Οι ικανότητες των μαθητών Στ δημοτικού σε ασκήσεις όγκου σύμφωνα με την τριαρχική θεωρία του Sternberg και η χρήση του λογισμικού DALEST

Οι ικανότητες των μαθητών Στ δημοτικού σε ασκήσεις όγκου σύμφωνα με την τριαρχική θεωρία του Sternberg και η χρήση του λογισμικού DALEST Καταλάνου Στυλιανή Πανεπιστήμιο Κύπρου & Σοφοκλέους Παρασκευή Πανεπιστήμιο Κύπρου Περίληψη Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι να διερευνήσει τις ικανότητες αναλυτικής, δημιουργικής και πρακτικής ευφυΐας μαθητών Στ δημοτικού σε ασκήσεις που αναφέρονται στον όγκο, καθώς και να εξετάσει κατά πόσο προάγονται οι ικανότητες αυτές σε αντίστοιχες ασκήσεις μέσα από τη χρήση της εφαρμογής «Κυβοκατασκευές» του λογισμικού DALEST. Το δείγμα της έρευνας αποτελούν 50 μαθητές Στ δημοτικού. Βρέθηκε ότι οι μαθητές έχουν μεγαλύτερη επιτυχία σε ασκήσεις αναλυτικής ευφυΐας. Οι μαθητές είχαν τη χαμηλότερη επίδοση στη μια από τις δυο ασκήσεις πρακτικής ευφυΐας και στα δυο δοκίμια. Επίσης, μέσα από τη χρήση του λογισμικού, τα δύο παιδιά που εξετάστηκαν βοηθήθηκαν και ξεπέρασαν τον εαυτό τους, υποδεικνύοντας λύσεις που σε διαφορετικές συνθήκες εργασίας θα ήταν πολύ δύσκολο. Εισαγωγή Η θεωρία της τριαδικότητας της ευφυΐας και της επιτυχημένης ευφυΐας, προτείνει ότι η ανθρώπινη ευφυΐα αποτελείται από τρεις πτυχές: την αναλυτική, την πρακτική και τη δημιουργική (Sternberg, 1985; Sternberg, Torff, & Grigorenko, 1998). Για να υπάρχει η μέγιστη δυνατή επίδοση από κάθε μαθητή, θα πρέπει οι τρεις πτυχές της ευφυΐας να διδάσκονται μαζί σε όλους τους μαθητές (Stenberg, 2003), έτσι ώστε η διδασκαλία να ταυτίζεται με τις δυνατότητες των μαθητών και ταυτόχρονα να προσφέρονται ίσες ευκαιρίες σε όλους τους μαθητές (Sternberg et al., 1998). Επιπλέον, σε θέματα υπολογισμού του όγκου διατάξεων κύβων, υπάρχουν ενδείξεις ότι μέσα σε περιβάλλοντα διερεύνησης, οι ικανότητες των παιδιών αυξάνονται (Battista, 1999). Κατ επέκταση, το δυναμικό περιβάλλον που προσφέρει το λογισμικό DALEST για διερεύνηση, σε συνδυασμό με τη θεωρία της επιτυχημένης ευφυΐας, θα μπορούσαν να οδηγήσουν σε βελτίωση των ικανοτήτων των μαθητών. Ο συνδυασμός των δύο αυτών πτυχών επιχειρείται στην παρούσα εργασία. Συγκεκριμένα, σκοπός της παρούσας εργασίας είναι να διερευνήσει τις ικανότητες των μαθητών της Στ τάξης δημοτικού σε ασκήσεις που αφορούν τον όγκο στερεών, σε σχέση με τη θεωρία της επιτυχημένης ευφυΐας του Sternberg (αναλυτική, δημιουργική και πρακτική ευφυΐα), καθώς και κατά πόσο η χρήση του λογισμικού DALEST προάγει τις ικανότητες δημιουργικής, αναλυτικής και πρακτικής ευφυΐας των μαθητών σε αντίστοιχες ασκήσεις. Συγκεκριμένα, εξετάζονται τα ερωτήματα: 1. Ποια είναι η επίδοση των μαθητών της Στ τάξης δημοτικού σε ασκήσεις δημιουργικής, αναλυτικής και πρακτικής ευφυΐας που αφορούν τον όγκο στερεών; 2. Ποιοι τύποι λαθών επηρεάζουν την επιτυχία των μαθητών της Στ τάξης δημοτικού σε τέτοιες ασκήσεις δημιουργικής, αναλυτικής και πρακτικής ευφυΐας; 3. Υπάρχει ομοιότητα στον τρόπο με τον οποίο λύνουν τα παιδιά ασκήσεις δημιουργικής, αναλυτικής και πρακτικής ευφυΐας που αφορούν τον όγκο στερεών; 10 o Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 213

4. Υπάρχει βελτίωση των ικανοτήτων των παιδιών χαμηλής και μέτριας επίδοσης στα τρία είδη νοημοσύνης με τη χρήση του λογισμικού DALEST στις ασκήσεις αυτές; Στη συνέχεια, θα παρουσιαστεί το θεωρητικό πλαίσιο στο οποίο στηρίχτηκε η μελέτη αυτή, η μεθοδολογία που ακολουθήθηκε, τα ποσοτικά και ποιοτικά αποτελέσματα που προέκυψαν και τα συμπεράσματα στα οποία κατέληξε η εργασία. Θεωρητικό Πλαίσιο Θεωρία Επιτυχημένης Ευφυΐας Μια από τις πτυχές που εξετάζονται στην παρούσα εργασία είναι η επιτυχημένη ευφυΐα και η τριαδικότητα της ευφυΐας. Σύμφωνα με τον Sternberg (2003), επιτυχημένη ευφυΐα είναι η ικανότητα για επιτυχία στη ζωή σύμφωνα με τα προσωπικά του επίπεδα στο κοινωνικοπολιτισμικό του περιβάλλον. Υποστηρίζεται, επίσης, η τριαδικότητα της ευφυΐας, σύμφωνα με την οποία διακρίνονται τρεις πτυχές της ανθρώπινης ευφυΐας: η αναλυτική, η δημιουργική και η πρακτική ευφυΐα (Sternberg, 1985; Sternberg et al., 1998). Η αναλυτική ευφυΐα περιλαμβάνει δεξιότητες όπως ανάλυση, κρίση, αξιολόγηση, σύγκριση και αντιπαραβολή. Η δημιουργική ευφυΐα περιλαμβάνει δεξιότητες που απαιτούν δημιουργία, σχεδιασμό, ανακάλυψη, υπόθεση και φαντασία και η πρακτική ευφυΐα περιλαμβάνει εφαρμογή, εκτέλεση, χρήση και αναζήτηση συσχετισμών (Sternberg, 1998). Η επιτυχία επέρχεται μέσα από εξισορρόπηση των αναλυτικών, δημιουργικών και πρακτικών δεξιοτήτων (Sternberg, 2003). Η θεωρία της επιτυχημένης ευφυΐας εκτείνεται και στην διδασκαλία, ώστε αυτή να είναι αποτελεσματικότερη. Συγκεκριμένα, θα πρέπει να αναγνωρίζονται και να αμείβονται και οι δημιουργικές και πρακτικές ικανότητες, όχι μόνο οι μνημονικές και αναλυτικές (Sternberg, 2003). Επιπλέον, παιδιά με διαφορετικές δομές ικανοτήτων π.