Ο 19 ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε α= 5, γ= 3και µ =. µονάδες 1+13=5 β i. Να βρείτε την πλευρά β και το είδος του τριγώνου ως προς τις γωνίες του. ii. Να υπολογίσετε την γωνία Β και την προβολή της διαµέσου µ α στην πλευρά α.
ΘΕΜΑ 3 ο ίνετε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ µε γ =6, διάµεσο ΑΜ = 4 και γωνία ΒΑΜ ˆ =45 ο. Να υπολογίσετε: i. Την πλευρά α ii. iii. ΘΕΜΑ 4 ο. Την πλευρά β Την προβολή της διαµέσου ΑΜ στην πλευρά ΒΓ. ίνεται κύκλος (Ο, R) µε R=6. Αν η δύναµη του σηµείου Σ ως προς τον κύκλο ισούται µε 64 Γ1. Να υπολογίσετε την απόσταση ΣΟ Γ. Αν ΣΑΒ µια τέµνουσα του κύκλου µε ΣΑ = 6,4, να υπολογίσετε τη χορδή ΑΒ. Γ3. Αν ΣΕ το εφαπτόµενο τµήµα του κύκλου (Ο, R), να υπολογίσετε το ΣΕ Γ4. Αν Μ το µέσο του ΣΒ να υπολογίσετε την διάµεσο ΟΜ του τριγώνου ΣΟΒ. ΘΕΜΑ 5 Ο : ίνεται ένα τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρές α, β, γ τέτοιες ώστε να ισχύει τέµνει τον περιγεγραµµένο κύκλο του τριγώνου ΑΒΓ στο Ε. α. Να εκφράσετε τη διάµεσο ΑΜ συναρτήσει της πλευράς α. β. Να αποδείξετε ότι : ΘΕΜΑ 6 Ο : AM AE = 3a Αν ΑΒΓ ορθογώνιο και Μ τυχαίο σηµείο α. να αποδείξετε ότι MA + MΓ = MB + M β γ = 3α +. Αν η διάµεσος ΑΜ β. Αν ΑΒΓ τετράγωνο και σηµείο στο εσωτερικό του,ώστε ΜΑ =1 ΜΒ= και ΜΓ= 3 να βρεθεί η πλευρά του τετραγώνου. ΘΕΜΑ 7 Ο : Αν η διάµεσος ΑΜ ενός τριγώνου ΑΒΓ τέµνει τον περιγεγραµµένο κύκλο στο Ε και ισχύει β + γ = α, να αποδείξετε ότι : 1. ΒΓ ΑΜ ΜΕ=.. 4 α 3 ΜΕ=. 3α =ΑΜ ΑΕ. 6 ΘΕΜΑ 1 ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 10 ίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρές β=6, γ=4, Ε= 6 3. i) Να αποδείξετε ότι Α = 60 ii) ii) Να υπολογίσετε το ύψος υ β iii) Να υπολογίσετε το ύψος υ α
ΘΕΜΑ. ίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓ µε πλευρές ΑΒ=1, Α =5 και Α =10 ο. 3 1. Να αποδείξετε ότι το εµβαδόν του παραλληλογράµµου ΑΒΓ είναι 30 3. Να υπολογίσετε το ύψος του παραλληλογράµµου που αντιστοιχεί στην πλευρά Γ. 3. Αν ΑΕ=ΕΖ=ΖΒ ( Ε, Ζ σηµεία της ΑΒ ) να υπολογίσετε το εµβαδόν του τραπεζίου ΕΖΓ 4. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα Α Ε και ΒΓΖ είναι ισοδύναµα. 5. Να υπολογίσετε το εµβαδόν του τριγώνου ΜΕΖ, όπου Μ το σηµείο τοµής των Ε και ΓΖ. ΘΕΜΑ 3 ο Αν οι διάµεσοι Α και ΒΕ τριγώνου ΑΒΓ τέµνονται στο Θ, να αποδείξετε ότι : 1. ( ΑΒΕ ) = ( ΒΕΓ ).. ( ΑΘΒ ) = ( ΓΕΘ ) 3. ( ΒΘ ) = ( ΑΘΕ ). ΘΕΜΑ 4 ο Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι: A=90 ο, ΑΒ=8, Β =10, Γ=5,όπου Α το ύψος του ΑΒΓ. και Ε διχοτόµος της ˆ Β Γ. i.