3. lim [f(x) g(x)] = lim f(x) lim g(x) x xo x xo x xo x xo x xo v f(x) lim f(x) x xo lim = x xo g(x) lim g(x) x xo v lim [f(x)] = lim f(x) 6. li
|
|
- Ανυβις Κορνάρος
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να γνωρίζει: Τον ορισµό της συνάρτησης και τον τρόπο εύρεσης του πεδίου ορισµού της. Τις πράξεις µεταξύ συναρτήσεων, τις γραφικές παραστάσεις βασικών συναρτήσεων και τους ορισµούς της µονοτονίας και των ακροτάτων συνάρτησης. Την έννοια του ορίου µιας συνάρτησης, τον τρόπο υπολογισµού του και τις ιδιότητές του. Τον ορισµό της συνεχούς συναρτήσης. Τον ορισµό της παραγώγου µιας συνάρτησης f σε σηµείο x o, τη γεωµετρική της ερµηνεία και τον τρόπο υπολογισµού της. Τον ορισµό της παραγώγου συνάρτησης, τους κανόνες παραγώγισης και τον τρόπο εφαρµογής τους στην εύρεση του τύπου της. Τον τρόπο εφαρµογής των κανόνων παραγώγισης για την εύρεση της µονότονίας και των ακροτάτων µιας συνάρτησης. Συνοπτική θεωρία: f(x) = g(x) Ισότητα συναρτήσεων: f=g A f =Ag Πράξεις µε συναρτήσεις: Συνάρτηση άθροισµα: S = f + g, µε S(x) = f(x) + g(x), x A f A g Συνάρτηση διαφορά: D = f - g, µε D(x) = f(x) g(x), x A f A g Συνάρτηση γινόµενο: P = f g, µε P(x) = f(x) g(x), x A f A g f f(x) Συνάρτηση πηλίκο: R =, µε R(x) =, x Af Ag και g(x) 0 g g(x) Ιδιότητες ορίων: Εφ όσον υπάρχουν τα lim f(x) και lim g(x), ισχύουν: x x o x x o 1. lim [k f(x)] = k lim f(x). lim [f(x) ± g(x)] = lim f(x) ± lim g(x) x xo x xo x xo x xo x xo
2 3. lim [f(x) g(x)] = lim f(x) lim g(x) x xo x xo x xo x xo x xo v f(x) lim f(x) x xo lim = x xo g(x) lim g(x) x xo v lim [f(x)] = lim f(x) 6. lim v f(x) = v lim f(x) x xo x xo Συνέχεια συνάρτησης σε σηµείο x o : f συνεχής στο x A lim f(x) = f(x ) Η έννοια της παραγώγου: o f x x o o f(x o +h) - f(x o) Ορισµός f (x o ) = lim h 0 h Η f (x o ) παριστάνει: α. την κλίση της εφαπτόµενης ευθείας της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο (x o, f(x o )). β. Το ρυθµό µεταβολής της συνάρτησης f ως πρός x όταν x = x o. Στιγµιαία ταχύτητα σώµατος που κινείται ευθύγραµµα: υ(t) = s (t) Στιγµιαία επιτάχυνση σώµατος που κινείται ευθύγραµµα: α(t) = υ (t) = s (t) Παράγωγος συνάρτησης - Κανόνες παραγώγισης: Α. Κανόνες παραγώγισης βασικών συναρτήσεων: 1. (c) = 0. (x) = 1 3. (x ν ) = νx ν ( x)'= x 1 5. (ηµx) = συνx 6. (συνx) = ηµx 7. (εφx)' = συν x 1 8. (σφx)' = - 9. (e x ) = e x 10. ηµ x Β. Παράγωγος και πράξεις: 1 (lnx)' = x 1. (cf(x)) = cf (x). (f(x) ± g(x)) = f (x) ± g (x) 3. (f(x)g(x)) = f (x)g(x) + f(x)g (x) 4. f(x) f'(x)g(x) - f(x)g'(x) '= g(x) [g(x)] Γ. Παράγωγος σύνθετων συναρτήσεων: (f(g(x))) = f (g(x))g (x) φ'(x) 1. (φ(x) ν ) = νφ(x) ν 1 φ (x). ( φ(x) )' = φ(x) 3. (ηµφ(x)) = συνφ(x) φ (x) 4. (συνφ(x)) = ηµφ(x) φ (x) φ'(x) 5. (εφφ(x))' = φ'(x) συν 6. (σφφ(x))' = - φ(x) ηµ φ(x) 7. (e φ(χ) ) = e φ(χ) φ'(x) φ (x) 8. (lnφ(x))' = φ(x)
3 Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Γενικής Παιδείας Βήµα 1 ο Μαθαίνουµε τις αποδείξεις 11. Μαθαίνουµε τις αποδείξεις ΘΕΩΡΙΑ 1: Να δείξετε ότι η παράγωγος της σταθεράς συνάρτησης f(x) = c ισούται µε 0. Απόδειξη: Για h 0 έχουµε: f(x+ h) f(x) c c f'(x) = lim = lim = 0 h 0 h h 0 h ΘΕΩΡΙΑ : Να δείξετε ότι η παράγωγος της ταυτοτικής συνάρτησης f(x) = x ισούται µε 1. Απόδειξη: Για h 0 έχουµε: ΘΕΩΡΙΑ 3: f(x+ h) f(x) x+ h x h f '(x) = lim = lim = lim = 1 h 0 h h 0 h h 0h Να δείξετε ότι: (cf(x)) = cf (x) Απόδειξη: Έστω η συνάρτηση: F(x) = cf(x). Τότε για h 0 έχουµε: F(x + h) F(x) cf (x + h) cf (x) = = = = h h f(x+ h) f(x) f(x+ h) f(x) = lim c clim cf '(x) h 0 h = = h 0 h ( cf(x) )' F'(x) lim lim h 0 h 0 ΘΕΩΡΙΑ 4: Να δείξετε ότι: (f(x) + g(x)) = f (x) + g (x)
4 Συναρτήσεις 1. Μαθαίνουµε τις αποδείξεις Βήµα 1 ο Απόδειξη: Έστω η συνάρτηση: F(x) = f(x) + g(x). Τότε για h 0 έχουµε: F(x + h) F(x) f(x + h) + g(x + h) (f(x) + g(x)) ( f(x) + g(x) )' = F'(x) = lim = lim = h 0 h h 0 h f(x + h) f(x) g(x + h) g(x) f(x + h) f(x) g(x + h) g(x) lim lim lim h 0 + h h = + = h 0 h h 0 h = f'(x) + g'(x)
5 Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Γενικής Παιδείας Βηµα ο Επαναλαµβάνουµε τις ασκήσεις κλειδιά 13. Επαναλαµβάνουµε τις ασκήσεις - κλειδιά Α. Από το σχολικό βιβλίο Να λύσω τις ασκήσεις: Σελ. 17: Ασκήσεις Α Οµάδας 6, 7 Σελ. 18: Ασκήσεις Α Οµάδας 8, 9 Β Οµάδας, 3, 5 Σελ. 6: Ασκήσεις Α Οµάδας 1, 3 Σελ. 7: Ασκήσεις Α Οµάδας 5 Σελ. 36: Ασκήσεις Α Οµάδας 6, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 16 Σελ. 37: Ασκήσεις Α Οµάδας 17, 1, Β Οµάδας 1 Σελ. 38: Ασκήσεις Β Οµάδας 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10 Σελ. 45: Ασκήσεις Α Οµάδας 1, 3, 6, 9, 10 Σελ. 46: Ασκήσεις Β Οµάδας, 3, 4, 6 Σελ. 47: Ασκήσεις Β Οµάδας 8, 10 Σελ. 48: Γενικές Ασκήσεις, 3
