ΑΝΤΟΧΗ IΔIOTHTEΣ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΒΙΟΛΟΓΙΚΩΝ ΥΛΙΚΩΝ

Transcript

1 ΤΕΙ ΛΑΡΙΣΑΣ ΣΤΕΓ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΒΙΟΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΝΤΟΧΗ IΔIOTHTEΣ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΒΙΟΛΟΓΙΚΩΝ ΥΛΙΚΩΝ (ΔΙΑΛΕΞΕΙΣ) Δρ. ΧΡΥΣΟΥΛΑ ΠΑΠΑΪΩΑΝΝΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΟΣ ΓΕΩΠΟΝΙΑΣ (ΤΜΗΜΑ Γ.Μ.Α. 1982) ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΣ Ε.Μ.Π. (1986) ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΣΕΛΕΤΕ (1991) ΔΙΔΑΚΤΟΡΑΣ ΓΕΩΠΟΝΙΑΣ Π.Θ. (2007) ΛΑΡΙΣΑ 2011

2 1 Αγαπητοί σπουδαστές εκτός από το βιβλίο που θα προμηθεύεστε για το μάθημα της ΑΝΤΟΧΗΣ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ μέσω του προγράμματος ΕΥΔΟΞΟΣ, παίρνετε και το παρόν σύγραμμα, Συγκεντρώστε την προσοχή σας στα σημεία που επισημαίνονται στο παρόν σύγγραμμα, συμπληρώστε την τελευταία σελίδα που βρίσκεται στο τέλος κάθε διάλεξης παραδίδετε τις ασκήσεις που σας ζητούνται θεωρείστε ότι η επιτυχία είναι ένα puzzle το οποίο συμπληρώνεται από την 1 η κιόλας διάλεξη και η επιτυχία σας στο μάθημα της ΑΝΤΟΧΗΣ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ το οποίο ομολουγουμένως είναι από τα δυσκολότερα στο ωρολόγιο πρόγραμμα των Μηχανικών εν γένει, είναι εξασφαλισμένη. Ευχαριστώ θερμά την κα Μαλέτσικα Περσεφόνη η οποία βοήθησε στη συγγραφή του παρόντος Λάρισα Δρ. Χρυσούλα Παπαϊωάννου

3 Αντικείμενο 1 ης διάλεξης: 4 ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΤΗΣ ΑΝΤΟΧΗΣ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ... 4 ΕΙΔΗ ΚΑΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ... 4 ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΕΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ ΦΟΡΕΩΝ... 4 ΠΑΡΑΔΟΧΕΣ ΤΗΣ ΑΝΤΟΧΗΣ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΤΗΣ ΑΝΤΟΧΗΣ ΥΛΙΚΩΝ ΕΙΔΗ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΕΩΝ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΕΩΝ ΕΙΔΗ ΦΟΡΤΙΩΝ ΕΙΔΗ ΦΟΡΕΩΝ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΗΣ ΡΑΒΔΩΝ. ΓΕΝΙΚΑ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΗΣ ΡΑΒΔΟΥ ΣΥΓΚΕΚΡΙΜΕΝΗΣ ΔΙΑΤΟΜΗΣ ΠΑΡΑΔΟΧΕΣ ΤΗΣ ΑΝΤΟΧΗΣ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΜΟΝΑΔΩΝ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑ ΥΠΟΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑ ΜΟΝΑΔΩΝ Αντικείμενο 2 ης διάλεξης: ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΤΑΣΗΣ-ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΕΙΔΗ ΤΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΕΝΤΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΕΙΔΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ σ-ε ΓΙΑ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ σ-ε ΓΙΑ ΘΛΙΨΗ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΤΑΣΗΣ-ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΕΙΔΗ ΤΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΕΝΤΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΕΙΔΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ σ-ε ΓΙΑ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟ, ΣΤΟ ΧΑΛΥΒΑ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ σ-ε ΓΙΑ ΘΛΙΨΗ Αντικείμενο 3 ης διάλεξης: ΟΛΚΙΜΗ ΚΑΙ ΨΑΘΥΡΗ ΘΡΑΥΣΗ ΕΞΙΔΑΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΟΛΚΙΜΗ ΚΑΙ ΨΑΘΥΡΗ ΘΡΑΥΣΗ ΕΞΙΔΑΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ Αντικείμενο 4 ης διάλεξης: ΣΤΑΤΙΚΗ ΤΑΣΗ ΘΡΑΥΣΗΣ ΔΙΑΣΤΟΛΗ ΚΑΙ ΣΥΣΤΟΛΗ ΘΡΑΥΣΗΣ.. 40 ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΗ ΤΑΣΗ - ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΑΣΦΑΛΕΙΑΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΑΣΗ ΘΡΑΥΣΗΣ - ΚΟΠΩΣΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΤΑΣΗ ΘΡΑΥΣΗΣ ΔΙΑΣΤΟΛΗ ΚΑΙ ΣΥΣΤΟΛΗ ΘΡΑΥΣΗΣ ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΗ ΤΑΣΗ - ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΑΣΦΑΛΕΙΑΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΑΣΗ ΘΡΑΥΣΗΣ - ΚΟΠΩΣΗ Αντικείμενο 5 ης διάλεξης: ΑΞΟΝΙΚΟΣ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ-ΘΛΙΨΗ ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ HOOKE ΑΞΟΝΙΚΟΣ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ-ΘΛΙΨΗ- ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ HOOKE Αντικείμενο 6 ης διάλεξης: ΔΙΑΣΤΑΣΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΦΕΛΚΥΟΜΕΝΗΣ ΡΑΒΔΟΥ ΔΙΑΣΤΑΣΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΦΕΛΚΥΟΜΕΝΗΣ ΡΑΒΔΟΥ Αντικείμενο 7 ης διάλεξης: ΔΙΑΤΜΗΤΙΚΗ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΗ ΗΛΟΥ

4 ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΗ ΤΟΥ ΕΛΑΣΜΑΤΟΣ ΔΙΑΤΜΗΤΙΚΗ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΗ ΗΛΟΥ Αντικείμενο 8 ης διάλεξης: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΥ ΚΕΝΤΡΟΥ ΒΑΡΟΥΣ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΔΙΑΤΟΜΩΝ ΓΕΝΙΚΑ Αντικείμενο 9 ης διάλεξης: ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΕΣ ΔΙΑΤΟΜΕΣ ΕΛΑΣΜΑΤΩΝ ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΕΣ ΔΙΑΤΟΜΕΣ ΕΛΑΣΜΑΤΩΝ Αντικείμενο 10 ης διάλεξης: ΕΙΔΗ ΔΟΚΩΝ ΤΡΟΠΟΙ ΣΤΗΡΙΞΗΣ ΔΟΚΩΝ ΕΙΔΗ ΔΟΚΩΝ ΤΡΟΠΟΙ ΣΤΗΡΙΞΗΣ ΔΟΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΑΝΤΙΔΡΑΣΕΩΝ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΟΚΩΝ Αντικείμενο 11 ης διάλεξης: ΚΑΜΨΗ ΚΑΘΑΡΗ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΗ ΚΑΜΨΗ ΠΑΡΑΔΟΧΕΣ ΤΗΣ ΚΑΜΨΗΣ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΤΗΣ ΚΑΜΨΗΣ ΚΑΜΨΗ ΚΑΘΑΡΗ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΗ ΚΑΜΨΗ ΠΑΡΑΔΟΧΕΣ ΚΑΜΨΗΣ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΤΗΣ ΚΑΜΨΗΣ Αντικείμενο 12 ης διάλεξης: ΣΥΝΘΗΚΗ ΑΝΤΟΧΗΣ - ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΔΙΑΤΟΜΗΣ ΣΤΗΝ ΚΑΜΨΗ.. 99 ΤΡΟΠΟΙ ΣΤΗΡΙΞΗΣ ΔΟΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΑΝΤΙΔΡΑΣΕΩΝ ΣΥΝΘΗΚΗ ΑΝΤΟΧΗΣ - ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΔΙΑΤΟΜΗΣ ΣΤΗΝ ΚΑΜΨΗ Αντικείμενο 13 ης διάλεξης: ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΗΣΗΣ ΔΙΑΤΟΜΗΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΗΣΗΣ ΔΙΑΤΟΜΗΣ Αντικείμενο 14 ης διάλεξης: ΣΤΡΕΨΗ ΣΤΡΕΨΗ ΣΤΡΕΨΗ ΡΑΒΔΟΥ ΚΥΚΛΙΚΗΣ ΔΙΑΤΟΜΗΣ Αντικείμενο 15 ης διάλεξης: ΑΝΤΟΧΗ ΒΙΟΛΟΓΙΚΩΝ ΥΛΙΚΩΝ Παράρτημα ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΕΣ ΔΙΑΤΟΜΕΣ Βιβλιογραφία

5 4 Αντικείμενο 1 ης διάλεξης: ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΤΗΣ ΑΝΤΟΧΗΣ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΕΙΔΗ ΚΑΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΕΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΠΑΡΑΔΟΧΕΣ ΤΗΣ ΑΝΤΟΧΗΣ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ

6 5 1.1 ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΤΗΣ ΑΝΤΟΧΗΣ ΥΛΙΚΩΝ Το μάθημα της Αντοχής των Υλικών διαπραγματεύεται τα είδη των καταπονήσεων που υφίστανται τα διάφορα υλικά στις διάφορες κατασκευές, έτσι ώστε τα υλικά αυτά να μη θραύονται με την επενέργεια των εξωτερικών φορτίων αλλά να ανθίστανται, ώστε οι αναπόφευκτες παραμορφώσεις τους να μην υπερβαίνουν κάποια όρια. Τα όρια αυτά προκύπτουν είτε από κατασκευαστικούς λόγους, είτε από λόγους δεοντολογίας. Ανάλογα συμπεριφέρονται και τα βιολογικά υλικά, δηλαδή οι σπόροι και τα οπωροκηπευτικά, η αντοχή των οποίων αποτελεί το αντικείμενο της 15 ης διάλεξης. Στις πρώτες διαλέξεις προσδιορίζονται: τα επικίνδυνα όρια φόρτισης των διαφόρων υλικών σε αρκετά είδη καταπονήσεων και στη συνέχεια καθορίζονται τα επιτρεπτά όρια φόρτισης για κάθε είδος φόρτισης, καθορίζεται το πλέον κατάλληλο σχήμα των φορέων και στη συνέχεια, υπολογίζονται οι διαστάσεις αυτών, ώστε να μπορούν να παραλάβουν με ασφάλεια, (έναντι του κινδύνου θραύσης αλλά και έναντι της υπερβολικής παραμόρφωσης) και συγχρόνως κατά τον οικονομικότερο δυνατό τρόπο τη φόρτιση, η οποία είναι δυνατόν να προέρχεται: 1. Από εξωτερικές δυνάμεις οι οποίες προορίζονται να υποβαστάξουν και οι οποίες οφείλονται σε μόνιμα ή κινητά φορτία. 2. Από καταπονήσεις που προέρχονται από θερμοκρασιακές μεταβολές ή από υποχωρήσεις στηρίξεων, ή από αυτεντατικές καταστάσεις λόγω κατασκευαστικής ατέλειας, κ.λ.π. 3. Από το ίδιο το βάρος του φορέα ή της κατασκευής. 1.2 ΕΙΔΗ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΕΩΝ Τα μόρια των υλικών σωμάτων λόγω των δυνάμεων συνοχής και συνάφειας αντιστέκονται στην επιβολή εξωτερικών δυνάμεων οι οποίες τείνουν να το παραμορφώσουν ή ακόμα να το θραύσουν. Οι εξωτερικές αυτές δυνάμεις επενεργούν στα σώματα με διάφορους τρόπους και προκαλούν διάφορα είδη απλών και σύνθετων καταπονήσεων. Τα είδη των απλών καταπονήσεων είναι τα εξής: 1) Εφελκυσμός: Ένα σώμα καταπονείται σε εφελκυσμό, όταν επενεργούν δύο ίσες και αντίθετες δυνάμεις οι οποίες τείνουν να το διασπάσουν. 2) Θλίψη: Ένα σώμα καταπονείται σε θλίψη, όταν επάνω του επενεργούν δύο ίσες και αντίθετες δυνάμεις οι οποίες τείνουν να το συνθλίψουν. 3) Διάτμηση: Ένα σώμα καταπονείται σε διάτμηση, όταν δύο ίσες και αντίθετες δυνάμεις επενεργούν κάθετα στον άξονα του. 4) Κάμψη: Ένα σώμα καταπονείται σε κάμψη, όταν οι δυνάμεις ενεργούν κάθετα στον άξονα του. Αναπτύσσονται τότε ροπές κάμψης και προκαλείται καμπύλωση της δοκού. 5) Στρέψη: Ένα σώμα καταπονείται σε στρέψη, όταν οι δυνάμεις αποτελούν ζεύγος με επίπεδο κάθετο στον άξονα του, το οποίο τείνουν να περιστρέψουν. 6) Λυγισμός: Ο λυγισμός από άποψη δράσης των δυνάμεων μοιάζει με τη θλίψη, ενώ από άποψη παραμορφώσεων μοιάζει με την κάμψη. Τελικά όμως διαφέρει αρκετά και από τις δύο προηγούμενες, αποτελώντας ιδιαίτερο τρόπο καταπόνησης, η οποία μάλιστα, είναι πολύ επικίνδυνη στις κατασκευές.

7 6 Πίνακας 1.1 Τα διάφορα είδη των απλών καταπονήσεων Τα είδη των σύνθετων καταπονήσεων, προκύπτουν από το συνδυασμό δύο, ή και περισσότερων απλών καταπονήσεων, π.χ. εφελκυσμός και κάμψη συγχρόνως, στρέψη και κάμψη, εφελκυσμός και διάτμηση κ.λ.π., ή και συνδυασμός περισσοτέρων από δύο είδη καταπονήσεων. Ένα σώμα, εκτός από εξωτερικές δυνάμεις, μπορεί να καταπονείται και από άλλες αιτίες, όπως είναι η θερμοκρασιακή μεταβολή, οι γεωμετρικοί καταναγκασμοί που προέρχονται από κατασκευαστική ατέλεια, κ.λ.π. Συγκεκριμένα, αν εμποδίζεται η ελεύθερη διαστολή της ράβδου, λόγω αύξησης της θερμοκρασίας, αυτό έχει σαν αποτέλεσμα, να αναπτύσσονται θλιπτικές δυνάμεις στις δύο στηρίξεις της. Σύνθετη καταπόνηση (α) Σχήμα 1.1 Θλίψη λόγω εμποδιζόμενης διαστολής (β)

8 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΕΩΝ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ 1. Το συρματόσχοινο μιας ανυψωτικής μηχανής όπως το βαρούλκο του Σχ. 1.2 ή όπως αυτό του Σχ Σχ Απλό βαρούλκο (1. Συρματόσχοινο, 2. Τύμπανο). Σχ Ανύψωση φορτίων 2. Η αλυσίδα ανάρτησης ενός φορτίου καταπονείται σε εφελκυσμό (Σχ. 1.4) Σχ Ανάρτηση φορτίου με αλυσίδα (1. Κρίκος αλυσίδας που καταπονείται σε εφελκυσμό).

9 8 3. Οι κοχλίες που συγκρατούν το καπάκι ενός κυλίνδρου στον οποίο επικρατεί υψηλή πίεση (Σχήμα 1.5) Σχ Κύλινδρος με πίεση (1. Κύλινδρος, 2. Κοχλίες, 3. Καπάκι κυλίνδρου ΘΛΙΨΗ 1. Οι δοκοί στήριξης (πόδια) της συσκευής (Σχ. 1.6). Σχ Τα ελάσματα (1) και (2) που συσφίγγονται από τον κοχλία (3) Σχ Σχ. 1.7

10 9 3. Το βάκτρο (6) και ο διωστήρας (2) των μηχανισμών στροφάλου, που διακρίνονται στα Σχ. 1.8 και 1.9 αντίστοιχα. Σχ Μηχανισμός στροφάλου μιας Μ.Ε.Κ (1. Έμβολο, 2. Διωστήρας, 3. Στρόφαλο, 4. Κύλινδρος, 5. Ζύγωμα, 6. Βάκτρο). Σχ Μηχανισμός στροφάλου χωρίς βάκτρο (1. Έμβολο, 2. Διωστήρας) ΔΙΑΤΜΗΣΗ 1. Ο ήλος (καρφί) που συνδέει τα ελάσματα 1 και 2, όταν σ αυτό εφαρμόζεται δύναμη Ρ (Σχ. 1.10). Σχ Σύνδεση ελασμάτων με ήλους.

11 10 2. Στο Σχ φαίνεται η σύνδεση μιας ατράκτου μηχανής μ έναν οδοντωτό τροχό (γρανάζι) με τη βοήθεια μιας εγκάρσιας σφήνας. Καθώς περιστρέφεται η άτρακτος και ο οδοντωτός τροχός αντιστέκεται γιατί είναι συνδεδεμένος με κάποιο φορτίο, η σφήνα καταπονείται σε διάτμηση στις θέσεις 4 και 5. Σχ Σύνδεση ατράκτου και οδοντωτού τροχού με εγκάρσια σφήνα (1. Άτρακτος, 2. Οδοντωτός τροχός, 3. Εγκάρσια σφήνα, 4, 5. Θέσεις καταπόνησης σε διάτμηση ΚΑΜΨΗ Σε κάμψη καταπονείται η γερανογέφυρα του Σχ Σχ Γερανογέφυρα σε εγκαταστάσεις επεξεργασίας μαρμάρων ΣΤΡΕΨΗ 1. Ο κορμός του κατσαβιδιού (Σχ. 1.13) καταπονείται σε στρέψη κατά την περιστροφή ενός κοχλία. Σχ. 1.13

12 11 2. Ο κοχλίας της μέγγενης (Σχ ) καταπονείται σε στρέψη κατά την περιστροφή του (1. Σιαγόνες, 2. Χειρομοχλός, 3. Κοχλίας). Σχ Η άτρακτος (1) της αντλίας (Σχ. 1.15). Σχ Ο κοχλίας του εξολκέα εδράνων κυλίσεως (ρουλεμάν) (Σχ. 1.16) Σχ (1. Κοχλίας εξολκέα (=καταπονείται σε στρέψη), 2. Χειρομοχλός περιστροφής).

13 12 5. Το ημιαξόνιο ενός αυτοκινήτου είναι ο μηχανισμός με τον οποίο μεταφέρεται η κίνηση στους κινητήριους τροχούς. Συνδέεται με το διαφορικό και δέχεται τη ροπή στρέψης (Σχ. 1.17). Σχ (1. Ημιαξόνιο = καταπονείται σε στρέψη, 2. Πολύσφηνο, 3. Μηχανισμός μετάδοσης της ροπής στρέψης στο τροχό (φλάντζα) ΛΥΓΙΣΜΟΣ Όταν σε μια λεπτή και μακριά ράβδο ενεργούν, όπως και στη θλίψη, δύο δυνάμεις ίσες σε μέγεθος, αντίθετης φοράς που προσπαθούν να τη βραχύνουν, τότε η ράβδος αυτή καταπονείται σε λυγισμό. Επειδή και στον λυγισμό και στη θλίψη οι δυνάμεις ενεργούν με τον ίδιο τρόπο υπάρχει το πιο κάτω κριτήριο διαχωρισμού των δυο καταπονήσεων. Μια ράβδος καταπονείται σε λυγισμό (και όχι σε θλίψη) όταν το μήκος της είναι μεγαλύτερο από το οκταπλάσιο της μικρότερης διάστασης της διατομής της (Σχ. 1.18). Σε λυγισμό καταπονούνται οι κολώνες οικοδομών και γεφυρών, οι κολώνες γερανών (Σχ. 1.12), ο διωστήρας και το βάκτρο μιας μηχανής (Σχ. 1.8 και 1.9), κ.λ.π. Σχ. 1.18

14 ΕΙΔΗ ΦΟΡΤΙΩΝ Τα εξωτερικά φορτία (δυνάμεις ή ροπές) που ασκούνται σε ένα φορέα ή σε μία κατασκευή γενικότερα, σε σχέση με το χρόνο επιβολής τους διακρίνονται σε: 1) Ημιστατικά φορτία, όταν αυξάνουν ομαλά, διατηρούν σταθερή τιμή για ένα χρονικό διάστημα και στη συνέχεια απομακρύνονται. 2) Μόνιμα ή πάγια φορτία, όταν καταπονούν μόνιμα μία κατασκευή. Σαν τέτοιο φορτίο χαρακτηρίζεται το ίδιο βάρος της κατασκευής. 3) Κρουστικά φορτία, όταν δρουν απότομα με όλη τους την ένταση επάνω σε μία κατασκευή. Τέτοια φορτία προκύπτουν για μία γέφυρα, όταν οι δύο πρώτοι τροχοί του τρένου εισέρχονται σε αυτή. Το αποτέλεσμα τέτοιων φορτίων είναι η διάδοση τάσεων κυματικής μορφής και αποτελούν έντονη εντατική κατάσταση. 4) Εναλλασσόμενα φορτία, όταν μεταβάλλονται ομαλά με την πάροδο του χρόνου. Τα φορτία αυτά έχουν συνήθως σταθερή περίοδο, και αποτελούν επίσης έντονη καταπόνηση για την κατασκευή. Η καταπόνηση αυτή ονομάζεται δυναμική. Τέτοιο παράδειγμα αποτελεί η κεφαλή των εμβόλων μιας πετρελαιομηχανής που περιστρέφεται με σταθερό αριθμό στροφών. Τα εξωτερικά φορτία, ανάλογα με τον τρόπο που δρουν σε ένα σώμα, διακρίνονται σε: Συγκεντρωμένα φορτία ή συγκεντρωμένες δυνάμεις, όταν ασκούνται σε αρκετά μικρή περιοχή του σώματος, που πρακτικά θεωρούμε σημείο (σημειακά φορτία). Τέτοιου είδους δυνάμεις προκύπτουν για παράδειγμα, από την πίεση του τροχού του τραίνου επάνω σε μια γραμμή (δοκό). Πίνακας 1.2 Είδη φορτίων

15 14 Κατανεμημένα φορτία, όταν ασκούνται σε μία ορισμένη περιοχή του σώματος. Η κατανομή των φορτίων αυτών, μπορεί να είναι ομοιόμορφη, τριγωνική, τραπεζοειδής (που προκύπτει από άθροισμα της ομοιόμορφης και της τριγωνικής), παραβολική, κ.λ.π. Ένα παράδειγμα της περίπτωσης αυτής, αποτελεί το ίδιο το βάρος μίας ευθύγραμμης δοκού με σταθερή διατομή, γιατί αποτελεί ένα ομοιόμορφο κατανεμημένο φορτίο σε όλο της το μήκος. Στην τελευταία αυτή περίπτωση, εκφράζεται με μία σταθερή ποσότητα, που συμβολίζεται με q, και που έχει μονάδες, δύναμη ανά τρέχον m μήκους [N/m] ή [t/m], κ.λ.π. Τα ομοιόμορφα κατανεμημένα φορτία, για υπολογιστικούς και μόνο λόγους, μπορούν να θεωρηθούν σαν συγκεντρωμένα που ασκούνται στο μέσο του μήκους που επενεργούν. Αν η κατανομή είναι τριγωνική, δρουν στο 1/3 (ή στα 2/3 ανάλογα) του μήκους που επενεργούν. Επιφανειακά κατανεμημένα φορτία, όπως είναι το ίδιο βάρος των επιφανειών, το βάρος του χιονιού σε μία επιφάνεια κ.λ.π., καθώς επίσης και φορτία κατανεμημένα σε όλο τον όγκο (χώρο) του σώματος που χαρακτηρίζονται σαν χωρικά κατανεμημένα φορτία. Τέτοιο είδος είναι το ειδικό βάρος ενός ομογενούς σώματος. Εκτός από τα παραπάνω είδη φορτίων, ένα σώμα μπορεί επίσης να φορτίζεται και από εξωτερική ροπή, που συνήθως μετριέται σε Νm, tm. Υπενθυμίζεται ότι, εκτός από τις εξωτερικές δυνάμεις και ροπές, ασκούνται επιπλέον στα σώματα και οι αντιδράσεις, που εξαρτώνται από τους διάφορους τρόπους στήριξης του σώματος. Έτσι, όταν σε μία δοκό για παράδειγμα επενεργούν εξωτερικές δυνάμεις, αυτές μεταφέρονται στις στηρίξεις της. Αλλά τότε, σύμφωνα με την αρχή της δράσης-αντίδρασης, και οι στηρίξεις θα ασκούν στην δοκό δυνάμεις ίσες και αντίθετες, που ονομάζονται αντιδράσεις ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΦΟΡΤΙΩΝ 1. Φορτία κατανεμημένα στον χώρο (kp/m 3 ) Τα κουτιά που είναι πάνω στο αμάξωμα ενός φορτηγού. Σάκοι αλεύρι ή τσιμέντου πάνω σ ένα πατάρι. Διάφορα εμπορεύματα πάνω στο αμάξωμα ενός φορτηγού. Τσιμεντόλιθοι στοιβαγμένοι πάνω σ ένα δάπεδο 2. Φορτία κατανεμημένα σε επιφάνειες (kp/m 2 ). Το φορτίο στα πλευρικά τοιχώματα μιας δεξαμενής από την πίεση του υγρού που εμπεριέχει (αποτελεί τριγωνικά κατανεμημένο φορτίο). Το φορτίο στο πυθμένα μιας δεξαμενής από την πίεση του υγρού. Το χιόνι ή το φορτίο από την πίεση του αέρα σε μία στέγη. Το φορτίο ενός τοίχου πάνω στην πλάκα μιας οικοδομής αποτελεί ομοιόμορφα κατανεμημένο γραμμικό φορτίο.

16 15 Το φορτίο από την πίεση των καυσαερίων στο έμβολο μιας Μ.Ε.Κ., αποτελεί για τον πυθμένα του εμβόλου, ομοιόμορφα κατανεμημένο φορτίο. Το φορτίο που δέχεται ένας κύλινδρος σιδερωτήριου από τον συνεργαζόμενο κύλινδρο.

17 16 3. Φορτία συγκεντρωμένα (το ίδιο βάρος του φορέα, ένα ανυψωμένο φορτίο, μια εξωτερική δύναμη π.χ. από ένα ελατήριο, μια δύναμη κάθετη σε μια επιφάνεια, δύναμη σε μια ράβδο). Το φορτίο από τον τροχό ενός φορτηγού αυτοκινήτου σ ένα δάπεδο. Η δύναμη από το χέρι σ ένα κλειδί που αποκοχλιώνει έναν κοχλία. Η δύναμη σ έναν μοχλό. Η δύναμη που ασκεί ένας χειριστής στο χειρομοχλό ενός βαρούλκου Η δύναμη από το χέρι σ ένα κλειδί που αποκοχλιώνει έναν κοχλία. Η δύναμη σ έναν μοχλό. Η δύναμη που ασκεί ένας χειριστής στο χειρομοχλό ενός βαρούλκου 4. Σύνθετη φόρτιση 1.4 ΕΙΔΗ ΦΟΡΕΩΝ Φορέας ονομάζεται γενικά, κάθε σώμα ή κατασκευή που μπορεί να φέρει εξωτερικά φορτία (δηλαδή δυνάμεις και ροπές), τα οποία και μεταφέρει στις στηρίξεις τους, διαμέσου των οποίων καταλήγουν τελικά συνήθως στο έδαφος. Στην Αντοχή Υλικών χρησιμοποιούνται διάφορα είδη φορέων. Τα είδη αυτά, διακρίνονται ανάλογα με τη μορφή τους και είναι:

18 17 1) Η Ράβδος: Έτσι χαρακτηρίζεται ένα σώμα που το μήκος του είναι συγκριτικά πολύ μεγαλύτερο από τις άλλες του διαστάσεις, η οποία έχει έναν ευθύγραμμο άξονα συμμετρίας. Η ράβδος καταπονείται συνήθως σε εφελκυσμό ή θλίψη, δηλαδή μόνο από αξονικά φορτία. Ειδική περίπτωση εύκαμπτης ράβδου είναι το καλώδιο (συρματόσχοινο). 2) Η Δοκός: Έτσι χαρακτηρίζεται ένα σώμα που το μήκος του είναι αισθητά μεγαλύτερο συγκριτικά με τις άλλες του διαστάσεις και που έχει έναν ευθύγραμμο άξονα συμμετρίας. 3) Το Τόξο: Χαρακτηρίζεται έτσι μία δοκός με καμπύλο άξονα. Πίνακας 1.3 Είδη φορέων 4) Ο Δίσκος: Έτσι χαρακτηρίζεται ένα επίπεδο σώμα, που έχει πάχος πολύ μικρότερο συγκριτικά με τις άλλες του διαστάσεις. Ο δίσκος μπορεί να καταπονείται από δυνάμεις εφελκυστικές ή θλιπτικές που δρουν στο επίπεδο του. 5) Η Πλάκα: Χαρακτηρίζεται έτσι ένα επίπεδο σώμα, με πάχος πολύ μικρότερο από τις άλλες του διαστάσεις, το οποίο σε αντίθεση με τον δίσκο, μπορεί επιπλέον να καταπονείται και από εγκάρσια φορτία. 6) Το Κέλυφος: Έτσι χαρακτηρίζεται ένα σώμα, με πάχος πολύ μικρότερο από τις άλλες του διαστάσεις, που η μέση του επιφάνεια δεν είναι επίπεδη, αλλά καμπύλη. Από τα παραπάνω είδη ο δίσκος και η πλάκα είναι επίπεδοι φορείς, η ράβδος και η δοκός είναι γραμμικοί φορείς με ευθύγραμμο άξονα, ενώ το τόξο είναι γραμμικός φορέας με καμπύλο άξονα, κ.λ.π.

