ΕΝΟΤΗΤΑ 6 ΛΟΓΟΙ-ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ, ΠΟΣΟΣΤΑ, ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ 6 ΛΟΓΟΙ-ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ, ΠΟΣΟΣΤΑ, ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ3.5 Μετατρέπουν δεκαδικούς αριθμούς σε κλάσματα και ποσοστά και αντίστροφα. Αρ4.8 Διερευνούν την έννοια του λόγου, διακρίνουν δύο ανάλογα και δύο μη ανάλογα ποσά και αναφέρουν πότε μια σχέση αφορά ευθέως ανάλογα ή αντιστρόφως ανάλογα ποσά. Υπολογισμοί και εκτίμηση Αρ3.19 Χρησιμοποιούν τη μέθοδο της αναγωγής στην ακέραια μονάδα (προφορικά και γραπτά) στη λύση προβλημάτων. Αρ4.13 Διατυπώνουν και επιλύουν προβλήματα αναλογίας. ΜΕΤΡΗΣΗ Έννοιες χρόνου, ρυθμού και μεταβολής Μ3.8 Διαβάζουν και γράφουν την ώρα (ώρα, λεπτά, δευτερόλεπτα), χρησιμοποιώντας ψηφιακά και αναλογικά ρολόγια. Μ3.11 Εκτιμούν και υπολογίζουν διάρκεια χρόνου πραγματοποίησης γεγονότων στο πλησιέστερο δευτερόλεπτο. ΑΛΓΕΒΡΑ Διερεύνηση σχέσεων και μοτίβων Αλ3.3 Χρησιμοποιούν διατεταγμένα ζεύγη, για να αναπαραστήσουν πληροφορίες από την καθημερινή ζωή (π.χ. η επίδοση ενός μαθητή στα μαθηματικά και στη γλώσσα).

Αλ3.4 Σχεδιάζουν σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων διατεταγμένα ζεύγη ή δεδομένα που δίνονται σε πίνακα. Διερεύνηση εξισώσεων και ανισώσεων Αλ4.16 Επιλύουν προβλήματα χρησιμοποιώντας την έννοια του συνόλου, του πληθικού αριθμού, του «ανήκειν», της τομής, της ένωσης και του συμπληρωματικού συνόλου. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΉ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Διερεύνηση εννοιών στατιστικής ΣΠ3.1 Διαβάζουν και κατασκευάζουν ραβδογράμματα, εικονογράμματα, κυκλικές και γραμμικές γραφικές παραστάσεις με ή χωρίς τη χρήση τεχνολογίας. ΣΠ3.2 Οργανώνουν δεδομένα σε στήλες και χρησιμοποιούν την έννοια του διατεταγμένου ζεύγους. ΣΠ3.4 Περιγράφουν και συγκρίνουν σύνολα δεδομένων, χρησιμοποιώντας τις έννοιες του μέσου όρου, της διαμέσου, της επικρατούσας τιμής, της μέγιστης και ελάχιστης τιμής. Διερεύνηση εννοιών πιθανοτήτων ΣΠ3.7 Καταγράφουν τα αποτελέσματα πειραμάτων τύχης με συστηματικό τρόπο (πολλαπλές επαναλήψεις) με ή χωρίς τη χρήση τεχνολογίας. ΣΠ3.8 Προβλέπουν και υπολογίζουν την πιθανότητα ενός ενδεχομένου, χρησιμοποιώντας την έννοια του λόγου. ΣΠ3.9 Καταγράφουν και βρίσκουν το πλήθος των ενδεχομένων με βάση την αρχή της απαρίθμησης

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Μάθημα 1 (σελίδες 8-12): Έννοια λόγου 1 (μέρος-μέρος, μέρος-όλο, σχέση με κλάσμα) Μάθημα 2 (σελίδες 13-15): Έννοια λόγου 2 (μέρος-μέρος, μέρος-όλο, σχέση με κλάσμα) Μαθήματα 3 και 4 (σελίδες 16-19): Ίσοι λόγοι Μάθημα 5 (σελίδες 20-21): Επίλυση προβλημάτων αναλογίας 1 Μάθημα 6 (σελίδες 22-24): Επίλυση προβλημάτων αναλογίας 2 Μάθημα 7 (σελίδες 25-27): Στρατηγικές επίλυσης προβλημάτων αναλογίας (εντός σχέσεις, εκτός σχέσεις, αναγωγή στην ακέραια μονάδα) Μάθημα 8 (σελίδες 28-30): Περιγραφή και σύγκριση δεδομένων, μέγιστη-ελάχιστη τιμή, εύρος, ώρα-δευτερόλεπτα Μαθήματα 9 και 10 (σελίδες 31-36): Έννοια ποσοστού Μαθήματα 11 και 12 (σελίδες 37-41): Μετατροπές κλάσματα, ποσοστά, δεκαδικοί, κυκλική γραφική παράσταση Μαθήματα 13 και 14 (σελίδες 42-47): Υπολογισμός ποσοστού ως μέρος ποσότητας Μαθήματα 15 και 16 (σελίδες 48-52): Έκφραση πιθανότητας χρησιμοποιώντας την έννοια του λόγου Μάθημα 17 (σελίδες 53-55): Πειράματα τύχης ΣΗΜΕΙΑ ΠΡΟΣΟΧΗΣ Μάθημα 1 (σελίδες 8-12) Εξερεύνηση 1 (σελ. 8) Στόχος της εξερεύνησης είναι η αντιπαραβολή της έννοιας του απόλυτου αριθμού με την έννοια του λόγου που εκφράζει τη σχέση μεταξύ δύο ποσοτήτων. Στο ερώτημα (α) τα παιδιά αναμένεται να απαντήσουν ότι ο τίτλος που επέλεξε ο Μιχάλης δεν είναι κατάλληλος, αφού δεν γίνεται αναφορά στον αριθμό των ατόμων που συμμετείχαν στην έρευνα και άρα δεν μπορεί να οδηγήσει σε συμπεράσματα σχετικά με το μέγεθος του αριθμού αυτού. Στο ερώτημα (β) τα παιδιά θα μπορούσαν να εισηγηθούν, ενδεικτικά, τον τίτλο «326 από τα 500 άτομα ενοχλούνται από τον θόρυβο του αυτοκινητόδρομου» ή τον τίτλο «Περισσότερα

από τα μισά άτομα που συμμετείχαν στην έρευνα ενοχλούνται από τον θόρυβο του αυτοκινητόδρομου». Εξερεύνηση 2 (σελ. 9) Στην εξερεύνηση γίνεται εισαγωγή στην έννοια του λόγου μέσα από ένα ρεαλιστικό πλαίσιο. Σκοπός είναι τα παιδιά να αντιληφθούν την έννοια του λόγου ως μια πολλαπλασιαστική σχέση μέρους-μέρους ή μέρους-όλου. Για παράδειγμα, τα παιδιά αναμένεται να επεξηγήσουν τον κανονισμό της πισίνας για τα παιδιά 5 χρονών και κάτω αναφέροντας την έκφραση «1 ενήλικας για κάθε 2 παιδιά» (μέροςμέρος) ή «2 παιδιά για κάθε 3 άτομα που βρίσκονται στην πισίνα» (μέρος-όλο). Διερεύνηση (σελ. 10) Στο ερώτημα (α), οι πρώτοι δύο λόγοι αναφέρονται σε σχέση μέρους-μέρους (στην ομάδα 9-12 χρονών και στην ομάδα 6-8 χρονών αντίστοιχα), ενώ οι δύο τελευταίοι σε σχέση μέρους-όλου (στην ομάδα 6-8 χρονών και στην ομάδα 9-12 χρονών αντίστοιχα). Στο ερώτημα (β) τα παιδιά αναμένεται να παρατηρήσουν ότι για την ηλικιακή ομάδα 6-8 χρονών, 1 ενήλικας αντιστοιχεί σε 3 παιδιά. Συνεπώς, αφού υπάρχουν 6 παιδιά τότε οι ενήλικες θα πρέπει να είναι 2. Στο ερώτημα (γ) τα παιδιά αναμένεται να απαντήσουν ότι αφού για την ηλικιακή ομάδα 9-12 χρόνων, 1 ενήλικας αντιστοιχεί σε 4 παιδιά, τότε ο μέγιστος αριθμός παιδιών που μπορούν να επιβλέπουν 3 ενήλικες είναι 12. Στο ερώτημα (δ), υπάρχουν περισσότερες από μία ορθές απαντήσεις. Ενδεικτικές απαντήσεις: i. Αν 1 ενήλικας επιβλέπει τα παιδιά 5 χρονών και κάτω και 3 ενήλικες τα παιδιά 6-8 χρονών, τότε ο μέγιστος αριθμός για τα παιδιά της ομάδας 5 χρονών και κάτω είναι 2 και ο μέγιστος αριθμός για τα παιδιά της ομάδας 6-8 χρονών είναι 9. ii. Αν 2 ενήλικες επιβλέπουν τα παιδιά 5 χρονών και κάτω και 2 ενήλικες τα παιδιά 6-8 χρονών, τότε ο μέγιστος αριθμός για τα παιδιά 5

χρονών και κάτω είναι 4 και ο μέγιστος αριθμός για τα παιδιά 6-8 χρονών είναι 6. iii. Αν 3 ενήλικες επιβλέπουν τα παιδιά 5 χρονών και κάτω και 1 ενήλικας τα παιδιά 6-8 χρονών, τότε στην πισίνα ο μέγιστος αριθμός για τα παιδιά 5 χρονών και κάτω είναι 6 και ο μέγιστος αριθμός παιδιών για τα παιδιά 6-8 χρονών είναι 3. Δραστηριότητα 2 (σελ. 11) Ενδεικτικά: η λεκτική περιγραφή του λόγου 60 : 1 στο ερώτημα (α) θα μπορούσε να είναι «ο αριθμός των έγχορδων οργάνων προς τον αριθμό των πληκτροφόρων οργάνων» ή «60 έγχορδα για κάθε ένα πληκτροφόρο όργανο». η συμβολική περιγραφή του λόγου «αριθμός πληκτροφόρων προς αριθμό κρουστών» στο ερώτημα (β) είναι 1 : 3. Μάθημα 2 (σελίδες 13-15) Διερεύνηση (σελ. 13) Στόχος της διερεύνησης είναι τα παιδιά να συσχετίσουν την έννοια του λόγου με την έννοια του κλάσματος, όταν ο λόγος εκφράζει τη σχέση μέρος-όλο. Τα παιδιά αναμένεται να παρατηρήσουν ότι οι περιγραφές Α, Β, Δ και Στ αναφέρονται στην ίδια συνταγή για ανάμικτο χυμό (Για κάθε 1 L χυμό μήλου, υπάρχουν 3 L χυμού πορτοκάλι, άρα υπάρχουν 1 L χυμός μήλου σε 4 L ανάμικτου χυμού ή 3 L χυμού πορτοκάλι σε 4 L ανάμικτου χυμού). Δραστηριότητα 2 (σελ. 15) Στο ερώτημα (α), τα παιδιά αναμένεται στα μωσαϊκά (i) και (ii) να χρωματίσουν τη λευκή ψηφίδα με μπλε χρώμα. Δραστηριότητα 3 (σελ. 15) Στη δραστηριότητα αυτή τα παιδιά αναμένεται να απαντήσουν ότι οι δηλώσεις Α, Γ και Δ είναι ορθές, ενώ η δήλωση Β είναι λανθασμένη.

