ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2015 ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2015 ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ"

Ὅμηρος Αλεξόπουλος
5 χρόνια πριν
Προβολές:

ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 5 ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Α. Απόδειξη, σελ.94 σχολικού βιβλίου Α. Θεωρία, σελ.88 σχολικού βιβλίου Α. Θεωρία, σελ.59 σχολικού βιβλίου Α4.

1 ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 5 ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Α. Απόδειξη, σελ.94 σχολικού βιβλίου Α. Θεωρία, σελ.88 σχολικού βιβλίου Α. Θεωρία, σελ.59 σχολικού βιβλίου Α4. α) Λ β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ ΘΕΜΑ Β Β. z 4 z (z 4) ( z ) (z 4)(z 4) 4(z )(z ) zz4z4z64zz4z4z4zz zz 4 z 4 z ο γεωμετρικός τόπος των μιγαδικών z είναι κύκλος με κέντρο το Ο(,) και ακτίνα ρ= B. α) 4 z z 4 zz 4 z z 4 4 Oι z, z μιγαδικοί του Β άρα z και z z z w 4 4 z z z z z z z z 4 4 z z z z ο w είναι πραγματικός. w

2 β) 4w4 w 4 άρα αρκεί να δείξουμε ότι w 4 z zz z z z w z z z z z z z z z z z zz z z z z z z z 4 w 4 Β. z zz zz z w 4 4 z z z z z z 4z z z z z z 4z z (z z z z ) (z z ) z z Θεωρούμε τις εικόνες : A(z ), B(z ), (iz ) Έχουμε (ΑΓ)= izz z i 4 5 (ΒΓ)= izz izz z i 4 5 το ΑΒΓ είναι ισοσκελές. ΘΕΜΑ Γ Γ. Η συνάρτηση f είναι συνεχής ως πηλίκο των συνεχών συναρτήσεων, παραγωγίσιμη ως πηλίκο παραγωγίσιμων με: και, f f για κάθε και το ίσον ισχύει μόνο για, άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο. Το σύνολο τιμών της f είναι: f lim f, lim f, αφού και lim f lim lim lim lim f lim lim lim DLH DLH

3 Γ. Είναι: f f f f 5 f και αφού η f είναι συνεχής στο και γνησίως αύξουσα, άρα από Θ.Ε.Τ. υπάρχει ακριβώς ένα ώστε f. Όμως f Γ. Έστω F αρχική συνάρτηση της f και F ftdt, οπότε F f Οπότε, 4 f4 f t dt F4F f 4 F F4 4 f 4 F 4 f 4 που ισχύει, αφού από Θ.Μ.Τ. για την F στο,4 υπάρχει ένα τουλάχιστον,4 τέτοιο ώστε, F F4 F 4, για κάθε

4 Γ4. Εξετάζουμε τη συνέχεια της συνάρτησης g στο. Είναι: 4 f t dt 4f 4 f lim g lim lim 4 g. D.L.H. άρα g συνεχής στο και επειδή είναι και συνεχής, για κάθε, ως πηλίκων συνεχών, θα είναι συνεχής στο,. Επίσης g παραγωγίσιμη με: g f t dt f t dt 4f 4 f f t dt 4 4 4f 4 f f t dt f 4 f 4 f f t dt Όμως για κάθε έχουμε: Από Γ: 4 f 4 f f 4 f t dt f άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο g γνησίως αύξουσα στο,. 4f f 4 f 4 f 4 f 4 f t dt,, όμως η g είναι συνεχής στο.,, άρα η

5 ΘΕΜΑ Δ Δ. Είναι f f f f f f f f f f f c Για () f f cc f f f f f f f f f f f f Έστω g με Dg και g συνεχής στο ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων Είναι f f g αδύνατο g για κάθε οπότε η g διατηρεί σταθερό πρόσημο στο f δηλαδή g g για κάθε f f f ln, Δ. Έχουμε, f f,,

6 f f f f + f β) Βρίσκουμε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο,. Είναι f άρα :yf f y Στο, η f είναι κοίλη άρα πάνω από τη οπότε είναι f για κάθε, με το «=» μόνο για. το ζητούμενο εμβαδόν είναι ln d f d ln d d ln d ln d ln ln ln ln.. C με εξαίρεση το σημείο επαφής,

7 Δ. Η συνάρτηση οπότε για f έχει παράγωγο f άρα γνησίως αύξουσα στο Έχουμε ff συνεπώς f f για, To όριο γράφεται: F F lim F f F Όμως Και επίσης ln f F F lim F όπου F f t dt η οποία είναι παραγωγίσιμη με f lnf f lim ln f lim lim ln διότι lim lim ln Δ4. Θεωρώ τη συνάρτηση g f t dt 8 f t dt,, Η g είναι συνεχής στο, γιατί προκύπτει από πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων. g 8 f t dt f t dt8 Ακόμα Αλλά όπως είδαμε στο Δ η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από την εφαπτομένη της, με εξίσωση y, f, για κάθε f για κάθε άρα καθώς και

8 για κάθε t, ή f t t για κάθε t, f t t, Και αφού η h t f t t είναι συνεχής και δεν είναι παντού μηδέν στο Αλλά f t t dt f t dt t dt f t dt t dt t 8 tdt 8 f t dt f t dt 8 f dt8 δηλαδή Όμοια, g. και όπως πριν f g f t dt άρα f t t, για κάθε t, παντού μηδέν στο,, θα έχουμε,για κάθε, κι αφού η Αλλά, έχουμε t f t t είναι συνεχής και δεν είναι f t t dt f t dt t dt f t dt t dt t tdt f t dt f t dt f t dt g Επομένως g g από θεώρημα Bolzano η εξίσωση f t dt 8 f t dt Έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο,. g και ισοδύναμα η

Σχετικά έγγραφα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΠΟ ΤΟΥΣ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ κύριο ΦΟΥΝΤΟΥΛΑΚΗ ΜΑΝΩΛΗ κυρία ΦΟΥΝΤΟΥΛΑΚΗ ΑΓΓΕΛΙΚΗ του ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