χ. παιδιά με υψηλότερες δημιουργικές ή πρακτικές ικανότητες μαθαίνουν καλύτερα όταν διδάσκονται με τρόπο που ανταποκρίνεται στις δομές των ικανοτήτων τους (Sternberg, 1996). Εντούτοις, οι δάσκαλοι δεν πρέπει να περιορίζουν τις αναλυτικές δραστηριότητες στους αναλυτικούς μαθητές ή τις δημιουργικές δραστηριότητες στους δημιουργικούς μαθητές, καθώς θα πρέπει να επιδιώκεται τόνωση των δυνατοτήτων τους αλλά και βελτίωση των αδυναμιών τους (Sternberg, 1996). Σε εργασία από τους Sternberg et al. (1998) φάνηκε ότι όταν η προσφερόμενη διδασκαλία ήταν εμπλουτισμένη σύμφωνα με τη θεωρία της τριαδικότητας της ευφυΐας, τα παιδιά έμαθαν περισσότερο. Ικανότητες χειρισμού τρισδιάστατων αντικειμένων Στην παρούσα εργασία εξετάστηκε ο χειρισμός από τους μαθητές τρισδιάστατων διατάξεων από κύβους, για υπολογισμό όγκου στερεών, σύμφωνα με τη θεωρία της επιτυχημένης ευφυΐας του Sternberg. Οι Ben-Chaim et al. (1985), ασχολήθηκαν με τη μέτρηση κύβων σε τρισδιάστατες διατάξεις όταν αυτές παρουσιάζονται σε δισδιάστατο διάγραμμα και επισήμαναν τέσσερα είδη λαθών: (1) μέτρηση του αριθμού των εδρών των κύβων που φαίνονται στο διάγραμμα, (2) μέτρηση του αριθμού των εδρών των κύβων που φαίνονται στο διάγραμμα και διπλασιασμός 10 o Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 214

αυτού, (3) μέτρηση του αριθμού των κύβων που φαίνονται στο διάγραμμα και (4) μέτρηση του αριθμού των κύβων που φαίνονται στο διάγραμμα και διπλασιασμός αυτού. Η μέτρηση του αριθμού των εδρών υποδηλώνει αντιμετώπιση της εικόνας αυστηρά ως δισδιάστατο αντικείμενο, η μέτρηση κύβων υποδηλώνει την κατανόηση της ύπαρξης τριών διαστάσεων και η έλλειψη διπλασιασμού υποδηλώνει έλλειψη οπτικοποίησης των κρυμμένων μερών του εικονιζόμενου στερεού (Ben-Cheim, Lappan & Houang, 1985). Σε εργασία των Battista και Clements (1996) ορίζονται τέσσερις κατηγορίες χειρισμού τέτοιων τρισδιάστατων διατάξεων από κύβους: (α) χειρισμός του συνόλου των κύβων ως τρισδιάστατη, ορθογώνια σύνθεση, χωρισμένη σε επίπεδα, (β) αντίληψη του συνόλου των κύβων ως «γέμισμα του χώρου», επιδιώκοντας μέτρηση των εξωτερικών αλλά και εσωτερικών κύβων, χωρίς, όμως, να τους οργανώνουν σε επίπεδα, (γ) μέτρηση των εδρών της εξωτερικής επιφάνειας, (δ) χρήση του τύπου Μήκος Χ Πλάτος Χ Ύψος, χωρίς ένδειξη για κατανόηση του τύπου ως μέτρηση επιπέδων και (ε) άλλα λάθη, όπως η πολλαπλασιασμός του εμβαδού της μιας εξωτερικής επιφάνειας με το εμβαδό της άλλης. Μέσα από την εργασία τους, οι Battista και Clements (1996) εισηγούνται ότι τα παιδιά αρχικά αντιλαμβάνονται τις διατάξεις από κύβους ως μη διατεταγμένα σύνολα εδρών, αλλά καθώς γίνονται ικανοί να χειρίζονται τις διάφορες όψεις και αποκτούν εμπειρίες κατασκευής στερεών και μέτρησης κύβων σε αυτά, αρχίζουν να αντιλαμβάνονται το τρισδιάστατο των διατάξεων αυτών. Επιπλέον, σε εργασία από τον Battista (1999) στο ίδιο θέμα, εξήχθη το συμπέρασμα ότι μέσα σε περιβάλλον διερεύνησης, με σκόπιμη εξασθένιση των γνωστικών στηριγμάτων (scaffolds) που παρέχονται σε σειρά προβλημάτων και σε συνδυασμό με την έκφραση προβλέψεων και τον έλεγχο αυτών, οι μαθητές οδηγούνταν σε κατασκευή πιο πολύπλοκων δομών και χρήση πιο εξελιγμένων διαδικασιών μέτρησης. Το λογισμικό τρισδιάστατης γεωμετρίας DALEST Στον τομέα της γεωμετρίας έχουν αναπτυχθεί τα τελευταία χρόνια διάφορα λογισμικά δυναμικής γεωμετρίας. Εντούτοις, τα λογισμικά αυτά δεν επιτρέπουν τη δυναμική επεξεργασία τρισδιάστατων σχημάτων με τρόπο που να επιτρέπει στους μαθητές να ανακαλύπτουν τις σχέσεις μεταξύ των σχημάτων (Χρίστου et al., 2007). Έτσι, το λογισμικό DALEST αναπτύχθηκε με σκοπό να βοηθήσει στους μαθητές στην κατασκευή, παρατήρηση και χειρισμό γεωμετρικών στερεών στο χώρο, καθώς και στη μοντελοποίηση