19 ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΗΣ ΡΑΒΔΩΝ. ΓΕΝΙΚΑ Πολλές κατασκευές αποτελούνται από ράβδους που με κατάλληλη σύνδεση σχηματίζουν φορείς με το όνομα δικτυώματα (Σχ. 1.19). Σχ Δικτυωτό ζεύγος στέγης (α. Γενικό σχέδιο, β. Σχέδιο μελέτης). Τα σημεία σύνδεσης των ράβδων λέγονται κόμβοι και θεωρούνται αρθρώσεις γιατί έχουν τα χαρακτηριστικά των στηρίξεων άρθρωσης. Οι ράβδοι, όπως αναφέρθηκε σε προηγούμενη παράγραφο, είναι φορείς δηλαδή καταπονούμενα στοιχεία με μεγάλο μήκος σε σχέση με τις διαστάσεις της διατομής τους και μπορούν να παραλάβουν, κατά κύριο λόγο, αξονικό φορτίο. Μετά απ αυτό γίνεται αντιληπτό ότι οι ράβδοι καταπονούνται είτε σε εφελκυσμό είτε σε θλίψη ανάλογα με τη φορά των δυνάμεων που ενεργούν σ αυτές ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΗΣ ΡΑΒΔΟΥ ΣΥΓΚΕΚΡΙΜΕΝΗΣ ΔΙΑΤΟΜΗΣ Για τον προσδιορισμό της καταπόνησης της ράβδου ΑΒ της κατασκευής που φαίνεται στο Σχ πρέπει να εξετασθεί το σύστημα δυνάμεων που ενεργεί σ αυτή. Σχ Περιστρεφόμενος απλός γερανός Στην εξεταζόμενη κατασκευή ενεργεί ένα φορτίο Ρ, που έχει αναλυθεί στις συνιστώσες Ρ1 και Ρ2, και είναι φανερό πως η συνιστώσα Ρ1 τραβάει τη ράβδο ΑΒ

20 19 προς τα δεξιά με αποτέλεσμα να την εφελκύει. Αυτό φαίνεται καλύτερα αν η ράβδος ΑΒ σχεδιαστεί χωριστά και εξετασθεί η ισορροπία της (Σχ. 1.21). Σχ Εικόνα φόρτισης της ράβδου ΑΒ. Για ισορροπία της ράβδου ΑΒ πρέπει, σύμφωνα με τα γνωστά, η συνισταμένη των δυνάμεων που ενεργούν σ αυτή να είναι μηδέν, δηλαδή πρέπει: R=0 ή ΣΧ=0 και ΣΥ=0 Επειδή δεν υπάρχουν κατακόρυφες δυνάμεις δεν χρειάζεται η συνθήκη ΣΥ=0, οπότε πρέπει να ισχύει: ΣΧ=0. Αφού όμως η δύναμη Ρ1 τραβάει, με τη ράβδο ΑΒ, το στήριγμα Α προς τα δεξιά για να παραμείνει η ράβδος ΑΒ στη θέση της (ισορροπία) πρέπει και το στήριγμα ν αντιδράσει με ίση και αντίθετη δύναμη Ρ1. Μετά από αυτά η εικόνα φόρτισης της ράβδου ΑΒ παρουσιάζεται όπως στο Σχ και από αυτό φαίνεται καθαρά ότι αυτή καταπονείται σε εφελκυσμό. Σχ Συμπέρασμα 1 ο. Η καταπόνηση μιας ράβδου είναι εφελκυσμός, αν η δύναμη εφελκύει τους κόμβους σύνδεσης με την υπόλοιπη κατασκευή και είναι θλίψη, αν η δύναμη θλίβει τους κόμβους σύνδεσης της. Παράδειγμα επίλυσης των τάσεων σε δικτύωμα Να προσδιορισθεί η καταπόνηση των ράβδων ΑΒ, ΒΓ, ΑΓ και ΒΔ, της δικτυωτής κατασκευής (Σχ. 1.23). Όπου S1, S2, S3, και S4 είναι οι εσωτερικές δυνάμεις των ράβδων. Σχ Ακολουθεί η επίλυση του ανωτέρω προβλήματος στην επόμενη σελίδα.

21 20 Λύση. 1. Με βάση την καταπόνηση του κόμβου. Ράβδος ΑΒ: Η ράβδος ΑΒ καταπονείται σε εφελκυσμό γιατί η δύναμη S1 καταπονεί τους κόμβους Α και Β σε εφελκυσμό. Ράβδος ΒΔ. Η ράβδος ΒΔ καταπονείται κι αυτή σε εφελκυσμό, γιατί η δύναμη S4 καταπονεί τους κόμβους Β και Δ σε εφελκυσμό. Ράβδος ΑΓ. Η ράβδος ΑΓ καταπονείται σε θλίψη, γιατί η δύναμη S2 καταπονεί τους κόμβους Α και Γ σε θλίψη. Ράβδος ΒΓ. Η ράβδος ΒΓ καταπονείται κι αυτή σε θλίψη, γιατί η δύναμη S3 καταπονεί τους κόμβους Β και Γ σε θλίψη. 2. Με βάση την εικόνα των δυνάμεων στη ράβδο. Ράβδος ΑΒ. Η ράβδος ΑΒ φαίνεται, ότι από τις δυνάμεις S1 καταπονείται σε θλίψη. Στη πραγμα-τικότητα η καταπόνηση είναι ακριβώς το αντίθετο, δηλαδή εφελκυσμός. Ράβδος ΑΓ. Η ράβδος ΑΓ φαίνεται, ότι από τις δυνάμεις S2 καταπονείται σε εφελκυσμό. Στη πραγματικότητα η καταπόνηση είναι ακριβώς το αντίθετο, δηλαδή θλίψη. Με τον ίδιο τρόπο αναγνωρίζεται η καταπόνηση και των άλλων ράβδων ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΦΟΡΕΩΝ Παρακάτω δίνεται τόσο η περιγραφή φορέων όσο και παραδείγματα κατασκευών με τέτοιες μορφές φορέων. 1. Ράβδος (α. Κυκλική ράβδος, β. Τετραγωνική ράβδος, γ. Μια απλή κατασκευή με ράβδους).

22 21 2. Δοκός 3. Πλάκα (α)1. βαρούλκο ανύψωσης φορτίου, (α)2. τύμπανο τύλιξης του σχοινιού. β. Η άτρακτος (1) του βαρούλκου στηρίζεται στα σημεία Α και Β, Πλάκα αποτελεί επίσης εκτός από την ανωτέρω εικονιζόμενη πλάκα οικοδομών και ο πυθμένας του εμβόλου της Μ.Ε.Κ. (1=έμβολο μηχανής. και 2=πυθμένας του εμβόλου). Επίσης στην κατηγορία των πλακών ανήκουν οι δύο κατακόρυφες πλευρές των δοχείων, μέσα στο οποίο επικρατεί πίεση. (1 και 2).

23 22 4. Δίσκος Ο δίσκος είναι ένα σώμα όπως και η πλάκα, αλλά διαφέρει στον τρόπο φορτίσεως δηλ. τα φορτία έχουν ευθεία ενεργείας, πάνω στην επιφάνεια. Στο παρακάτω σχήμα δεξιά, πάνω σ έναν περιστρεφόμενο άξονα είναι στερεωμένος ένας δίσκος. Οι φυγόκεντρες δυνάμεις, που αναπτύσσονται στη μάζα του δίσκου, λαμβάνονται πάνω στη μέση επιφάνεια αυτού. 5. Κέλυφος Το κέλυφος είναι ένας φορέας που έχει μέση επιφάνεια καμπύλη. Χαρακτηριστικό παράδειγμα τέτοιου φορέα είναι τα δοχεία υγρών και αερίων με πίεση που έχουν μορφή κυλινδρική, σφαιρική, ελλειψοειδή (π.χ. τα οχήματα μεταφοράς υγρών καυσίμων). Τα κελύφη βρίσκουν μεγάλη εφαρμογή και στον χώρο της οικοδομικής. Έτσι η κάλυψη μεγάλων χώρων στους οποίους δεν είναι επιθυμητές οι εσωτερικές στηρίξεις, γίνεται με κελύφη. Για παράδειγμα αναφέρονται οι θόλοι των εκκλησιών. Τέτοιες κατασκευές χρησιμοποιούνται και σε θέατρα, σε μεγάλες αίθουσες εκθέσεων ή εργοστασίων, σε στάδια κ.λ.π. Παρακάτω δίνεται ένα παράδειγμα συμμετρικού κελύφους (κυλινδρικό κέλυφος με σφαιρικούς πυθμένες 1 και 2). Η μεγάλη εφαρμογή των κελυφών στην οικοδομική οφείλεται στα εξής πλεονεκτήματα: Μπορούν να κατασκευασθούν με μικρό πάχος και με μεγάλες αποστάσεις μεταξύ των στηρίξεων. Έχουν μικρό βάρος κατασκευής. Παρουσιάζουν μεγάλη αντοχή και για τον λόγο αυτό μπορούν να γίνουν, όπως αναφέρθηκε, σε μικρά πάχη. Σαν μειονέκτημα αναφέρεται ο εξαιρετικά δύσκολος και χρονοβόρος υπολογισμός αυτών, αν αυτός γίνεται με τις κλασικές μεθόδους. Σήμερα όμως με τη βοήθεια των ηλεκτρονικών υπολογιστών χρησιμοποιούνται ειδικές μέθοδοι όπως π.χ. η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων και έτσι όχι μόνο αίρονται τα πιο πάνω μειονεκτήματα αλλά και επιτυγχάνονται ακριβέστερα αποτελέσματα.

24 ΠΑΡΑΔΟΧΕΣ ΤΗΣ ΑΝΤΟΧΗΣ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ Όπως είναι γνωστό, μακροσκοπικές ονομάζονται οι ιδιότητες ενός υλικού σε επίπεδο δομικών λίθων (μόρια, άτομα κ.λ.π.). Οι μακροσκοπικές ιδιότητες αποτελούν τις μέσες ιδιότητες που παρουσιάζει ένα υλικό στις συνήθεις εφαρμογές και οι οποίες αφορούν το σύνολο του σώματος και όχι μόνον ένα τμήμα του, πολύ δε περισσότερο τα μόρια ή τα άτομα του το καθένα ξεχωριστά. Στην επιστήμη του Μηχανικού όμως, ενδιαφέρει προφανώς η γνώση των ιδιοτήτων των διαφόρων σωμάτων σε μακροσκοπικό μόνον επίπεδο. Ισότροπο λέγεται το υλικό εκείνο που παρουσιάζει ης ίδιες ιδιότητες προς όλες τις κατευθύνσεις μέσα στη μάζα του. Αν οι ιδιότητες του υλικού εξαρτώνται από τη διεύθυνση, τότε ονομάζεται ανισότροπο. Ανισότροπο υλικό είναι το ξύλο, το οποίο παρουσιάζει άλλες μηχανικές ιδιότητες σε διεύθυνση παράλληλα στις ίνες του και άλλες εγκάρσια. Ομογενές ονομάζεται το υλικό που παρουσιάζει τις ίδιες ιδιότητες σε όλα τα σημεία της μάζας του. Έτσι, η ομογένεια εξασφαλίζει τις ίδιες ιδιότητες του υλικού από σημείο σε σημείο του, ενώ η ισοτροπία εξασφαλίζει τις ίδιες ιδιότητες κατά τις διάφορες διευθύνσεις του. Συνεχές ονομάζεται ένα υλικό που οι δομικοί του λίθοι είναι στενά συνδεδεμένοι μεταξύ τους, έτσι ώστε το σώμα να μην παρουσιάζει κενά ή άλλες ασυνέχειες μέσα στη μάζα του, διαφορετικά ονομάζεται ασυνεχές. Η Αντοχή των Υλικών υποθέτει, ότι όλα τα σώματα είναι ισότροπα, ομογενή και συνεχή. Υποθέτει επίσης, ότι οι επιβαλλόμενες εξωτερικές δυνάμεις αυξάνουν πολύ αργά έτσι ώστε, να μπορούν να θεωρηθούν στατικές ή ημιστατικές, σε διάκριση με τις δυναμικές και τις κρουστικές δυνάμεις οι οποίες οδηγούν σε ταλαντώσεις και σε άλλα δυναμικά φαινόμενα. 1.6 ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΜΟΝΑΔΩΝ ΒΑΡΟΣ (στην Αντοχή των Yλικών θα το ακούσετε και σαν Φορτίο, Δύναμη, Αντίδραση ), συμβολίζεται συνήθως με P 1 t=1000 kg=10 3 kg 1 kg=1000 g=10 3 g 1 kg=10 N=2.2 lb (λίμπρες) =2.2 p (πάουντς) ΜΗΚΟΣ, συμβολίζεται συνήθως με l 1 Km=1000 m=10 3 m 1 m=10 2 cm=10 3 mm=39.37 in EΠΙΦΑΝΕΙΑ (στην Αντοχή των Yλικών θα το ακούσετε και σαν Eμβαδόν συμβολίζεται συνήθως με S ή F 1 m 2 =10 4 cm 2 =10 6 mm 2 1 Ha (ακρ)=10 στρεμ=10000 m 2

25 24 ΠΙΕΣΗ (στην Αντοχή των Yλικών θα το ακούσετε και σαν Τάση, ή Τάση εφελκυσμού, ή Τάση θλίψης ), συμβολίζεται συνήθως με σ, όταν πρόκειται για ορθή τάση ή με τ όταν πρόκειται για διατμητική. Ισχύει τ=0.8σ 1 atm=1 Kp/cm 2 =1 Kpcm -2 1 Pa=1 N/m 2 = 1 Nm -2 1 bar=14.5 psi =1000 mbar= Pa = 1000 hpa 1 hpa = 100 Pa 1 hpa =1 mbar, ΡΟΠΗ (στην Αντοχή των Yλικών θα το ακούσετε και σαν Ροπή στρέψης, Ροπή κάμψης συμβολίζεται συνήθως με Μ 1 Kpm=10 Nm 1 tm=10 3 Kpm=10 4 Nm, 1 KNm=10 3 Nm 1.7 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑ ΥΠΟΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑ ΜΟΝΑΔΩΝ h=10 2 (π.χ. 1 hpa=10 2 Pa ) k=10 3 (π.χ m=ένα χιλιόμετρο=1km ) Μ=10 6 (1Mt=10 6 t) G=10 9 (1Gt=10 9 t) m =10-3 (π.χ. 1000ml=ένα λίτρο=1l ) μ =10-6 nm=10-9

26 25 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 1 ΗΣ ΔΙΑΛΕΞΗΣ

27 26 Αντικείμενο 2 ης διάλεξης: ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΤΑΣΗΣ-ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΕΙΔΗ ΤΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΕΝΤΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΕΙΔΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ σ-ε ΓΙΑ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ σ-ε ΓΙΑ ΘΛΙΨΗ

28 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΤΑΣΗΣ-ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗΣ Όπως είναι γνωστό, η Στατική για να εξετάσει την ισορροπία των διαφόρων σωμάτων τα θεωρεί απαραμόρφωτα. Υποθέτει δηλαδή, ότι με την επιβολή των εξωτερικών δυνάμεων, αυτά δεν μεταβάλλουν ούτε το σχήμα τους ούτε τις γραμμικές τους διαστάσεις. Στην πραγματικότητα όμως, όλα τα σώματα με την επίδραση των εξωτερικών δυνάμεων παραμορφώνονται, μεταβάλλουν δηλαδή είτε το σχήμα τους, είτε τις αρχικές τους διαστάσεις ή και τα δύο. Ο εφελκυσμός και η θλίψη ονομάζονται αξονικές καταπονήσεις και νοούνται συνήθως σε σώματα που έχουν μήκος αισθητά μεγαλύτερο από τις άλλες τους διαστάσεις, όπως είναι για παράδειγμα οι ράβδοι. Στην καταπόνηση του εφελκυσμού οι δυνάμεις τείνουν να αυξήσουν το μήκος του σώματος, ενώ αντίθετα στη θλίψη τείνουν να το ελαττώσουν. Σε εφελκυσμό καταπονούνται συνήθως ράβδοι, καλώδια, συρματόσχοινα, χορδές, ιμάντες μηχανών, κοχλίες σύσφιξης, διωστήρες μηχανών εσωτερικής καύσης, αλυσίδες μεταφοράς ισχύος, αναρτήρες κρεμαστών γεφυρών, ελκυστήρες σε ορισμένα δικτυώματα, κ.λ.π. Σε θλίψη καταπονούνται συνήθως στύλοι, θεμέλια οικοδομών, άνω πέλματα δικτυωμάτων που χρησιμοποιούνται σε γέφυρες και στέγες, ορισμένα στοιχεία μηχανών, γρύλοι, καθώς επίσης και όλα τα σώματα λόγω του ιδίου τους βάρους. 2.2 ΕΙΔΗ ΤΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΕΝΤΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ Διακρίνονται δύο είδη τάσεων, η ορθή και η διατμητική ή εγκάρσια. Η συνισταμένη των δύο προηγούμενων τάσεων, ονομάζεται ολική τάση. 2.3 ΕΙΔΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ Διακρίνονται δύο είδη παραμορφώσεων, η γραμμική και η γωνιακή παραμόρφωση. i. Γραμμική παραμόρφωση Αν στην αβαρή ράβδο ΑΒ αρχικού μήκους l, επιβληθεί εφελκυστικό φορτίο Ρ στο κέντρο βάρους Β της διατομής της, παρατηρείται ότι το σημείο Β θα μετατοπιστεί δεξιότερα στη θέση έστω Β', όπως με κάποια μεγένθυση φαίνεται στο (Σχ. 2.1α). Η απόσταση Δl =(ΒΒ ) ονομάζεται επιμήκυνση ή μήκυνση της ράβδου. Το τελικό μήκος έστω l ' της ράβδου, που προκύπτει μετά την επιβολή του εφελκυστικού φορτίου γίνεται l ' = l + Δl. Δηλαδή στον εφελκυσμό, το αρχικό μήκος μίας εφελκυόμενης ράβδου αυξάνεται κατά Δ l. Σχ. 2.1α. Επιμήκυνση εφελκυόμενης ράβδου Σχ. 2.1β. Επιβράχυνση θλιβόμενης ράβδου

29 28 Αντίστοιχα, αν στη ράβδο επιβληθεί θλιπτικό φορτίο Ρ (Σχ. 2.1β), το σημείο Β μετατοπίζεται αριστερότερα στη θέση Β'. Η απόσταση Δ l = (ΒΒ ) ονομάζεται τότε επιβράχυνση ή βράχυνση.το τελικό μήκος μετά την επιβολή του φορτίου γίνεται l ' = l - Δ l, δηλαδή στη θλίψη το μήκος της ράβδου ελαττώνεται. Ονομάζεται ανηγμένη παραμόρφωση ε, η ποσότητα: l l' l l' ε = = = 1 (2.1) l l l Από την εξίσωση (1) παρατηρείται ότι στην περίπτωση του εφελκυσμού προκύπτει ε>0, που ονομάζεται ανηγμένη επιμήκυνση, ενώ στην περίπτωση της θλίψης προκύπτει ε<0 που λέγεται ανηγμένη επιβράχυνση. Η ανηγμένη παραμόρφωση επειδή είναι λόγος μηκών, είναι αδιάστατο μέγεθος και αναφέρεται συνήθως επί τοις εκατό (%) και επειδή ανάγεται στο αρχικό μήκος l της ράβδου, ονομάζεται ανηγμένη (ή ονομαστική) συμβατική παραμόρφωση. Στην Αντοχή των Υλικών γίνεται βασικά χρήση της συμβατικής ανηγμένης παραμόρφωσης ε, την οποία για συντομία θα λέμε ανηγμένη παραμόρφωση. Αυτή μετριέται πειραματικά με ειδικές συσκευές οι οποίες λέγονται μηκυνσιόμετρα (όπως είναι τα μηχανικά, τα ηλεκτρικά, κ.ά.). ii. Γωνιακή παραμόρφωση Για την έννοια της γωνιακής παραμόρφωσης, ας θεωρήσουμε στο εσωτερικό ενός σώματος που βρίσκεται σε επίπεδη εντατική κατάσταση, ένα στοιχείο σε σχήμα κύβου με πλευρά α, στις έδρες του οποίου επενεργούν μόνον οι διατμητικές τάσεις τ. Σύμφωνα με την " πρόταση του Chauchy", οι διατμητικές αυτές τάσεις είναι όλες ίσες μεταξύ τους και ανά δύο ή κατευθύνονται στην κοινή ακμή του πρίσματος, ή απομακρύνονται από αυτήν (Σχ. 2.2). Σχ Γωνιακή παραμόρφωση πρίσματος Εφόσον δεν υπάρχουν ορθές τάσεις στις έδρες του στοιχείου, τα μήκη των πλευρών ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ δεν θα μεταβληθούν κατά την παραμόρφωση του (διότι μόνον οι ορθές τάσεις προκαλούν μεταβολή μηκών). Με την επενέργεια όμως των διατμητικών τάσεων, θα διαταχθούν έτσι ώστε, να σχηματισθεί περίπου ο ρόμβος ΑΒΓΔ'. Η πολύ μικρή γωνία γ που σχηματίζεται από την αρχική έδρα ΑΔ και την τελική ΑΔ' του κύβου, δηλαδή η στερεά γωνία ΔΑΔ' = ΓΒΓ' = γ, θα είναι: ' α γ tan γ = = (2.2) Α α Η γωνία γ μετριέται σε ακτίνια (rad) και την ονομάζουμε γωνιακή παραμόρφωση ή γωνία ολίσθησης ή και διατμητική παραμόρφωση και εκφράζει την ανηγμένη ολίσθηση των απέναντι εδρών του κύβου ως προς τις κάθετες.

30 29 Τα παραμορφωσιακά λοιπόν αποτελέσματα της επενέργειας εγκάρσιων δυνάμεων (ή διατμητικών τάσεων), είναι οι γωνιακές παραμορφώσεις. Παράδειγμα 2.1. Μία μεταλλική μετροταινία αρχικού μήκους l = 100,000 m, όταν εφελκυσθεί το μήκος της γίνεται l ' = 100,004 m. Να υπολογιστεί η ανηγμένη επιμήκυνση της μετροταινίας. Η παραμόρφωση ή ειδικότερα η επιμήκυνση Δ l της μετροταινίας είναι: Δl = l '- l = 100,004 m m Δl = m = 4 mm Η ανηγμένη (ή ειδική) επιμήκυνση ε, είναι: 3 l 4 10 m ε = = ε = (%) = 0,004 % l 100m 2.4 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ σ-ε ΓΙΑ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟ, ΣΤΟ ΧΑΛΥΒΑ Η χρησιμοποίηση των υλικών στις διάφορες κατασκευές προϋποθέτει τη γνώση της συμπεριφοράς τους σε εφελκυσμό και θλίψη. Για την πληρέστερη κατανόηση της συμπεριφοράς των υλικών σε εφελκυσμό, απαιτείται η εκτέλεση ενός πρότυπου πειράματος εφελκυσμού μέχρι τη θραύση του δοκιμίου (που συνήθως έχει κυκλική διατομή), η σχεδίαση της καμπύλης μεταβολής της τάσης σ σε συνάρτηση με την ανηγμένη επιμήκυνση ε και ακολούθως η εξαγωγή συμπερασμάτων από την καμπύλη αυτή (Σχ. 2.3). Κατά τον σχηματισμό της καμπύλης του διαγράμματος εφελκυσμού έχει θεωρηθεί ότι, οι τιμές της τάσης προκύπτουν με διαίρεση του αξονικού φορτίου Ρ που επιβάλλεται δια του αρχικού εμβαδού F της διατομής (σ = Ρ/F), ενώ η παραμόρφωση ε ως ο λόγος της μεταβολής του μήκους Δ l του δοκιμίου δια του αρχικού του μήκους l (δηλαδή ε = Δ l /l ). Ελαστικότητα είναι η ιδιότητα των σωμάτων να επανέρχονται στις αρχικές τους διαστάσεις (ή στο αρχικό τους σχήμα), όταν αφαιρεθούν οι εξωτερικές δυνάμεις, δηλαδή, αίρονται τελείως οι προκαλούμενες παραμορφώσεις. Πλαστικότητα είναι η ιδιότητα των σωμάτων να παραμένουν οι παραμορφώσεις και μετά την αφαίρεση των εξωτερικών δυνάμεων. Σχ Διάγραμμα «τάσεων ανηγμένων παραμορφώσεων» σε εφελκυσμό για τον χάλυβα

31 30 Στο πρώτο τμήμα του διαγράμματος, από το Ο ως το Α, παρατηρείται μία γραμμική σχέση μεταξύ τάσης και παραμόρφωσης. Η σχέση που συνδέει τις τάσεις και τις παραμορφώσεις είναι σ = Εε, ( νόμος του Ηοοke). Ο συντελεστής αναλογίας Ε είναι το μέτρο ελαστικότητας ή μέτρο Υοung του υλικού και έχει μονάδες τάσης. Πειραματικά το μέτρο ελαστικότητας προσδιορίζεται από το πηλίκο σ/ε, που αντιστοιχεί σε οποιοδήποτε σημείο της περιοχής των ελαστικών παραμορφώσεων (ΟΑ) ή από την εφαπτόμενη της γωνίας φ. Η τάση σα που αντιστοιχεί στο σημείο Α ονομάζεται όριο αναλογίας του υλικού. Δηλαδή, το σημείο Α αποτελεί και το όριο μέχρι του οποίου ισχύει η γραμμική ελαστικότητα. Η παραμόρφωση που αντιστοιχεί στο σημείο αναλογίας Α στην περίπτωση του χάλυβα, είναι μόλις 0,12 % (δηλαδή εα = 0,0012). Εξακολουθώντας τη φόρτιση πέρα του σημείου Α, ενώ η σχέση τάσης - παραμόρφωσης δεν συνεχίζει να είναι γραμμική, το υλικό εξακολουθεί μέχρι ενός σημείου Ε να συμπεριφέρεται ελαστικά, δηλαδή αν αποφορτιστεί επανέρχεται στις αρχικές του διαστάσεις. Η περιοχή (ΑΕ) χαρακτηρίζεται σαν περιοχή μη γραμμικής ελαστικής συμπεριφοράς του υλικού και η τάση σε που αντιστοιχεί στο σημείο Ε λέγεται όριο ελαστικότητας. Πέρα από το σημείο Ε ακολουθεί μία ασταθής περιοχή (ΕΔ1Δ2) που χαρακτηρίζεται από αύξηση της παραμόρφωσης χωρίς αντίστοιχη σημαντική αύξηση της τάσης. Στην περιοχή αυτή, είναι δυνατόν να αυξηθεί η επιμήκυνση του δοκιμίου δέκα ως δεκαπέντε φορές περισσότερο από την αύξηση που αντιστοιχούσε στο όριο ελαστικότητας. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται διαρροή του υλικού. Αναλυτικότερα, στην περιοχή αυτή παρατηρείται αρχικά ότι με την αύξηση των ανηγμένων επιμηκύνσεων, οι ορθές τάσεις αυξάνουν δυσανάλογα, μέχρι την τάση που αντιστοιχεί στο σημείο Δ1 που ονομάζεται ανώτερο όριο διαρροής. Μετά από αυτό, και ενώ οι ανηγμένες επιμηκύνσεις εξακολουθούν πάντα να αυξάνουν, οι ορθές τάσεις μικραίνουν φτάνοντας στην ελάχιστη τάση επιρροής που αντιστοιχεί στο σημείο Δ2 και ονομάζεται κατώτερο όριο διαρροής. Η παρατήρηση των δύο ορίων είναι δυνατή κατά την εκτέλεση πειράματος ακρίβειας, διαφορετικά τα σημεία Ε,Δ1,Δ2 είναι πολύ δύσκολο να διακριθούν μεταξύ τους και η περιοχή (ΕΔ1Δ2) φαίνεται σαν ένα ευθύγραμμο τμήμα παράλληλο προς τον άξονα των παραμορφώσεων μέσα στο οποίο και για την περίπτωση του χάλυβα, ενώ η τάση παραμένει σταθερή, η παραμόρφωση αυξάνει από 0,12% σε 2%. Ένα άλλο χαρακτηριστικό της περιοχής αυτής αλλά και αιτία της διαρροής είναι η εμφάνιση στην επιφάνεια του δοκιμίου ορατών λεπτών λωρίδων (γραμμών) που είναι κεκλιμένες κατά 45 ως προς τον άξονα του δοκιμίου. Οι γραμμές αυτές ονομάζονται γραμμές Luders και η εμφάνιση τους αποδεικνύει ότι η διαρροή του υλικού οφείλεται σε αστοχία του υλικού σε διάτμηση. Εξακολουθώντας τη φόρτιση στο δοκίμιο πέρα από το σημείο Δ2, παρατηρείται μία αύξηση της παραμόρφωσης μέχρι ενός σημείου Μ. Η αύξηση της τάσης στην περιοχή (Δ2Μ) γίνεται με μικρότερο ρυθμό από εκείνον της ελαστικής περιοχής {ΟΑ) ώστε το αντίστοιχο τμήμα της καμπύλης να εμφανίζεται πεπλατυσμένο και στρέφοντας τα κοίλα προς τα κάτω. Στην περιοχή (Δ2Μ) θα μπορούσαμε να πούμε ότι το υλικό επανακτά μέρος της ελαστικής του συμπεριφοράς. Η περιοχή αυτή