Μαθήματα 3 και 4 (σελίδες 16-19) Διερεύνηση (σελ. 16) Στόχος της διερεύνησης είναι η εισαγωγή στην έννοια των ίσων λόγων, χρησιμοποιώντας κατάλληλα μοντέλα. Στο ερώτημα (α) τα παιδιά αναμένεται να παρατηρήσουν ότι ο Σάββας μοίρασε τον αριθμό των οπαδών της «Θύελλας» σε 4 ίσα μέρη και βρήκε ότι το κάθε μέρος αντιστοιχεί σε 250 οπαδούς. Στο ερώτημα (β), αφού ο λόγος των οπαδών της «Θύελλας» προς τους οπαδούς της «Αστραπής» ήταν 4 προς 3, τότε οι οπαδοί της «Αστραπής» είναι ίσοι με 3 250 = 750. Στο ερώτημα (γ), τα παιδιά αναμένεται να κατασκευάσουν το πιο κάτω μοντέλο: 2 Οπαδοί-κάτοχοι εισιτηρίων διαρκείας (84 2 = 42) 42 42 Οπαδοί που παρακολούθησαν τον αγώνα (6 42) 42 42 42 42 42 42 6 Τα παιδιά αναμένεται να υπολογίσουν ότι ο συνολικός αριθμός των οπαδών που παρακολούθησαν τον αγώνα ήταν 252. Δραστηριότητα 2 (σελ. 18) Στη δραστηριότητα αυτή τα παιδιά αναμένεται να εργαστούν ως εξής: Σάββατο 6 Κυριακή 2 Κρατημένα Κρατημένα (432 6) 72 72 72 72 72 72 (2 72) Διαθέσιμα 72 Διαθέσιμα (1 72) 1 (5 72) Ο αριθμός των διαθέσιμων δωματίων την Κυριακή ήταν 360. 72 72 72 72 72 72 72 5

Δραστηριότητα 3 (σελ. 18) Στη δραστηριότητα αυτή τα παιδιά αναμένεται να υπολογίσουν ότι τα επιστημονικά περιοδικά είναι 200 και τα βιβλία 1000. Τα παιδιά μπορούν να ακολουθήσουν διάφορες στρατηγικές για την επίλυση του προβλήματος, όπως: Να χρησιμοποιήσουν τις πολλαπλασιαστικές σχέσεις με βάση τον λόγο που δίνεται (τα επιστημονικά περιοδικά είναι τα μισά των ψηφιακών δίσκων και τα βιβλία είναι πενταπλάσια από τα επιστημονικά περιοδικά) Να κατασκευάσουν μοντέλο: Ψηφιακοί δίσκοι (400 2) 2 200 200 Βιβλία (5 200) 5 200 200 200 200 200 Επιστημονικά περιοδικά (1 200) 1 200 Δραστηριότητα 4 (σελ. 19) Στο ερώτημα (α) τα παιδιά αναμένεται να κατασκευάσουν το ακόλουθο μοντέλο: 7 Επιβατικά οχήματα Εμπορικά οχήματα 2 Στο ερωτήματα (β) και (γ) τα παιδιά αναμένεται να συσχετίσουν την έννοια του λόγου ως μέρος-μέρος που τους δίνεται με την έννοια του λόγου ως

μέρος-όλο. Αφού ο λόγος των επιβατικών προς τα εμπορικά οχήματα είναι 7 : 2, τότε ο λόγος των επιβατικών προς τον συνολικό αριθμό οχημάτων είναι 7 : 9 και ο λόγος των εμπορικών προς τον συνολικό αριθμό οχημάτων είναι 2 : 9. Έτσι το μέρος των νέων οχημάτων που ήταν εμπορικά είναι 2 9 και το μέρος των νέων οχημάτων που ήταν επιβατικά είναι 7 9. Στο ερώτημα (δ), για να υπολογίσουν τον αριθμό για κάθε είδος οχήματος, τα παιδιά μπορούν είτε να αξιοποιήσουν το μοντέλο που κατασκεύασαν πιο πάνω και να υπολογίσουν ότι κάθε τετράγωνο είναι ίσο με 21 οχήματα (189 9), είτε να υπολογίσουν το μέρος των 189 εγγραφών που αντιστοιχεί σε κάθε όχημα (τα επιβατικά ήταν τα 7 των 189 εγγραφών, άρα 147 οχήματα 9 ενώ τα εμπορικά ήταν τα 2 των 189 εγγραφών, άρα 42 οχήματα). 9 Μάθημα 5 (σελίδες 20-21) Εξερεύνηση (σελ. 20) Στόχος της εξερεύνησης και της διερεύνησης που ακολουθεί είναι η παρατήρηση σχέσεων αναλογίας και η επίλυση προβλήματος. Στην εξερεύνηση τα παιδιά καλούνται να περιγράψουν προφορικά την αλυσίδα τροφής. Με βάση τον τρόπο περιγραφής των αλυσίδων τροφής στο μάθημα των Φυσικών επιστημών, αναμένεται να αρχίσουν να περιγράφουν την αλυσίδα από κάτω προς τα πάνω. Συγκεκριμένα, τα παιδιά αναμένεται να παρατηρήσουν τη φορά των τόξων στην αλυσίδα τροφής και να πουν ότι ένα φυτό τρώγεται από 30 σκουλήκια, 30 σκουλήκια τρώγονται από 3 πουλιά και 3 πουλιά τρώγονται από μία αγριόγατα. Διερεύνηση (σελ. 21) Στο ερώτημα (α) τα παιδιά αναμένεται να απαντήσουν ότι σε 5 αγριόγατες αντιστοιχούν 15 πουλιά (αφού 3 πουλιά τρώγονται από μία αγριόγατα), 150 σκουλήκια (αφού 30 σκουλήκια τρώγονται από 3 πουλιά) και 5 φυτά (αφού 1 φυτό τρώγεται από 30 σκουλήκια). Στο ερώτημα (β) τα παιδιά αναμένεται να απαντήσουν ότι σε 90 πουλιά αντιστοιχούν 30 αγριόγατες (αφού 3 πουλιά τρώγονται από μία αγριόγατα),

900 σκουλήκια (αφού 30 σκουλήκια τρώγονται από 3 πουλιά) και 30 φυτά (αφού 1 φυτό τρώγεται από 30 σκουλήκια). Στο υποερώτημα (i) του ερωτήματος (γ), τα παιδιά αναμένεται να απαντήσουν ότι σε 500 μικρά φυτά αντιστοιχούν 15 000 σκουλήκια (αφού 1 φυτό τρώγεται από 30 σκουλήκια), 1500 πουλιά (αφού 30 σκουλήκια τρώγονται από 3 πουλιά) και 500 αγριόγατες (αφού 3 πουλιά τρώγονται από μία αγριόγατα). Οι απαντήσεις στο υποερώτημα (ii) αναμένεται να δοθούν με βάση τους αριθμούς που υπολογίστηκαν στο υποερώτημα (i). Συγκεκριμένα, τα παιδιά αναμένεται να αναφέρουν ότι ο αριθμός των φυτών θα παραμείνει ο ίδιος (500 φυτά), αλλά θα αλλάξει ο αριθμός των πουλιών και των αγριόγατων. Ο αριθμός των πουλιών θα μειωθεί κατά το 1 του (θα μείνουν 1000 πουλιά), 3 αφού θα υπάρχουν λιγότερα σκουλήκια που τρώγονται από τα πουλιά. Όμοια ο αριθμός των αγριόγατων θα μειωθεί και θα γίνει περίπου 333 αγριόγατες (1000 3). Μάθημα 6 (σελίδες 22-24) Διερεύνηση (σελ. 22) Στόχος της διερεύνησης είναι η επίλυση προβλημάτων αναλογίας με τη χρήση διάφορων στρατηγικών. Στο ερώτημα (α) τα παιδιά αναμένεται να συγκρίνουν τις τιμές των δύο εταιρειών σε κάθε κατηγορία κλήσεων. Ενδεικτικά, θα μπορούσαν να εργαστούν όπως πιο κάτω: Για τη σύγκριση του κόστους των τοπικών κλήσεων προς σταθερά, τα παιδιά μπορούν να υπολογίσουν τη χρέωση ανά λεπτό ομιλίας σε κάθε εταιρεία (1 λεπτό προς 4 σεντ για την «Επικοινωνία» και 1 λεπτό προς 2 σεντ για τη «Σύνδεση). Εναλλακτικά, τα παιδιά μπορούν να παρατηρήσουν τη χρέωση των εταιρειών που είναι η ίδια (160 σεντ). Αυτό που διαφοροποιείται είναι ο χρόνος ομιλίας. Άρα η εταιρεία «Σύνδεση» είναι φθηνότερη από την εταιρεία «Επικοινωνία» στις τοπικές κλήσεις προς σταθερά, αφού με την ίδια χρέωση μπορείς να μιλήσεις περισσότερα λεπτά.

