ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ

Transcript

1 Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου-Απ Παπανικολάου ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων και και το συμβολίζουμε με α β τον πραγματικό αριθμό αβ α β συν φ, όπου φ η γωνία των διανυσμάτων και Αν 0 ή 0, τότε ορίζουμε 0 Άμεσες συνέπειες του παραπάνω ορισμού είναι οι εξής: α β βα (Αντιμεταθετική ιδιότητα) Αν α β τότε α β 0 και αντιστρόφως Αν α β τότε α β α β και αντιστρόφως Αν α β τότε α β α β και αντιστρόφως Το εσωτερικό γινόμενο α α συμβολίζεται με α α α συν0 α Επομένως α α α και λέγεται τετράγωνο του α Έχουμε: Ειδικότερα, για τα μοναδιαία διανύσματα i και j του καρτεσιανού επίπεδου ισχύουν: i j ji 0 και i j Αναλυτική Έκφραση Εσωτερικού Γινομένου Με αρχή το Ο παίρνουμε τα διανύσματα OA α και y Β(,y ) OB β Από το νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο ΟΑΒ έχουμε την ισότητα Α(,y ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) συν, η οποία ισχύει και στην περίπτωση που τα σημεία Ο,Α,Β είναι συνευθειακά Όμως είναι ( ) ( ) ( y y ), ( ) y και ( ) θ Ο a y Επομένως, έχουμε διαδοχικά: ( ) ( y y) y y ( )( ) συν y y y y y y ( )( ) συν και επειδή α β ( )( ) συν, έχουμε τελικά: y y Δηλαδή: Το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι ίσο με το άθροισμα των γινομένων των ομώνυμων συντεταγμένων τους Με τη βοήθεια της αναλυτικής έκφρασης του εσωτερικού γινομένου θα αποδείξουμε ότι ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες: λα βα( λβ) λ( αβ), λr α ( βγ ) αβαγ (Επιμεριστική Ιδιότητα) αβ λ λ όπου λ λ α και λ λ, ( α, β // yy ) β

2 Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου-Απ Παπανικολάου Πράγματι, αν (, y ), (, y ) και (, y ), τότε έχουμε: ( ) (, )(, ) ( ) ( ) ( ) ( y y y y yy ) και ( ) (, y )(, y ) ( ) y ( y ) ( y y ) ( ) Άρα, ( ) ( ) ( ) ( ) (, y )(, y y ) ( ) y ( y y ) ( ) ( yy yy ) ( yy ) ( yy ) y y αβ αβ0 y y 0 y y λ λ Συνημίτονο Γωνίας δύο Διανυσμάτων Αν (, y ) και (, y ) είναι δύο μη μηδενικά διανύσματα του επιπέδου που σχηματίζουν γωνία θ, τότε και επομένως, α β συνθ α β Είναι όμως yy, y και y Επομένως, Έστω OA α και καθέτου συνθ α, v δύο διανύσματα του επιπέδου με 0 α y y y y Προβολή Διανύσματος σε Διάνυσμα Με αρχή ένα σημείο Ο παίρνουμε τα διανύσματα OM ν Από το Μ φέρνουμε κάθετο στη διεύθυνση του OA και έστω M το ίχνος της Το διάνυσμα OM λέγεται προβολή του ν στο α και συμβολίζεται με προ β α ν Δηλαδή, OM προ β α ν Για το εσωτερικό γινόμενο των α και ν έχουμε: v (OM M M) OM M M OM προ Ο v θ M M a A Επομένως: α ν απροβ ν α

3 Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου-Απ Παπανικολάου ÐïéÝò áðü ôéò ðáñáêüôù ðñïôüóåéò åßíáé óùóôýò και ποιες λάθος; Á í â ã ô ü ô å á â á ã Á í á â á ã á 0 ô ü ô å â ã á â ã á â ã ë á ë á, ë R 5 á â á á â â 6 á â á â á â á â Á í á â ô ü ô å á â Á í á â ô ü ô å á â Á í á â ô ü ô å á â á â á â á â

