ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Transcript

1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Τελευταία ενηµέρωση: Νοέµβριος 016) Ανέστης Τσοµίδης Κατερίνη

2 Περιεχόµενα 1 Συστήµατα 1.1 Μη γραµµικά συστήµατα Ιδιότητες συναρτήσεων 3.1 Μονοτονία, ακρότατα, συµµετρίες συνάρτησης Κατακόρυφη-οριζόντια µετατόπιση καµπύλης Τριγωνοµετρία Τριγωνοµετρικοί αριθµοί Τριγωνοµετρικές ταυτότητες Αναγωγή στο 1ο τεταρτηµόριο Οι τριγωνοµετρικές συναρτήσεις Τριγωνοµετρικές εξισώσεις Πολυώνυµα Η έννοια του πολυωνύµου ιαίρεση πολυωνύµων Πολυωνυµικές εξισώσεις και ανισώσεις Ρητές και άρρητες εξισώσεις και ανισώσεις Εκθετική και Λογαριθµική συνάρτηση Η εκθετική συνάρτηση Λογάριθµοι Η λογαριθµική συνάρτηση

3 1 Συστήµατα 1.1 Μη γραµµικά συστήµατα 1.1. Να λύσετε τα παρακάτω συστήµατα: x + x + ) + 3 y + 5) = α) 3 x + x + ) y + 5) = 6 ϐ) x y 1 = 5 5 x y 1 = Να λύσετε τα παρακάτω συστήµατα: α) x + 5 y = 1 x 1 x + 3 ϐ) y + y 3 = 1 y = 3 3 x y y 3 = γ) x + y 1) = 5 3x 4 y 1) = Να λύσετε τα παρακάτω συστήµατα: y x = 0 x + y = 1 α) ϐ) x + y = 4 x + y = Να λύσετε τα παρακάτω συστήµατα: x + y = x x 3 + y = 1 α) x 4) + y ϐ) = 4 x + y = 1 γ) γ) x + y = 4 x + y = x + y = 0 x 5 + y 3 = Θεωρούµε το σύστηµα µε αγνώστους x, y ax 3 + y = x + ay = β όπου a, β R. ίνεται ότι το σύστηµα έχει λύση το Ϲεύγος 1, 1). Να ϐρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς α, ϐ και όλες τις λύσεις του συστήµατος Να ϐρείτε δύο αριθµούς µε άθροισµα 3, για τους οποίους το άθροισµα των κύβων τους είναι ίσο µε Να λύσετε το σύστηµα των παρακάτω εξισώσεων: z = 3x, y = z, x + y + z = Να λύσετε το σύστηµα των παρακάτω εξισώσεων: xy x + y = 1 3, zy z + y = 3, zx z + x = 1.

4 Ιδιότητες συναρτήσεων.1 Μονοτονία, ακρότατα, συµµετρίες συνάρτησης.1. Να µελετήσετε ως προς τη µονοτονία τις παρακάτω συναρτήσεις: α) fx) = x + 4 ϐ) gx) = x 3 4 γ) hx) = 4 5x Να µελετήσετε ως προς τη µονοτονία τις παρακάτω συναρτήσεις: α) fx) = x + x ϐ) gx) = x 3 + 4x γ) hx) = 5 x + x.3. ίνεται η συνάρτηση fx) = x + 5, x 0 x, x > 0. α) Αποδείξτε ότι σε καθένα από τα διαστήµατα, 0], 0, + ) η f είναι γνησίως αύξουσα. ϐ) Να εξετάσετε αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο R..4. ίνεται η συνάρτηση fx) = x 5 + 5x 3. α) Αποδείξτε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο R. ϐ) Να δείξετε ότι για κάθε πραγµατικό αριθµό x ισχύει x + > x 1. γ) Να δείξετε ότι για κάθε πραγµατικό αριθµό x ισχύει x + ) x + ) 3 > x 1) x 1) ίνεται η συνάρτηση fx) = 3 x x. α) Αποδείξτε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως ϕθίνουσα στο 0, + ). ϐ) Αν a, β ϑετικοί αριθµοί µε a < β, να δείξετε ότι 3 3 > a β). a β.6. ίνονται οι συναρτήσεις fx) = 3 x 3 5 και gx) = x 1) + 4. α) Αποδείξτε ότι η f έχει ελάχιστο το οποίο να ϐρείτε. ϐ) Αποδείξτε ότι η g έχει µέγιστο το οποίο να ϐρείτε..7. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f είναι άρτια ή περιττή σε καθεµία από τις παρακάτω περιπτώσεις: α) fx) = 3x 4 + 5x + 4 ϐ) fx) = x 3 + 4x γ) fx) = 3x x 4.8. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f είναι άρτια ή περιττή σε καθεµία από τις παρακάτω περιπτώσεις: α) fx) = x x 3 ϐ) fx) = x γ) fx) = x x 3 x 3

