Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1
Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2
ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος λέγεται ο φυσικός αριθμός που διαιρείται με το 2,ενώ περιττός λέγεται ο φυσικός αριθμός που δε διαιρείται με το 2. 2. Ποιες είναι οι ιδότητες της πρόσθεσης φυσικών αριθμών; Α. Αντιμεταθετική ιδιότητα: α + β = β + α Β. Προσεταιριστική ιδιότητα: α + ( β + γ ) = ( α + β ) + γ Γ. α + 0 = 0 +α = α 3. Ποιες είναι οι ιδότητες ολλαπλασιασμού φυσικών αριθμών; Α. Αντιμεταθετική ιδιότητα: α. β = β. α Β. Προσεταιριστική ιδιότητα: α ( β γ ) = ( α β ) γ Γ. α 1 = 1 α = α Δ. Επιμεριστική του πολλαπλασιασμού ως προς τη πρόσθεση : α ( β + γ ) = α β + α γ Ε. Επιμεριστική του πολλαπλασιασμού ως προς την αφαίρεση α ( β -γ ) = α β -α γ 4. Τι ονομάζουμε ν-οστή δύναμη του α ( α,ν φυσικοί αριθμοί); Το γινόμενο α α α... α που έχει ν πλήθος παράγοντες ίσους με α και συμβολίζεται αν 5. Τι ονομάζουμε Αριθμητική παράσταση; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε σειρά αριθμών που συνδέονται μεταξύ τους με τα σύμβολα των τεσσάρων πράξεων. 6. Ποια είναι Προτεραιότητα των πράξεων σε μια αριθμητική παράσταση; Προτεραιότητα των πράξεων σε μια αριθμητική παράσταση λέγεται η σειρά με την οποία πρέπει να κάνουμε τις πράξεις στη παράσταση αυτή. Η σειρά αυτή είναι: 1.Υπολογισμός δυνάμεων 3
2. Πολλαπλασιασμοί και διαιρέσεις 3. Προσθέσεις και αφαιρέσεις. Αν υπάρχουν πράξεις σε παρενθέσεις κάνουμε τις πράξεις μέσα σε αυτές με την προηγούμενη σειρά. 7. Ποιος είναι ο αλγόριθμος της Ευκλείδειας διαίρεσης; Ευκλείδεια διαίρεση: Δ = δ π + υ, όπου 0 υ < δ. Ο αριθμός Δ λέγεται διαιρετέος, ο δ διαιρέτης, ο π πηλίκο και ο υ υπόλοιπο. 8. Τι ονομάζουμε τέλεια διαίρεση; Όταν το υπόλοιπο είναι 0 και τότε έχουμε Δ = δ π 9. Να συμπληρώσετε τις επόμενες ισότητες. α : α =..., α : 1 =..., 0 : α =... 10. Τι ονομαζουμε πολλαπλάσιο ενός φυσικού αριθμού; Πολλαπλάσιο ενός φυσικού ονομάζουμε κάθε αριθμό που προκύπτει από το πολλαπλασιασμό του α με κάθε ένα από τους φυσικούς 0, 1, 2, 3, 4 κλπ. 11. Τι ονομαζουμε διαιρέτη ενός φυσικού αριθμού; Διαιρέτης ενός φυσικού αριθμού α λέγεται κάθε αριθμός που τον διαιρεί. 12. Ποιος αριθμός λέγεται πρώτος; Πρώτος λέγεται ο αριθμός που έχει διαιρέτες τον εαυτό του και τη μονάδα, ενώ σύνθετοςο αριθμός που εκτός από τον εαυτό του και τη μονάδα έχει και άλλους διαιρέτες. 13. Τι ονομαζουμε Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο δύο ή και περισσότερων αριθμών; Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π) δύο ή και περισσότερων αριθμών είναι το μικρότερο από τα κοινά πολλαπλάσια των αριθμών αυτών. 14. Τι ονομαζουμε Μέγιστο Κοινό Διαιρέτη δύο ή και περισσότερων αριθμών; Μέγιστο Κοινό Διαιρέτη (Μ.Κ.Δ) δύο ή και περισσοτέρων αριθμών είναι το μεγαλύτερο από τους κοινούς διαιρέτες των αριθμών αυτών. 15. Τι ονομαζουμε απλοποίηση ενός κλάσματος; Απλοποίηση λέγεται η διαδικασία της εύρεσης ενός ισοδύναμου κλάσματος προς το αρχικό, με μικρότερους όρους. 16. Ποιο κλάσμα λέγεται ανάγωγο; Ανάγωγο λέγεται το κλάσμα που δεν απλοποιείται. 17. Ποια κλάσματα λέγονται ομώνυμα και ποια ετερώνυμα; 4
