Κρίσιμες συνθήκες

Βαθμιαία μεταβαλλόμενη ροή dy/dx <1 (Δημητρίου, ί 1988) Υδροστατική διανομή πιέσεων, αμελητέες κατακόρυφες κινήσεις Ισχύς της εξίσωσης του Manning για τη διατμητική τάση στερεού ορίου με βάση όμως την κλίση της γραμμής ενέργειας Σχόλιο: Στη ΒΜΡ η κλίση πυθμένα, στάθμης ελεύθερης επιφανείας αλλά και γραμμής ενέργειας δε συμπίπτουν.

Γενική εξίσωση: Εέ Ενέργειας σε διάφορες δάφ μορφές Μορφή καμπύλης στάθμης (βλπ πίνακες) Ισχύς εξίσωσης Manning σε διατομή μόνο που αντί της κλίσης πυθμένας θέτω την κλίση γραμμής ενέργειας Μέση κλίση της γραμμής ενέργειας μεταξύ δύο τμημάτων Δύο βασικές περιπτώσεις προβλημάτων: Γνωστό υψόμετρο και ΔL, άγνωστο το ανάντη (ή κατάντη υψόμετρο) Γνωστά δύο υψόμετρα και άγνωστο το μήκος ΔL(θέμα)

Φορά υπολογισμών: καμπύλη Μ2, (2) κατάντη ανάντη (1) y n y 0 y c

Βαθμιαία μεταβαλλόμενη ροή

Μορφή καμπύλης Γ ί? Βλ ό Γιατί? Βλπ επόμενη διαφάνεια

Δύο ειδών διατομές Τύπου α μία βάθους ροής για δεδομένη παροχή, όσο αυξάνει το βάθος ροής αυξάνει η υδραυλική διοχετευτικότητα και η παροχή Τύπου β δύο λύσεις βάθους ροής για δεδομένη παροχή

S 0 (κλίση πυθμένα) > S f S ( ί έ ) S, 0 f έ ή 1 1 A R S = A R S n n 2 1 2 1 3 2 3 2 n n 0 f 2 2 3 3 A n R n A R ή ό ή y n y

Μορφή καμπύλης Γ ί? Βλ ό Γιατί? Βλπ επόμενη διαφάνεια

+ Σακκάς, 1988

Σακκάς, 1988 θέμα

Θέμα, Μ2 θέμα

«Λεπτομέρεια»: Λ έ το κρίσιμη βάθος ορίζεται για συγκεκριμένη παροχή και διατομή (εκεί και η ελάχιστη ειδική ενέργεια). ΑΒ, Τραπεζοειδής διατομή: y n = 1.75 και y c =1.293 Σημείο 1 ορθογωνική διατομή Υποθέτω λοιπόν η ροή ανάντη του Ο, υποκρίσιμη με y> 1.293 m > 1.25 m = κρίσιμο βάθος για ορθογωνική διατομή θέμα

Μεθοδολογία με πίνακες Πρώτα τσεκάρω την κλίση. Αν είχαμε ροή ομοιόμορφη (υπόθεση δεν συμβαίνει πάντα, αποκλειστικά για έλεγχο κλίσης) ηροήθαήταν ήταν υποκρίσιμη, υπερκρίσιμη ή κρίσιμη? Εξαίρεση αποτελεί ηπερίπτωση της οριζόντιας και της αντίστροφης κλίσης που είναι καλό να αποφεύγονται για μεγάλα μήκη Αφού προσδιορίσω την καμπύλη (γράμμα) τότε με βάση τις πραγματικές συνθήκες ελέγχω το πραγματικό βάθος ροής με βάση τους πίνακες και αντιστοιχώ τον αριθμό

Προσδιορισμός ρ ομοιόμορφου μ βάθους από εξίσωση Manning Προσδιορισμός κρίσιμου βάθους από την εξίσωση Fr =1 Είναι απαραίτητο να προσδιοριστούν αυτά τα βάθη, δεν σημαίνει όμως ότι στην περιοχή όπου μελετώ θα εμφανιστούν αυτά (δηλαδή η ή«μπορεί να μην συμβαίνουν»)