5 .9. Θεωρούµε τη συνάρτηση f της οποίας η γραφική παράσταση δίνεται στο παρακάτω σχήµα. α) Να ϐρείτε τα διαστήµατα µονοτονίας και τα ακρότατα της f. ϐ) Να εξετάσετε αν η f είναι άρτια ή περιττή.. Κατακόρυφη-οριζόντια µετατόπιση καµπύλης.10. Θεωρούµε τις συναρτήσεις: fx) = x, gx) = x 3, hx) = x 4. Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστηµα συντεταγµένων τις γραφικές παραστάσεις αυτών των συναρτήσεων..11. Θεωρούµε τις συναρτήσεις: fx) = x, gx) = x + 3), hx) = x +. Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστηµα συντεταγµένων τις γραφικές παραστάσεις αυτών των συναρτήσεων..1. Θεωρούµε τη συνάρτηση fx) = x, µε πεδίο ορισµού το διάστηµα [ 1, ]. Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστηµα συντεταγµένων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων fx) και gx) = fx )

6 3 Τριγωνοµετρία 3.1 Τριγωνοµετρικοί αριθµοί 3.1. Θεωρούµε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ µε AB = 8, AΓ = 6 και υποτείνουσα ΒΓ. Αν, Ε είναι σηµεία των πλευρών ΑΒ, ΒΓ αντίστοιχα, µε A = 3 και E AB, να ϐρείτε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας B και το µήκος του τµήµατος Ε. 3.. Θεωρούµε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ µε υποτείνουσα ΑΓ. Αν, Ε είναι σηµεία των πλευρών ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα, µε A = 6, E = και E AB, να ϐρείτε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας Â και να δείξετε ότι AB = 3BΓ Θεωρούµε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ µε υποτείνουσα ΑΓ, BÂΓ = 37 και AB = 4. Εκτός του τριγώνου ΑΒΓ παίρνουµε σηµείο τέτοιο ώστε το τρίγωνο ΑΓ να είναι ορθογώνιο µε υποτείνουσα την A = 9. Να υπολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας A Γ. ίνεται ότι συν37 = 0, Σε ορθογώνιο τρίγωνο µε υποτείνουσα ΒΓ είναι Γ = 30. Θεωρούµε σηµείο στην πλευρά ΑΓ τέτοιο ώστε Γ = 10 και B A = 60. Υπολογίστε το µήκος της πλευράς ΑΒ Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Â = 75, B = 60 και BΓ = 10. Να υπολογίσετε το µήκος του ύψους Α Με ϐάση τα στοιχεία που δίνονται σε καθένα από τους παρακάτω τριγωνοµετρικούς κύκλους, να ϐρείτε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς των γωνιών ω και θ Με ϐάση τα στοιχεία που δίνονται σε καθένα από τους παρακάτω τριγωνοµετρικούς κύκλους, να ϐρείτε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς των γωνιών ω και θ. 5

7 3.8. Υπολογίστε τις παραστάσεις: A = ηµ180 συν180 + ɛφ180 σφ70 B = συν0 ηµ90 συν70 ɛφ 180 ) 3.9. Με δεδοµένο ότι ηµ4 = 0, 07 να ϐρείτε τα εξής: ηµ364, ηµ1804, ηµ 716 ) Υπολογίστε τις τιµές: ηµ40, συν1830, σφ 690 ), ɛφ3645, συν 1740 ) Να εξετάσετε αν υπάρχει γωνία ω τέτοια ώστε: α) 3συνω 4 = 0 ϐ) 5ηµω+4 = 0 γ) ηµω = συν ω δ) ηµ 4 ω+συν 4 ω = Αν ηµx + ηµy =, να υπολογίσετε την παράσταση A = συν 3 x + συν 4 y Αν συνx + συνy =, να υπολογίσετε την παράσταση A = ηµ 5 x + ηµ 6 y Βρείτε τα πρόσηµα των τιµών: συν17, ηµ130, ɛφ181, σφ316, συν 56 ), ηµ 7 ) Αποδείξτε ότι α) συν99 ɛφ13 + σφ 301 ) ηµ190 < 0 ϐ) ɛφ95 συν114 + συν 7 ) > Να εκφράσετε σε ακτίνια τις γωνίες: α) 70, ϐ) 10, γ) 135, δ) 18, ε) Να εκφράσετε σε µοίρες τις γωνίες: α) π 3, ϐ) π 5, γ) 5π Υπολογίστε τις τιµές: α) ηµ 49π 6, ϐ) συν 5π 4, γ) ɛφ13π 3 3π π, δ), ε) 4 9., δ) ηµ85π, ε) σφ37π Αποδείξτε ότι: α) συν 8π 7 ηµ5π 7 ɛφ π ) > 0 ϐ) ηµ π 7 8 σφ5π 8 συν π ) < 0 8 6