Για τη σύγκριση του κόστους των διεθνών κλήσεων τα παιδιά μπορούν να υπολογίσουν τη χρέωση για τον ίδιο αριθμό λεπτών ομιλίας. Αφού δίνεται η χρέωση για 200 λεπτά ομιλίας στην εταιρεία «Επικοινωνία», τα παιδιά μπορούν να υπολογίσουν ότι τα 200 λεπτά ομιλίας στην εταιρεία «Σύνδεση» θα στοιχίζουν 4000 σεντ (αφού τα 20 λεπτά στοιχίζουν 400 σεντ). Άρα η εταιρεία «Επικοινωνία» είναι φθηνότερη από την εταιρεία «Σύνδεση» για διεθνείς κλήσεις. Για τη σύγκριση του κόστους των τοπικών κλήσεων προς κινητά, τα παιδιά θα μπορούσαν να υπολογίσουν τη χρέωση ανά λεπτό ομιλίας σε κάθε εταιρεία. Στην εταιρεία «Επικοινωνία» τα 120 λεπτά στοιχίζουν 600 σεντ, άρα η χρέωση για κάθε λεπτό είναι 5 σεντ. Αντίστοιχα, στην εταιρεία «Σύνδεση» τα 80 λεπτά στοιχίζουν 400 σεντ, άρα η χρέωση ανά λεπτό είναι 5 σεντ. Ως εκ τούτου, οι δύο εταιρείες δεν διαφοροποιούνται όσον αφορά την τιμή των τοπικών κλήσεων προς κινητά. Με βάση την εργασία τους στο ερώτημα (α), τα παιδιά αναμένεται να απαντήσουν ότι η εταιρεία «Επικοινωνία» είναι φθηνότερη από την εταιρεία «Σύνδεση» για διεθνείς κλήσεις (ερώτημα β), ενώ το κόστος των κλήσεων είναι το ίδιο και στις δύο εταιρείες σχετικά με τις τοπικές κλήσεις προς κινητά (ερώτημα γ). Στο ερώτημα (δ) τα παιδιά αναμένεται να απαντήσουν ότι είναι ορθή η επιλογή του Κώστα, αφού η εταιρεία «Επικοινωνία» είναι φθηνότερη από την εταιρεία «Σύνδεση» στις διεθνείς κλήσεις (κλήσεις στο εξωτερικό). Δραστηριότητα 3 (σελ. 24) Για να απαντήσουν στο ερώτημα τα παιδιά μπορούν να εργαστούν με διάφορους τρόπους. Ενδεικτικά, τα παιδιά μπορούν: (α) Να βρουν πόσα λίτρα νερού αναμειγνύονται στην ίδια ποσότητα χυμού λεμονιού. Στην πρώτη περίπτωση 2 L χυμού λεμονιού αναμειγνύονται με 3 L νερό. Στη δεύτερη περίπτωση, τα παιδιά μπορούν να υπολογίσουν ότι 2 L χυμού λεμονιού αναμειγνύονται με 4 L νερό. Άρα, στη δεύτερη περίπτωση η ίδια ποσότητα χυμού λεμονιού αναμειγνύεται με περισσότερο νερό. Άρα, το πρώτο μίγμα θα έχει την πιο έντονη γεύση λεμονιού.

(β) Να εντοπίσουν τη σχέση που υπάρχει ανάμεσα στην ποσότητα του χυμού λεμονιού και στην ποσότητα του νερού. Στο δεύτερο μίγμα η ποσότητα του νερού είναι διπλάσια από την ποσότητα του χυμού λεμονιού. Στο πρώτο μίγμα η ποσότητα του νερού είναι λιγότερη από το διπλάσιο της ποσότητας του χυμού λεμονιού. Άρα ο χυμός λεμονιού αναμειγνύεται σε λιγότερο νερό. Έτσι το μίγμα αυτό θα έχει την πιο έντονη γεύση λεμονιού. Μάθημα 7 (σελίδες 25-27) Διερεύνηση (σελ. 25) Στόχος της διερεύνησης είναι να προκύψει η ανάγκη για χρήση διάφορων στρατηγικών για την επίλυση προβλημάτων αναλογίας. Το είδος των στρατηγικών επίλυσης προβλημάτων αναλογίας, εξαρτάται από το είδος των αναλογικών σχέσεων που υπάρχουν ανάμεσα στα τέσσερα στοιχεία μιας αναλογίας και τον τρόπο με τον οποίο οι μαθητές θα διακρίνουν τις σχέσεις αυτές. Γενικά, στα προβλήματα αναλογίας τα παιδιά μπορούν να διακρίνουν: (α) τις «εντός» σχέσεις, δηλαδή τις σχέσεις ποσοτήτων του ίδιου είδους, (β) τις «εκτός» σχέσεις, δηλαδή τις σχέσεις αντίστοιχων ποσοτήτων διαφορετικού είδους, (γ) την αναγωγή στην ακέραια μονάδα. Συγκεκριμένα: Στο ερώτημα (α), τα παιδιά μπορούν να αξιοποιήσουν την αναγωγή στην ακέραια μονάδα και να υπολογίσουν τη μάζα που θα έχει 1 μπάρα δημητριακών και στη συνέχεια να πολλαπλασιάσουν τη μάζα αυτή με τον αριθμό που τους δίνεται (1 μπάρα αντιστοιχεί σε 21 g, άρα 5 μπάρες αντιστοιχούν σε 105 g, 5 21 = 105). Στο ερώτημα (β) τα παιδιά μπορούν να αξιοποιήσουν τις εντός σχέσεις και να παρατηρήσουν ότι τριπλασιάζεται ο αριθμός των μπάρων, άρα θα τριπλασιαστεί και ο αριθμός των θερμίδων (3 195 = 585). Στο ερώτημα (γ) τα παιδιά μπορούν να αξιοποιήσουν τις εκτός σχέσεις και να παρατηρήσουν ότι ο αριθμός των λιπαρών είναι τριπλάσιος από τον αριθμό των μπάρων. Άρα, στην περίπτωση που τα λιπαρά αντιστοιχούν σε 15 g, οι μπάρες θα είναι 5 (15 3 = 5).

Δραστηριότητα 2 (σελ. 27) Στο ερώτημα (α), οι ορθές προτάσεις είναι η δεύτερη και η τελευταία. Στο ερώτημα (β), οι ορθές προτάσεις είναι η πρώτη, η τρίτη και η τέταρτη. Μάθημα 8 (σελίδες 28-30) Διερεύνηση (σελ. 28) Στόχος της διερεύνησης είναι η αξιοποίηση των σχέσεων μεταξύ των μονάδων μέτρησης του χρόνου (1 ώρα ισούται με 60 λεπτά, 1 λεπτό ισούται με 60 δευτερόλεπτα), για επίλυση προβλημάτων αναλογίας. Στο πρόβλημα με τον Μαραθώνιο δρόμο, για να μπορέσουν τα παιδιά να συγκρίνουν τον χρόνο των αθλητών, θα πρέπει αυτός να μετατραπεί σε δευτερόλεπτα. Στο ερώτημα (γ) της διερεύνησης, τα παιδιά μπορούν να χρησιμοποιήσουν υπολογιστική μηχανή. Ο πίνακας αναμένεται να συμπληρωθεί όπως φαίνεται πιο κάτω: Χρονιά Χρόνος (Δευτερόλεπτα) 1988 7832 1992 8003 1996 7956 2000 7811 2004 7855 2008 7592 2012 7681 Για να απαντήσουν στο ερώτημα (δ), τα παιδιά αναμένεται να εντοπίσουν στον πίνακα τον μικρότερο αριθμό (ελάχιστη τιμή - 7592) και το μεγαλύτερο αριθμό (μέγιστη τιμή - 8003). Για να υπολογίσουν το εύρος των τιμών που παρουσιάζει ο πίνακας σε σχέση με το χρόνο των αθλητών στο ερώτημα (ε), τα παιδιά αναμένεται να υπολογίσουν τη διαφορά της μέγιστης και της ελάχιστης τιμής που βρήκαν στο ερώτημα (γ) (8003-7592=411). Στο ερώτημα (στ), αναμένεται από τα παιδιά να κατασκευάσουν μια γραμμική γραφική παράσταση, στην οποία:

θα δώσουν τίτλο (όπως π.χ., «Ο χρόνος των νικητών του μαραθώνιου δρόμου στις επτά τελευταίες ολυμπιάδες»), θα ονομάσουν τον οριζόντιο άξονα (π.χ., «Χρονολογία ολυμπιακών αγώνων») και θα σημειώσουν τις χρονολογίες στον άξονα, θα ονομάσουν τον κατακόρυφο άξονα (π.χ., «χρόνος αθλητών σε δευτερόλεπτα»). Μπορούν να σημειώσουν ως πρώτη τιμή τον αριθμό 7500 και χρησιμοποιώντας ως υποδιαίρεση το 100, να σημειώσουν ως δεύτερη τιμή το 7600 κ.ο.κ. Στο ερώτημα (ζ) τα παιδιά αναμένεται να παρατηρήσουν ότι ο χρόνος των αθλητών στον μαραθώνιο δρόμο αυξομειώνεται στις επτά τελευταίες ολυμπιάδες και δεν ακολουθεί μια σταθερή πορεία αύξησης ή μείωσης των επιδόσεων, όπως συμβαίνει σε άλλα αθλήματα. Αυτό συμβαίνει γιατί η επίδοση ενός αθλητή στο μαραθώνιο δρόμο εξαρτάται και από άλλους παράγοντες, όπως είναι για παράδειγμα οι καιρικές συνθήκες ή η δυσκολία της διαδρομής στην πόλη όπου διεξάγεται ο αγώνας. Μαθήματα 9 και 10 (σελίδες 31-35) Εξερεύνηση (σελ. 31) Η εξερεύνηση έχει ως στόχο την εισαγωγή στην έννοια του ποσοστού και τη διασύνδεσή του με τους δεκαδικούς αριθμούς και τα κλάσματα. Οι ερμηνείες που είναι δυνατόν να δώσουν τα παιδιά στο ερώτημα (α) είναι οι εξής: Α. Το ποσοστό 50% δείχνει ότι οι τιμές των προϊόντων κατά την περίοδο των εκπτώσεων είναι ίσες με το 1 της αρχικής τους τιμής. 2 Β. Το ποσοστό 60% εκφράζει με έναν διαφορετικό τρόπο τον λόγο 3 που αναφέρεται 5 στον τίτλο, αφού 3 5 = 6 10 = 60 100 = 60%. Γ. Το ποσοστό 18% εκφράζει με έναν διαφορετικό λόγο τον λόγο 9 στο κείμενο, αφού 9 50 = 18 100 = 18%. 50 που αναφέρεται Δ. Το ποσοστό 0% εκφράζει την ποσότητα λίπους στο σύνολο των συστατικών του γιαουρτιού.

Ε. Το 39% εκφράζει το μέρος του αρχείου που έχει αποθηκευτεί στον υπολογιστή. Στο ερώτημα (β) τα παιδιά αναμένεται να αναφέρουν κι άλλα παραδείγματα από την καθημερινή ζωή στα οποία χρησιμοποιούνται ποσοστά, όπως π.χ., η παρουσίαση στατιστικών στοιχείων, ο φόρος προστιθέμενης αξίας στην αγορά προϊόντων, οι ποσότητες υλικών που αναμιγνύονται για την παρασκευή ενός μείγματος. Διερεύνηση (σελ. 32) Σκοπός της διερεύνησης είναι τα παιδιά να κατανοήσουν ότι το ποσοστό είναι κάθε κλάσμα με παρονομαστή το 100. Τα κλάσματα και οι δεκαδικοί αριθμοί μπορούν να γράφονται και ως ποσοστά. Στο ερώτημα (α), τα παιδιά αναμένεται να εκφράσουν το σκιασμένο μέρος σε κάθε περίπτωση με διαφορετική μορφή από αυτήν που χρησιμοποίησε ο Χάρης, είτε λεκτικά είτε με τη μορφή δεκαδικού αριθμού, κλάσματος ή ποσοστού. Τα παιδιά αναμένεται να κάνουν τις πιο κάτω παρατηρήσεις: Στην περίπτωση Α, ο δεκαδικός αριθμός 0,67 μπορεί να παρουσιαστεί με τη μορφή κλάσματος ως 67 και τη μορφή ποσοστού ως 67%. 100 Στην περίπτωση Β, το ποσοστό 60% χρησιμοποιήθηκε για να παρουσιάσει το κλάσμα 6 10. Το κλάσμα 6 10 παρουσιαστεί με τη μορφή ποσοστού ως 60%. 60 είναι ισοδύναμο με το κλάσμα, άρα μπορεί να Στην περίπτωση Γ, το μοντέλο παρουσιάζει μια σχέση αναλογίας. Το ένα μέρος από μια επιφάνεια που χωρίζεται σε τέταρτα αναλογεί σε 25%, τα δύο σε 50% κ.ο.κ. Στην περίπτωση Δ, το κλάσμα 4 10 το ποσοστό 40%. 100 40 είναι ισοδύναμο με το κλάσμα, άρα ίσο με 100 Δραστηριότητα 2 (σελ. 34) Στο ερώτημα (α), τα παιδιά αναμένεται να υπολογίσουν τον αριθμό των πράσινων ψηφίδων, κάνοντας την αφαίρεση 100 (26 + 52) = 22. Στη συνέχεια, χρωματίζουν τον αντίστοιχο αριθμό ψηφίδων στο δάπεδο.