Σούλης, 2015

Σούλης, 2015

(1): ανάντη (2): κατάντη Σούλης, 2015

Η προσέγγιση πηγάζει από την εκτίμηση της μέσης κλίσης για τη γραμμή ενέργειας, S f Σούλης, 2015

Υποκρίσημη ροή: Από κατάντη σε ανάντη (θέμα) μ εφόσον (τα κύματα βαρύτητας μετακινούνται και ανάντη και κατάντη, φορείς πληροφοριών ) ) Υπερκρίσιμη ροή: Από ανάντη σε κατάντη. «Η υπερκρίσιμη ροή δε γνωρίζει τη συμβαίνει κατάντη αυτής» (τα κύματα βαρύτητας μετακινούνται μόνο κατάντη)

Βαθμιαία μεταβαλλόμενη ροή

Ασκησιολογικά Όταν γνωρίζω τα βάθη ηροής, ημ μπορώ να υποθέσω μεταξύ αρχικού και τελικού και ζητούνται τα μήκη L Εύκολη εφαρμογή σε σχεδιασμό Μόνο για πρισματικούς αγωγούς

Δε δόθηκε έμφαση στην τάξη

Έστω ρητή μέθοδος. Εφαρμόζεται για πρισματικούς αγωγούς. Ξέρω το εύρος για τα βάθη ροής αλλά δεν ξέρω την οριζόντια απόσταση. Αυθαίρετα επιλέγω μία διαμέριση στα βάθη ροής (προφανώς, ημικρήδιαμέριση είναι εις βάρος της ακρίβειας, ασκησιολογικά όμως μπορεί να είναι ένα μόνο βήμα). Ζητούμενο το Δx Από την εξίσωση της ενέργειας ισχύει: x 2 2 u 1 u 2 y1 y2 E 2g 2g 1 E2 S S S S f 0 f 0 Για αποφυγή αρνητικών πρόσημων (1) ανάντη (2) κατάντη Για τη μέση εκτίμηση της κλίσης της γραμμής ενέργειας υπάρχουν πολλές προσεγγίσεις που στηρίζονται ότι τοπικά ισχύει η εξίσωση του Manning. Η αξιόπιστη προσέγγιση δίνει ήπια μεταβολή της κλίσης για βραδέως μεταβαλλόμενη ροή. Εκεί που πλησιάζω ομοιόμορφη ροή η κλίση πρέπει να είναι περίπου η κλίση του πυθμένα. Έστω 2 2 2 nu n u R 1 R 2 u 1 u 2, R, 2 4 3 3 Sf R u R R 2 2 π.χ.'εστω ροή υποκρίσιμη, όπως στο σχήμα οι υπολογισμοί άρχονται από το κατάντη σημείο:

Δε δόθηκε έμφαση στην τάξη

Θέμα, Μ2 θέμα

Προφίλ καμπύλης yn>yc κλίση ήπια καμπύλη Μ yn=1.07> y(πραγματικό, εκφώνηση)=0.9144 0.975> yc =0.85 κατάπτωση ακολουθώντας την κίνηση του νερού καμπύλη Μ2 Από 0.9144 m σε 0.975 m <y, θα είναι ανάντη (πριν το σημείο που έχουμε την πληροφορία). Από καμπύλη Μ2 κάτω από το ομοιόμορφο βάθος και πάνω από το κρίσιμο μία μόνο περίπτωση υπάρχει, κατάπτωση Φορά υπολογισμών: Πραγματική ροή υποκρίσιμη από κατάντη (χαμηλό βάθος) σε ανάντη (υψηλότερο υψόμετρο)