6 Συναρτήσεις 14. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3 ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις x -1,x 1. Εστω η συνάρτηση f µε τύπο: f(x) = 3x - α, x> α. Nα βρεθεί το x R ώστε η γραφική της παράσταση της f να διέρχεται από το σηµείο Α(3,4). Λύση: β. Να βρεθούν τα διαστήµατα στα οποία η f είναι θετική. α. Η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σηµείο Α(3,4), άρα: β. Για x έχουµε: Για x > έχουµε: f(3) = α= 4 α= 5 1 f (x) > 0 x 1> 0 x > x < η x > 5 f (x) > 0 3x 5 > 0 x > 3 Άρα f(x) > 0 για x,, +. Να βρεθούν τα πεδία ορισµού των παρακάτω συναρτήσεων: Λύση: 3x 3(x 1) α. f(x) = x β. g(x) = x+ γ. h(x) = ln(5 x) (x 1)(e + 1) (x + 1)(x 3) x 4 α. Πρέπει: Άρα: (x 1)(x + 1) 0 x 1 x x 1 0 (x 1)(e + 1) 0 x 1 x x Af = R { 1, + 1} e e 1 x R
7 Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Γενικής Παιδείας Βήµα 3 ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις 15. x x 1 x R β. Πρέπει: (x + 1)(x 3) 0 x 3 0 x 3 x 3 Επίσης: 3(x 1) (x + 1)(x 3) + 0 3(x 1)(x 1)(x 3) 0 (x 1)(x 3) 0 x 1 ή x 3 Άρα το πεδίο ορισµού της g είναι το : γ. Πρέπει να ισχύουν συγχρόνως : Είναι x 4 0 (x )(x ) 0 A g = (,1] (3, + ). x 4 0, x+ 0 και 5 x > 0. x+ 0 x + και και x 0 x Επίσης: x+ 0 x και 5 x > 0 x < 5. Άρα το πεδίο ορισµού της h είναι το : A h = (,) (,5). 3. Να υπολογίσετε τα όρια: α. lim( 3x - x - 3 ) x β. x -1 x +x lim x+1 γ. lim x 1 + x 1 3 x x 9x 9 δ. lim( ηµx + συνx -1 ) Λύση: π x 4 x+-1 ε. lim x -1 x+1 lim 3x x 3 = 3 3 = 11 x α. ( ) β. 0 x + x 0 x(x+ 1) lim = lim = lim x = 1 x+ 1 x+ 1 x 1 x 1 x 1 3 x x + 9x 9 x (x 1) + 9(x 1) (x + 9)(x 1) γ. lim = lim = lim = lim(x + 9) = 10 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 π π lim ηµ x +συνx 1 =ηµ +συν 1 = + 1 = δ. ( ) π x 4
8 Συναρτήσεις 16. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3 ο ε. x+ 1 ( x+ 1)( x+ + 1) x+ 1 lim = lim = lim = x+ 1 (x + 1)( x + + 1) (x + 1)( x + + 1) x -1 x -1 x -1 x lim = lim = (x + 1)( x + + 1) ( x + + 1) x -1 x Αν lim f(x) = 10 να βρείτε το x x 0 lim g(x) όταν: x x 0 Λύση: f(x) α. g(x) = 3f(x) - 1 β. g(x) = 3f(x) + 6 γ. g(x) = f(x) 5 f(x) - 5 α. β. lim g(x) = lim[3f (x) 1] = 3 lim f (x) 1 = = 9 x xo x xo x xo lim g(x) = lim 3f(x) + 6 = 3 lim f(x) + 6 = = 6 x xo x xo x xo f(x) lim f (x) x x 10 o γ. lim g(x) = lim = = = x xo x xo f(x) 5 limf(x) x xo 5. ίνεται η συνάρτηση f µε f(x) = x + αx, x R, α R. Να βρείτε την f (1) µε τον ορισµό της παραγώγου. Κατόπιν να προσδιορίσετε το α R ώστε ο ρυθµός µεταβολής της f ως προς x όταν x = 1 να είναι ίσος µε 5. Λύση: f(1+ h) f(1) (1+ h) +α (1+ h) (1 +α 1) f '(1) = lim = lim = h 0 h h 0 h h + h+ 1+α h+α 1 α h(h+ +α) = lim = lim = lim(h + +α ) = +α h 0 h h 0 h h 0 Ο ρυθµός µεταβολής της f ως προς x όταν x = 1 είναι ίσος µε 5 άρα: f'(1) = 5 +α = 5 α = 3 6. Εστω ρόµβος που έχει τη µεγάλη διαγώνιο τετραπλάσια από τη µικρή. Να βρεθεί ο ρυθµός µεταβολής του εµβαδού συναρτήσει της µικρής διαγωνίου δ όταν δ = 3.
9 Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Γενικής Παιδείας Βήµα 3 ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις 17. Λύση: Έστω και δ η µεγάλη και η µικρή διαγώνιος αντίστοιχα. δ 4δ δ Τότε: E =, άρα: Εδ ( ) = = δ δ> 0 Ο ρυθµός µεταβολής του εµβαδού συναρτήσει της µικρής διαγωνίου δ είναι: Ε (δ) = (δ ) = 4δ. Για δ = 3 έχουµε: Ε (3) = (4 3) = Η θέση ενός κινητού που κινείται ευθύγραµµα, δίνεται συναρτήσει του χρόνου από τον τύπο S(t) = (t + 1) + 5, όπου το t µετριέται σε sec και το S σε µέτρα. Να βρείτε: Λύση: α. α. Τη µέση ταχύτητα του κινητού στο χρονικό διάστηµα [0, 5] sec. β. Τη στιγµιαία ταχύτητα του κινητού, όταν t =,5 sec. Sτελ. Sαρχ. S(5) S(0) (5 + 1) + 5 (0 + 1) 5 35 υ= = = = = 7 m/s t t τελ. αρχ. υ (t) = S'(t) = (t + 1) + 5 ' = (t + 1)(t + 1)' = (t + 1). Άρα: υ(,5) = (,5 + 1) = 7 m/s β. ( ) 8. ίνεται η συνάρτηση f µε f(x) = x + 4x 6, x R. Να προσδιορίσετε το σηµείο Α της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f, στο οποίο: Λύση: α. Η εφαπτοµένη της σχηµατίζει γωνία 45 ο µε τον άξονα x x. β. Η εφαπτοµένη είναι παράλληλη µε την ευθεία: y = x + 7. α. Είναι f'(x) = (x + 4x 6)' = x+ 4. Έστω (x o, f(x o )) το ζητούµενο σηµείο. Τότε: f (x o ) = λ εφ., άρα: x o + 4 = 1 x o 3 ο = ( διότι λ εφ =εφ45 λ εφ = 1 ). Επίσης: f = + 4 6= x,f(x) o o =, 4., άρα: ( ) β. Αφού η εφαπτοµένη είναι παράλληλη µε την ευθεία y = x + 7 είναι λ εφ. =. Έστω (x o, f(x o )) το ζητούµενο σηµείο. Τότε: f'(x o) =λεφ xo + 4= xo = 1 ( ) ( ) ( ) f 1 = = 9. Άρα: (x o, f(x o )) = ( 1, 9).