4 Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου-Απ Παπανικολάου Ασκήσεις στο εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων Aν για τα διανύσματα ισχύουν, και (, ) να βρεθεί διάνυσμα // ( a - ) και ( + ) τέτοιο ώστε Να βρεθεί η τιμή του λ R έτσι ώστε τα διανύσματα u ( a ) i ( a ) j και v a i ( a ) j να είναι κάθετα Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ με AB a και a 5, όπου γνωστά μοναδιαία διανύσματα κάθετα μεταξύ τους Α) Να εκφραστεί το διάνυσμα υπολογιστούν τα μήκη των πλευρών του τριγώνου Β) Να εκφραστεί η διάμεσος των διανυσμάτων και να υπολογιστεί το μήκος της Αν ως γραμμικός συνδυασμός των και να ως γραμμικός συνδυασμός είναι μη μηδενικά διανύσματα να αποδειχθεί ότι η δευτεροβάθμια εξίσωση: ( a ) a ( ) 0 δεν έχει ρίζες πραγματικές και άνισες 5 Να αναλυθεί το διάνυσμα a = (, ) σε δυο κάθετες συνιστώσες από τις οποίες η μια είναι κάθετη στο διάνυσμα = (, ) 6 Αν για τα διανύσματα ισχύουν, και 7 Αν για τα διανύσματα ισχύουν α) το και β) η γωνία (, ) 7 (, ) να βρεθεί το μέτρο του διανύσματος 6 και (, ) να βρεθούν: 8 Αν τα διανύσματα του χώρου, είναι ανά δύο κάθετα και έχουν μέτρα, 5, το μέτρο του διανύσματος 9 Αν για τα διανύσματα, ισχύει και - = 0 a και a να βρεθεί να αποδειχθεί ότι a - = 0 0 Αν τα διανύσματα, είναι μοναδιαία και ικανοποιούν τη σχέση a + + = 0 να αποδειχθεί ότι a Αν για τα διανύσματα του χώρου να βρεθεί η γωνία (, ), ισχύουν,, a και (, ) Αν τα διανύσματα με a σχηματίζουν γωνία ( ) με 0 < ( ) < και

5 Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου-Απ Παπανικολάου ( a + ) (5 a - ) να αναλυθεί το διάνυσμα σε δυο συνιστώσες παράλληλες προς τα αντίστοιχα, αν γνωρίζουμε ότι και (, ) Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει είναι ορθογώνιο στο Α όπου Δ είναι η προβολή του Α πάνω στο ΒΓ τότε το τρίγωνο Αν τα διανύσματα ( ) ( ) ( ) ( ) 0 a να υπολογίσετε το 5 Δίνονται τα διανύσματα δεν είναι παράλληλα και ισχύει: μέτρου με (, ) Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός χ ώστε το διάνυσμα να έχει ελάχιστο μέτρο Για αυτή την τιμή του χ να αποδειχθεί ότι τα διανύσματα και είναι κάθετα 6 Έστω u, u δυο μοναδιαία και μη συγγραμμικά διανύσματα και + u Δείξτε ότι ( u, u ) ( u, u ) u ένα διάνυσμα κάθετο στο διάνυσμα u 7 Αποδείξτε διανυσματικά ότι αν οι διαγώνιες παραλληλογράμμου είναι κάθετες τότε αυτό είναι ρόμβος, Αποδείξτε ότι αν 8 Δίνονται τα διανύσματα a και τότε Με βάση την παραπάνω πρόταση αποδείξτε ότι τα ύψη τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο 9 Αποδείξτε τις ισοδυναμίες: α) a β) a a 0 Δίνονται τα διανύσματα Δίνονται τα διανύσματα κάθε α, β R να βρείτε το, Αν,, 5 a και u, u με u Αν τα διανύσματα α u + βu, u και το u u a 0 να βρείτε το βu - αu είναι κάθετα για Δίνονται τα διανύσματα του χώρου, που σχηματίζουν, ανά δύο, γωνία και είναι μοναδιαία Να βρείτε τα διανύσματα που ανήκουν στο επίπεδο των, Σε ορθοκανονικό σύστημα δίνονται τα διανύσματα (, ), (, ) 6 Να αναλύσετε το διάνυσμα και είναι κάθετα στο a, με,, 5 a και σε δυο συνιστώσες κατά τις διευθύνσεις των Θεωρούμε τα διανύσματα Να δειχθεί ότι το διάνυσμα είναι συγγραμμικό με τη 5