32 31 ονομάζεται περιοχή κράτυνσης του υλικού και η μέγιστη τάση σμ που αντιστοιχεί στο σημείο Μ χαρακτηρίζεται σαν όριο αντοχής ή όριο θραύσης του υλικού, δηλαδή σμ = Pmax/F. Πέρα από το Μ παρατηρείται μία πτώση της τάσης ενώ η παραμόρφωση εξακολουθεί να αυξάνει μέχρι του σημείου Θ όπου το υλικό σπάει απότομα. Η τάση που αντιστοιχεί στο σημείο Θ ονομάζεται τάση θραύσης σε εφελκυσμό του υλικού. Χαρακτηριστικό της περιοχής ΜΘ είναι ότι λίγο μετά το όριο θραύσης Μ, το δοκίμιο παρουσιάζει λαιμό δηλαδή παρατηρείται μία ορατή ελάττωση της διατομής στο μέσον του δοκιμίου. Ένα σημείο που πρέπει να επισημανθεί είναι ότι στο διάγραμμα εφελκυσμού (Σχ.2.3) έχει σχεδιαστεί η συμβατική τάση σ, δηλαδή η δύναμη Ρ ανά μονάδα επιφανείας της αρχικής διατομής F του δοκιμίου, σαν συνάρτηση της προκαλούμενης παραμόρφωσης. Λαμβάνοντας υπόψη την ελάττωση της επιφάνειας της διατομής του δοκιμίου, σε συνάρτηση με την πραγματική παραμόρφωση, προκύπτει η πραγματική τάση σ'= Ρ/F', οι τιμές της οποίας αποτελούν, την καμπύλη που παριστάνεται με διακεκομένη γραμμή στο (Σχ.2.3). Στην καμπύλη αυτή φαίνεται ότι η τάση θραύσης είναι η μέγιστη τάση που παρατηρείται, ενώ το Μ από σημείο μέγιστης τάσης μετατρέπεται σε σημείο καμπής. Στην πράξη όμως, συντίθεται ο υπολογισμός της τάσης με βάση την αρχική διατομή του δοκιμίου. Μία διαφορετική περίπτωση είναι αυτή του αλουμινίου, όπως και άλλων υλικών, όπου η έναρξη της διαρροής δεν είναι εύκολο να προσδιοριστεί με μεγάλη ακρίβεια, επειδή η αντίστοιχη καμπύλη του διαγράμματος εφελκυσμού δεν παρουσιάζει έκδηλα χαρακτηριστικά σημεία. Αντίθετα, παρατηρείται στα υλικά αυτά, ότι μετά το όριο διαρροής η τάση εξακολουθεί να αυξάνεται μη γραμμικά μέχρι τη μέγιστη τάση ώστε στη συνέχεια το υλικό να οδηγηθεί σε θραύση (Σχ. 2.4). Σχ Διάγραμμα σ-ε για το αλουμίνιο (Al) Στην περίπτωση αυτή μπορεί να οριστεί ένα συμβατικό όριο διαρροής σδ, που βρίσκεται αν από ένα σημείο του άξονα των παραμορφώσεων, που αντιπροσωπεύει παραμόρφωση ίση με ε = 0,2% (ε = 0,002), φέρουμε ευθεία παράλληλη προς το αρχικό ευθύγραμμο τμήμα του διαγράμματος. Η τεταγμένη του σημείου τομής της ευθείας αυτής με την καμπύλη ορίζει το συμβατικό όριο διαρροής σδ. Συνεχίζοντας τη φόρτιση του υλικού πέρα από το όριο διαρροής και μέχρι ενός σημείου Γ στο διάγραμμα (Σχ. 2.5), και αν κατόπιν επέλθει αποφόρτιση του υλικού, η μεταβολή της τάσης και της παραμόρφωσης ακολουθεί περίπου μία ευθεία (ΓΖ), η οποία είναι παράλληλη στο αρχικό ευθύγραμμο τμήμα ΟΑ.

33 32 Σχ Φόρτιση αποφόρτιση υλικού Σχ Επαναφόρτιση υλικού Στο σημείο Ζ, όπου το φορτίο έχει μηδενιστεί, παρατηρείται μία παραμένουσα παραμόρφωση (ΟΖ) στο δοκίμιο που χαρακτηρίζεται και ως πλαστική παραμόρφωση. Υποθέτοντας τώρα ότι το δοκίμιο που αποφορτίσαμε προηγούμενα, το επαναφορτίζουμε με εφελκυστικό φορτίο (Σχ. 2.6), παρατηρούμε ότι η καμπύλη επαναφόρτισης (ΖΓ) ακολουθεί σχεδόν την καμπύλη αποφόρτισης (ΓΖ). Στο διάγραμμα του (Σχ. 2.6) γίνεται φανερό ακόμα ότι, κατά την επαναφορτιση το ευθύγραμμο τμήμα (ΖΚ) είναι μεγαλύτερο απo το αρχικό (ΟΑ) και ότι μετά το σημείο Κ η καμπύλη ακολουθεί την πορεία της αρχικής καμπύλης (ΟΑΓ) μέχρι τη θραύση του υλικού (σημείο Θ). Τα προηγούμενα σημαίνουν πως με την αποφόρτιση και στη συνέχεια με την επαναφόρτιση του υλικού, το όριο αναλογίας, όπως και το όριο ελαστικότητας, αυξάνονται σε σχέση με τα αντίστοιχα αρχικά, ενώ το όριο θραύσης παραμένει αμετάβλητο. Παράδειγμα 2.2. Ένα δοκίμιο από χάλυβα κυκλικής διατομής με αρχική διάμετρο d=1,3 cm και αρχικό μήκος l = 5 cm, υποβάλλεται σε αξονικό εφελκυσμό μέχρι να επέλθει θραύση. Κατά το πείραμα μετρήθηκαν: Φορτίο στο όριο αναλογίας ΡΑ = 2875 kp, μέγιστο φορτίο (δηλαδή φορτίο θραύσης) Ρmax = Ρθρ = 5795 kp, επιμήκυνση στο όριο αναλογίας Δl = 0,0053 cm. Ζητούνται: Η ανηγμένη παραμόρφωση ε, το όριο αναλογίας σα, το όριο θραύσης σθρ και το μέτρο ελαστικότητας Ε. Το εμβαδόν F της αρχικής διατομής του δοκιμίου, είναι π 2 π F = d = 1,3 cm = 1,327 cm 4 4 Η ανηγμένη παραμόρφωση ε είναι ο λόγος της επιμήκυνσης Δl προς το αρχικό μήκος l, δηλαδή l 0,0053cm ε = = = 0,00106= 0,106% l 5cm Το όριο ή τάση αναλογίας σα είναι ο λόγος του φορτίου αναλογίας ΡΑ προς την αρχική διατομή του δοκιμίου F (Σχ.2.3), δηλαδή P 2 σα= A 2875kp = 2167kp / cm 2 = F 1,327 cm Το όριο θραύσης σθρ είναι ο λόγος της μέγιστης δύναμης Ρθρ προς την αρχική διατομή του δοκιμίου, δηλαδή P 5795kp 2 σ = θρ θρ = = 4367kp / cm 2 F 1,327cm Το μέτρο ελαστικότητας Ε (ή μέτρο του Υοung) είναι ο λόγος της τάσης αναλογίας σα προς την ανηγμένη παραμόρφωση ε στην ελαστική περιοχή, δηλαδή 2 σ 2167kp / cm 2 2 E = Α = = kp / cm 204,4GN / m ε 0,00106

34 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ σ-ε ΓΙΑ ΘΛΙΨΗ Το διάγραμμα τάσεων - παραμορφώσεων όταν το δοκίμιο καταπονείται σε θλίψη (Σχ.2.7) είναι αντίστοιχο με εκείνο του εφελκυσμού. Υπάρχει διαφορά μετά το σημείο Μ, αφού τότε το δοκίμιο που καταπονείται θλιπτικά δεν εμφανίζει λαιμό αλλά η διατομή του αυξάνει συνεχώς και μάλιστα στα όλκιμα υλικά, όσο κι αν αυξηθεί το φορτίο, δεν επέρχεται θραύση με τη φυσική έννοια του όρου. Έτσι, το όριο θραύσης για θλίψη ενός όλκιμου υλικού, ορίζεται συμβατικά ότι, είναι η τιμή της τάσης εκείνης που προκαλεί παραμόρφωση (επιβράχυνση) του ύψους του δοκιμίου κατά 30% του αρχικού του μήκους, (δηλαδή εθρ = -0,3). Σχ Διάγραμμα σ-ε χάλυβα, για εφελκυσμό και θλίψη Οι χαρακτηριστικές τιμές που αναφέραμε στο πείραμα του εφελκυσμού, ισχύουν και για τη θλίψη με την προϋπόθεση ότι ο λόγος (h/d) του ύψους του δοκιμίου προς την αρχική διάμετρο του, έχει τιμή περίπου 3. Αν ο λόγος αυτός έχει τιμή μεγαλύτερη, τότε αυξάνεται ο κίνδυνος λυγισμού. Επίσης θέλουμε στο μέσον περίπου του ύψους του δοκιμίου να υπάρχει μία επαρκής περιοχή ελεύθερη από την επίδραση των δυνάμεων τριβής που αναπτύσσονται στο δοκίμιο στις θέσεις επαφής του με τη μηχανή και συντελούν στην αύξηση της αντοχής του δοκιμίου. Σε αυτές τις δυνάμεις τριβής που αναπτύσσονται κάθετα στη διεύθυνση φόρτισης, οφείλεται η βαρελοειδής μορφή (για την περίπτωση των κυλινδρικών δοκιμίων) που παίρνουν τα δοκίμια με την αύξηση των θλιπτικών παραμορφώσεων.

35 34 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 2 ΗΣ ΔΙΑΛΕΞΗΣ

36 35 Αντικείμενο 3 ης διάλεξης: ΟΛΚΙΜΗ ΚΑΙ ΨΑΘΥΡΗ ΘΡΑΥΣΗ ΕΞΙΔΑΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ

37 ΟΛΚΙΜΗ ΚΑΙ ΨΑΘΥΡΗ ΘΡΑΥΣΗ Η όλκιμη θραύση διακρίνεται από τις έντονες πλαστικές παραμορφώσεις γύρω από την περιοχή θραύσης και η επιφάνεια θραύσης είναι ανομοιόμορφη και χοντρόκοκκη. Κατά τη θραύση αυτή, το υλικό σπάει εξαιτίας κυρίως, των διατμητικών τάσεων. Τα υλικά που έχουν την ιδιότητα να σπάνε όλκιμα, χαρακτηρίζονται ως όλκιμα υλικά ή συνεκτικά. Στο πείραμα του εφελκυσμού, η όλκιμη θραύση φαίνεται από τη δημιουργία λαιμού στο δοκίμιο. Η τάση ενός υλικού προς την όλκιμη θραύση, αυξάνει με αύξηση της θερμοκρασίας και μείωση της ταχύτητας φόρτισης. Επειδή η όλκιμη θραύση γίνεται αργά, δεν είναι τόσο επικίνδυνη όσο η ψαθυρή. Στα όλκιμα υλικά, σαν κριτήριο διαστασιολόγησης ή ελέγχου χρησιμοποιείται η μέγιστη διατμητική τάση. Τα όλκιμα υλικά διαρρέουν πριν αστοχήσουν. Η διαρροή αυτή είναι αποτέλεσμα κρίσιμων διατμητικών τάσεων σε επίπεδο 45. Σχ Θραύση όλκιμων και ψαθυρών υλικών Ψαθυρή είναι η θραύση εκείνη, κατά την οποία το υλικό σπάει κάθετα στη διεύθυνση φόρτισης του, χωρίς σημαντικές πλαστικές παραμορφώσεις γύρω από την περιοχή θραύσης, η δε επιφάνεια θραύσης είναι λεία και λεπτόκοκκη. Τα υλικά που έχουν την ιδιότητα να σπάνε ψαθυρά, χαρακτηρίζονται ως ψαθυρά υλικά. Στο πείραμα του εφελκυσμού, η ψαθυρή θραύση φαίνεται από τη μη δημιουργία έντονου λαιμού στην περιοχή θραύσης, δηλαδή τα ψαθυρά υλικά θραύονται χωρίς προηγουμένως να διαρρεύσουν. Η τάση ενός υλικού προς ψαθυρή θραύση, αυξάνει με μείωση της θερμοκρασίας και αύξηση της ταχύτητας φόρτισης. Επειδή η ψαθυρή θραύση μπορεί να δημιουργηθεί ακόμα και κάτω από μικρές φορτίσεις και επειδή επιπλέον διαδίδεται ταχύτατα, είναι πολύ επικίνδυνη. Στα ψαθυρά υλικά, σαν κριτήριο διαστασιολόγησης ή ελέγχου χρησιμοποιείται η μέγιστη ορθή τάση γιατί τα υλικά αυτά αστοχούν κάθετα στη διεύθυνση της μέγιστης ορθής τάσης. Η θραύση καθώς και το διάγραμμα σ-ε, όλκιμων και ψαθυρών υλικών, φαίνεται στο (Σχ. 3.1). Τόσο η ολκιμότητα (συνεκτικότητα) όσο και η ψαθυρότητα, δεν είναι χαρακτηριστικές ιδιότητες ενός υλικού (όπως π.χ. το όριο διαρροής), αλλά μεταβάλλονται από εξωτερικές επιδράσεις όπως είναι η θερμοκρασία, το είδος της φόρτισης, η ταχύτητα καταπόνησης κ.α., ώστε το ίδιο υλικό άλλοτε να συμπεριφέρεται όλκιμα και άλλοτε ψαθυρά, ανάλογα με τις εξωτερικές συνθήκες.

38 ΕΞΙΔΑΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ Πολλές φορές προκειμένου να διευκολυνθούν οι υπολογισμοί, για την επίλυση κατασκευαστικών ή άλλων σύνθετων προβλημάτων της Αντοχής των Υλικών, υποθέτουμε ότι τα υλικά συμπεριφέρονται με εξιδανικευμένο τρόπο. Στην πράξη παρουσιάζεται μία μεγάλη ποικιλία τύπων συμπεριφοράς που δεν μπορούν να περιγραφούν με απλές καταστατικές εξισώσεις. Η υπόθεση αυτή γίνεται για υλικά, που η πραγματική συμπεριφορά τους προσεγγίζει την εξιδανικευμένη συμπεριφορά Όμως παρ όλη την ποικιλία, τα διαγράμματα των περισσοτέρων υλικών μπορούν να καταταγούν στις επόμενες ομάδες, που αποτελούν εξιδανικευμένα πρότυπα υλικών που χρησιμοποιούνται για τους υπολογισμούς στην Αντοχή των Υλικών. α') Απόλυτα ελαστικά υλικά. Αυτά πληρούν τους επόμενους όρους: α1) Η παραμόρφωση κατά τη φόρτιση και η επαναφορά κατά την επαναφόρτιση συμβαίνουν στιγμιαία. α2) Η επαναφορά στις αρχικές διαστάσεις είναι πλήρης, δηλαδή δεν εμφανίζονται πλαστικές παραμορφώσεις. α3) Κατά τη φόρτιση - αποφόρτιση, ακολουθεί την ίδια καμπύλη σ-ε. Απόλυτα ελαστικό (α) Ανελαστικό (β) Σχ. 3.2 Ελαστικό απολύτως πλαστικό (γ) Επειδή στην πράξη δεν υπάρχουν υλικά που να ικανοποιούν απόλυτα τους τρεις παραπάνω όρους, δεχόμαστε, για πρακτικούς λόγους, ότι τα υλικά που χρησιμοποιούνται σε διάφορες συνήθεις κατασκευές πληρούν τους όρους που έχουν τεθεί μέχρι το όριο ελαστικότητας τους. Στο (Σχ. 3.2.α) φαίνονται τα διαγράμματα σ-ε υλικών με γραμμική και μη γραμμική ελαστική συμπεριφορά. Στη συνέχεια, περιγράφοντας και άλλα εξιδανικευμένα πρότυπα, θα μελετηθούν οι αποκλίσεις διαφόρων υλικών από τους τρεις όρους της τέλειας ελαστικότητας. β') Ανελαστικά υλικά. Αυτά τα οποία κατά την αποφόρτιση, επανέρχονται στις αρχικές τους διαστάσεις, όχι στιγμιαία, αλλά ύστερα από κάποιο χρόνο. Στο σχήμα (3.2.β) φαίνεται το διάγραμμα ε-t για ανελαστικά υλικά. γ') Ελαστικά - απολύτως πλαστικά υλικά. Είναι αυτά τα υλικά, των οποίων το διάγραμμα σ-ε (Σχ. 3.2.γ) μπορεί να θεωρηθεί ότι αποτελείται από δύο τμήματα: Την ευθεία ΟΑ, ως την τάση διαρροής σδ, η οποία αντιστοιχεί σε γραμμική ελαστική συμπεριφορά και την οριζόντια ευθεία από το Α μέχρι το Θ (θραύση) όπου συμβαίνει αύξηση της παραμόρφωσης, ενώ η τάση σδ παραμένει σταθερή. Δηλαδή τα υλικά αυτά παρουσιάζουν γραμμική ελαστική συμπεριφορά μέχρι το όριο διαρροής, ενώ

39 38 στη συνέχεια η κράτυνση τους είναι ασθενής. Τα υλικά με αυτή την ιδιότητα ονομάζονται και απολύτως ελαστοπλαστικά. δ') Τελείως πλαστικά υλικά. Είναι τα ελαστικά - τελείως πλαστικά υλικά που το μέτρο ελαστικότητας τους είναι άπειρο. Στο διάγραμμα σ-ε των υλικών αυτών (Σχ. 3.3.α) παρουσιάζεται στην ελαστική περιοχή μία απότομη αύξηση (τμήμα ΟΑ), ενώ η παραμόρφωση είναι μηδενική και στη συνέχεια η παραμόρφωση αυξάνει, ενώ η τάση παραμένει σταθερή (τμήμα ΑΒ). Τελείως πλαστικό (α) Ελαστικό γραμμικά κρατυνόμενο (β) Σχ. 3.3 Γραμμικά κρατυνόμενο (γ) ε') Ελαστικά - γραμμικά κρατυνόμενα υλικά. Είναι τα υλικά των οποίων η καμπύλη σ-ε (Σχ. 3.3.β) αποτελείται από δύο τμήματα: το (ΟΑ), μέχρι το όριο διαρροής, που αντιστοιχεί στη γραμμική ελαστική συμπεριφορά του υλικού και το (ΑΓ) που φανερώνει γραμμική κράτυνση σε μεγαλύτερες τάσεις. Κατά την κράτυνση, επέρχεται πλαστική παραμόρφωση (επ), αλλά αυξάνει και η ελαστική παραμόρφωση (εε) και μάλιστα κατά ποσό ανάλογο της αύξησης της τάσης. Η αποφόρτιση εδώ, μετά το σημείο διαρροής, δεν ακολουθεί πορεία αντίστροφης της φόρτισης (ΟΑ), αλλά μία ευθεία (ΓΔ) που είναι παράλληλη στην (ΟΑ). στ') Υλικά με γραμμική κράτυνση. Είναι τα ελαστικά - γραμμικά κρατυνόμενα των οποίων οι ελαστικές παραμορφώσεις είναι μηδέν (Σχ. 3.3.γ).

40 39 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 3 ΗΣ ΔΙΑΛΕΞΗΣ

41 40 Αντικείμενο 4 ης διάλεξης: ΣΤΑΤΙΚΗ ΤΑΣΗ ΘΡΑΥΣΗΣ ΔΙΑΣΤΟΛΗ ΚΑΙ ΣΥΣΤΟΛΗ ΘΡΑΥΣΗΣ ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΗ ΤΑΣΗ - ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΑΣΦΑΛΕΙΑΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΑΣΗ ΘΡΑΥΣΗΣ - ΚΟΠΩΣΗ

42 ΣΤΑΤΙΚΗ ΤΑΣΗ ΘΡΑΥΣΗΣ ΔΙΑΣΤΟΛΗ ΚΑΙ ΣΥΣΤΟΛΗ ΘΡΑΥΣΗΣ Η δύναμη εκείνη, με την επενέργεια της οποίας επέρχεται η θραύση ενός δοκιμίου (π.χ. ράβδου, σχοινιού κ.λ.π.), ονομάζεται δύναμη θραύσης ή φορτίο θραύσης. Η επιβολή της δύναμης αυτής υποτίθεται ότι γίνεται σιγά - σιγά και προοδευτικά, από την τιμή 0 μέχρι τη μέγιστη τιμή που επιφέρει τη θραύση, γι αυτό και η δύναμη αυτή, κατά κυριολεξία λέγεται στατική δύναμη (ή φορτίο) θραύσης. Αυτή συνήθως ανάγεται στη μονάδα επιφανείας της καταπονούμενης διατομής, οπότε ειδικότερα ονομάζεται στατική τάση θραύσης ή απλά τάση θραύσης ή και αντοχή και συμβολίζεται σθρ (ή και σβ). Έτσι αν μία πρισματική ράβδος που καταπονείται σε εφελκυσμό (ή θλίψη), έχει εμβαδόν διατομής F και θραύεται με την επενέργεια μιας δύναμης Ρθρ η τάση θραύσεως (ή αντοχή) του υλικού, θα είναι: P θρ σ θρ = (4.1) F Επομένως υπάρχει αντοχή των υλικών σε εφελκυσμό, αντοχή σε θλίψη, και κατά αναλογία αντοχή σε διάτμηση, κ.λ.π. Γενικά η αντοχή σε εφελκυσμό και θλίψη των υλικών είναι διαφορετική. Έτσι ο χυτοσίδηρος για παράδειγμα, έχει αντοχή σε θλίψη ΜΝ/m 2, ενώ η αντοχή του σε εφελκυσμό είναι πολύ μικρότερη ΜΝ/m 2. Οι χάλυβες όμως έχουν την ίδια αντοχή σε εφελκυσμό και θλίψη. Η αντοχή, αποτελεί δείκτη της ποιότητας των υλικών, η γνώση της οποίας είναι πολύ χρήσιμο στοιχείο για την ορθή και κατάλληλη εκμετάλλευση τους, στις διάφορες τεχνικές κατασκευές. Μερικά υλικά, συμβολίζονται στην πράξη με αριθμό που δηλώνει την αντοχή τους σε εφελκυσμό ή θλίψη. Οι χάλυβες για παράδειγμα που χρησιμοποιούνται στις διάφορες κατασκευές, συμβολίζονται κατά τους Γερμανικούς Κανονισμούς με το σύμβολο St (Stahl) ακολουθούμενο από την τάση θραύσης σε kp/mm 2. Έτσι, το σύμβολο St 36 π.χ. σημαίνει χάλυβας με ελάχιστη αντοχή σε εφελκυσμό 36 kp/mm 2 = 3600 kp/cm 2 = 360 ΜΝ/m 2 = 360 ΜΡα. Για το beton (σκυρόδεμα) χρησιμοποιείται το σύμβολο Β. Έτσι το σύμβολο Β 225 π.χ. σημαίνει σκυρόδεμα με αντοχή σε θλίψη, που μετράται σε κυβικό δοκίμιο ( )cm 3 μετά από 28ήμερο σκλήρυνσης, μέτρου ίσου προς 225 kp/cm 2 = 22,5 ΜΝ/m 2. Οι σταθερές των διαφόρων μετάλλων εξαρτώνται όχι μόνον από τη θερμοκρασία αλλά και από τις θερμικές κατεργασίες τις οποίες ενδεχομένως έχουν υποστεί (όπως ανόπτηση, βαφή, επαναφορά κ.λ.π.), καθώς και από τις παραμορφώσεις εν ψυχρώ (κοπή, κάμψη, στρέψη κ.λ.π.). Για τους πιο πάνω λόγους, όταν δίνεται μία τάση θραύσης, πρέπει να επίσης να είναι γνωστό σε ποιες συγκεκριμένες συνθήκες κατάστασης του υλικού αντιστοιχεί αυτή.

43 ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΗ ΤΑΣΗ - ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΑΣΦΑΛΕΙΑΣ Τα υλικά των κατασκευών, δεν πρέπει να καταπονούνται μέχρι το έσχατο όριο της αντοχής τους. Πράγματι, διάφοροι παράγοντες, όπως τα ελαττώματα των υλικών (μικρορωγμές, διάφορες ξένες προσμίξεις κ.λ.π.) και τα εξωτερικά αίτια (η ώθηση του αέρα σε μία γέφυρα, η απότομη μεταβολή της εξωτερικής θερμοκρασίας κ.λ.π.), εμποδίζουν την εκτίμηση της πραγματικής καταπόνηση των κατασκευών, με ακρίβεια. Για τους παραπάνω λόγους πρέπει να υπάρχει ένα περιθώριο ασφαλείας. Αυτό είναι εφικτό αν, αντί να επιβαρύνθεί το υλικό μέχρι το όριο θραύσης του, να καταπονηθεί λιγότερο, μέχρι μία ορισμένη μικρότερη τάση, ώστε η κατασκευή να έχει κάποια περιθώρια ασφαλείας. Η τάση αυτή ονομάζεται επιτρεπόμενη τάση και είναι το πηλίκο της τάσης θραύσης, προς τον συντελεστή ασφαλείας ν: σεπ σ θρ = (4.2) ν Ο συντελεστής ασφαλείας ν είναι πάντα αριθμός θετικός και μεγαλύτερος της μονάδας. Παριστάνει δε το περιθώριο ασφαλείας όταν το υλικό καταπονείται με τάση σεπ. Στα όλκιμα υλικά συνήθως, η επιτρεπόμενη τάση ορίζεται σαν το πηλίκο της τάσης διαρροής σδ προς τον συντελεστή ασφαλείας ν1, δηλαδή: σεπ σ = (4.3) ν 1 Όπου τότε βέβαια, ο συντελεστής ν1 είναι μικρότερος του συντελεστή ν. Είναι φανερό ότι πρέπει για λόγους ασφαλείας οι αναπτυσσόμενες τάσεις σ (ορθή) αλλά και τ (διατμητική) εντός των υλικών, να είναι μικρότερες ή το πολύ ίσες με τις αντίστοιχες επιτρεπόμενες, δηλαδή: σ σεπ και τ τεπ (4.4) Οι εξισώσεις (4.4) ονομάζονται συνθήκες αντοχής. Σημειώνεται ότι συνήθως κριτήριο για την επιτρεπόμενη τάση, είναι το όριο διαρροής για τα όλκιμα υλικά και το όριο θραύσης για τα ψαθυρά. Η εκλογή του δεν είναι απόλυτα στην κρίση του Μηχανικού, αλλά καθορίζεται και από κρατικούς κανονισμούς. Ενδεικτικά, η τιμή του συντελεστή για διάφορα υλικά είναι: Χάλυβας ν = 1,5 1,7 για το όριο διαρροής Χάλυβας ν = 2,0 3,0 για το όριο θραύσης Ξύλο ν = 3,0 4,5 Λιθοδομή, πλινθοδομή ν = 8 25,0 Πίνακας 4.1. Συντελεστής ασφαλείας για υπολογισμούς κατηγορίας Ι, II Υπολογισμοί κατηγορίας Ι (ή Η), ΜΝ/m 2 II (ή Hz), ΜΝ/m 2 Θλίψη, όταν γίνεται έλεγχος σε λυγισμό και θλίψη προερχόμενη από κάμψη 14 16