10 Συναρτήσεις 18. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3 ο 9. Να προσδιορίσετε τον αριθµό α R ώστε η συνάρτηση f µε τύπο: x -x αe + e f(x) =,να έχει εφαπτοµένη στη θέση x e +1 ο = ln3, κάθετη στην ευθεία µε x εξίσωση y = - 3x + 3. Κατόπιν να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτόµενης. Λύση: Λόγω καθετότητας της εφαπτόµενης µε την ευθεία y = - 3x + 3 ισχύει: 1 λεφ ( 3) = 1 λ εφ = 3 x x x x x x x x α e + e ( α e + e )'(e + 1) ( α e + e )(e + 1)' f '(x) = ' x = = x e + 1 (e + 1) ( αe e )(e + 1) ( α e + e )e αe e = x x (e + 1) (e + 1) x x x x x x x x, οπότε είναι : 1 3α α f '(ln 3) = = = 9α 7 = 16 α= ln 3 ln 3 1 e e ln 3 3 (e + 1) 3 (3+ 1) ln 3 ln e + e 3+ f(ln3) = 9 = 9 3 = + + ln 3 e e Έστω y = λx + β η εξίσωση της εφαπτόµενης. Τότε: = ln 3 +β β= ln Άρα η εξίσωση της εφαπτοµένης είναι η : 1 e y= x+ ln ίνεται η συνάρτηση f µε f(x) = e αx. Λύση: α. Να δείξετε ότι: αf (x) - f (x) = 0, για κάθε x R. β. Να βρείτε τις τιµές του α, ώστε να ισχύει η σχέση: f (x) + f (x) = 3f(x), για κάθε x R. αx αx αx α. Έχουµε: f '(x) = (e )' = e ( α x)' =α e =αf(x) και: f ''(x) = ( α f (x))' =α f '(x) =α f (x) άρα: αf'(x) f''(x) =α f(x) α f(x) = 0
11 Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Γενικής Παιδείας Βήµα 3 ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις 19. β. Από το ερώτηµα (α) έχουµε: f(x) 0 f ''(x) + f '(x) = 3f(x) α f(x) + α f(x) = 3f(x) ( α + α 3)f(x) = α + α = α= η α= 11. Να βρεθούν τα διαστήµατα µονοτονίας και τα ακρότατα (αν υπάρχουν) της συνάρτησης f µε τύπο f(x) = (x - x )e x. Λύση: Έχουµε Α f = R και: ( ) f '(x) = (x x )e ' = (x x )'e + (x x )(e )' = ( x)e + (x x )e = ( x )e x x x x x x x e > 0 x f'(x) = 0 ( x )e = 0 x = 0 x= ±. Το πρόσηµο της f φαίνεται στον επόµενο πίνακα : Η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα σε καθένα απο τα διαστήµατα (,,, + ) ενώ είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα,. Η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο x = και τοπικό µέγιστο στο x =. Η τιµή του ελαχίστου είναι f( ) = ( ) e,ενώ η τιµή του µεγίστου εί- ναι f( ) = ( ) e. 1. Εστω η ευθεία y = x - 3. Βρείτε το σηµείο της ώστε το άθροισµα των τετραγώνων των αποστάσεών του από τα σηµεία Α(1,1) και Β(1,5) να είναι ελάχιστο. Λύση: Έστω Μ(x,y) σηµείο της ευθείας. Τότε θα είναι Μ(x, x - 3). Είναι ( ) ( ) (AM) + (BM) = (x 1) + (x 3 1) + (x 1) + (x 3 5) = = (x 1) + (x 4) + (x 8) = 4x 8x+ 8= f(x), x R
12 Συναρτήσεις 0. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3 ο ( ) f '(x) = 4x 8x + 8 ' = 8x 8 και Κατασκευάζουµε τον πίνακα 7 f '(x) 0 8x 8 0 x απο όπου προκύπτει ότι η f έχει ελάχιστο στο x = 7/ το f (7/ ) = 33. Άρα το σηµείο της ευθείας που έχει ελάχιστο άθροισµα τετραγώνων των αποστάσεων απο τα σηµεία Α και B είναι το 7 1 M,. 13. Το κόστος κατασκευής x τεµαχίων ενός προϊόντος ηµερησίως µε 0 < x < 1000 δίνεται από τον τύπο: Λύση: x K(x) = + 50x + 50 ευρώ. Αν κάθε τεµάχιο πωλείται x ευρώ, πόσα τεµάχια πρέπει να παράγονται ηµερησίως, ώστε να έχουµε το µέγιστο κέρδος; Το κέρδος από πώληση x τεµαχίων είναι: x 3x P(x) = x(000 x) + 50x + 50 = x 50, 0 < x < 1000 Είναι 3x P'(x) = x 50 ' = 3x Οπότε P'(x) 0 3x x 650. Κατασκευάζουµε τον πίνακα : Άρα για να έχουµε το µέγιστο κέρδος πρέπει να παράγονται 650 τεµάχια ηµερησίως.
13 Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Γενικής Παιδείας Βήµα 4 ο Λύνουµε µόνοι µας 1. Λύνουµε µόνοι µας x -αx, x < 4 1. Εστω η συνάρτηση f µε τύπο: f(x) = βx + 1, x α x-3 α. Nα βρεθoύν τα α,β R ώστε Α f = R και η γραφική παράσταση της f να διέρχεται από το σηµείο Α(5,8). β. Να βρεθούν τα σηµεία τοµής της γραφικής παράστασης µε τους άξονες.