8 3. Τριγωνοµετρικές ταυτότητες 3.0. Σε καθεµία από τις παρακάτω περιπτώσεις να υπολογίσετε τους άλλους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας x: α) ηµx = 5 και π < x < π ϐ) ɛφx = 4 και 3π < x < π Σε καθεµία από τις παρακάτω περιπτώσεις να υπολογίσετε τους άλλους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας x: α) συνx = 1 4 και π < x < π ϐ) σφx = 5 και π < x < 3π. 3.. Σε καθεµία από τις παρακάτω περιπτώσεις, να εξετάσετε αν υπάρχει γωνία x τέτοια ώστε: α) ηµx = /3 και συνx = 1/3 ϐ) ηµx = 4/5 και συνx = 3/ Αποδείξτε τις ταυτότητες: α) ηµx + συνx) + ηµx συνx) = 5 ϐ) 3.4. Αποδείξτε τις ταυτότητες: ɛφx 1 + ɛφ x = ηµxσυνx. α) 1 ɛφ x 1 + ɛφ x = 1 ηµ x ϐ) ηµ a 1 + σφ a ) + συν a 1 + ɛφ a ) = Αποδείξτε τις ταυτότητες: α) ɛφx + σφx) = 1 ηµ x + 1 συν x 3.6. Αποδείξτε τις ταυτότητες: α) 1 ηµx συνx = συνx 1 + ηµx 3.7. Αποδείξτε τις ταυτότητες: ) ϐ) ηµa 1 συν a + συν a = ηµa ϐ) 1 + ηµx + συνx) = 1 + συνx) 1 + ηµx) α) ηµ 4 x + συν x = συν 4 x + ηµ x ϐ) ηµ x ηµ y = ηµ x συν y συν x ηµ y 3.8. Αποδείξτε τις ταυτότητες: α) 1 + ɛφ 5 x 1 + σφ 5 x = 1 + ɛφx 1 + σφx 3.9. Αν ɛφ x = 1 + ɛφ y, να δείξετε ότι ) 5 ϐ) 1 + σφ 3 x 1 + ɛφ 3 x = α) συν y = συν x ϐ) ηµ x ηµ y = Αν συνx ηµx = ηµx, να δείξετε ότι α) ɛφx = 1 ϐ) ηµx + συνx = συνx. ) σφx 1 + ɛφx Αν 3ηµx + 5συνx = 5, να δείξετε ότι α) ηµxσυνx = 1 5 9ηµ x 5συν x ) ϐ) 3συνx 5ηµx) =

9 3.3 Αναγωγή στο 1ο τεταρτηµόριο 3.3. Υπολογίστε τις τιµές: ηµ10, συν150, ɛφ300, ɛφ 60 ), συν 45 ) συν40, σφ Με δεδοµένο ότι ηµ70 = 0, 94 να υπολογίσετε τις τιµές: ηµ110, ηµ50, ηµ830, συν0, συν160, συν340, ηµ Υπολογίστε τις τιµές: ηµ 3π 4, συν 5π 6, ɛφ4π 3, σφ5π 4, συν π 3, ηµ11π 10π, συν 6 3, ηµ43π Αποδείξτε ότι: α) ηµ80 + ηµ100 = συν10 ϐ) ηµ450 + ɛφ0 + σφ410 = 1 + ɛφ Να υπολογιστεί η τιµή των παραστάσεων: α) συν1 + συν + συν178 + συν179 ϐ) ηµ10 + συν100 + συν Να υπολογιστεί η τιµή των παραστάσεων: α) A = ηµ 3π 4 συνπ + ɛφ5π 4 ϐ) B = ɛφ π 3 σφ9π 4 + ηµ17π Αποδείξτε ότι: α) ηµπ x) ηµ συν π = + x) π x) συνπ + x) ϐ) ηµ 3π + x) συν ηµπ + x) 1 π + x) συνπ x) = Αν ηµ5 + ηµ65 = a, να δείξετε ότι: α) ηµ5 ηµ65 = a 1 ϐ) ηµ5 ηµ65 + συν5 συν65 = a Αποδείξτε ότι: π ) π ) α) ηµ 6 + x 1 = συν 3 x + 1 π ) ) π ϐ) ɛφ x = σφ 5 1x 8

10 3.4 Οι τριγωνοµετρικές συναρτήσεις Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστηµα συντεταγµένων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: α) fx) = ηµx, gx) = ηµx + ϐ) fx) = συνx, gx) = συν x + π ) 3.4. Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστηµα συντεταγµένων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: α) fx) = ηµx, gx) = 3ηµx ϐ) fx) = συνx, gx) = συνx Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστηµα συντεταγµένων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: α) fx) = ηµx, gx) = ηµx ϐ) fx) = ɛφx, gx) = ɛφx Να συγκρίνετε τις τιµές: α) ηµ110 και ηµ113 ϐ) ηµ π 10 και ηµ π Αν π < x 1 < x < 3π, να συγκρίνετε τις τιµές: γ) συν π 7 και συν π 9 α) συν x 1 και συν x ϐ) ηµ x 1 4 και ηµx 4 γ) ɛφ x 1 6 και ɛφx ίνεται η συνάρτηση fx) = 4ηµx). α) Να ϐρείτε το µέγιστο, το ελάχιστο και την περίοδο της f. ϐ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f στο διάστηµα [0, π]. γ) Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστηµα συντεταγµένων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων fx) και gx) = ηµx ίνεται η συνάρτηση fx) = 3συνx/). α) Να ϐρείτε το µέγιστο, το ελάχιστο και την περίοδο της f. ϐ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f στο διάστηµα [ 4π, 4π]. γ) Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστηµα συντεταγµένων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων fx) και gx) = 3συνx/) ίνεται η συνάρτηση fx) = 3ɛφx). Να ϐρείτε την περίοδο της f και να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f σε καθεµία από τις παρακάτω περιπτώσεις: α) fx) = 4ηµ x) ϐ) fx) = 3συν x ) γ) fx) = ɛφ x) 9