44 43 Εφελκυσμός και εφελκυσμός προερχόμενες από κάμψη Διάτμηση 9 11 Σύνθλιψη άντυγας οπών των ελασμάτων Το μέγεθος του συντελεστή ασφαλείας ν εξαρτάται από πολλούς παράγοντες όπως είναι: α') Η ομοιογένεια του υλικού. Όσο περισσότερο ομοιογενές είναι το υλικό, τόσο ο συντελεστής ασφαλείας ν είναι μικρότερος. β') Η φθορά των υλικών, λόγω παλαιότητας ή χρήσης. γ') Ελαττώματα στο υλικό όπως π.χ. φυσαλίδες, ρωγμές. δ') Απρόβλεπτες φορτίσεις, όπως κρούσεις, σεισμικές δονήσεις, ταλαντώσεις, κ.ά. ε') Ενδεχόμενη ύπαρξη αρχικών τάσεων. στ') Συμβατική εκτίμηση των φορτίων υπολογισμού. ζ') Απλουστευτικές παραδοχές κατά τη διάρκεια των υπολογισμών. Γενικά, το ν μπορεί να ληφθεί μικρότερο για τις προσωρινές ή δευτερεύουσες κατασκευές καθώς και σε κτιριακά έργα όπου η φόρτιση είναι στατική. Όμως σε γέφυρες όπου έχουμε επιπλέον δυναμική φόρτιση καθώς και στα υποστυλώματα που η αστοχία του υλικού έχει καταστρεπτική επίδραση και στους υπόλοιπους ορόφους, ο συντελεστής ασφαλείας ν πρέπει να είναι μεγαλύτερος. Γενικότερα μπορούμε να αναφέρουμε ότι, η εκλογή του συντελεστή ασφαλείας ν, εξαρτάται κυρίως από δύο παράγοντες: Από το είδος του υλικού πρώτον (για χάλυβα ν = 2.5 3, ξύλο ν = 3 8 κ.λ.π.) και από τις κατηγορίες υπολογισμού δεύτερον (Πίνακας 4.1). Έτσι, στους υπολογισμούς της κατηγορίας Ι, όπου λαμβάνονται υπόψη μόνον τα κύρια φορτία, για το χάλυβα για παράδειγμα είναι σεπ = 14 ΜΝ/m 2 = 1400 kp/cm 2. Ενώ για υπολογισμούς της κατηγορίας II, όπου λαμβάνονται επιπλέον υπόψη και οι πρόσθετες (δευτερεύουσες) δυνάμεις (όπως είναι η ανεμοπίεση, το βάρος του χιονιού κ.λ.π.), λαμβάνεται σεπ = 16 ΜΝ/m 2 = 1600 kp/cm 2. Παράδειγμα 4.1. Μία ράβδος τετραγωνικής διατομής με πλευρά α=1 cm, από χάλυβα St 40, δέχεται αξονικό εφελκυστικό φορτίο Ρ = 10 ΚΝ. Να βρεθεί ο συντελεστής ασφαλείας με τον οποίο εργάζεται η ράβδος. Η αναπτυσσόμενη ορθή (εφελκυστική) τάση εντός του υλικού της ράβδου είναι: σ = P F = P a 10KN 1 cm = = 10KN / cm 2 Κατά τα γνωστά, η τάση θραύσης του χάλυβα St 40, είναι: σθρ = 40 kp/mm 2 10N = 40 = N / cm = 40KN / cm cm Επομένως ο συντελεστής ασφαλείας ν προκύπτει από τη σχέση ορισμού του, που είναι: 2 σϑρ 40KN / cm ν = = = 4 2 σ 10KN / cm

45 44 Παράδειγμα 4.2. Δύο ίδιες χαλύβδινες ράβδοι με διατομή F=4cm 2 συνδέονται αρθρωτά (Σχ.α). Αν στον κόμβο A δρα κατακόρυφη δύναμη Ρ = 5t =50 ΚΝ, να εξεταστεί αν οι αναπτυσσόμενες ορθές τάσεις στις δύο ράβδους είναι εντός των επιτρεπόμενων ορίων ασφαλείας. Η επιτρεπόμενη τάση εφελκυσμού του χάλυβα είναι σεπ= 1000 kp/cm 2. Σχ.α Σχ.β Σχ.γ Για τον προσδιορισμό των αναπτυσσόμενων ορθών τάσεων στις δύο ράβδους, κατασκευάζουμε τα διαγράμματα ελεύθερου σώματος του κόμβου Α καθώς και των ράβδων ΑΒ και ΑΓ (Σχ.β). Στον κόμβο Α δρα η κατακόρυφη εξωτερική δύναμη Ρ και οι δυνάμεις R που προέρχονται από τη δράση των δύο ράβδων ΑΒ και ΑΓ. Οι δυνάμεις αυτές είναι ίσες μεταξύ τους εξαιτίας της υπάρχουσας συμμετρίας του δικτυώματος. Λόγω δράσης -αντίδρασης όμως, και ο κόμβος ασκεί στις ράβδους ίσες δυνάμεις αλλά αντίθετης φοράς (Σχ.β). Για να ισορροπούν οι ράβδοι ασκούνται σε αυτές από τις στηρίξεις δυνάμεις R, στα σημεία Β και Γ αντίστοιχα. Έτσι, τελικά οι δύο αυτές ράβδοι εφελκύονται από δύναμη R και αναπτύσσονται σε αυτές εφελκυστικές τάσεις σ. Από την ισορροπία των μεγενθυμένων δυνάμεων (Σχ.γ) του κόμβου Α ως προς τον κατακόρυφο άξονα, έχουμε: o Ρy = 0 : 2 Ry P= 0 2R sin 30 = P R= P= 50KN Ενώ η εξίσωση ισορροπίας του κόμβου ως προς τον οριζόντιο άξονα χρησιμοποιήθηκε έμμεσα, όταν διατυπώσαμε ότι οι δυνάμεις R σε κάθε ράβδο είναι ίσες. Οι αναπτυσσόμενες ορθές (εφελκυστικές) τάσεις στις δύο όμοιες ράβδους, R 50KN 2 είναι: σ = = = 125MN / m Η επιτρεπόμενη τάση όμως είναι σεπ= F 4 10 m kp/cm 2 = 100MN/m 2. Παρατηρούμε ότι είναι σ>σεπ, επομένως η κατασκευή αυτή δεν είναι ασφαλής. Για να ήταν ασφαλής θα έπρεπε οι αναπτυσσόμενες τάσεις να ήταν μικρότερες ή το πολύ ίσες με την επιτρεπόμενη τάση σεπ του υλικού, δηλαδή: R σ σεπ σεπ R 40KN P 40KNΔηλαδή η μέγιστη δύναμη που F μπορεί να εφαρμοστεί στον κόμβο Α είναι 40 ΚΝ. 4.3 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΑΣΗ ΘΡΑΥΣΗΣ - ΚΟΠΩΣΗ Η κόπωση είναι ο συνήθης λόγος που αστοχούν (θραύονται), μέλη μηχανών ή μηχανισμών που λειτουργούν σε επαναληπτική φόρτιση. Ο αριθμός των επαναληπτικών φορτίσεων διαφέρει από κατασκευή σε κατασκευή ανάλογα με τον προσδιορισμό της. Έτσι, ο διωστήρας μιας μηχανής εσωτερικής καύσης κατασκευάζεται ώστε να αντέχει από 10 9 έως επαναληπτικές φορτίσεις, ενώ οι ράβδοι μιας δικτυωτής γέφυρας με μέτρια κυκλοφορία οχημάτων, κατασκευάζονται ώστε να αντέχουν μερικές χιλιάδες επαναληπτικές φορτίσεις την εικοσιπενταετία. Από τα παραπάνω έγινε αντιληπτό, ότι η κόπωση πρέπει να λαμβάνεται σοβαρά υπόψη στον υπολογισμό των διαφόρων κατασκευών, πολύ δε περισσότερο όταν συνδυάζεται και με αυξημένη θερμοκρασία λειτουργίας. Κόπωση είναι δυνατό να δημιουργηθεί όχι μόνο λόγω αξονικής καταπόνησης αλλά και λόγω

46 45 επαναληπτικής κάμψης ή και στρέψης. Είναι βέβαια πιθανό, να συνυπάρχουν δύο ή και οι τρεις από τους προαναφερθέντες λόγους. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 4 ΗΣ ΔΙΑΛΕΞΗΣ

47 46 Αντικείμενο 5 ης διάλεξης: ΑΞΟΝΙΚΟΣ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ-ΘΛΙΨΗ ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ HOOKE

48 ΑΞΟΝΙΚΟΣ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ-ΘΛΙΨΗ- ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ HOOKE Στο προηγούμενο Κεφάλαιο, ανάλογα με τον τρόπο επιβολής της δύναμης, π.χ. εφελκυστική, θλιπτική, διατμητική, κ.λ.π., διακρίναμε δύο είδη τάσεων, την ορθή και τη διατμητική τάση, αλλά και δύο είδη παραμορφώσεων, τη γραμμική παραμόρφωση και τη γωνιακή. Ο Robert Hooke (1678) απέδειξε πειραματικά ότι υπάρχει σχέση μεταξύ τάσης και παραμόρφωσης, η οποία θα διατυπωθεί πιο κάτω. i. Σχέση μεταξύ ορθής τάσης - γραμμικής παραμόρφωσης Έστω η πρισματική αβαρής ράβδος ΑΒ, η οποία καταπονείται από αξονική εφελκυστική δύναμη Ρ που ασκείται στο κέντρο βάρους Β της διατομής της (Σχ. 5.1.α). Έστω επίσης F το εμβαδόν της διατομής (το οποίο θεωρείται σταθερό σε ολόκληρο μήκος l ) της ράβδου. Επιμήκυνση εφελκυόμενης ράβδου Σχ. 5.1 Επιβράχυνση θλιβόμενης ράβδου Με την επενέργεια της εφελκυστικής δύναμης Ρ η ράβδος θα επιμηκυνθεί κατά Δ l και τελικά το σημείο Β εφαρμογής της δύναμης, θα μετατοπιστεί δεξιότερα στη θέση Β', οπότε το τελικό μήκος της ράβδου, θα γίνει l '. Πειραματιζόμενος λοιπόν με τέτοιες πρισματικές ράβδους ποικίλων υλικών, υποβαλλόμενες σε μονοαξονικό εφελκυσμό εντός της περιοχής της ελαστικής συμπεριφοράς των υλικών, ο Hooke παρατήρησε ότι, η επιμήκυνση Δ l της ράβδου ήταν ανάλογη τόσο προς την εφελκύουσα δύναμη Ρ, όσο και προς το αρχικό μήκος της l και αντιστρόφως ανάλογη του εμβαδού της διατομής της F, δηλαδή Δl Ρl /F. Η πλήρης μαθηματική διατύπωση του νόμου του Hooke είναι η εξής: Pl l = (5.1) EF Όπου: Δl = l '- l = (ΒΒ'), είναι η παραμόρφωση της ράβδου που για τον εφελκυσμό καλείται επιμήκυνση η μήκυνση ενώ για τη θλίψη επιβράχυνση ή βράχυνση, (σε m, cm, mm, κλπ.). Ρ, είναι το αξονικό φορτίο (δύναμη) εφελκυσμού (σε Ν, t, κ.λ,π.). F, είναι το εμβαδόν της κάθετης διατομής του άξονα της ράβδου (σε m 2, cm 2, κ.λ.π.). Ε, είναι ο συντελεστής αναλογίας, που είναι η ελαστική σταθερά η οποία εξαρτάται από το είδος του υλικού. Η σταθερά αυτή ονομάζεται μέτρο ελαστικότητας ή μέτρο του Young (σε Ν/m 2, at, κ.λ.π.). O νόμος του Hooke που δίνεται από την εξίσωση (5.1), ισχύει επακριβώς εφόσον πληρούνται οι παρακάτω απλοποιητικές παραδοχές:

49 48 Παραδοχές ισχύος του νόμου του Hooke α') 0 άξονας της ράβδου είναι ευθύγραμμος. β') Η δύναμη δρα στη διεύθυνση του άξονα της ράβδου και το σημείο εφαρμογής της είναι το κέντρο βάρους της διατομής. γ') Οι τάσεις κατανέμονται ομοιόμορφα στη διατομή. Αυτό στην πραγματικότητα, δεν συμβαίνει πολύ κοντά στο σημείο εφαρμογής της δύναμης, πραγματοποιείται όμως πρακτικά σε μικρή απόσταση από αυτό. δ') Στα θλιβόμενα μέρη δεν υπάρχει κίνδυνος λυγισμού. ε') Όλες οι κατά μήκος ίνες της ράβδου επιμηκύνονται το ίδιο. στ') Οι διατομές που είναι αρχικά επίπεδες και κάθετες στον άξονα της ράβδου παραμένουν έτσι και μετά την παραμόρφωση. ζ') Οι αναπτυσσόμενες τάσεις είναι μικρότερες από την τάση αναλογίας σα του υλικού. Δηλαδή, ο νόμος του Hooke ισχύει μόνον εντός της γραμμικά ελαστικής περιοχής του διαγράμματος σ-ε. Ο νόμος αυτός επιβεβαιώθηκε στη συνέχεια από πολλούς ερευνητές, οι οποίοι πειραματίστηκαν σε μεγάλο πλήθος δοκιμίων και από διάφορα υλικά. Διαπιστώθηκε δε ότι αυτός ισχύει όχι μόνο για δοκίμια υποβαλλόμενα σε εφελκυσμό, αλλά και σε θλίψη (Σχ.5.1.β). Με την παραδοχή που προαναφέραμε, ότι οι αναπτυσσόμενες ορθές τάσεις σε μία τυχαία διατομή της ράβδου κατανέμονται ομοιόμορφα σε αυτήν (όπως συμβαίνει περίπου και στην πράξη) και αν αμελήσουμε το ίδιο βάρος της, η ορθή τάση σ είναι σ= Ρ/F, η δε ανηγμένη (ή ειδική) παραμόρφωση ε από τη σχέση ορισμού της, είναι ε=δ l /l. Οπότε λαμβάνοντας υπόψη τις δύο προηγούμενες εξισώσεις, ο νόμος του Hooke γράφεται και με την εξής απλούστερη μορφή: σ =εε (5.2) Η εξίσωση (5.2) εκφρασμένη με λόγια, διατυπώνει συνοπτικά το νόμο του Hooke με την παρακάτω φράση: "Η τάση είναι ανάλογη προς την ανηγμένη παραμόρφωση". Το μέτρο ελαστικότητας Ε είναι ο συντελεστής αναλογίας μεταξύ της τάσης και της ανηγμένης παραμόρφωσης, όπως προκύπτει από την παραπάνω εξίσωση (5.2). Λύνοντας την δε ως προς Ε, έχουμε: σ Ε = (5.3) ε Επειδή η ανηγμένη παραμόρφωση ε είναι αδιάστατο μέγεθος (καθαρός αριθμός), το μέτρο ελαστικότητας Ε από την (5.3) εύκολα φαίνεται ότι έχει μονάδες τάσης. Από τον ορισμό του προκύπτει ότι το Ε αντιπροσωπεύει την τάση εκείνη σ, η οποία θα προκαλούσε ανηγμένη παραμόρφωση ε = 1, δηλαδή Δ l = l, ή διαφορετικά, αντιπροσωπεύει την εφελκυστική εκείνη τάση, η οποία θα διπλασίαζε το αρχικό μήκος μιας ράβδου, αν βέβαια ήταν δυνατόν το υλικό της να παραμείνει απόλυτα ελαστικό σε όλη τη διάρκεια της υπερβολικής αυτής παραμόρφωσης.

50 49 Διάγραμμα σ-ε Διάγραμμα P-Δ l (α) (β) Σχ. 5.2 Αναμένουμε λοιπόν μεγάλες τιμές για το μέτρο ελαστικότητας, που για τον χάλυβα είναι 2, at = 210 GΝ/m 2, για τον ορείχαλκο είναι 90 GΝ/m 2, για το σκυρόδεμα 25 GΝ/m 2, κ.λ.π. Τιμές του Ε για διάφορα ακόμη υλικά δίνονται στον Πίνακα 3.1. Η γραφική παράσταση της εξίσωσης σ = εε σε άξονες ε και σ είναι η ευθεία ΟΑ. Η γραφική αυτή παράσταση απεικονίζει το γνωστό διάγραμμα τάσηςειδικής παραμόρφωσης σε εφελκυσμό εντός της περιοχής της ελαστικής συμπεριφοράς του υλικού (Σχ. 5.2.α) και συγκεκριμένα μέχρι το όριο αναλογίας (σημείο Α), όπου ισχύει γραμμικότητα μεταξύ τάσεων και παραμορφώσεων. Εντελώς ανάλογο με αυτό είναι και το διάγραμμα δυνάμεων - παραμορφώσεων, με διαφορετική βέβαια κλίση φ' φ, (Σχ. 5.2.β). Το μέτρο ελαστικότητας Ε, είναι η κλίση της ευθείας ΟΑ στο διάγραμμα αυτό, δηλαδή είναι: EF E = tanφ ή φ = arctan E, ενώ φ ' = arctan (5.4) l Σημειώνουμε ότι στο αντίστοιχο διάγραμμα σ-ε του χάλυβα για παράδειγμα, η τιμή της γωνίας αυτής φ, είναι 89,9 περίπου. Το Ε για τα περισσότερα υλικά κατασκευής έχει την ίδια τιμή για εφελκυσμό και θλίψη με αντιπροσωπευτικό παράδειγμα το χάλυβα, χωρίς αυτό βέβαια να σημαίνει ότι δεν υπάρχουν και αρκετές εξαιρέσεις. (α) (β) Σχ Παραμορφώσεις και τάσεις σε αξονικό εφελκυσμό και θλίψη Το τελικό μήκος l ' της ράβδου που θα προκύψει μετά την παραμόρφωση που προκάλεσε η δύναμη Ρ, είναι: l ' = l + Δl = l + εl και συνεπώς: l ' = l (1+ε) (5.5) Οι εξισώσεις (5.1),(5.2) και (5.5) ισχύουν και για την περίπτωση ράβδων που καταπονούνται σε θλίψη (Σχ.5.3.β). Το Δ l τότε αντιπροσωπεύει την επιβράχυνση της ράβδου, το ε την ανηγμενη επιβράχυνση και το σ τη θλίπτική τάση, που όλα θεωρούνται ποσότητες αρνητικές.

51 Πίνακας 5.1. Μηχανικές ιδιότητες διαφόρων υλικών 50

52 51 ii. Σχέση διατμητικής τάσης - γωνιακής παραμόρφωσης Μέχρι τώρα, διαπιστώσαμε ότι ο νόμος του Hooke συνδέει τις ορθές τάσεις (αίτιο) με την ανηγμένη παραμόρφωση (αποτέλεσμα) στην ελαστική περιοχή, με την γραμμική σχέση σ = εε. Αντίστοιχα, ο νόμος του Hooke συνδέει επίσης τις διατμητικές τάσεις τ με τη γωνιακή παραμόρφωση γ (Σχ. 5.4), με την ανάλογη γραμμική σχέση: τ = Gγ, γ σε rad (5.6) Όπου το G είναι σταθερή ποσότητα που έχει διαστάσεις τάσης, όπως φαίνεται από την εξίσωση (5.6) και χαρακτηρίζει τις μηχανικές ιδιότητες των διαφόρων υλικών. Είναι δε κάτι ανάλογο του μέτρου ελαστικότητας Ε και ονομάζεται δεύτερο μέτρο ελαστικότητας ή μέτρο διάτμησης ή και μέτρο ολίσθησης, σε αντιστοιχία με τις ονομασίες της γωνίας γ. Σχ Γωνιακή παραμόρφωση Τα δύο αυτά μέτρα ελαστικότητας Ε και G, συνδέονται μεταξύ τους με τη σχέση: E G = (5.7) 2 (1+ µ ) Όπου το μ ονομάζεται λόγος του Poisson, είναι καθαρός αριθμός και για τα μέταλλα παίρνει την τιμή περίπου μ 0,3, όπως θα δούμε αναλυτικότερα σε επόμενες παραγράφους. Έτσι, από την εξίσωση (5.7) εύκολα προκύπτει ότι για τα μέταλλα μπορούμε να χρησιμοποιούμε για το G την προσεγγιστική σχέση: G 0, 385E (5.8) Ακριβέστερες τιμές του G για διάφορα υλικά δίνονται στον Πίνακα 5.1. Παράδειγμα 5.1. Σε έναν χαλύβδινο στύλο ύψους l = 4 m, του οποίου η διατομή είναι κυκλικός δακτύλιος με εξωτερική διάμετρο D=100mm και πάχος t =5 mm, επενεργεί ένα αξονικό (κεντροβαρικό) θλιπτικό φορτίο 10t =10 5 Ν με τη Βοήθεια μιας άκαμπτης πλάκας (Σχ.α). Δίνεται το μέτρο ελαστικότητας του χάλυβα E = 210 GΝ/m 2. Ζητείται η επιβράχυνση, η ειδική επιβράχυνση, το τελικό μήκος του στύλου καθώς και η αναπτυσσόμενη ορθή τάση εντός του χάλυβα. Λύση : Η εσωτερική διάμετρος d της διατομής του στύλου, θα είναι: d = D-2t = = 90mm = 9cm = 0.09m

53 52 Το εμβαδόν F του κυκλικού δακτυλίου (σωληνοειδούς διατομής), είναι π 2 2 π F = ( D d ) = (0,1 0,09 ) = 1,49 10 m 4 4 Η δύναμη Ρ ασκείται σε πρώτη φάση στην άκαμπτη πλάκα. Από το διάγραμμα ελεύθερου σώματος αυτής όμως, παρατηρούμε ότι για να ισορροπεί, πρέπει και από κάτω προς τα άνω να δέχεται δύναμη Ρ προερχόμενη από το στύλο (Σχ. β). Λόγω δράσης - αντίδρασης όμως, και η πλάκα θα ασκεί στο στύλο δύναμη Ρ προς τα κάτω, από δε το έδαφος θα δέχεται δύναμη Ρ προς τα άνω, ίση και αντίθετη της Ρ (Σχ. γ). Αμελούντες πιθανό λύγισμα του στύλου, η ζητούμενη επιβράχυνση Δl, προκύπτει από εφαρμογή του νόμου του Hooke με Ρ = Ν (διότι είναι θλιπτική) και είναι: 5 Pl 10 N 4m 3 l = = l = 1,28 10 m EF N / m 1,49 10 m Η ανηγμένη (ή ειδική) επιβράχυνση ε προκύπτει από τη σχέση ορισμού της και είναι: 3 l 1,28 10 m 4 ε = = = 3,2 10 = 0,032% l 4m Το τελικό μήκος l' του στύλου μετά την επιβράχυνση του, θα είναι: l'=l(1-ε)=4m (1-3, ) l'=3,99872m ή και διαφορετικά: l'=l+δl=4m-1, m=3,99872m Η δύναμη Ρ μεταφέρεται μέσω της άκαμπτης πλάκας και στο στύλο (Σχ. β). Η αναπτυσσόμενη ορθή (θλιπτική) τάση σ εντός του υλικού του στύλου, όπως φαίνεται και από το διάγραμμα ελεύθερου σώματος τμήματος του στύλου που προκύπτει μετά από νοητή τομή μ-ν (Σχ.δ), είναι: 5 P 10 N 6 2 σ = = = 67, N / m (θλιπτική) 3 2 F 1,49 10 m

54 53 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 5 ΗΣ ΔΙΑΛΕΞΗΣ

55 54 Αντικείμενο 6 ης διάλεξης: ΔΙΑΣΤΑΣΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΦΕΛΚΥΟΜΕΝΗΣ ΡΑΒΔΟΥ

56 ΔΙΑΣΤΑΣΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΦΕΛΚΥΟΜΕΝΗΣ ΡΑΒΔΟΥ Η αστοχία μιας κατασκευής, επέρχεται συνήθως όταν η υπάρχουσα τάση υπερβεί μία κρίσιμη τιμή. Η κρίσιμη αυτή τιμή, μπορεί να είναι η τάση διαρροής (για όλκιμα υλικά) ή η τάση θραύσης (για ψαθυρά υλικά). Για να είναι μία κατασκευή ασφαλής, πρέπει η τάση να μην υπερβαίνει την επιτρεπόμενη τάση του υλικού. Η επιτρεπόμενη τάση, είναι ένα κλάσμα μόνον της τάσης αστοχίας του υλικού. Αν τα φορτία που καταπονούν μία κατασκευή είναι γνωστά, τότε η τάση εξαρτάται από τις τυχόν διαστάσεις της διατομής. Αντικείμενο του Μηχανικού είναι η εκλογή των κατάλληλων διαστάσεων, ώστε η κατασκευή να είναι ασφαλής, λειτουργική και οικονομική. Έστω ράβδος η οποία καταπονείται από αξονική δύναμη Ρ και έστω σεπ η επιτρεπόμενη τάση του υλικού της. Σύμφωνα με όσα έχουμε προαναφέρει, πρέπει η τάση λειτουργίας σ, να είναι μικρότερη ή το πολύ ίση με την επιτρεπόμενη τάση του υλικού, δηλαδή: σ σ επ P F σ επ P F (6.1) σ επ Η απαιτούμενη δηλαδή διατομή μιας ράβδου που εφελκύεται ή θλίβεται υπό αξονικό φορτίο, πρέπει να είναι μεγαλύτερη ή το πολύ ίση με το πηλίκο του φορτίου, προς την επιτρεπόμενη τάση του υλικού της. Αν γνωρίζουμε τη διατομή F και την επιτρεπόμενη τάση σεπ, μπορούμε να υπολογίσουμε το μέγιστο φορτίο εφελκυσμού ή θλίψης, που μπορεί να παραλάβει με ασφάλεια η κατασκευή, από τη σχέση: P max = Fσ επ (6.2) Το φορτίο Pmax ονομάζεται φορτοϊκανότητα της διατομής. Η παραπάνω μέθοδος για την επιλογή της διατομής, ονομάζεται ελαστική μέθοδος. Η ελαστική μέθοδος δίνει εντελώς διαφορετικό συντελεστή ασφαλείας, ανάλογα με το είδος της διατομής και της κατασκευής. Γι αυτό τείνει να εκτοπιστεί από τη μέθοδο συνολικής αντοχής, η οποία προσφέρει ένα σχετικά ομοιόμορφο συντελεστή ασφαλείας. Ο έλεγχος των κατασκευών στην περίπτωση αυτή, γίνεται ως εξής: α') Υπολογίζεται το φορτίο που προκαλεί την κατάρρευση της κατασκευής με τη βοήθεια του ελαστοπλαστικού μοντέλου ή άλλων πλαστικών μοντέλων συμπεριφοράς. Η κατασκευή καταρρέει όταν κάποια διατομή, δεν μπορεί να παραλάβει πρόσθετο φορτίο. β') Το φορτίο που προκαλεί την κατάρρευση, συγκρίνεται με το εφαρμοσμένο φορτίο και ο λόγος τους, είναι ο υπάρχον συντελεστής ασφαλείας ν, ο οποίος πρέπει να είναι μεγαλύτερος (ή το πολύ ίσος) από αυτόν που προτείνουν οι προδιαγραφές. Αν ο συντελεστής είναι μικρότερος, τότε αυξάνουμε τη διατομή και επαναλαμβάνουμε τον έλεγχο. Σε απλές διατομές, πολλαπλασιάζουμε το φορτίο με το συντελεστή ασφαλείας και βρίσκουμε εύκολα την απαιτούμενη διατομή. Ο συντελεστής ασφαλείας ν, είναι το γινόμενο μερικών επιμέρους συντελεστών ασφαλείας ν1,ν2,,νn που προκύπτουν από διάφορους παράγοντες που τον επηρεάζουν. Έτσι, ο πρώτος συντελεστής ν1 εξαρτάται από το είδος του υλικού, ο ν2

57 56 από το είδος των φορτίων κ.λ.π. Περισσότερα όμως για τις δύο αυτές μεθόδους διαστασιολόγησης των κατασκευών, αναφέρονται σε επόμενο κεφάλαιο. Αναφέρουμε επίσης, ότι για τον υπολογισμό των αναπτυσσομένων τάσεων, τις περισσότερες φορές απαιτείται να ληφθούν υπόψη και οι προκαλούμενες παραμορφώσεις, όπως θα δούμε σε επόμενες παραγράφους. Τέλος, εκτός από τον έλεγχο αντοχής, πρέπει να γίνεται και ο έλεγχος λυγηρότητας, (βλ. Κεφάλαιο Λυγισμός), δηλαδή υπολογίζεται το μέγιστο βέλος κάμψης από το συγκεκριμένο φορτίο που καταπονεί την κατασκευή. Κανονισμοί εκτέλεσης έργων δίνουν την επιτρεπόμενη τιμή του, ώστε οι κατασκευές να είναι στην ελαστική περιοχή. Έτσι, για αμφιέρειστη δοκό μήκους l για παράδειγμα, το βέλος κάμψης, πρέπει να είναι μικρότερο από 1/250 του l. Στην πράξη χρησιμοποιούνται τυποποιημένες διατομές οι οποίες διαμορφώνονται από τα εργοστάσια, κατόπιν διεθνών συμφωνιών. Τέτοιες τυποποιημένες διατομές φαίνονται σε Πίνακες, που υπάρχουν στο Παράρτημα στο τέλος του βιβλίου. Διευκρινίζουμε ότι, αν η διατομή που θα προκύψει από τους υπολογισμούς κείται ανάμεσα σε δύο τυποποιημένες διατομές, προφανώς επιλέγουμε τη μεγαλύτερη από τις δύο. Παράδειγμα 6.1. Να επιλεγεί ισοσκελές γωνιακό έλασμα από υλικό χάλυβα St 42 το οποίο καταπονείται από εφελκυστική αξονική δύναμη Ρ= 180 ΚΝ= 18t (Σχ. α). Ο συντελεστής ασφαλείας να ληφθεί ν = 3. Η επιτρεπόμενη τάση του υλικού, με βάση το συντελεστή ασφαλείας, είναι: Πρέπει η αναπτυσσόμενη τάση σ = Ρ/F εντός του υλικού, να είναι μικρότερη ή το πολύ ίση από την επιτρεπόμενη τάση του, πρέπει δηλαδή να ικανοποιείται η συνθήκη αντοχής, που είναι: Αναζητώντας στους Πίνακες των ελασμάτων στο τέλος των Σημειώσεων, διατομή των 12,83 cm 2, βρίσκουμε τα δύο πλησιέστερα μεγέθη στη διατομή αυτή, που είναι: L με διατομή 11 cm 2 και επίσης L με διατομή 13,2 cm 2 Επειδή δε είναι, 11 < 12,83< 13,2 επιλέγουμε το μεγαλύτερης διατομής ισοσκελές γωνιακό έλασμα L δηλαδή ισοσκελή γωνία με πλευρές L = 65 mm και πάχος t = 11 mm (Σχ. β).