Φορά κίνησης νερού Φορά υπολογισμού: ροή υποκρίσιμη: από κατάντη σε ανάντη Υδραυλική Tαχύτητα Eιδική ενέργεια μ.ταχύττα μ. υδραυλ. Bάθος Εμβαδόν Βρ. Περίμετρος ακτίνα V=Q/A Ε=y+V^2/2g Ε1 Ε2 (V1+V2)/2 Ακτίνα (R1+R2)/2 Sf (μέση) Sf S0 Δx m m^2 m m m/s m m m/s m m 2 0.914 1.6715232 3.6568 0.457099978 2.7089065 1.288014996 1 0.9445 1.7273016 3.7178 0.464603152 2.6214299 1.294749467 0.0067345 2.665168164 0.460851565 0.002873406 0.0008734 7.7105855 0 0.975 1.78308 3.7788 0.471864084 2.5394262 1.303679166 0.0089297 2.580428013 0.468233618 0.002637116 0.0006371 14.015818 21.7264 Προσοχή το ανάντη κάτω από το κατάντη στον πίνακα

Δεν είναι Δ Δεν είναι Δ Ε1 Ε2

Πυκνή διαμέριση Υψ. Διαμέριση, καλύτερο αποτέλεσμα Bάθος Εμβαδόν Βρ. Περίμετρος Υδραυλική ακτίνα Tαχύτητα V=Q/A Eιδική ενέργεια Ε=y+V^2/2g Ε1 Ε2 Q n S0 5 1.828.800 0.012 0.002 μ.ταχύττα (V1+V2)/2 μ. υδραυλ. Ακτίνα (R1+R2)/2 Sf (μέση) Sf S0 Δx m m^2 m m m/s m m m/s m m 0.9144 1.6722547 3.6576 0.4572 2.7077215 1.288087846 1 0.92 1.682496 3.6688 0.458595726 2.6912397 1.289152448 0.0010646 2.699480573 0.457897863 0.00297325 0.0009732 1.0938631 2 0.93 1.700784 3.6888 0.461067014 2.6623016 1.291256367 0.0021039 2.676770651 0.45983137 0.002907056 0.0009071 2.3195038 3 0.94 1.719072 3.7088 0.463511648 2.6339793 1.293610946 0.0023546 2.648140442 0.462289331 0.002825049 0.000825 2.8538646 4 0.95 1.73736 3.7288 0.465930058 2.6062532 1.296205686 0.0025947 2.620116214 0.464720853 0.002746296 0.0007463 3.4768233 11 0.96 1.755648 3.7488 0.468322663 2.5791047 1.299030633 0.0028249 2.51526547 0.474117682 0.002464234 0.0004642 6.0851795 12 0.97 1.773936 3.7688 0.470689875 2.552516 1.302076344 0.0030457 2.565810341 0.469506269 0.002597904 0.0005979 5.0939803 12 0.975 1.78308 3.7788 0.471864084 2.5394262 1.303679166 0.0016028 2.545971074 0.471276979 0.002545078 0.0005451 2.940536 23.863751 Πυκνή διαμέριση ώστε η κλίση της γραμμής ενέργειας να αλλάζει λίγο οπότε η προσέγγιση της μέσης κλίσης για τη γραμμή ενέργειας να είναι σωστή (στις εξετάσεις δεν απαιτείται πυκνή διαμέριση)