11 3.50. Σε καθένα από τα παρακάτω σχήµατα να ϐρείτε τον τύπο της τριγωνοµετρικής συνάρτησης αν είναι γνωστό ότι είναι της µορφής ρσυνωx) ή ρηµωx). 10

12 3.51. Στο σχήµα που ακολουθεί ϕαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης fx) µε πεδίο ορισµού το [0, 8π], η οποία είναι της µορφής ρσυνωx) ή ρηµωx). α) Να ϐρείτε τον τύπο της συνάρτησης fx). ϐ) Να λύσετε την εξίσωση fx) = 0. γ) Να λύσετε την ανίσωση fx) > Η ϑερµοκρασία Θt) σε κάποια περιοχή, για δύο συνεχόµενες ηµέρες, τη χρονική στιγµή t δίνεται από τη συνάρτηση π ) Θt) = 8ηµ 1 t + 4, 0 t 48 όπου η ϑερµοκρασία είναι µετρηµένη σε ϐαθµούς Κελσίου και ο χρόνος µετρηµένος σε ώρες. α) Να ϐρείτε τη µέγιστη και την ελάχιστη τιµή της ϑερµοκρασίας αυτό το διήµερο. ϐ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της παραπάνω συνάρτησης. γ) Με τη ϐοήθεια της γραφικής παράστασης, να ϐρείτε ποιες χρονικές στιγµές η ϑερµοκρασία είναι µικρότερη των 4 o C Θεωρούµε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε AB = AΓ = 4 και ύψος A. Θέτουµε θ = ÂΓ και Eθ) το εµβαδό του τριγώνου ΑΒΓ συναρτήσει της γωνίας θ. α) Να ϐρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης Eθ). ϐ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης Eθ). γ) Να ϐρείτε για ποια τιµή της γωνίας θ το εµβαδό του τριγώνου ΑΒΓ γίνεται µέγιστο, καθώς και το µέγιστο αυτό εµβαδό. Υπόδειξη: Θεωρούµε γνωστό ότι αν x, y είναι δύο πλευρές ενός τριγώνου και ω η περιεχόµενη σ αυτές γωνία τότε το εµβαδό του τριγώνου δίνεται από τον τύπο E = 1 xyηµω. 11

13 3.5 Τριγωνοµετρικές εξισώσεις Να λύσετε τις εξισώσεις: α) ηµx 3 = 0 ϐ) συνx 1 = 0 γ) 3σφx = 1 δ) ηµx = Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 6ηµx + 3 = 0 ϐ) συνx + 3 = 0 γ) ɛφx = 6 δ) συνx = Να λύσετε τις εξισώσεις: α) ηµx 1) συνx + 1) = 0 ϐ) 4ηµxσυνx ηµx + συνx = Να λύσετε τις εξισώσεις: α) ηµ x + = 3ηµx ϐ) ηµ x 3συνx + 3 = 0 γ) ɛφ 4 x = Να λύσετε τις εξισώσεις: α) ηµx 1) ɛφx 1) = 0 ϐ) συνx ɛφ x = 0 γ) 3ɛφ x = 7 συνx Να λύσετε τις εξισώσεις: α) ηµ3x) = συνx ϐ) συνx) + ηµ π 5 = 0 γ) ηµx = 3συνx Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις στο διάστηµα [ π, 3π]: α) ɛφx = 3 ϐ) ηµx = 1 γ) συνx = δ) ηµx = συνx Να λύσετε τις εξισώσεις: α) ηµx + 3συνx = 1 ϐ) 3ηµx συνx = γ) συνηµx) = Να λύσετε τις εξισώσεις: α) ηµ x + 1 ) 3 ηµxσυνx 3συν x = 0 ϐ) ηµx συνx + ηµxσυνx = Αποδείξτε ότι οι παρακάτω εξισώσεις είναι αδύνατες: π ) π ) α) ɛφ 4 3x ɛφ 4 + 3x = ϐ) ηµ 4 x + 3συν 6 x = 5 γ) ηµσυνx) = Θεωρούµε τη συνάρτηση fx) = ηµx), µε x [0, π]. α) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f. ϐ) Να λύσετε την ανίσωση ηµx) > 0 στο [0, π]. γ) Να ϐρείτε τα κοινά σηµεία της γραφικής παράστασης της f µε την ευθεία y = 1/ Θεωρούµε τη συνάρτηση fx) = 3συνx, µε x [0, π]. α) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f. ϐ) Να ϐρείτε τα κοινά σηµεία της γραφικής παράστασης της f µε την ευθεία y = 3/. γ) Να λύσετε στο [0, π] την ανίσωση fx) < 3. 1