14 Συναρτήσεις. Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4 ο. Να βρεθούν τα πεδία ορισµού των παρακάτω συναρτήσεων: x 1 (x 1) α. f (x) = β. g(x) = 100 x γ. h(x) = x ( ηµ x )(e x 1) (x 1)e ln x 4
15 Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Γενικής Παιδείας Βήµα 4 ο Λύνουµε µόνοι µας Να υπολογίσετε τα όρια: 3 x 5x+ 6 x 1x + 1x 10 x+ 7 3 α. lim β. lim γ. lim x x 4 x 10 x 10 x x 4 4. Έστω f, g συνεχείς συναρτήσεις µε lim f(x) = 1. Να βρείτε το lim g(x) όταν: x x 0 x x 0 f(x) -1 α. g(x) = 3[f(x)] 1 β. g(x) = f(x) + 1 f (x) - g(x) Κατόπιν να υπολογίσετε το όριο lim στις περιπτώσεις (α) και (β). x x o f(x o ) + g(x o )
16 Συναρτήσεις 4. Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4 ο 5. Αν f(x) = 1 + x να βρείτε τα όρια: f(x) f(1) f(x) f(3) α. lim x 1 β. lim x 1 x 3 x 9
17 Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Γενικής Παιδείας Βήµα 4 ο Λύνουµε µόνοι µας 5. x- x,x 0 6. ίνεται η συνάρτηση f µε f(x) = x+ x. 4α+1,x=0 Αν lim(x + 6) = α, να εξετάσετε αν η f είναι συνεχής στο x x 1 0 = 0.
18 Συναρτήσεις 6. Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4 ο 7. ίνεται η συνάρτηση f µε f(x) = 4x + αx + 1, x R, α R. Να βρείτε την f () χωρίς να χρησιµοποιήσετε κανόνες παραγώγισης. Κατόπιν να προσδιορίσετε το α R ώστε η κλίση της εφαπτόµενης στο σηµείο (,f()) να είναι ίση µε 8.
19 Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Γενικής Παιδείας Βήµα 4 ο Λύνουµε µόνοι µας Να βρεθεί ο ρυθµός µεταβολής του εµβαδού και του ύψους ισοπλεύρου τριγώνου συναρτήσει της πλευράς του όταν αυτή ισούται µε 10.
20 Συναρτήσεις 8. Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4 ο 9. Η θέση ενός κινητού που κινείται ευθύγραµµα, δίνεται συναρτήσει του χρόνου από τον τύπο S(t) = - + 6t -1, όπου το t µετριέται σε s και το S σε 3 t 5t 3 µέτρα. Να βρείτε: α. Tη µέση ταχύτητα του κινητού στο χρονικό διάστηµα [0, 4] s β. Tη στιγµιαία ταχύτητα του κινητού, όταν t = 1 s. γ. Tο συνολικό διάστηµα που διανύθηκε σε χρόνο 10 s.
21 Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Γενικής Παιδείας Βήµα 4 ο Λύνουµε µόνοι µας ίνεται η συνάρτηση f µε f(x) = x + xlnx. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτόµενης της γραφικής παράστασης στο σηµείο Α(1,f(1)).
22 Συναρτήσεις 30. Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4 ο x ίνεται η f µε f(x) =. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόµενης της x γραφικής παράστασης της C f της f. Kατόπιν να βρείτε τις συντεταγµένες του σηµείου στο οποίο η εφαπτόµενη περνά από τo σηµείο (1,1).
23 Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Γενικής Παιδείας Βήµα 4 ο Λύνουµε µόνοι µας Να προσδιορίσετε τους αριθµούς α,β R ώστε η συνάρτηση f µε τύπο 3 αx + β f(x) = να έχει εφαπτοµένη παράλληλη στην ευθεία y = 3x και η x γραφική της παράσταση να διέρχεται από το σηµείο Α(,). Κατόπιν να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτόµενης.
24 Συναρτήσεις 3. Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4 ο 13. Έστω f, g παραγωγίσιµες στο R µε f, g συνεχείς. Αν ισχύουν: α. για κάθε x R: f (x) g (x) = 4(x ) β. f() g() = 0 να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις C f, C g δέχονται κοινή εφαπτόµενη σε κοινό σηµείο. Κατόπιν να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόµενης και τις συντεταγµένες του σηµείου.
25 Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Γενικής Παιδείας Βήµα 4 ο Λύνουµε µόνοι µας 33. x - x 14. ίνεται η συνάρτηση f µε f(x) = e + e, x > 0. Να δείξετε ότι: f(x) - f (x) f (x) = για κάθε x R. 4x
26 Συναρτήσεις 34. Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4 ο 15. ίνεται η συνάρτηση f µε f(x) = x 3 e x, x R. Να βρεθούν τα α, β, γ R ώστε να ισχύει αf (x) + βf (x) + γf(x) = 1xe x, για κάθε x R.
27 Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Γενικής Παιδείας Βήµα 4 ο Λύνουµε µόνοι µας 35. συνx 16. Nα βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης f µε: f(x) = + ηµ x στο [0,π]
28 Συναρτήσεις 36. Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4 ο 17. Να µελετηθεί η µονοτονία και να βρεθούν αν υπάρχουν τα ακρότατα της συνάρτησης f µε τύπο: f(x) = x x - 3
29 Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Γενικής Παιδείας Βήµα 4 ο Λύνουµε µόνοι µας Έστω συνάρτηση f µε f (x) = (3x + 1) για κάθε x R. Να βρεθεί η f αν παρουσιάζει στο σηµείο (-1,f(-1)) ακρότατο και η C f τέµνει τον άξονα y y στο σηµείο Α(0,1).
30 Συναρτήσεις 38. Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4 ο 19. Έστω η παραβολή y = x. Βρείτε το σηµείο της ώστε το άθροισµα των τετραγώνων των αποστάσεών του από τα σηµεία Α(1,3) και Β(1,6) να είναι ελάχιστο.
31 Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Γενικής Παιδείας Βήµα 4 ο Λύνουµε µόνοι µας Έστω ορθογώνιο τρίγωνο περιµέτρου 10 cm και x µια από τις οξείες γωνίες του. α. Να εκφράσετε την υποτείνουσα του τριγώνου συναρτήσει του x. β. είξτε ότι η υποτείνουσα γίνεται ελάχιστη όταν το τρίγωνο γίνεται ισοσκελές.
32 Συναρτήσεις 40. Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4 ο 1. Το κόστος κατασκευής x τεµαχίων ενός προϊόντος ηµερησίως δίνεται από τον τύπο Κ(x) = 5x Αν κάθε τεµάχιο πωλείται ( x), πόσα τεµάχια πρέπει να παράγονται ηµερησίως, ώστε να έχουµε το µέγιστο κέρδος και ποιό θα είναι αυτό;
33 Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Γενικής Παιδείας Βήµα 4 ο Λύνουµε µόνοι µας 41.. Eστω η συνάρτηση f µε τύπο: f(x) = αx + βx +3, α, β R α. Να βρεθούν τα α,β ώστε η εφαπτόµενη στο σηµείο Α(,3) να σχηµατίζει γωνία 45 ο µε τον άξονα xx. β. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτόµενης στο Α(,3).
34 Συναρτήσεις 4. Ελέγχουµε τη γνώση µας Βήµα 5 ο 3. α. Βρείτε ένα πολυώνυµο δευτέρου βαθµού τέτοιο ώστε: f() = 4, f (1) = 3 και f (1) =. β.έστω οι συναρτήσεις f, g µε g(x) = (x 3 + 1) f(x) + x. Αν f (0) = 4 να βρείτε την g (0).