Στο υποερώτημα (i) του ερωτήματος (β), αναμένεται να παρατηρήσουν ότι το ψηφιδωτό θα έχει ακριβώς τις μισές ψηφίδες σε σχέση με το αρχικό ψηφιδωτό. Για να διατηρηθούν τα ποσοστά στα χρώματα των ψηφίδων, θα πρέπει να διαιρεθεί ο αριθμός τους δια δύο, άρα το νέο ψηφιδωτό θα έχει 13 μπλε ψηφίδες, 26 κίτρινες και 11 πράσινες. Αντίστοιχα, στο υποερώτημα (ii), οι ψηφίδες θα διπλασιαστούν άρα θα πρέπει να πολλαπλασιαστεί επί 2 ο αριθμός των ψηφίδων για κάθε χρώμα. Το νέο ψηφιδωτό θα έχει 52 μπλε ψηφίδες, 104 κίτρινες και 44 μπλε. Διερεύνηση (σελ. 36) Σκοπός της διερεύνησης είναι τα παιδιά να κατανοήσουν ότι μπορούν να χρησιμοποιήσουν το ποσοστό, για να υπολογίσουν το μέρος μιας ποσότητας. Υπάρχουν περισσότερες από μια ορθές απαντήσεις. Ενδεικτικά, στο ερώτημα (α), τα παιδιά μπορούν να διερευνήσουν ποιο μπορεί να είναι το ποσοστό της έκπτωσης σε κάθε είδος, αρχίζοντας από το ποσοστό 50%. Στην αθλητική φανέλα, το αθλητικό παντελόνι και τις κάλτσες, μπορεί να μειωθεί η τιμή κατά 50%, αφού αντίστοιχα οι νέες τιμές θα είναι 2,5, 4 και 2. Οι τιμές αυτές είναι ψηλότερες από το κόστος των συγκεκριμένων ειδών. Στην περίπτωση του σχολικού πουκαμίσου, δεν μπορεί η τιμή να μειωθεί κατά 50%, γιατί τότε η τιμή πώλησης του θα είναι χαμηλότερη από το κόστος του. Στο ερώτημα (β), τα παιδιά αναμένεται να παρατηρήσουν ότι στις κάλτσες υπάρχει περιθώριο για μεγαλύτερο ποσοστό έκπτωσης. Τα παιδιά μπορούν να αιτιολογήσουν την απάντησή τους με διάφορους τρόπους όπως π.χ., μέσα από την παρατήρηση ότι για ποσοστό έκπτωσης 75% οι κάλτσες θα πωλούνται σε τιμή κόστους, ενώ όλα τα υπόλοιπα είδη θα πωλούνται σε τιμές κάτω από το κόστος τους. Μαθήματα 11 και 12 (σελίδες 37-41) Διερεύνηση (σελ. 37) Σκοπός της διερεύνησης είναι η μετατροπή ποσοστών σε κλάσματα και το αντίστροφο.

Στο ερώτημα (α), για να μπορέσουν οι μαθητές να ετοιμάσουν το κείμενο, θα πρέπει να ερμηνεύσουν την κυκλική γραφική παράσταση και να παρατηρήσουν ότι το κίνημα «Κόσμος» συγκέντρωσε το 40% των ψήφων, το «Νέο Κίνημα» το 35%, ο Ανεξάρτητος Υποψήφιος το 20% και η «Πυξίδα» το 5%. Στη συνέχεια, μετατρέποντας τα ποσοστά αυτά σε κλάσματα, τα παιδιά αναμένεται να υπολογίσουν τις ψήφους σε απόλυτους αριθμούς στις οποίες αντιστοιχούν τα ποσοστά αυτά (2000, 1750, 1000 και 250 ψήφοι αντίστοιχα). Στο ερώτημα (β), τα παιδιά αναμένεται να σχολιάσουν ότι η κυκλική γραφική παράσταση διευκολύνει την άμεση σύγκριση των αποτελεσμάτων σε σχέση με κάθε κίνημα, γιατί ολόκληρος ο κύκλος αναπαριστά το σύνολο των ψήφων. Το ίδιο ισχύει και στο ερώτημα (γ), όπου τα παιδιά αναμένεται να σχολιάσουν ότι η χρήση των ποσοστών διευκολύνει την άμεση παρουσίαση και σύγκριση των αποτελεσμάτων σε μια εκλογική αναμέτρηση. Δραστηριότητα 1 (σελ. 38) Τα παιδιά αναμένεται να αντιστοιχίσουν το κυκλικό διάγραμμα με την κυκλική γραφική παράσταση. Οι απαντήσεις είναι: σκύλοι 40%, ψάρια 10%, γάτες - 25%, πουλιά - 20%, άλλα ζώα - 5%. Δραστηριότητα 2 (σελ. 38-39) Σκοπός της δραστηριότητας είναι τα παιδιά να χρησιμοποιήσουν το μοντέλο της αναλογίας, για να μετατρέπουν κλάσματα σε ποσοστά και το αντίστροφο. Όπως παρουσιάζεται στο παράδειγμα, η επιφάνεια χωρίζεται σε όσα μέρη αναφέρει ο παρονομαστής του κλάσματος. Στη συνέχεια, γίνεται αντιστοίχηση των μερών αυτών με τα ποσοστά, π.χ. 1 = 20 = 20%, 2 = 40 = 40% κ.ο.κ. 5 100 5 100 Δραστηριότητα 3 (σελ. 40) Στο ερώτημα (α), τα παιδιά αναμένεται να υπολογίσουν το ποσοστό επιτυχίας κάθε παίκτη, βρίσκοντας ένα κλάσμα με παρονομαστή το εκατό που να είναι ισοδύναμο με το κλάσμα που παρουσιάζει το μέρος των προσπαθειών του πρώτου σερβίς που

ήταν επιτυχημένα (π.χ. Παίκτης 1: 39 = 78 = 78%). Στην περίπτωση του Παίκτη 2, 50 100 μπορούν να παρατηρήσουν απευθείας ότι οι μισές προσπάθειες ήταν επιτυχημένες, άρα το ποσοστό επιτυχίας του στο πρώτο σερβίς είναι 50%. Ο Παίκτης 3 έχει ποσοστό επιτυχίας 18 = 90 30 = 100%, ενώ ο Παίκτης 4 έχει ποσοστό επιτυχίας = 20 100 40 3 = 75 = 75%. 4 100 Στο ερώτημα (γ), τα παιδιά μπορούν να υπολογίσουν πόσα πρώτα σερβίς αναμένεται να είναι επιτυχημένα, υπολογίζοντας τα 4 10 του 50 (20 σερβίς). Μαθήματα 13 και 14 (σελ. 42-47) Διερεύνηση (σελ. 42-43) Σκοπός της διερεύνησης είναι η ανάπτυξη στρατηγικών, όπως η χρήση του μοντέλου της αναλογίας, για τον υπολογισμό ποσοστού. Στο ερώτημα (α), τα παιδιά αναμένεται να παρατηρήσουν το μοντέλο που σχεδίασε η θεοδώρα. Η επιφάνειά του χωρίζεται σε δύο ίσα μέρη, αφού σύμφωνα με τον πίνακα στην ηλικία των 2 ετών τα αγόρια έχουν ύψος ίσο με το 50%, δηλαδή το 1 του ύψους που θα έχουν όταν ενηλικιωθούν. Έτσι, το 2 1 από τα 2 μέρη της επιφάνειας, αντιστοιχεί στο 50% του ύψους, δηλαδή στα 95 cm. Ανάλογα, το 100% του ύψους αντιστοιχεί στο διπλάσιο, δηλαδή στα 190 cm. Στο ερώτημα (β), τα παιδιά αναμένεται να παρατηρήσουν τον πίνακα και να εντοπίσουν ότι ένα κορίτσι στην ηλικία των 16 χρονών έχει το 100% του ύψους όταν ενηλικιωθεί, άρα το ύψος της θα είναι 1,74 m. Στο ερώτημα (γ), τα παιδιά αναμένεται να παρατηρήσουν ότι η επιφάνεια είναι χωρισμένη σε 4 ίσα μέρη, ώστε να αναπαραστήσει το ύψος που είχε ο πατέρας της Θεοδώρας στην ηλικία των 8 χρονών, το οποίο ήταν ίσο με το 75% του ύψους που έχει σήμερα, δηλαδή ίσο με του 3 4 του ύψους. Για να υπολογίσουν το ύψος στην ηλικία των 8 χρονών, θα πρέπει να υπολογίσουν τα 3 4 του 184. Αναμένεται να συμπληρώσουν το μοντέλο, με τον τρόπο που φαίνεται πιο κάτω:

Στο ερώτημα (δ), το μοντέλο αναμένεται να συμπληρωθεί όπως φαίνεται πιο κάτω: Στο ερώτημα (ε), τα παιδιά αναμένεται να εντοπίσουν από τον πίνακα ότι το ύψος της Φανής στην ηλικία των 6 χρόνων αντιστοιχεί στο 70% του ύψους της όταν θα ενηλικιωθεί. Άρα στην ενηλικίωση η Φανή αναμένεται να έχει ύψος 160 cm (τα 7 10 αντιστοιχούν σε 112, άρα το 1 10 σε 16 και άρα τα 10 10 σε 160). Αντίστοιχα, το ύψος του Γιάννη στην ηλικία των 10 χρόνων, αντιστοιχεί στο 80% του ύψους του, όταν θα ενηλικιωθεί. Άρα στην ενηλικίωση ο Γιάννης αναμένεται να έχει ύψος 180 cm (τα 8 αντιστοιχούν σε 144, άρα το 10 1 10 10 σε 18 και άρα τα σε 180). Η διαφορά στο ύψος τους, όταν ενηλικιωθούν 10 θα είναι 20 cm (180 160). Στο ερώτημα (στ), τα παιδιά αναμένεται να σκεφτούν ότι παρόλο που τα δύο παιδιά έχουν το ίδιο ύψος στην ηλικία των 4 ετών, σύμφωνα με τον πίνακα, το ύψος του αγοριού αντιστοιχεί στο 60% του ύψους που θα έχει όταν ενηλικιωθεί ενώ του κοριτσιού στο 65%. Άρα το ύψος του κοριτσιού στην ηλικία των 4 χρονών έχει φτάσει σε μεγαλύτερο ποσοστό το ύψος που θα έχει, όταν ενηλικιωθεί, σε σχέση με το αγόρι. Άρα, το αγόρι αναμένεται να είναι πιο ψηλό. Δραστηριότητα 1 (σελ.44) Σκοπός της δραστηριότητας είναι η χρήση του μοντέλου, για τον υπολογισμό του μέρους μιας ποσότητας στο οποίο αντιστοιχεί ένα δοσμένο ποσοστό, όταν είναι γνωστός ο αριθμός. Στο πρόβλημα (α), τα παιδιά αναμένεται να συμπληρώσουν το μοντέλο, για να παρουσιάσουν τη λύση τους, όπως πιο κάτω: 0 8 16 24 32

Στο πρόβλημα (β), το μοντέλο δίνεται κενό. Τα παιδιά αναμένεται να το χωρίσουν σε 5 ίσα μέρη, αφού το ποσοστό 20% των ατόμων που απάντησαν ότι είναι ικανοποιημένοι από την εργασία τους είναι ίσο με το 1 5. Δραστηριότητα 2 (σελ. 45) Τα παιδιά μπορούν να χρησιμοποιήσουν όποιο τρόπο θέλουν, για να λύσουν τα προβλήματα. Δραστηριότητα 3 (σελ. 46) Ο συμπληρωμένος πίνακας αναμένεται να είναι όπως πιο κάτω: 72 288 296 144 135 540 555 270 180 720 740 360 Δραστηριότητα 4 (σελ. 47) Το πρόβλημα μπορεί να επιλυθεί με δύο τρόπους: (α) Αξιοποιώντας την κυκλική γραφική παράσταση τα παιδιά μπορούν να παρατηρήσουν ότι τα άτομα 55 ετών και άνω αντιστοιχούν στο 5% ή στο 1 του 20 συνόλου των ατόμων. Άρα, όλα τα άτομα που έλαβαν μέρος στην έρευνα είναι 20 125 = 2500. Στη συνέχεια, μπορούν να υπολογίσουν τα άτομα στις υπόλοιπες ηλικιακές ομάδες ως εξής: Άτομα 18-24 ετών: 50% του 2500 = 1250 Άτομα 25-34 ετών: 25% του 2500 = 625 Άτομα 35-44 ετών: 10% του 2500 = 250 Άτομα 45-54 ετών: 10% του 2500 = 250

(β) Τα παιδιά μπορούν να παρατηρήσουν ότι τα άτομα στην ομάδα των 34-44 ετών είναι διπλάσια από τα άτομα στην ομάδα των 55 ετών και άνω. Άρα, είναι 250. Το ίδιο και τα άτομα στην ομάδα των 45-54 ετών. Τα άτομα στην ομάδα των 25-34 ετών είναι όσα και τα άτομα στις ομάδες 35-44, 55 και άνω και 45-54 (250 + 125 + 250 = 625). Τα άτομα στην ομάδα 18-24 ετών είναι τα διπλάσια από τα άτομα στην ομάδα 25-34 ετών (2 625 = 1250). Μαθήματα 15 και 16 (σελ. 48-52) Διερεύνηση 1 (σελ. 48) Η διερεύνηση έχει σκοπό τη διασύνδεση των λεκτικών εκφράσεων που χρησιμοποιούνται για την έκφραση πιθανοτήτων με αντίστοιχα ποσοστά. Τα παιδιά μπορούν να γράψουν το ποσοστό που αντιστοιχεί σε κάθε σκαλί και στη συνέχεια να τοποθετήσουν κάθε δήλωση στο κατάλληλο σκαλί, όπως φαίνεται πιο κάτω: Ζ Ε Δ Α Γ ΣΤ Β Διερεύνηση 2 (σελ. 49) Σκοπός της διερεύνησης είναι ο υπολογισμός της πιθανότητας ενός δυνατού αποτελέσματος σε ένα παιχνίδι ή πείραμα, με τη μορφή κλάσματος. Στο ερώτημα (α), το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων είναι 20, αφού υπάρχουν 20 κάρτες που στην καθεμιά αναγράφεται διαφορετικός αριθμός.

Στο ερώτημα (β), τα παιδιά αναμένεται να υπολογίσουν τον αριθμό των καρτών με άρτιους αριθμούς (10) και στη συνέχεια να γράψουν το κλάσμα 10 20 ή 1 2. Στο ερώτημα (γ), η πιθανότητα να συμβεί καθένα από τα δυνατά αποτελέσματα είναι: Α. 10 20 ή 1 2 Γ. 2 20 ή 1 10 Β. 0 (δεν υπάρχει αριθμός με άθροισμα ψηφίων 12) Δ. 4 ή 1 (διαιρούνται με το 5 οι αριθμοί 5, 10, 15, 20) 10 5 Ε. 5 20 ή 1 4 ΣΤ. 15 20 ή 3 4 Στο ερώτημα (δ), τα παιδιά αναμένεται να επεξηγήσουν ότι η πιθανότητα να συμβεί το ενδεχόμενο Α είναι ίση με 1, άρα ίση με 50%. 2 Στο ερώτημα (ε), αναμένεται να εκτιμήσουν τη θέση των δυνατών αποτελεσμάτων που καταγράφονται στο ερώτημα (γ), μετατρέποντας τα κλάσματα σε ποσοστά (Β. 0%, Γ. 10%, Δ. 20%, Ε. 25% και ΣΤ. 75%). Δραστηριότητα 3 (σελ. 51) Στο ερώτημα (β), τα παιδιά αναμένεται να υπολογίσουν, με βάση τον πίνακα που συμπλήρωσαν στο ερώτημα (α), ότι το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων του παιχνιδιού είναι 36. Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων με γινόμενο άρτιο αριθμό είναι 27, ενώ με περιττό είναι 9. Άρα η πιθανότητες είναι αντίστοιχα 27 και 9 36 ή 1 4. 36 ή 3 4 Στο ερώτημα (γ), τα παιδιά αναμένεται να τοποθετήσουν κάθε δυνατό αποτέλεσμα στην αριθμητική γραμμή, όπως φαίνεται πιο κάτω: Αδύνατο να συμβεί Β Α Σίγουρο να συμβεί

Στο ερώτημα (δ), τα παιδιά αναμένεται να κρίνουν ότι το παιχνίδι δεν είναι δίκαιο, αφού ο Αλέξης έχει μεγαλύτερη πιθανότητα να κερδίσει, με βάση το γεγονός ότι η πιθανότητα το γινόμενο να είναι άρτιος αριθμός είναι μεγαλύτερη από την πιθανότητα το γινόμενο να είναι περιττός αριθμός. Διερεύνηση (σελ. 52) Στο ερώτημα (α) τα παιδιά αναμένεται να συμφωνήσουν με την Αλίκη, αφού ο το σύνολο των μαθητών είναι διαφορετικό από τάξη σε τάξη, ενώ ο αριθμός των μαθητών που τελικά θα επιλέγεται από κάθε τάξη είναι ο ίδιος. Οι μαθητές που βρίσκονται σε τάξεις με μικρότερο συνολικό αριθμό μαθητών έχουν μεγαλύτερη πιθανότητα να επιλεγούν. Με βάση τις παρατηρήσεις τους στο ερώτημα (α), τα παιδιά αναμένεται να προτιμήσουν τη Β τάξη η οποία έχει τον μικρότερο συνολικό αριθμό μαθητών. Άρα οι μαθητές σε αυτή την τάξη έχουν μεγαλύτερη πιθανότητα να επιλεγούν. Μάθημα 17 (σελ. 53-55) Διερεύνηση (σελ. 53) Στη διερεύνηση αυτή, τα παιδιά αναμένεται αρχικά να υπολογίσουν την πιθανότητα για κάθε τροχό τύχης να έχει ένδειξη κόκκινο, μπλε ή πράσινο χρώμα. Συγκεκριμένα: Τροχός Τύχης 1: Κόκκινο 1 2 Μπλε 1 4 Πράσινο 1 4 Τροχός Τύχης 2: Κόκκινο 1 4 Μπλε 1 2 Πράσινο 1 4 Τροχός Τύχης 3: Κόκκινο 1 6 Μπλε 3 6 ή 1 2 Πράσινο 2 6 ή 1 3 Στη συνέχεια, τα παιδιά αναμένεται να παρατηρήσουν ότι οι γραφικές παραστάσεις παρουσιάζουν τα αποτελέσματα για συνολικά 100 ενδείξεις σε κάθε τροχό τύχης. Συγκεκριμένα, οι γραφικές παραστάσεις παρουσιάζουν τα πιο κάτω αποτελέσματα: Γραφική παράσταση Α: Κόκκινο 30 100 Γραφική παράσταση Β: Κόκκινο 60 100 Γραφική παράσταση Β: Κόκκινο 10 100 Μπλε: 50 100 Μπλε: 10 100 Μπλε: 60 100 Πράσινο: 20 100 Πράσινο: 30 100 Πράσινο: 30 100

Συνδυάζοντας τα πιο πάνω στοιχεία, μια δυνατή αντιστοίχιση είναι η ακόλουθη: - Ο Τροχός Τύχης 1 με τη γραφική παράσταση Β - Ο Τροχός Τύχης 2 με τη γραφική παράσταση Α - Ο Τροχός Τύχης 3 με τη γραφική παράσταση Γ Αναμένεται τα παιδιά να επισημάνουν ότι τα αποτελέσματα ενός παιχνιδιού ή ενός πειράματος μπορεί να διαφέρουν από αυτά που προβλέπονται αρχικά. Δραστηριότητα 2 (σελ. 54) Τα παιδιά αναμένεται να υπολογίσουν αρχικά τι μέρος των ενδείξεων αντιστοιχεί σε κάθε χρώμα, όπως φαίνεται πιο κάτω: Κόκκινο 12 40 Μπλε: 24 40 Πράσινο: 5 40 Μοβ: 8 40 Με βάση τα αποτελέσματα αυτά, στον τροχό τύχης που χρησιμοποίησε η Ζωή είναι δυνατόν οι 5 από τους 10 κυκλικούς τομείς να είναι μπλε, οι 3 κόκκινοι, ένας πράσινος και ένας μοβ. Δραστηριότητα 3 (σελ. 55) Στο ερώτημα (β), τα παιδιά αναμένεται να διαφωνήσουν με τα Νίκη, αφού παρά τα αποτελέσματα του παιχνιδιού της μέχρι στιγμής, η πιθανότητα η ένδειξη του ζαριού να είναι είτε 1 είτε 6 είναι ίση κάθε φορά που ρίχνει το ζάρι. Συγκεκριμένα, η πιθανότητα για κάθε αριθμό είναι ίση με 1. 6 Δραστηριότητες Εμπλουτισμού Δραστηριότητα 4 (σελ. 57) Τα παιδιά αναμένεται να παρατηρήσουν ότι ο λόγος 14 : 40, αναφέρεται στη σχέση του αριθμού των κίτρινων κουμπιών προς το συνολικό αριθμό των κουμπιών. Δραστηριότητα 5 (σελ. 57) Στο ερώτημα (α) τα παιδιά αναμένεται να απαντήσουν ότι αν χρησιμοποιηθούν 9 L μπλε μπογιάς θα χρειαστούν 6 L κίτρινης μπογιάς, ενώ αν χρησιμοποιηθούν 12 L μπλε μπογιάς θα χρειαστούν 8 L κίτρινης μπογιάς.