14 4 Πολυώνυµα 4.1 Η έννοια του πολυωνύµου 4.1. α) Είναι το πολυώνυµο fx) = x 1) x + 5 δευτέρου ϐαθµού; ικαιολογήστε την απάντησή σας. ϐ) Να ϐρείτε τα α, ϐ, γ ώστε το fx) = x 1) x +5 να είναι ίσο µε το πολυώνυµο gx) = a 1)x + a + β)x + β + γ Θεωρούµε το πολυώνυµο fx) = λ 4) x 3 +µ + ) x +λ 3λ+, όπου λ, µ πραγµατικοί αριθµοί. Να ϐρείτε τα λ, µ σε καθεµία από τις παρακάτω περιπτώσεις: α) Το fx) είναι το µηδενικό ϐ) Ο ϐαθµός του fx) είναι 0 γ) fx) = 5x 4.3. ίνεται το πολυώνυµο fx) = 4 a ) x a ) x + 5, όπου a πραγµατικός αριθµός. α) Να ϐρείτε το ϐαθµό του πολυωνύµου fx) για τις διάφορες τιµές του α. ϐ) Να ϐρείτε το α ώστε η αριθµητική τιµή του πολυωνύµου fx) για x = 1 να είναι ίση µε ίνεται το πολυώνυµο fx) = λ ) x 4 5λx 5 για το οποίο είναι γνωστό ότι η αριθµητική του τιµή για x = 1 είναι ίση µε 7. Να ϐρείτε το λ και στη συνέχεια τους πραγµατικούς αριθµούς a, β για τους οποίους ισχύει fx) = x ax 3 + β) 5x+1) ίνεται το πολυώνυµο fx) = x 3 x x +. α) Να εξετάσετε ποιοι από τους αριθµούς 1, 1, είναι ϱίζες του πολυωνύµου fx). ϐ) Να ϐρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς α, ϐ έτσι ώστε fx) = x ) ax + β) Θεωρούµε το πολυώνυµο fx) = x 3 + µ + 5) x + µ 1, όπου µ πραγµατικός αριθµός. Να ϐρείτε το µ σε καθεµία από τις παρακάτω περιπτώσεις: α) Το 1 είναι ϱίζα του πολυωνύµου fx). ϐ) Η αριθµητική του τιµή για x = είναι ίση µε 3. γ) f1) + f0) = Θεωρούµε πολυώνυµα fx) = x 3 x + 1 και gx) = x 3x +. Να ϐρείτε τα πολυώνυµα: α) ϕ 1 x) = fx) gx) ϐ) ϕ x) = fx) gx) γ) ϕ 3 x) = fx) + gx 1) 4.8. Να ϐρείτε πολυώνυµο δευτέρου ϐαθµού fx), τέτοιο ώστε f1) = 1, f 1) = 7 και fx) = x f 1 x ) α) Να ϐρείτε το ϐαθµό του πολυωνύµου fx) για το οποίο ισχύει η ισότητα x 1 ) fx) = 3x 3 + x 3x. ϐ) Να ϐρείτε το πολυώνυµο fx) του α) ερωτήµατος και την αριθµητική του τιµή για x =. 13

15 4. ιαίρεση πολυωνύµων Να κάνετε τις διαιρέσεις: α) x 5 x 3 + x + 8 ) : x 1 ) ϐ) 5x 4 + 3x 3 4x + 1 ) : x + 1 ) Να ϐρείτε τα πηλίκα και τα υπόλοιπα των παρακάτω διαιρέσεων µε δύο τρόπους: α) x 3 x + 5x 4 ) : x ) ϐ) x 4 x 3 + ax + 3 ) : x + ) 4.1. Να ϐρείτε πολυώνυµο fx) το οποίο όταν διαιρεθεί µε το x + 1 δίνει πηλίκο 3x και υπόλοιπο x Θεωρούµε το πολυώνυµο fx) = x 3 + a 1)x + 5x +, όπου α πραγµατικός αριθµός. Να ϐρείτε το α ώστε το fx) να έχει παράγοντα το x Να ϐρείτε το υπόλοιπα των διαιρέσεων: α) 35x 103 4x x 4 5 ) : x 1) ϐ) 13x 53 7x + 3 ) : x + 1) Θεωρούµε το πολυώνυµο fx) = x 3 + ax + βx + 4, όπου α, ϐ πραγµατικοί αριθµοί. Αν το fx) έχει παράγοντα το x και το υπόλοιπο της διαίρεσης fx) : x 1) είναι ίσο µε 8, να ϐρείτε τα α, ϐ Η διαίρεση ενός πολυωνύµου fx) µε το x x + 5 είναι τέλεια και το 1 είναι ϱίζα του fx). Αποδείξτε ότι το fx) έχει παράγοντα το πολυώνυµο x 3 x + 6x Η διαίρεση ενός πολυωνύµου fx) µε το x + 1 είναι τέλεια και το x + είναι παράγοντας του fx). Αποδείξτε ότι το fx) έχει παράγοντα το πολυώνυµο x + 5x Για καθεµία από τις παρακάτω περιπτώσεις να δείξετε ότι το πολυώνυµο fx) δεν έχει παράγοντα της µορφής x ρ: α) fx) = 3x 8 + 5x + 4 ϐ) fx) = x 10 3x 4 4x Θεωρούµε το πολυώνυµο fx) = x 3 + ax + βx + 5, όπου α, ϐ πραγµατικοί αριθµοί. α) Να ϐρείτε τα α, ϐ ώστε το fx) να έχει παράγοντα το x 1. ϐ) Να ϐρείτε τα α, ϐ ώστε το fx) να έχει παράγοντα το x + x Αν το πολυώνυµο P x) έχει παράγοντα το x, να δείξετε ότι το πολυώνυµο fx) = P 5x 3) έχει παράγοντα το x Το πολυώνυµο fx) όταν διαιρεθεί µε το x 3) 5 δίνει υπόλοιπο 4. Να ϐρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης fx) : x 3). 4.. Το πολυώνυµο fx) όταν διαιρεθεί µε το x δίνει υπόλοιπο 3, ενώ όταν διαιρεθεί µε το x+3 δίνει υπόλοιπο 5. Να ϐρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του fx) µε το x )x + 3) Το πολυώνυµο fx) όταν διαιρεθεί µε το x 1 δίνει υπόλοιπο, ενώ όταν διαιρεθεί µε το x+ δίνει υπόλοιπο 4. Να ϐρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του fx) µε το x + x. 14

