ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. lim f(x) έχουμε P(x) 2x (1 ). Επειδή. lim ( 2x )

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α Σχολικό βιβλίο σελίδα 86 Α Σχολικό βιβλίο σελίδα 4 Α i γ) ii δ) Α4 α) Συνεχής,, f( ) β) Υπάρχει το f '() lim g'(), θετικό,,, γ),, Α5 i A ii Έστω P() Για lim ( ) και ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ lim f() έχουμε P() ( ) Επειδή είναι lim P() lim ( ) lim ( ) ΘΕΜΑ Β Β α) Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΝΜ είναι όμοια ΝΜ / /ΒΓ οπότε έχουμε: ΒΓ ΑΔ 5 ΜΝ ΑΕ (ΜΝ) 5 (ΜΝ) (5 ), με (5 ) 5 και Το εμβαδό του ορθογωνίου είναι Ε ΜΝ ΝΚ και η περίμετρος του Π ΜΝ ΝΚ Οπότε Ε() (5 ), (,5) και Π() (5 ), (,5) β) Η συνάρτηση Ε() είναι παραγωγίσιμη στο Δ (,5) ως άθροισμα παραγωγίσιμων, άρα και συνεχής Είναι E () 5 4, με E () 4 Πίνακας προσήμου της E () Άρα, E () στο 5 5, και E () στο 5,5, οπότε η Ε παρουσιάζει μέγιστο στο

2 Δηλαδή το εμβαδό του ορθογωνίου μεγιστοποιείται όταν το ύψος του ΚΝ είναι βάση του είναι 5 (ΚΛ) (ΜΝ) 5 5cm (t) (t) () και Π(t) (t), άρα (ΚΛ) (ΚΝ) 5cm / sc 5 cm και η γ) Εφόσον ο ρυθμός αύξησης του εμβαδού Ε είναι, έχουμε E (t) 5, t χρόνος σε sc Οπότε E(t) () με E (t) 4(t) (t) (t) () και Π (t) (t) (4) Από () και () είναι 4(t) (t) (t) 5 (5) Το εμβαδό του τριγώνου ΑΒΓ είναι (ΑΒΓ) (ΒΓ) (ΑΔ), άρα (ΑΒΓ) 5 5cm () Έστω σε έχουμε E(t ) 5 (t ) (t ) 8 (t ) ή (t ) 4 t t Τότε από την (5) με απορρίπτεται γιατί το εμβαδό αυξάνεται στο t t και (t ) 5, 5 έχουμε 4 (t ) (t ) 5 (t ) 6 Άρα ο ρυθμός μεταβολής του ύψους του ορθογωνίου σε t t είναι 5 cm / sc και της περιμέτρου του από την (4) είναι cm / sc 6 Β Η συνάρτηση C() 6ν ν C() 6ν ν C() 6ν ν είναι παραγωγίσιμη στο, ως άθροισμα παραγωγίσιμων, άρα και συνεχής, με C () 6ν ν 6( ν) Πίνακας προσήμου C () Άρα C () στο (,ν), C () στο (ν, ), οπότε η C παρουσιάζει ελάχιστο στο ν Δηλαδή για να έχει η βιοτεχνία ελάχιστο κόστος πρέπει να παράγονται ημερησίως ν μονάδες προϊόντος Εφόσον το κέρδος να μονάδα προϊόντος είναι Π(ν) ν, το κέρδος από τις ν μονάδες είναι Κ(ν) ν( ν) Κ(ν) 4ν 4ν με ν (,] Η συνάρτηση Κ(ν) είναι παραγωγίσιμη ως άθροισμα παραγωγίσιμων στο (,], άρα και συνεχής

