ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ
|
|
- Σελήνη Ρόκας
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f) = c f, Έστω F = c f Έχουμε F( + h) F = c f( + h) c f = c[ f( + h) f] Για h 0 έχουμε: F( + h) F f( + h) f = c h h Επομένως F( + h) F f( + h) f lim = lim c cf h 0 h h 0 = h Άρα ( cf ) = cf
2 Ερώτηση θεωρίας α) Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης f β) Τι ορίζουμε στιγμιαία ταχύτητα ενός κινητού; = είναι f = α) Έχουμε f( + h) f = ( + h) = h Για h 0 έχουμε: f( + h) f h = = h h Επομένως f( + h) f lim = lim= h 0 h h 0 Άρα ( ) = β) Την οριακή τιμή της μέσης ταχύτητας ενός κινητού την ονομάζουμε στιγμιαία ταχύτητα του κινητού στη χρονική στιγμή t 0 ή απλώς ταχύτητα του κινητού στο t 0, δηλαδή υ St ( + h) St S h h = lim 0 0 = lim h 0 h 0
3 Ερώτηση θεωρίας α) Αν οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιμες να δείξετε ότι: ( f + g) = f + g β) Τι εκφράζει η παράγωγος μιας συνάρτησης f σ ένα σημείο 0 του πεδίου ορισμού της; α) Έστω η συνάρτηση F = f + g Έχουμε F( + h) F = [ f( + h) + g( + h)] [ f + g] = ( f( + h) f) + ( g ( + h) g ) Για h 0 έχουμε: F( + h) F ( f( + h) f) + ( g( + h) g) = = h h f( + h) f g ( + h) g + h h Επομένως F( + h) F f( + h) f g( + h) g lim = lim + lim = h 0 h h 0 h h 0 h f + g Άρα ( f + g) = f + g β) Η παράγωγος μιας συνάρτησης f σ ένα σημείο 0 του πεδίου ορισμού της εκφράζει το ρυθμό μεταβολής του y = f ως προς, όταν = 0
4 Ερώτηση θεωρίας 4 α) Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης σταθερά, ισούται με μηδέν β) Πότε μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού A λέγεται συνεχής; γ) Να παραγωγίσετε τις παρακάτω συναρτήσεις: f = c, όπου c πραγματική = ( + ) 8 4, g = + 5, h = e ηµ, ϕ = 5 + ln και s f = ηµ α) Έχουμε f ( + h) f = c c= 0 και για h 0, ( + ) f h f h = 0, οπότε και lim h 0 ( + ) f h f h = 0 Άρα ( c ) = 0 β) Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο A λέγεται συνεχής αν για κάθε 0 ισχύει lim f f ( ) 0 = 0 A, γ) ( ) ( ) f = + = + + = +, = + = + = +, g h = e ηµ = e ηµ + e ηµ = e ηµ + e συν, = 4 + = 4 + = 4 + = =, ϕ 5 ln 5 ln ηµ ηµ ηµ συν s = = = ηµ ηµ ηµ 4
5 Ερώτηση θεωρίας 5 Δίνεται μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το A Πότε θα λέμε ότι η f παρουσιάζει στο A τοπικό μέγιστο; Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το A λέμε ότι παρουσιάζει στο όταν f f ( ) για κάθε σε μια περιοχή του A τοπικό μέγιστο, 5
6 Ερώτηση θεωρίας 6 Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α, παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο 0 A; Η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το A, λέμε ότι παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο 0 A, όταν f f( 0 ) για κάθε σε μια περιοχή του 0 6
7 Ερώτηση θεωρίας 7 Έστω η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το A Πώς ορίζεται η (πρώτη) παράγωγος της f ; Αν Β είναι το σύνολο των A στα οποία η f είναι παραγωγίσιμη τότε ορίζεται μια νέα συνάρτηση, με την οποία κάθε B αντιστοιχίζεται στο f( + h) f f = lim h 0 h Η συνάρτηση αυτή λέγεται (πρώτη) παράγωγος της f και συμβολίζεται με f 7
8 Ερώτηση θεωρίας 8 α) Πότε μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 0 του πεδίου ορισμού της; β) Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης f f = = είναι ίση με α) Μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 0 του πεδίου ορισμού της αν το όριο f( 0 + h) f( 0) lim υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός h 0 h β) Έστω η συνάρτηση f = Έχουμε f( h) f ( h) h h h h + = + = + + = + Για h 0, είναι f( + h) f ( + h) h = = + h h h Επομένως, f( + h) f lim = lim ( + h ) = h 0 h h 0 Άρα ( ) = 8
9 Ερώτηση θεωρίας 9 Γράψτε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων: f = ν, όπου ν φυσικός g = e, όπου πραγματικός h = ln, όπου > 0 t = συν, όπου πραγματικός =, f ν ν g = e, h =, t = ηµ 9
10 Ερώτηση θεωρίας 0 Γράψτε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων: cf ( ), f g, f g με g 0 και c = σταθερά ( c f) = c f, [ ] f g = f g + f g, f f g f g = g g 0
11 ΘΕΜΑ Β Άσκηση Δίνεται η συνάρτηση 4 f = e + Nα βρεθεί: α) Η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης f β) Να αποδειχθεί ότι f + ( 4) f = 0 γ) Να δείξετε ότι το μέγιστο της συνάρτησης f είναι το 4 e α) f = ( e ) = e ( + 4 ) = ( + 4) e β) = + + = f ( 4) f 0 ( 4) e ( 4) e 0 4 ( ) e + = 0 0 = 0 που ισχύει γ) 4 = + = και επειδή f 0 ( 4) e e + 0, + 4= 0 = Η παράγωγος γίνεται θετική όταν + 4> 0 > 4 < και αρνητική όταν + 4< 0 < 4 > O πίνακας προσήμων της παραγώγου διαμορφώνεται ως εξής: Από τον πίνακα φαίνεται ότι η συνάρτηση για = έχει μέγιστο το f() = e = e
12 Άσκηση Ένα τρίγωνο ΑΒΓ μεταβάλλεται έτσι ώστε το άθροισμα της βάσης του ΒΓ και του ύψους του ΑΔ να είναι 0cm α) Να δείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου συναρτήσει της βάσης του ΒΓ= είναι E = 0 β) Να βρείτε το μήκος της βάσης του ΒΓ ώστε το εμβαδόν του τριγώνου να είναι μέγιστο Στην περίπτωση αυτή να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου α) Το εμβαδόν του τριγώνου είναι E = BΓ A Αν ονομάσουμε τη βάση ΒΓ= τότε επειδή ΒΓ+ ΑΔ=0 έχουμε +AΔ=0, AΔ=0- με > 0 και A = 0 > 0 0 > άρα 0 < < 0 Οπότε το εμβαδόν γράφεται E = 0, 0,0 E = (0 ) = (0 ), άρα β) Για να βρούμε το μήκος της βάσης ΒΓ του τριγώνου για το οποίο το εμβαδόν του είναι μέγιστο, πρώτα βρίσκουμε την παράγωγο της συνάρτησης Ε() E = (0 ), E = 0 Στη συνέχεια βρίσκουμε τις ρίζες της παραγώγου, δηλαδή λύνουμε την εξίσωση E = 0 Από την E = 0 0 = 0 = 0 cm Κατόπιν φτιάχνουμε πίνακα προσήμων της παραγώγου Από τον πίνακα διαπιστώνουμε ότι το εμβαδόν του τριγώνου γίνεται μέγιστο όταν η βάση του ΒΓ==0 cm Το εμβαδόν του τριγώνου στην περίπτωση αυτή είναι E(0) = = = 50 cm
13 Άσκηση Δίνεται η συνάρτηση f 6 α = + με α R α) Να βρείτε την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης f β) Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f γ) Να βρείτε το α αν η συνάρτηση έχει τοπικό ελάχιστο ίσο με 5 α) Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το R = + = f ( 6 α) β) f = 0 = 0 ( ) = 0 = 0 ή = 4 Το πρόσημο και η μονοτονία της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα Από τον πίνακα μεταβολών της f διαπιστώνουμε ότι η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο για = 4, ίσο με f (4) Όμως f = + α = + α = + α (4) f(4) γ) Βρήκαμε στο προηγούμενο ερώτημα ότι f (4) = + α Αλλά f (4) = 5, οπότε + α = 5 α = 7
14 Άσκηση 4 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f = α 5+, όπου α R α) Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της, παράλληλη στην ευθεία y =, τότε να υπολογίσετε το α β) Αν α = i f Να υπολογίσετε το όριο lim ii Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα A f είναι = α) Η παράγωγος της συνάρτησης f ισούται με f α 5 Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης είναι f α 5 διεύθυνσης της ευθείας y = είναι ίσος με, οπότε ισχύει f = α 5 = α = = και ο συντελεστής β) i ( ) f 5+ lim = lim = lim = lim = Στα προηγούμενα το τριώνυμο 5 + έχει ρίζες τους αριθμούς και άρα 5+ = παραγοντοποιείται ως εξής: ii Έχουμε f = 5+ = 6 5, 5 f = 0 6 5= 0 =, 6 5 f > 0 6 5> 0 > και 6 5 f < 0 6 5< 0 < 6 4
15 5 Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο, 6 και γνησίως αύξουσα στο 5, + 6, άρα 5 5 παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο =, το 6 f = 6 5
16 Άσκηση 5 f = e, R Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο α Να υπολογίσετε το όριο lim f 0 β Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα γ Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της (, ) A f α Είναι lim f = lim e = lime lim = = β Έχουμε ( ) ( ) ( ) f = e = e + e = e + e = e, > 0 f = 0 e = 0 = 0, e > 0 f > 0 e > 0 > 0 και e > 0 f < 0 e < 0 < 0 e Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (,0] και γνησίως αύξουσα στο [ ) παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο = 0, το f ( 0) = 0, +, άρα 6
17 γ Έχουμε f e = = 0 και f = e= e Η εξίσωση της εφαπτομένης έχει τη μορφή y η εξίσωση της εφαπτομένης γίνεται: y= e+ β () = λ+ β, όπου το λ ισούται με το f, οπότε Επίσης οι συντεταγμένες του σημείου επαφής A(, 0) επαληθεύουν την εξίσωση (), οπότε έχουμε: 0 = e + β β = e, άρα η εξίσωση της εφαπτομένης γίνεται: y= e e 7