58 57 Παράδειγμα 6.2. Να προσδιοριστούν οι απαιτούμενες διατομές της χαλύβδινης ράβδου ΑΒ και της ξύλινης ΒΓ (Σχ. α), αν το κατακόρυφο φορτίο στο Β είναι Ρ = 40 ΚΝ. Η επιτρεπόμενη τάση του ξύλου να ληφθεί 100Ν/cm 2 για θλίψη και 80Ν/cm 2 για εφελκυσμό. Η αντίστοιχη κοινή τάση του χάλυβα είναι σ x επ = Ν/cm 2. Δίνονται: lχ = 4m, lξ = 5m. Υπολογίζουμε πρώτα τη γωνία φ, μεταξύ των δυο ράβδων, που είναι: Έστω Sx και Sξ οι δυνάμεις που ασκούνται στον κόμβο Β (Σχ. δ), οι οποίες προέρχονται από τη χαλύβδινη και ξύλινη ράβδο αντίστοιχα, κατά τις φορές που φαίνονται στο σχήμα. Από την ισορροπία του κόμβου Β έχουμε: Συνεπώς ορθά υποθέσαμε τη φορά των Sx και Sξ, διότι προέκυψαν θετικές. Τη δύναμη Sx την ασκεί στον κόμβο Β η χαλύβδινη ράβδος ΑΒ (Σχ. β). Λόγω δράσης-αντίδρασης όμως και ο κόμβος θα ασκεί στη ράβδο στο σημείο επαφής τους Β, δύναμη Sx αλλά αντίθετης φοράς. Για να ισορροπεί η ράβδος ΑΒ πρέπει και στο σημείο της Α, να δέχεται δύναμη Sx η οποία προφανώς προέρχεται από την άρθρωση Α. Συνεπώς η χαλύβδινη ράβδος καταπονείται σε εφελκυσμό από δύναμη Sx. Η απαιτούμενη διατομή της χαλύβδινης ράβδου έστω Fx θα είναι: Με ανάλογη σκέψη, επειδή η Sξ προέκυψε θετική (Σχ.δ) και ασκείται στον κόμβο Β από τη ράβδο ΓΒ, λόγω δράσης - αντίδρασης και ο κόμβος θα ασκεί στη ράβδο στο σημείο της Β δύναμη Sξ αλλά αντίθετης φοράς (Σχ. γ). Για να ισορροπεί δε η ΓΒ, πρέπει και στο σημείο της Γ να δέχεται δύναμη Sξ η οποία προέρχεται από την άρθρωση Γ. Συνεπώς η ξύλινη ράβδος καταπονείται σε θλίψη (Σχ. δ), άρα η επιτρεπόμενη τάση είναι σ ξ επ = 100 Ν/cm 2. Η διατομή Fξ της ξύλινης ράβδου, είναι:

59 58 Δηλαδή η διατομή της ξύλινης ράβδου είναι περίπου 125 φορές μεγαλύτερη από της χαλύβδινης, όσος είναι και ο λόγος των επιτρεπόμενων τάσεων στα δύο υλικά. Σημειώνουμε ακόμη ότι, λόγω της επιβολής του φορτίου Ρ, ο κόμβος Β θα μετατοπιστεί τελικά στη θέση Β' (Σχ. α), λόγω παραμόρφωσης των ράβδων του δικτυώματος. Παράδειγμα 6.3. Ένα χαλύβδινο συρματόσχοινο με ελεύθερο μήκος l= 80m και διάμετρο d=10mm χρησιμοποιείται για την ανύψωση βαρών από ένα γερανό (Σχ. α). Αν το συρματόσχοινο είναι κατακόρυφο και στο κάτω άκρο του φέρει φορτίο Ρ=2ΚΝ, να υπολογιστεί η επιμήκυνση του. Το Μέτρο Ελαστικότητας του χάλυβα είναι Ε=210 GΝ/m 2. Η συνολική επιμήκυνση Δl του συρματόσχοινου, οφείλεται στο εξωτερικό φορτίο Ρ: Δl = Δlp (1) Όπου Δlp είναι η συνιστώσα της επιμήκυνσης που οφείλεται στο εξωτερικό φορτίο P και η οποία είναι: Συνεπώς η ολική επιμήκυνση του συρματόσχοινου από τις σχέσεις (1), (2) είναι: Δl = 9,7mm Η μέγιστη τάση θα εμφανιστεί στο άνω μέρος του συρματόσχοινου, διότι εκεί επενεργεί η δύναμη Ρ καθώς ολόκληρο το ίδιο Βάρος του W και θα είναι: 3 P P σ max = = = = 25,48MΝ / m F πd π (10 10 ) 4 Η παραπάνω τάση, πρέπει ασφαλώς να είναι μικρότερη από την επιτρεπόμενη.

60 59 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 6 ΗΣ ΔΙΑΛΕΞΗΣ

61 60 Αντικείμενο 7 ης διάλεξης: ΔΙΑΤΜΗΤΙΚΗ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΗ ΗΛΟΥ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΗ ΤΟΥ ΕΛΑΣΜΑΤΟΣ

62 ΔΙΑΤΜΗΤΙΚΗ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΗ ΗΛΟΥ Διατμητικές τάσεις επίσης αναπτύσσονται σε διάφορους κατασκευαστικούς συνδέσμους όπως είναι οι κοχλιώσεις, οι ηλώσεις κ.λ.π. Στην παράγραφο αυτή θα μελετήσουμε μία απλή κατασκευή, όπου δύο μεταλλικές πλάκες (Π1) και (Π2) συγκρατούνται ενωμένες μεταξύ τους με τη βοήθεια ενός ήλου, ή ταυτόσημα ενός κοχλία. Η περίπτωση αυτή είναι αρκετά συνηθισμένη στις μεταλλικές κατασκευές. Οι ήλοι στις μεταλλικές κατασκευές, έχουν προκατασκευασμένη τη μία κεφαλή, η δε άλλη διαμορφώνεται " εν ψυχρώ " ή " εν θερμώ " μετά το πέρασμα του ήλου στις δύο οπές των ελασμάτων. (α) (β) (γ) Σχ Δυνάμεις και αναπτυσσόμενες διατμητικές τάσεις σε μονότμητο ήλο Έστω ότι, οι τα δύο μεταλλικά ελάσματα (πλάκες) (Π1) και (Π2) εφελκύονται από δύναμη Ρ το καθένα (Σχ. 7.1.α). Προφανώς, ο ήλος καταπονείται σε διάτμηση και η κρίσιμη διατμητική επιφάνεια του ήλου είναι η μ-ν, η οποία βρίσκεται στη διαχωριστική επιφάνεια των δύο αυτών ελασμάτων. Σχεδιάζουμε στη συνέχεια το διάγραμμα ελεύθερου σώματος του ήλου (Σχ.7.1.β), ο οποίος ισορροπεί με την επενέργεια των δύο ίσων και αντίθετων δυνάμεων Ρ, εφόσον βέβαια αμελήσουμε το ίδιο του βάρος καθώς και τη ροπή που δημιουργεί το ζεύγος των δυνάμεων Ρ. Οι δυνάμεις αυτές Ρ, στην πραγματικότητα είναι το άθροισμα των κατανομών των στοιχειωδών δυνάμεων που δρουν σε όλο το ύψος επαφής μεταξύ ελάσματος-ήλου (ή κοχλία). Αν τώρα πραγματοποιήσουμε νοητή τομή μ-ν στην επιφάνεια διάτμησης του ήλου, για την ισορροπία του επάνω τμήματος (Ι), θα πρέπει η συνισταμένη τf των διατμητικών τάσεων που δρουν στη διατομή μ-ν, να είναι ίση και αντίθετη με τη δύναμη Ρ που δρα συνθλιπτικά στον ήλο. Επειδή και εδώ η κατανομή είναι άγνωστη, η μέση διατμητική τάση τ που αναπτύσσεται στο υλικό του ήλου, θα είναι: P = F τ (7.1) όπου F το εμβαδόν της εγκάρσιας διατομής μ-ν του ήλου. Προφανώς οι αναπτυσσόμενες διατμητικές τάσεις τ στη διατομή μ-ν έχουν φορά αντίθετη της εξωτερικής δύναμης Ρ. Εξετάζοντας την ισορροπία του τμήματος (II) του ήλου, θα πρέπει η δύναμη τf και η διατμητική τάση τ να έχουν αντίθετη φορά από τα αντίστοιχα μεγέθη στο τμήμα (Ι) (Σχ.7.1.γ), έτσι ώστε αν δεχτούμε ότι επανασυγκολλούμε τα δύο τμήματα, να δώσουν οι εσωτερικές αυτές δυνάμεις συνισταμένη μηδέν, όση δηλαδή είχαν και πριν από τη νοητή τομή μ-ν.

63 62 Θα εξετάσουμε στη συνέχεια τη σύνδεση με ήλους (ή με κοχλίες) που φαίνεται στο (Σχ. 7.2.α). Στην περίπτωση αυτή, τα ελάσματα (Π3) και (Π4) χρησιμεύουν για την καλύτερη σύνδεση των πλακών (Π1) και (Π2) και ονομάζονται "ελάσματα επικάλυψης ή αρμοκαλύπτρες". Για τη σύνδεση, χρησιμοποιούνται τουλάχιστον δύο ή και περισσότεροι ήλοι (ή κοχλίες). Ο κάθε ήλος στην περίπτωση αυτή καταπονείται σε διάτμηση σε δύο επιφάνειες, στην μ-ν και στην μ'-ν' και γι αυτό ονομάζεται δίτμητος. Στο (Σχ. 7.2.β) έχει σχεδιαστεί το διάγραμμα ελεύθερου σώματος του δεξιού ήλου, όπου φαίνονται οι συνθλιπτικές δυνάμεις που ασκούνται στα τρία τμήματα του, έτσι ώστε (επειδή αυτός ισορροπεί), η συνισταμένη τους να είναι τελικά μηδέν. Πράγματι από το σχήμα αυτό παρατηρούμε ότι, P P P = 0 (7.2) 2 2 Στο (Σχ.7.2.γ) φαίνονται τα τρία τμήματα του δεξιού ήλου που προκύπτουν μετά τις τομές στις δύο διατμητικές επιφάνειες μ-ν και μ'-ν'. Στο μεσαίο τμήμα του ήλου φαίνεται η δύναμη Ρ, καθώς και οι δύο διατμητικές δυνάμεις μέτρου τf η κάθε μία και φοράς αντίθετης της Ρ, προκειμένου το τμήμα αυτό να ισορροπεί. Από την ισορροπία αυτή έχουμε, 2τF-Ρ = 0, απ όπου προκύπτει η μέση διατμητική τάση τ, που αναπτύσσεται στο δίτμητο ήλο, ότι είναι: P τ = (7.3) 2F Παρατηρούμε από την προηγούμενη εξίσωση ότι η διατμητική τάση για το P δίτμητο ήλο, είναι η μισή από αυτήν του μονότμητου, εξίσωση τ =. Αν F γενικότερα οι ανθιστάμενες διατομές στη διάτμηση του κάθε ήλου είναι "μ" (π.χ. μ = 2, για δίτμητο κ.λ.π.) και ο αριθμός των ήλων είναι "n" για κάθε κύριο έλασμα τότε η αναπτυσσόμενη διατμητική τάση σε κάθε ήλο θα είναι: P τ = (7.4) µ nf Στην πραγματικότητα, οι διατμητικές τάσεις που καταπονούν τους ήλους μιας κατασκευής δεν είναι όλες ίσες μεταξύ τους. Όμως χάριν απλότητας στους υπολογισμούς, δεχόμαστε στις εφαρμογές ότι, η διατμητική δύναμη παραλαμβάνεται εξίσου από όλους τους ήλους της κατασκευής. Σχ Ένωση ελασμάτων με αρμοκαλύπτρες. Διατμητικές τάσεις σε δίτμητο ήλο. Για να μην αστοχεί μία κατασκευή που συνδέεται με ήλους (ή και με κοχλίες), θα πρέπει να ικανοποιείται η συνθήκη αντοχής, κατά την οποία η αναπτυσσόμενη διατμητική τάση τ σε κάθε ήλο, πρέπει να είναι μικρότερη ή το πολύ ίση της επιτρεπόμενης διατμητικής τάσης τεπ του υλικού του. Οι αναλύσεις που έγιναν για ήλους, ισχύουν προφανώς και για κοχλίες.

64 63 Παράδειγμα 7.1. Να υπολογιστεί η απαιτούμενη δύναμη, προκειμένου να αποτμήσουμε (κόψουμε) ένα χαλύβδινο έλασμα από υλικό St 36, με πάχος t=10mm και πλάτος b=100mm, με τη βοήθεια ενός κατάλληλου μηχανικού ψαλιδιού (Σχ. α). Η διατμητική τάση θραύσης τθρ του υλικού St 36 (προσεγγιστικά) θα είναι: τ 2 2 θρ = 0,8σ θρ = 0,8 36kp / mm = 288N / mm Έστω Ρθρ η απαιτούμενη διατμητική δύναμη που θα προκαλέσει τη θραύση. Δεχόμενοι ομοιόμορφη κατανομή των διατμητικών τάσεων στην αποκοπτόμενη επιφάνεια F=bt (Σχ. α), για να ισορροπούν οι δυνάμεις θα πρέπει να ισχύει : P τ F = τ bt= = 288KN = 28, 8t θρ = θρ θρ Η δύναμη Ρθρ=288ΚΝ ονομάζεται και δύναμη κοπής του ελάσματος. Παράδειγμα 7.2. Να υπολογιστεί η απαιτούμενη διάμετρος πυρήνα d των δύο κοχλιών που φαίνονται στο παρακάτω σχήμα, αν η εφελκυστική δύναμη των ελασμάτων είναι Ρ=50ΚΝ=5t. Η επιτρεπόμενη διατμητική τάση για το υλικό των κοχλιών είναι τεπ=80μν/m 2 = 800 Κp/cm 2. Οι δύο κοχλίες (n=2) καταπονούνται σε διάτμηση. Η επιφάνεια διάτμησης (δηλαδή η κρίσιμη διατομή) του πρώτου κοχλία είναι η μ-ν και του δεύτερου η μ'-ν', με εμβαδόν η καθεμία F=πd 2 /4. Προφανώς, η συνολική ανθιστάμενη διατομή στη διάτμηση (όλων των κοχλιών), είναι nf=2f. Σχεδιάζουμε στη συνέχεια το (Δ.Ε.Σ.) του κοχλία και παρατηρούμε ότι αυτός δέχεται διατμητική δύναμη Ρ (που προέρχεται από τα ελάσματα) στη διατομή μ-ν. Η δύναμη Ρ τείνει να του προκαλέσει διάτμηση σε αυτήν τη διατομή (Σχ.β). Θεωρώντας νοητή τομή στο μέσο του κοχλία (Σχ.γ), για να ισορροπεί το άνω ήμισυ του κοχλία πρέπει η Ρ να εξουδετερώνεται από την εσωτερική δύναμη τf, η οποία προέρχεται από την αντίσταση του υλικού που εκδηλώνεται με την ανάπτυξη των διατμητικών τάσεων. Για να αντέχουν τελικά οι κοχλίες την εξωτερική δύναμη Ρ, θα πρέπει να ικανοποιείται η συνθήκη αντοχής, δηλαδή: Άρα, η ελάχιστη απαιτούμενη διάμετρος πυρήνα του κάθε κοχλία είναι 20 mm.

65 64 Παράδειγμα 7.3. Να υπολογιστεί το μέγιστο εφελκυστικό φορτίο Ρmax που μπορούν να φέρουν οι ήλοι, αν η διάμετρος κάθε ήλου είναι d = 2cm και η επιτρεπόμενη εφελκυστική τάση για το υλικό του ήλου, είναι σ = 100ΜΡa= 1000Ν/ cm 2. Οι ήλοι καταπονούνται σε διάτμηση, στην κρίσιμη διατομή μ-ν ο πρώτος και στη μ'-ν' ο δεύτερος. Η επιτρεπόμενη διατμητική τάση των ήλων, είναι περίπου: Το εμβαδόν της διατομής του κάθε ήλου, είναι: Η συνολικά ανθιστάμενη διατομή στη διάτμηση, επειδή οι ήλοι είναι δύο (n = 2), είναι 2F. Για να ικανοποιείται η συνθήκη αντοχής, πρέπει: (1) Στη σχέση (1) φαίνεται, ότι η μέγιστη τιμή που μπορεί να λάβει η Ρ (δηλαδή η Pmax) προκύπτει όταν η (1) ισχύει μόνο σαν εξίσωση, οπότε βρίσκουμε: Εκτός από τις περιπτώσεις διάτμησης που ήδη αναλύσαμε, αναπτύσσονται διατμητικές τάσεις στις συγκολλήσεις καθώς επίσης, σε μία καμπτόμενη δοκό (στην γενική κάμψη που συνυπάρχει και τέμνουσα δύναμη), όπως θα εξετάσουμε αναλυτικά στο Κεφάλαιο της Κάμψης. Διατμητικές τάσεις επίσης αναπτύσσονται και στην περίπτωση μιας περιστρεφόμενης ατράκτου, όπως θα δούμε στο Κεφάλαιο της Στρέψης.

66 65 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7.4. Ένας χαλύβδινος συζευκτήρας κατασκευάσθηκε για να μεταδίδει εφελκυστική δύναμη Ρ =100 ΚΝ, μέσω αριθμού κοχλιών οι οποίοι έχουν διάμετρο πυρήνα d =1cm. Το υλικό του κοχλία είναι χάλυβας St 40 με συντελεστή ασφαλείας ν = 4. Ζητείται ο απαιτούμενος αριθμός "n" των κοχλιών. Η επιτρεπόμενη ορθή τάση σεπ για το υλικό του κοχλία, είναι: Επομένως, η επιτρεπόμενη διατμητική τάση του κοχλία, είναι περίπου: Ο κάθε κοχλίας (από τους n που απαιτούνται), έχει κρίσιμες διατομές την μ-ν, αλλά και την μ'-ν', είναι δηλαδή δίτμητος (μ = 2). Η κάθε διατμητική επιφάνεια του ενός κοχλία, έχει εμβαδόν: Η ανθισταμένη διατομή στη διάτμηση για τον κάθε κοχλία είναι όπως αναφέραμε 2F, και επομένως η συνολική ανθισταμένη διατομή από τους n κοχλίες είναι 2nF. Άρα από τη συνθήκη αντοχής για τη διατμητική τάση του κοχλία, έχουμε: Επειδή είναι, 7 < 7.96 < 8, προφανώς απαιτούνται τελικά n = 8 κοχλίες.

67 Ένα κεντρικό πέδιλο μιας οικοδομής υποβαστάζει ένα υποστήλωμα, το οποίο φέρει θλιπτικό φορτίο Ρ = 800 ΚΝ (Σχ.α). Οι διαστάσεις του πεδίλου L, Β έχουν λόγο L/Β= 1,5, ενώ οι διαστάσεις του υποστηλώματος είναι l = 60 cm και b = 40 cm. Αν το ύψος του πεδίλου είναι h = 80 cm και η επιτρεπόμενη τάση του εδάφους είναι σεπ = 30 Ν/cm 2, να υπολογιστούν οι διαστάσεις L,Β του πεδίλου, καθώς και η διατμητική τάση τ που ανθίσταται στη διάτρηση του πεδίλου. Τα ίδια βάρη αμελούνται. Θεωρώντας το διάγραμμα ελεύθερου σώματος του συστήματος υποστήλωμαπέδιλο, αν F = ΒL είναι η επιφάνεια έδρασης του πεδίλου στο έδαφος, από την ισορροπία του και αμελώντας τα ίδια βάρη τους, έχουμε: P σεπ F = P F = (1) σεπ επειδή L/Β= 1,5, άρα F=ΒL = 1,5Β 2 οπότε από την εξίσωση (1) προκύπτει: τ P F 3 P cm B= = 134cm και L = 1,5B 1,5 134=201cm 2 1,5 1,5 30N / cm σ επ P σεδ f = 2( l+ b) h δ εδ = δ Θεωρούμε τομές μ-ν και μ'-ν' και σχεδιάζουμε το διάγραμμα ελεύθερου σώματος για τα στερεά που θα προκύψουν (Σχ.β). Αν f = lb είναι η διατομή του υποστηλώματος, η κατακόρυφη διατμητική δύναμη Ρδ που τείνει να διατρήσει το πέδιλο είναι η Ρδ = Ρ-σεδf. Στη διάτρηση όμως αυτή, ανθίσταται το πέδιλο, με την ανάπτυξη διατμητικών τάσεων τ περιμετρικά του υποστηλώματος, δηλαδή στην περίμετρο 2(l + b) και σε όλο το ύψος h δηλαδή σε επιφάνεια Fδ = 2(l + b)h. Επομένως από τον ορισμό της διατμητικής τάσης τ, έχουμε: 3 2 P σ lb ( N) (30N / cm ) 60cm 40cm 2 = = = 45,5N / cm 2( l+ b) h 2(60+ 40) cm 80cm

68 67 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 7 ΗΣ ΔΙΑΛΕΞΗΣ

69 68 Αντικείμενο 8 ης διάλεξης: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΥ ΚΕΝΤΡΟΥ ΒΑΡΟΥΣ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΔΙΑΤΟΜΩΝ

70 ΓΕΝΙΚΑ Η διάλεξη αυτή θα αναπτυχθεί με διάφορα προβλήματα όπως αυτό που ακολουθεί. Να προσδιοριστεί το κέντρο βάρους Κ της διατομής ενός γωνιακού ελάσματος, που φαίνεται στο (Σχ. α). Για την επίλυση τέτοιων σύνθετων διατομών, ακολουθούμε τα εξής βήματα: 1. Ορίζουμε βοηθητικό σύστημα αξόνων Οxy, έτσι ώστε η διατομή να βρίσκεται (κατά προτίμηση) στο (Ι) τεταρτημόριο των αξόνων. 2. Χωρίζουμε τη γωνιακή διατομή σε άθροισμα δύο ορθογωνίων F1 και F2 των οποίων υπολογίζουμε το εμβαδόν τους, καθώς και τις συντεταγμένες (xi,yi) του ΚΒ. του καθενός από αυτά ως προς το βοηθητικό σύστημα αξόνων Οxy, οπότε βρίσκουμε: 3. Έστω xk,yk οι ζητούμενες συντεταγμένες του Κ.Β της διατομής. Εφαρμόζουμε το θεώρημα των στατικών ροπών ως προς τον άξονα γ, οπότε έχουμε: 4. Όμοια, εφαρμόζουμε το θεώρημα των στατικών ροπών και ως προς τον άξονα x, ή και διαφορετικά χρησιμοποιούμε τη σχέση ορισμού, οπότε έχουμε:

71 70 Αντικείμενο 9 ης διάλεξης: ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΕΣ ΔΙΑΤΟΜΕΣ ΕΛΑΣΜΑΤΩΝ

72 ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΕΣ ΔΙΑΤΟΜΕΣ ΕΛΑΣΜΑΤΩΝ Στο εμπόριο διατίθενται κατόπιν διεθνών συμφωνιών διάφορες τυποποιημένες χαλύβδινες διατομές. Έτσι, διατίθενται δοκοί που η διατομή τους μπορεί να είναι ισοσκελής ή ανισοσκελής γωνία, διατομή πί (ή ού), διατομή απλού ή διπλού ταύ, διατομή ζήτα κ.λ,π. Διατίθενται επίσης κοιλοδοκοί διατομής κοίλου τετραγώνου, ή σωληνοειδούς διατομής, ή ορθογωνικής κ.λ,π., σε διάφορα πάχη ελασμάτων. Σχ Συνήθεις τυποποιημένες χαλύβδινες διατομές ελασμάτων Μερικές από αυτές τις τυποποιημένες διατομές φαίνονται στο (Σχ. 9.1). Οι διατομές αυτές βρίσκουν ευρεία εφαρμογή σε πάρα πολλά τεχνικά έργα και κυρίως στις μεταλλικές κατασκευές. Για τις διατομές αυτές, υπάρχουν έτοιμοι πίνακες που δίνουν τις ροπές αδράνειας ως προς τους κεντροβαρικούς τους άξονες, τις ακτίνες αδράνειας, τις ροπές αντίστασης, τους κύριους άξονες αδράνειας (όταν η διατομή δεν έχει άξονα συμμετρίας), συναρτήσει των διαστάσεων τους, του πάχους των ελασμάτων κ.ά.