3 Κ (ν) 4ν 4ν 4 8ν Πίνακας προσήμου Κ (ν) Άρα Κ (ν) στο (,5), Κ (ν) στο (5,), οπότε η Κ παρουσιάζει μέγιστο στο Επομένως η βιοτεχνία έχει μέγιστο κέρδος όταν απασχολεί 5 εργάτες Τότε το μέγιστο κέρδος θα είναι Κ(5) ευρώ, με αντίστοιχο κόστος ν 5 C() ευρώ Οπότε τα έσοδα της βιοτεχνίας είναι 5 5 ΘΕΜΑ Γ Γ α) Στο f () lim, θέτουμε f () h() f () ( )h(), με lim h() Οπότε lim f () lim( )h() Η f είναι παραγωγίσιμη στο (, ) άρα και συνεχής Επομένως Για κάθε, y ισχύει f(y) f(y) yf() f(y) yf() f(y) () Θέτουμε φ() f(y) yf () f (y), (, ), οπότε () φ() f (y) yf () f (y) y Τότε () φ() φ(), για κάθε Άρα η φ παρουσιάζει ελάχιστο στο εσωτερικό σημείο του (, ) Η φ είναι παραγωγίσιμη στο (, ) ως άθροισμα, γινόμενο και σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων με φ () f (y) yf () f (y) f (y) yf () yf (y) f () lim f () () Άρα από το θεώρημα Frmat ισχύει φ () f (y) yf () yf (y) () Έχουμε () f () f () f () f () lim lim (δεδομένο) Άρα από την () προκύπτει f (y) y yf (y) (y ) f () f(),,

4 f () f () β) Για κάθε, είναι: f () f () f (), ln συνεχείς, υπάρχει σταθερά c f () ln c f () ln c Από () έχουμε f() ln c c Άρα f() ln, Η f είναι συνεχής στο (, ) f () και εφόσον ln τέτοια ώστε για κάθε να ισχύει f () ln ln, και f παραγωγίσιμη στο (, ), με γ) Έχουμε f () ln Άρα η f είναι κυρτή στο (, ), επομένως καθώς το αυξάνεται η εφαπτομένη της C f στρέφεται κατά τη θετική φορά δ) Έστω α β Ισχύει α β α β γιατί : α α β β α β, οπότε ορίζονται διαστήματα α β Δ α,, α β Δ,β Η f είναι συνεχής στα Δ,Δ (, ) Η f είναι παραγωγίσιμη στα α β α β α,,,β α β Άρα από ΘΜΤ υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ α, τέτοιο ώστε f f ξ ξ α β f f (α) α β και ένα τουλάχιστον ξ,β β α α β f(β) f β α τέτοιο ώστε

5 α β Είναι α ξ ξ β και f γνησίως αύξουσα στο (, ), αφού f κυρτή, οπότε α β α β f f (α) f (β) f f ξ f ξ β α β α α β α β α β f f (α) f (β) f f f (α) f (β) α β f f (α) f (β) Αν α β α β ισχύει f f (α) f (β) α β Άρα ισχύει f f (α) f (β) όταν α β Γ Για την g ισχύει το θεώρημα Roll στο [,], οπότε πρέπει: Η g να είναι συνεχής στο [,] Έχουμε ότι: Η g είναι συνεχής στο [,) Άρα πράγματι η g είναι συνεχής στο [,] lim g() lim λ g() ως πολυώνυμο και H g είναι παραγωγίσιμη στο (,), που ισχύει αφού είναι άθροισμα παραγωγίσιμων g () λ λ και g( ) g() ( ) λ( ) λ Γ α) g(), ln,, Τα κρίσιμα σημεία της g στο Δ [,] είναι τα εσωτερικά σημεία Δ στα οποία η f δεν παραγωγίζεται ή η παράγωγος της είναι ίση με Είναι, g () ln, Εξετάζουμε αν η g είναι παραγωγίσιμη στο

6 g() g() ln lim lim lim ln Άρα η g δεν είναι παραγωγίσιμη στο, οπότε Βρίσκουμε τις ρίζες της g στα,,, είναι κρίσιμο σημείο της Αν (,) είναι g (), δεκτή Αν (,) είναι g () ln, δεκτή Οπότε τα,, είναι κρίσιμα σημεία της g στο Δ β) Από το ερώτημα έχουμε ότι η είναι συνεχής στο [,] Επίσης η f είναι συνεχής στο (,] και ln lim g() lim ln lim lim είναι συνεχής και στο Τελικά η g είναι συνεχής στο [,] Δ ln lim lim ( ) g(), άρα η g Οι πιθανές θέσεις τοπικών ακροτάτων της g στο Δ είναι οι αριθμοί:,,,, (δηλαδή τα κρίσιμα σημεία που βρήκαμε στο α) και τα άκρα του διαστήματος Δ) Εφόσον g συνεχής στο Δ, ισχύει g(δ) [m,m] όπου m το ελάχιστο της στο Δ και Μ το μέγιστο της g στο Δ Είναι: g( ), και 4 άρα μόνο για g, g() 4, g και g() g Δ, και ισχύει g() () για κάθε Δ, με την ισότητα να ισχύει Οπότε αφού κ ισχύει η () άρα κ g()d d g()d κ κ κ