Στο ερώτημα (β), τα παιδιά αναμένεται να απαντήσουν ότι αν χρησιμοποιηθούν 4 L κίτρινης μπογιάς θα χρειαστούν 6 L μπλε μπογιάς, ενώ αν χρησιμοποιηθούν 12 L κίτρινης μπογιάς θα χρειαστούν 18 L μπλε μπογιάς. Στο ερώτημα (γ), τα παιδιά αναμένεται να απαντήσουν ότι αν χρησιμοποιήθηκαν συνολικά 25 L μπογιάς, αναμείχθηκαν 15 L μπογιάς και 10 L κίτρινης μπογιάς. Δραστηριότητα 6 (σελ. 57) Τα παιδιά αναμένεται να χρωματίσουν 5 κύκλους μπλε, 10 πράσινους, 2 κόκκινους και 3 κίτρινους. Δραστηριότητα 10 (σελ. 59) Για να απαντήσουν στο ερώτημα τα παιδιά αναμένεται να παρατηρήσουν την ποσότητα της ζάχαρης σε σχέση με την ποσότητα του χυμού φρούτο σε κάθε φρουτοχυμό, είτε χρησιμοποιώντας την έννοια του λόγου (και την έννοια των ίσων λόγων) είτε την έννοια του κλάσματος. Ενδεικτικά, για τον φρουτοχυμό Α, τα παιδιά μπορούν να υπολογίσουν ότι η ζάχαρη αντιστοιχεί στα 20 72 = 5 18, στον φρουτοχυμό Β στα 15 = 5 30 και στον φρουτοχυμό Γ στα = 5. Κατά συνέπεια, την πιο γλυκιά γεύση 24 8 42 7 την έχει ο Φρουτοχυμός Γ. Δραστηριότητα 11 (σελ. 60) Με βάση τους λόγους που δίνονται, τα παιδιά αναμένεται να παρατηρήσουν ότι η γωνία β είναι διπλάσια από τη γωνία α και η γωνία γ είναι τριπλάσια από το γωνία β και με βάση την προηγούμενη σχέση εξαπλάσια από τη γωνία α. Έτσι, η γωνία α ισούται με 20, η γωνία β με 40 και η γωνία γ με 120. Δραστηριότητα 14 (σελ. 61) Στη δραστηριότητα αυτή, τα παιδιά αναμένεται να υπολογίσουν ότι αν 15 δίσκοι στοιχίζουν 165, τότε ο ένας δίσκος θα στοιχίζει 11. Αν πωλήσει τον κάθε δίσκο 3 ευρώ ακριβότερα, θα εισπράξει συνολικά 210 (14 15). Αφού από την πώληση αυτή θα έχει συνολικό κέρδος 30, τότε το κόστος και των 15 δίσκων είναι 180 (210 30). Άρα ο κάθε δίσκος κοστίζει 12 (180 15).

Δραστηριότητα 15 (σελ. 61) Τα παιδιά αναμένεται να υπολογίσουν ότι 90 ρώγες σταφύλι ζυγίζουν όσο 4 αχλάδια, αφού 90 ρώγες σταφύλι ζυγίζουν όσο 6 ροδάκινα και τα 6 ροδάκινα ζυγίζουν όσο 4 αχλάδια. 30 φράουλες ζυγίζουν όσο 5 ροδάκινα, αφού 30 φράουλες ζυγίζουν όσο 45 ρώγες σταφύλι και οι 45 ρώγες σταφύλι ζυγίζουν όσο 5 ροδάκινα. Δραστηριότητα 17 (σελ. 62) Τα παιδιά αναμένεται να εργαστούν ως εξής: Αφού η βρύση στάζει 1 ml νερό κάθε δευτερόλεπτο, σε 1 λεπτό θα διαρρεύσουν 60 ml νερό (1 60) Σε μία ώρα θα διαρρεύσουν 3600 ml νερό (60 60) Σε μία μέρα θα διαρρεύσουν 86 400 ml νερό (3600 24) Σε μία βδομάδα θα διαρρεύσουν 604 800 ml νερό (86 400 7). Η απάντηση μπορεί να δοθεί και σε λίτρα νερού (θα διαρρεύσουν 604,8 L νερό. Δραστηριότητα 22 (σελ. 64) Στη δραστηριότητα αυτή τα παιδιά αναμένεται να παρατηρήσουν ότι το Σχήμα Α καταλαμβάνει το μισό τετράγωνο και άρα το 50%. Το Σχήμα Β καταλαμβάνει το μισό του Σχήματος Α ή το 1 4 του τετραγώνου και άρα το 25%. Τα Σχήματα Γ και Δ καταλαμβάνουν το μισό του Σχήματος Β ή το 1 του τετραγώνου και άρα το 12,5%. 8 Δραστηριότητα 23 (σελ. 65) Τα παιδιά αναμένεται να εκτιμήσουν ότι τα ψίχουλα ψωμιού και οι σπόροι ηλιοτροπίου καταλαμβάνουν το ίδιο ποσοστό τροφής, που ανέρχεται περίπου στο 35% το καθένα. Η βρώμη καταλαμβάνει περίπου το διπλάσιο ποσοστό τροφής από το μέλι, άρα η βρώμη καταλαμβάνει περίπου το 20% της τροφής και το μέλι περίπου το 10%.

Δραστηριότητα 26 (σελ. 66) Στη δραστηριότητα αυτή τα παιδιά αναμένεται με βάση τις πληροφορίες να παρατηρήσουν ότι για να καλυφθεί ολόκληρο το τετράγωνο, χρειάζονται 18 λευκά τετράγωνα και άρα το κάθε λευκό τετράγωνο αντιστοιχεί περίπου στο 5,5% ολόκληρου του τετραγώνου. Στο σχήμα που τους δίνεται τα λευκά τετράγωνα είναι 6, άρα καλύπτουν περίπου το 33% του τετραγώνου. Εναλλακτικά, τα παιδιά μπορούν να παρατηρήσουν ότι τα λευκά τετράγωνα καλύπτουν το τετραγώνου, ποσοστό που αντιστοιχεί περίπου στο 33%. 1 3 του Δραστηριότητα 30 (σελ. 68) Για να υπολογίσουν το ποσοστό της επιφάνειας του ορθογωνίου που δεν είναι σκιασμένη, τα παιδιά μπορούν να υπολογίσουν πρώτα την επιφάνεια ολόκληρου του τετραγώνου (10 5=50 m²). Στη συνέχεια υπολογίζουν την επιφάνεια της σκιασμένης επιφάνειας (6 3=18 m²). Άρα, η επιφάνεια που δεν είναι σκιασμένη είναι 32 m². Για εκφράσουν το εμβαδόν της επιφάνειας που δεν είναι σκιασμένη ως ποσοστό, τα παιδιά αναμένεται να εργαστούν ως ακολούθως: 32 = 64 =64% 50 100 Δραστηριότητα 31 (σελ. 68) Στο ερώτημα (α) τα παιδιά αναμένεται να παρατηρήσουν ότι η αύξηση/μείωση των διαστάσεων του ορθογωνίου κατά 20%, αντιστοιχεί σε αύξηση/μείωση των διαστάσεών του κατά το 1 τους. Επομένως το μήκος του σχήματος θα γίνει 24 cm 5 και το πλάτος του 24 cm. Άρα το εμβαδόν του νέου σχήματος θα είναι 24 24 = 576 cm². Αφού το αρχικό εμβαδόν του σχήματος ήταν 20 30 = 600 cm², τότε η μεταβολή του εμβαδού θα είναι 24 cm². Στο ερώτημα (β) τα παιδιά αναμένεται να δώσουν παραδείγματα διαστάσεων τετραγώνων και να αυξήσουν την πλευρά τους κατά 50%. Για παράδειγμα το εμβαδόν ενός τετραγώνου με πλευρά 2 cm, θα είναι 4 cm². Αν η πλευρά του τετραγώνου αυξηθεί κατά 50 %, τότε δημιουργείται ένα τετράγωνο με πλευρά 3 cm, το οποίο θα έχει εμβαδόν 9 cm². Έτσι, παρατηρείται αύξηση στο εμβαδόν κατά 125% (το εμβαδόν διπλασιάζεται και μεγαλώνει και κατά 1 περισσότερο). 4

Δραστηριότητα 32 (σελ. 68) Για να απαντήσουν στο ερώτημα της δραστηριότητας τα παιδιά αναμένεται να εντοπίσουν τις σχέσεις μεταξύ των ποσοστών της γραφικής παράστασης. Πιο συγκεκριμένα, αφού οι ταινίες κινουμένων σχεδίων είναι 4 και αντιστοιχούν στο ποσοστό 6,25%, τότε οι ταινίες μυστηρίου θα είναι οι διπλάσιες αφού αντιστοιχούν στο διπλάσιο ποσοστό (8 ταινίες). Με τον ίδιο τρόπο, τα παιδιά αναμένεται να πουν ότι οι ταινίες στην κατηγορία δράμα είναι 16 (διπλάσιες από τις ταινίες μυστηρίου, αφού αντιστοιχούν στο διπλάσιο ποσοστό) και οι κωμωδίες είναι 32 (διπλάσιες από το δράμα αφού αντιστοιχούν στο διπλάσιο ποσοστό). Τα παιδιά αναμένεται να υπολογίσουν ότι συνολικά στο φεστιβάλ προβλήθηκαν 64 ταινίες. Δραστηριότητα 33 (σελ. 69) Τα παιδιά αναμένεται να συμπληρώσουν τον πίνακα όπως πιο κάτω: Προϊόν Αρχική τιμή Τελική τιμή Ποσό έκπτωσης Ποσοστό έκπτωσης Υπολογιστής 1000 800 200 20% Βαλίτσα 80 60 20 25% Ψηφιακά παιχνίδια 60 54 6 10% Συσκευή 80 48 32 40% αναπαραγωγής mp3 Βιβλίο 20 18 2 10% Για να καταλήξουν σε αυτές τις απαντήσεις, τα παιδιά αναμένεται να εργαστούν ως ακολούθως: Υπολογιστής: το ποσοστό έκπτωσης 20% αντιστοιχεί στο 1 της τιμής. Άρα το 5 ποσό έκπτωσης θα είναι 200 (το 1 του 1000) και η τελική τιμή θα είναι 800 5 (1000 200) Βαλίτσα: το ποσοστό έκπτωσης 25% αντιστοιχεί στο 1 της τιμής. Άρα το ποσό 4 έκπτωσης θα είναι 20 (το 1 του 80) και η τελική τιμή θα είναι 60 (80 20) 4

