ΛΥΚΕΙΟ ΚΟΚΚΙΝΟΧΩΡΙΩΝ ΦΩΤΗ ΠΙΤΤΑ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ: 016-017 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 017 ΤΑΞΗ: Β Ενιαίου Λυκείου ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 5/05/017 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ : :30 Προτεινόμενες Λύσεις ΜΕΡΟΣ Α : Να λύσετε και τις 10 ασκήσεις. Κάθε άσκηση βαθμολογείται με 5/100. 1. Να υπολογίσετε τα πιο κάτω όρια: α) lim x 5x+6 x x 4x x β) lim x x 5x+6 x 4x x x x (x 3)(x ) x(x ) x (x 3) x = 1 4. Να αποδείξετε την τριγωνομετρική ταυτότητα: ημx 1+συνx = εφx. ημx 1 + συνx = ημxσυνx συν x = εφx 3. Να λύσετε την εξίσωση: x + x = 5. x + x = 5 x + 4 x = 5 x + 4 5 x = 0 ( x 4)( x 1) = 0 { x 4 = 0 x = x 1 = 0 x = 0 4. Να βρείτε την πρώτη παράγωγο των συναρτήσεων: α) f(x) = x 3 3 + τεμx + x f (x) = x + τεμxεφx + 1 β) g(x) = e 3x ημx g (x) = 3e 3x ημx + e 3x συνx x 5. Δίνεται η καμπύλη με εξίσωση x + y + y 1 = 0. Να βρείτε τις εξισώσεις της εφαπτομένης και της κάθετης της καμπύλης στο σημείο της με x = 3 και y > 0. x = 3 και y > 0 3 + y + y 1 = 0 y + y 3 = 0 (y + 3)(y 1) = 0 y δηλ. στο σημείο (3, 1) x + y + y 1 = 0 x + yy + y = 0 y = x y + 1 λ ε = y (3,1) = 3 = 3 ε: y 1 = 3 (x 3) και λ 1+1 κ = κ: y 1 = (x 3) 3 3 Σελίδα - 1 - από 4
6. Να λύσετε την εξίσωση ημx ημ3x στο διάστημα [0, π] συν(3x x) συν(3x + x) συνx συν4x συνx συν x + 1 συνx(1 συx) = 0 συνx = 0 x = κπ ± π x = κπ ± π 4, κ Z 1 συνx = 0 x = κπ ± π { 3 x = κπ ± π 6, κ Z 0 < x < π x = π 4, x = 3π 4 x = π { 6, x = 5π 6 x x+, x 1 x + α 7. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = {, x > 1 x 1 Να βρείτε την τιμή του α R, ώστε η συνάρτηση να είναι συνεχής στο 1. lim x 1 f(x) x x+ = f(1) x 1 x + α 1+ α lim x 1 + f(x) x+1 x 1 + x 1 x 1 + x 1 x+1 x 1 + x 1 ( x + 1) = f συνεχής στο 1 lim x 1 1 f(x) f(x) = f(1) = a = 1 + x 1 1+ α 8. Η ακτίνα (R) και το ύψος (u) κυλίνδρου μεταβάλλονται συναρτήσει του χρόνου t και R(t) = ln (1 + t) δίνονται από τις εξισώσεις: { u(t) = t + t, t 0. α) Να βρείτε το λόγο μεταβολής du dr του ρυθμού μεταβολής του ύψους προς τον ρυθμό μεταβολής της ακτίνας του. β) Να εκφράσετε συναρτήσει του t, το εμβαδόν της κυρτής του επιφάνειας. γ) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της κυρτής επιφάνειας, τη χρονική στιγμή t = min. α) dr dt 1+t } du = t + dt du dr = (t + 1) β) Ε k (t) = πr(t)u(t) = π(t + t)ln (1 + t) γ) dε = π [(t + ) ln(1 + t) + t +t ] dε = π(6ln3 + 8 ) μ dt t+1 dt t= 3 min Σελίδα - - από 6
9. Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = x, g(x) = log ( e x ) και h(x) = e x e x 1. α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων h(x) και (f g)(x). β) Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο οι συναρτήσεις f g και h είναι ίσες. α) D h : e x 1 0 e x 1 x ln D h = R {ln} D g : e x > 0 e x < x < ln D g = (, ln), D f = R D g = (, ln) D f g = (, ln) β) (f g)(x) = f(g(x)) = log ( ex ) e h(x) = e x x e x 1 = e x e x e x 1 e x e x D f g D h = (, ln) (f g)(x) = h(x), x (, ln) 10. Δίνεται η συνάρτηση f ( π, π ) R με τύπο f(x) = εφx. α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι 1 1 στο ( π, π ). β) Αν f 1 η αντίστροφη συνάρτηση της f, να δείξετε ότι ( f 1 ) (x) 1 + x. γ) Να βρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f 1 στο σημείο της Α(1, f 1 (1)). α) f(x 1 ) = f(x ) εφ(x 1 ) = εφ(x ) { x 1 = κπ + x, κ Z π < x 1, x < π x 1 = x f είναι 1 1 β) Έστω η αντίστροφη της η f 1 R ( π, π ) με y = f 1 (x) εφy = x Τότε, τεμ y y (f 1 ) (x) = y τεμ y 1+εφ y 1+x ή Έχουμε ότι (f f 1 )(x) = x εφ(f 1 (x)) = x και f (x) = τεμ x 0, x ( π, π ). Επομένως, από το Θεώρημα Παραγώγου Αντίστροφης Συνάρτησης: ( f 1 1 ) (x) = f (f 1 (x)) τεμ (f 1 (x)) 1 + εφ (f 1 (x)) 1 + x γ) Αν f 1 (1) = y εφy εφy = εφ π {y = κπ + π, κ Z 4 4 π < y < π y = f 1 (1) = π 4 και λ ε = (f 1 ) (1) 1+1 ε: y π (x 1) 4 Σελίδα - 3 - από 6
ΜΕΡΟΣ Β : Να λύσετε και τις 5 ασκήσεις. Κάθε άσκηση βαθμολογείται με 10/100. 1. Οι αριθμοί α 1, α,..., α ν,... είναι διαδοχικοί όροι αύξουσας Α.Π.. α) Να σχηματίσετε την πρόοδο αν η διάμεσος των πρώτων 5 όρων της είναι 5 και η μέση τιμή των 6 πρώτων όρων της είναι 6. β) Να δείξετε ότι ο γενικός της όρος είναι α ν = ν 1, ν N. γ) Να δείξετε με τη μέθοδο της τέλειας επαγωγής ότι ο αριθμός β ν = α ν 1 είναι πολλαπλάσιο του 8, ν N. α) α 1, α, α 3, α 4, α 5 οι 5 πρώτοι με Χ δ = α 3 = 5 α 1 + δ = 5 Χ = 6 Σ 6 = 36 α 1 + 5δ { α 1 + δ = 5 α 1 + 5δ { δ =, έτσι η Α.Π.: 1, 3, 5, 7,... α 1 β) α ν = α 1 + (ν 1)δ + (ν 1) = ν 1 γ) Για ν=1 είναι β 1 = α 1 1 1 = 0 πολλαπλάσιο του 8 Έστω ισχύει για ν=κ. Τότε, λ Z ώστε β κ = 8λ α κ 1 = 8λ (κ 1) 1 = 8λ 4κ 4κ = 8λ Για ν=κ+1: β κ+1 = α κ+1 1 = ((κ + 1) 1) 1 = 4κ + 4κ = 4κ 4κ + 8κ = 8(λ + κ) Δηλαδή, ο όρος β κ+1 είναι πολλαπλάσιο του 8. Επομένως ισχύει ν N.. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ = α και γωνία A 0. α) Να υπολογίσετε συναρτήσει του α την πλευρά του ΒΓ. β) Το τρίγωνο περιστρέφεται γύρω από την πλευρά του ΑΓ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν και τον όγκο του παραγόμενου στερεού συναρτήσει του α. α) ΑΒ=ΑΓ=α και A 0 ΒΓ = λ 3 = αημ10 = α 3 (ή από Ν. Συνημιτόνων ΒΓ = α α συν10 = 3α ). β) (ΟΒ) = αημ60 = α 3 και (ΟΑ) = ασυν60 = α. Άρα: Ε ολ = Ε ΑΒ + Ε ΒΓ = π(οβ)(αβ) + π(οβ)(βγ) = π α 3 α + π