Ομώνυμα λέγονται εκείνα που έχουν τον ίδιο παρονομαστή ενώ ετερώνυμα εκείνα που έχουν διαφορετικούς παρονομαστές. 18. Να συμπληρώσετε τις επόμενες προτάσεις, ώστε να είναι σωστές. Α. Αν δύο κλάσματα είναι ομώνυμα, μεγαλύτερο είναι εκείνο που έχει το... αριθμητή. Β. Αν δύο κλάσματα είναι ετερώνυμα, τα μετατρέπουμε σε...και συγκρίνουμε τους αριθμητές τους. Γ. Αν δύο κλάσματα έχουν τον ίδιο αριθμητή, μεγαλύτερο είναι εκείνο που έχει τον... παρονομαστή. 19. Να συμπληρώσετε τις επόμενες προτάσεις, ώστε να είναι σωστές. Α. Ένα κλάσμα είναι... της μονάδας όταν ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος του παρονομαστή. Β. Ένα κλάσμα είναι...της μονάδας όταν ο αριθμητής είναι μικρότερος του παρονομαστή. Γ. Ένα κλάσμα είναι... με τη μονάδα όταν ο αριθμητής ισούται με το παρονομαστή του 20. Ποια κλάσματα λέγονται αντίστροφα; Αντίστροφα κλάσματα λέγονται τα κλάσματα που έχουν γινόμενο τη μονάδα. 21. Να διατυπώστε τις ιδιότητες του πολλαπλασιασμού Το 1 όταν πολλαπλασιαστεί με ένα φυσικό αριθμό δεν τον μεταβάλλει. Αντιμεταθετική και Προσεταιριστική ιδιότητα. Επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση και ως προς την αφαίρεση. 5
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. 1. Από δυο ομώνυμα κλάσματα μεγαλύτερο είναι εκείνο που έχει τον μικρότερο παρονομαστή. 2. Για να προσθέσουμε δύο ομώνυμα κλάσματα πρώτα προθέτουμε τους παρονομαστές τους. 3. Ετερώνυμα κλάσματα είναι αυτά που έχουν διαφορετικούς παρονομαστές. 4. 5. 2 5 10 5 10 100000 6. 1 2014 2014 7. xxxxx 5 x 8. α. 0 ( 0) 9. 1 10. 1 1, 0 Να συμπληρώσετε τα επόμενα κενά, ώστε να προκύψουν αληθείς προτάσεις: 1.... λέγονται τα κλάσματα που δεν απλοποιούνται. 2. Τα κλάσματα που έχουν διαφορετικό παρονομαστή λεγονται... 3. Δυο αριθμοί λέγονται αντίστροφοι, όταν. 4.Ομώνυμα κλάσματα λέγονται εκείνα που έχουν... 5. Για να πολλαπλασιάσουμε δυο κλάσματα.. 6. Στην δύναμη 2014 9 το 9 λέγεται της δύναμης και το 2014. 7. Ένας αριθμός λέγεται σύνθετος όταν έχει περισσότερους από.διαιρέτες. 8. Για να βρούμε τα πολλαπλάσια ενός αριθμού πολλαπλασιάζουμε τον αριθμό με όλους τους..αριθμούς. 9. Μπορεί η ισότητα 46=5 8+6 να εκφράζει αλγόριθμο ευκλείδειας διαίρεσης; Αν ναι, να συμπληρώσετε τα επόμενα κενά: Δ=, δ=, π=., υ=. 6