18 Άσκηση 6 Με ένα σύρμα μήκους 00cm κατασκευάζουμε ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο μήκους και πλάτους y α Να εκφράσετε τη διαγώνιο του ορθογωνίου ως συνάρτηση του β Να βρείτε τις διαστάσεις του ορθογωνίου ώστε το μήκος της διαγωνίου να γίνει ελάχιστο Έχουμε το παρακάτω ορθογώνιο Η περίμετρος ισούται με 00 cm, οπότε + y = 00 y = 50 () και επειδή τα μήκη των πλευρών του ορθογωνίου είναι θετικοί αριθμοί, έχουμε y > 0 50 > 0 < 50 και > 0, άρα ( 0,50) Επίσης εφαρμόζουμε το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΔΓ και παίρνουμε d = + y () και αντικαθιστώντας το y από την () στην () έχουμε d d = + 50 = Άρα η συνάρτηση της διαγωνίου του ορθογωνίου είναι d = με ( 0,50) β Παραγωγίζουμε τη συνάρτηση της διαγωνίου και έχουμε d = ( ) = + + Επίσης d = 0 = 5, 8
19 d > 0 > 5 και d < 0 < 5 (αφού >0 ) Έτσι η d είναι γνησίως φθίνουσα στο ( 0, 5 ] και γνησίως αύξουσα στο [ ) 5,50, άρα παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο = 5 Τότε από την () έχουμε ότι y = 5, άρα η διαγώνιος του ορθογωνίου γίνεται ελάχιστη όταν = yδηλαδή όταν είναι τετράγωνο 9
20 Άσκηση 7 Δίνεται η συνάρτηση f k, k 0 παράσταση της συνάρτησης f, τότε: α) Να δείξετε ότι k = = + > Αν το σημείο (, ) M ανήκει στη γραφική β) Να δείξετε ότι f = + γ) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα α) Αφού το σημείο M (, ) ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f θα ισχύει f() = + k = k + = k > 0 k k k + = = = β) Για k =, έχουμε f = + Πρέπει + 0, που ισχύει για κάθε R Άρα το πεδίο ορισμού της f είναι το R Η παράγωγος της f είναι f = ( + ) = =, R γ) Έχουμε: f = 0 = 0 = > 0 f > 0 > 0 > 0 + Η μονοτονία και τα ακρότατα της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Από τον παραπάνω πίνακα προκύπτει ότι η f: 0
21 Είναι γνησίως αύξουσα στο [ 0, + ) Είναι γνησίως φθίνουσα στο (,0] Έχει ελάχιστο το f (0) = 0 + =
22 Άσκηση 8 Δίνεται η συνάρτηση f, με τύπο f = α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες και yy f γ) Να υπολογιστεί το lim δ) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο που αυτή τέμνει τον άξονα α) Πρέπει 0 Άρα το πεδίο ορισμού της f είναι το [ 0, + ) β) Για τα σημεία τομής με τον άξονα, λύνουμε την εξίσωση f = 0 = 0 = = Άρα η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα στο σημείο A (, 0) Για το σημείο τομής με τον άξονα yy, έχουμε f (0) = 0 = Άρα η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα yy στο σημείο B(0, ) γ) Είναι ( ) ( + ) f lim = lim = lim = + + = lim = lim = ( ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) = = = 4 lim ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) δ) Το κοινό σημείο της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα είναι το A (, 0) (από το β ερώτημα) Η εφαπτομένη είναι η ε : y = λ+ β, με λ = f ( 0 ) = f () ()
23 f = =, > 0 Η παράγωγος της f είναι Έτσι η σχέση () λ = f () = = Επίσης το σημείο A(, 0) ε, άρα ισχύει 0 = λ + β β = λ = Άρα η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α είναι y =
24 Άσκηση 9 Δίνεται η συνάρτηση f = α ln + βαβ,, R Θεωρούμε ότι η ευθεία ε: y = +, είναι εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της B (, ) α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f β) Να βρείτε την παράγωγο της f γ) Αποδείξτε ότι α = και β = δ) Για α = και β =, να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα α) Πρέπει > 0 Άρα το πεδίο ορισμού είναι το ( 0, + ) β) Η παράγωγος της f είναι f = α ln + α ln = αln + α = αln + α, > 0 γ) Αφού η ευθεία ε : y = + είναι εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της B (, ), θα ισχύει: λ = f () = αln + α α = και B, C f() = α ln + β = β = f (ούτως ή άλλως το σημείο Β ανήκει στην ευθεία) δ) Αντικαθιστώντας τις τιμές των α και β που βρέθηκαν στο προηγούμενο ερώτημα, έχουμε f = ln +, > 0 και f = ln +, > 0 f = 0 ln + = 0 ln = = e f > 0 ln + > 0 ln > ln > ln e > e 4
25 Η μονοτονία και τα ακρότατα της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Από τον παραπάνω πίνακα προκύπτει ότι η f : Είναι γνησίως αύξουσα στο Είναι γνησίως φθίνουσα στο, + e 0, e Έχει ελάχιστο το f = ln + = + e e e e 5
26 Άσκηση 0 Έστω η συνάρτηση f 0 = α) Να βρείτε το lim h 0 0 ( h) + h β) Βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο με τετμημένη 0 = γ) Βρείτε το lim f α) Η συνάρτηση f ορίζεται στο A = R 0 Έχουμε f () = =, οπότε 0 ( + h) f( + h) f() lim = lim = f (), () h 0 h h 0 h Όμως για κάθε R είναι 00 = 0 και () 0 f f =, () Άρα η () λόγω της () γίνεται lim h 0 0 ( h) 0 + = h β) Έστω y = λ + β η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f Η εφαπτομένη της C f στο σημείο της με τετμημένη o = έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = f = 0 Άρα η εξίσωση της εφαπτομένης είναι της μορφής y = 0 + β Επειδή η εφαπτομένη διέρχεται από το σημείο M, f, δηλαδή από το M (,) σχέση = 0 + β, οπότε β = 00 Άρα η εξίσωση της ζητούμενης εφαπτομένης είναι y = 0 00, ισχύει η γ) f lim = lim = ( ) 009 lim = lim(0 ) = 0 6
27 Άσκηση g Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f = e, όπου g παραγωγίσιμη στο R Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης g διέρχεται από το σημείο Α(0,) και η εφαπτομένη της στο Α είναι παράλληλη στην ευθεία (ε): y = + 0 τότε: α) Να βρεθεί το f (0) β) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης της f στο σημείο (0, f (0)) α) Αφού η γραφική παράσταση της g διέρχεται από το σημείο Α(0,), θα ισχύει g (0) = Αφού η εφαπτομένη της συνάρτησης g στο Α(0,) είναι παράλληλη στην ευθεία (ε), τότε g (0) = g (0) = λ ε Για κάθε R είναι Άρα f (0) = e () g f = e g και για = 0, έχουμε = = = g (0) f (0) e g (0) e e β) Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f, στο σημείο της με τετμημένη 0 = 0 δίνεται από τον τύπο y = α+ βαβ,, R, () Για να την προσδιορίσουμε, αρκεί να υπολογίσουμε τους αριθμούς αβ, Ξέρουμε ότι: () A= f (0) = e, () οπότε η () από () γίνεται: y = e + β, (4) Το σημείο επαφής είναι το ( 0, (0)) g (0) A f ή A( 0, e ) ή ( 0, ) A e Επειδή το σημείο A ανήκει στην εφαπτομένη, οι συντεταγμένες του θα επαληθεύουν την εξίσωσή της (4), οπότε έχουμε: e= e 0 + β β = e Οπότε η εξίσωση της εφαπτομένης είναι y = e + e 7
28 Άσκηση Η εφαπτομένη (ε) της γραφικής παράστασης μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης f στο σημείο της M (, ) σχηματίζει με τον άξονα γωνία 0 o α) Να βρείτε την τιμή f () β) Να υπολογίσετε το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας (ε) γ) Να υπολογίσετε το όριο lim h 0 f( + h) h α) Το σημείο M (, ) ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, άρα ισχύει: f () = () β) Η ευθεία (ε) σχηματίζει με τον άξονα γωνία 0 o, άρα έχει συντελεστή διεύθυνσης o λ = f () = εϕ0 = () γ) Είναι: f( + h) f( + h) f() lim = lim = f () = h 0 h h 0 h 8
29 Άσκηση ΘΕΜΑ Γ Ένας ποδοσφαιριστής αφού τοποθετήσει τη μπάλα στο έδαφος την κλωτσά με δύναμη προς τα πάνω Η τροχιά που διαγράφει η μπάλα υποθέτουμε ότι δίνεται από τη συνάρτηση f( t) = 8t 5t (όπου t ο χρόνος σε sec) α) Να εκφράσετε την ταχύτητα της μπάλας συναρτήσει του χρόνου β) Να υπολογίσετε την ταχύτητα της μπάλας για t = sec και t = sec Πως ερμηνεύετε τα πρόσημα; γ) Σε ποια χρονική στιγμή η μπάλα ξαναβρίσκεται στο έδαφος; δ) Ποιο είναι το μέγιστο ύψος στο οποίο έφτασε η μπάλα; α) Η ταχύτητα u της μπάλας συναρτήσει του χρόνου t δίνεται από την παράγωγο της συνάρτησης f() t ut () = f'() t = (8t 5 t)' ut = 8 0t () β) Από την () για t =, έχουμε u() = 8 0 = 8 m/ sec Το θετικό πρόσημο της ταχύτητας φανερώνει ότι η μπάλα τη χρονική στιγμή t = sec κινείται στη θετική κατεύθυνση (προς τα πάνω) για t =, έχουμε u() = 8 0 = m/ sec Τo αρνητικό πρόσημο της ταχύτητας φανερώνει ότι η μπάλα τη χρονική στιγμή t = sec κινείται στην αρνητική κατεύθυνση (προς τα κάτω) γ) Η μπάλα βρίσκεται στο έδαφος όταν f() t = 0 Από την f() t = 0 8t 5t = 0 t(8 5 t) = 0, t = 0sec ή 8 5t = 0 t =, 6sec Άρα η μπάλα βρίσκεται στο έδαφος στην αρχή του χρόνου, όταν δηλαδή από, 6sec Άρα t [0,6] t = 0sec, και μετά δ) Για να βρούμε το μέγιστο ύψος στο οποίο έφτασε η μπάλα πρώτα θα βρούμε τις ρίζες της παραγώγου της συνάρτησης f Δηλαδή θα λύσουμε την εξίσωση f '( t ) = 0 8 Από την f '( t ) = 0 8 0t = 0 t = =,8sec 0 Στη συνέχεια φτιάχνουμε πίνακα προσήμων της παραγώγου λαμβάνοντας υπ όψιν ότι ο χρόνος που κινήθηκε η μπάλα ήταν από 0 έως, 6sec 9
30 Από τον πίνακα φαίνεται ότι η μπάλα έφτασε στο μέγιστo ύψος όταν ήταν f(,8) = 8(,8) 5(,8) =, 4 6, = 6, m t =,8sec και αυτό 0