γεωμετρικών καταστάσεων. Επιπρόσθετα, δίνεται η δυνατότητα στους εκπαιδευτικούς να βοηθήσουν τους μαθητές μέσω αυτού του λογισμικού να κατανοήσουν τη στερεομετρία (Christou et al., 2005; Christou et al., 2006; Christou et al., 2007). Το λογισμικό DALEST αποτελείται από το κυρίως πρόγραμμα, στο οποίο οι μαθητές έχουν τη δυνατότητα να κατασκευάσουν και να διερευνήσουν διάφορα στερεά, τις ιδιότητές τους ή συνθέσεις που αποτελούνται από αυτά, καθώς και από τις συμπληρωματικές εφαρμογές. Μερικά από τα θέματα με τα οποία μπορούν να εργαστούν στις εφαρμογές αυτές τα παιδιά είναι οι συνθέσεις από κύβους, τα αναπτύγματα, τα εκ περιστροφής στερεά κ.ά. Στην παρούσα εργασία αξιοποιήθηκε η εφαρμογή «Κυβοκατασκευές», μέσα από την οποία τα παιδιά έχουν τη δυνατότητα να συνθέσουν πολύπλοκα στερεά χρησιμοποιώντας κύβους. 10 o Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 215

Μεθοδολογία Καθορισμός Δείγματος Το δείγμα της έρευνας αποτέλεσαν 50 μαθητές Στ τάξης δημοτικών σχολειών της Κύπρου. Συγκεκριμένα, 31 μαθήτριες και 19 μαθητές συμπλήρωσαν δοκίμιο που αναφερόταν στην εύρεση του όγκου τρισδιάστατων αντικειμένων. Επιπλέον, μετά την ολοκλήρωση του δοκιμίου από το δείγμα, δύο μαθητές του δείγματος, ένας χαμηλής επίδοσης και ένας μέτριας επίδοσης, έλυσαν ασκήσεις του δοκιμίου με τη χρήση του λογισμικού DALEST και συγκεκριμένα με την εφαρμογή «Κυβοκατασκευές». Μέσα Συλλογής Δεδομένων Συντάχθηκε το δοκίμιο και συμπληρώθηκε σε περίοδο 45 λεπτών. Η δημιουργία των έργων για το δοκίμιο βασίστηκε στη θεωρία της επιτυχημένης ευφυΐας του Sternberg, δηλαδή περιλάμβανε έξι έργα: δυο που απαιτούσαν δημιουργική σκέψη, δυο που ζητούσαν από τους μαθητές να αναλύσουν μια κατάσταση και δυο που απαιτούσαν πρακτική ευφυΐα. Οι μαθητές έπρεπε να απαντήσουν σε όλες τις ασκήσεις και να εξηγήσουν τον τρόπο σκέψης. Συγκεκριμένα περιλάμβανε τα εξής έργα: 1) Ζητείται από τα παιδιά να κατασκευάσουν όσο το δυνατό περισσότερα διαφορετικά στερεά με 9 κύβους (δινόταν εικόνα 9 κύβων). 2) Δίνονται 24 κύβοι με διαστάσεις 10 Χ 10 Χ 10 cm. Τα παιδιά καλούνται να βρουν τις διαστάσεις του κουτιού που πρέπει να κατασκευαστεί για φύλαξή τους (δίνεται εικόνα ενός κύβου και των διαστάσεων). 3) Τα παιδιά καλούνται να βρουν πόσοι κύβοι χρειάζονται για να γεμίσουν δοσμένα κουτιά που παρουσιάζονται σε εικόνες (σχήμα 1). 4) Κατασκευή όσο το δυνατό περισσότερων στερεών που να έχουν ίδια εξωτερική επιφάνεια με το αρχικό (σχήμα 2). Σχήμα 1 Σχήμα 2 5) Τα παιδιά καλούνται να εντοπίσουν ποιο από τα στερεά που παρουσιάζονται σε εικόνα χρειάστηκε τους περισσότερους και τους λιγότερους κύβους για να κατασκευαστεί (σχήμα 3). 6) Ζητείται από τα παιδιά να συγκρίνουν τον αριθμό των κύβων που περιλαμβάνει κάθε στερεό (σχήμα 4). Σχήμα 3 Σχήμα 4 10 o Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 216

Για να ελεγχθεί η εσωτερική συνάφεια και αξιοπιστία των απαντήσεων των μαθητών στις 8 ασκήσεις του δοκιμίου (μαζί με τα υποερωτήματα της 2 και της 5), χρησιμοποιήθηκε ο συντελεστής αξιοπιστίας Cronbach s Alpha και βρέθηκε α=0,659. Άρα, υπάρχει εσωτερική συνάφεια και αξιοπιστία στις απαντήσεις των μαθητών. Είδη Δεδομένων Τα δεδομένα της έρευνας αποτελούν οι απαντήσεις των μαθητών στις έξι ασκήσεις του δοκιμίου. Για την κωδικοποίηση των δεδομένων καθορίστηκε το 0 ως η λάθος απάντηση και 1 η σωστή απάντηση για κάθε άσκηση, με μόνη διαφοροποίηση στις δημιουργικές ασκήσεις. Συγκεκριμένα, στη δημιουργική άσκηση 1, κάθε σωστό στερεό δινόταν ο βαθμός 0,1. Στη δημιουργική άσκηση 4, κάθε σωστό στερεό και ανάπτυγμα έπαιρνε 0,2 λόγω της ύπαρξης λιγότερων σωστών απαντήσεων. Για ανάλυση των αιτιολογήσεων που έδιναν οι μαθητές και του είδους λαθών που έκαναν σε κάθε άσκηση, δημιουργήθηκαν μεταβλητές κατηγοριακής μορφής. Κατηγοριοποιήθηκαν τα κοινά είδη λαθών ή τα κοινά είδη εξήγησης των απαντήσεων. Δεδομένα της έρευνας αποτελούν, επίσης, οι εργασίες των δύο παιδιών με το λογισμικό DALEST και η ανάλυση της συμπεριφοράς τους. Τεχνικές Ανάλυσης Δεδομένων Για την ανάλυση των δεδομένων χρησιμοποιήθηκε το στατιστικό πακέτο SPSS-15.0. Αρχικά, έγινε εξαγωγή των μέσων όρων της επιτυχίας των μαθητών σε κάθε άσκηση. Ακολούθως, χρησιμοποιήθηκε η στατιστική τεχνική cluster analysis για να μελετηθεί η ομαδοποίηση των μεταβλητών (οι απαντήσεις των μαθητών