y Α P R v V^2/2g V^2/2g+Y=E E1 E2 VMESH Rmesh Sfmesh Sfmesh S0 1.5670 12.30173 11.1499 1.103304 2.467132 0.310231 1.8772 1 1.5853 12.48891 11.21588 1.113503 2.430155 0.301002 1.8863 0.0091 2.448644 1.108404 0.001024 0.000324495 27.95218 2 1.6036 12.6771 11.28186 1.123671 2.394081 0.292132 1.8957 0.0094 2.412118 1.118587 0.000982 0.00028211 33.42623 3 1.6219 12.86629 11.34784 1.133809 2.358877 0.283604 1.9055 0.0098 2.376479 1.12874 0.000942 0.000241887 40.3989 4 1.6402 13.05648 11.41383 1.143918 2.324516 0.275401 1.9156 0.0101 2.341696 1.138864 0.000904 0.000203694 49.57248 5 1.6585 13.24768 11.47981 1.153999 2.290967 0.267509 1.9260 0.0104 2.307741 1.148959 0.000867 0.00016741 62.16967 6 1.6768 13.43989 11.54579 1.164051 2.258203 0.259912 1.9367 0.0107 2.274585 1.159025 0.000833 0.00013292 80.5251 7 1.6951 13.6331 11.61177 1.174076 2.2262 0.252598 1.9477 0.0110 2.242202 1.169063 0.0008 0.000100119 109.7214 8 1.7134 13.82731 11.67775 1.184073 2.194932 0.245552 1.9590 0.0113 2.210566 1.179074 0.000769 6.89087E 05 163.3181 9 1.7317 14.02253 11.74373 1.194043 2.164374 0.238762 1.9705 0.0115 2.179653 1.189058 0.000739 3.91967E 05 293.6618 1.7400 14.11141114 11.77366 1.198557198557 2.150743 0.235764 1.9758 0.00530053 2.157559 1.19631963 0.000718000718 1.84467E 05 287.4262 10 1.7500 Δε δόθηκε έμφαση στην τάξη θέμα

Βαθμιαία μεταβαλλόμενη ροή

Αυθαίρετη υπόθεση (στο θέμα, των ανάντη) υψομέτρων Θα πρέπει να επαληθεύεται η εξίσωση της ενέργειας (δοκιμές) Υποκρίσιμη ροή στο θέμα, υπολογισμοί από κατάντη σε ανάντη θέμα

θέμα

V 2 2 1 V2 z1 y z2 y2 hf 2g 2g 1 2 2 V1 V 2 y1 y2 z1 z2 hf 2g 2g 2 2 V 1 V 2 y1 y2 S0 L Sf L 2g 2g 2 2 V 1 2 1 V S 2 f, Sf, y1 y2 S0 L L 0 2g 2g 2 2 2 V S 1 S 2 1 V 2 f, f, y1 y2 S0 L L 0 2g 2g 2 2 2 V V S 1 S 2 2 1 f, f, y2 y1 S0 L L 0 2g 2g 2

Tελική εξίσωση, επίλυση με δοκιμές 2 2 V2 V S S 1 y y S L L 2 g 2 g 2 V n S f, 1, έ 2 R 3 f, 1 f, 2 2 1 0 0 2 Προσοχή: Επίλυση με δοκιμές Δες εξέλ εντολή solver Κατάντη σε ανάντη (2, γνωστό) (1, ανάντη, άγνωστο) θέμα

Στο σύγγραμμα του Καθ Μπέλλου η τελευταία στήλη στην επίλυση του θέματος (ΔΕ) είναι η επαλήθευση της γραμμής της ενέργειας Και οι δύο μέθοδοι στηρίζονται στην επίλυση της γραμμής της ενέργειας 2 2 u u 1 2 y1 y2 E 2g 2g 1 E2 L S S S S f 0 f 0 2 2 V2 V 1 y y S L S L 2g 2g 2 1 0 f 0

Και η πρώτη (ρητής ή επίλυσης) ) και η δεύτερη μέθοδος (σταθερού χωρικού βήματος) στηρίζεται στην εξίσωση της ενέργειας Η προσέγγιση έγκειται στη θεώρηση των γραμμικών απωλειών ενέργειας Στην πρώτη μέθοδο από τα βάθη ροής προκύπτουν τα μήκη, ενώ στη δεύτερη μέθοδο από τα μήκη προκύπτουν τα βάθη (αλλά με δοκιμές σε κάθε βήμα) Η δεύτερη μέθοδος είναι προτεινόμενη όταν η διατομή δεν παραμένει σταθερή όπως σε φυσικά υδατορέματα ή σε μεταβατικά τμήματα.