6 Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου-Απ Παπανικολάου διχοτόμο της γωνίας των διανυσμάτων 5 α) Δίνονται τα διανύσματα με 0 Δείξτε ότι β) Αν a = (, - ), = (, ) να δειχθεί ότι 6 Έστω τα μοναδιαία διανύσματα 0 (a ) 5 Αν τα διανύσματα, σχηματίζουν γωνία π/ να βρείτε την γωνία των διανυσμάτων 7 Τα κάθετα διανύσματα έχουν μέτρα και αντίστοιχα Να βρεθεί διάνυσμα με μέτρο που να διχοτομεί την γωνία των 8 Αν τα μοναδιαία και συνεπίπεδα διανύσματα, επαληθεύουν την σχέση ( )( ) 0 ότι δύο από αυτά είναι αντίθετα 9 Αν τα διανύσματα, είναι μοναδιαία και 0 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ Αν a τότε 0 και να δείξετε ότι: a δείξτε α) Να αποδείξετε ότι β) Αν χ, ψ πραγματικοί αριθμοί με χ + ψ = 00 να βρείτε το μέγιστο και το ελάχιστο της παράστασης Α = - χ + ψ Σε πλαγιογώνιο σύστημα αξόνων τα διανύσματα a = (, ), = (, 0) είναι κάθετα Να βρείτε την γωνία των μοναδιαίων διανυσμάτων των αξόνων Αν τα διανύσματα, είναι μοναδιαία και (, ) όπου χ πραγματικός αριθμός Να λυθεί η εξίσωση ( ) όπου 0 6, (, ) να λυθεί η εξίσωση 5 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ η διάμεσος ΑΜ και το ύψος του ΑΔ Δείξτε ότι : 6 Δίνονται τα διανύσματα a = (-, ), = (, - 5) Να βρείτε διάνυσμα τέτοιο ώστε 5 και 8 7 Δίνονται τα διανύσματα a = (χ + ψ, ), a = (, χ ψ + 5) να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς χ, ψ αν 8 Δίνονται τα σταθερά σημεία Α, Β με 8 Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ για τα οποία ισχύει 9 9 Δίνονται τα σταθερά σημεία Α, Β με Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ για τα