73 72 Πίνακας 9.1. Γεωμετρικά στοιχεία διαφόρων διατομών 2 πd = 64 b1 h1 h F = bh b1h1 I x 3 bh = 12 3 b1h 1 12 b Τετράγωνο

74 Πίνακας 9.1. Συνέχεια 73

75 74 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 9 ΗΣ ΔΙΑΛΕΞΗΣ

76 75 Αντικείμενο 10 ης διάλεξης: ΕΙΔΗ ΔΟΚΩΝ ΤΡΟΠΟΙ ΣΤΗΡΙΞΗΣ ΔΟΚΩΝ

77 ΕΙΔΗ ΔΟΚΩΝ Οι δοκοί, ανάλογα με τα χαρακτηριστικά τους, διακρίνονται σε ορισμένες κατηγορίες. Η διάκριση γίνεται σύμφωνα με: α) τη μορφή τους. β) τον τρόπο στήριξης ΜΟΡΦΕΣ ΔΟΚΩΝ. 1. Ευθύγραμμοι δοκοί (Σχ. 10.1). 2. Πλαίσια ή πολυγωνικές κατασκευές (Σχ. 10.2). 3. Τόξα ή καμπυλόγραμμες κατασκευές (Σχ. 10.3). 4. Δικτυώματα.(Σχ. 10.4). Σχ Γερανογέφυρα. (1. Ευθύγραμμη δοκός, 2. Ανυψωτική μηχανή, 3. Άγκιστρο, 4. Χειριστήριο) Σχ Μια κατασκευή τύπου πλαισίου. Τα τμήματα της είναι δικτυωτοί φορείς Σχ Ξύλινη γέφυρα με τοξωτές δικτυωτές δοκούς

78 ΤΡΟΠΟΙ ΣΤΗΡΙΞΗΣ Σχ Δικτυωτή κατασκευή δομικού γερανού 1. Αμφιέρειστη δοκός (Σχ. 10.5) Στηρίζεται στη μια άκρη με άρθρωση και στην άλλη με κύλιση. Σχ Αμφιέρειστη δοκός 2. Πρόβολος δοκός (Σχ. 10.6) Στηρίζεται μόνο στη μια άκρη με πάκτωση. Η άλλη άκρη παραμένει ελεύθερη. Κατασκευή με μορφή προβόλου, φαίνεται στο Σχήμα Σχ Πρόβολος δοκός. Σχ. 10.7

79 78 3. Μονοπροεξέχουσα δοκός (Σχ. 10.8) Στηρίζεται όπως και η αμφιέρειστη δοκός, αλλά η μια άκρη προεξέχει. Σχ Μονοπροεξέχουσα δοκός. 4. Αμφιπροεξέχουσα δοκός (Σχ. 10.9) Στηρίζεται με άρθρωση και κύλιση, όπως και η αμφιέρειστη δοκός, αλλά οι άκρες αυτής προεξέχουν. Σχ Αμφιπροεξέχουσα δοκός. 5. Αμφίπακτη δοκός (Σχ ). Στηρίζεται και στις δυο άκρες με πάκτωση. Σχ Αμφίπακτη δοκός. 6. Συνεχής δοκός (Σχ ) Στηρίζεται σε περισσότερες από δυο θέσεις. Από τις στηρίξεις η μια θεωρείται άρθρωση και οι υπόλοιπες κυλίσεις. Σχ Συνεχής δοκός. Όπως αναφέραμε προηγουμένως, η δοκός είναι ένας γραμμικός φορέας, στον οποίο μπορούν να δρουν εξωτερικά φορτία οποιουδήποτε είδους, δηλαδή αξονικά εγκάρσια, κ.λ.π. Το απλούστερο είδος δοκού είναι μία πρισματική ράβδος που στηρίζεται στα άκρα της σε δύο στηρίγματα (Σχ α). Μία τέτοια δοκός όμως, μπορεί να φορτιστεί μόνο με κατακόρυφα φορτία (διότι η τριβή στα σημεία επαφής της είναι πολύ μικρή) και επομένως, ακόμη και με μικρό οριζόντιο φορτίο, αυτή θα Σχ Απλή αμφιέρειστη δοκός έπεφτε. Για να μπορεί λοιπόν μία δοκός να φορτίζεται με εγκάρσια αλλά και με οριζόντια φορτία (άρα και με κεκλιμένα), πρέπει στο ένα της άκρο να αρθρώνεται με τη βοήθεια ενός πείρου, ενώ στο άλλο να στηρίζεται με τη βοήθεια ενός κατάλληλου

80 79 εδράνου κύλισης (π.χ. ρουλεμάν) (Σχ β). Τόσο βέβαια η δοκός όσο και τα δύο είδη στηρίξεων, σαν υλικά σώματα έχουν κάποιες διαστάσεις. Για απλούστευση όμως των υπολογισμών, θα θεωρούμε στα επόμενα, τη μεν δοκό σαν ευθύγραμμο τμήμα με μέσο μήκος l που συμπίπτει με τον γεωμετρικό της άξονα, τις δε στηρίξεις σαν απλά γεωμετρικά σημεία. Έτσι προκύπτει η εξιδανικευμένη μορφή της απλής αμφιέρειστης δοκού (Σχ γ). Στη δοκό αυτή, θεωρούμε ότι το αριστερό της στήριγμα είναι αμετακίνητο (αμετάθετο), ενώ το δεξιό μπορεί να μετακινείται ελεύθερα χωρίς τριβές, με τη βοήθεια του εδράνου κύλισης. Ένας άλλος τρόπος στήριξης είναι ο πρόβολος (ή μονόπακτη δοκός), ο οποίος αποτελείται από μία δοκό που είναι καλά εντοιχισμένη (πακτωμένη) στο ένα άκρο, ενώ το άλλο της είναι ελεύθερο. Το μήκος που προεξέχει ονομάζεται μήκος της προβόλου. Οι εξιδανικευμένες μορφές του προβόλου φαίνονται στο (Σχ ). Σχ Συμβολισμοί προβόλου Αν η δοκός επεκτείνεται χωρίς ενδιάμεση διακοπή, πάνω από πολλά στηρίγματα, ονομάζεται συνεχής δοκός. Μερικές φορές η συνέχεια της δοκού διακόπτεται με κατάλληλες αρθρώσεις, οπότε ονομάζεται αρθρωτή ή δοκός του Gerber. Όταν οι δοκοί, αποτελούνται από συμπαγές υλικό, όπως είναι ο χάλυβας, ονομάζονται ολόσωμοι. Όταν αποτελούνται από περισσότερες ράβδους που συνδέονται κατάλληλα μεταξύ τους με αρθρώσεις (πείρους), τότε ονομάζονται δικτυωτές. Παραδείγματα των περιπτώσεων αυτών, φαίνονται στο (Σχ ) Σχ Διάφορα είδη δοκών Όταν σε μία δοκό οι αντιδράσεις των στηριγμάτων μπορούν να υπολογιστούν από τις εξισώσεις στατικής ισορροπίας, η δοκός αυτή ονομάζεται στατικά ορισμένη ή ισοστατική. Ο υπολογισμός αυτός είναι αντικείμενο της Μηχανικής του απαραμόρφωτου σώματος. Αντίστροφα, αν ο αριθμός των αντιδράσεων στη δοκό είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό των εξισώσεων στατικής ισορροπίας, η δοκός

81 80 ονομάζεται στατικά αόριστη (ή υπερστατική). Στις εξισώσεις στατικής ισορροπίας, πρέπει τότε να προστεθούν και επιπλέον εξισώσεις, που προκύπτουν από την παραμόρφωση της δοκού. Αυτό είναι αντικείμενο της Αντοχής των υλικών. Μερικές περιπτώσεις στατικά αόριστων δοκών φαίνονται στο (Σχ ). Σχ Διάφοροι δοκοί στατικά αόριστοι 10.2 ΤΡΟΠΟΙ ΣΤΗΡΙΞΗΣ ΔΟΚΩΝ Οι εξωτερικές δυνάμεις που καταπονούν μία δοκό ή ένα σώμα ή και μία κατασκευή γενικότερα, μεταβιβάζονται στα σημεία στήριξης, ενώ οι στηρίξεις αντιδρούν έτσι ώστε να διατηρείται η ισορροπία του σώματος. Σχ Μεταφορά της δύναμης Ρ στο έδαφος μέσω των στηρίξεων Έτσι στην απλή αμφιέρεστη δοκό για παράδειγμα, που δέχεται φορτίο Ρ στο μέσον της (Σχ.10.16), θα πρέπει στο σημείο της Α να δέχεται από την άρθρωση αντίδραση VΑ, ενώ στο σημείο της Β θα δέχεται αντίστοιχα από την κύλιση αντίδραση VΒ. Για λόγους συμμετρίας θα είναι προφανώς: VΑ = VΒ = P/2 όπως φαίνεται στο διάγραμμα ελεύθερου σώματος (Δ.Ε.Σ.) της δοκού. Λόγω δράσης-αντίδρασης όμως και η δοκός θα ασκεί στην άρθρωση δύναμη ίση και αντίθετη της VΑ. Αναλογικά και η κύλιση θα δέχεται από τη δοκό δύναμη ίση και αντίθετη της VΒ. Παρατηρούμε δηλαδή από το σχήμα αυτό, ότι οι στηρίξεις μεταφέρουν τελικά τη δύναμη Ρ στο έδαφος. Για τη στήριξη των δοκών, χρησιμοποιούνται οι εξής θεμελιώδεις τρόποι: i. Η κύλιση (ή ελεύθερη έδραση). Σε αυτήν, το σημείο στήριξης είναι ελεύθερο να μετακινείται χωρίς τριβές με τη βοήθεια του εδράνου κύλισης μόνον κατά μία διεύθυνση, επιτρέπει δηλαδή ένα βαθμό ελευθερίας για μετακίνηση, επιτρέποντας συγχρόνως και στροφή. Δηλαδή περιορίζεται στην περίπτωση αυτή μόνον ο ένας βαθμός ελευθερίας, θεωρώντας βέβαια κίνηση στο επίπεδο μόνον. Η αντίδραση στην

82 81 περίπτωση της κύλισης, είναι δύναμη που διέρχεται από το σημείο στήριξης, κάθετα στην κύλιση. Στο Σχ φαίνεται ένας φορέας ΑΒ με στήριξη άρθρωσης στο Α και απλή στήριξη στο Β. Η κατασκευή αυτή ανταποκρίνεται, σε μια γέφυρα χωρίς ενδιάμεσα στηρίγματα. Στο ίδιο σχήμα φαίνεται η σχηματική παράσταση της κύλισης και ακόμη η εμφανιζόμενη αντίδραση Β. Στη σχηματική παράσταση της κύλισης (Σχ β) φαίνεται ότι κάτω από το φορέα τοποθετήθηκαν κυλινδράκια. Αυτό βέβαια δεν συμβαίνει στη πραγματικότητα, άλλα είναι μια ένδειξη ότι η στήριξη κυλίσεως επιτρέπει μια μετακίνηση δεξιά-αριστερά. Η στήριξη κυλίσεως δεν επιτρέπει μετακίνηση του φορέα άνω ή κάτω, δηλαδή αποχωρισμό και έτσι εμφανίζεται η αντίδραση Β (Σχ γ). Σχ Φορέας με δυο στηρίξεις (α. Πραγματική εικόνα, β. Σχηματική παράσταση, γ. Αντιδράσεις που εμφανίζονται σε κάθε στήριξη). Η κύλιση είναι μια πολύ χρήσιμη στήριξη και για τον λόγο αυτό συναντάται πολύ συχνά. Πολλές μηχανολογικές κατασκευές στηρίζονται με κύλιση και είναι περιπτώσεις όπου οι κατασκευές δεν μπορούν να λειτουργήσουν χωρίς τέτοια στήριξη. Για παράδειγμα αναφέρεται η στήριξη μιας ατράκτου η οποία θα υποστεί μεταβολή του μήκους της από διαστολή, όταν αυξηθεί η θερμοκρασία της. Αυτό μελετάται διεξοδικά από την Αντοχή των Υλικών, αν η άτρακτος στερεωθεί ακλόνητα και εμποδιστεί η διαστολή αυτής, τότε θ αναπτυχθούν πολύ μεγάλες τάσεις που μπορεί να καταστρέψουν την κατασκευή. Εκτός από το παραπάνω παράδειγμα κύλισης το οποίο αφορούσε τον χώρο των Δομικών, στο Σχ ακολουθεί άλλο παράδειγμα κύλισης από τον χώρο της μηχανολογίας, στο οποίο φαίνεται η στήριξη μιας ατράκτου μηχανής με έδρανο κυλίσεως το οποίο φέρει εξωτερικό δαχτυλίδι (4), ελεύθερο να μετακινηθεί αξονικά στο σταθερό σώμα α. Μ αυτό το τρόπο καταργείται και η δεύτερη δέσμευση και το έδρανο μπορεί να πάρει μόνο ακτινικό φορτίο, δηλαδή στον άξονα Υ. Σχ Στήριξη ατράκτων με κύλιση, (α. Έδρανο κυλίσεως δίσφαιρο αυτορυθμιζόμενο, β. Έδρανο κυλίσεως δικύλινδρο αυτορυθμιζόμενο, 1. Σταθερό σώμα, 2. Σφαίρες, 3. Κύλινδρος, 4. Εξωτερικό δακτυλίδι).

83 82 ii. Η Αρθρωση. Σε αυτήν το σημείο στήριξης συνδέεται μόνιμα με το έδαφος ή άλλο στερεό σύστημα με άρθρωση, η οποία επιτρέπει μόνο την ελεύθερη στροφή της δοκού. Η άρθρωση πρακτικά επιτυγχάνεται με την βοήθεια ενός πείρου. Η άρθρωση περιορίζει και τους δύο βαθμούς ελευθερίας στο επίπεδο και επιτρέπει μόνο στροφή. Η αντίδραση της άρθρωσης είναι δυνατόν να έχει οποιαδήποτε διεύθυνση. Στην περίπτωση αυτή, αναλύουμε συνήθως την αντίδραση σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες, μία οριζόντια και μία κατακόρυφη. Ή ταυτόσημα υπολογίζουμε την αντίδραση, καθώς και μία χαρακτηριστική γωνία που σχηματίζει π.χ. με το οριζόντιο επίπεδο. Στο Σχ φαίνεται η σύνδεση ενός φορέα και ενός σταθερού σώματος με τη βοήθεια ενός πείρου. Η σύνδεση αυτή αποτελεί άρθρωση. Η σχηματική παράσταση αυτής φαίνεται στο Σχ β και οι εμφανιζόμενες αντιδράσεις ΑΧ και ΑΥ στο Σχ γ. Σχ Παρατηρήσεις. 1. Αν σ ένα φορέα, που στηρίζεται με άρθρωση, ενεργεί μια λοξή δύναμη Ρ τότε στην άρθρωση εμφανίζονται δυο άγνωστες αντιδράσεις ΑΧ και ΑY. Αν στον παραπάνω φορέα η δύναμη Ρ είναι οριζόντια, τότε εμφανίζεται μόνο η οριζόντια αντίδραση ΑΧ. Στην περίπτωση που η δύναμη Ρ είναι κατακόρυφη, τότε εμφανίζεται μόνο η κατακόρυφη αντίδραση ΑΥ. 2. Η κατακόρυφη συνιστώσα ΡΥ (Σχήμα γ) δημιουργεί ως προς Α μια ροπή: ΜΑ=+ΡΥ l που προσπαθεί να στρέψει τη δοκό δεξιόστροφα (όπως οι δείκτες του ρολογιού). Η άρθρωση Α δεν μπορεί ν αναπτύξει αντίδραση-ροπή και η δοκός θα στραφεί δεξιόστροφα. 3. Αν ο φορέας ΑΒ δεν πρέπει να στραφεί, τότε είναι απαραίτητη μια ακόμα στήριξη Σ στην άλλη άκρη αυτού Β, που θα εμποδίσει τη περιστροφή (Σχήμα 10.20). 4. Ένας φορέας δεν μπορεί να στηριχθεί μόνο σε μια άρθρωση, αλλά απαιτεί και μια ακόμη στήριξη για να ισορροπεί. Ένας φορέας που στηρίζεται με πάκτωση μπορεί να ισορροπεί, χωρίς άλλη στήριξη.

84 83 Σχ (α. Σχέδιο κατασκευής, β. Σχηματική παράσταση) Παραδείγματα. Από το χώρο της δομικής δίνεται για παράδειγμα, η στήριξη, μιας γέφυρας. Η στήριξη της μιας άκρης των γεφυρών λαμβάνεται σαν άρθρωση (Σχ ). Σχ Από το χώρο της μηχανολογίας δίνονται στο Σχ η στήριξη μιας ατράκτου με αυτορυθμιζόμενο έδρανο ολισθήσεως (κουζινέτο) και η στήριξη μιας ατράκτου με αυτορυθμιζόμενο έδρανο κυλίσεως (ρουλεμάν). Σχ Στήριξη ατράκτων με άρθρωση (α. Έδρανο ολισθήσεως(κουζινέτο αυτορυθμιζόμενο, β. Έδρανο κυλίσεως (ρουλεμάν) αυτορυθμιζόμενο με κυλινδράκια, γ. Έδρανο κυλίσεως (ρουλεμάν) αυτορυθμιζόμενο με σφαίρες, 1. Άτρακτος κίνησης, 2. Σώμα κατασκευής, 3. Σταθερός δακτύλιος τύμπανου, 4. Εσωτερικός δακτύλιος του τύμπανου.

85 84 iii. Η πάκτωση. Η στήριξη αυτού του είδους δεν επιτρέπει καμία μετακίνηση ή στροφή της δοκού. Οι αντιδράσεις στην περίπτωση αυτή είναι, αφενός οι δύο συνιστώσες της αντίδρασης που συναντήσαμε στην άρθρωση, αφετέρου δε και μία ροπή, που αποκλείει την περίπτωση περιστροφής της δοκού και που ονομάζεται ειδικά ροπή πάκτωσης. Με πάκτωση στηρίζονται οι πρόβολοι, οι οποίοι αν ειδικά έχουν πάκτωση και στα δύο τους άκρα ονομάζονται αμφίπακτοι, διαφορετικά μονόπακτοί ή απλά πρόβολοι. Παρακάτω φαίνεται ένας μονόπακτος πρόβολος. Δηλαδή σε ένα τοίχο ανοίχθηκε οπή στην οποία στερεώθηκε με τσιμέντο μια δοκός [το (β).είναι η σχηματική απεικόνιση του (α)]. Χαρακτηριστικά της πάκτωσης είναι ότι δεν επιτρέπεται: Μετακίνηση πάνω-κάτω. Μετακίνηση δεξιά-αριστερά. Στροφή της δοκού. Αυτό σημαίνει ότι μπορεί ν αντιδράσει σε τρία αίτια: Σε μια ροπή που θα προσπαθεί να στρέψει τη δοκό. Σε μια δύναμη που θα προσπαθεί να τη μετακινήσει προς τα πάνω ή προς τα κάτω. Σε μια δύναμη που θα προσπαθεί να τη μετακινήσει προς τα δεξιά ή προς τα αριστερά. Στο Σχ φαίνεται μια πακτωμένη δοκός στην οποία ενεργεί το συγκεκριμένο φορτίο Ρ. το φορτίο αυτό αναλύεται σε δυο συνιστώσες ΡΧ και ΡΥ. Σχ α. Φόρτιση πακτωμένης δοκού, β. Αντιδράσεις που εμφανίζονται στην πάκτωση. Η συνιστώσα ΡΧ προσπαθεί να μετακινήσει τη δοκό προς τα δεξιά και μαζί και τη στήριξη Α. Στη στήριξη Α εμφανίζεται η οριζόντια αντίδραση ΑΧ. Η συνιστώσα ΡΥ

86 85 προσπαθεί να μετακινήσει τη δοκό προς τα κάτω και μαζί και τη στήριξη Α. Στη στήριξη Α εμφανίζεται η κατακόρυφη αντίδραση ΑΥ. Όμως η συνιστώσα ΡΥ δημιουργεί ως προς το σημείο πάκτωσης Α μια θετική ροπή ΜΑ=+ΡΥ l που προσπαθεί να στρέψει τη δοκό και μαζί και τη στήριξη Α δεξιόστροφα. Στη στήριξη Α εμφανίζεται μια ροπή-αντίδραση ΜΠ, που λέγεται ροπή πάκτωσης. Οι άγνωστες αντιδράσεις ΑΧ, ΑΥ και ΜΠ υπολογίζονται με τις συνθήκες ισορροπίας. Παραδείγματα. Από το χώρο της μηχανολογίας δίνεται η απλή κατασκευή (Σχ ), όπου ένας σωλήνας είναι στερεωμένος με συγκόλληση σ ένα κατακόρυφο μεταλλικό τοίχωμα. Σχ Στο σχήμα φαίνεται ακόμη ένα παράδειγμα από τη Μηχανολογία. Ο στροφέας μιας ατράκτου θεωρείται για τους υπολογισμούς σαν πακτωμένος στο υπόλοιπο σώμα. Από τον χώρο της οικοδομικής δίνεται (Σχ ) ένα μπαλκόνι σπιτιού, το οποίο αποτελεί πρόβολο πακτωμένη δοκό (α. Τομή μακριά από την κολώνα, β. Σχηματική παράσταση μπαλκονιού, γ. Τομή επάνω σε κολώνα).. Σχ Σχ

87 86 Τα διάφορα είδη των στηρίξεων αυτών φαίνονται στον Πίνακα Ας παρατηρήσουμε σε αυτόν ότι, το άθροισμα των αντιδράσεων, των βαθμών ελευθερίας στους τρεις τρόπους είναι ίσος με τρία. Πίνακας Είδη στήριξης δοκού και οι αναπτυσσόμενες αντιδράσεις τους 10.3 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΑΝΤΙΔΡΑΣΕΩΝ Όπως αναφέραμε και σε προηγούμενα, όταν σε μία δοκό επενεργούν φορτία κάθετα στον άξονα της, αυτά μεταφέρονται στο έδαφος από τα σημεία στήριξης της. Λόγω δράσης-αντίδρασης όμως, και το έδαφος ασκεί στη δοκό δυνάμεις ίσες και αντίθετες, που ονομάζονται αντιδράσεις. Αν τα φορτία είναι με κλίση, τα αναλύουμε σε δύο συνιστώσες, σε μία οριζόντια και σε μία κατακόρυφη. Οι αντιδράσεις συμβολίζονται συνήθως με VΑ ή Αy, η κατακόρυφη συνιστώσα και με ΗΑ ή Αx, η οριζόντια. Για τον υπολογισμό των αντιδράσεων αυτών, σχεδιάζουμε το διάγραμμα ελεύθερου σώματος της δοκού, σχεδιάζουμε δηλαδή όλα τα εξωτερικά φορτία που ασκούνται, αλλά τα σημεία στήριξης τα αντικαθιστούμε με δυνάμεις ή ροπές, που τα θέτουμε συνήθως κατά τη θετική φορά, σύμφωνα με τον Πίνακα 10.1 της προηγούμενης παραγράφου. Εφαρμόζοντας στη γενική περίπτωση τις τρείς εξισώσεις στατικής ισορροπίας στο (Δ.Ε.Σ),

88 87 προσδιορίζονται οι τρείς άγνωστες αντιδράσεις (ή οι δύο όταν τα φορτία είναι μόνον κατακόρυφα), σύμφωνα με τα γνωστά από τη Στατική. Σχ Φορτίο συνεχές μη ομοιόμορφο Για υπενθύμιση, θα υπολογίσουμε τις αντιδράσεις στη δοκό (Σχ ), που φέρει συνεχές φορτίο όχι ομοιόμορφο, αλλά μεταβαλλόμενο κατά μήκος της δοκού κατά καμπύλη γραμμή, της οποίας οι εκάστοτε τεταγμένες q δίνονται με κλίμακα από την γραφική παράσταση του, για οποιοδήποτε σημείο της δοκού. Η σχέση q = q(x) (αν υπάρχει), φανερώνει πως μεταβάλλονται οι τεταγμένες συναρτήσει των τετμημενων χ, όπου το χ μετρούμενο από το αριστερό στήριγμα Α, ορίζει την καμπύλη φόρτισης ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΟΚΩΝ Σχ Στήριξη ατράκτου μηχανής. 1. Άτρακτος (Αμφιέρειστη δοκός) 2. Έδρανο(Άρθρωση) 3. Έδρανο(Κύλιση) 4,5. Στοιχεία κινήσεως (Οδοντωτοί τροχοί) Σχ Μεταλλικός φανοστάτης (=πρόβολος δοκός)

89 88 Σχ Μετάδοση κίνησης από ηλεκτροκινητήρα 1. Ηλεκτροκινητήρας 2. Άτρακτος ηλεκτροκινητήρα (=προεξέχουσα δοκός) 3,4,5. Τροχαλίες για τη μετάδοση της κίνησης σε συνεργασία με τους ιμάντες 6,7. Ιμάντες 8. Ενδιάμεση άτρακτος μετάδοσης κίνησης, (=αμφιέρειστη δοκός, όπου οι Ρ1,Ρ2 είναι οι δυνάμεις από τους ιμάντες Σχ Αντλία ειδικού τύπου (ο άξονάς της είναι άτρακτος δηλ. μονοπροεξέχουσα δοκός (ΑΒΓ) Σχ Πλάκες σκυροδέματος με την αντίστοιχη σχηματική τους παράσταση

90 89 Σχ Φυσητήρας (Blower) κλιματιστικής εγκατάστασης 1. Ηλεκτροκινητήρας 2,3. Τροχαλίες 4. Ιμάντες 5. Άτρακτος ηλεκτροκινητήρα (=μονοπροεξέχουσα δοκός) 6. Άτρακτος του φυσητήρα (=μονοπροεξέχουσα δοκός) 7. Φυσητήρας, μέσα στον οποίο υπάρχει ο έλικας. Αυτός αναρροφά αέρα από το σημείο (8) και το καταθλίβει προς το σημείο (9) Σχ Μειωτήρας στροφών απλής μετάδοσης 1. Μονοπροεξέχουσα άτρακτος 2,3. Έδρανα κυλίσεως για τις στηρίξεις Α και Β 4. Μονοπροεξέχουσα άτρακτος (κινούμενη) 5,6. Έδρανα κυλίσεως (ρουλεμάν) για τις στηρίξεις Δ και Ε 7. Κινητήριος οδοντωτός τροχός (γρανάζι) 8. Κινούμενος οδοντωτός τροχός (γρανάζι)

91 90 Σχ Μεταλλική γέφυρα με δύο ενδιάμεσα στηρίγματα. (α. Φωτογραφία και β. Σχηματική παράσταση) Σχ Μειωτήρας στροφών διπλής μετάδοσης 1. Μονοπροεξέχουσα άτρακτος (Κινητήρια άτρακτος) 2. Αμφιέρειστη άτρακτος (Ενδιάμεση άτρακτος) 3. Μονοπροεξέχουσα άτρακτος (Κινούμενη άτρακτος)

92 91 Σχ Μειωτήρας στροφών με ατέρμονα κοχλία και κορώνα Το στοιχείο ΑΒΓ είναι μονοπροεξέχουσα δοκός (=άτρακτος κορώνας) Σχ Αμφιπροεξέχουσα άτρακτος ΓΑΒΔ Α,Β. Στηρίξεις με έδρανα κυλίσεως(ρουλεμάν) (1) και (2) Γ,Δ. Θέσεις στερέωσης οδοντωτών τροχών Σχ Μονοπροεξέχουσα άτρακτος ΓΑΒ Α,Β. Στηρίξεις με έδρανα κυλίσεως (1) και (2) Γ. Θέση στερέωσης αυλακωτής τροχαλίας (3)

93 92 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 10 ΗΣ ΔΙΑΛΕΞΗΣ

94 93 Αντικείμενο 11 ης διάλεξης: ΚΑΜΨΗ ΚΑΘΑΡΗ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΗ ΚΑΜΨΗ ΠΑΡΑΔΟΧΕΣ ΤΗΣ ΚΑΜΨΗΣ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΤΗΣ ΚΑΜΨΗΣ

95 ΚΑΜΨΗ Όπως είναι γνωστό, η Στατική μελετά την ισορροπία οποιουδήποτε φορέα που δέχεται φορτίσεις και υπολογίζει τις αντιδράσεις καθώς και τις εσωτερικές δυνάμεις, υποθέτοντας πάντα ότι τα σώματα παραμένουν απαραμόρφωτα κατά την επιβολή των εξωτερικών φορτίων. Η Αντοχή των Υλικών αξιοποιώντας τα αποτελέσματα της Στατικής και λαμβάνοντας σοβαρά υπόψη τις προκαλούμενες παραμορφώσεις, υπολογίζει τις απαιτούμενες διαστάσεις του φορέα, έτσι ώστε αυτός να είναι σε θέση να παραλάβει με ασφάλεια τα φορτία που δέχεται. Η εντατική κατάσταση στην οποία βρίσκεται μία δοκός, που υποβάλλεται σε εγκάρσια φόρτιση, λέγεται κάμψη. Αυτό φαίνεται χαρακτηριστικά αν σε μία αμφιέρειστη δοκό (Σχ α), ή σε μία δοκό σε πρόβολο (Σχ β) επιβληθεί ένα εγκάρσιο φορτίο Ρ, τότε και στις δύο περιπτώσεις θα παρατηρήσουμε ότι η δοκός θα παραμορφωθεί κατά τη διεύθυνση του επιβαλλόμενου φορτίου και ο άξονας της θα καμφθεί όπως φαίνεται στα αντίστοιχα σχήματα. Το φαινόμενο αυτό της καταπόνησης της δοκού, ονομάζεται κάμψη. Η κάμψη παρατηρείται σε προβόλους, σε αμφιέρειστες, σε μονοπροέχουσες, σε αμφιπροέχουσες δοκούς και γενικότερα σε πάρα πολλές τεχνικές κατασκευές, που συναντώνται στην πράξη. Όπως θα δούμε στα επόμενα, κατά την καταπόνηση σε κάμψη αναπτύσσονται καμπτικές ροπές, οι οποίες προκαλούν αφενός μεν καμπύλωση της δοκού, αφετέρου δε δημιουργία τάσεων εντός του υλικού της. Έτσι λοιπόν, με την έννοια κάμψη εννοούμε τόσο τις αναπτυσσόμενες τάσεις, όσο και τις προκαλούμενες παραμορφώσεις που ονομάζονται συνήθως βέλη κάμψης. Σχ Παραμόρφωση δοκών λόγω εγκάρσιου εξωτερικού φορτίου Στο Κεφάλαιο αυτό, θα εξετάσουμε μόνον τις αναπτυσσόμενες τάσεις, ενώ τις προκαλούμενες παραμορφώσεις (λόγω της μεγάλης σπουδαιότητας τους), θα τις εξετάσουμε στο επόμενο Κεφάλαιο ΚΑΘΑΡΗ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΗ ΚΑΜΨΗ Γνωρίζουμε ότι, δοκός είναι ο ευθύγραμμος εκείνος φορέας που παραλαμβάνει αξονικά ή και εγκάρσια φορτία, τα οποία μεταβιβάζει στις στηρίξεις του, με την ταυτόχρονη ανάπτυξη τεμνουσών και αξονικών δυνάμεων καθώς και καμπτικών ροπών εντός του υλικού του. Υπενθυμίζουμε ότι με την έννοια φορτία εννοούμε τόσο δυνάμεις, όσο και ροπές, η ύπαρξη των οποίων δημιουργεί την αξονική δύναμη, την τέμνουσα δύναμη καθώς και την καμπτική ροπή σε κάθε διατομή μιας φορτιζόμενης δοκού. Όταν σε μία δοκό επενεργεί είτε εγκάρσια δύναμη είτε καμπτική ροπή (ή και οι δύο συγχρόνως), τότε η δοκός θα καμπυλωθεί, το δε υλικό της θα βρεθεί σε εντατική κατάσταση, που από κοινού λέγονται κάμψη.