10. Να συμπληρώσετε με «>», «<» ή «=» τα παρακάτω κενά, ώστε να προκύψουν αληθείς σχέσεις: 5 4... 6 6, 7 7... 3 5, 10 15... 8 12. 11. Να γραφούν με πιο σύντομο τρόπο οι παρακάτω παραστάσεις: α) xxx y y =... και β) x yx y x =... 12. Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 3 ή το 9, αν το των ψηφίων του διαιρείται με το ή το αντίστοιχα. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση σε καθένα από τα επόμενα ερωτήματα : α. Το κλάσμα 5 6 είναι ισοδύναμο με το β. Το κλάσμα 12 5 (i) 10 8 είναι (ii) 15 20 (iii) 20 24 (i) μικρότερο από 1 (ii) μεγαλύτερο από 1 (iii) ίσο με 1 γ. Ο μεικτός αριθμός 4 2 3 σημαίνει (i) 4 + 2 3 (ii) 4 + 2 3 (iii) 4 2 3 δ. Αν α 4 = 9 12, τότε ο αριθμός α είναι ίσος με (i) 2 (ii) 3 (iii) 8 ε. Το 1 5 του αριθμού 10 είναι (i) 15 (ii) 50 (iii) 2 7
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 ΘΕΜΑ 1 ο Α. Πότε δυο κλάσματα λέγονται ισοδύναμα; Να γράψετε δύο ισοδύναμα κλάσματα. Β. Να συμπληρώσετε τα επόμενα κενά, ώστε να προκύψουν αληθείς προτάσεις: α.... λέγονται τα κλάσματα που δεν απλοποιούνται. β. Τα κλάσματα που έχουν διαφορετικό παρονομαστή λεγονται... Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Αν πολλαπλασιάσουμε και τους δυο όρους ενός κλάσματος με το 3, τότε το αρχικό κλάσμα γίνεται 3 φορές μεγαλύτερο. 9 3 β. Τα κλασματα και είναι αντίστροφα. 5 4 ΘΕΜΑ 2 ο Να μετατρέψετε τα παρακάτω κλάσματα σε ομώνυμα: i) 1 3 και 2 5 ii) 3 5 και 7 20 iii) 3 2 και 1 7 ΘΕΜΑ 3 ο Α. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις : α = 3 2 + 2 3 5 και β = 5 (4 2 9) 35:7 Β. Να απλοποιήσετε το κλάσμα α β μέχρι να γίνει ανάγωγο. Γ. Να αναλύσετε τους αριθμούς α και β σε γινόμενα πρώτων παραγόντων. Δ. Να βρείτε το ΕΚΠ και τον ΜΚΔ των αριθμών α και β. (όπου α και β είναι οι αριθμοί που βρήκατε στο ερώτημα (Α) ) 8
ΘΕΜΑ 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2 Α. Να γράψετε με πιο σύντομο τρόπο τις επόμενες παραστάσεις: α. x x x x β. xx x γ. 4x 2x 3x Β. Αν Δ είναι ένας φυσικός αριθμός ποια μπορεί να είναι τα υπόλοιπα της ευκλείδειας διαίρεσης Δ:5; Γ. Μπορεί η ισότητα 46=5 8+6 να εκφράζει αλγόριθμο ευκλείδειας διαίρεσης; Αν ναι, να συμπληρώσετε τα επόμενα κενά: Δ=, δ=, π=., υ=. ΘΕΜΑ 2 ο Δίνονται οι παραστάσεις: 2 24 18 2 12 4 2 2 3 5 3 5 3 K και Α. Να εκτελέσετε τις πράξεις και να δείξετε ότι 24 και 1 26 2 2 3 9 1 3 2 2 3 1 3 2 8 4 Β. Να βρείτε τον αντίστροφο του από το ερώτημα (Α) και να τον ονομάσετε. Γ. Αφού αναλύσετε τα και σε γινόμενο πρώτων παραγόντων να βρείτε το, και τον,, όπου τα, είναι οι αριθμοί από τα ερωτήματα (Α) και (Β). ΘΕΜΑ 3 ο Δίνονται οι παραστάσεις: 3 2 3 23 5 (9 7) 8 52 87 4 5 και 2 2 Α. Να δείξετε ότι 124 και 56. Β. Να εξετάσετε αν ο αριθμός διαιρείται συγχρόνως με το 2, με το 3, με το 5 και με το 9, όπου και οι αριθμοί του ερωτήματος (Α). Γ. Να βρείτε το Μ.Κ.Δ.,, όπου και οι αριθμοί του ερωτήματος (Α). 4 4 9
Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 10
ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ σημείο Α ΣΗΜΕΙΟ ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜ Ο ΤΜΗΜΑ άπειρες ευθείες από Α παράλληλα ευθύγραμμα τμήματα ΕΥΘΕΙΑ ευθεία ε ευθεία ε ΗΜΙΕΥΘΕΙΑ ημιευθεία Αx το σημείο Ο χωρίζει μια ευθεία σε δύο ημιευθείες Οx και Οx τεμνόμενες ευθείες κάθετ ες ευθείε ς παράλληλες ευθείες 11