να υπολογίσετε το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ ii.nα αποδείξετε ότι (Β Ε)=( ΕΓ) iii. Να υπολογίσετε το εµβαδόν του τριγώνου ΕΓ ΘΕΜΑ 5 ο ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( ˆ ο Α= 90 ) µε ΑΒ =9 και ΑΓ =1. Κατασκευάζουµε έξω από αυτό ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒ. i. Να βρεθεί το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. ii. Να δείξετε ότι (ΑΒΓ) =( ΑΓ). iii. Να δείξετε ότι ( ΒΓ) ( ΑΓ) =( ΑΒ) ΘΕΜΑ 6 ο ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ (Α ΒΓ) µε : ΑΒ = 13, Γ = 15, Α = 11, ΒΓ = 5. Από το Γ φέρουµε ευθεία παράλληλη προς την ΑΒ που τέµνει την προέκταση της Α στο Ε. α) Να δείξετε ότι το εµβαδόν του τριγώνου ΓΕ είναι ίσο µε 84 τ.µ. β) Να υπολογίσετε το εµβαδόν του τραπεζίου ΑΒΓ. γ) Αν Κ το µέσο της ΑΒ και Λ το µέσο της διαγώνιου Β, να υπολογίσετε το εµβαδόν του τριγώνου ΚΛΒ ΘΕΜΑ 7 ο ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρές β=, γ=8 και Α= ˆ 60 ο. Α. Να υπολογίσετε την πλευρά α του τριγώνου ΑΒΓ. Β. α) Να υπολογίσετε την πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου που είναι ισοδύναµο µε το ΑΒΓ. β) Να υπολογίσετε το ύψος του ισοπλεύρου τριγώνου του ερωτήµατος (α).
ΘΕΜΑ 8 Στο διπλανό σχήµα δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ και Ε το µέσον της πλευράς ΑΒ. Προεκτείνουµε την πλευρά ΒΓ ΒΓ προς το Β κατά τµήµα Β = και φέρνουµε την Α. 1 α. Να αποδείξετε ότι : ( ΕΒ ) = ( ΑΒ ). β. Να βρείτε τους λόγους των εµβαδών : ( ΕΒ ) ( ΑΒΓ) και ( ΑΒΓ ) ( Α Γ) 4 γ. Αν ΑΜ η διάµεσος του τριγώνου ΑΒΓ, να αποδείξετε ότι : (Β Ε) = (ΑΜΕ) ΘΕΜΑ 9 ο ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ όπου Μ µέσο της ΒΓ και σηµεία Κ, Λ 1 αντίστοιχα των ΑΓ,ΑΒ τέτοια ώστε ΑΚ = ΑΓκαι 3 ΑΛ= ΑΒ. 3 ΑΛΚ = ΑΒΓ. α) Να αποδείξετε ότι: ( ) ( ) 9 ΚΓΜ ( ) ( ) β) Να υπολογίσετε τους λόγους ( ΑΒΓ) και ΛΒΜ ( ) 5 ΚΛΜ = ΑΒΓ. 18 γ) Να αποδείξετε ότι ( ) ( ) ΘΕΜΑ 10 ο Έστω κύκλος (, ) O R και εξωτερικό Μ σηµείο του Μ ώστε (, ) = 40. O R Από το Μ φέρνουµε τέµνουσα ΜΓ του κύκλου ώστε Γ = R. Αν η ευθεία ΜΟ τέµνει τον κύκλο στα Α και Β, και ΜΟ= 7, τότε: 1. Να αποδείξετε ότι 3 Να αποδείξετε ότι 5 ΑΒΓ. R=. ΜΓ=. ΟΓΜ. 3. Να υπολογίσετε το εµβαδόν ( ) 4. Να αποδείξετε ότι 7( ΑΜΓ ) = 4( ΟΓΜ )