35 Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Γενικής Παιδείας Βήµα 5 ο Ελέγχουµε τη γνώση µας 43. Ελέγχουµε τη γνώση µας Θέµα 1 ο Α. Να βρεθεί το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f µε τύπο: f(x) = x - (x - 1)(x + 1) x -x-0, x ±4 Β. Να βρεθεί το α R ώστε η συνάρτηση µε τύπο: f(x) = x -16 5α-, x=4 να είναι συνεχής στο σηµείο x 0 = 4. Είναι η f συνεχής για x 4;
36 Συναρτήσεις 44. Ελέγχουµε τη γνώση µας Βήµα 5 ο Θέµα ο Α. Να υπολογιστούν οι παράγωγοι των παρακάτω συναρτήσεων: συνx α. f(x) = ηµx + lnx β. g(x) = e x +1 γ. h(x) = lnx(x 4 + x) δ. s(x) = ηµ(x + e x ) x Β. Έστω η συνάρτηση f µε τύπο f(x) =. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτόµενης στο σηµείο x 0 x +1 = 4. Θέµα 3 ο Α. Έστω η συνάρτηση f µε τύπο f(x) = x 3 + αx + βx. Να βρείτε τα α,β R ώστε η f να έχει µέγιστο στο x 0 = και f (1) = 0.
37 Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Γενικής Παιδείας Βήµα 5 ο Ελέγχουµε τη γνώση µας 45. Β. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f µε τύπο f(x) = 4x 3 + x + 5x - 10 δεν έχει ακρότατα και να βρείτε τη µονοτονία της. Θέµα 4 ο Α. ίνεται η συνάρτηση f µε τύπο f(x) = x + λx +, λ R. α. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτόµενης της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο Α(1,f(1)). β. Να βρεθεί η τιµή του λ R ώστε η παραπάνω εφαπτόµενη να διέρχεται από το σηµείο Β(,-4). γ. Να δείξετε ότι για κάθε λ R η εφαπτόµενη διέρχεται από σταθερό σηµείο.
38 Συναρτήσεις 46. Ελέγχουµε τη γνώση µας Βήµα 5 ο Β. Να βρεθούν τα διαστήµατα µονοτονίας της συνάρτησης f µε τύπο: x 6 f(x) = ln + x+1 x+1
Συνοπτική θεωρία: f(x) = g(x) Ισότητα συναρτήσεων: f=g A Πράξεις µε συναρτήσεις: Συνάρτηση άθροισµα: S = f + g, µε S(x) = f(x) + g(x), x A f
Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να γνωρίζει: Τον ορισµό της συνάρτησης και τον τρόπο εύρεσης του πεδίου ορισµού της. Τις πράξεις µεταξύ συναρτήσεων, τις γραφικές παραστάσεις
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα; 2. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος
ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός εφαπτομένης καμπύλης Αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x, τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α(x, f(x )) την
KEΦΑΛΑΙΟ 1ο : Διαφορικός Λογισμός
KEΦΑΛΑΙΟ 1ο : Διαφορικός Λογισμός 1.1 Συναρτήσεις. Ορισμός : Εστω ΑR. Ονομάζουμε (πραγματική) συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α, μια διαδικασία f Παραδείγματα i) με την οποία στοιχείο xα yβr. ii) Ανεξάρτητη
Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να γνωρίζει:
Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να γνωρίζει: Τον ορισµό της συνάρτησης και τον τρόπο εύρεσης του πεδίου ορισµού της. Τις πράξεις µεταξύ συναρτήσεων, τις γραφικές παραστάσεις
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ 000 ΘΕΜΑ ο Α.α) Δίνεται η συνάρτηση F f g αποδείξετε ότι: F f g. cf,. Αν οι συναρτήσεις
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά)
3 1 0 011 ΘΕΡΙΝΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά) ΘΕΜΑ 1 Α. Έστω η συνάρτηση F()=f()+g(). Aν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες, να αποδείξετε ότι F
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f) = c f, Έστω F = c f Έχουμε
o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση
010-011 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη Μαθηματικά Γενικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ. Ι. Παπαγρηγοράκης http://users.sch.gr/mipapagr Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας ΚΕΦ1 1 Δίνεται
Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση;
Κεφάλαιο 1 Διαφορικός Λογισμός 1.1 Συναρτήσεις Κατανόηση εννοιών - Θεωρία 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; 2. Πως ορίζονται οι πράξεις της πρόσθεσης, της διαφοράς, του γινομένου και του πηλίκου μεταξύ δύο συναρτήσεων;
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) 6+ 9, g ( ), h ( ) 5 +, k
Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο 1ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ
Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f( )) = c f ( ),. Έστω F( )
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3. Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β π Για κάθε μία από τις παρακάτω συναρτήσεις με πεδίο
ΘΕΩΡΙΑ 1ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ (χωρίς αποδείξεις) ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ- ΣΥΝΕΧΕΙΑ 1. Να δώσετε τον ορισμό της συνάρτησης
ΘΕΩΡΙΑ ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ (χωρίς αποδείξεις ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ- ΣΥΝΕΧΕΙΑ. Να δώσετε τον ορισμό της συνάρτησης Συνάρτηση από το σύνολο Α στο Β λέγεται μια διαδικασία με την οποία κάθε στοιχείο x του Α, αντιστοιχίζεται
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ )
5 1 1 1η σειρά ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) ΘΕΜΑ 1 Α. Ας υποθέσουμε ότι x 1,x,...,x κ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής X, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους
Σημειώσεις Μαθηματικών 2
Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Συναρτήσεις - 4 Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 4 Παράγωγος Συνάρτησης 4.1 Έννοια Παραγώγου Ορισμός f(x) f(x 0 ) Μια συνάρτηση f ονομάζεται παραγωγίσιμη στο x 0 Df αν υπάρχει
1. Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β είναι συνάρτηση.
Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Ανάλυση o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου
Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ <
Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το ο Γενικό Λύκειο Χανίων [00-0 < Mathematica.gr], τον οποίο κι ευχαριστώ ιδιαίτερα για το ήθος
1 of 79 ΘΕΜΑ 2. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 2 4x + 5, x R
1 of 79 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 2 4x + 5, x R α) Να αποδείξετε ότι η f γράφεται στη μορφή f(x) = (x- 2) 2 + 1. (Μονάδες 12) β) Στο σύστημα συντεταγμένων που ακολουθεί, να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση
f ( x) x EΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Συναρτήσεις ( ) 1. Έστω συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο R τέτοια ώστε να ισχύει
Συναρτήσεις Έστω συνάρτηση γνησίως αύξουσα στο R τέτοια ώστε να ισχύει Να δείξετε ότι (), για κάθε R ( ) +, για κάθε R Έστω συνάρτηση µε πεδίο ορισµού και σύνολο τιµών το R και τέτοια ώστε ( ) ( ) e +,
Ερωτήσεις ανάπτυξης. α) να βρείτε το σηµείο x 0. β) να αποδείξετε ότι η κλίση της εφαπτοµένης της
Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη στο R και η ευθεία (ε) είναι εφαπτοµένη της C στο σηµείο (0, (0)). Μετακινούµε τη C παράλληλα προς τους άξονες, όπως φαίνεται στο σχήµα, και ονοµάζουµε
Μάθηµα 8. , δέχεται εφαπτοµένη στο σηµείο της ( k, f ( k)), k D
Μάθηµα 8 Κεφάλαιο : ιαφορικός Λογισµός Θεµατικές Ενότητες: Εξίσωση Εφαπτοµένης Η προϋπόθεση ύπαρξης εφαπτοµένης (ένα κατά συνθήκη ψεύδος) και η εξίσωσή της Η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης µε πεδίο
1.3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. 1. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης
. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης Έστω µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού Α, και Β το σύνολο των Α στα οποία η είναι παραγωγίσιµη. Τότε ορίζεται νέα συνάρτηση µε την οποία κάθε
παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ η (Κατσίποδας Δημήτρης) Δίνονται οι συναρτήσεις f() = με a, β R και g() = 5.Αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 4 o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 0. Σ 9. Λ. Λ. Σ 40. Σ. Σ. Σ 4. Λ 4. Λ. Σ 4. Σ 5. Σ 4. Σ 4. Λ 6. Σ 5. Λ 44.
ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 η εκάδα
ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η εκάδα. Στην αρχή της σχολικής χρονιάς, οι 50 µαθητές της τρίτης τάξης ενός λυκείου ρωτήθηκαν σχετικά µε τον αριθµό των βιβλίων που διάβασαν την περίοδο των διακοπών τους. Τα δεδοµένα
ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ - ΟΡΙΣΜΟΣ
ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ - ΟΡΙΣΜΟΣ 3.1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση: f x = { x e 1/ x,αν x 0 x ημx,αν x 0} είναι παραγωγίσιμη στο 0. 3.2. Δίνεται η συνάρτηση f x = { x 2 αx 1,αν x 1 2x 2, αν x 1 } η οποία
Ο Λ Ο Κ Λ Η Ρ Ω Μ Α Τ Α
Ο Λ Ο Κ Λ Η Ρ Ω Μ Α Τ Α Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 1. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα: Ι ΑΠ. 36 2. Να δείξετε ότι: i) Για κάθε x (0, + ), 2x e x + e x -1 > 0 ii) Θεωρώ την συνάρτηση f(x) = 2x e x + e x - 1 iii. Αρκεί
= x + στο σηµείο της που
Ασκήσεις στην εφαπτοµένη καµπύλης 1. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f ( ) = + στο σηµείο της που έχει τετµηµένη.. Σε ποια σηµεία της γραφικής παράστασης της
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ 22 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 5 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο A. Να δώσετε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης στο πεδίο ορισμού της. ( Μονάδες)
ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1.
Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1.Δίνεται η συνάρτηση f()= 4 1 α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; β) Αν χ=, ποια είναι η τιμή της f; γ) Αν f()=1, ποια είναι
1,y 1) είναι η C : xx yy 0.
ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής xxi,
2.8. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. 1.i)
1.8 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 77 79 A Οµάδας 1.i) Να βρείτε τα διαστήµατα στα οποία η συνάρτηση () 5 5 4 + είναι κυρτή ή κοίλη και να προσδιορίσετε (αν υπάρχουν) τα σηµεία καµπής της γραφικής της
Ημερομηνία: Πέμπτη 5 Ιανουαρίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΑΠΟ 18/1/016 ΕΩΣ 05/01/017 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Ημερομηνία: Πέμπτη 5 Ιανουαρίου 017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Έστω η συνάρτηση
Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ <
Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [008-009 < Mathematica.gr], τον οποίο κι ευχαριστώ ιδιαίτερα για
Θέματα. Α1. Να δώσετε τον ορισμό της συχνότητας και της σχετικής συχνότητας μιας παρατήρησης x i. Σ Λ
Θέματα ΘΕΜΑ Α Α. Να δώσετε τον ορισμό της συχνότητας και της σχετικής συχνότητας μιας παρατήρησης x i. (7 Μονάδες) Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη
Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ <
Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [2008-2009 < Mathematica.gr], τον οποίο κι ευχαριστώ ιδιαίτερα για
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Α =, Β = α. Να υπολογίσετε τον πίνακα 3Α - 4Β. Μονάδες 5. β. Να υπολογίσετε τον πίνακα Χ έτσι ώστε να ισχύει: 2Α + Χ = 3Β Μονάδες 10
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙ ΙΚΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΠΟΦΟΙΤΩΝ Β ΚΥΚΛΟΥ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΗΡΙΩΝ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΡΕΙΣ (3) ΘΕΜΑ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο
Θεώρημα Bolzano. Γεωμετρική Ερμηνεία του θ.bolzano. Θ. Bolzano και ύπαρξη ρίζας
Θεώρημα Bolzano Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β]. Αν: Η f είναι συνεχής στο [α, β] και Ισχύει f(a)f(β) < 0, τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα x 0 (α, β) τέτοιο ώστε
lim είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο x 0. β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f (x) =
Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** α) Να αποδείξετε ότι αν τα όρια lim - f () - f - είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο. ( ) και β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f () = lim + στο σηµείο
2.3. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων
. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 8 4 A Οµάδας. Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων 7 i ( 4 6 ii ( ln 4 iii ( 4 iv ( συν i Για κάθε R είναι ( 7 6 4 6 ii Για κάθε (, είναι ( 6 iii Για κάθε R είναι
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ. Εµβαδά., x 1 x f
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Εµβαδά Θέµα 1 ίνεται η συνάρτηση x e e, x< 1 (x) = l nx, x 1 x Να δείξετε ότι η είναι συνεχής και να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την C, τον άξονα
Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 2017
Ένα διαγώνισμα προετοιμασίας για τους μαθητές της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 7 Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κων/νος Παπασταματίου Μαθηματικός Φροντιστήριο
Περίληψη μαθημάτων Ι. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Με N θα συμβολίζουμε το σύνολο των φυσικών αριθμών, δηλ. N = {1, 2, 3, 4, }.