7 Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου-Απ Παπανικολάου οποία ισχύει 6 0 Δίνονται τα σταθερά σημεία Α, Β με 8 Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ για τα οποία ισχύει 50 Δίνονται τα σταθερά σημεία Α, Β Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ για τα οποία ισχύει Δίνονται τα σταθερά σημεία Α, Β με 8 Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ για τα οποία ισχύει 7 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ Βρείτε τον γτ των σημείων Μ για τα οποία ισχύει: Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και το μέσο Δ της ΒΓ Να βρείτε τον γτ των σημείων Μ του επιπέδου του ΑΒΓ για τα οποία ισχύει: 5 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν με τον άξονα χ χ γωνίες θ, θ, θ δείξτε ότι : γσυνθ + ασυνθ + βσυνθ = 0, όπου γ, α, β είναι τα μήκη των παραπάνω διανυσμάτων αντίστοιχα 6 Αν δείξτε ότι 7 Έστω ΑΔ διάμεσος του τριγώνου ΑΒΓ Αν ισχύει η σχέση: ( ) ( ) να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές με κορυφή το Α 8 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με AB g Αν Ε είναι το εμβαδόν του να αποδείξετε ότι: b και α) a b g a b β) Ε = ( a b a b)( a b a b) 9 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με ( a b ) ( a b) Μ γ) Να βρεθεί ο γ τ των σημείων Μ για τα οποία ισχύει: 7 AB a και A b Αν Ε είναι το εμβαδόν του να αποδείξετε ότι Ε = 50 Θεωρούμε στο επίπεδο τα σημεία Α(-, ), Β(, ), Γ(-, 0) α) Να βρεθεί ένα σημείο Ρ του επιπέδου τέτοιο ώστε : 5 0 β) Σε κάθε σημείο Μ του επιπέδου αντιστοιχούμε τον αριθμό: f(m)= α) Να δειχθεί ότι f(γ) = 8 β) Να δειχθεί ότι f(μ) = βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ όταν f(μ) = f(ρ) γ) Να 5 Δίνονται τα σημεία Α(-, - ), Β(, 0 ), Γ(0, ) ενός ορθοκανονικού συστήματος συντεταγμένων Οχψ α) Να βρεθούν οι συντεταγμένες (χ, ψ) ενός σημείου Ρ συναρτήσει του αριθμού t όταν 8 t t ( t ) β) Να δειχθεί ότι για t = 0 ισχύει γ) Να βρεθεί ο γεωμ τόπος των σημείων Μ για τα οποία ισχύει όπου α > 0 5 Θεωρούμε τα σημεία Α, Β ενός επιπέδου (π) α) Αν Ρ είναι ένα σημείο του (π) τέτοιο ώστε δειχθεί ότι β) Να δειχθεί ότι η παράσταση 0 να είναι ανεξάρτητη του σημείου

8 Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου-Απ Παπανικολάου 5 Θεωρούμε ένα τετράγωνο ΑΒΓΔ που έχει κέντρο Ο και πλευρά α Ένα σημείο Μ κινείται στην πλευρά ΑΒ Έστω Ν η προβολή του Μ στη ΓΔ α) Να βρεθεί η θέση του Μ για την οποία η περίμετρος Τ της τεθλασμένης γραμμής ΟΜΝΒ είναι ελάχιστη β) Να δειχθεί ότι η ελάχιστη τιμή της Τ είναι a ( 0 ) 5 Στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι i j και 8 i 6 j όπου i, j τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων ενός ορθοκανονικού συστήματος α) Να βρεθεί το διάνυσμα της διχοτόμου ΒΔ και να υπολογιστεί το μέτρο του β) Να δειχθεί ότι 55 Αν οι διάμεσοι ΒΜ, ΓΝ ενός τριγώνου ΑΒΓ τέμνονται κάθετα τότε: συνα 56 Θεωρούμε τα μη μηδενικά διανύσματα, για τα οποία ισχύουν: και ( ) 5 a - = Να υπολογιστούν οι γωνίες ( ) και (, ) 57 Θεωρούμε ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με, και Ν τέτοια ώστε και δειχθεί ότι μλ + λ μ = 8 με λ, μ * R Αν τα διανύσματα 0 60 Θεωρούμε τα σημεία Μ,, είναι κάθετα να 58 Θεωρούμε τα διανύσματα, αν, (, ), (, ) και τα μέτρα των 6, είναι,, αντίστοιχα τότε: α) Τα, δεν είναι συνεπίπεδα β) Θεωρούμε το διάνυσμα v συνεπίπεδο των, και τέτοιο ώστε να έχει μέτρο και (, ), (, ), να δειχθεί ότι 6 ( ) γ) Θεωρούμε και το διάνυσμα u, να δειχθεί ότι: ( ) u 59 Θεωρούμε τα μη μηδενικά διανύσματα α) Να δειχθεί ότι το μέτρο του διανύσματος a είναι a ίσο με β) Να δειχθεί ότι το διάνυσμα a είναι παράλληλο με τη διχοτόμο της γωνίας των a 8