qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj klzxcvλοπbnαmqwertyuiopasdfghjklz ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ xcvbnmσγqwφertyuioσδφpγρaηsόρ ωυdfghjργklαzxcvbnβφδγωmζqwert λκοθξyuiύασφdfghjklzxcvbnmqwerty uiopaβsdfghjklzxcεrυtγyεuνiιoαpasdf ghjklzxcηvbnασφδmqwertασδyuiopa sdfασδφγθμκxcvυξσφbnmσφγqwθeξ τσδφrtyuφγςοιopaασδφsdfghjklzxcv ασδφbnγμ,mqwertyuiopasdfgασργκο ϊτbnmqwertyσδφγuiopasσδφγdfghjk lzxσδδγσφγcvbnmqwertyuioβκσλπp asdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdγαε ορlzxcvbnmqwertyuiopasdfghjkαεργ
Πριν ξεκινήσω την αναφορά στο Πυθαγόρειο Θεώρημα θα πρέπει να αναφέρω κάποιες προαπαιτούμενες θεωρίες. ΟΜΟΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Δύο τρίγωνα θα λέμε ότι είναι όμοια αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες. Α Α Το λ ονομάζεται λόγος ομοιότητας των δύο τριγώνων ΑΒΓ, Α Β Γ και συμβολίζουμε με : ΑΒΓ Α Β Γ Β Γ Β Γ =λ και ΒΑΣΙΚΟ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Δύο τρίγωνα θα λέμε ότι είναι όμοια αν έχουν δύο γωνίες ίσες μία προς μία. Α ΑΒΓ Α Β Γ Α i) Β Γ Β Γ ii) iii) οπότε : ΣΗΜΕΙΩΣΗ i. Αν δύο τρίγωνα είναι ίσα τότε είναι και όμοια. ΣΩΣΤΟ Διότι και οι τρείς πλευρές τους είναι ίσες μία προς μία, άρα οι λόγοι των πλευρών τους (τα κλάσματα) θα είναι μεταξύ τους ίσοι με λ=1. ii. Αν δύο τρίγωνα είναι όμοια τότε είναι και ίσα. ΛΑΘΟΣ Όπως καταλαβαίνουμε όταν δύο τρίγωνα είναι όμοια τότε το ένα τρίγωνο θα είναι ίσο ή μεγέθυνση του άλλου, άρα όχι μόνο ίσα. Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Σελίδα 1
Με τη βοήθεια της προηγούμενης θεωρίας θα αποδείξουμε μια βοηθητική πρόταση για το Πυθαγόρειο Θεώρημα ΠΡΟΤΑΣΗ: Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ισχύει: <<Το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της πλευράς αυτής στην υποτείνουσα.>> ΑΠΟΔΕΙΞΗ Γ Θα δείξω ότι : Πάντα φέρνουμε το ύψος ΑΔ Θα δείξω ότι τα τρίγωνα Δ ΑΒΓ,ΑΒΔ είναι όμοια. ΑΒΓ Α Β i) ii) iii) ΑΡΑ: ΣΗΜΕΙΩΣΗ Στο πιο πάνω σχήμα μπορούμε να εφαρμόσουμε το ίδιο θεώρημα και για την άλλη κάθετη πλευρά ΑΓ: Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Σελίδα 2
Πάμε τώρα να αποδείξουμε το ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ σύμφωνα με τη θεωρία της Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ: Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ισχύει: <<Το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών.>> Δηλ. Θα δείξουμε ότι : ΑΠΟΔΕΙΞΗ Γ Πάντα φέρνουμε το ύψος ΑΔ Από το προηγούμενο θεώρημα έχουμε : και Δ ΑΡΑ: Α Β Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Σελίδα 3
Μια άλλη απόδειξη του Πυθαγορείου Θεωρήματος, μία από τις πολλές που υπάρχουν, είναι και η παρακάτω όπου χρησιμοποιεί τη γνωστή ταυτότητα Α και το εμβαδό τριγώνου, το εμβαδό τετραγώνου α Θ β Στο διπλανό τετράγωνο ΑΒΓΔ θεωρούμε Β τα σημεία Θ,Ε,Ζ,Η στις πλευρές ΑΒ,ΒΓ,ΓΔ,ΔΑ β Ε έτσι ώστε ΑΘ=ΒΕ=ΓΖ=ΗΔ=α και γ Η γ Η β ΘΒ=ΕΓ=ΖΔ=ΗΑ=β, οπότε έχουμε δύο α τετράγωνα το ΑΒΓΔ πλευράς α+β και το ΕΖΗΘ Δ β Ζ α Γ πλευράς γ και τα εμβαδά τους θα δίνονται από τους τύπους : και. Τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΘΗ, ΘΒΕ, ΖΓΕ, ΗΔΖ είναι ίσα διότι έχουν ίσες τις κάθετες πλευρές τους οπότε τα εμβαδά τους θα δίνονται από τους τύπους : γ γ Παρατηρούμε ότι το μεγάλο τετράγωνο φτιάχνεται από το μικρό τετράγωνο και από τα 4 ορθογώνια τρίγωνα.