ΘΕΜΑ 11 ο 5 Έστω ΑΒΓ παραλληλόγραµµο µε Μ, Ν τα µέσα των πλευρών του ΒΓ και Γ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: 1 N Γ 1. ( ΑΝΓ ) = ( ΑΜΓ ) = ( ΑΒΓ ). 4. ( ΓΝΜ ) = 1 ( ΑΒΓ ). 8 M 3. ( ΑΜΝ ) = 3 ( ΑΒΓ ). 8 Α Β ΘΕΜΑ 1 ο Κανονικό πολύγωνο έχει ακτίνα R 8 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 11 = cm και πλευρά λ = 8.Να βρείτε: i. Το πλήθος των πλευρών του. ii. Το απόστηµά του. iii. Το εµβαδόν του. ΘΕΜΑ ο Στο διπλανό σχήµα, οι κύκλοι (Κ,3R) και (Λ,R), εφάπτονται εξωτερικά στο σηµείο Γ και το τµήµα ΑΒ είναι εφαπτόµενο και στους δύο κύκλους. Αν το τµήµα ΛΜ είναι κάθετο στην ακτίνα ΚΑ α) Να αποδείξετε ότι ΑΚΓ = 60 ο και ΒΛΓ = 10 ο. β) Να αποδείξετε ότι ΛΜ = ΑΒ = R 3. γ) Να αποδείξετε ότι το εµβαδόν του τραπεζίου ΑΚΛΒ είναι : (ΑΚΛΒ) = 4R 3. δ) Να υπολογίσετε το εµβαδόν Ε του µικτόγραµµου σκιασµένου χωρίου ΑΓΒ. ν ΘΕΜΑ 3 Ο : Θεωρούµε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ µε Α=90 ο µε Β= 60 ο και ΒΓ=4. Με κέντρο το Β και ακτίνα ΒΑ γράφουµε τόξο που τέµνει την ΒΓ στο σηµείο Μ και µε κέντρο το Γ και ακτίνα ΓΜ γράφουµε τόξο που τέµνει την ΑΓ στο Ν. Να βρεθούν : Α. η θέση του σηµείου Μ στην ΒΓ. Β. Η περίµετρος του µεικτόγραµµου τριγώνου ΑΜΝ.
6 ΘΕΜΑ 4 ο ίνεται ένα τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραµµένο σε κύκλο (Ο,R), του οποίου η πλευρά ΑΒ είναι ίση µε την πλευρά του εγγεγραµµένου, στον κύκλο τετραγώνου και η ΑΓ είναι ίση µε την πλευρά του εγγεγραµµένου ισοπλεύρου τριγώνου. Αν είναι το σηµείο στο οποίο το ύψος ΑΗ του τριγώνου τέµνει τον κύκλο, να υπολογίσετε ως συνάρτηση του R: i. Τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ. Μονάδες 9 ii. Το ύψος ΑΗ και τις πλευρές του ΑΒΓ. Μονάδες 1 iii. Το Η Μονάδες 4 ΘΕΜΑ 5 Ο ίνεται κύκλος (0,R) και τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραµµένο στον κύκλο, µε ΒΓ διάµετρο. Φέρνουµε το ύψος Α. α) Αν ΑΒ = 6 και (ΑΒΓ) = 4, να υπολογίσετε τα µήκη των τµηµάτων ΒΓ, Β, Α. β) Αν προεκτείνουµε την ΒΓ προς το µέρος του Γ και πάρουµε σηµείο Ε τέτοιο ώστε ΓΕ = R και ΕΗ είναι το εφαπτόµενο τµήµα από το Ε προς τον κύκλο, να αποδείξετε ότι ΕΗ = λ 3. γ) Να υπολογίσετε το εµβαδόν του καµπυλόγραµµου τριγώνου ΓΕΗ. ΘΕΜΑ 6 ο ίνεται κύκλος (Ο,R), µια διάµετρός του ΑΒ και σηµείο Γ της περιφέρειάς του τέτοιο ώστε ΟΒΓ= ˆ 30 ο.: α) Να αποδείξετε ότι ΑΓ=R και ΒΓ= R 3. β) Να υπολογίσετε τα εµβαδά των τριγώνων (ΑΒΓ) και (ΟΓΑ) συναρτήσει της ακτίνας R του κύκλου (Ο,R). γ) Να υπολογίσετε το εµβαδόν και το µήκος του κύκλου (Ο,R) συναρτήσει της ακτίνας R. δ) Να υπολογίσετε το εµβαδόν και την περίµετρο του γραµµοσκιασµένου κυκλικού τµήµατος συναρτήσει της ακτίνας R ΘΕΜΑ 7 ο Σε κύκλο (Ο, R) θεωρούµε σηµείο Ρ εκτός αυτού τέτοιο ώστε ΟΡ=R. α) Να αποδείξετε ότι ( ) ΒΜΡ = ( ΟΡΒ) β) Να εκφράσετε τη δύναµη του σηµείου Ρ ως προς τον κύκλο (Ο, R) συναρτήσει του R. Ρ γ) Αν (, ) = 7 να βρείτε την ακτίνα R του κύκλου Ο R R δ) Να αποδείξετε ότι: ΑΒ=.