σε κάθε άσκηση). Επιπλέον, εξετάζονται συχνότητες και ποσοστά για να περιγραφούν οι αιτιολογήσεις και τα είδη λαθών για κάθε άσκηση. Τέλος, για την ανάλυση της συμπεριφοράς και εργασίας των μαθητών στο λογισμικό DALEST, χρησιμοποιήθηκε η ανάλυση περιεχομένου. Αποτελέσματα Ποσοτική Ανάλυση Απαντήσεων Μαθητών Πίνακας 1: Μέσοι Όροι της Επίδοσης των Μαθητών στο Δοκίμιο με Ασκήσεις Όγκου Ν = 50 ΑΣΚΗΣΗ Χ SD Δημιουργική 1 0,292 0,252 Πρακτική 2 0,060 0,240 Πρακτική 3α 0,300 0,463 Πρακτική 3β 0,280 0,454 Δημιουργική 4 0,234 0,310 Αναλυτική 5α 0,860 0,351 Αναλυτική 5β 0,860 0,351 Αναλυτική 6 0,620 0,490 10 o Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 217

Από τον πίνακα των μέσων όρων (πίνακας 1), παρατηρείται ότι τα παιδιά είχαν τη μεγαλύτερη επιτυχία στις δύο ασκήσεις αναλυτικής ευφυΐας. Πολύ χαμηλή επιτυχία εμφανίστηκε στην άσκηση 2 πρακτικής ευφυΐας, με μέσο όρο επιτυχίας 0,06. Σε όλες τις ασκήσεις παρατηρείται μεγάλη τυπική απόκλιση, στοιχείο που υποδηλώνει ανομοιογένεια στην επιτυχία των παιδιών σε κάθε άσκηση. Όσον αφορά την ομαδοποίηση των ασκήσεων, τα ποσοτικά δεδομένα που προέκυψαν από τις απαντήσεις των μαθητών έδειξαν ότι τα οκτώ ερωτήματα του δοκιμίου μπορούν να ταξινομηθούν σε 2 ομάδες (clusters). Πρώτη ομάδα Ασκήσεις αναλυτικής ευφυΐας: Στην πρώτη ομάδα εντάσσονται οι ασκήσεις 5α, 5β και 6 του δοκιμίου, που αφορούν την αναλυτική ευφυΐα. Συνεπώς, μπορεί να θεωρηθεί ότι αυτού του είδους τις δραστηριότητες τα παιδιά τις χειρίζονται με διαφορετικό τρόπο από τις υπόλοιπες. Στοιχείο που πιθανόν να διαφοροποιεί το χειρισμό αυτών των ασκήσεων από τις υπόλοιπες είναι η σύγκριση που απαιτείται μεταξύ διαφορετικών στερεών ως προς το ίδιο χαρακτηριστικό, τον όγκο. Δεύτερη ομάδα Ασκήσεις που απαιτούν σύνθεση κύβων σε στερεά: Στη δεύτερη ομάδα εντάσσονται οι ασκήσεις 1 και 4 του δοκιμίου, που αφορούν τη δημιουργική ευφυΐα και οι ασκήσεις 2, 3α και 3β που αφορούν την πρακτική ευφυΐα. Άξιο αναφοράς είναι το γεγονός ότι οι ασκήσεις αυτές ομαδοποιούνται έχοντας ως κύριο χαρακτηριστικό το γεγονός ότι απαιτούν τη σύνθεση στερεών. Ως εκ τούτου, φαίνεται ότι αυτή η φύση των ασκήσεων επηρεάζει σε μεγαλύτερο βαθμό τον τρόπο χειρισμού τους από τα παιδιά σε σχέση με το είδος ευφυΐας που απαιτείται για την επίλυσή τους. Ελέγχθηκε ο βαθμός αξιοπιστίας για κάθε ομάδα και οι τιμές του δείκτη Cronbach s Alpha είναι α = 0,633 για την ομάδα 1 και α = 0,619 για την ομάδα 2. Οι τιμές αυτές, δεδομένου του σχετικά μικρού δείγματος και του μικρού αριθμού ερωτήσεων που περιλαμβάνονται, κρίνονται ικανοποιητικές. Άρα υπάρχει εσωτερική συνέπεια στις απαντήσεις εντός των σχηματιζόμενων ομάδων. Βρέθηκε, επίσης, ότι ο μέσος όρος επιτυχίας στην ομάδα 1 είναι 0,78 (SD=0,306) ενώ στην ομάδα 2 είναι 0,233 (SD=0,225). Δηλαδή, στις ασκήσεις της ομάδας 1 τα παιδιά σημείωσαν πολύ μεγαλύτερη επιτυχία σε σχέση με τις ασκήσεις της ομάδας 2. Αυτό υποδεικνύει ότι ίσως τα παιδιά του δείγματος έχουν εξασκηθεί περισσότερο στη λύση αυτού του είδους ασκήσεων. Επιπλέον, δεδομένου ότι η ομάδα 1 περιλαμβάνει τις ασκήσεις αναλυτικής ευφυΐας, τα παιδιά του δείγματος ίσως έχουν εξασκήσει και αναπτύξει περισσότερο τις ικανότητες της ευφυΐας αυτής, σε αντίθεση με την πρακτική και τη δημιουργική ευφυΐα. Ποιοτική Ανάλυση Απαντήσεων στα Δοκίμια Κατά την ποιοτική ανάλυση των απαντήσεων των μαθητών, εξετάστηκαν τα είδη λαθών που γίνονται από τους μαθητές του δείγματος. Συνοπτικά αναφέρεται για κάθε άσκηση το είδος απάντησης που δόθηκε από τα περισσότερα παιδιά, συμπεριλαμβανομένων και των σωστών απαντήσεων. 10 o Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 218

Στις δημιουργικές ασκήσεις του δοκιμίου, στην άσκηση 1 δόθηκε σωστή απάντηση από τα 39 παιδιά του δείγματος ενώ στην άσκηση 4 ίσος αριθμός παιδιών έδωσε σωστή απάντηση ή κατασκεύασε στερεά με διαφορετική εξωτερική επιφάνεια από το αρχικό, δηλαδή 14 παιδιά σε κάθε περίπτωση. Φαίνεται πως μια δυσκολία των μαθητών στη δραστηριότητα αυτή ήταν να υπολογίσουν σωστά την εξωτερική επιφάνεια των στερεών που ζωγράφιζαν. Στην άσκηση 2 πρακτικής ευφυΐας, 23 παιδιά έδωσαν απαντήσεις που δείχνουν έλλειψη κατανόησης της έννοιας του όγκου, δηλαδή δεν είναι σε θέση να διαχωρίσουν το γεγονός ότι οι 24 μικροί κύβοι αποτελούν τον όγκο του ζητούμενου στερεού και όχι π.