από το Α μία μόνο κάθετη στην ε από το Α μία μόνο παράλληλη στην ε τρία σημεία ορίζουν ένα επίπεδο Η ευθεία ε ανήκει ολόκληρη στο επίπεδο Π ΕΠΙΠΕΔΟ ΗΜΙΕΠΙΠΕΔ Ο Η ευθεία ε τέμνει το επίπεδο Π Η ευθεία χωρίζει ένα επίπεδο σε δύο ημιεπίπεδα απόσταση δύο σημείων ΑΠΟΣΤΑΣΗ απόσταση δύο παράλληλων ευθειών 12
απόσταση σημείου Α από ευθεία ε γωνία διχοτόμος γωνίας κατακορυφήν γωνίες παραπληρωματι κές γωνίες ΓΩΝΙΑ εφεξής γωνίες διαδοχικές γωνίες συμπληρωματικ ές γωνίες 13
οξεία γωνία ορθή γωνία αμβλεία γωνία ευθεία γωνία κύκλος(ο, ρ) και κυκλικός δίσκος χορδή ΑΒ η διάμετρος ΑΒ χωρίζει τον κύκλο σε 2 ημικύκλια Κύκλος δύο σημεία Α και Β του κύκλου ορίζουν δύο τόξα του κύκλου Μ1 εσωτερικό του (Ο, ρ) Μ2 σημείο του (Ο, ρ) Μ3 εξωτερικό του (Ο, ρ) Επίκεντρη γωνία ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΘΕΣΕΙΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΥ εξωτερική εφαπτόμενη τέμνουσα εφαπτόμενα τμήματα 14
ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Να απαντήσετε στις επόμενες ερωτήσεις 1. Στο επόμενο σχήμα είναι ΑΒΓ =90 0. Να γράψετε ένα ζεύγος γωνιών που είναι α. Κατακορυφήν β. Εφεξής γ. Συμπληρωματικές δ. Παραπληρωματικές 2. Πότε δυο γωνίες λέγονται παραπληρωματικές; Αν μια γωνία είναι 65 πόσες μοίρες είναι η παραπληρωματική της γωνία; 3. Ποιες γωνίες ονομάζονται συμπληρωματικές και ποιες παραπληρωματικές; 4. Ποιες γωνίες ονομάζονται κατακορυφή ; Ποια η μεταξύ τους σχέση; Να σχεδιάσετε δύο κατακορυφήν γωνίες 5. Να χαρακτηρίσετε τις γωνίες α, β, γ, δ, ε που δίνονται στα επόμενα σχήματα: α β γ δ ε 6. Σε ποια από τα επόεμενα σχήματα οι σημειωμένες γωνίες είναι εφεξής; Να δικαιλογήσετε την απάντησή σας. 7. Να δώσετε τους ορισμούς της αμβλείας, της ορθής και της ευθείας γωνίας. 8. Πότε δυο γωνίες ονομάζονται συμπληρωματικές; Να υπολογίσετε τη συμπληρωματική της γωνίας α=37 ο 9. Πότε δύο γωνίες λέγονται παραπληρωματικές, πότε συμπληρωματικές και πότε κατακορυφήν ; 10. Να σχεδιάσετε: α. δύο εφεξής παραπληρωματικές γωνίες, β. δύο εφεξής συμπληρωματικές γωνίες και 15
γ. δύο κατακορυφήν γωνίες. 11. Ti ονομάζεται διχοτόμος μιας γωνίας; 12. Τι ονομάζεται κύκλος; 12. Να ονομάσετε τα στοιχεία του κύκλου: ΑΓ, ΕΖ,ΒΔ,, όπως φαίνονται στο διπλανό σχήμα 13. Να δώσετε τους ορισμούς α. Κυκλικός δίσκος. β. Διάμετρος κύκλου. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. 1. Οι κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες 2. Οι διαδοχικές γωνίες είναι ίσες. 3. Παραπληρωματικές ονομάζονται οι γωνίες που έχουν άθροισμα 90 ο 4. Οι συμπληρωματικές γωνίες έχουν άθροισμα 90 ο 5. Ευθεία γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 360 ο. 6. Συμπληρωματικές γωνίες ονομάζονται δύο γωνίες που έχουν άθροισμα 180 ο. 7. Μία γωνία που έχει μέτρο ίσο με o 185 είναι αμβλεία. 8. Η ακτίνα ενός κύκλου είναι διπλάσια της διαμέτρου. 9. Δύο κύκλοι με ακτίνες άνισες είναι ίσοι. 10. Ένα σημείο που απέχει από το κέντρο του κύκλου όσο η ακτίνα του κύκλου βρίσκεται στο κυκλικό δίσκο του. 16