ΘΕΜΑ 1 ο Σ Υ Ν Υ Α Σ Τ Ι Κ Ε Σ ίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραµµένο σε κύκλο ακτίνας R και το ύψος του ΒΒ που τέµνει τον κύκλο στο Ε. i) Να δείξετε ότι ΕΒ = 1 4 ΕΒ. ⅱ) Να δείξετε ότι 3(Β Γ)=(ΑΒΓ), όπου το µέσο του τόξου ΒΓ. ⅲ) Να βρεθεί το εµβαδόν του κυκλικού τµήµατος που ορίζεται από τη χορδή Β και το κυρτογώνιο τόξο Β 7 ΘΕΜΑ ο Σε κύκλο ( Ο, R) θεωρούµε δύο κάθετες χορδές ΑΒ Γ και Γ οι οποίες τέµνονται στοσ µε ΣΑ= 8, ΣΒ = 3 και Σ = 4. 1. Να αποδείξετε ότι ΣΓ= 6. Α Ο Σ Β Ζ. Να υπολογίσετε το εµβαδόν του τετραπλεύρου ΑΒΓ. 3. Αν η εφαπτοµένη του κύκλου στο Γ τέµνει την ευθεία ΑΒ στο σηµείο Ζ και ( ΓΒΖ ) = 7, να αποδείξετε ότι ΖΓ= 6 5. ΘΕΜΑ 3 ο Στο διπλανό σχήµα η ΒΓ είναι διάµετρος του κύκλου ( O, R ), ΑΒ = 6 και ( ΑΒΓ ) = 4. Α 1. Να αποδείξετε ότι R = 5.. Να υπολογίσετε το ύψος Α. 3. Αν Ε σηµείο στην προέκταση του ΒΓ, Β Ο Γ Ε ώστε το εφαπτόµενο τµήµα ΕΗ = R 3, να αποδείξετε ότι ΓΕ = R. 4. Να υπολογίσετε το εµβαδόν ( ΓΗΕ ). Η ΘΕΜΑ 4 ο Στο διπλανό σχήµα, δίνεται κύκλος ( O, R ). Έστω Ρ εξωτερικό σηµείο του τέτοιο ώστε τέµνουσα τέτοια ώστε να ισχύει ΡΒ=4ΡΑ και ΡΓ εφαπτοµένη του. α) Να αποδείξετε ότι η δύναµη του σηµείου Ρ ως προς τον κύκλο ισούται µε Ρ 5R ( Ο, R) = 4 R Ρ =, ΡΑΒ
β) Να υπολογίσετε τη χορδή ΑΒ και την εφαπτοµένη ΡΓ συναρτήσει της ακτίνας R. ( OAB ) γ) Να υπολογίσετε τον λόγο των εµβαδών ( ) POB. δ)αν R=4 να υπολογίσετε την προβολή της πλευράς ΟΒ πάνω στην ΟΡ 8 ΘΕΜΑ 5 ο Στις προεκτάσεις µιας διαµέτρου ΑΒ ενός κύκλου (Ο,R), παίρνουµε τα ΑΓ=R και Β =R. Αν Μ σηµείο του κύκλου τέτοιο ώστε ΓΜ= R 7 : ι) να υπολογιστεί σε συνάρτηση τoυ R το Μ ii) ν.δ.ο. η Μ είναι εφαπτόµενη στον κύκλο iii) αν ΓΜ τέµνει τον κύκλο στο Ε να υπολογιστεί σε συνάρτηση τoυ R το ΓΕ iv) να υπολογιστεί το (ΜΓ ) v) να υπολογιστεί το εµβαδόν του χώρου µεταξύ του τριγώνου ΟΜ και του κύκλου ΘΕΜΑ 6 Ο Να βρεθεί το εµβαδόν του κοινού µέρους δύο ίσων και τεµνόµενων κύκλων µε κέντρα Κ, Λ αν: ι) ΚΛ=R ii) KΛ= R ιιι)κλ= R ΘΕΜΑ 7 Ο Σε κύκλο (Κ, 4) παίρνουµε τις χορδές ΑΒ=λ 3, ΒΓ=λ 6, Γ =λ 4 Να βρείτε το (ΑΒΓ ) αφού πρώτα διαπιστώσετε ότι η ΑΓ είναι διάµετρος. Η ίδια άσκηση αν: AB= 10, ΒΓ= 60, Γ = 90 0 0 0