31 Άσκηση Ο πληθυσμός μιας χώρας δίνεται για μια περίοδο 50 ετών από τη συνάρτηση Π(t) = - t + t χρονική στιγμή t = 0 αντιστοιχεί στην αρχή του έτους 960 (σε εκατομμύρια), όπου t [ 0,50] είναι ο χρόνος σε έτη και η α) Πόσος ήταν ο πληθυσμός στην αρχή της περιόδου και πόσος στο τέλος; β) Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του πληθυσμού στην περίοδο αυτή των 50 ετών Σε ποιο έτος προέκυψε αυτή; γ) Ποιος ήταν ο ρυθμός μεταβολής του πληθυσμού στα μέσα της χρονικής αυτής περιόδου δηλαδή όταν t = 5; α) Στην αρχή της περιόδου ( t = 0) δηλαδή το 960, ο πληθυσμός της χώρας ήταν Π(0) = = 0 εκατομμύρια κάτοικοι 00 5 Στο τέλος της περιόδου ( t = 50) δηλαδή στην αρχή του 00, ο πληθυσμός της χώρας ήταν Π(50) = = 7,5 εκατομμύρια κάτοικοι 00 5 β) Για να βρούμε τη μέγιστη τιμή του πληθυσμού βρίσκουμε πρώτα την παράγωγο της συνάρτησης Π(t) Π (t) = - t + t + 0 = t + = t +, Στη συνέχεια βρίσκουμε τις ρίζες της παραγώγου Δηλαδή λύνουμε την εξίσωση Π () = 0 00 t + = 0 t = t = = 0 έτη H παράγωγος γίνεται θετική όταν t+ > 0 t > 5t > 00 t < 0 και αρνητική όταν t > 0 Κατόπιν φτιάχνουμε πίνακα προσήμων της παραγώγου λαμβάνοντας υπ όψιν ότι η περίοδος του χρόνου κατά την οποία εξετάζουμε τη μεταβολή του πληθυσμού είναι από 0 έως 50 χρόνια, δηλαδή από το 960 έως το 00
32 Η μέγιστη τιμή του πληθυσμού προέκυψε όταν t = 0 δηλαδή, 0 χρόνια από την έναρξη της μέτρησης του χρόνου και αντιστοιχεί στην αρχή του 980 Ο πληθυσμός της χώρας τότε ήταν: Π (0) = = = = εκατομμύρια δ) Ο ρυθμός μεταβολής του πληθυσμού όταν t = 5 είναι η τιμή της παραγώγου της συνάρτησης Π(t) για t = Π '(5) = 5 + = + = + = =
33 Άσκηση Σε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρά α = 0cm εγγράφουμε ορθογώνιο ΔΕΖΗ όπως φαίνεται στο σχήμα Αν ΒΕ = α) Να εκφράσετε το εμβαδόν του ορθογωνίου ΔΕΖΗ συναρτήσει του β) Να υπολογίσετε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του ορθογωνίου όταν = γ) Να βρείτε για ποια τιμή του το εμβαδόν Ε του τριγώνου αυτού γίνεται μέγιστο δ) Ποιές είναι τότε οι διαστάσεις του ορθογωνίου και πόσο είναι το εμβαδόν του α) Αφού το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο οι γωνίες του θα είναι 60 ο Άρα εϕ60 ο Ε =, Ε = ΒΕ εϕ60 ο, Ε = ΒΕ Επειδή ΒΕ = ZΓ =, ΕΖ = 0 Πρέπει > 0 είναι τo (0,0) και επειδή ΕΖ> 0 0 > 0 0 > άρα το πεδίο ορισμού To εμβαδόν Ε του ορθογωνίου ΔΕΖΗ συναρτήσει του είναι: Ε = (0 ) = (0 ) cm β) Ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού του ορθογωνίου για = είναι Ε ' = (0 )' = 0 4 άρα Ε ' = 0 4 () Για = είναι Ε '() = 0 8 = Άρα ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού όταν = είναι Ε '() = γ) Για να βρούμε για ποια τιμή του το εμβαδόν του ορθογωνίου γίνεται μέγιστο βρίσκουμε της ρίζες της παραγώγου της συνάρτησης Ε, δηλαδή λύνουμε την εξίσωση Ε ' = 0 Από την Ε ' = = 0 = 5cm Στη συνέχεια σχηματίζουμε πίνακα προσήμων της παραγώγου, με την υπενθύμιση ότι 0 < < 0
34 Από τον πίνακα προκύπτει ότι το εμβαδόν γίνεται μέγιστο για = 5cm δ) Αφού το εμβαδόν του ορθογωνίου γίνεται μέγιστο για = 5cm, δηλαδή όταν ΒΕ = ΖΓ = 5cm, η βάση του ορθογωνίου θα είναι τότε ΕΖ = α 5 = 0 0 = 0cm, το Ε(5) 50 δε ύψος του ορθογωνίου Ε θα είναι Ε = = = 5 cm ΕΖ 0 Tο μέγιστο εμβαδόν είναι: Ε (5) = = = 50 cm 4
35 Άσκηση 4 Δίνονται οι συναρτήσεις f, g με τύπους f = + και g = I Να εξετάσετε αν οι συναρτήσεις είναι ίσες II Να βρείτε το όριο lim f III IV Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της A, f 4 4 I Οι συναρτήσεις f και g έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού, το διάστημα [ 0,+ ) Επίσης ( + ) ( ) f = = = = = g άρα f = g, II III Είναι lim f = lim = lim lim = = 0 Υπολογίζουμε την παράγωγο της συνάρτησης f και έχουμε: για > 0, f = ( ) = () =, άρα f > 0 για κάθε > 0, επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της, το διάστημα [ 0,+ ) IV Έχουμε f = = 4 4 5
36 Άρα αν ω είναι η γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της A, f 4 4, τότε ισχύει π εφ ω =, άρα ω = 4 6
37 Άσκηση 5 f = 5 + a + 4, όπου a μια πραγματική σταθερά I Να βρείτε το α ώστε ο ρυθμός μεταβολής της f ως προς να μηδενίζεται για = Δίνεται η συνάρτηση II Για a = Να βρείτε για ποια τιμή του ο ρυθμός μεταβολής της f γίνεται ελάχιστος I Ο ρυθμός μεταβολής της f είναι η παράγωγός της, = + + = +, f 5 a 4 0 a οπότε f ' = α = 0 α = II Έχουμε f = 0+, οπότε για να βρούμε σε ποιο σημείο γίνεται ελάχιστος θα πρέπει να βρούμε το ελάχιστο της f Έτσι παραγωγίζουμε την f και έχουμε: f = ( 0+ ) = 6 0 Επίσης 5 f = = 0 =, 5 5 f > > 0 > και f < < 0 < οπότε : 5 η f είναι γνησίως φθίνουσα στο, και γνησίως αύξουσα στο 5, +, άρα 5 παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο = 5 Επομένως ο ρυθμός μεταβολής της f γίνεται ελάχιστος στο = 7
38 Άσκηση 6 Δίνεται η συνάρτηση f ln ( ) = + I Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f II Να υπολογιστεί η παράγωγος της συνάρτησης f III Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα IV Να βρείτε το όριο lim f I Για να ορίζεται η f πρέπει + > 0 Όμως το τριώνυμο + έχει διακρίνουσα = ( ) 4 = 8< 0, άρα + > 0 για κάθε, επομένως το πεδίο ορισμού της f είναι όλο το II Η συνάρτηση f προκύπτει αν στη συνάρτηση h ln τη συνάρτηση g = +, δηλαδή είναι f h g παράγωγο έχουμε = αντικαταστήσουμε το με ( ) =, οπότε για την f = h g g = + = + + III Έχουμε f = 0 = 0 =, + f > 0 > 0 > + f < 0 < 0 < + (αφού + > 0 για κάθε ) και 8
39 Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (,] και γνησίως αύξουσα στο [ ) παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο =, το f = ln + = ln,+, άρα IV Ισχύει f = = =, οπότε f lim = lim = =
40 Άσκηση 7 Δίνεται η συνάρτηση f = , f α) Να υπολογιστεί το lim + 8 β) Να βρεθεί το σημείο της γραφικής παράστασης της f στο οποίο η εφαπτομένη έχει τον ελάχιστο συντελεστή διεύθυνσης α) Παραγοντοποιούμε την f( ) με τη βοήθεια του διπλανού σχήματος Horner και έχουμε: ( + ) ( + + 6) lim + 8 ( + ) ( + 4) f = και f lim = = ( ) = lim = = = + 4 ( ) ρ = β) Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f σε M, f( ), δίνεται από τον τύπο f = + 0+, οποιοδήποτε σημείο Συμβολίζουμε με λ = + 0+, τη συνάρτηση που εκφράζει το συντελεστή διεύθυνσης και μελετάμε τα ακρότατα της Η παράγωγος της συνάρτησης λ είναι λ = 6+ 0, 5 λ = = 0 = 5 λ > > 0 > Η μονοτονία και τα ακρότατα της λ φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Από τον παραπάνω πίνακα προκύπτει ότι η συνάρτηση λ : 40
41 Είναι γνησίως αύξουσα στo Είναι γνησίως φθίνουσα στο 5, + 5, Είναι Έχει ελάχιστο για 5 = f = = = = Άρα ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f γίνεται ελάχιστος στο σημείο 5 5 M, f, δηλαδή στο 5 4 M, 7 4
42 Άσκηση 8 Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f = + α β+, και α, β, στο σημείο της Μ,, είναι παράλληλη στον άξονα, ' τότε: α) Να δείξετε ότι α = και β = 6 β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα f γ) Να υπολογίσετε το όριο lim f ( ) + 6 α) Η παράγωγος της f είναι η f = + α β, Το σημείο Μ, ανήκει στη γραφική παράσταση της f, άρα f ( ) = + α + β + = α + β = 9 () Αφού η εφαπτομένη στο σημείο Μ,, είναι παράλληλη στον άξονα, ' θα ισχύει f = 0 α β = 0 α + β = () Αν λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων () και () προκύπτει β = 6 και α = β) Αντικαθιστώντας τα α και β από το α) ερώτημα είναι f = 6+, και f = 6, f = 0 6= 0 = 0 = ή = f > 0 6> 0 > 0 () Το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: Άρα η ανίσωση () αληθεύει για < ή > Το ίδιο ισχύει και για την f > 0 Η μονοτονία και τα ακρότατα της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: 4
43 Από τον παραπάνω πίνακα προκύπτει ότι η f : Είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα (, ] και [, + ) Είναι γνησίως φθίνουσα στο [, ] Έχει τοπικό μέγιστο το f ( ) = ( ) ( ) 6 ( ) + = + 6+ = 7 = και τοπικό ελάχιστο το f = 6 + = = γ) Παραγοντοποιούμε την f = 6+ =, με τη βοήθεια του διπλανού σχήματος Horner και έχουμε: ( ρ = ) f = Τότε είναι: f ( + ) ( 7+ ) ( + ) ( 7+ ) lim = lim = lim = f () lim = = = = ( ) 4
44 Άσκηση 9 λ Θεωρούμε τη συνάρτηση f = e +, και λ α) Να βρείτε τις f και f () β) Να υπολογίσετε τις τιμές του λ για τις οποίες ισχύει f () + f f =, για κάθε γ) Για τη μικρότερη από τις τιμές του λ που βρήκατε στο β) ερώτημα, να μελετήσετε τη μονοτονία και τα ακρότατα της f λ f = e + = λe +, και λ α) Είναι ( λ ) f e λ λ = λ λ = λ e, β) Για κάθε, ισχύει + f f = λ e + λe + e + = λ λ λ f () λ e 0 λ λ λ λ λ e + λe + e = λ + λ e = 0 λ + λ = 0 λ = ή λ = γ) Για λ =, έχουμε f = e +, και f = e +, ln f = 0 e + = 0 e = = ln = ln = f > 0 e + > 0 e > e < ln e < < ln < ln > Η μονοτονία και τα ακρότατα της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: 44