7 ΘΕΜΑ Δ Δ Δίνεται f () 4, για κάθε Η f ορίζεται αν και μόνο αν 4 Άρα [, ) Η f είναι παραγωγίσιμη στο (, ) παραγωγίζοντας κατά μέλη έχουμε : και η 4 είναι επίσης παραγωγίσιμη στο (, ), οπότε [f ()]' (4)' f()f '() 4 f()f '() f '() () (γιατί άρα και f() Έστω ) (,f( )) σημείο επαφής της C f με την εφαπτομένη με f '( ) Τότε η εξίσωση της εφαπτομένης είναι : f( ) ( ) : y f( ) f '( )( ) y f( ) ( ) f( ) Ισχύουν: f ( ) 4 () f( ) A(,) ( ) : f( ) ( ) f ( ) ( ) 4 ( ) f() για () και Από () f ( ) 4 f( ) Άρα τα σημεία επαφής και οι αντίστοιχες εφαπτόμενες σε αυτά είναι :,, ( ): y ( ) y (, ), ( ): y ( ) y Δ Η f είναι συνεχής ως παραγωγίσιμη στο (, ) και εφόσον είναι συνεχής και στο, η f είναι συνεχής στο [, ) Για κάθε, η () f() (4) Έστω f() Άρα f() για κάθε (, ) και f συνεχής στο (, ), άρα η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (, ) Αν f() στο (, ), τότε από την (4) προκύπτει f() f(), Αν f() στο (, ), τότε από την (4) προκύπτει f() f(), και επειδή f() έχουμε και επειδή f() έχουμε

8 Το ζητούμενο εμβαδόν Ε είναι το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων : που ορίζεται από την f (), την και τον άξονα ' και που ορίζεται από την f (), την και τον άξονα ' Η καμπύλη της συνάρτησης f () 4 y 4 έχε άξονα συμμετρίας τον ' οπότε οι είναι συμμετρικές ως προς τον ' Επίσης και οι ευθείες, C,C f f είναι συμμετρικές ως προς τον ', οπότε τα δυο χωρία είναι ισεμβαδικά, δηλαδή ( ) ( ), οπότε (5) Παρατηρούμε ότι το προκύπτει από το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων που ορίζονται : Από την τους άξονες ', y'y και είναι τρίγωνο με εμβαδόν και Από την την C και τις ευθείες, άρα f 4 4 ( )d ( )d [ ] 6

9 και από την (5) έχουμε 6 Άρα 4 4 Δ Έστω 5 το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζεται από τις,, και τον άξονα y'y με βάση το ευθύγραμμο τμήμα που έχει για άκρα τα σημεία (,),(,), άρα μήκος και ύψος ( ) Είναι 5, οπότε για την ευθεία πρέπει να ισχύει Το τρίγωνο που σχηματίζουν οι ευθείες,, και έχει βάση ΒΓ με,, άρα έχουν συντεταγμένες (, ), (, ), οπότε ( ) ( ), ύψος ΑΔ με ( ) και εμβαδόν ( )( ) ( ) 6 Πρέπει 6 ( ) Δ4

10 i ii I d ( )'d [ ] ( )' d d I Δίνεται g g'() D [, ) f() με g' D [, ) και f() για κάθε, άρα f() g'() και α) Η g' είναι παραγωγίσιμη στο (, ) ως σύνθεση των παραγωγίσιμων συναρτήσεων u και u, με g''() ( )', β) Για είναι g'() και η g είναι συνεχής στο [, ), άρα είναι γνησίως αύξουσα στο [, ) και παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο το g() Από α) έχουμε ότι g''(), και αφού η g είναι συνεχής στο [, ), είναι κυρτή και δεν παρουσιάζει σημεία καμπής γ) g()d ()' g()d [g()] g'()d g() d (6) Για το d θέτουμε u u άρα d udu και για u, 4 ενώ για u Οπότε : i u u u udu u du I [ I ] I [ I ] u u u u du [u ] du Οπότε από την (6) προκύπτει g()d g() 4 4