Ασκησιολογικά Όταν γνωρίζω το κατάντη ηβάθος ςροής ής( (σε άλλα το ανάντη, πάντως ένα βάθος ροής) και ζητώ το βάθος ςροής ήςγια ένα Δx Δοκιμές: υπόθεση και επαλήθευση με βάση την εξίσωση της ενέργειας Θέμα με:solver, excel θέμα

θέμα

ΜΕΤΑΒΑΤΙΚ Ο ΤΜΗΜΑ ΙΩΡΥΓΑ α/α dx (m) ΠΑΡΟ ΧΗ Q (m 3 /s) ΑΠΟΣΤ ΑΣΗ (m) ΚΛΙΣΗ ΠΡΑΝΩ Ν m ΠΛΑΤΟ Σ b (m) ΒΑΘΟΣ y (m) ΕΜΒΑ Ο Ν ΥΓΡΗΣ ΒΡΕΧΟΜΕΝΗ ΤΑΧΥΤΗ ΑΠΩΛΕΙΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΙΑΤΟΜΗ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΤΑ Σ ΜΗ ΕΝΙΣΜΟ SF Σ P u sf μεσο Υ A (m) (m/s) (m) Ε kiniti S0*dx ( 2 ) 1 2 3 3 4 5 6 7 8 9 8.9 10 10.3 11 12 0 30.50 1162 0.00 7.00 1.246 8.72 9.49 3.50 0.62 0.0027 11.65 30.50 0.0019 0.00 1 30.50 1150 1.86 5.14 1.576 12.72 11.80 2.40 0.29 0.0010 0.01 30.00 30.50 0.0010 0.00 2 30.50 1120 150 1.50 550 5.50 1604 1.604 12.68 11.28 240 2.40 029 0.29 0.00100010 002 0.02 40.00 30.50 0.0009 0.00 3 30.50 1080 1.50 5.50 1.623 12.88 11.35 2.37 0.29 0.0009 0.03 100.00 30.50 0.0009 0.00 4 30.50 980 1.50 5.50 1.658 13.24 11.48 2.30 0.27 0.0009 0.07 100.00 30.50 0.0008 0.00 5 30.50 880 1.50 5.50 1.682 13.49 11.56 2.26 0.26 0.0008 0.07 300.00 30.50 0.0008 0.00 6 30.50 580 1.50 5.50 1.722 13.92 11.71 2.19 0.24 0.0007 0.21 300.00 30.50 0.0007 0.00 7 30.50 280 1.50 5.50 1.737 14.08 11.76 2.17 0.24 0.0007 0.21 300.00 30.50 0.0007 0.00 8 30.50-20 1.50 5.50 1.746 14.17 11.79 2.15 0.24 0.0007 0.21 Στο θέμα οι δύο λύσεις δεν συμπίπτουν απόλυτα γιατί αντιμετωπίζουν διαφορετικά τις απώλειες θέμα

Oμοιόμορφη ροή

Κρίσιμη ροή

c

Έλεγχος καμπύλης

+ Σακκάς, 1988

Σακκάς, 1988

Προσοχή άλλος συμβολισμός όπου z m

Επαλύθευση εξίσωσης ενέργειας

Προσοχή άλλος συμβολισ μός όπου z m

Δοκιμές, επαλήθευση, εξίσωση ενέργειας

δοκιμές 2 2 V2 V S S 1 y y S L L 2g 2g 2 f, 1 f, 2 2 y 1 0 0

Example A trapezoidal concrete lined channel has a constant bed slope of 0.0015, a bed width of 3 m and side slopes 1:1. A control gate increased the depth immediately upstream to 4.0m when the discharge is 19 m 3 /s. Compute WSP to a depth 5% greater than the uniform flow depth h( (n=0.017). Two possibilities exist: OR

Φορά υπολογισμών: καμπύλη Μ2, (2) κατάντη ανάντη (1) M2 Φορά αριθμητικών υπολογισμών από κατάντη σε ανάντη y n y c θέμα