χ. τις διαστάσεις του. Αναφορικά με τις ασκήσεις 5α και 5β δημιουργικής ευφυΐας, περίπου ίσος αριθμός μαθητών δίνει απάντηση υπολογίζοντας τον όγκο και συγκρίνοντας οπτικά. Για την άσκηση 6 δημιουργικής ευφυΐας, 26 από τα παιδιά του δείγματος έδωσαν απάντηση μετρώντας τους κύβους των δύο στερεών, σωστά ή λανθασμένα. Ποιοτική Ανάλυση Συμπεριφοράς Μαθητών σε Ασκήσεις με Χρήση του DALEST Κυβοκατασκευές Μαθητής Α Χαμηλής Επίδοσης Όταν το παιδί είχε εργαστεί στην πρώτη φάση της έρευνας με το γραπτό δοκίμιο, είχε παρουσιάσει αρκετές αδυναμίες, γι αυτό και κατά την εργασία του με το λογισμικό, αρκετές από τις ασκήσεις που κλήθηκε να απαντήσει ήταν ίδιες με αυτές του αρχικού δοκιμίου. Οι δραστηριότητες με τις οποίες εργάστηκε το παιδί αναφέρονταν και στα τρία είδη νοημοσύνης που προτείνονται από τον Sternberg. Κατά την πρώτη δραστηριότητα, το παιδί κλήθηκε να υπολογίσει τον αριθμό των κύβων που απαιτούνταν για να γεμίσει το κουτί που απεικονιζόταν και που περιείχε ήδη ένα αριθμό κύβων. Αρχικά ζητήθηκε να υπολογίσει τον ζητούμενο αριθμό κύβων χωρίς τη χρήση του λογισμικού, έτσι ώστε να διαπιστωθεί η στρατηγική που χρησιμοποίησε και τα λάθη του. Το παιδί κατέληξε σε λάθος απάντηση, μετρώντας τους κύβους που χρειάζονται για να συμπληρωθούν οι τρεις έδρες. Ακολούθως αφήνεται να εργαστεί με το λογισμικό «Κυβοκατασκευές». Τοποθετεί πρώτα τους υπάρχοντες κύβους της μίας κατακόρυφης έδρας και μετρά πόσους προσθέτει για να τη συμπληρώσει. Ακολουθεί την ίδια πορεία για τη δεύτερη κατακόρυφη έδρα και τέλος προσθέτει όλους τους κύβους της βάσης (υπολειπόμενους και ήδη υπάρχοντες). Όταν τελειώνει με τη συμπλήρωση των τριών εδρών, αρχίζει αμέσως να γεμίζει με κύβους το υπόλοιπο στερεό, καταλήγοντας στη σωστή απάντηση. Τότε συγκρίνει τις απαντήσεις του και αμέσως εντοπίζει το λάθος που είχε κάνει, σχολιάζοντας ότι «του ξέφυγαν μερικοί κύβοι». Φαίνεται ότι το παιδί δεν έχει κατακτήσει πλήρως τους τρόπους υπολογισμού όγκου και χρειάζεται οπτικές αναπαραστάσεις. Γι αυτό και η κύρια στρατηγική του ήταν να συμπληρώσει ένα-ένα τους υπολειπόμενους κύβους και να τους μετρά. Συνεπώς, η χρήση του δισδιάστατου σχήματος γι αυτό το σκοπό προκαλούσε δυσκολίες καθώς απαιτείται μεταφορά των ενεργειών του από το δισδιάστατο σχήμα στην τρισδιάστατη πραγματικότητα. Από την άλλη, η χρήση του λογισμικού φαίνεται να βοήθησε ιδιαίτερα το παιδί, καθώς μπορούσε να δει άμεσα τα αποτελέσματα των ενεργειών του σε ένα δυναμικό περιβάλλον. Έτσι, οδηγήθηκε μόνο του στη διαπίστωση ότι η συμπλήρωση των κύβων που υπολείπονται από τις τρεις έδρες δεν είναι αρκετή για να γεμίσει το κουτί. Στην επόμενη δραστηριότητα, ζητείται από το παιδί να κατασκευάσει όσο το δυνατό περισσότερα στερεά με εννέα κύβους. Το πρώτο στερεό που κατασκευάζεται είναι 10 o Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 219

ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο με διαστάσεις 3Χ3Χ1. Όταν γίνεται στο παιδί η επισήμανση πως το στερεό δεν είναι κατ ανάγκη κανονικό, αμέσως αρχίζει να κατασκευάζει πολύπλοκα στερεά. Κατασκεύασε τρία στερεά και περίγραψε πολλούς τρόπους τροποποίησής τους ώστε να δημιουργηθούν ακόμη περισσότερα. Λόγω έλλειψης χρόνου δεν προχώρησε σε περισσότερες κατασκευές. Εικόνα 1 Στην αντίστοιχη άσκηση του γραπτού δοκιμίου, το συγκεκριμένο παιδί είχε ζωγραφίσει δύο στερεά, με ύψος τη μονάδα. Με το λογισμικό φαίνεται να βοηθήθηκε στην ανάπτυξη περισσότερο ευφάνταστων στερεών. Τα στερεά αυτά είναι ακανόνιστα, δεν είναι όλα συμπαγή και έχουν πέραν της μίας μονάδας προς όλες τις κατευθύνσεις. Με άλλα λόγια, δηλαδή, το λογισμικό βοήθησε το παιδί εργαστεί προς όλες τις διαστάσεις, έχοντας αντίληψη της τρισδιάστατης φύσης των στερεών που κατασκεύαζε. Ακολούθως, παρουσιάστηκε στο παιδί στερεό και του ζητήθηκε να το μετασχηματίσει σε ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, έτσι ώστε ο αριθμός κυβικών μονάδων που το αποτελούν να μείνει αναλλοίωτος. Το παιδί δεν παρουσίασε δυσκολίες και αμέσως επισήμανε τη μετατροπή που χρειάζεται. Στην επόμενη άσκηση, ζητήθηκε από το παιδί να μετασχηματίσει μια ράβδο με τέσσερις κύβους έτσι ώστε η εξωτερική του επιφάνεια να παραμείνει 18 τετραγωνικές μονάδες. Κατασκευάζεται η ράβδος με τους 4 κύβους στο λογισμικό. Συζητείται τι εννοούμε εξωτερική επιφάνεια και ποια