Να συμπληρώσετε τα επόμενα κενά, ώστε να προκύψουν αληθείς προτάσεις 1. Μη κυρτή γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μεγαλύτερο των και μικρότερο των 2. Εφεξής γωνίες ονομάζονται δύο γωνίες που έχουν την, μία και δεν έχουν κανένα άλλο 3. Κατακορυφήν γωνίες ονομάζονται δυο γωνίες που έχουν κορυφή και τις δυο πλευρές τους ημιευθείες. 4. Μία ευθεία γωνία εχει μέτρο... 5. Μια ορθή γωνία έχει μέτρο... 6. Ευθεία γωνία λέγεται η γωνία που ισούται με... 7. Συμπληρωματικές λέγονται οι γωνίες που έχουν άθροισμα... Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης Α με ένα στοιχείο της στήλης Β. 1. Να αντιστοιχίσετε κάθε γωνία της στήλης Α με το μέτρο της που βρίσκεται στη στήλη Β. ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β 1. Ορθή γωνία α. 0 2. Πλήρης γωνία β. 1 3. Ευθεία γωνία Γ. 360 4. Μηδενική γωνία Δ. 180 ε. 90 2. Να αντιστοιχίσετε κάθε γωνία ω της στήλης Α με την αντίστοιχη ονομασία της από τη στήλη Β. ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β α. ω = 180 1. Πλήρης γωνία β. ω < 90 2. Μηδενική γωνία γ. ω = 0 3. Αμβλεία γωνία δ. ω = 360 4. Ευθεία γωνία ε. 90 < ω < 180 5. Οξεία γωνία 17
3. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης Α με ένα μόνο στοιχείο της στήλης Β, ώστε να προκύψουν αληθείς σχέσεις ή προτάσεις : ΣΤΗΛΗ Α Είδος γωνίας ΣΤΗΛΗ Β Μέτρο γωνίας Α) Ορθή 1) Μικρότερο από 90 ο Β) Αμβλεία 2) Ίσο με 90 ο 3) Μεγαλύτερο από 90 ο και μικρότερο Γ) Οξεία από 180 ο Δ) Μη κυρτή 4) Ίσο με 180 ο 5) Μεγαλύτερο από 180 ο και μικρότερο από 360 ο σετε στην κόλλα σας, το γράμμα της στήλης Α με τον αριθμό της στήλης Β, ώστε να προκύψουν αληθείς σχέσεις ή προτάσεις. 4. Να αντιστοιχί ΣΤΗΛΗ Α (είδος γωνίας) ΣΤΗΛΗ B (Χαρακτηριστικά γωνιών) α. Ορθή γωνία 1. Το μέτρο της είναι 360 β. Πλήρης γωνία 2. Οι πλευρές της είναι αντικείμενες ημιευθείες γ. Οξεία γωνία 3. Οι πλευρές της είναι κάθετες ημιευθείες. δ. Ευθεία γωνία 4. Το μέτρο της είναι μικρότερο από 90 18
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 ΘΕΜΑ 1 Ο Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. 1. Οι κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες 2. Παραπληρωματικές ονομάζονται οι γωνίες που έχουν άθροισμα 90 ο 3. Οι συμπληρωματικές γωνίες έχουν άθροισμα 90 ο 4. Συμπληρωματικές γωνίες ονομάζονται δύο γωνίες που έχουν άθροισμα 180 ο. 5. Μία γωνία που έχει μέτρο ίσο με o 185 είναι αμβλεία. ΘΕΜΑ 2 Ο Μία γωνία είναι ˆ 35. Να υπολογίστε: α) Τη συμπληρωματική της β) Τη παραπληρωματική της γ) Τη κατακορυφή της Σε κάθε περίπτωση να τισς σχεδιάσετε ΘΕΜΑ 3 Ο Να υπολογίσετε τις γωνίες ω και φ του επόμενου σχήματος : χ' 63 ω 145 φ χ 19
20