Ψηφιακά παιχνίδια: το ποσοστό έκπτωσης 10% αντιστοιχεί στο 1 της τιμής. 10 Έτσι η τελική τιμή των 54 αντιστοιχεί στα 9 της αρχικής τιμής. Έτσι το ποσό 10 έκπτωσης ήταν 6 (τα 9 είναι 54, άρα το 1 είναι 6). Άρα η αρχική τιμή θα 10 10 είναι 60 (54 + 6) Συσκευή αναπαραγωγής mp3: το ποσοστό έκπτωσης 40% αντιστοιχεί στα 4 10 της τιμής. Έτσι η τελική τιμή των 48 αντιστοιχεί στα 6 10 της αρχικής τιμής. Έτσι το ποσό έκπτωσης ήταν 32 (τα 6 είναι 48, άρα το 1 είναι 8, άρα τα 10 10 4 10 είναι 32). Άρα η αρχική τιμή θα είναι 80 (48 + 32) Βιβλίο: το ποσό έκπτωσης των 2 αντιστοιχεί στο 1 της αρχικής τιμής των 10 20. Άρα το ποσοστό έκπτωσης είναι 10% και η τελική τιμή 18 (20 2). Δραστηριότητα 34 (σελ. 69) Για να απαντήσουν στα ερωτήματα τα παιδιά αναμένεται πρώτα να υπολογίσουν το συνολικό αριθμό των βόλων που υπάρχουν στο σακούλι (15 βόλοι). Οι απαντήσεις τους στα ερωτήματα αναμένεται να είναι οι ακόλουθες: (α) 4 15 (β) 11 15 (γ) 3 15 (δ) 5 15 (ε) 3 15 Δραστηριότητα 35 (σελ. 70) Τα παιδιά αναμένεται να παρατηρήσουν αρχικά ότι όλα τα πιθανά ενδεχόμενα είναι 10, αφού υπάρχουν 10 κάρτες με αριθμούς. Οι απαντήσεις τους θα είναι οι ακόλουθες: (α) 1 10 (β) 0 (γ) 9 10 (δ) 5 10 ή 1 2 (ε) 2 10 ή 1 5 (στ) 3 10 Τα παιδιά αναμένεται να τοποθετήσουν τα πιο πάνω ενδεχόμενα στην αριθμητική γραμμή ως ακολούθως: (β) (α) (ε) (στ) (δ) (γ)

Δραστηριότητα 36 (σελ. 70) Ο τροχός τύχης αναμένεται να συμπληρωθεί ως ακολούθως: 4 2 4 3 5 5 Τα παιδιά αναμένεται να εργαστούν ως ακολούθως: Αφού η πιθανότητα το βέλος να σταματήσει στον αριθμό 4 είναι 1 3, τότε ο αριθμός 4 θα γραφτεί σε δύο μέρη του τροχού Αφού η πιθανότητα το βέλος να σταματήσει στον αριθμό 2 είναι 1 6, τότε ο αριθμός 2 θα γραφτεί σε ένα μέρος του τροχού Οι υπόλοιποι τρεις αριθμοί πρέπει να είναι περιττοί και παράγοντες του 15 (αφού η πιθανότητα το βέλος να σταματήσει σε παράγοντα του 15 είναι 1 ) 2 και άρα θα είναι οι αριθμοί 5, 5 και 3. Δραστηριότητα 38 (σελ. 71) Για να απαντήσουν στο ερώτημα τα παιδιά αναμένεται να υπολογίσουν ότι στο σακούλι υπάρχουν συνολικά 17 βόλοι, από τους οποίους οι 3 είναι πράσινοι. Για να είναι η πιθανότητα να πάρει πράσινο βόλο 1, στο σακούλι θα πρέπει να προστεθούν 7 4 μαύροι βόλοι. Έτσι όλοι οι βόλοι θα είναι συνολικά 21, από τους οποίους οι 3 θα είναι πράσινοι. Δραστηριότητα 39 (σελ. 71) Η πιθανότητα να πάρω στην τύχη μια κίτρινη μπάλα από το κουτί είναι 2. Οι 5 ενέργειες που θα αυξήσουν την πιθανότητα να πάρουμε στην τύχη μια κίτρινη μπάλα είναι οι Α (η πιθανότητα τώρα να πάρω στην τύχη μια κίτρινη μπάλα θα γίνει

3 ), Β (η πιθανότητα τώρα να πάρω στην τύχη μια κίτρινη μπάλα θα γίνει 1 ) και Γ (η 7 2 πιθανότητα τώρα να πάρω στην τύχη μια κίτρινη μπάλα θα γίνει 1 2 ). Δραστηριότητα 40 (σελ. 71) Για να μπορέσουν να απαντήσουν στο ερώτημα της δραστηριότητας, τα παιδιά αναμένεται να γράψουν με ένα συστηματικό τρόπο όλα τα πιθανά αθροίσματα που μπορεί να προκύψουν αν γυρίσουμε τον τροχό τύχης δύο φορές. Τα πιθανά αθροίσματα είναι: 1 + 1 = 2 1 + 2 = 3 2 + 1 = 3 1 + 3 = 4 2 + 2 = 4 3 + 1 = 4 1 + 4 = 5 2 + 3 = 5 3 + 2 = 5 4 + 1 = 5 1 + 5 = 6 2 + 4 = 6 3 + 3 = 6 4 + 2 = 6 5 + 1 = 6 2 + 5 = 7 3 + 4 = 7 4 + 3 = 7 5 + 2 = 7 3 + 5 = 8 4 + 4 = 8 5 + 3 = 8 4 + 5 = 9 5 + 4 = 9 5 + 5 = 10 Τα παιδιά αναμένεται να παρατηρήσουν ότι το πιο πιθανό άθροισμα είναι το 6.

Γίνεται εισήγηση όπως χρησιμοποιούνται σε διάφορες περιπτώσεις εφαρμογίδια, όπως τα πιο κάτω: ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ 1. Εφαρμογίδια για έννοιες Λόγου - Ίσων Λόγων - Αναλογίας 1.1. Λογισμικό: «Αριθμοί, Γεωμετρία, Μέτρηση» - Λόγοι, Αναλογίες, Κλίμακα Στην αρχική οθόνη επιλέγεται η δραστηριότητα «Λόγοι». Υπάρχουν τρία επίπεδα δυσκολίας. Στο επίπεδο 1 εμφανίζονται σχέσεις με απλούς λόγους. Συγκεκριμένα, τα παιδιά καλούνται να γράψουν τον λόγο των κόκκινων βόλων προς τους κίτρινους σε συμβολική μορφή. Στα επίπεδα 2 και 3 παρουσιάζεται η έννοια των ίσων λόγων. Στην περίπτωση αυτή, τα παιδιά καλούνται να γράψουν τον λόγο των κόκκινων βόλων προς τους κίτρινους στην πιο απλή του μορφή. 1.2. Λογισμικό: «Αριθμοί, Γεωμετρία, Μέτρηση» - Λόγοι, Αναλογίες, Κλίμακα Στην αρχική οθόνη επιλέγεται η δραστηριότητα «Αναλογίες». Τα παιδιά καλούνται να γράψουν τις ορθές τιμές για την μπλε, κίτρινη και πράσινη μπογιάς. Οι τιμές καθορίζονται με βάση έναν συγκεκριμένο λόγο. Τα παιδιά αναμένεται να

αντιληφθούν ότι η μεταβολή στην ποσότητα ενός χρώματος συνεπάγεται την ίδια μεταβολή και στις ποσότητες των άλλων χρωμάτων, ώστε να διατηρηθεί ο λόγος. 1.3. Ιστοσελίδα: http://www.mathplayground.com/tb_ratios/thinking_blocks_ratios.html Το εφαρμογίδιο δίνει τη δυνατότητα για επίλυση προβλημάτων σχετικά με την έννοια των ίσων λόγων, μέσα από την κατασκευή κατάλληλου μοντέλου. Τα παιδιά καλούνται να τοποθετήσουν ορθογώνια σε δύο ράβδους, για να αναπαραστήσουν τον λόγο ανάμεσα σε δύο ποσότητες που περιγράφεται στο πρόβλημα (π.χ., αριθμός αγοριών προς αριθμό κοριτσιών). Στη συνέχεια, τοποθετούν τη γνωστή και την άγνωστη ποσότητα στην αντίστοιχη ράβδο. 1.4. Ιστοσελίδες: http://www.mathplayground.com/asb_ratiostadium.html http://www.mathplayground.com/asb_ratioblaster.html Τα εφαρμογίδια δίνουν τη δυνατότητα για εξάσκηση στην έννοια των ίσων λόγων. Τα παιδιά καλούνται να αντιστοιχίσουν δύο λόγους που είναι ίσοι (π.χ. 1 προς 3 με 3 9 ). Στόχος είναι να βρουν όσες περισσότερες ορθές απαντήσεις μπορούν, στον χρόνο που δίνεται.

2. Εφαρμογίδια για έννοια ποσοστού 2.1. Ιστοσελίδα: http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_333_g_2_t_1.html?from=category_g_2_t_1.html Το εφαρμογίδιο δίνει τη δυνατότητα ελεύθερης εξερεύνησης της έννοιας του ποσοστού (επιλογή Explore), αναπαράστασης ποσοστού χρωματίζοντας τον κατάλληλο αριθμό τετραγώνων στο πλέγμα (επιλογή Show), ή αναγνώρισης του ποσοστού που αναπαρίσταται (επιλογή Name). 2.2. Ιστοσελίδα: http://www.topmarks.co.uk/flash.aspx?b=maths/percentages Το εφαρμογίδιο δίνει τη δυνατότητα για διερεύνηση της έννοιας του ποσοστού. Στην οθόνη εμφανίζεται ένα τετράγωνο πάρκο με εμβαδόν 100 τετραγωνικές μονάδες. Τα παιδιά καλούνται να διαμορφώσουν το πάρκο σύμφωνα με τα ποσοστά που δίνονται για κάθε χώρο (χώρος για γρασίδι, λίμνη, δέντρα, λουλούδια και παιδότοπο).