16 4.3 Πολυωνυµικές εξισώσεις και ανισώσεις 4.4. Να ϐρείτε το πλήθος των ακεραίων ϱιζών των εξισώσεων: α) x 7 + x 4 = 0 ϐ) x 5 + x + 3 = 0 γ) x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x + 1 = Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x 3 8x + 7 = 0 ϐ) x 3 x + 3 = 0 γ) x 4 + x 3 7x x + 6 = Να λύσετε την εξίσωση x 5x + 8 ) 3 x 5x + 8 ) x 5x + 8 ) = Να λύσετε την εξίσωση x 3x + 3 ) 3 x 3x + 3 ) + 3 x 3x + 1 ) + 4 = Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x 6 9x = 0 ϐ) 1 4 ηµ3 x + συν x ηµx + 1 = Να λύσετε τις ανισώσεις: α) x 3) x 3x + ) 0 ϐ) 5x + 3) x + 6x 5 ) > Να λύσετε τις ανισώσεις: α) x 3 3x 4x + 1 < 0 ϐ) x 4 3x 3 3x + 15x Θεωρούµε ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο µε ϐάση τετράγωνο πλευράς x cm και ύψος x cm. Αν τριπλασιάσουµε την πλευρά του τετραγώνου της ϐάσης και αυξήσουµε κατά 1 cm το ύψος του τότε ο όγκος του αυξάνεται κατά 5 cm 3. Να ϐρείτε τον όγκο του αρχικού παραλληλεπιπέδου Να λύσετε τις εξισώσεις: α) xx 1)x + 1)x + ) = 4 ϐ) x 4 4x 3 + 6x 4x + 1 = Αν η εξίσωση ax 4 + βx 3 + γx + βx + a = 0 έχει ϱίζα τον ρ, να δείξετε ότι έχει ϱίζα και τον αριθµό 1/ρ Η εξίσωση ax 3 + βx + γx + δ = 0, µε α, ϐ, γ, δ µη µηδενικούς ακεραίους, έχει ϱίζα τον ακέραιο ρ. Αν aρ + γ = 0, να ϐρείτε τις άλλες δύο ϱίζες τις εξίσωσης Η εξίσωση x 3 + ax + βx + γ = 0, µε α, ϐ, γ ακεραίους, έχει ϱίζα τον ακέραιο ρ. Να δείξετε ότι ρ a + β + γ. 15

17 4.4 Ρητές και άρρητες εξισώσεις και ανισώσεις Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x x x 3 + x 1 x = Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x + x + 4 x + x 5 x = Να λύσετε τις ανισώσεις: 1 x x 5x + 6 x x ϐ) x x 1 + x + x + 1 = ϐ) x3 x 1 x x x x = 1 x α) x3 6x + 4x x Να λύσετε τις ανισώσεις: 0 ϐ) x3 x 3x 6 x 3 5 α) x + 1 x 1 + x x + 1 3x + 4x 1 x Να λύσετε τις εξισώσεις: ϐ) x x x x + 11 x + x + 3 α) 3x 9x + 7 x = x 3 ϐ) x + 5x + 10 = 8 γ) x 5 x = Να λύσετε τις ανισώσεις: α) x 1 + x + 5 ϐ) x + x + 10 γ) x + x + 3 < 4x ίνεται η εξίσωση 3 x4 3x x a = 0 όπου α πραγµατικός αριθµός, της οποίας µία ϱίζα είναι ο αριθµός 8. Να ϐρείτε τον πραγµατικό αριθµό α και στη συνέχεια να λύσετε την παραπάνω εξίσωση. 16