είναι η εξωτερική επιφάνεια του εν λόγω στερεού. Ακολούθως το παιδί προβληματίζεται πώς θα μπορούσε να μετακινήσει τους κύβους έτσι ώστε να έχουμε την ίδια εξωτερική επιφάνεια. Η πρώτη του σκέψη ήταν να κατασκευάσει ένα στερεό 2Χ2Χ1. Μετά την κατασκευή, όμως, βλέπει ότι έχει μικρότερη εξωτερική επιφάνεια και καταλήγει ότι, κατά την έκφρασή του, με τον τρόπο που τους ενώσαμε «κρύφτηκαν» ακόμη δύο έδρες. Και πάλι διευκρινίζεται ότι δεν είναι απαραίτητο να είναι κανονικό στερεό το νέο που θα δημιουργηθεί. Έτσι οδηγείται στην κατασκευή ενός στερεού Τ και στη συνέχεια ενός Γ. Μετρώντας την εξωτερική επιφάνεια διαπιστώνει ότι παραμένει αναλλοίωτη. Κατασκευάζει κι άλλα στερεά τύπου Τ και Γ με διάφορους προσανατολισμούς. Στην αντίστοιχη εργασία στο γραπτό δοκίμιο, το παιδί ζωγράφισε μόνο το στερεό 2Χ2Χ1. Το λογισμικό με τη δυναμική απεικόνιση του στερεού φαίνεται να βοήθησε το παιδί να μετρήσει σωστά την εξωτερική επιφάνεια του αρχικού και του τελικού στερεού και να διορθώσει τα λάθη του. Η επόμενη άσκηση ζητά από το παιδί να δώσει τις διαστάσεις ενός κουτιού που χωρεί 24 κύβους με μήκος, πλάτος και ύψος 10 εκατοστόμετρα. Αρχικά, τοποθετείται ένας κύβος στο λογισμικό και ζητείται από το παιδί να δείξει τι εννοούμε διαστάσεις 10 εκατοστόμετρων, κάτι που κάνει με επιτυχία. Αρχίζοντας τη λύση του προβλήματος, 10 o Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 220

το παιδί απαντά στο πώς να βάλει τα κουτιά (τη διαρρύθμισή τους) ότι θα βάλει 4 στο μήκος και 6 στο πλάτος. Κατασκευάζει στο λογισμικό τη διαρρύθμιση που πρότεινε. Έχοντας μπροστά του την κατασκευή προβληματίζεται για το πόσα εκατοστόμετρα είναι το μήκος, αφού βάλαμε 4 κύβους με πλευρά 10 εκ ο καθένας. Καταλήγει αμέσως ότι το μήκος του κουτιού θα είναι 40 και το πλάτος 60 εκατοστόμετρα. Προβληματίζεται στη συνέχεια για το πόσο θα είναι το ύψος, αφού όταν μιλάμε για ορθογώνια παραλληλεπίπεδα υπάρχει και ύψος. Βλέπει ότι αφού είναι μόνο ένα επίπεδο από κύβους, στο ύψος έχουμε 1 κύβο άρα θα είναι 10 εκατοστόμετρα. Στη συνέχεια προβληματίζεται για το κατά πόσο θα μπορούσε να φτιάξει και άλλο κουτί πιο ψηλό για να τους φυλάξει. Το παιδί αμέσως αρχίζει να προσθέτει 12 κύβους πάνω από τους 24 που τοποθέτησε και σβήνει άλλους 12, έτσι ώστε να σχηματίζεται κατασκευή 4Χ3Χ2. Ακολούθως βρίσκει τις διαστάσεις. Άξιο αναφοράς είναι το γεγονός ότι το παιδί άφησε κενή την αντίστοιχη άσκηση του γραπτού δοκιμίου. Μέσα, όμως, από τη μικρή συζήτηση που γινόταν και την εργασία με το λογισμικό, το παιδί κατάφερε να οργανώσει τα δεδομένα του προβλήματος και να καταλήξει στη λύση της προβληματικής κατάστασης. Μέσα από το λογισμικό βλέπει τον ακριβή αριθμό των κύβων, πώς είναι διαρρυθμισμένοι στο ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο που σχηματίζεται και έτσι υπολογίζει ευκολότερα ποιες είναι οι διαστάσεις αυτού. Έτσι δεν παρασύρεται σε λανθασμένες απαντήσεις από έλλειψη κατανόησης του προβλήματος, φαινόμενο που παρατηρήθηκε εκτεταμένα στο δείγμα της έρευνας. Μέσα από το λογισμικό βοηθιέται επίσης στο να διαπιστώσει ότι είναι δυνατό να υπάρχουν πολλά στερεά με διαφορετικές διαστάσεις αλλά να έχουν τον ίδιο όγκο. Μαθητής Β Μέτριας επίδοσης Στην εργασία του ο μαθητής στην εφαρμογή «Κυβοκατασκευές» σε ασκήσεις που αφορούν τον όγκο, θεωρήθηκε αναγκαίο η ενασχόληση του μόνο με τις ασκήσεις δημιουργικής και πρακτικής ευφυΐας (μόνο με αυτή της εύρεσης των διαστάσεων του κουτιού με τα 24 πακέτα), αφού τις υπόλοιπες ασκήσεις τις έλυσε σωστά. Όσον αφορά την άσκηση 1 της δημιουργικής ευφυΐας, που ζητούσε από το μαθητή να κατασκευάσει στερεά με 9 κύβους, αυτός κατασκεύασε στο χαρτί μόνο δυο με βάσεις που αποτελούνταν από περισσότερους κύβους σε σχέση με το δεύτερο και τρίτο στρώμα. Όταν ρωτήθηκε γιατί δεν κατασκευάζει άλλα στερεά, η απάντησή του μαρτυρούσε δυσκολίες στο σχεδιασμό χωρίς ισομετρικό χαρτί. Ακόμα, τα σχήματα που έκανε δεν απεικόνιζαν στερεό αλλά μια δισδιάστατη απεικόνιση του στερεού (πρόσοψη ή πλάγια όψη). Τα σχέδια του παρουσιάζουν τα μέρη του αντικειμένου αλλά δεν είναι ακόμη οπτικά ρεαλιστικά. Έτσι, άρχισε να παίζει με την εφαρμογή «Κυβοκατασκευές» και να κατασκευάζει παράξενα στερεά από εννέα κύβους που δεν θα μπορούσε, όπως λέει και ο ίδιος να τα σχεδιάσει στο χαρτί γιατί είναι δύσκολα (εικόνα 2). Επιλέγει πλέον να κατασκευάζει βάσεις στερεών που αποτελούνται από λιγότερους κύβους σε σχέση με τα στρώματα που βρίσκονται από πάνω τους. Εικόνα 2 10 o Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 221