Περίληψη μαθημάτων Ι. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Με N θα συμβολίζουμε το σύνολο των φυσικών αριθμών, δηλ. N = {1, 2, 3, 4, }. Με Z θα συμβολίζουμε το σύνολο των ακεραίων αριθμών, δηλ. Z = N {0, 1, 2, 3, 4, }. Με Q θα
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ
www.apodeiis.gr ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 1 1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: 1 i. ii. 1. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων: i. 1 1 ii. ln. Δίνεται η συνάρτηση g, i. Να αποδείξετε
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Usus est magister optimus (η χρήση είναι ο καλύτερο δάσκαλο ) y M(,f()) C f A( 0,f( 0 )) M ε O 0 (α) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Tόμος 1ος -0088_l_c_math_bm_1-54_8b.indd 1 18/09/017 10:3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΚ ΟΣΗΣ ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ: Αδαμόπουλος Λεωνίδας Επ. Σύμβουλος Παιδαγωγικού Ινστιτούτου
Θέματα Πανελλαδικών στις Παραγώγους. Εφαπτομένη
Θέματα Πανελλαδικών 000-04 στις Παραγώγους Εφαπτομένη Έστω η συνάρτηση f :, με f 000 ln Έστω c > 000 και έστω ότι η ευθεία y = c και η C f τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία Α,Β του επιπέδου Να αποδείξετε
και δεν είναι παραγωγίσιμη σε αυτό, σχολικό βιβλίο σελ. 99 Α3. Ορισμός σελ. 73 Α4. α) Λ β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ , δηλαδή αρκεί x 1 x
ΘΕΜΑ Α Α1. Απόδειξη σχολικού βιβλίου σελ. 15 Α. α) Ψ β) Σχήμα 1 και μελέτη της f, όπου η f είναι συνεχής στο και δεν είναι παραγωγίσιμη σε αυτό, σχολικό βιβλίο σελ. 99 Α. Ορισμός σελ. 7 Α. α) Λ β) Σ γ)
Συνοπτική θεωρία - Τι να προσέχουμε Ασκήσεις Θέματα από Πανελλαδικές. γ) g( x) e 2. ln( x 1) 3. x x. ζ) ( x) ln(9 x2) ια) ( ) ln x 1
Κεφ ο : Διαφορικός Λογισμός Συνοπτική θεωρία - Τι να προσέχουμε Θέματα από Πανελλαδικές Α Πεδίο ορισμού συνάρτησης (Περιορισμούς για το χ ) Όταν έχουμε κλάσμα πρέπει : παρονομαστής 0 Όταν έχουμε ρίζα πρέπει
23 2011 ΘΕΜΑ Α A1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x 0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x 0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι:
ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4_095. Δίνονται οι ευθείες ε 1: λx + y = 1 και ε : x + λy = λ α) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ οι δύο ευθείες τέμνονται και να γράψετε τις συντεταγμένες του κοινού τους σημείου συναρτήσει
Θ.Rolle Θ.Μ.T. Συνέπειες Θ.Μ.Τ
Θέματα Πανελλαδικών 000-05 στις Παραγώγους Εφαπτομένη Έστω η συνάρτηση f :, με f 000 ln Έστω η συνάρτηση Έστω c > 000 και έστω ότι η ευθεία y = c και η C f τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία Α,Β του επιπέδου
Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Τελική Επανάληψη
Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Τελική Επανάληψη e d g h g h Εκφωνήσεις 65, 6 Δίνονται η συνάρτηση και η σχέση g, 8 α) Να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού λ ώστε η συνάρτηση να έχει πεδίο
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο 2.1: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο.: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ Β Έστω μια παραγωγίσιμη στο συνάρτηση, τέτοια ώστε για κάθε x
α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρα Β-Λυκείου (2ο πακέτο ασκήσεων) 1 22630 Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = 3 x με x R. α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2009
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 009 Ημερομηνία και ώρα εξέτασης: ευτέρα, 1 Ιουνίου 009 7:30 10:30
1ο τεταρτημόριο x>0,y>0 Ν Β
ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ( 6.2 ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται ένα επίπεδο εφοδιασμένο με δύο κάθετους άξονες οι οποίοι έχουν κοινή αρχή Ο και είναι αριθμημένοι με τις ίδιες μονάδες μήκους.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Τελευταία ενηµέρωση: Νοέµβριος 016) Ανέστης Τσοµίδης Κατερίνη Περιεχόµενα 1 Συστήµατα 1.1 Μη γραµµικά συστήµατα........................ Ιδιότητες συναρτήσεων 3.1 Μονοτονία,
1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ
1 1. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα γνησίως αύξουσας Αν µία συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα και για κάθε εσωτερικό σηµείο του ισχύει f () > 0 τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο.
Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ (ΜΕΧΡΙ ΚΑΙ ΡΥΘΜΟ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ)
ΘΕΜΑ ο Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ (ΜΕΧΡΙ ΚΑΙ ΡΥΘΜΟ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ) Α. Να αποδείξετε ότι αν μία συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο 0,τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό Β. Να αποδείξετε ότι
Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν
Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Α λ γ ε β ρ α B Λ υ κ ε ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Α λ γ ε β ρ α B Λ υ κ ε ι ο υ Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α 16950 16954
ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΛΛΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1
ΘΕΜΑ Α ΦΥΛΛΟ 1 Α1. Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο υ της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P(x) με το x - ρ είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για x = ρ. Είναι δηλαδή υ = P(ρ). Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις
( ) ( ) ɶ = = α = + + = = z1 z2 = = Οπότε. Έχουµε. ii) γ) 1ος Τρόπος. Οπότε Ελάχιστη απόσταση είναι:
ΘΕΜΑ ο Γ' ΤΑΞΗ ΓΕΝΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α Έστω f µία συνεχής συνάρτηση σ ένα διάστηµα [α, β] Αν G είναι µία β παράγουσα της f στο [α, β], τότε f ( t) dt = G( β )
4. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x 3 2x 2 + x 12 α) Να αιτιολογήσετε γιατί το διώνυμο x 3 είναι παράγοντας του P(x) β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0
1. α) Να βρείτε το υπόλοιπο και το πηλίκο της διαίρεσης (x 3 6x 2 +11x 2) : (x 3) β) Αν P(x) = x 3 6x 2 +11x + λ να βρείτε το λ R ώστε η διαίρεση P(x) : (x 3) να έχει υπόλοιπο 0. 2. Δίνονται τα πολυώνυμα:
Διαγώνισμα στις παραγώγους μέχρι και ακρότατα. 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα
Διαγώνισμα στις παραγώγους μέχρι και ακρότατα Θέμα A Α Έστω μια συνάρτηση f,η οποία είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ Αν στο Δ f x σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα Α Θεωρήστε
1ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου
Θέμα Α ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Α Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα
Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ
Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Πραγματική Συνάρτηση ρισμός Έστω Α ένα υποσύνολο του R. νομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο
την αρχή των αξόνων και ύστερα να υπολογίσετε το εμβαδόν του
ΑΣΚΗΣΗ 47 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = και οι ευθείες (ε ): y = x και (ε ): y = x +. Να αποδείξετε ότι:. Η (ε ) είναι ασύμπτωτη της C f στο, ενώ η (ε ) είναι ασύμπτωτη της C f στο +. Για κάθε x R ισχύει
ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο
Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1
Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Διαφορικός Λογισμός ΟΡΙΣΜΟΣ Συνάρτηση ονομάζεται μια διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Συχνά συμβολίζουμε
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA Β ΚΥΚΛΟΥ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΤΕΕ 2002 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA Β ΚΥΚΛΟΥ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΤΕΕ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Οι βαθμοί των 11 μαθητών μιας τάξης ενός Τ.Ε.Ε. σε ένα μάθημα είναι: 1, 1, 9, 15, 1, 16, 17, 7, 19, 18, 17. Για τα δεδομένα αυτά: α. Να κατασκευάσετε
ΘΕΜΑ 1ο Α. α) Να αποδείξετε ότι, αν z 1 =α+βi και. είναι δύο μιγαδικοί αριθμοί, τότε
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 6 ΙΟΥΛΙΟΥ 001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΡΕΙΣ
Μαθηµατικα Γενικης Παιδειας Γ Λυκειου
Μαθηµατικα Γενικης Παιδειας Γ Λυκειου 1 ιαφορικός Λογισµός Θέµα 1. ίνεται η συνάρτηση = ln(x 1)+1. α ) Να ϐρεθεί το πεδίο ορισµού της f. ϐ ) Να ϐρεθεί η f και το πεδίο ορισµού της. γ ) Να µελετηθεί η f
2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση.