18 5 Εκθετική και Λογαριθµική συνάρτηση 5.1 Η εκθετική συνάρτηση 5.1. Ποιες από τις παρακάτω δυνάµεις ορίζονται; 3, 3) 5, 1 ) 3, 3), 3) 5, π, 1) π, Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστηµα συντεταγµένων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ) x ) x 3 fx) =, gx) =, hx) = fx)gx) ίνεται η συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το R και τύπο fx) = 3µ ) x. α) Να ϐρείτε τις δυνατές τιµές της παραµέτρου µ. ϐ) Να ϐρείτε για ποιες τιµές του µ η f είναι γνησίως ϕθίνουσα. γ) Να εξετάσετε αν υπάρχει τιµή του µ για την οποία η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σηµείο M 1, 5) ίνεται η συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το R και τύπο fx) = ) x µ 1. 3 µ α) Να ϐρείτε τις δυνατές τιµές της παραµέτρου µ. ϐ) Να ϐρείτε για ποιες τιµές του µ η f είναι γνησίως αύξουσα. γ) Να εξετάσετε αν υπάρχει τιµή του µ για την οποία η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σηµείο M3, ) Θεωρούµε τις συναρτήσεις fx) = x a και gx) = x 3, όπου α πραγµατικός αριθµός, των οποίων οι γραφικές παραστάσεις δίνονται στο παρακάτω σχήµα. α) Να ϐρείτε τον πραγµατικό αριθµό α. ϐ) Να ϐρείτε για ποιες τιµές του x η γραφική παράσταση της f ϐρίσκεται πάνω από την γραφική παράσταση της g. γ) Να ϐρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης x = x

19 5.6. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 3 x+5 = 4 ϐ) 5.7. Να λύσετε τις εξισώσεις: 5 8 x = 0 γ) 9 3x = 1 3 x 1 δ) 5 x+3 = 1 ε) 1 e x = e3x α) 4x+3 = 3 5 ϐ) 49 7 x 1 = 7 γ) 3 x 1 = 9 3 δ) 5 ) x = 5 x Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 9 x = 3 4x ϐ) 7 x = 1 7 x γ) 3 x 6 = 0 δ) 5 x 1 + = 0 ε) 5 x = 1 x 5.9. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 3 5 x = 5 3 x ϐ) 3 4 x = 3 4x γ) 9 3x x+1 = 1 4 x+ + 8 x Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 5 x+1 = 9 x+ 1 ϐ) 8 3 x+1 = 7 x+1 γ) 3 x x+1 = 3 5 x 3 8 3x Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 3 x 4 3 x + 3 = 0 ϐ) 9 x 3 x 3 = 0 γ) x 5 x + 4 = Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 8 3x 4 8 x = 4 3x ϐ) 3 3x 9 x = 3 x Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 3 9 x 5 6 x + x+1 = 0 ϐ) 5 5 x x = 8 3 x 5 x Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x 5x + 5 ) x+ = 1 ϐ) x x 1 ) 3x = 1 γ) x 1) ex e = Να λύσετε τις ανισώσεις: α) 3 x 7x+6 < 1 ϐ) ) x 1 x < ) x γ) 4 x 6 x Να λύσετε τα συστήµατα: 9 x+1 = 3 y+3 α) 4 x+y = 8 x ϐ) 3 x y = 1 9 x 4 y = 17 γ) e x π y = 0 3e x π y = 1 18

20 5.17. Η ϑερµοκρασία ft) σε C ενός ασθενούς µε υψηλό πυρετό, t ώρες µετά την λήψη ενός αντιπυρετικού δίνεται από τον τύπο ft) = ) t 1. α) Να ϐρείτε πόσο πυρετό είχε ο ασθενής τη στιγµή που του χορηγήθηκε το αντιπυ- ϱετικό. ϐ) Να ϐρείτε σε πόσο χρόνο από τη στιγµή χορήγησης του αντιπυρετικού, η ϑερµοκρασία του ασθενούς ϑα πάρει την ϕυσιολογική τιµή των 36, 5 C. γ) Είναι δυνατόν η ϑερµοκρασία του ασθενούς να πάρει τιµή κάτω από 36 C; Σε κάποιο πείραµα µελέτης της ανάπτυξης ενός πληθυσµού ϐακτηριδίων, ο τύπος που δίνει τον αριθµό των ϐακτηριδίων t ώρες από την έναρξη του πειράµατος είναι της µορφής ft) = a βt όπου a, β ϑετικές σταθερές. ίνεται ότι ώρες από την έναρξη του πειράµατος ο αριθµός των ϐακτηριδίων είναι 60 ενώ 6 ώρες από την έναρξη του πειράµατος 40. α) Να ϐρείτε τις σταθερές α, ϐ. Τι εκφράζει η σταθερά α; ϐ) Σε πόσο χρόνο από την έναρξη του πειράµατος ο αριθµός των ϐακτηριδίων τετραπλασιάστηκε; Μια ποσότητα ενός ϱαδιενεργού υλικού διασπάται σύµφωνα µε τον τύπο ft) = a e βt όπου a, β ϑετικές σταθερές και ft) η ποσότητα σε κιλά που έχει αποµείνει µετά από t λεπτά µετά την µέτρηση της αρχικής µάζας κιλών του ϱαδιενεργού υλικού. Το µισό της αρχικής ποσότητας διασπάστηκε σε 30 λεπτά. Να ϐρείτε τη µάζα του ϱαδιενεργού υλικού που ϑα έχει αποµείνει 3 ώρες µετά από την µέτρηση της αρχικής µάζας. 19