Μέθοδος χωρικού βήματος: Σωτήρια σε μη πρισματικούς αγωγούς, σε κάθε χαρακτηριστική διατομή πρέπει να τη συμπεριλαμβάνω στα υπολογιστικά βήματα μου

Ανομοιόμορφη ροή 1 : από τραπεζοειδής σε ορθογωνική θέμα

Κατόπιν βαθμιαία μεταβαλλόμενη ροή σε τραπεζοειδής διατομή Σε μεγάλο μήκος προσεγγίζουμε ασυμπτωτικά την κλίση πυθμένα ανάντη

Αυθαίρετη υπόθεση (στο θέμα, των ανάντη) υψομέτρων Θα πρέπει να επαληθεύεται η εξίσωση της ενέργειας (δοκιμές) Υποκρίσιμη ροή στο θέμα, υπολογισμοί από κατάντη σε ανάντη θέμα

Θέμα με: SOLVER, excel Ασκησιολογικά Όταν γνωρίζω το κατάντη ηβάθος ςροής ής( (σε άλλα το ανάντη, πάντως ένα βάθος ροής) και ζητώ το βάθος ςροής ήςγια ένα Δx Δοκιμές: υπόθεση και επαλήθευση με βάση την εξίσωση της ενέργειας Θέμα με:solver, excel Σωτήρια για μη πρισματικούς αγωγούς που είναι άγνωστη η μελλοντική διατομή

θέμα

ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΙΩΡΥΓΑ ΕΜ ΒΑ ΟΝ α/α ΥΓΡΗΣ ΒΡΕΧΟΜΕΝΗ ΤΑΧΥΤΗΤ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΑΡΟ ΑΠΟΣΤΑΣ ΚΛΙΣΗ ΠΛΑΤΟΣ ΒΑΘΟΣ ΑΠΩΛΕΙΕΣ dx ΙΑΤΟΜΗ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ Α ΜΗ ΕΝΙΣΜΟ ΧΗ Q Η ΠΡΑΝΩΝ b y sf S0 Χ SF μεσο (m) (m 3 Σ P u Υ /s) (m) m (m) (m) (m) A (m) (m/s) Ε (m 2 ) kiniti 1 2 3 3 4 5 6 7 8 9 8.9 10 11 12 0 30.50 1162 0.00 7.00 1.246 8.72 9.49 3.50 0.62 0.0027 11.65 30.50 0.0082 0.0019 0.00 1 30.50 1150 1.86 5.14 1.547 12.41 11.67 2.46 0.31 0.0011 50.00 30.50 0.0350 0.0011 0.00 2 30.50 1100 1.50 5.50 1.556 12.18 11.11 2.50 0.32 0.0011 50.00 30.50 0.0350 0.0010 0.00 3 30.50 1050 1.50 5.50 1.591 12.54 11.24 2.43 0.30 0.0010 100.00 30.50 0.0700 0.0009 0.00 4 30.50 950 1.50 5.50 1.638 13.03 11.41 2.34 0.28 0.0009 100.00 30.50 0.0700 0.0009 0.00 5 30.50 850 1.50 5.50 1.668 13.34 11.51 2.29 0.27 0.0008 300.00 30.50 0.2100 0.0008 0.00 6 30.50 550 1.50 5.50 1.719 13.89 11.70 2.20 0.25 0.0008 300.00 30.50 0.2100 0.0007 0.00 7 30.50 250 1.50 5.50 1.737 14.08 11.76 2.17 0.24 0.0007 200.00 30.50 0.1400 0.0007 0.00 8 30.50 50 1.50 5.50 1.743 14.14 11.78 2.16 0.24 0.0007 Στο θέμα οι δύο λύσεις δεν συμπίπτουν απόλυτα γιατί αντιμετωπίζουν διαφορετικά τις απώλειες θέμα

Παπαθανασιάδης και Τσακίρης, 2010

Φορά υπολογισμών: ροή υποκρίσιμη(2) κατάντη ανάντη (1) y n y c