η σχέση, που συνδέει όλα αυτά τα εμβαδά είναι : Η τελευταία σχέση αποτελεί το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο καθένα από τα ίσα ορθογώνια τρίγωνα που έχουν υποτείνουσα την γ. Μιας και αναφέραμε τα δύο θεωρήματα της Β Λυκείου, για την απόδειξη του Πυθαγορείου Θεωρήματος, θα παρουσιάσω και τα υπόλοιπα, για να ολοκληρωθεί η παράγραφος. Αρχικά θα αναφέρω ένα Πόρισμα : Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Σελίδα 4
ΠΟΡΙΣΜΑ : Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ισχύει: Ο λόγος των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών είναι ίσος με το λόγο των προβολών τους στην υποτείνουσα. Δηλ. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Θα δείξουμε ότι : Γ Πάντα φέρνουμε το ύψος ΑΔ Από το προηγούμενο θεώρημα έχουμε : και Δ ΑΡΑ: Α Β ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ Όταν το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς ενός τριγώνου είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την μεγαλύτερη πλευρά. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Y Στο τριγ.αβγ ισχύει ότι: Κ Γ Θ.δ.ο. Ορίζω στους άξονες Οχ,Οy σημεία Ε,Κ αντίστοιχα τέτοια O Ε x Α Β ώστε ΟΕ=ΑΒ, ΟΚ=ΑΓ. Οπότε έχουμε : αφού το τριγ.οκε είναι ορθογώνιο με, Άρα τα δύο τρίγωνα είναι ίσα αφού έχουν και τις 3 πλευρές ίσες. Οπότε και το τριγ.αβγ είναι ορθογώνιο με ΒΓ=υποτείν. Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Σελίδα 5
ΘΕΩΡΗΜΑ: Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ισχύει: <<Το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα είναι ίσο με το γινόμενο των προβολών των κάθετων πλευρών σε αυτήν.>> ΑΠΟΔΕΙΞΗ Γ Θα δείξω ότι : Θα δείξω ότι τα τρίγωνα 1 Δ ΑΒΔ,ΑΓΔ είναι όμοια. 1 2 2 Πάντα φέρνουμε το ύψος ΑΔ Α Β ΑΒΔ i) +, άρα ii) iii) ΑΡΑ: Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Σελίδα 6
ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1. Στο παρακάτω ορθογώνιο τρίγωνο ΚΛΜ με να συμπληρωθούν οι ισότητες:,,, Λ Κ ΛΥΣΗ Α Μ 2. Δίνεται ορθ. τριγ. ΑΒΓ με, ΑΒ = 3μ. και ΒΓ=5μ.Να υπολογιστούν: i. Η κάθετη ΑΓ. ii. Η προβολή της ΑΓ στη υποτείνουσα. iii. Η προβολή της ΑΒ στη υποτείνουσα. iv. Το ύψος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα. ΛΥΣΗ i. Β Εφαρμόζω το Πυθ.Θεωρ.: 3 5 Α Γ Χ ii. Β Εφαρμόζω το θεώρημα: 3 Δ Δ Α 4 Γ. Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Σελίδα 7
iii. Β =z Αφού γνωρίζουμε το ΒΓ=5 και το 5 ΔΓ= τότε: ΔΒ= z =5-3 z = z =. Α 4 Γ iv.. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1) Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με φέρουμε το ύψος ΑΔ. Αν είναι ΑΒ=5 και ΒΔ=, να διατάξετε κατά αύξουσα σειρά μήκους τα τμήματα : ΑΓ, ΒΓ, ΓΔ και ΑΔ. 2) Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ και το ύψος του ΒΔ. Να αποδειχθεί ότι ισχύει : 3) Θεωρούμε ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΟΑΒ ( και ευθεία ε που διέρχεται από το Ο και δεν έχει κοινά σημεία με την. Ονομάζουμε Γ, Δ τις προβολές των Α, Β στην ε. Να δειχθεί ότι. 4) Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με, το ύψος του ΑΔ και ονομάζουμε Ε, Ζ τις προβολές του Δ στις ΑΒ, ΑΓ αντιστοίχως. Να αποδειχθεί ότι ισχύει : Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Σελίδα 8
Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Σελίδα 9