21 5. Λογάριθµοι 5.0. Να ϐρείτε τον αριθµό x στις παρακάτω περιπτώσεις: α) log 8 4 = x ϐ) log 4 x = γ) log x 3 = δ) lnx = e ε) logx = Αποδείξτε ότι α) 5log + log10 3log4 = 1 log5 ϐ) 4ln ln5 + 1 ln15 = 4ln10 ln Με δεδοµένο ότι x > 0 αποδείξτε ότι α) log 5 5 x + 5 x = e xln5 + e lnx ϐ) ln1 + lne + lne 9 = 10 log + e 3ln 5.3. Αποδείξτε ότι α) 3ln ln1000 = 1 loge ϐ) loge + log e = 3 ln10 γ) ln10 + loge lne 5.4. Με δεδοµένο ότι a, β ϑετικοί αριθµοί διαφορετικοί του 1, αποδείξτε ότι α) log a β log a β log a 3β = 1 6 log aβ) 3 ϐ) log a 3β 3 log β 5a 5 = α) Αν a, β, γ ϑετικοί αριθµοί µε a logβ = γ να δείξετε ότι loga logβ = logγ. ϐ) Αν a, β, γ ϑετικοί αριθµοί µε β e loga = a e γ να δείξετε ότι ln β a = γ loga. γ) Αν x, y ϑετικοί αριθµοί να δείξετε ότι x logy = y logx Ο ϑόρυβος y ενός ήχου σε db δίνεται από τον τύπο y = 0 log x 1), όπου x η πίεση που ασκεί το ακουστικό κύµα στα µόρια του ατµοσφαιρικού αέρα µετρούµενη σε µp. α) Πόση πίεση ασκεί ένα κύµα ϑορύβου 0dB στα µόρια του αέρα; ϐ) Ενας κεραυνός άσκησε πίεση 10 7 µp στα µόρια του ατµοσφαιρικού αέρα. Πόσα db ήταν ο ϑόρυβος που προξένησε; 5.3 Η λογαριθµική συνάρτηση 5.7. Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων fx) = lnx και gx) = log 1/e x στο ίδιο σύστηµα συντεταγµένων. Τι παρατηρείτε; 5.8. Θεωρούµε τη συνάρτηση fx) = lnx + lnx + a µε α πραγµατικό αριθµό, της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σηµείο Ae, 3). α) Να δείξετε ότι ο τύπος της συνάρτησης f είναι fx) = 3lnx. ϐ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f. 0

22 5.9. ίνονται οι συναρτήσεις fx) = lnx και gx) = logx. α) Να δείξετε ότι για κάθε x > 0 ισχύει fx) gx) = ln10 1) lnx. ln10 ϐ) Να δείξετε ότι για κάθε x > 1 ισχύει fx) > gx), ενώ για κάθε 0 < x < 1 ισχύει fx) < gx). γ) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g στο ίδιο σύστηµα συντεταγµένων Στο παρακάτω σχήµα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων fx) = lnx + logx και gx) = x + 1. α) Να λύσετε την εξίσωση fx) = gx). ϐ) Να λύσετε την ανίσωση fx) > gx). γ) Αν 0 < a < 1, αποδείξτε ότι lna + a < 1 loga Να λύσετε τις εξισώσεις: α) logx 4) + logx ) = log 3 ϐ) log5 x) + 1 = logx ) 5.3. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) logx) logx = 0 ϐ) logx) = logx) + logx Να λύσετε τις εξισώσεις: α) e x = 3 ϐ) 5 1 4x = e γ) 3 logx = 10 δ) x logx x = Αφού πρώτα αποδείξετε ότι για κάθε ϑετικό αριθµό x ισχύει x log3 = 3 logx, να λύσετε την εξίσωση 3 logx x log3 100 log 3 = 0. 1

23 5.35. Να λύσετε τις ανισώσεις: x ) α) lnx + 4) ln4 ϐ) ln lnx Να λύσετε τα συστήµατα: y logx = 100 α) logxy) = 3 ϐ) x logy + y logx = 0 log xy = 1 γ) ln logx) < ίνεται η συνάρτηση fx) = αlog x) 4 + 8log x) log100x), x > 0, όπου α R. α) Αν f10) = 5, να δείξετε ότι α = 1. ϐ) Για την τιµή α = 1 να δείξετε ότι η fx) γράφεται στη µορφή και να λύσετε την εξίσωση fx) = ίνεται η συνάρτηση fx) = ορισµού της συνάρτησης f ίνονται οι συναρτήσεις fx) = log x + 4 log x) ) x ) x Να ϐρείτε το πεδίο 5 5 fx) = lne x e x + 3) και gx) = ln 3 + lne x 1). α) Να ϐρείτε τα πεδία ορισµού των fx) και gx). ϐ) Να ϐρείτε τα κοινά σηµεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g. γ) Να λύσετε την ανίσωση fx) > gx) ίνεται η συνάρτηση fx) = ln ) e x 1. e x + 5 α) Να ϐρείτε το πεδίο ορισµού της fx). ϐ) Να λύσετε την εξίσωση fx) = ln. γ) Να ϐρείτε για ποιες τιµές του x η γραφική παράσταση της f ϐρίσκεται πάνω από τον άξονα x x.