α 3 α 3 = π α 3 (1 + 3) V ολ = V ΒΟΓ V ΒΟΑ = π 3 (ΟΒ) (ΟΓ) π 3 (ΟΒ) (ΟΑ) = π 3 (α 3 ) 3α π 3 (α 3 ) α = πα3 4 3. Στο εσωτερικό γωνίας Χ Ο Ψ = 60 ο εγγράφουμε κύκλους (Κ, ρ) και (Λ, R) με ρ < R που εφάπτονται στις πλευρές της γωνίας και μεταξύ τους. α) Να δείξετε ότι R = 3ρ. β) Να υπολογίσετε, συναρτήσει του ρ, το εμβαδόν και την περίμετρο του σκιασμένου μέρους του πιο κάτω σχήματος. Σελίδα - 4 - από 6
AB = ΟΒ ΟΑ = R εφ30 ρ εφ30 Ε σκ = Ε τραπ Ε τομκ Ε τομλ = 3ρ+ρ = ρ 3 και βάσεις ρ και R. α) Το τρίγωνο ΑΟΚ είναι ορθογώνιο με γωνία Α Κ Ο = 30 ο επομένως ΟΚ=ρ, όμοια ΟΛ=R και ΚΛ=ρ+R. ΟΚ + ΚΓ + ΓΛ = ΟΛ ρ + ρ + R = R 3ρ = R β) Το ΑΒΛΚ είναι ορθογώνιο τραπέζιο με ύψος ρ 3 πρ 40 10 π(3ρ) = 360 360 ρ (8 3 11 π) 3 Π = ΑΒ + πρ 40 10 4πρ 10π + π3ρ = 4ρ 3 + + πρ = ρ(4 3 + ) 360 360 3 3 4. Σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση 1 + εφ(45 + Β) = 1 σφ Γ α) Να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. β) Αν επιπλέον ισχύει ότι 4Ε = α, να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι και ισοσκελές. α) 1 + εφ(45 + Β) + εφ45 +εφβ εφβ+1+εφβ 1 εφ45 εφβ 1 εφβ = 1 εφ Β = εφβ = σφγ εφβ = εφ(90 Γ) Β + Γ = 90 Α = 90 1 εφ Β 1 σφ Γ β) 4Ε = 4 1 βγημα = βγ και α = β + γ β + γ = βγ (β γ) = 0 β = γ και άρα το τρίγωνο είναι και ισοσκελές 5. Δίνονται οι γραφικές παραστάσεις συνάρτησης f και της παραγώγου της f : Ισχύει ότι lim f ( x) lim f '( x) 0 x. x Σελίδα - 5 - από 6
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών της f. β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: i) h 1 (x) = 3 x f(x) γ) Να υπολογίσετε τα όρια: i) lim f ( x) e f '( x) x 0 ii) ii) h (x) = f(log x) lim log 1 f ( x ) x iii) h 3 (x) = (f f)(x) iii) lim x 1 f ( x) f (1) x 1 δ) Να υπολογίσετε την παράγωγο g () σε κάθε μια από τις ακόλουθες περιπτώσεις: i) g(x) = f (x) ex ii) g(x) = f( x + ) iii) g(x) = (f f)(x) α) Είναι : D f = [0, + ) και R f = [, ] β) i) { 3 x 0 x 3 { 3 D f(x) 0 x 1 h1 = [ 3, 1) (1, 3] x > 0 ii) { log x 0 {x > 0 x 1 x 1 D h = [1, + ) iii) { x 0 f(x) 0 {x 0 x 1 x 1 D h 3 = [1, + ) γ) i) lim x 0 + (f (x) e f (x) ) = 4 e 0 = 3 ii) f(x) = 0 και f(x) > 0 lim x + lim log 1 x + f(x) = lim log f(x) = ( 1) ( ) = + x + f(x) f(1) iii) lim = f (1) = 4 x 1 x 1 δ) i) g(x) = f (x) g (x) = f(x)f (x)ex e x f (x) = f(x)f (x) f (x) g () = 4 = e x e x e x e 4e ii) g(x) = f( x + ) g (x) = f ( x+) f () g () = = 0 x+ 4 iii) g(x) = (f f)(x) g (x) = f (f(x)) f (x) g () = f (f()) f () = f () 0 = 0 Τέλος Δοκιμίου Οι εισηγητές : Χριστίνα Κυπριανού Γιώργος Ζαχαρικός Μιχάλης Κοντοβούρκης Συντονιστής ΒΔ Χρίστος Βαλανίδης Ο Διευθυντής Αδάμος Σεργίου Σελίδα - 6 - από 6