96 95 Η καταπόνηση σε κάμψη, διακρίνεται σε δύο είδη: i. Στην καθαρή κάμψη, κατά την οποία στη δοκό ή σε τμήμα της εμφανίζεται μόνον καμπτική ροπή, (Ν=Q = Μt = 0, Μb 0). ii. Στη γενική κάμψη, κατά την οποία εμφανίζεται εκτός της καμπτικής ροπής και τέμνουσα δύναμη (Μb, Q 0). Με βάση το παρακάτω παράδειγμα, γίνονται καλύτερα αντιληπτά τα δύο αυτά είδη κάμψης. Έστω λοιπόν η αμφιέρειστη δοκός ΑΒ μήκους l, στην οποία επενεργούν δύο ίσα φορτία Ρ, σε ίσες όμως αποστάσεις α από τις δύο στηρίξεις (Σχ.11.2.α). Από τις συνθήκες στατικής ισορροπίας, υπολογίζουμε τις αντιδράσεις VΑ, VΒ που λόγω συμμετρίας είναι, VΑ = VΒ = Ρ. Σχεδιάζουμε κατόπιν τα διαγράμματα τεμνουσών δυνάμεων (Δ.Τ.Δ.) και ροπών κάμψης (Δ.Ρ.Κ). Σχ Καθαρή κάμψη στο τμήμα ΓΔ, Γενική κάμψη στα ΑΓ και ΔΒ Παρατηρούμε από τα διαγράμματα (Δ.Τ.Δ.) και (Δ.Ρ.Κ.), ότι: i. Στο τμήμα ΓΔ της δοκού δεν εμφανίζεται τέμνουσα δύναμη Q δηλαδή (Q = 0), αλλά μόνον καμπτική ροπή με σταθερή μάλιστα τιμή ίση με Μ=Ρα. Στο τμήμα ΓΔ της δοκού, λέμε ότι έχουμε την περίπτωση της καθαρής κάμψης. ii. Στα τμήματα ΑΓ και ΔΒ εκτός της καμπτικης ροπής (που έχει μάλιστα μεταβλητή τιμή), συνυπάρχει και τέμνουσα δύναμη Q = Ρ. Για τα δύο αυτά τμήματα της δοκού, έχουμε την περίπτωση της γενικής κάμψης, που για λόγους συντομίας θα την ονομάζουμε απλά κάμψη. Επομένως, οι εσωτερικές δυνάμεις που εμφανίζονται κατά την καταπόνηση σε κάμψη, είναι γενικά τέμνουσες δυνάμεις και καμπτικές ροπές ΠΑΡΑΔΟΧΕΣ ΚΑΜΨΗΣ Προκειμένου να μελετηθεί και αναλυτικά στις επόμενες παραγράφους η καταπόνηση σε κάμψη, γίνονται οι εξής απλοποιητικές παραδοχές:

97 96 α') Ο διαμήκης άξονας της δοκού είναι ευθύγραμμος. β') Οι γραμμικές διαστάσεις της διατομής είναι μικρές συγκρινόμενες με το μήκος της δοκού. γ') Η διατομή της δοκού έχει έναν τουλάχιστον άξονα συμμετρίας, που περιέχεται στο επίπεδο φόρτισης. δ') Ισχύει η υπόθεση των Bernoulli-Navier κατά την οποία: Κάθε διατομή επίπεδη και κάθετη στον άξονα της δοκού πριν την παραμόρφωση, παραμένει επίπεδη και κάθετη και μετά από αυτήν. ε') Ισχύει ο νόμος του Hooke, δηλαδή οι αναπτυσσόμενες τάσεις είναι μικρότερες από το όριο αναλογίας του υλικού. στ') Όλα τα φορτία ενεργούν κάθετα στον άξονα της δοκού και βρίσκονται μέσα στο επίπεδο φόρτισης. Το επίπεδο φόρτισης, ή περιέχει τον άξονα συμμετρίας της διατομής ή είναι κάθετο σε αυτόν. ζ') Η ροπή κάμψης θεωρείται θετική, όταν τείνει να εφελκύσει την ίνα αναφοράς που λαμβάνεται η κατώτερη (Σχ.11.5) και (Σχ.11.6) ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΤΗΣ ΚΑΜΨΗΣ Ισχύει η εξίσωση: M z σ x = y (11.1) I Όπου y είναι η απόσταση του εξεταζόμενου σημείου (ή γενικότερα της εξεταζόμενης ίνας) από την ουδέτερη γραμμή και είναι προφανώς θετική για σημεία κάτω από αυτήν, ενώ είναι αρνητική για σημεία επάνω από αυτήν, λόγω της επιλογής του συστήματος αναφοράς. Η σχέση (11.1) αποτελεί το νόμο των ορθών τάσεων σε συνάρτηση με τη ροπή κάμψης και διατυπώνεται με τη φράση: "Η αναπτυσσόμενη ορθή τάση είναι ανάλογη της ροπής κάμψης, ανάλογη της απόστασης της εξεταζόμενης ίνας από την ουδέτερη γραμμή και αντιστρόφως ανάλογη της ροπής αδράνειας της διατομής ως προς την ουδέτερη γραμμή". Στην πράξη, επιζητούμε συνήθως τον υπολογισμό της μέγιστης ορθής τάσης σx που αναπτύσσεται εντός του υλικού της δοκού. Αυτό δε είναι απαραίτητο, διότι για να αντέχει μία καμπτόμενη δοκός, θα πρέπει: Η μέγιστη ορθή τάση να είναι μικρότερη ή το πολύ ίση από την επιτρεπόμενη τάση του υλικού της. Έτσι, στην περίπτωση της καθαρής κάμψης για τον υπολογισμό της μέγιστης ορθής τάσης σmax, αρκεί να προσδιορισθεί η τάση για τη στρώση των ινών με τη μέγιστη απόσταση ymax από την ουδέτερη γραμμή, οπότε αυτή θα είναι: z (11.2) Τις περισσότερες φορές όμως, η δοκός φορτίζεται με εγκάρσια φορτία οπότε η ροπή κάμψης δεν έχει σταθερή τιμή, αλλά μεταβάλλεται σε συνάρτηση με την απόσταση x, οπότε έχουμε την περίπτωση της γενικής κάμψης. Στην περίπτωση αυτή, ισχύει ότι:

98 97 Στη γενική κάμψη, η μέγιστη ορθή τάση που αναπτύσσεται εντός του υλικού μιας καμπτόμενης δοκού, θα παρατηρηθεί στη διατομή εκείνη στην οποία η ροπή κάμψης παίρνει τη μέγιστη τιμή της και μάλιστα στις ίνες εκείνες της διατομής αυτής που απέχουν περισσότερο από την ουδέτερη γραμμή. Έτσι, αν Μz,max είναι η μέγιστη ροπή κάμψης, που για συντομία θα τη συμβολίζουμε Μmax και ymax είναι η απόσταση των ακρότατων ινών της διατομής από την ουδέτερη γραμμή, θα έχουμε: (11.3) "Την τιμή της μέγιστης ροπής κάμψης Μmax συνήθως την προσδιορίζουμε από το διάγραμμα ροπών κάμψης (Δ.Ρ.Κ.)". Το πηλίκο Iz/ymax ονομάζεται ροπή αντίστασης Wz της διατομής ως προς τον άξονα z που για λόγους συντομίας θα τη συμβολίζουμε απλά W. Η ροπή αντίστασης μετριέται σε cm 3, m 3 κ.λ.π. και εξαρτάται μόνον από το σχήμα της διατομής. Έτσι, η (11.2) γράφεται και με την εξής γενική μορφή: (11.4) Είναι φανερό ότι, όταν η ουδέτερη γραμμή δεν αποτελεί άξονα συμμετρίας της διατομής, τότε υπάρχουν δύο αποστάσεις ymax διαφορετικές ως προς την ουδέτερη γραμμή, η μέγιστη άνω απόσταση y α max για την θλιβόμενη περιοχή και η μέγιστη κάτω απόσταση y u max για την εφελκυόμενη, (εφόσον βέβαια Μz>0, διαφορετικά είναι αντίθετα). 97

99 98 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 11 ΗΣ ΔΙΑΛΕΞΗΣ

100 99 Αντικείμενο 12 ης διάλεξης: ΣΥΝΘΗΚΗ ΑΝΤΟΧΗΣ - ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΔΙΑΤΟΜΗΣ ΣΤΗΝ ΚΑΜΨΗ ΤΡΟΠΟΙ ΣΤΗΡΙΞΗΣ ΔΟΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΑΝΤΙΔΡΑΣΕΩΝ 99

101 ΣΥΝΘΗΚΗ ΑΝΤΟΧΗΣ - ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΔΙΑΤΟΜΗΣ ΣΤΗΝ ΚΑΜΨΗ Είναι φανερό ότι για να αντέχει μία δοκός που καταπονείται σε κάμψη, θα πρέπει η μέγιστη αναπτυσσόμενη ορθή τάση σmax να είναι μικρότερη ή το πολύ ίση της επιτρεπόμενης τάσης σεπ του υλικού της σε κάμψη. Δηλαδή πρέπει να ισχύει: (12.1) Η αναπτυσσόμενη τάση σ εντός του υλικού, δίνεται από τη σχέση σ = Μzy/Ιz = Μz/Wz. Επειδή για λόγους αντοχής, η αναπτυσσόμενη αυτή τάση ενδείκνυται να παρουσιάζει μικρές τιμές, θα πρέπει ο παρανομαστής Ιz (ή Wz) να παίρνει όσο γίνεται μεγαλύτερες τιμές. Αυτό σημαίνει ότι σε ορθογωνική διατομή b h για παράδειγμα, όπου η μία ροπή αδράνειας είναι bh 3 /12, ενώ η άλλη είναι b 3 h/12 και επειδή (h>b), μεγαλύτερη είναι η πρώτη, άρα ενδείκνυται η διατομή να τοποθετείται όρθια. Υπενθυμίζουμε ότι στην εξίσωση (12.1) σθρ είναι η τάση θραύσης του υλικού και ν είναι ο συντελεστής ασφαλείας. Από την σχέση (12.1) προκύπτει επίσης και η απαιτούμενη ροπή αντίστασης Wαπ της διατομής, που είναι: (12.2) Από τη σχέση (12.2) υπολογίζουμε την απαιτούμενη ροπή αντίστασης, με βάση την οποία προκύπτουν οι απαιτούμενες διαστάσεις της διατομής. Με τον όρο σεπ εννοούμε την επιτρεπόμενη τάση του υλικού σε εφελκυσμό πρώτον και την επιτρεπόμενη τάση σε θλίψη δεύτερον. Δηλαδή κάνουμε έλεγχο αντοχής του υλικού της δοκού και ως προς τις δύο προαναφερθείσες τάσεις. Ειδικά αν το υλικό κατασκευής έχει την ίδια αντοχή σε εφελκυσμό και θλίψη (π.χ. χάλυβας), τότε οι δύο παραπάνω επιτρεπόμενες τάσεις ταυτίζονται. Πρέπει να σημειωθεί, ότι για όλες τις τυποποιημένες διατομές από χάλυβα και ξύλο, υπάρχουν έτοιμοι πίνακες, στους οποίους περιέχονται οι ροπές αδράνειας καθώς και οι ροπές αντίστασης. Οι ροπές αδράνειας για μερικές διατομές δίνονται στον Πίνακα 9.1. Υπάρχουν επίσης και βοηθήματα όπως είναι το Stahl im Hochban στο οποίο περιέχονται πίνακες για σύνθετες διατομές από τυποποιημένα ελάσματα, για μερικές από τις οποίες δίνονται επίσης στο Παράρτημα στο τέλος των σημειώσεων. Παράδειγμα Αμφιέρειστη ξύλινη δοκός ΑΒ μήκους l = 5m, α = 2m φορτίζεται με φορτία Ρ1 = 2ΚΝ και Ρ2 = 4ΚΝ, (Σχ.α). Ζητούνται: α') Να υπολογιστεί η απαιτούμενη ροπή αντίστασης της διατομής αν η επιτρεπόμενη τάση σε εφελκυσμό και θλίψη του υλικού της είναι απολύτως ίσες με σεπ = 10ΜΝ/m 2 = 100Κp/cm 2. Δίνεται α = 2m. β') Αν η διατομή είναι ορθογωνική, με ύψος h διπλάσιο του πλάτους b (h = 2b) (Σχ.β), να υπολογιστούν οι διαστάσεις b και h. 100

102 101 α') Με γνωστά, α = 2m, l = 5m βρίσκουμε και β = 1,0m. Στο σημείο Α της δοκού θεωρούμε σύστημα αξόνων Αxyz, όπως ήδη έχουμε αναφέρει (Σχ.α). Σχεδιάζουμε το διάγραμμα ελευθέρου σώματος (Δ.Ε.Σ.) της δοκού, όπου φαίνονται και οι αντιδράσεις VΑ, VΒ στα σημεία Α και Β αντίστοιχα. Υπολογίζουμε τις αντιδράσεις VΑ, VΒ εφαρμόζοντας τις στατικές συνθήκες ισορροπίας στο (Δ.Ε.Σ.) της δοκού, οπότε έχουμε: (1) (1') Οπότε από την εξίσωση (1) προκύπτει και η άλλη αντίδραση, VΑ = 2,8ΚΝ (1'') Κατασκευάζουμε τα διαγράμματα τεμνουσών δυνάμεων (Δ.Τ.Δ.) και ροπών κάμψεων (Δ.Ρ.Κ.). Από το (Δ.Ρ.Κ.) παρατηρούμε ότι η ροπή κάμψης δεν έχει σταθερή τιμή αλλά μεταβάλλεται με την απόσταση x, άρα έχουμε την περίπτωση της γενικής κάμψης (Μ, Q 0). Η ροπή όμως είναι θετική διότι τείνει να εφελκύσει την κάτω ίνα. Παρατηρούμε επίσης από τα διαγράμματα, ότι η μέγιστη ροπή κάμψης, παρουσιάζεται όπως είναι γνωστό στο σημείο που μηδενίζεται η τέμνουσα δύναμη, δηλ. στο Δ με (x = 3m) και έχει τιμή Μmax=2,8 1,5 + 0,8 1 Μmax= 6,4KNm. Από τη σχέση, Μmax/Wαπ σεπ υπολογίζουμε την απαιτούμενη ροπή αντίστασης: 101

103 102 β') Γνωρίζουμε ότι η απαιτούμενη ροπή αντίστασης ορίζεται από τη σχέση, όπου ymax είναι η μέγιστη απόσταση από την ουδέτερη γραμμή. Επειδή όμως η διατομή είναι συμμετρική, έχει την ουδέτερη γραμμή άξονα συμμετρίας και συνεπώς η μέγιστη απόσταση των ακρότατων ινών (δηλαδή και της ανώτατης και της κατώτατης) είναι απολύτως ίσες με ymax= h/2. Για ορθογωνική διατομή, η ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα z είναι, Iz = bh 3 /12. Από την εκφώνηση είναι b = h/2, οπότε η ροπή αδράνειας γράφεται: Παράδειγμα

104

105

106 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 12 ΗΣ ΔΙΑΛΕΞΗΣ

107 106 Αντικείμενο 13 ης διάλεξης: ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΗΣΗΣ ΔΙΑΤΟΜΗΣ 106

108 ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΗΣΗΣ ΔΙΑΤΟΜΗΣ Όπως είδαμε, οι μέγιστες εφελκυστικές ή θλιπτικές τάσεις σε μία καμπτόμενη δοκό, προκύπτουν από τη διαίρεση της καμπτικής ροπής Μz με τις ροπές αντίστασης ως προς την ουδέτερη γραμμή Wu για την κάτω από αυτήν περιοχή και Wα για την άνω. Έτσι, οι μέγιστες αναπτυσσόμενες ορθές τάσεις (εφελκυστικές ή θλιπτικές) είναι τόσο μικρότερες, όσο μεγαλύτερες τιμές έχουν οι δύο παραπάνω ροπές αντίστασης. Επειδή δε πρακτικά μας ενδιαφέρουν συνήθως οι μέγιστες τάσεις (διότι και αυτές πρέπει να ικανοποιούν τη συνθήκη αντοχής), σκόπιμο είναι, να λάβουμε σαν κύριο μέτρο αντίστασης της δοκού στην κάμψη, τις ροπές αντίστασης Wu και Wα της διατομής και όχι τόσο τη ροπή αδράνειας, όπως αντίστοιχα στην αξονική καταπόνηση, το μέτρο αντίστασης είναι το γινόμενο ΕF, όπου το Ε εξαρτάται από την "ποιότητα" του υλικού, ενώ το F από την "ποσότητα" του, που βέβαια είναι ανάλογη του βάρους του. Σε μία καμπτόμενη δοκό επομένως, εκμεταλλευόμαστε τόσο καλύτερα το υλικό της, όσο μεγαλύτερες τιμές έχουν οι ροπές αντίστασης Wu και Wα. Επειδή όμως η οικονομική αξία για το υλικό της δοκού εκτιμάται από το βάρος της, που είναι όμως ανάλογο με το εμβαδόν της διατομής της F, ορίζονται ως συντελεστές χρησιμοποίησης της διατομής, οι λόγοι: (13.1) Οι παραπάνω συντελεστές για την εφελκυόμενη και θλιβόμενη περιοχή αντίστοιχα, δίνουν ένα μέτρο σύγκρισης των διαφόρων διατομών από οικονομικής σκοπιάς, για την καταπόνηση σε κάμψη. Για συμμετρικές ως προς την ουδέτερη γραμμή διατομές (δηλαδή τον άξονα z), οι τιμές των ηu και ηα είναι προφανώς ίσες μεταξύ τους. Στο Σχ.13.1 φαίνονται διάφορες συμμετρικές διατομές καθώς και ο ενιαίος συντελεστής χρησιμοποίησης η = ηu = ηα για την κάτω και την άνω περιοχή, δηλαδή για εφελκυσμό και θλίψη. Από το σχήμα αυτό συμπεραίνουμε ότι: "Τόσο καλύτερα εκμεταλλευόμαστε μία διατομή σε κάμψη, όσο περισσότερο υλικό της κατανέμουμε στις πιο απομακρυσμένες θέσεις από το κέντρο Βάρους της Κ". Έτσι, λόγω της πιο μεγάλης τιμής του συντελεστή χρησιμοποίησης διατομής εξηγείται η μεγάλη χρησιμοποίηση της διατομής διπλού ταυ, κυρίως στις μεταλλικές κατασκευές. Από το ίδιο σχήμα φαίνεται επίσης ότι η μεγαλύτερη τιμή του η αντιστοιχεί σε θεωρητική διατομή που αποτελείται από δύο ορθογώνια μόνον σε απόσταση h. Πρακτικά όμως, η σύνδεση των δύο αυτών ορθογωνίων επιτυγχάνεται με ένα λεπτό ορθογώνιο που λέγεται κορμός, ο οποίος παραλαμβάνει επιπλέον και τις διατμητικές τάσεις λόγω τέμνουσας δύναμης (όπως θα δούμε στα επόμενα), οπότε τελικά προκύπτει η διατομή του διπλού ταυ, που τα δύο οριζόντια ορθογώνια λέγονται πέλματα. 107

109 108 Σχ Συμμετρικές διατομές με τον αντίστοιχο συντελεστή χρησιμοποίησης Η χρησιμοποίηση διατομών συμμετρικών ως προς τον άξονα z ενδείκνυται στις περιπτώσεις που η επιτρεπόμενη τάση του υλικού σε εφελκυσμό και θλίψη είναι ίσες, όπως συμβαίνει στο χάλυβα. Αντίθετα όταν οι δύο αυτές τάσεις είναι διαφορετικές, όπως συμβαίνει για παράδειγμα στο σκυρόδεμα, επιβάλλεται τότε η χρησιμοποίηση διατομών ασύμμετρων ως προς τον άξονα z. Έτσι, αν σ u max και σ α max είναι οι μέγιστες τάσεις που παρατηρούνται στις κατώτατες και ανώτατες ίνες αντίστοιχα, αυτές είναι: Διαιρώντας τις δύο παραπάνω σχέσεις κατά μέλη, βρίσκουμε: (13.2) (13.3) Από την εξίσωση (13.3) συνάγουμε το εξής συμπέρασμα: "Ο λόγος των αποστάσεων από την ουδέτερη γραμμή των πιο απομακρυσμένων εφελκυομενων και θλιβόμενων ινών, ενδείκνυται να είναι ίσος με το λόγο των αντίστοιχων επιτρεπόμενων τάσεων σε εφελκυσμό και θλίψη του υλικού της δοκού". Στο σημείο αυτό αναφέρουμε επίσης ότι στην κάμψη, μία δεδομένη διατομή δοκού ενδείκνυται να τοποθετείται έτσι ώστε να παρουσιάζεται η μέγιστη δυνατή τιμή της ροπής αντίστασης, ώστε οι αναπτυσσόμενες ορθές τάσεις να παραμένουν σε όσο το δυνατόν χαμηλές τιμές. Έτσι, για ορθογωνική διατομή για παράδειγμα (Σχ. 13.2) με διαστάσεις b h (h>b), η μία ροπή αντίστασης είναι Wz = bh 2 /6 η δε άλλη W'z = b 2 h/6 (Σχ β). Μεγαλύτερη είναι προφανώς η πρώτη(wz> W'z), οπότε ενδείκνυται η τοποθέτηση της ώστε η ροπή αντίστασης ως προς τον άξονα z να ισούται με Wz, που αυτό συμβαίνει όταν αυτή τοποθετηθεί όρθια (Σχ α). Σχ Δύο δυνατοί τρόποι τοποθέτησης της διατομής, μιας καμπτόμενης δοκού 108

110 109 Γενικότερα, μπορούμε να πούμε ότι ενδείκνυται η τοποθέτηση της διατομής έτσι ώστε η ουδέτερη γραμμή στην κάμψη, να γίνει ο άξονας με τη μεγαλύτερη ροπή αδράνειας (ή και ροπή αντίστασης), που αυτό συμβαίνει όταν ο άξονας αυτός είναι ο κύριος άξονας με τη μεγαλύτερη από τις δύο ροπές αδράνειας. Κάμψη δοκού κατά οριζόντιο επίπεδο Σημειώνουμε επίσης ότι, όταν το επίπεδο φόρτισης μιας καμπτόμενης δοκού είναι οριζόντιο, δηλαδή το xz (Σχ α), τότε προφανώς ουδέτερη γραμμή είναι ο άξονας y. Στην περίπτωση αυτή θετική ίνα αναφοράς θεωρείται αυτή που βρίσκεται στα θετικά του άξονα z, οπότε θετική είναι εκείνη η ροπή κάμψης που τείνει να εφελκύσει αυτήν την ίνα αναφοράς, ενώ αρνητική αυτή που τείνει να τη θλίψει. Το χαρακτηριστικό διάνυσμα της ροπής αυτής Μy, κατευθύνεται τότε στα θετικά του άξονα y, η δε απόσταση των ινών της διατομής χαρακτηρίζεται από την απόσταση z από την ουδέτερη γραμμή. Οι αναπτυσσόμενες ορθές τάσεις σx = σx(z), δίνονται τότε από τη σχέση: (13.4) Όπου Ιy(Wy) είναι η ροπή αδράνειας (ροπή αντίστασης) της διατομής ως προς την ουδέτερη γραμμή και είναι z η απόσταση της τυχαίας ίνας από την ουδέτερη γραμμή, που τώρα είναι ο άξονας z όπως προαναφέραμε. Η τριγωνική κατανομή των ορθών τάσεων στη διατομή στην περίπτωση που το επίπεδο φόρτισης είναι οριζόντιο, φαίνεται στο (Σχ β). Σχ Καθαρή κάμψη δοκού από ροπή Μy, κατά οριζόντιο επίπεδο φόρτισης xz 109

111 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 13 ΗΣ ΔΙΑΛΕΞΗΣ

112 111 Αντικείμενο 14 ης διάλεξης: ΣΤΡΕΨΗ 111

113 ΣΤΡΕΨΗ Η καταπόνηση σε στρέψη είναι ένα από τα είδη των απλών καταπονήσεων που προαναφέραμε, στην οποία καταπονούνται συνήθως ράβδοι, αλλά και δοκοί. "Μια ράβδος λέμε ότι καταπονείται σε στρέψη, όταν επάνω σε αυτήν επενεργούν ζεύγη ίσων και αντίθετων δυνάμεων που τα επίπεδα τους είναι κάθετα στον κεντροβαρικό άξονα της". Τα ζεύγη των δυνάμεων αυτών προκαλούν σε κάθε διατομή της ράβδου ροπή, που ονομάζεται ροπή στρέψης. Στην περίπτωση που τα ζεύγη αυτά είναι περισσότερα από ένα, η ροπή στρέψης προφανώς ισούται με το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών όλων των ζευγών που είναι αριστερά ή δεξιά της διατομής. Το διάνυσμα Μt της ροπής στρέψης είναι σε αυτήν την περίπτωση παράλληλο με τον άξονα της ράβδου και πολλές φορές συμβολίζεται με Μx (διάνυσμα με δύο βέλη), διότι συμπίπτει με το διαμήκη άξονα x της ράβδου. Στο είδος της καταπόνησης αυτής, η ράβδος τείνει να περιστραφεί περί τον άξονα της. Η ύπαρξη της ροπής στρέψης Μt (ή Μx), δημιουργεί στο υλικό της ελαστικής ράβδου εσωτερικές διατμητικές τάσεις, με αποτέλεσμα να δημιουργείται μία στροφή των διατομών μεταξύ τους που ονομάζεται γωνία στροφής. Η πακτωμένη ράβδος ΑΒ με ευθύγραμμο άξονα ΟΟ', στην οποία επενεργεί το ζεύγος των δυνάμεων Ρ (Σχ α), καταπονείται σε στρέψη. Προφανώς η πακτωμένη αυτή ράβδος είναι στατικά ισοδύναμη με το διάγραμμα ελεύθερου σώματος της ράβδου (Σχ β), το οποίο παρέχει το πλεονέκτημα, η στρεπτική ροπή στο αριστερό άκρο της ράβδου (που προέρχεται από την πάκτωση), να φαίνεται σε εμάς σαν εξωτερική ροπή. Σχ Στρέψη ράβδου από ζεύγος δυνάμεων ή από στρεπτική ροπή Τα δύο προβλήματα που πρέπει να αντιμετωπίσουμε στην καταπόνηση της στρέψης, είναι τόσο ο προσδιορισμός των διατμητικών τάσεων τ, οι οποίες ονομάζονται ειδικότερα τάσεις στρέψης, όσο και ο υπολογισμός της γωνίας στροφής των διατομών, που αντιπροσωπεύουν την προκαλούμενη παραμόρφωση. Προκειμένου να μελετηθεί και αναλυτικά η καταπόνηση σε στρέψη γίνονται οι εξής απλοποιητικές παραδοχές: Παραδοχές Στρέψης α') Όλες οι διατομές της ράβδου παραμένουν επίπεδες και μετά την παραμόρφωση. Επίσης, διατηρούν το σχήμα, το μέγεθος, καθώς και τη μεταξύ τους απόσταση. β') Οι ακραίες ροπές στρέψης θεωρούνται δεξιόστροφες και προκαλούν το ίδιο αποτέλεσμα σε κάθε διατομή. 112

114 113 γ') Κάθε διατομή περιστρέφεται σαν απόλυτα στερεός δίσκος. Έτσι, η διατομή περιστρέφεται σαν σύνολο, δηλαδή οι ακτίνες παραμένουν ευθείες. δ') Το υλικό της ράβδου είναι ομογενές και ισότροπο, ώστε οι ιδιότητες του υλικού να είναι ομοιόμορφες σε κάθε σημείο και διεύθυνση. Υπενθυμίζουμε ότι το μέτρο ολίσθησης G είναι ο λόγος της διατμητικής τάσης τ προς τη διατμητική παραμόρφωση γ, δηλαδή: τ G = (14.1) γ Το μέτρο ολίσθησης ή διάτμησης ή και δεύτερο μέτρο ελαστικότητας έχει μονάδες τάσης (Ν/m 2 κ.λ.π.) και συνδέεται με το μέτρο ελαστικότητας Ε, μέσω του λόγου του Poisson μ, σύμφωνα με τη σχέση: E G = (14.2) 2 (1+ µ ) Παραδείγματα καταπόνησης σε στρέψη, έχουμε σε άξονες (ατράκτους) μηχανών κοίλους ή μη, όπως επίσης και ολόκληρων κτιρίων σε περίπτωση οριζόντιων σεισμικών δυνάμεων, κ.λ.π. Η καταπόνηση σε στρέψη παρατηρείται επίσης στην περίπτωση που οι ευθείες επενέργειας των δυνάμεων δεν διέρχονται από τον κεντροβαρικό άξονα της ράβδου όπως π.χ. συμβαίνει σε μία έκκεντρα φορτιζόμενη δοκό. Πολλές φορές επίσης, συνυπάρχει με άλλες καταπονήσεις όπως με κάμψη, διάτμηση κ.λ.π. Η καταπόνηση σε στρέψη στη γενική της περίπτωση είναι αρκετά πολύπλοκη. Στις επόμενες παραγράφους αναφέρονται σχετικά απλές περιπτώσεις καταπόνησης σε στρέψη που παρουσιάζονται στις διάφορες τεχνικές εφαρμογές. Σε όλες αυτές τις περιπτώσεις οι καταπονούμενες σε στρέψη ράβδοι, θεωρούνται ότι αποτελούνται από υλικό "ελαστικό", για το οποίο προφανώς ισχύει ο νόμος του Hooke ΣΤΡΕΨΗ ΡΑΒΔΟΥ ΚΥΚΛΙΚΗΣ ΔΙΑΤΟΜΗΣ Στην παράγραφο αυτή θα μελετήσουμε την απλούστερη περίπτωση στρέψης μίας ράβδου με σταθερή κυκλική διατομή, η οποία συναντάται πολύ συχνά στην πράξη σε περιστρεφόμενους άξονες (ατράκτους). Για το σκοπό αυτό θεωρούμε μία κυλινδρική ράβδο ακτίνας R και μήκους l, η οποία είναι σταθερά πακτωμένη στο ένα της άκρο και ελεύθερη στο άλλο (Σχ. 14.2). Αν επιβάλλουμε μία στρεπτική ροπή Μt στο ελεύθερο άκρο της, τότε για λόγους ισορροπίας, αναπτύσσεται ίση και αντίθετη ροπή στρέψης στο σταθερό άκρο της ράβδου (η οποία δημιουργείται από την πάκτωση). Το σύστημα αυτό, όπως προαναφέραμε, είναι στατικά ισοδύναμο με ελεύθερη κυλινδρική ράβδο που υφίσταται ίσες και αντίθετες στρεπτικές ροπές Μt στις ακραίες της διατομές. Υπενθυμίζουμε ότι η ροπή στρέψης Μt συμβολίζεται και σαν ευθύγραμμο διάνυσμα Μx που είναι συγγραμμικό με τον άξονα x της ράβδου, όπως φαίνεται και στο (Σχ. 14.2) (χαρακτηριστικό διάνυσμα). Αν φ είναι η γωνία στροφής της διατομής που βρίσκεται σε απόσταση έστω x από το σταθερό άκρο της ράβδου, τότε η διατομή σε απόσταση (x + dx), στρέφεται κατά γωνία (φ + dφ). Η σχετική γωνία στροφής των δύο αυτών διαδοχικών διατομών είναι dφ, ενώ η απόσταση τους είναι dx. 113