45 Από τον παραπάνω πίνακα προκύπτει ότι η συνάρτηση f : ln Είναι γνησίως φθίνουσα στο, Είναι γνησίως αύξουσα στο ln, + Έχει ελάχιστο το ln ln ln ln ln ln f = e + = e + = + = ln + 45
46 Άσκηση 0 Έστω η συνάρτηση f με τύπο = α + β + γ, με αβγ,, και α 0 f α) Να βρείτε τις τιμές των αβγ,,, ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης f να διέρχεται από το σημείο Α(, ) και η κλίση της εφαπτομένης της καμπύλης της f στο σημείο της Β(,0) να είναι ίση με 4 β) Για α =, β = 4 και γ = 0, υπολογίστε το όριο lim f + f ' 4 α) Αφού η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο A(, ), θα ισχύει f () = α + β + γ = () Επίσης το ίδιο θα ισχύει και για το σημείο B (,0), δηλαδή f () = 0 4α + β + γ = 0 () Αφού η κλίση της εφαπτομένης της καμπύλης στο Β (,0) είναι ίση με 4 θα ισχύει f '() = 4 Για κάθε, έχουμε f ' = α+ β Άρα f '() = 4 4α + β = 4, () Αφαιρώντας την () από την () έχουμε α + β = (4) Λύνοντας το σύστημα των () και (4) βρίσκουμε: α = και β = 4, οπότε από την () προκύπτει 4+ γ = γ = 0 β) Για α =, β = 4 και γ = 0 ο τύπος της συνάρτησης είναι: κάθε, έχουμε f ' = 4 4 Τότε f 4 = και για f + f + + lim = lim = lim = lim = lim ' ( 4) ( )( + )( + ) ( )( + )( + ) = lim = lim ( )( + ) = lim[( + )( + )] = 4 = 6 46
47 Άσκηση Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο α) Βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης λ σημείο της Μ (, f) f = της εφαπτομένης της καμπύλης της f σε κάθε β) Για ποια τιμή του, ο συντελεστής διεύθυνσης λ γίνεται ελάχιστος; f( + h) f( ) γ) Υπολογίστε το όριο lim h 0 h δ) Βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της με τετμημένη 0 = Επειδή η συνάρτηση f είναι πολυωνυμική,το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο Α= α) Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της καμπύλης της f σε κάθε σημείο της Μ (, f) είναι ο παράγωγος αριθμός f '( ), οπότε έχουμε f ' = ( )' = ' + ( )' (6 )' + (0)' = = λ β) Ζητάμε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση λ = + 6 6, έχει ελάχιστο Έχουμε λ = + = + ' ( 6 6) ' 6 6 Λύνουμε την εξίσωση 6 6 f() Η μονοτονία και τα ακρότατα της λ φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: 47
48 Από τον παραπάνω πίνακα προκύπτει ότι η λ : Είναι γν φθίνουσα στο (, ] Είναι γν αύξουσα στο [, ), αφού 0 +, αφού 0 Έχει ελάχιστο στο =, το λ( ) = 9 λ < για κάθε (, ) λ > για κάθε (, + ) f( + h) f( ) γ) Από τον ορισμό της παραγώγου μιας συνάρτησης f έχουμε = f h f( + h) f( ) Έτσι έχουμε lim = f '( ) = = 9 h 0 h 0 0 lim '( 0) h 0 δ) Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f, σε σημείο της με τετμημένη 0 = δίνεται από τον τύπο y = α+ β, αβ,, () Για να την προσδιορίσουμε, αρκεί να υπολογίσουμε τους αριθμούς αβ, ( γ ) Ξέρουμε ότι: α = f ( ) = 9, () οπότε η () από () γίνεται: y = 9+ β, () Το σημείο επαφής είναι το Α (, f ( )) ή Α (,09) Επειδή το σημείο Α ανήκει στην εφαπτομένη, οι συντεταγμένες του θα επαληθεύουν την εξίσωσή της (), οπότε έχουμε: 09 = 9 + β β = 00 Οπότε η εξίσωση της εφαπτομένης είναι y =
49 Άσκηση Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f = αln + β, > 0 και αβ>, 0 α) Βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της με τετμημένη 0 = β) Βρείτε τα σημεία Α και Β που η εφαπτομένη τέμνει τους άξονες ' και y' y γ) Βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ δ) Αν β είναι μέγιστο = ( α ), βρείτε το α ώστε το εμβαδόν ( α) Ε του παραπάνω τριγώνου να Πρέπει > 0, άρα η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το σύνολο Α = (0, + ) α) Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f, σε σημείο της με τετμημένη = δίνεται από τον τύπο y = κ+ λκλ,, () 0 Η συνάρτηση f έχει παράγωγο την f ' = ( αln + β)' = α(ln )' + β' = α + β Για να την προσδιορίσουμε, αρκεί να υπολογίσουμε τους αριθμούς κλ, Ξέρουμε ότι: y = f '() = α + β, () οπότε η () από () γίνεται: Το σημείο επαφής είναι το A, f() ήa, β Επειδή το σημείο Α ανήκει στην εφαπτομένη, οι συντεταγμένες του θα επαληθεύουν την εξίσωσή της (), οπότε έχουμε: β = ( α + β) + λ λ = α Οπότε η εξίσωση της εφαπτομένης είναι y = α + β α β) Το σημείο τομής της ευθείας y = α + β α με τον άξονα yy βρίσκεται αν θέσουμε, όπου = 0 Το σημείο τομής της ευθείας y = α + β α με τον άξονα βρίσκεται αν θέσουμε όπου y = 0 άρα 0 = α ( α + β) α ( α + β) = α =, α β 0 α + β +, ( α + β > 0 επειδή αβ>, 0) οπότε έχουμε το σημείο A( α,0) α + β ( α β) λ, y = + + άρα y = ( α + β )0 α y = α οπότε έχουμε το σημείο Β ( 0, α ) 49
50 γ) Το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ορθογώνιο με τη γωνία Ο= ˆ 90, οπότε το εμβαδόν του τριγώνου α α ( ΟΑ)( ΟΒ ) α + β α ΟΑΒ = = = α και επειδή αβ>, 0 α + β θα έχουμε ΟΑΒ = δ) Για β α ( α + β) = ( α ),το εμβαδόν ΟΑΒ γίνεται Για κάθε α > 0 είναι α α α ΟΑΒ = = = + + α + ( α α + ) α ( α ) α α α ( α ) '( α α + ) α ( α α + ) ' Ε '( α) = ( ) ' = = α α + ( α α + ) ( + ) ( ) + ( α α + ) ( α α + ) α α α α α α α = = Έχουμε α + α Ε = = + = = = ( α α + ) '( α) 0 0 α α 0 α( α) 0 α 0 ή α = Επίσης ' Ε α > α + α > < α < Η μονοτονία και τα ακρότατα φαίνονται στον παρακάτω πίνακα Άρα το εμβαδόν Ε ( α) παρουσιάζει μέγιστο για α = 50
51 Άσκηση Μία βιομηχανία παράγει ηλιακούς θερμοσίφωνες Το κόστος Κ σε ευρώ για την παραγωγή προϊόντων σε μία ημέρα δίνεται κατά προσέγγιση από τον τύπο Κ = , [ 0,50] Αν οι εισπράξεις από την πώληση των προϊόντων δίνονται από τη σχέση Ε = 00, να βρείτε: α) Πόσο είναι το ημερήσιο κόστος αν η βιομηχανία δεν παράγει κανένα προϊόν β) Ποιο είναι το μέγιστο κόστος παραγωγής γ) Το συνολικό αριθμό των προϊόντων που πρέπει να πουληθούν ώστε η βιομηχανία να έχει το μέγιστο κέρδος α) Αν η βιομηχανία δεν παράγει κανένα προϊόν θα έχουμε = 0 προϊόντα, οπότε θα έχουμε 0 Κ (0) = = 00 ευρώ β) Η παράγωγος της Κ = με [ 0,50] είναι K' = (50 )' + (00)' ( )' = 50 = 50 0 K = 50 = 0 = 50 = 50 = 5 = 5 0,50 K > 0 50 > 0 < 50 0 < 50 0 < 5 0 [ ] Η μονοτονία και τα ακρότατα της Κ φαίνονται στον παρακάτω πίνακα 5
52 Από τον παραπάνω πίνακα προκύπτει ότι η K : Είναι γνησίως αύξουσα στο [0,5 ], γιατί K 0 Είναι γνησίως φθίνουσα στο [5,50], γιατί K 0 Έχει μέγιστο το > για κάθε ( 0,5 ) < για κάθε ( 5,50) (5 ) K (5 ) = = = 00 Άρα το μέγιστο συνολικό κόστος είναι και πραγματοποιείται όταν = 5 γ) Το κέρδος δίνεται από τη συνάρτηση P =Ε Κ = 00 ( ) = = Η παράγωγος της P = με [ 0,50] είναι 6 00 P = (50 ) ( ) (00) = = P = = 0 = 00 = 0 [ 0,50] Η μονοτονία και τα ακρότατα της Pφαίνονται στον παρακάτω πίνακα 5
53 Από τον παραπάνω πίνακα προκύπτει ότι η P : Είναι γνησίως αύξουσα στο[0,0], αφού P > 0 για κάθε (0,0) Είναι γνησίως φθίνουσα στο[0,50] αφού P < 0 για κάθε (0,50) Έχει μέγιστο το P(0) = = = 400 = = 6 Άρα το μέγιστο συνολικό κέρδος είναι 700 και πραγματοποιείται όταν 0 = 5
54 Άσκηση 4 Δίνεται η συνάρτηση f : R R, η οποία ικανοποιεί τη σχέση f( + h) f() = h + 8h για κάθε h R α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0 = με f '() = 8 β) Αν f (4) = 4, τότε: i) Να αποδείξετε ότι f () = 5 ii) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο της με τετμημένη 0 = α) Για κάθε h 0 έχουμε: f( + h) f() h + 8 h hh ( + 8) = = = h + 8 h h h Είναι: f( + h) f() lim = lim( h + 8) = 8 h 0 h h 0 Άρα η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0 = με f '() = 8 β) i) Η δοθείσα σχέση ισχύει για κάθε h άρα θα ισχύει και για h =, οπότε έχουμε: f (4) = 4 ( ) () 8 (4) () 9 4 () 9 () 5 f + f = + f f = f = f = ii) Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της με τετμημένη = έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = f () = 8 0 Άρα η εξίσωση της εφαπτομένης είναι της μορφής y = 8+ β Επειδή η εφαπτομένη διέρχεται από το σημείο Μ (, f ()), δηλαδή από το M (,5), ισχύει η σχέση 5 = 8 + β, οπότε β = 9 Άρα η εξίσωση της ζητούμενης εφαπτομένης είναι y =