Επίσης, ζητήθηκε από το μαθητή, ως επιπρόσθετη δραστηριότητα να κατασκευάσει ένα στερεό 3Χ3Χ3 έχοντας στη διάθεση του 9 κόκκινους, 9 πράσινους και 9 κίτρινους κύβους, αλλά κάθε σειρά να έχει μόνο ένα χρώμα. Ο μαθητής χωρίς ιδιαίτερη δυσκολία κατάφερε και το κατασκεύασε. Όταν έκανε λάθος, επειδή έπαιρνε άμεση ανατροφοδότηση από το λογισμικό, διόρθωνε το λάθος του και προχωρούσε. Με άλλα λόγια, ασκήσεις οι οποίες στο χαρτί μοιάζουν ακατόρθωτες, στο λογισμικό γίνονται δυνατές για λύση και εύκολες. Στην άσκηση 4 δημιουργικής ευφυΐας, ο μαθητής στο χαρτί δίνει μόνο μια λανθασμένη λύση (4 κύβοι με εμβαδό 16 τετραγωνικές μονάδες αντί 18) έστω και εάν δίνεται ισομετρικό χαρτί. Αρχικά, ρωτήθηκε πόσο είναι το εμβαδό εξωτερικής επιφάνειας του στερεού που ζωγράφισε και δήλωσε «18, αφού είναι 4 κύβοι». Μετά, από επιμονή της ερευνήτριας μετρά ξανά και ξανά και βρίσκει 16, οπότε και εντοπίζει το λάθος του. Τότε, μέσω της εφαρμογής, κατασκευάζει ένα στερεό αφήνοντας τους 3 κύβους στη θέση που υπόδειξε στο σχέδιο του και μετατοπίζει τον ένα «προς τα έξω για να ελευθερωθεί η μια του η πλευρά» όπως χαρακτηριστικά δήλωσε. Ακολούθως, κατάφερε να κατασκευάσει 11 στερεά από 4 κύβους αλλά με εμβαδό εξωτερικής επιφάνειας 18. Δεν έμεινε στο ένα επίπεδο (μια σειρά επίπεδη από κύβους), αλλά προχώρησε και στο δεύτερο και τρίτο επίπεδο (εικόνα 3). Κάθε φορά έλεγχε το εμβαδό εξωτερικής επιφάνειας από το παράθυρο «Στατιστικής». Εικόνα 3 Τέλος, στην άσκηση πρακτικής ευφυΐας, ο μαθητής αυτός δυσκολεύτηκε αρκετά. Δεν μπορούσε να συνδυάζει τρεις διαστάσεις. Συγκεκριμένα, σε ένα αρχικό στάδιο ήθελε να τοποθετήσει 24 κύβους σε μια σειρά, αλλά δυσκολευόταν επειδή δεν υπάρχει μια τέτοια μεγάλη πλατφόρμα στο λογισμικό. Μετά από αρκετή συζήτηση με την ερευνήτρια, η οποία τον προβλημάτισε ποιοι αριθμοί όταν πολλαπλασιαστούν κάνουν 24, κατάφερε και σχεδίασε ένα στερεό 6Χ4Χ1 (=24). Ακολούθως, αυτό το «έστησε» όπως είπε και ο ίδιος, δηλαδή το τοποθέτησε έτσι ώστε να έχει ως βάση την έδρα 6Χ1. Αναφερόταν μόνο στις διαστάσεις του στερεού που κατασκεύασε. Ακολούθως, κατασκεύασε ένα επίπεδο σχήμα 8Χ3 και το κάθετό του. Στη συνέχεια, η ερευνήτρια για να βοηθήσει το μαθητή να προεκτείνει τη σκέψη του και στις τρεις διαστάσεις τοποθέτησε στο στημένο σχήμα 6Χ4Χ1, ένα κύβο δίπλα από τον πρώτο του κάτω επιπέδου. Κάλεσε το μαθητή να το συμπληρώσει ώστε να υπάρχουν μόνο 24 κύβοι ο ένας δίπλα από τον άλλο. Έτσι, κατάφερε και σχεδίασε το στερεό 4Χ3Χ2. Με λίγα λόγια, ο συγκεκριμένος μαθητής μέτριας επίδοσης επίλυσε ασκήσεις δημιουργικής ευφυΐας μέσω του λογισμικού, δίνοντας πολλαπλές λύσεις τις οποίες έχοντας στη διάθεση του ένα επίπεδο σχήμα του κύβου ή του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου δεν θα μπορούσε να τις σκεφτεί. Δηλαδή, η δυνατότητα οπτικοποίησης που προσφέρει το λογισμικό και η δυναμικές του αναπαραστάσεις βοηθούν το μαθητή να σκέφτεται πιο παραγωγικά και να δίνει λύσεις σε προβλήματα 10 o Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 222

που προηγουμένως θα του φαίνονταν δύσκολα και πολύπλοκα χωρίς σημασία για αυτόν. 10 o Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 223

Συμπεράσματα Μέσα από την ανάλυση των δεδομένων στο δοκίμιο με ασκήσεις όγκου διαπιστώθηκε ότι τα παιδιά είχαν τη μεγαλύτερη επιτυχία στις αναλυτικές ασκήσεις. Όμως, οι αιτιολογήσεις τους πολλές φορές βασίζονταν σε λανθασμένο συλλογισμό (λανθασμένη μέτρηση κύβων ή σύγκριση οπτικά). Με εφαρμογή cluster analysis σχηματίζονται δύο ομάδες ασκήσεων. Στη μία ομάδα διαχωρίζονται οι ασκήσεις που αφορούν την αναλυτική ευφυΐα, γεγονός που δηλώνει διαφορετικό χειρισμό από τους μαθητές. Αυτό οδηγεί σε αυτό που τονίζει ο Sternberg (1996, 2003), ότι πρέπει να δίνεται έμφαση και στις πρακτικές και δημιουργικές ικανότητες. Οι υπόλοιπες δραστηριότητες εντάχθηκαν σε μία ομάδα. Κύριο χαρακτηριστικό των ασκήσεων αυτών είναι ότι απαιτούν τη σύνθεση στερεών. Ως εκ τούτου, παρατηρείται ότι η φύση των ασκήσεων φαίνεται να επηρεάζει σε μεγαλύτερο βαθμό τον τρόπο χειρισμού τους από τους μαθητές σε σχέση με το είδος ευφυΐας που