115 114 Σχ Στρεψη ράβδου από δεξιόστροφη ροπή ζεύγους δυνάμεων Προκειμένου να εξετάσουμε λεπτομερέστερα τη σχετική στροφή των διατομών, θα θεωρήσουμε ότι αποκόπτουμε τον στοιχειώδη δίσκο πάχους dx από την υπόλοιπη ράβδο (Σχ α). i. Υπολογισμός της στρεπτικής (διατμητικής) τάσης τ Στον θεωρούμενο στοιχειώδη δίσκο μήκους dx, εξετάζοντας τη σχετική περιστροφή dφ της δεξιάς διατομής ως προς την αριστερή, παρατηρούμε ότι η ακτίνα R = (Κ'Β) πήρε μετά την παραμόρφωση τη θέση (Κ'Β') (Σχ α). Η αρχική ευθεία ΑΒ που ήταν παράλληλη με τον άξονα της ράβδου, πήρε τελικά τη θέση ΑΒ' σχηματίζοντας γωνιακή παραμόρφωση γε με την ΑΒ. Σχ Στρέψη ράβδου κυκλικής διατομής και αναπτυσσόμενες διατμητικές τάσεις Όμοια, η ευθεία ΓΔ που έχει τυχαία έστω απόσταση r από τον άξονα ΚΚ', πήρε τελικά τη θέση ΓΔ, σχηματίζοντας έτσι τη γωνία γ με την ΓΔ. Από τη γεωμετρία του σχήματος και επειδή η γωνία γε είναι πολύ μικρή, ισχύει η σχέση: (14.3) 114

116 115 Και γενικότερα για τυχαία απόσταση r, η (14.3) γράφεται: (14.4) Η ποσότητα θ = dφ/dx εκφράζει τη σχετική γωνία στροφής δύο διατομών που έχουν μοναδιαία απόσταση (dx = 1) μεταξύ τους και ονομάζεται ανηγμένη γωνία στροφής. Είναι φανερό, ότι η γωνία φ και επομένως και το dφ/dx είναι συναρτήσεις του μήκους της ράβδου. Σύμφωνα όμως με την παραδοχή δ', στη στρέψη ο λόγος dφ/dx είναι σταθερός σε όλο το μήκος της ράβδου, εφόσον δέχεται την ίδια στρεπτική ροπή. Έτσι, ολοκληρώνοντας τη σχέση θ = dφ/dx, προκύπτει η ανηγμένη γωνία στροφής θ, που είναι : (14.5) Διαιρώντας κατά μέλη τις εξισώσεις (14.3) και (14.4) και λύνοντας στη συνέχεια ως προς την τυχαία γωνία γ, που έχει ακτίνα r, βρίσκουμε: (14.6) Από την εξίσωση (14.6) παρατηρούμε ότι, για τα σημεία της περιφέρειας που έχουν r = R προκύπτει η μέγιστη δυνατή τιμή της γωνιακής παραμόρφωσης, δηλαδή: "Από όλες τις ίνες της ράβδου εκείνες που σχηματίζουν τη μεγαλύτερη γωνία στροφής είναι οι γενέτειρες της". Για l = R και φ = γε η σχέση (14.5) δίνει θ = γε/r. Συνεπώς η εξίσωση (14.6) γράφεται και με τη μορφή: (14.7) Έτσι λοιπόν η στρεπτική (διατμητική) τάση τ = Gγ (γ σε rad), με τη βοήθεια των παραπάνω σχέσεων στη στρέψη ειδικά, παίρνει τη μορφή: (14.8) Από τη σχέση (14.8) προκύπτει το εξής συμπέρασμα: Η διατμητική τάση τ σε μία στρεφόμενη ράβδο, μεταβάλλεται γραμμικά με την απόσταση r από το κέντρο της κυκλικής διατομής, έχοντας μέγιστες τιμές τmax στα σημεία της εξωτερικής επιφάνειας, δηλαδή της περιφέρειας. Δηλαδή, η στρεπτική διατμητική τάση τ στην τυχαία ακτίνα r, γράφεται: (14.9) Η κατανομή των διατμητικων αυτών τάσεων κατά μήκος μιας διαμέτρου είναι τριγωνική, με μέγιστες τιμές στα άκρα της, και μηδενική στο κέντρο της, όπως εύκολα προκύπτει από τη σχέση (14.8). Η κατανομή των διατμητικων αυτών τάσεων, φαίνονται στο (Σχ β). 115

117 116 Θεωρώντας λοιπόν τις ίνες της ράβδου που ανήκουν στην ίδια ομόκεντρη περιφέρεια της διατομής, αυτές δηλαδή που έχουν r = σταθερό, από τη σχέση (14.8) προκύπτει ότι: "Η διατμητική τάση λόγω στρέψης, μεταβάλλεται ανάλογα με την ανηγμένη γωνία στροφής θ". Στη στοιχειώδη επιφάνεια df (Σχ β), που έχει απόσταση r από το κέντρο της διατομής, ενεργεί στοιχειώδης δύναμη τdf, με ροπή ως προς το κέντρο του κύκλου rτdf. Θα πρέπει όμως, η ροπή όλων των στοιχειωδών δυνάμεων ως προς το κέντρο, να ισούται με τη στρεπτική ροπή Μt, δηλαδή: Σχ Στρέψη σε στοιχειώδη ράβδο κυκλικής διατομής Αν λάβουμε υπόψη μας τη σχέση (14.8), η παραπάνω εξίσωση γράφεται: Όπου I p = F r 2 df, είναι η πολική ροπή αδράνειας της κυκλικής διατομής. (14.10) Από τη σχέση (14.10) προκύπτει ότι η ανηγμένη γωνία στροφής θ, είναι ανάλογη προς την στρεπτική ροπή Μt και αντιστρόφως ανάλογη προς το γινόμενο GΙp που είναι γνωστό ως μέτρο δυστρεψίας της ράβδου. Από το συνδυασμό των σχέσεων (14.8) και (14.10), τελικά βρίσκουμε: (14.11) Και αν λάβουμε υπόψη, ότι το πηλίκο Ιp/R παριστάνει την πολική ροπή αντίστασης Wp της κυκλικής διατομής, η εξίσωση (14.11) γράφεται: 116

118 117 (14.12) Αντικαθιστώντας και την πολική ροπή αδράνειας του κύκλου, που είναι: στην εξίσωση (14.11), η στρεπτική τάση για ράβδο κυκλικής διατομής, στην τυχαία ακτίνα r, δίνεται από τη σχέση: (14.13) Η μέγιστη διατμητική στρεπτική τάση που συνήθως ενδιαφέρει τεχνικά περισσότερο, εμφανίζεται προφανώς στα σημεία της περιφέρειας, δηλαδή για r = R, οπότε η εξίσωση (14.13) παίρνει τη μορφή: (14.14) Οι διατμητικές στρεπτικές σύμφωνα με την πρόταση Cauchy (κανόνας αμοιβαιότητας των διατμητικών τάσεων), έχουν τη διεύθυνση της περιμέτρου, η δε διεύθυνση τους κατά μήκος του άξονα της ράβδου, προκύπτει με εφαρμογή του κανόνα αυτού (Σχ. 14.5). Σχ Ροή διατμητικών τάσεων Προφανώς, για να λειτουργεί με ασφάλεια η ράβδος έναντι της στρεπτικής ροπής Μt, πρέπει η μέγιστη αναπτυσσόμενη στρεπτικη τάση τmax να ικανοποιεί τη συνθήκη αντοχής για το υλικό της ράβδου, δηλαδή να ικανοποιείται η συνθήκη αντοχής: τmax τεπ (14.15) Όπου τεπ είναι η επιτρεπόμενη τιμή της διατμητικής τάσης του υλικού της. 117

119 118 ii. Προσδιορισμός της γωνίας στροφής φ Για να υπολογίσουμε τη γωνία στροφής φ, από τη σχέση (14.5) έπεται ότι φ = θ l, οπότε λαβαίνοντας υπόψη και την (14.10), έχουμε: (14.16) Η γωνία φ, μετριέται σε rad, η δε ποσότητα GΙp/l ονομάζεται δυστρεψία της ράβδου. Ας παρατηρήσουμε ότι αν στη δυστρεψία θέσουμε l = 1m, προκύπτει το μέτρο δυστρεψίας GΙp που προαναφέραμε, δηλαδή το μέτρο δυστρεψίας είναι η (ανηγμένη) δυστρεψία στη μονάδα μήκους της. Υπάρχει και για τη γωνιακή παραμόρφωση μία μέγιστη επιτρεπόμενη ανηγμένη γωνία στροφής θεπ τέτοια ώστε, για να λειτουργεί με ασφάλεια πρέπει να ικανοποιείται η παραμορφωσιακή συνθήκη: (14.17) Η τιμή αυτή της θεπ εξαρτάται κυρίως από τη φύση του υλικού της ράβδου, προβλέπεται από κανονισμούς και δίνεται σε ειδικούς πίνακες. Παράδειγμα

120 119 Παράδειγμα

121 120 Παράδειγμα

122 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 14 ΗΣ ΔΙΑΛΕΞΗΣ

123 122 Αντικείμενο 15 ης διάλεξης: ΑΝΤΟΧΗ ΒΙΟΛΟΓΙΚΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 122

124 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΡΕΟΛΟΓΙΑΣ Στις προηγούμενες διαλέξεις αναπτύχθηκαν οι τάσεις-καταπονήσεις των άβιων υλικών. Αυτό όμως μπορεί να γενικευτεί και στα έμβια υλικά (σπόροι και οπωροκηπευτικά), δεδομένου ότι και τα υλικά αυτά δεν πρέπει να καταπονηθούν πέρα από την αντοχή τους γιατί τότε οξειδώνονται τα φαινολικά συστατικά τους και μαυρίζουν. Όσο τέλεια και να είναι η διαδικασία παραγωγής ενός οπωροκηπευτικού, αν ο μετασυλλεκτικός του χειρισμός δεν είναι σωστός, το προϊόν καταστρέφεται. Αυτό μπορεί να συμβεί ακόμη και στην περίπτωση κατά την οποία η ποιότητά του την ημέρα της συγκομιδής ήταν άριστη. Κανένας καταναλωτής δεν θα αγόραζε μωλωπισμένους καρπούς, ακόμη και αν του χαρίζονταν. Επομένως γίνεται μελέτη των μηχανικών ιδιοτήτων των άβιων υλικών για να μπορούμε να τα χειριστούμε στο συσκευαστήριο, στα μέσα μεταφοράς, στους χώρους αποθήκευσης και οπουδήποτε αλλού, σωστά. Οι μηχανικές ιδιότητες ορίζονται με βάση τη συμπεριφορά των υλικών, κάτω από την επίδραση δυνάμεων. Τέτοιες ιδιότητες είναι η σχέση τάσης παραμόρφωσης ενός υλικού κάτω από στατική και δυναμική φόρτωση, καθώς επίσης και τα χαρακτηριστικά της ροής του υλικού στον αέρα ή στο νερό. Η Ρεολογία (rheology) είναι η επιστήμη που μελετά την παραμόρφωση και τη διαρροή των υλικών, λαμβάνοντας υπόψη τον χρόνο που διαρκεί η καταπόνηση. Έτσι κατά τη ρεολογία, η μηχανική συμπεριφορά ενός υλικού εκφράζεται συναρτήσει τριών παραμέτρων δηλαδή της δύναμης, της παραμόρφωσης και του χρόνου. Παραδείγματα καταπόνησης των υλικών, όσον αφορά τη ρεολογία, είναι: η χρονικά εξαρτώμενη συμπεριφορά της τάσης και της παραμόρφωσης, το ιξώδες (viscosity), ο ερπυσμός (creep), δηλαδή η παραμόρφωση στη διάρκεια του χρόνου, που υφίσταται ένα υλικό που βρίσκεται σε εντατική κατάσταση συνεχώς, λόγω της επιβολής σταθερού φορτίου και η χαλάρωση δηλαδή, η απόσβεση της τάσης με τον χρόνο (stress relaxation) που συμβαίνει όταν το υλικό παραμορφώνεται ξαφνικά σε μια δεδομένη παραμόρφωση σταθερή ειδική παραμόρφωση. Υπάρχουν όμως και άλλες μηχανικές ιδιότητες των έμβιων υλικών εκτός της ρεολογίας, οι οποίοι σχετίζονται με την κίνηση του υλικού κάτω από την επίδραση δυνάμεων. Τέτοια παραδείγματα είναι: ο συντελεστής οπισθέλκουσας (drag coefficient), η τελική ταχύτητα (terminal velocity), ο συντελεστής αναπήδησης κατά την πρόσκρουση (rebound coefficient) και η ροή του υλικού όταν αυτό μεταφέρεται ασυσκεύαστο, δηλαδή χύμα (flow of the material in bulk) ΒΙΟΛΟΓΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ Τα βιολογικά υλικά είναι ζωντανά και υπόκεινται συνεχώς σε μεταβολές τόσο κατά τη διάρκεια της ανάπτυξης όσο και μετά τη συγκομιδή, κατά τη διάρκεια της αποθήκευσης. Τα κύτταρα τους είναι ευαίσθητα τόσο σε εξωτερικούς παράγοντες (υγρασία, θερμοκρασία κ.λ.π.) όσο και σε εσωτερικούς (όχι απόλυτα γνωστούς), που είναι δύσκολο να ελεγχθούν. Κατά συνέπεια, η μελέτη της ρεολογικής συμπεριφοράς των βιολογικών συστημάτων είναι αρκετά δύσκολη. Συνήθως γίνεται εμπειρική 123

125 124 προσέγγιση. Δηλαδή η αντιμετώπιση αυτών των προβλημάτων γίνεται είτε με απλή περιγραφή των γεγονότων κατά την παρατήρησή τους, είτε με θεωρητικές προσεγγίσεις οι οποίες πολύ συχνά οδηγούν σε περίπλοκες μαθηματικές σχέσεις με πολλές μεταβλητές. Σταθερές, όπως αυτές που γνωρίζουμε στα άβια υλικά, σπάνια υπάρχουν ΚΛΑΣΙΚΑ ΙΔΑΝΙΚΑ ΒΙΟΛΟΓΙΚΑ ΥΛΙΚΑ Όπως είναι γνωστό τα υλικά υπό την επίδραση δυνάμεων, παραμορφώνονται. Τα βιολογικά υλικά εμφανίζουν τριών ειδών χαρακτηριστικές συμπεριφορές κάτω από την επίδραση μιας καταπόνησης, δηλαδή ελαστικότητα (elasticity), πλαστικότητα (plasticity) και ελαστοπλαστικότητα (vircosity) ή αλλιώς ιξώδες. Όπως στο κεφάλαιο 1.5 έγινε αναφορά στις παραδοχές που ισχύουν στην Αντοχή των Υλικών για τις ιδιότητες που έχει κάθε σώμα προκειμένου να καταστεί δυνατή η μελέτη της συμπεριφοράς του στις διάφορες καταπονήσεις, το ίδιο γίνεται και στην περίπτωση των βιολογικών υλικών. Δηλαδή ενώ κανένα έμβιο υλικό δεν συμπεριφέρεται τέλεια ελαστικά ή τέλεια πλαστικά, εντούτοις η συμπεριφορά τους μπορεί να περιγραφεί αρκετά καλά, με τρία ιδανικά σώματα που χαρακτηρίζουν τις ιδιότητες των βιολογικών υλικών. Αυτά είναι, για την ελαστική περιοχή η συμπεριφορά του τύπου Hooke (hookean body) και για την πλαστική περιοχή η συμπεριφορά του τύπου St. Venant (St. Venant body) και του τύπου Newton (Newtonian liquid). Ιδανική ελαστική συμπεριφορά. Ελαστικότητα: ο όρος αυτός αναφέρεται στην ικανότητα ενός υλικού να παίρνει (υφίσταται) ελαστική παραμόρφωση και ισχύει ότι η τάση (stress) είναι ανάλογη με την παραμόρφωση (strain) (νόμος Hooke). Επειδή ο ορισμός της ελαστικότητας προϋποθέτει την πλήρη επανάκτηση της παραμόρφωσης με την απομάκρυνση της τάσης που την προκάλεσε, πρέπει να γίνεται διαφοροποίηση μεταξύ της ευθύγραμμης περιοχής της ελαστικότητας και της μη ευθύγραμμης. Γενικά η ελαστική συμπεριφορά είχε αρχικά αποδειχθεί ότι ίσχυε σε ορισμένα στερεά υλικά στην περίπτωση κατά την οποία οι παραμορφώσεις ήταν αρκετά μικρές, μικρότερες από 0,1 % (Reiner 1960). Στη συνέχεια όμως, καθώς βελτιώνονταν οι τεχνικές πειραματισμού αυτό αποδείχθηκε ότι ήταν αναληθές. Από τα μέχρι τώρα δημοσιευμένα πειραματικά αποτελέσματα, η ιδανική ελαστικότητα του τύπου του Hooke δεν υφίσταται σε κανένα βιολογικό υλικό. Οπότε ο νόμος του Hooke σε περίπτωση του εφελκυσμού ή της θλίψης, είναι (όπως έχει διατυπωθεί στα προηγούμενα κεφάλαια): σ =ε Ε και σ Ε = όπου ε =Δl/l ε όπου l = αρχικό μήκος του σώματος, Δl = μεταβολή του αρχικού μήκους με την επενέργεια της καταπόνησης και ε = ανηγμένη ή αδιάστατη επιμήκυνση. Στην περίπτωση της διάτμησης (distortion) με μια τάση διάτμησης (τ) (shear stress), το μέτρο διάτμησης (stress modulus-modulus of rigidity ) G δίνεται από τη γραμμική σχέση: τ = Gγ, γ σε rad 124

126 125 όπου με γ συμβολίζεται η γωνιακή παραμόρφωση. Δηλαδή το G είναι σταθερή ποσότητα που έχει διαστάσεις τάσης, όπως φαίνεται από την παραπάνω εξίσωση και χαρακτηρίζει τις μηχανικές ιδιότητες των διαφόρων υλικών. Είναι δε κάτι ανάλογο του μέτρου ελαστικότητας Ε και ονομάζεται δεύτερο μέτρο ελαστικότητας ή μέτρο διάτμησης ή και μέτρο ολίσθησης, σε αντιστοιχία με τις ονομασίες της γωνίας γ. Για να εφαρμόσουμε θλίψη σε ένα στερεό σώμα είναι πιο δύσκολο από ότι σε υγρό ή αέριο (τα οποία συμπιέζονται σχετικά εύκολα). Γι' αυτό χρησιμοποιούμε ένα υγρό που περιβάλλει το σώμα το οποίο θέλουμε να συμπιέσουμε. Τότε η υδροστατική πίεση, σύμφωνα με την αρχή του Pascal μεταδίδεται εξίσου σε όλα τα σημεία του σώματος. Στην περίπτωση αυτή, τον ρόλο της θλιπτικής τάσης τον αντικαθιστά η υδροστατική πίεση p, η οποία όπως γνωρίσαμε προκαλεί μεταβολή όγκου αρνητική, δηλαδή ΔV<0 (6 η Διάλεξη).. Ονομάζουμε μέτρο διόγκωσης Κ (bulk modulus) ή ασυμπιεστότητα (incompressibility) ενός υλικού, τον λόγο: Το Κ από τη σχέση ορισμού του προκύπτει ότι έχει μονάδες τάσης [Ν/m2]. Είναι δηλαδή και αυτό μία ελαστική σταθερά, όπως το Ε και το G. Τιμές του Κ για ορισμένα άβια υλικά δίνονται στην 6 η Διάλεξη. Το αντίστροφο του μέτρου διόγκωσης Κ δηλαδή το 1/Κ=Κ -1 ονομάζεται συμπιεστότητα και αποτελεί ένα μέτρο, του κατά πόσο εύκολα ή δύσκολα συμπιέζεται ένα υλικό. Ανεξάρτητα από το σχήμα της διατομής ενός σώματος, αν b είναι μία οποιαδήποτε αρχική εγκάρσια διάσταση (π.χ. διάμετρος κύκλου, πλευρά τετραγώνου κλπ.) και b' η τελική εγκάρσια διάσταση μετά την παραμόρφωση τότε ορίζεται η ανηγμένη (ή ειδική) εγκάρσια παραμόρφωση από τον λόγο: b b b ε q = = b b Η ποσότητα αυτή, ως λόγος μηκών είναι καθαρός αριθμός. Ειδικότερα η εq στον εφελκυσμό ονομάζεται ανηγμένη εγκάρσια βράχυνση (ή συστολή) και είναι αρνητική ποσότητα ενώ στη θλίψη λέγεται ανηγμένη εγκάρσια μήκυνση (ή διαστολή) και είναι ποσότητα θετική. Καλείται λόγος του Poisson μ ή και συντελεστής εγκάρσιας παραμόρφωσης, ο λόγος: ε q µ = ε Το αρνητικό πρόσημο στην παραπάνω σχέση δικαιολογείται από το οφθαλμοφανές γεγονός ότι, τα μεγέθη εq και ε είναι πάντοτε ετερόσημα, διότι όταν αυξάνει η μία διάσταση συγχρόνως ελαττώνεται η άλλη. Ο συντελεστής μ είναι χαρακτηριστική σταθερά για κάθε υλικό εφόσον καταπονείται μέσα στα όρια της ελαστικής του συμπεριφοράς και είναι προφανώς καθαρός αριθμός. Πήρε δε το όνομα "λόγος του Poisson", διότι αυτός πρώτος υπολόγισε ότι η τιμή του για ισότροπα υλικά, είναι μ = 0,25. Πρόσφατα, ακόμα ακριβέστεροι θεωρητικοί υπολογισμοί έδωσαν μ = 0,33. Πράγματι, πειραματικές μετρήσεις ακριβείας επιβεβαίωσαν τα ανωτέρω αποτελέσματα και δίνουν τιμές του μ, μεταξύ 0,25 και 0,35 για τα μέταλλα κυρίως. Γενικά μπορεί να αποδειχθεί εύκολα ότι ο μ είναι αριθμός μικρότερος ή το πολύ 125

127 126 ίσος με 0,5. Για το ελαστικό κόμι (λάστιχο), ο μ πλησιάζει την τιμή 0,5 διότι ο όγκος του διατηρείται περίπου σταθερός σε όλη τη διάρκεια του εφελκυσμού. Υλικά με πολύ μικρό μ, είναι ο φελλός που έχει πρακτικά περίπου μ = 0, το σκυρόδεμα που έχει μ = 0,1 έως 0.2 κ.λ.π. Για τον χάλυβα λαμβάνουμε συνήθως μ = 0,3. Τιμές του μ για διάφορα άλλα άβια υλικά δίνονται στον Πίνακα 5.1 της 5 ης Διάλεξης. Η τιμή του μ συνήθως λαμβάνεται ίδια για εφελκυσμό και θλίψη. Όλα τα ανωτέρω ισχύουν εφόσον η αναπτυσσόμενη τάση βρίσκεται στην ελαστική περιοχή του υλικού. Στην πλαστική περιοχή όμως, επειδή τα υλικά διατηρούν σταθερό τον όγκο τους, ο λόγος του Poisson τότε τείνει ασυμπτωτικά στην τιμή μ=0,5. Ο λόγος του Poisson μ συνδέεται με τις ελαστικές σταθερές Ε και G, με τη σχέση G = E/2(1 +μ). Ιδανική πλαστική συμπεριφορά (St. Venant body ) Ο όρος πλαστικότητα αναφέρεται στην ικανότητα ενός υλικού να παίρνει (υφίσταται) πλαστική παραμόρφωση. Το μηχανικό μοντέλο του σώματος του Venant αντιπροσωπεύει την ιδανική πλαστικότητα. Σε αυτό το μοντέλο η τριβή μεταξύ του σώματος και της επιφάνειας στην οποία κινείται, εμποδίζει την οποιαδήποτε μετακίνησή του. Όταν η έλξη ξεπεράσει τη στατική τριβή, το σώμα αρχίζει να μετακινείται. Όταν αρχίσει η κίνηση, η έλξη πρέπει να υπερνικήσει μόνο την τριβή κίνησης για να μπορεί το σώμα να κινείται. Σε αυτό το μοντέλο, η κλίση της μετατόπισης (mm/mm) (displacement gradient ) αναφέρεται στη γωνία διάτμησης (γ) του ιδανικού πλαστικού υλικού. Το υλικό δεν ρέει μέχρι να αναπτυχθεί μια οριακή τιμή στην τάση διάτμησης. Επίσης το υλικό δεν μπορεί να αντέξει καμία τάση μεγαλύτερη από την τιμή που προκάλεσε την κίνηση και ρέει επ αόριστο κάτω από αυτή, εκτός και αν η ροή περιορισθεί από κάποιους άλλους παράγοντες. Ιδανική ιξώδη συμπεριφορά ( Newtonian liquid ) Σε ένα ιδανικό πλαστικό υλικό σημειώθηκε προηγούμενα ότι είναι αναγκαία μια ελάχιστη τάση, πριν αρχίσει η παραμόρφωση και η διαρροή. Σε ένα υγρό με ιξώδη συμπεριφορά, η ροή αρχίζει μόλις εφαρμοσθεί μια τάση διάτμησης. Όταν η τάση αυτή αφαιρεθεί όπως και στην περίπτωση της πλαστικής ροής το σώμα δεν επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση. Στο υγρό αυτό η παραμόρφωση είναι συνάρτηση όχι μόνο της τάσης αλλά και του χρόνου. Σε ένα απλό υγρό με παράλληλη ροή, η κλίση ( the velocity gradient) της ταχύτητας μπορεί να εκφραστεί ως ακολούθως: du/dy = φτ = 1/n * τ, όπου με du συμβολίζεται η αύξηση της ταχύτητας μιας στρώσης του υγρού που περνά πάνω από μια άλλη στρώση που απέχει μια απόσταση dy. Η κίνηση οφείλεται σε μια τάση διάτμησης τ, η οποία είναι ανάλογη της κλίσης της ταχύτητας, με τον συντελεστή φ, που ονομάζεται ρευστότητα (fluidity), ενώ ο λόγος 1/φ = η ονομάζεται ιξώδες (viscosity). Αν η παραπάνω σχέση γραφθεί συναρτήσει του ρυθμού της παραμόρφωσης διάτμησης γ, (shear strain rate) ή του ρυθμού διάτμησης (rate of shear) προκύπτει ο νόμος του Newton για ιδανικά ιξώδη υγρά σύμφωνα με τον οποίο: τ/γ = η Δηλαδή το ιξώδες χαρακτηρίζει την εσωτερική τριβή μεταξύ των μορίων του υγρού που έχει σαν αποτέλεσμα την αντίσταση στη ροή. 126

128 127 ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ (ΙΞΩΔΟΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ) Viscoelasticity Από τα μέχρι τώρα πειραματικά δεδομένα φαίνεται ότι τα γεωργικά προϊόντα είναι ιξωδοελαστικά και μάλιστα η ιξωδοελαστική συμπεριφορά δεν είναι ευθύγραμμη. Στον πίνακα που ακολουθεί, δίνονται τιμές του μέτρου ελαστικότητας ορισμένων άβιων υλικών. ΥΛΙΚΟ ΜΕΤΡΟ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ (Pa) Μήλο Μπανάνα 8-30 Ψωμί 0,1-0,3 Καρότο Ζελατίνη 2 Ροδάκινο Αχλάδι Πατάτα Πηγή: Kramer and Szczesniak, Texture Measurements of Foods, (1973). 127

129 128 Παράρτημα ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΕΣ ΔΙΑΤΟΜΕΣ 128

130 129 1 ΣΤΕΝΕΣ ΔΟΚΟΙ Ι (με κεκλιμένες τις εσωτερικές επιφάνειες των πελμάτων Σημείωση: Τα ελάσματα 1380, 425, 475, 550 και 600 δεν παράγονται πλέον. 129

131 130 Σειρά ΙΡΒ (Αντιστοιχεί στη σειρά Β (ΗΕ-Β) του Euronorm 53-62) 130

132 131 Σειρά ΙΡΒ Ελαφρός τύπος (Αντιστοιχεί στη σειρά Α (HE-Α) του Euronorm 53-62) 131

133 132 Ενισχυμένος τύπος Σειρά IPBv. (Αντιστοιχεί στη σειρά Μν(ΉΕ-Μ) του Euronorm 53-62) 132

134 133 2 ΔΟΚΟΙ Ι (Μέσου πλάτους με παράλληλες επιφάνειες πελμάτων) Σειρά ΙΡΕ (Αντιστοιχεί στο Euronorm 19-57) Για τη συμπλήρωση της σειράς ΙΡΕ προέκυψαν οι διατομές ΙΡΕο, ΙΡΕν και IPES, που δεν είναι προτυποποιημένες. 133

135