55 ΘΕΜΑ Δ Άσκηση Δίνεται η συνάρτηση f = α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της στο σημείο Α (9, f (9)) της C f β) Aν η εφαπτομένη τέμνει τους άξονες στα σημεία Β και Γ να υπολογίζετε το μήκος της ΒΓ γ) Από το σημείο Α φέρνουμε κάθετη στον άξονα ' η οποία τον τέμνει στο σημείο Δ Να βρείτε το σημείο της καμπύλης y = το οποίο είναι το πλησιέστερο στο σημείο Δ α) Η συνάρτηση f ορίζεται όταν 0 Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι: Α = [0, + ) Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο της Α (9, f (9)) είναι η παράγωγος της συνάρτησης f στο σημείο 0 = 9 Η παράγωγος της συνάρτησης f = είναι: f = ( ) = για κάθε > 0 () Για = 9 από την () έχουμε: f (9) = = 9 Άρα ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης στο σημείο Α (9, f (9)) είναι λ = Η εφαπτομένη έχει εξίσωση y = + β Επειδή όμως το σημείο Α(9, f (9)) ανήκει στην εφαπτομένη και y = f(9) = 9 = 9, έχουμε: 9 9= 9+ β όπου β = 9 9= Άρα η εξίσωση της εφαπτομένης είναι: 9 y = + β) Από την εξίσωση της εφαπτομένης - για = 0 έχουμε 9 9 y = 0 + = - για y = 0 έχουμε = +, =, = 9 Άρα η εξίσωση της εφαπτομένης τέμνει τους άξονες στα σημεία Γ ( 9,0) Το μήκος της ΒΓ είναι: 9 Β (0, ) και 55
56 ΒΓ = ( 9) + = 8+ = = 4 4 γ) Η κάθετη από το Α στον άξονα τον τέμνει στο σημείο (9,0) Έστω Ε το σημείο της καμπύλης y =, 0 το οποίο είναι το πλησιέστερο στο σημείο Δ Επειδή το σημείο Ε ανήκει στην καμπύλη είναι Ε (, ) Έχουμε ( Ε ) = ( 9) + ( 0) = = 9+ 8 Για να βρούμε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση d = 9+ 8 έχει ελάχιστο, βρίσκουμε πρώτα την παράγωγό της Είναι: 9 d = ( 9+ 8) = 9+ 8 Κατόπιν μηδενίζουμε την παράγωγο Έχουμε: 9 d = 0 9= 0 = Στη συνέχεια κατασκευάζουμε πίνακα προσήμων της d 9 από τον οποίο έχουμε ότι η d παρουσιάζει ελάχιστο στο = Άρα το πλησιέστερο σημείο της καμπύλης στο σημείο Δ του οριζόντιου άξονα 9 είναι το E (,9 ) 56
57 Άσκηση Δίνεται η συνάρτηση f = λ + ( µ ), Αν η εφαπτομένη ευθεία στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f στο σημείο Α(, 4) είναι παράλληλη στην ευθεία y = 5 6 α) Nα βρεθούν οι τιμές των πραγματικών αριθμών λµ, β) Για λ = και µ = να βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης α) Αφού το σημείο Α(, 4) είναι σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f οι συντεταγμένες του θα την επαληθεύουν οπότε θα είναι: f () = 4 λ + ( µ ) = 4 4λ + µ = 4 4λ + µ = 8 () Αφού η εφαπτομένη ευθεία στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f στο σημείο Α (, 4) είναι παράλληλη στην ευθεία y = 5 6 οι δύο ευθείες θα έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της καμπύλης C f είναι η παράγωγος της συνάρτησης στο σημείο 0 = άρα λ = f () = 5 f = λ + ( µ ) f = λ + µ f () = λ + µ f () = 5 4λ + µ = 6 () Από τις () και () προκύπτει ότι: 4λ + µ = 8 4λ + µ = 8 µ = 4λ + µ = 6 4λ µ = 6 λ = β) Αν λ = και µ = τότε η συνάρτηση f γίνεται: f = + ( ) f = + και f = + Για να βρούμε τα ακρότατα της συνάρτησης f πρώτα βρίσκουμε τις ρίζες τις παραγώγου δηλαδή λύνουμε την εξίσωση f = 0 + = 0 = Η παράγωγος γίνεται θετική όταν f > 0 > και f < 0 < και αρνητική όταν < Στη συνέχεια διαμορφώνουμε πίνακα προσήμων της παραγώγου 57
58 Από τον πίνακα φαίνεται ότι η συνάρτηση για f ( ) = ( ) + ( ) = = = έχει ελάχιστο το 58
59 Άσκηση Ο διευθυντής μιας θεατρικής παράστασης έχει διαπιστώσει ότι όταν η τιμή του εισιτηρίου είναι 8 ευρώ τότε την παράσταση τη βλέπουν την παράσταση 500 θεατές την εβδομάδα Κάθε φορά που το εισητήριο μειώνεται κατά 0,50 ευρώ την εβδομάδα οι θεατές αυξάνονται εβδομαδιαίως κατά 50 α) Να δείξετε ότι ο αριθμός των θεατών ως συνάρτηση της τιμής του εισιτηρίου είναι f = β) Πόσο πρέπει να είναι το εισιτήριο ώστε το θέατρο να έχει τη μέγιστη δυνατή είσπραξη την εβδομάδα; γ) Πόσοι θεατές παρακολουθούν τότε την παράσταση και πόσα ευρώ είναι μεγαλύτερη η είσπραξη τότε από την είσπραξη όταν το εισιτήριο είναι 8 ευρώ; α) Αν η μείωση του εισιτηρίου γίνει α φορές το ποσό των 0,5ευρώ, τότε η τιμή του 8 εισιτηρίου θα είναι = 8 0,50 α α =, 0,5 Οι θεατές θα είναι α και από την σχέση () θα έχουμε ότι το πλήθος των θεατών 8 θα είναι f = = ( 8 ) 00 = = ,5 β) Επειδή: Είσπραξη = (αριθμός θεατών) (τιμή εισιτηρίου) H είσπραξη του θεάτρου είναι: Ε = f = (00 00 ), Ε = Για να βρούμε πότε η είσπραξη γίνεται μέγιστη πρώτα θα βρούμε την παράγωγο της συνάρτησης Ε Ε = (00 00 ) = Στη συνέχεια βρίσκουμε τις ρίζες της παραγώγου, δηλαδή λύνουμε την εξίσωση Ε = 0 = 6,5 Η παράγωγος γίνεται θετική όταν 00 00> 0 < 6,5 και αρνητική όταν > 6,5 Κατόπιν φτιάχνουμε πίνακα προσήμων της παραγώγου με την υπενθύμιση ότι η τιμή του εισιτηρίου κυμαίνεται από 0 έως 8 ευρώ Από τον πίνακα φαίνεται ότι είσπραξη γίνεται μέγιστη όταν η τιμή του εισιτηρίου είναι 6, 5 ευρώ 59
60 γ) Η είσπραξη είναι τότε Ε (6,5) = 00 6,5 00 6,5 = = 45ευρώ Την παράσταση την παρακολουθούν τότε 45: 6,5 = 650 θεατές την εβδομάδα Όταν η τιμή του εισιτηρίου είναι 8 ευρώ την παράσταση παρακολουθούν 500 θεατές και η είσπραξη είναι: Ε (8) = = 4000 ευρώ Άρα η είσπραξη όταν το εισιτήριο είναι 6,5 ευρώ είναι 5 ευρώ μεγαλύτερη απ αυτή όταν το εισιτήριο είναι 8 ευρώ 60
61 Άσκηση4 Δίνεται η συνάρτηση σταθερά f = λ με πεδίο ορισμού το και λ μια πραγματική i Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της A, f παράλληλη στην ευθεία με εξίσωση y = +, τότε α) να υπολογίσετε το λ β) να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης ii Αν λ =, τότε α) να βρείτε τα σημεία που η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες β) να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα f γ) να υπολογίσετε το όριο lim i f = = λ + 5 α) Η παράγωγος της συνάρτησης f είναι ( λ ) Αφού η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της A, f είναι είναι παράλληλη στην ευθεία με εξίσωση y = +, ισχύει f ( ) = 4λ+ 5= λ = β) Η εφαπτομένη έχει συντελεστή διεύθυνσης, άρα θα έχει εξίσωση y = + β Επίσης το A, f ανήκει και στην εφαπτομένη, που σημαίνει ότι οι συντεταγμένες σημείο επαφής του θα επαληθεύουν την εξίσωσή της και f = =, άρα = + β β = 0 Επομένως η εξίσωση της εφαπτομένης είναι: y = ii α) Για να βρούμε σε ποια σημεία τέμνει η γραφική παράσταση της f τον άξονα, λύνουμε την εξίσωση: f = = 0 = ή = 4 στα σημεία A(,0) και ( 4,0) τον τέμνει στο σημείο Γ ( 0,4) αφού άρα τέμνει τον άξονα Τον άξονα yy β) Έχουμε f = + 5, οπότε 5 f = 0 =, 5 f > 0 > και 5 f < 0 < B f 0 = 4 6
62 5 Επομένως η f είναι γνησίως φθίνουσα στο, και γνησίως αύξουσα στο 5, +, άρα παρουσιάζει στο = ολικό ελάχιστο το f = 4 γ) Έχουμε f ( + ) ( + 4) ( ) lim = lim = lim = ( + 5 ) ( + 5+ ) ( + ) ( + 4) ( ) lim = lim ( + )( ) = 6 4 ( + 4) 4 6
63 Άσκηση 5 λ Δίνεται η συνάρτηση µ, f = e + e όπου ο αριθμός λ είναι το όριο αριθμός µ η ελάχιστη τιμή της συνάρτηση g = ln, > 0 I Να υπολογίσετε τους αριθμούς λ και µ + lim 0 και ο II Να δείξετε ότι η συνάρτηση f δεν έχει ακρότατα III Να δείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο A 0, f ( 0) είναι παράλληλη στην εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της g στο σημείο (, g( e )) B e I Έχουμε ( ) ( + ) lim 0 lim = lim = lim = = 0 0 ( ) 0 lim( ) 0 Επίσης g = ( ln ) = ln + ( ln ) = ln Ισχύει g = 0 ln = 0 = ln =, ln γν αύξουσα g < 0 ln < 0 ln < ln 0 < < και ln γν αύξουσα g > 0 ln > 0 ln > ln >, άρα λ = Επομένως η g είναι γνησίως φθίνουσα στο ( 0, ] και γνησίως αύξουσα στο [,+ ), άρα παρουσιάζει στο = ολικό ελάχιστο το f = e e, οπότε II Η συνάρτηση f γίνεται g =, άρα µ = f ( e e ) ( e ) ( e ) e e e e ( e e ) 0, άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το, οπότε δεν έχει ακρότατα = = = = = + < για κάθε III Έστω λ ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο A 0, f ( 0) και λ αντίστοιχα της γραφικής παράστασης της g στο σημείο (, g( e )) B e Για να είναι παράλληλες οι εφαπτόμενες αρκεί να δείξουμε ότι λ = λ Έχουμε 0 0 λ = f ( 0) = e e = και ( λ ) ( = g e = ln e ) = Άρα λ = λ, οπότε αποδείχτηκε 6
64 Άσκηση 6 Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο = με I Να βρείτε την τιμή f lim f ( + ) = =, () II Αν επιπλέον η f είναι παραγωγίσιμη στο με f ( ) ( ) ( 4) α) να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο (, ) A f, β) να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να δείξετε ότι η συνάρτηση f έχει δύο τοπικά ελάχιστα και ένα τοπικό μέγιστο γ) Να δείξετε ότι η γραφική παράστασή της f έχει τρία σημεία όπου η εφαπτομένη είναι οριζόντια I Έχουμε II lim ( + ) ( + ) ( + + ) lim ( ) ( + + ) f f = = lim ( ) f f lim f = lim = lim f άρα = lim f = και επειδή η f είναι συνεχής στο = έχουμε f f, = lim = α) Είναι f = ( ) ( ) ( 4) = 6, οπότε η εξίσωση της εφαπτομένης έχει τη μορφή y = 6+ β () και το σημείο επαφής A έχει συντεταγμένες A (,) οι οποίες επαληθεύουν την εξίσωση (), άρα = 6+ β β = 8, επομένως η () γίνεται y = 6+ 8 β) Σχηματίζουμε το πινακάκι προσήμου για την f 64
65 Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα (,] και [ ] στα [, ] και [ 4,+ ), οπότε έχει δύο τοπικά ελάχιστα τα f και ( 4) μέγιστο το f ( ),4 και γνησίως αύξουσα f και ένα τοπικό γ) Για να βρούμε σε ποια σημεία της γραφικής παράστασης της f η εφαπτομένη είναι οριζόντια, αρκεί να βρούμε σε ποια σημεία μηδενίζεται η παράγωγος, έτσι: f = 0 4 = 0 ( = ή = ή = 4 ) Άρα στα σημεία B, f, Γ, f ( ) και 4, f ( 4) παράστασης της f είναι οριζόντιες η εφαπτόμενες της γραφικής 65
66 Άσκηση 7 + Δίνεται η συνάρτηση f() =, e α) Να υπολογίσετε τις f () και f () β) Να δείξετε ότι f () f () = f() γ) Να δείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f, στο σημείο της A ( α,f( α )) είναι η ευθεία α α +α+ ε :y= + α α e e δ) Να βρείτε την τιμή του α> 0, για την οποία η τεταγμένη του σημείου τομής της εφαπτομένης του (γ) ερωτήματος, με τον άξονα y y είναι μέγιστη α) Είναι ( + ) e ( + ) ( e ) e ( + ) e e ( ) f () = = = =, e e e e e ( e ) e e e ( ) και f () = = = =, e e e e + + β) Έχουμε f () f () = = = = f() e e e e γ) Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της A ( α,f( α )), α είναι ε :y=λ +β () α α Είναι λ= f( α ) = Έτσι η () γίνεται ε :y= +β () e α Επίσης το σημείο A (,f) e α α α ανήκει στην ε, άρα ισχύει: α α+ α α +α+ f( α ) = α+β = +β β= α α α α e e e e α α +α+ Τελικά η σχέση () γίνεται ε :y= + α α e e δ) Στην εξίσωση της εφαπτομένης θέτουμε 0 α α +α+ α +α+ y= 0+ = α α α e e e = και βρίσκουμε Άρα η τεταγμένη του σημείου τομής της εφαπτομένης με τον άξονα y y είναι ίση με α +α+ e α 66
67 Θεωρούμε τη συνάρτηση g( α ) =, α> 0 α +α+ e α 0,+ Το πεδίο ορισμού της g είναι το ( α ) ( α α +α+ e α +α+ ) ( e ) Η παράγωγος της g είναι g( α ) = = α e α ( α ) ( α α+ e α +α+ e α+ α α ) e α + α = = =, α> 0 α α α e e e α + α α> g( α ) = 0 = 0 α +α= 0 α( α ) = 0 0 α= 0 α= α e α + α α> g α> α > > α +α> α α > α> 0 0 0<α< α e Η μονοτονία και τα ακρότατα της g φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Από τον παραπάνω πίνακα προκύπτει ότι η συνάρτηση g(α) : Είναι γνησίως αύξουσα στo ( 0, ] Είναι γνησίως φθίνουσα στο [, + ) Έχει μέγιστο για α= Άρα η τεταγμένη του σημείου τομής της εφαπτομένης με τον άξονα y y γίνεται μέγιστη όταν α= 67
68 Άσκηση 8 = 4 α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f β) Να βρεθεί το σημείο της γραφικής παράστασης της f στο οποίο η εφαπτομένη σχηματίζει με π τον άξονα, γωνία ω= 4 γ) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα Δίνεται η συνάρτηση f () ln ( ) δ) Να δείξετε ότι 4 4 e, για κάθε > α) Πρέπει > 0 > Άρα το πεδίο ορισμού της f είναι το (, + ) β) Έστω A( 0,f( 0) ) το ζητούμενο σημείο της γραφικής παράστασης της f Η παράγωγος της f είναι + + ( ) ( ) f () = = = =, > Επειδή η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α σχηματίζει με τον άξονα π, γωνία ω=, θα ισχύει 4 0 > π f ( 0) =εφ = = > 0 0 0( 0 ) 0 = 0 = 0 = 9 9 Επίσης έχουμε f () = ln Άρα το ζητούμενο σημείο είναι το A, ln γ) Από το β) ερώτημα έχουμε f () =, > ( ) + + > f () = 0 = = 0, η οποία έχει ρίζες = ή = Όμως ξέρουμε ότι >, οπότε μόνο η = είναι δεκτή + + > f () > 0 > > 0 () Το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: 68
69 Άρα η ανίσωση () αληθεύει για < < () Όμως ξέρουμε ότι > () Από τη συναλήθευση των () και () προκύπτει ότι η ανίσωση f () > 0 αληθεύει για < < Η μονοτονία και τα ακρότατα της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Από τον παραπάνω πίνακα προκύπτει ότι η f: Είναι γνησίως αύξουσα στο (, ] Είναι γνησίως φθίνουσα στο [,+ ) Έχει μέγιστο το 4 f = ln = 4 δ) Αφού η f παρουσιάζει μέγιστο το f =, θα ισχύει f f() ln( ) ln( ) επειδή ln γν αυξ ln ( ) ln ( ) ln e e, για κάθε > 4 69
70 Άσκηση 9 Δίνεται η συνάρτηση f() = +κ,, κ Αν η εφαπτομένη ε της γραφικής παράστασης στο σημείο με τεταγμένη 4, είναι παράλληλη στον άξονα, ' τότε: α) Να δείξετε ότι κ= 4 και να βρείτε την εξίσωση αυτής της εφαπτομένης β) Να δείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης ε της γραφικής παράστασης της f σε οποιοδήποτε σημείο της Α( α,f( α )), με α> 0 είναι η y= α α 4 γ) Αν η εφαπτομένη ε τέμνει την ε στο σημείο Β και τον άξονα στο Γ, να δείξετε ότι το εμβαδόν του σχηματιζόμενου τραπεζίου ΟΓΒΔ (όπου (0, 4) ), δίνεται από τον τύπο α + 4 Εα =, α> 0 α δ) Να βρεθεί το σημείο Α της γραφικής παράστασης της f για το οποίο το εμβαδό Εα γίνεται ελάχιστο α) Η παράγωγος της f είναι f () =, Έστω Μ(, 0 4), το σημείο επαφής Επειδή η εφαπτομένη στο σημείο Μ είναι παράλληλη στον άξονα, ισχύει f ( 0) = 0 0 = 0 0 = 0 Το σημείο Μ( 0, 4), ανήκει στη γραφική παράσταση της f, άρα ισχύει 4= 0 +κ κ= 4 Επειδή η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον άξονα και διέρχεται από το Μ, θα είναι ε :y= 4 β) Η μορφή της εξίσωσης της εφαπτομένης είναι y=λ +β () όπου λ= f( α ) = α Άρα η () γίνεται y= α +β () Επειδή το σημείο Α( α,f( α )) ανήκει σε αυτήν, έχουμε α 4= α α+β β= α 4 Τελικά η ζητούμενη ευθεία είναι η ε :y= α α 4 γ) Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της f, η εφαπτομένη στο σημείο Α και το τραπέζιο ΟΓΒΔ Στην εξίσωση της ε, θέτω y= 0 και προκύπτει α> 0 α + 4 0= α α 4 = α Άρα η ε τέμνει τον άξονα στο σημείο Γ 4,0 α α + 70
71 Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων των ε και ε και προκύπτει y= α α 4 4= α α 4 y= 4 y= 4 α α α α = 0 = = α y= 4 y = 4 α Άρα οι ευθείες ε και ε τέμνονται στο σημείο B, 4 ( ΟΓ ) + ( Β ) Το εμβαδόν του ζητούμενου τραπεζίου ΟΓΒΔ είναι Ε = ( Ο ), δηλαδή είναι α + 4 α + α + 4 α + 4 Ε( α ) = α 4= 4 =, α> 0 4α α δ) Η παράγωγος της συνάρτησης Εα είναι α + 4 α α + 4 α 4α α 4 α 4 Ε ( α ) = = =, α> 0 α α α α 4 α > 0 α> 0 Ε ( α ) = 0 = 0 α 4= 0 α = α= α α 4 α > 0 α> 0 Ε ( α ) > 0 > 0 α 4> 0 α > α > α> α Η μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης Εα φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Από τον παραπάνω πίνακα προκύπτει ότι η Εα : Είναι γνησίως αύξουσα στο, + ) Είναι γνησίως φθίνουσα στο (0, Έχει ελάχιστο για α= Είναι f = 4= 4= 7
72 Άρα το εμβαδόν του τραπεζίου γίνεται ελάχιστο αν φέρουμε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης στο σημείο της A(, ) 7
73 Άσκηση 0 Δίνεται η συνάρτηση f = ( ) ( ), α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα β) Να βρείτε το σημείο της γραφικής παράστασης C f της συνάρτησης f, στο οποίο η εφαπτομένη της έχει το μέγιστο συντελεστή διεύθυνσης γ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο της με τετμημένη 0 = f + δ) Να υπολογίσετε το όριο lim + α) Για κάθε είναι: f () = ( )( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( )( ) = 6( )( ) [ ] Είναι: f = 0 6( )( ) = 0 = ή = f > 0 6( )( ) > 0 < < f () = και f () = 0 Επομένως: Η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (,] Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα, [ ] [ ) Η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα,+ Η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο για = με τιμή f () = Η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο για = με τιμή f () = 0 7
74 β) Αναζητούμε την τιμή του για την οποία η συνάρτηση λ = f = 6( )( ) παρουσιάζει ολικό μέγιστο Για κάθε είναι: λ = f = [ 6( )( )] = 6( ) 6( ) = = + 8 = 6( ) Είναι: λ = 0 6( ) = 0 = λ > 0 6( ) > 0 < 0 < Άρα ο συντελεστής διεύθυνσης λ γίνεται μέγιστος για = Είναι f = ( ) ( ) = = 4 Επομένως το ζητούμενο σημείο είναι το Μ (, f ), δηλαδή το Μ(, ) γ) Η εφαπτομένη τηςc f στο σημείο της με τετμημένη 0 = έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = f = 6 ( ) ( ) = 6 ( ) = Άρα η εξίσωση της εφαπτομένης είναι της μορφής y = + β Επειδή η εφαπτομένη διέρχεται από το σημείο Μ (, f ), δηλαδή από το Μ(, ), ισχύει η σχέση = + β, οπότε β = 4 Άρα η εξίσωση της ζητούμενης εφαπτομένης είναι y = 4 74
75 δ) Είναι: f + = ( ) ( ) ( ) = ( )[( ) ] = ( )( )( ) + = ( )( ) Για (,) (, ) είναι: f + ( )( )( ) ( )( )( ) = = = ( ) = + ( )( ) ( )( ) f Άρα lim + = lim( ) = + 75
76 Άσκηση * Δίνεται η συνάρτηση f = αe, α f * α) Να αποδείξετε ότι f = για κάθε β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία για τις διάφορες τιμές του α * γ) Να αποδείξετε ότι f '' = f για κάθε 4 δ) Αν α > 0 να βρείτε σε ποιο σημείο 0 > 0 η γραφική παράσταση C f της συνάρτησης f, έχει το μέγιστο συντελεστή διεύθυνσης * α) Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι Α= * Για κάθε είναι: f f = αe ( ) = αe = f = f * Άρα f = για κάθε () β) Για κάθε * είναι e > 0, οπότε: (Στο html να γίνει εκθέτης) αν α > 0 είναι f( ) > 0άρα και f > 0 αν α < 0 είναι f( ) < 0άρα και f < 0 Επομένως: αν α > 0 τότε η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα (,0) και ( 0, + ) αν α < 0 τότε η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα σε καθένα από τα διαστήματα και 0, + (,0) * γ) Για κάθε είναι: f () f f f f f f = = = = f ( ) * Άρα f = f για κάθε () 4 δ) Αναζητούμε την τιμή του ( 0,+ ) για την οποία η συνάρτηση f λ = f = παρουσιάζει ολικό μέγιστο 76
77 Για κάθε είναι: λ = f = f 4 Είναι: ( ) 0,+ f > 0 4 λ = 0 f = 0 = 0 = f > 0 λ > 0 f > 0 > 0 < < 4 Άρα ο συντελεστής διεύθυνσης λ γίνεται μέγιστος για Είναι f α = αe = e Επομένως το ζητούμενο σημείο είναι το = α Μ (, f ), δηλαδή το Μ (, ) e 77
78 Άσκηση + Δίνεται η συνάρτηση f =, e α) Να αποδείξετε ότι f + 4 f + 4 f = 0για κάθε β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα γ) Να αποδείξετε ότι e + για κάθε δ) Να βρείτε την τιμή του για την οποία η συνάρτηση f, έχει τον ελάχιστο ρυθμό μεταβολής ως προς Ποια είναι η ελάχιστη τιμή του ρυθμού μεταβολής; α) Για κάθε είναι: (+ ) e (+ )( e ) e (+ ) e ( 4 ) e 4 f = = = = ( e ) ( e ) ( e ) e f = = = = ( e ) ( e ) ( e ) e ( 4 ) e ( 4 )( e ) 4e ( 4 ) e (8 4) e 8 4 Επομένως για κάθε είναι: f + 4 f + 4 f = = = = 0 e e e e e 4 β) Για κάθε είναι f = e Είναι: f = 0 4= 0 = 0 f > 0 4> 0 < 0 f (0) = Επομένως: Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (,0] 78
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f( )) = c f ( ),. Έστω F( )
Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο 1ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ
Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ 000 ΘΕΜΑ ο Α.α) Δίνεται η συνάρτηση F f g αποδείξετε ότι: F f g. cf,. Αν οι συναρτήσεις
Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση;
Κεφάλαιο 1 Διαφορικός Λογισμός 1.1 Συναρτήσεις Κατανόηση εννοιών - Θεωρία 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; 2. Πως ορίζονται οι πράξεις της πρόσθεσης, της διαφοράς, του γινομένου και του πηλίκου μεταξύ δύο συναρτήσεων;
1. Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β είναι συνάρτηση.
Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Ανάλυση o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 4 o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 0. Σ 9. Λ. Λ. Σ 40. Σ. Σ. Σ 4. Λ 4. Λ. Σ 4. Σ 5. Σ 4. Σ 4. Λ 6. Σ 5. Λ 44.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) 6+ 9, g ( ), h ( ) 5 +, k
Συνοπτική θεωρία - Τι να προσέχουμε Ασκήσεις Θέματα από Πανελλαδικές. γ) g( x) e 2. ln( x 1) 3. x x. ζ) ( x) ln(9 x2) ια) ( ) ln x 1
Κεφ ο : Διαφορικός Λογισμός Συνοπτική θεωρία - Τι να προσέχουμε Θέματα από Πανελλαδικές Α Πεδίο ορισμού συνάρτησης (Περιορισμούς για το χ ) Όταν έχουμε κλάσμα πρέπει : παρονομαστής 0 Όταν έχουμε ρίζα πρέπει
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα; 2. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της?
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ 4-5 Πότε μια συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της? Απάντηση: Mια συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της όταν
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ
www.apodeiis.gr ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 1 1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: 1 i. ii. 1. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων: i. 1 1 ii. ln. Δίνεται η συνάρτηση g, i. Να αποδείξετε
o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση
010-011 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη Μαθηματικά Γενικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ. Ι. Παπαγρηγοράκης http://users.sch.gr/mipapagr Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας ΚΕΦ1 1 Δίνεται
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο
Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ <
Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το ο Γενικό Λύκειο Χανίων [00-0 < Mathematica.gr], τον οποίο κι ευχαριστώ ιδιαίτερα για το ήθος
,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα,
Γενικής Παιδείας 1.4 Εφαρμογές των παραγώγων Το κριτήριο της πρώτης παραγώγου Στην Άλγεβρα της Α Λυκείου μελετήσαμε τη συνάρτηση f(x) = αx + βx + γ, α 0 και είδαμε ότι η γραφική της παράσταση είναι μία
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. f3 x = και
7 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση
Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός
ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...
ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ερώτηση θεωρίας 1 ΘΕΜΑ Α Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση
Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο «ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ»
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο «ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ» Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Α ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Δίνεται η συνάρτηση i Να
παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ η (Κατσίποδας Δημήτρης) Δίνονται οι συναρτήσεις f() = με a, β R και g() = 5.Αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο
Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμοί. Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι παρουσιάζει στο o Α τοπικό μέγιστο, όταν υπάρχει δ > 0, τέτοιο ώστε f () f( o ) για κάθε A ( o δ, o δ ), όπου Α το πεδίο ορισμού της f. Το o λέγεται
Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός Θεωρούμε μια συνάρτηση f συνεχή σ' ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. α) Θα λέμε ότι η f είναι κυρτή ή στρέφει τα κοίλα άνω στο Δ, αν η f
ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α. α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης;
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης; =. β) Για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α να αποδείξετε
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά)
3 1 0 011 ΘΕΡΙΝΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά) ΘΕΜΑ 1 Α. Έστω η συνάρτηση F()=f()+g(). Aν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες, να αποδείξετε ότι F
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο 2.1: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο.: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ Β Έστω μια παραγωγίσιμη στο συνάρτηση, τέτοια ώστε για κάθε x
ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1.
Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1.Δίνεται η συνάρτηση f()= 4 1 α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; β) Αν χ=, ποια είναι η τιμή της f; γ) Αν f()=1, ποια είναι
2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ 8 ΟΡΙΣΜΟΣ, 9 Πότε μια συνάρτηση λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της ; Απάντηση : Μια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο
1.1 ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ
. ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Α. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΣ P Q Q v P P ln P P P P, P P, Q P P Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των
, όταν f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο x. 0, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το x στο σημείο x. 0 την παράγωγο f ( x 0
ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ : Αν δυο μεταβλητά μεγέθη, y συνδέονται με τη σχέση y f (, όταν f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το στο σημείο την παράγωγο
0. Η ) λέγεται επιτάχυνση του κινητού τη χρονική στιγμή t 0 και συμβολίζεται με t ). Είναι δηλαδή : t ) v t ) S t ).
Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ 8 ΟΡΙΣΜΟΣ Τι λέμε ρυθμό μεταβολής του μεγέθους y ως προς το μέγεθος για, αν y f( είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση ; Απάντηση : Αν δύο μεταβλητά μεγέθη, y συνδέονται
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ
2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και
Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. iv) f(x)= v) f(x)= ln(x 2-4) vi) f(x) =, v) f(x) = 6 x 5. vi) vii) f(x) = ln(x 2-2) viii) f(x) = lnx 2.
Ερωτήσεις ανάπτυξης Β. Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων: 5 4 i) f() = ii) f()= iii) f()= iv) f()= ln( ) e v) f()= ln( -4) 4 4 vi) f() =, 5. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων f με τύπο:
και είναι παραγωγισιμη στο σημειο αυτό, τότε : f ( x 0
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο 7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (Θεώρημα Frmat) Εστω μια συναρτηση ορισμενη σ ένα διαστημα Δ και ένα εσωτερικο σημειο του Δ Αν η παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική
ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ
Ενότητα 1 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ασκήσεις για λύση 3 3, < 1). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). 6, Να βρείτε : i ) την παράγωγο της f, ii) τα κρίσιμα σημεία της f. ). Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Α ΜΕΡΟΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7-8 Α ΜΕΡΟΣ Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει : f ()+f()=, για κάθε και f()=e+ α) Να δείξετε ότι f()=+e -, β) Να βρείτε το όριο lim ( lim f(y)) y γ) Να δείξετε
lim lim ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Tι ορίζουμε ως εφαπτομένης της C f στο σημείο της A x, f ( )); Έστω f μια συνάρτηση και A x, f ( )) ένα σημείο της C
ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Tι ορίζουμε ως εφαπτομένης της C στο σημείο της A, ( ; ( Έστω μια συνάρτηση και A, ( ένα σημείο της C. Αν υπάρχει το ( ( ( lim και είναι ένας πραγματικός αριθμός λ, τότε ορίζουμε ως
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β ΜΕΡΟΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7-8 Β ΜΕΡΟΣ. Δίνεται η τέσσερις φορές παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f τέτοια ώστε : f (4) () + f () () = ημ + συν, για κάθε και f() =, f () =, f () = - και f () () =. α) Να βρείτε τον
Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου
Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση
Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 10 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΑΠΟ /4/8 ΕΩΣ 4/4/8 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Τρίτη Απριλίου 8 Διάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Έστω μία συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αν o
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β κύκλος 6-7 ) Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει : α) Να δείξετε ότι f()=+e -, f ()+f()=, για κάθε και f()=e+ β) Να βρείτε το όριο ( y f(y)) γ) Να δείξετε
3. lim [f(x) g(x)] = lim f(x) lim g(x) x xo x xo x xo x xo x xo v f(x) lim f(x) x xo lim = x xo g(x) lim g(x) x xo v lim [f(x)] = lim f(x) 6. li
Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να γνωρίζει: Τον ορισµό της συνάρτησης και τον τρόπο εύρεσης του πεδίου ορισµού της. Τις πράξεις µεταξύ συναρτήσεων, τις γραφικές παραστάσεις
2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 49 ΟΡΙΣΜΟΣ 6 4 Πότε μια συνάρτηση λέγεται κυρτή και πότε κοίλη σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Έστω μία συνάρτηση σ υ ν ε χ ή ς σ ένα διάστημα Δ και π α ρ α γ ω γ ί
Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Τελική Επανάληψη
Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Τελική Επανάληψη e d g h g h Εκφωνήσεις 65, 6 Δίνονται η συνάρτηση και η σχέση g, 8 α) Να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού λ ώστε η συνάρτηση να έχει πεδίο
(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο
Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -4- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, /4/6 ΘΕΜΑ ο Α Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα
3o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016
3o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 6 Διάρκεια: 3 ώρες ΘΕΜΑ A A Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του,στο οποίο όμως η είναι συνεχής Να αποδείξετε ότι Αν () στο (α,
f(x 2) 5 x 1 α) Να αποδείξετε ότι: i) f (3) = 5 και ii) f (3) = 6 x 2 f(x)
. Έστω η συνάρτηση = + e. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία.. Να λύσετε την εξίσωση e = 3. Θεωρούμε τη γνησίως μονότονη συνάρτηση g : R R η οποία για κάθε R ικανοποιεί τη σχέση g() + e g() = +.
2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 49 ΟΡΙΣΜΟΣ 6 4 Πότε μια συνάρτηση λέγεται κυρτή και πότε κοίλη σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Έστω μία συνάρτηση σ υ ν ε χ ή ς σ ένα
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0.
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Άσκηση Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν η συνάρτηση την» ορίζεται στο τότε δεν μπορεί να έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη ) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας
Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0.
ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 337. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ ME α 0 Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής = α + β + γ με α 0. Η συνάρτηση = α +β+γ με α > 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης
1.3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. 1. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης
. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης Έστω µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού Α, και Β το σύνολο των Α στα οποία η είναι παραγωγίσιµη. Τότε ορίζεται νέα συνάρτηση µε την οποία κάθε
Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 20 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΑΠΟ /4/7 έως τις /4/7 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Πέμπτη Απριλίου 7 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα
1ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου
Θέμα Α ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Α Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ-ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f ()=, g()= +3,h()= -3 Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα
Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x. την παράγωγο f' ( x. 0 ) (ή και στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής).
Ρυθμός μεταβολής Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ i Αν δύο μεταβλητά μεγέθη x, y συνδέονται με τη σχέση y = f( x) και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3. Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ Β Να βρείτε την παράγουσα της συνάρτησης f() =,
2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση.
. Έστω η συνάρτηση f : με την παρακάτω γραφική παράσταση. Α. Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα, κυρτή, κοίλη, καθώς και τα τοπικά ακρότατα και τα σημεία
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ( - h). Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο 0 = και lim = h 0 h να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο 0 = και να βρείτε την (). () - + 6. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο 0 =
1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση
1 ΘΕΩΡΙΑΣ.....με απάντηση ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 0 Εξισώσεις Ανισώσεις 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου
Γιώργος Α. Απόκης Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Πάτρα 0 Στην Ισμήνη, στη Μαριάννα και στην Αντιγόνη ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ Α : Η έννοια της συνάρτησης Α. - Εισαγωγικές έννοιες 4 Α. Εύρεση πεδίου ορισμού..6
V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr
V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν
Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ <
Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [008-009 < Mathematica.gr], τον οποίο κι ευχαριστώ ιδιαίτερα για
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗ
20 επαναληπτικά θέματα
0 επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης Γ λυκείου Γράφουν οι μαθηματικοί: Βέρρας Οδυσσέας Ζαχαράκης Δημήτρης Καρύμπαλης Νώντας Κλίτσας Γιώργος Κοτσώνης Γιώργος Μπούζας Δημήτρης Πετρόπουλος
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Usus est magister optimus (η χρήση είναι ο καλύτερο δάσκαλο ) y M(,f()) C f A( 0,f( 0 )) M ε O 0 (α) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ
δίου ορισμού, μέσου του τύπου εξαρτημένης μεταβλητής του πεδίου τιμών που λέγεται εικόνα της f για x α f α.
3.1 Η έννοια της συνάρτησης Ορισμοί Συνάρτηση f από ένα συνόλου Α σε ένα σύνολο Β είναι μια αντιστοιχία των στοιχείων του Α στα στοιχεία του Β, κατά την οποία κάθε στοιχείο του Α αντιστοιχεί σε ένα μόνο
1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ
1 1. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα γνησίως αύξουσας Αν µία συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα και για κάθε εσωτερικό σηµείο του ισχύει f () > 0 τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο.
αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β)
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 3x x 3 3 5x x β) 4 3 x x x 0
ΘΕΩΡΙΑ 1ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ (χωρίς αποδείξεις) ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ- ΣΥΝΕΧΕΙΑ 1. Να δώσετε τον ορισμό της συνάρτησης
ΘΕΩΡΙΑ ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ (χωρίς αποδείξεις ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ- ΣΥΝΕΧΕΙΑ. Να δώσετε τον ορισμό της συνάρτησης Συνάρτηση από το σύνολο Α στο Β λέγεται μια διαδικασία με την οποία κάθε στοιχείο x του Α, αντιστοιχίζεται
3. α) Να λύσετε την εξίσωση x 2 = 3. β) Να σχηματίσετε εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες, τις ρίζες της εξίσωσης του α) ερωτήματος.
. Δίνεται η εξίσωση λ + 4(λ ) = 0, με παράμετρο λ R α) Να βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης. β) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λ R. γ) Αν, είναι οι ρίζες της παραπάνω
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ
Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Ω Ρ Ι Α Σ.
Μ Ν Σ Υ Κ Σ Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Ω Ρ Ι Σ. 1. Να γράψετε τους τύπους του εμβαδού των : (α) τετραγώνου (β) ορθογωνίου παραλληλογράμμου (γ) παραλληλογράμμου (δ) τριγώνου (ε) ορθογωνίου τριγώνου (στ) τραπεζίου.
6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΟΡΙΣΜΟΣ 6. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ονομάζουμε συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς
ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός Αν δύο μεταβλητά μεγέθη x, y συνδέονται με τη σχέση y f(x), όταν f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο x, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το x στο σημείο
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ 22 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 5 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο A. Να δώσετε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης στο πεδίο ορισμού της. ( Μονάδες)
20 επαναληπτικά θέματα
0 επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης Γ λυκείου (τεύχος σχολικό έτος 03-04) Γράφουν οι μαθηματικοί: Βέρρας Οδυσσέας Καρύμπαλης Νώντας Κοτσώνης Γιώργος Κώνστας Χάρης Μπούζας Δημήτρης Πετρόπουλος
1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R
. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε συνάρτηση µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου συνόλου Β. Σηµείωση: Στο εξής θα είναι Α R και
x R, να δείξετε ότι: i)
ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύουν: f ( ), f ( ) για κάθε R και f ( ) f ( ) α) Να βρείτε τον τύπο της f για κάθε R g( ) β) Αν g είναι
lim είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο x 0. β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f (x) =
Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** α) Να αποδείξετε ότι αν τα όρια lim - f () - f - είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο. ( ) και β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f () = lim + στο σηµείο
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο
6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β λέγεται μια διαδικασία (κανόνας), με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ακριβώς ένα στοιχείο
ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )
() Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,
4 0 Κεφάλαιο Στοιχεία Διαφορικού Λογισμού
4 0 Κεφάλαιο Στοιχεία Διαφορικού Λογισμού Η έννοια της παραγώγου Η έννοια της παραγώγου είναι η επόμενη, μετά την έννοια του ορίου, σημαντική έννοια που συναντούμε κατά τη μελέτη της θεωρίας συναρτήσεων.
Π Ρ Ο Τ Ε Ι Ν Ο Μ Ε Ν Α Θ Ε Μ Α Τ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ
Π Ρ Ο Τ Ε Ι Ν Ο Μ Ε Ν Α Θ Ε Μ Α Τ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ ΘΕΜΑ Α A Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο, στο οποίο όμως η είναι συνεχής
ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. [ ] z, w. 3 f x, x 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες
ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 1. i) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό 3 3 0 1, ώστε: 3 e, 1 ln 0 + 0 = 0 ii) Δίνεται ο μιγαδικός 3 z = ln + i, > 0 a) Να βρείτε την ελάχιστη απόσταση k της εικόνας του z από την αρχή
Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό σας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Να συμπληρώσετε
2.8. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. 1.i)
1.8 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 77 79 A Οµάδας 1.i) Να βρείτε τα διαστήµατα στα οποία η συνάρτηση () 5 5 4 + είναι κυρτή ή κοίλη και να προσδιορίσετε (αν υπάρχουν) τα σηµεία καµπής της γραφικής της
OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β, 8B, 9 Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε
Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.
Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...
3.7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ
Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ 68 Να γράψετε τον τύπο που δίνει το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της, τις ευθείες, και τον άξονα, όταν για κάθε
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να
f ( x) x EΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Συναρτήσεις ( ) 1. Έστω συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο R τέτοια ώστε να ισχύει
Συναρτήσεις Έστω συνάρτηση γνησίως αύξουσα στο R τέτοια ώστε να ισχύει Να δείξετε ότι (), για κάθε R ( ) +, για κάθε R Έστω συνάρτηση µε πεδίο ορισµού και σύνολο τιµών το R και τέτοια ώστε ( ) ( ) e +,