2.3. Ιστοσελίδα: http://downloads.bbc.co.uk/skillswise/maths/ma16perc/game/ma16perc-gamepercentages-of-something/percent.swf Το εφαρμογίδιο δίνει τη δυνατότητα για αναπαράσταση της έννοιας του ποσοστού. Από τον πίνακα στα δεξιά, γίνεται επιλογή του ποσοστού που θα παρουσιαστεί στην εικόνα. Στο κάτω μέρος της οθόνης, υπάρχουν 4 διαφορετικές επιλογές για τον τρόπο παρουσίασης του ποσοστού. 3. Εφαρμογίδια για μετατροπές κλασμάτων σε δεκαδικούς αριθμούς και ποσοστά 3.1. Ιστοσελίδα: http://illuminations.nctm.org/activity.aspx?id=3519 Το εφαρμογίδιο δίνει τη δυνατότητα για διερεύνηση διαφορετικών αναπαραστάσεων για τα κλάσματα, τους δεκαδικούς αριθμούς και τα ποσοστά (σε ορθογώνια επιφάνεια, σε κυκλική επιφάνεια, ως μέρος συνόλου αντικειμένων και ως εμβαδόν). Υπάρχει επίσης η δυνατότητα για επιλογή διαφορετικού αντικειμένου. Η τιμή του αριθμητή και του παρονομαστή μπορεί να ρυθμιστεί, μετακινώντας τα βέλη στις δύο αριθμητικές γραμμές. Επίσης οι τιμές μπορούν να αλλάξουν, πατώντας το + ή στα δύο άκρα των αριθμητικών γραμμών ή εισάγοντας απευθείας τις τιμές στα κουτιά. Μπορούν να προστεθούν ή να

αφαιρεθούν ακέραιες μονάδες, πατώντας το + ή στο κάτω μέρος του μοντέλου. Στον πίνακα μπορεί να γίνει καταγραφή του αριθμού σε μορφή κλάσματος, δεκαδικού και ποσοστού, πατώντας το + που βρίσκεται πάνω από τον πίνακα. 3.2. Ιστοσελίδα: https://www.explorelearning.com/index.cfm?method=cresource.dspview&resourc eid=1008 Το εφαρμογίδιο δίνει τη δυνατότητα για αναπαράσταση κλασμάτων, δεκαδικών αριθμών και ποσοστών στην ίδια τετράγωνη επιφάνεια. Πατώντας «show comparison», τα παιδιά μπορούν να συγκρίνουν κλάσματα, δεκαδικούς αριθμούς και ποσοστά. Το μέρος της επιφάνειας που είναι σκιασμένο στο πρώτο τετράγωνο παρουσιάζεται και στην αριθμητική γραμμή. 3.3. Ιστοσελίδα: http://www.mathplayground.com/scale_percent.html Τα παιδιά τοποθετούν ράβδους στις δύο πλευρές της ζυγαριάς, με στόχο να ισορροπήσει η ζυγαριά. Η μοβ ράβδος αναπαριστά την ακέραια μονάδα ( 1 1 ή 100%). Οι υπόλοιπες ράβδοι αναπαριστούν μέρη της ακεραίας μονάδας. Πατώντας την εντολή «show percent», εμφανίζεται κάτω από κάθε πλευρά της ζυγαριάς το σύνολο της μάζας.

3.4. Ιστοσελίδα: http://www.mathplayground.com/visualpercent.html Το εφαρμογίδιο δίνει τη δυνατότητα καθορισμού δύο από τις τρεις ποσότητες (μέρος, όλο, ποσοστό). Επιλέγοντας «Calculate», το εφαρμογίδιο υπολογίζει την ποσότητα που λείπει. Η σχέση των τριών ποσοτήτων αναπαρίσταται συμβολικά, σε ορθογώνιο και σε κυκλική επιφάνεια. 3.5. Ιστοσελίδα: Το εφαρμογίδιο δίνει τη δυνατότητα καθορισμού δύο από τις τρεις ποσότητες (μέρος, όλο, ποσοστό). Επιλέγοντας «Compute», το εφαρμογίδιο υπολογίζει την ποσότητα που λείπει. Η σχέση των τριών ποσοτήτων αναπαρίσταται συμβολικά, σε ορθογώνιο και σε κυκλική επιφάνεια.

3.6. Ιστοσελίδα: http://www.matematicasdivertidas.com/zonaflash/juegosflash/fractionpercentage.s wf Το εφαρμογίδιο δίνει τη δυνατότητα για σύγκριση ποσοστών και κλασμάτων. Τα παιδιά επιλέγουν μια από τις εικόνες που παρουσιάζονται στο κάτω μέρος της οθόνης. Στη συνέχεια, επιλέγουν το ποσοστό που θέλουν να παρουσιαστεί στην εικόνα και γράφουν το αντίστοιχο κλάσμα. Μπορούν να επιλέξουν μια άλλη εικόνα, για να παρουσιαστεί το ποσοστό με έναν διαφορετικό τρόπο. 3.7. Ιστοσελίδα: http://www.mathplayground.com/matching_fraction_percent.html Το εφαρμογίδιο παρουσιάζει ένα παιχνίδι μνήμης με κάρτες. Τα παιδιά καλούνται να αντιστοιχίσουν τις κάρτες που παρουσιάζουν ισοδύναμα ποσοστά και κλάσματα.

3.8. Ιστοσελίδα: http://illuminations.nctm.org/activity.aspx?id=3563 Το εφαρμογίδιο παρουσιάζει ένα παιχνίδι μνήμης με κάρτες. Τα παιδιά καλούνται να αντιστοιχίσουν τις κάρτες που παρουσιάζουν ισοδύναμα κλάσματα και ποσοστά. Στο παιχνίδι μπορούν να παίξουν ένας ή δύο παίκτες. 4. Εφαρμογίδια για υπολογισμό μέρους αριθμού με ποσοστά 4.1. Ιστοσελίδα: http://www.mathplayground.com/percent_shopping.html Στην αρχική οθόνη δίνεται επιλογή του επιπέδου δυσκολίας. Το εφαρμογίδιο παρουσιάζει ένα κατάστημα παιχνιδιών. Τα παιδιά καλούνται να επιλέξουν 5 παιχνίδια και να υπολογίσουν τη συνολική τιμή. Στη συνέχεια, καλούνται να υπολογίσουν την έκπτωση που έχουν, σύμφωνα με ένα δοσμένο ποσοστό. Τέλος υπολογίζουν την τελική τιμή των παιχνιδιών.

5. Εφαρμογίδια για πιθανότητες 5.1. Ιστοσελίδα: http://www.visnos.com/demos/random-spinners Το εφαρμογίδιο δίνει τη δυνατότητα για διερεύνηση της έννοιας της πιθανότητας, παρουσιάζοντας με διάφορους τροχούς τύχης. Στην οθόνη μπορούν να εμφανιστούν μέχρι και 4 τροχοί τύχης. Ο αριθμός των κυκλικών τομέων ή των μερών κάθε τροχού μπορεί να ρυθμιστεί, εισάγοντας τον αντίστοιχο αριθμό στο κουτί δίπλα από το όνομα κάθε τροχού. Πατώντας «spin», οι τροχοί γυρίζουν και παρουσιάζεται το αποτέλεσμα της ένδειξης του βέλους. 5.2. Ιστοσελίδα: http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_305_g_3_t_5.html?from=category_g_3_t_ 5.html Το εφαρμογίδιο δίνει τη δυνατότητα για διεξαγωγή πειράματος τύχης, χρησιμοποιώντας ένα κέρμα. Ο χρήστης μπορεί να καθορίσει πόσες φορές θα ρίξει το κέρμα. Στη συνέχεια παρουσιάζονται τα αποτελέσματα του πειράματος.

5.3. Ιστοσελίδα: http://www.mathplayground.com/probability.html Το εφαρμογίδιο δίνει τη δυνατότητα για διερεύνηση της έννοιας της πιθανότητας, χρησιμοποιώντας έναν τροχό τύχης. Πατώντας «spin», ο τροχός γυρίζει και σταματά σε έναν κυκλικό τομέα. O αριθμός των φορών που θα γυρίσει ο τροχός είναι δυνατόν να καθοριστεί, γράφοντας τον αντίστοιχο αριθμό στο κουτί που δίνεται. Πατώντας «Results», τα αποτελέσματα του παιχνιδιού καταγράφονται σε ιστόγραμμα. Υπάρχει η δυνατότητα για αλλαγή του τροχού τύχης και διαμόρφωση του, πατώντας στο «Change Spinner». 5.4. Ιστοσελίδα: http://illuminations.nctm.org/adjustablespinner/ Το εφαρμογίδιο δίνει τη δυνατότητα για διασύνδεση της θεωρητικής και της πειραματικής πιθανότητας. Στον πίνακα, παρουσιάζεται η θεωρητική πιθανότητα να φέρει το βέλος κάθε χρώμα του τροχού τύχης. Πατώντας «Spin» ή «Spin to end», ο τροχός γυρίζει και το αποτέλεσμα καταγράφεται στη στήλη της πειραματικής πιθανότητας. Πατώντας τα βέλη μπορούν να αλλάξουν οι κυκλικοί τομείς του τροχού. Το μέγεθος κάθε κυκλικού τομέα μπορεί επίσης να αλλάξει σύροντας τους ρυθμιστές ( )που βρίσκονται σε κάθε τομέα. Τα αποτελέσματα μπορούν να παρουσιαστούν με τη μορφή κυκλικής γραφικής παράστασης, πατώντας το αντίστοιχο κουμπί.

5.5. Ιστοσελίδα: https://www.explorelearning.com/index.cfm?method=cresource.dspview&resourc eid=1015 Το εφαρμογίδιο δίνει τη δυνατότητα για διερεύνηση της έννοιας της πιθανότητας, χρησιμοποιώντας έναν τροχό τύχης. Πατώντας «Go», εμφανίζεται ένα παιδάκι και γυρίζει τον τροχό. Τα αποτελέσματα του παιχνιδιού καταγράφονται είτε με τη μορφή κυκλικής γραφικής παράστασης είτε με τη μορφή πίνακα. Ο χρήστης μπορεί να διαμορφώσει τον τροχό τύχης, πατώντας «Design the game» 5.6. Ιστοσελίδα: http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_186_g_2_t_5.html?open=activities&from=categor y_g_2_t_5.html Το εφαρμογίδιο δίνει τη δυνατότητα για διερεύνηση της έννοιας της πιθανότητας, χρησιμοποιώντας έναν τροχό τύχης. Πατώντας «Spin», ο τροχός γυρίζει μία φορά. Τα αποτελέσματα καταγράφονται με τη μορφή γραφικής παράστασης (επιλογή «Record Results»). Ο χρήστης μπορεί να διαμορφώσει τον τροχό τύχης, πατώντας «Change Spinner».