απαιτείται για την επίλυσή τους. Κατ επέκταση, το είδος νοημοσύνης που απαιτείται για επίλυση μιας άσκησης δεν είναι το πρωταρχικό στοιχείο που επηρεάζει τη συμπεριφορά των μαθητών απέναντι στην άσκηση αυτή αλλά υπεισέρχονται και άλλοι παράγοντες. Βέβαια, το θέμα αυτό χρήζει περαιτέρω εξέτασης. Με αξιοποίηση του λογισμικού DALESΤ, παρατηρήθηκε ότι τόσο οι μαθητής χαμηλής επίδοσης όσο και μέτριας επίδοσης, βοηθήθηκαν από αυτό. Η δημιουργικότητά τους φάνηκε να διευρύνεται ενώ παράλληλα τα παιδιά κατάφεραν να λύσουν σωστά ασκήσεις που στο αρχικό δοκίμιο είχαν κάνει λάθος. Ιδιαίτερα αισθητή γίνεται η επίδραση του λογισμικού στις περιπτώσεις των ασκήσεων που οι μαθητές παρουσίαζαν μεγάλες δυσκολίες στην επίλυσή τους με μολύβι και χαρτί στο αρχικό δοκίμιο. Μέσα από την οπτικοποίηση που προσφέρει το λογισμικό και τη δυναμική του φύση, οι μαθητές κατάφεραν να λύσουν τέτοιες ασκήσεις, κάποιες φορές δίνοντας και περισσότερες από μία απαντήσεις. Όμως, θα πρέπει να αναφερθεί ότι η εργασία των μαθητών στο δοκίμιο και με τον υπολογιστή διαφοροποιείται και προς το γεγονός ότι στη δεύτερη περίπτωση γινόταν παράλληλα συζήτηση με την ερευνήτρια. Επίσης, τη χρονική περίοδο που χορηγήθηκε το δοκίμιο, μόλις είχε γίνει εισαγωγή στην ενότητα της στερεομετρίας ενώ όταν έγινε η εργασία με το λογισμικό, η διδασκαλία στην ενότητα αυτή είχε προχωρήσει, επομένως δεν είναι ασφαλές να θεωρηθεί ότι η βελτίωση οφείλεται εξ ολοκλήρου στο λογισμικό. Παρόλα αυτά, μέσα από τη χρήση του λογισμικού παρατηρήθηκε ότι οι μαθητές είναι σε θέση να χειριστούν καλύτερα τις σχέσεις των τρισδιάστατων στερεών και να καταλήξουν ευκολότερα σε ορθή απάντηση. Η εφαρμογή «Κυβοκατασκευές» του λογισμικού DALEST βοήθησε τους μαθητές να ξεπεράσουν τον εαυτό τους και να υποδείξουν λύσεις που σε διαφορετικές συνθήκες εργασίας θα ήταν πολύ δύσκολο. Αναφορές Αγγλικές Battista, M. T. (1999). Fifth graders enumeration of cubes in 3D arrays: Conceptual progress in an inquiry-based classroom. Journal for Research in Mathematics Education, 30(4), 417-448. 10 o Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 224

Battista, M. T., & Clements, D. H. (1996). Students understanding of threedimensional rectangular arrays of cubes. Journal for Research in Mathematics Education, 27(3), 258-292. Ben-Chaim, D., Lappan, G., & Houang, R. T. (1985). Visualizing rectangular solids made of small cubes: Analyzing and effecting students performance. Educational Studies in Mathematics, 16, 389-409. Christou, C., Jones, K., Mousoulides, N. & Pittalis, M. (2006). Developing the 3DMath dynamic geometry software: theoretical perspectives on design. International Journal for Technology in Mathematics Education, 13(4), 168-174. Christou, C., Pittalis, M., Mousoulides, N., & Jones, K. (2005). Developing 3D Dynamic Geometry Software: theoretical perspectives on design. In F. Olivero & R. Sutherland (Eds), Visions of Mathematics Education: Embedding Technology in Learning; Proceedings of the 7th International Conference on Technology and Mathematics Teaching (pp 69-77). Bristol, UK. Christou, C., Pittalis, M., Mousoulides, N., Pitta, D., Jones, K., Sendova, E., et al. (2007). Developing an Active Learning Environment for the Learning of Stereometry. Paper presented at the 8th International Conference on Technology in Mathematics Teaching. Hradec Králové, Czech Republic. Sternberg, R. J. (1985). Beyond IQ: a triarchic theory of human intelligence. Cambridge: Cambridge University Press. Sternberg, R. J. (1996). Equal Protection Under the Law: What Is Missing in Education. Psychology, Public Policy, and Law, 2(3/4), 575-583. Sternberg, R. J. (2003). A Broad View of Intelligence. The Theory of Successful Intelligence. Consulting Psychology Journal: Practice and Research, 55(3), 139-154. Sternberg, R. J., Torff, B., & Grigorenko, E. L. (1998). Teaching Triarchically Improves School Achievement. Journal of Educational Psychology, 90(3), 374-384. Ελληνικές Χρίστου, K., Sendova, E., Matos, J.F., Jones, K., Ζαχαριάδης, T., Πίττα, Δ., Μουσουλίδης, Ν., Πιττάλης, Μ., Boytchev, P., Mesquita, M., Chehlarova, T., & Lozanov, C. (2007). Δραστηριότητες στη Στερεομετρία με το λογισμικό DALEST. Κύπρος. 10 o Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 225