. Έστω η συνάρτηση f : με την παρακάτω γραφική παράσταση. Α. Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα, κυρτή, κοίλη, καθώς και τα τοπικά ακρότατα και τα σημεία
ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 1, Στρόβολος 3, Λευκωσία Τηλ. 357-37811 Φαξ: 357-3791 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 16 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ημερομηνία: Δευτέρα,
20 επαναληπτικά θέματα
0 επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης Γ λυκείου Γράφουν οι μαθηματικοί: Βέρρας Οδυσσέας Ζαχαράκης Δημήτρης Καρύμπαλης Νώντας Κλίτσας Γιώργος Κοτσώνης Γιώργος Μπούζας Δημήτρης Πετρόπουλος
20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΟΡΙΣΜΟΙ
ΕΚΔΣΕΙΣ ΚΕΛΑΦΑ 19 Μιγαδικός αριθμός λέγεται η έκφραση α + i, με α, ΙR. Φανταστικός αριθμός λέγεται η έκφραση i, με ΙR. Αν z = α + i, α, ΙR, το α λέγεται πραγματικό μέρος του z. Αν z = α + i, α, ΙR, το
Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ
Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Θέμα εξετάσεων 2000 Θ2. Δίνεται η συνάρτηση f: με f(x) = x 2 4x + 4. α. Να υπολογίσετε την παράγωγο της συνάρτησης f. β. Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία
1 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 2008
ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 008 α). Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) με το πρωτοβάθμιο πολυώνυμο x ρ ισούται με την αριθμητική τιμή του Ρ(x) για x =
Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )
Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι
ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της f στο Δ, να αποδείξετε ότι:
ΜΑΘΗΜΑ - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΗ ΥΛΗ ΟΝΟΜΑ ΤΜΗΜΑ Διαγώνισμα Προσομοίωσης Μαθηματικών Προσανατολισμού 11/5/19 Γ Λυκείου ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΟ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι
lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7].
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα
Η f(x) y είναι συνεχής στο [0, 2α], σαν διαφορά των συνεχών f(x) και y = 8αx 8α 2
1994 ΘΕΜΑΤΑ 1. ίνεται η συνάρτηση f()=,. Α) Αν ε είναι η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης C της συνάρτησης f στο σηµείο Μ(α, α ), α >, να βρείτε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C, την ευθεία
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2017 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: X. KOMNHNAKΙΔΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ M.Sc. ΘΕΜΑ Α
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2017 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: X. KOMNHNAKΙΔΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ M.Sc. ΘΕΜΑ Α Α1. Α2. α) Ψευδής β) Θεωρούμε την συνάρτηση f(x) = x, x. Η συνάρτηση γράφεται ως
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β)
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 3x x 3 3 5x x β) 4 3 x x x 0
ΘΕΩΡΗΜΑ (Μέσης Τιμής) Έστω f: [α, β] R συνεχής και παραγωγίσιμη στο (α, β). Τότε υπάρχει ξ (α, β)
Έστω συνάρτηση f: [α, β] R παραγωγίσιμη. Τότε η παράγωγος συνάρτηση f (x) παίρνει όλες τις τιμές μεταξύ των f (α) και f (β). Έστω f (α) < λ < f (β). Πρέπει να δείξουμε ότι υπάρχει x 0 ώστε f (x 0 ) = λ.
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α1. Απόδειξη σχολικού βιβλίου σελίδα 135.
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α1. Απόδειξη σχολικού βιβλίου σελίδα 135. Α2. α) Η πρόταση είναι ψευδής. β) Αιτιολόγηση: Σελίδα 99 σχολικού βιβλίου (η f(x)= x είναι συνεχής στο x=0
ii) f(x)= iv) f(x)= ii) f(x)= x iv) f(x)= 2x x ii) f(x)= iv) f(x)= x) f(x)= 2ln x ln x να έχει πεδίο ορισμού το R.
1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: 7 5 8 1 i) f()= ii) f()= 3 5 4 3 4 iii) f()= iv) f()= 3 3 8 7. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: i) f()= 5 6 ii) f()= iii) f()= 1
( x) β ], παρουσιάζει ελάχιστη τιµή α, δηλαδή υπάρχει. ξ µε g( ξ ) = 0. Το ξ είναι ρίζα της δοσµένης εξίσωσης.
. Έστω συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιµη στο R, µε συνεχή δεύτερη παράγωγο και σύνολο τιµών το διάστηµα [, ] a β, όπου a< < β. Να αποδείξετε ότι: i) υπάρχουν δύο τουλάχιστον σηµεία,, µε, ώστε f ( ) =
1o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α. βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ.
o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α Δίνεται τετράγωνο με κορυφές τα σημεία Α,, Β,, Γ, και Δ, και μία συνεχής στο, συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ. B. Nα βρείτε
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της?
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ 4-5 Πότε μια συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της? Απάντηση: Mια συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της όταν
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ενδεικτικές λύσεις)
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04--07 (ενδεικτικές λύσεις) ΘΕΜΑ A Α. Θεωρία / Σχολικό Βιβλίο / Σελίδα 99 Α. Θεωρία / Σχολικό Βιβλίο / Σελίδα 3 Α3. α) Ο ισχυρισμός είναι Ψ (ψευδής). β)
ΑΣΚΗΣΗ 1. εξισώσεις x= π 3, x= π 2. ΑΣΚΗΣΗ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις : f (x)= 1. 1 u 2 x. du και g(x)= 1 f (t )dt
ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f (x)= ημ x, x (0,π). α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα κοίλα. β) Να βρείτε της ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f. γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών
Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. iv) f(x)= v) f(x)= ln(x 2-4) vi) f(x) =, v) f(x) = 6 x 5. vi) vii) f(x) = ln(x 2-2) viii) f(x) = lnx 2.
Ερωτήσεις ανάπτυξης Β. Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων: 5 4 i) f() = ii) f()= iii) f()= iv) f()= ln( ) e v) f()= ln( -4) 4 4 vi) f() =, 5. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων f με τύπο: