ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016

Transcript

1 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016 Β1. Εισαγωγή στις Τάσεις και Παραμορφώσεις Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών Β1. Τάσεις και Παραμορφώσεις 1

2 Σκοποί ενότητας Να συμφιλιωθεί ο φοιτητής με ο αντικείμενο της Αντοχής των υλικών. Να εξοικειωθεί με τις έννοιες της τάσης και της παραμόρφωσης. Να γνωρίσει τις σχέσεις που συνδέουν την τάση και την παραμόρφωση. Να αντιληφθεί τα κριτήρια αστοχίας. Να εξοικειωθεί με πειράματα μηχανικής φόρτισης (εφελκυσμός, θλίψη, κλπ). Β1. Τάσεις και Παραμορφώσεις 2

3 Περιεχόμενα ενότητας Εισαγωγή Παραδοχές Χαρακτηρισμός φορτίων Χαρακτηρισμός φορέων Ορισμός τάσης Είδη παραμόρφωσης Νόμος Hooke Καμπύλες μηχανικής φόρτισης Β1. Τάσεις και Παραμορφώσεις 3

4 Εισαγωγή Πολλά δομικά στοιχεία όπως ράβδοι, δοκοί, κολώνες, άξονες, δοχεία πίεσης κ.α χρησιμοποιούνταν ανέκαθεν σχεδόν σε όλους τους τομείς της καθημερινότητας και αποτελούν θεμελειώδη στοιχεία πάνω στα οποία στηρίζεται ο πολιτισμός. Τα υλικά από τα οποία αποτελούνται τα δομικά υλικά ποικίλουν. Κατασκευάζονται κυρίως από διάφορα μέταλλα, σκυρόδεμα, πλαστικό, ξύλο. Σε αυτό το χωρίο του μαθήματος θα ασχοληθούμε με την μηχανική συμπεριφορά αυτών των δομικών στοιχείων σε διάφορες καταπονήσεις (κυρίως εφελκυσμό, θλίψη, κάμψη, στρέψη). Β1. Τάσεις και Παραμορφώσεις 4

5 Αντικείμενο της Αντοχής των Υλικών Είναι η μελέτη της συμπεριφοράς ενός δομικού στοιχείου ή ενός τμήματος μιας κατασκευής όταν αυτή καταπονείται με εξωτερικά φορτία ή φορτία που προκύπτουν από θερμοκρασιακές μεταβολές, μεταβολές πίεσης, εσωτερικές ατέλειες κτλ. Αναπτύσσει δηλαδή τις σχέσεις που συνδέουν τα εξωτερικά φορτία με τις εσωτερικές δυνάμεις και παραμορφώσεις που αναπτύσσονται στο σώμα Β1. Τάσεις και Παραμορφώσεις 5

6 Σκοπός της Αντοχής των Υλικών Σκοπός της είναι η παροχή στοιχείων για την διαμόρφωση των κατασκευών με τον ασφαλέστερο και οικονομικότερο τρόπο αλλά και την μέγιστη εκμετάλλευση διαθέσιμων υλικών και μεθόδων αλλά και αναζήτηση νέων μεθόδων μόρφωσης κατασκευών. Β1. Τάσεις και Παραμορφώσεις 6

7 Τρόποι επίτευξης σκοπού της Αντοχής των Υλικών Οι τρόποι που επιτυγχάνεται αυτό είναι : Ο υπολογισμός του μέγιστου φορτίου που μπορεί να δεχτεί ένας φορέας. Η πρόβλεψη των κρίσιμων διατομών που είναι υποψήφιες για να οδηγήσουν το δομικό στοιχείο στην αστοχία. Ο προσδιορισμός των ανώτατων αλλά και των επιτρεπτών ορίων φόρτισης των διαφόρων υλικών σε όλα τα είδη φόρτισης Ο καθορισμός του προφίλ της διατομής των φορέων αλλά και η διαστασιολόγηση της με τρόπο τέτοιο ώστε να μπορούν να παραλάβουν με ασφάλεια τα φορτία που καλούνται να δεχτούν. Β1. Τάσεις και Παραμορφώσεις 7

8 Η Αντοχή των Υλικών ως διεπιστημονική γνώση Η αντοχή υλικών είναι ένα απαραίτητο εργαλείο πουχρησιμοποιούν πλήθος επιστημονικών κλάδων όπως οι: 1. Πολιτικοί μηχανικοί 2. Μηχανολόγοι Αεροναυπηγοί 3. Χημικοί Μηχανικοί 4. Μεταλλειολόγοι Μηχανικοί 5. Μεταλλουργοί 6. Ηλεκτρολόγοι Ηλεκτρονικοί Β1. Τάσεις και Παραμορφώσεις 8

9 Επιστημονικός κλάδος στον οποίο εντάσσεται η Αντοχή των Υλικών Η Αντοχή υλικών όπως και η θεωρία της ελαστικότητας περιλαμβάνονται στην επιστήμη της τεχνικής μηχανικής των παραμορφώσιμων σωμάτων. Στηρίζεται τόσο σε εμπειρικούς τύπους που προέκυψαν από πειραματικές μετρήσεις όσο και σε ακριβείς μαθηματικές αναλύσεις και μαθηματικά υπολογιστικά μοντέλα. Χρησιμοποιείται στην επίλυση πλήθους πρακτικών προβλημάτων χρησιμοποιώντας απλές αναλυτικές μεθόδους. Β1. Τάσεις και Παραμορφώσεις 9

10 Παραδοχές της Αντοχής των Υλικών Παραδοχή συμπαγούς σώματος : Κάθε σημείο έχει τις αυτές ιδιότητες, έτσι και κάθε στοιχειώδες τμήμα του υλικού έχει τις αυτές ελαστικές ιδιότητες όπως όλο το σώμα. Παραδοχή ελαστικού σώματος : Τα υλικά κατασκευών μπορούν να θεωρηθούν ως απολύτως ελαστικά σώματα εντός συγκεκριμένων ορίων που εξαρτώνται από τις ιδιότητες των υλικών. Β1. Τάσεις και Παραμορφώσεις 10

11 Χαρακτηρισμός υλικών ΟΜΟΓΕΝΕΣ : όταν έχει σε κάθε σημείο τις ίδιες ιδιότητες. ΙΣΟΤΡΟΠΟ : όταν έχει σε όλες τις διευθύνσεις τις ίδιες ιδιότητες. ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΟ: όταν οι ιδιότητες είναι διαφορετικές ανά διεύθυνση ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΕΛΑΣΤΙΚΟ : όταν οι παραμορφώσεις μεταβάλλονται ανάλογα με τις επιβαλλόμενες δυνάμεις. Β1. Τάσεις και Παραμορφώσεις 11

12 Χαρακτηρισμός δυνάμεων ΔΥΝΑΜΕΙΣ Ανάλογα με τον τρόπο που ασκούνται Ανάλογα με την περιοχή που καταλαμβάνουν ΣΤΑΤΙΚΕΣ Ή ΗΜΙΣΤΑΤΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΙΚΕΣ Ή ΚΡΟΥΣΤΙΚΕΣ ΜΟΝΑΧΙΚΕΣ Ή ΣΥΓΚΕΝΤΡΩ ΜΕΝΕΣ ΚΑΤΑΝΕΜΗ ΜΕΝΕΣ Β1. Τάσεις και Παραμορφώσεις 12

13 Χαρακτηρισμός φορτίων ΗΜΙΣΤΑΤΙΚΑ : όταν αυξάνουν ομαλά, διατηρούνται για μικρό χρονικό διάστημα και μετά απομακρύνονται. ΜΟΝΙΜΑ Ή ΠΑΓΙΑ: όταν καταπονούν μόνιμα μια κατασκευή (πχ το βάρος της κατασκευής). ΚΡΟΥΣΤΙΚΑ : όταν δρούν απότομα με μεγάλη ισχύ σε μια κατασκευή. ΕΝΑΛΛΑΣΟΜΕΝΑ : όταν μεταβάλλονται με το χρόνο (για πολλές χιλιάδες ή εκατομμύρια κύκλους). Β1. Τάσεις και Παραμορφώσεις 13

14 Είδη απλών φορέων υπενθύμιση Εδώ βλέπουμε τα κύρια είδη απλών φορέων. Οι απλοί φορείς αν συνδιαστούν μπορούν να δώσουν πλήθος σύνθετων χωρικών κατασκευών όπως αυτές που ακολουθούν. Β1. Τάσεις και Παραμορφώσεις 14

15 Είδη σύνθετων φορέων a b d e A: τοξοτός φορέας 1 B: τοξοτός φορές 2 C: πλαίσιο D: κελυφωτός φορέας E: δικτύωμα F: καλωδιωτός φορέας G : πλαισιο 2 c f g Β1. Τάσεις και Παραμορφώσεις 15

16 Τρόποι αστοχίας μιας κατασκευής Το υλικό του στοιχείου αστοχεί πλήρως και επέρχεται θραύση Το υλικό έχει υποστεί εκτεταμένη παραμόρφωση και γίνεται ακατάλληλο προς χρήση Η κατασκευή είναι ασταθής και δεν μπορεί να δεχτεί μεγάλα φορτία Β1. Τάσεις και Παραμορφώσεις 16

17 Πρόληψη αστοχίας Συρματόσχοινο Δοκός Βάρος Εστω ότι μελετάμε τη συγκεκρημένη ανυψωτική κατασκευή. Τα ερωτήματα που προκύπτουν και πρέπει να μελετηθούν είναι πολλα. Β1. Τάσεις και Παραμορφώσεις 17

18 Ερωτήματα που εγείρονται Ποιό το βάρος και οι διαστάσεις του φορτίου Ποιό το κέντρο βάρους Ποιά η συναρμογή του συστήματος των ράβδων με το υπόλοιπο σύστημα Ποιό το υλικό των ράβδων Τι διατομή θα έχουν οι ράβδοι Ποιο το υλικό των συρματόσχοινων και ποιά η διατομή τους Β1. Τάσεις και Παραμορφώσεις 18

19 Τάσεις και Παραμορφώσεις στα Υλικά Β1. Τάσεις και Παραμορφώσεις 19

20 Τάσεις στις 3 διαστάσεις Η έννοια του «απειροελάχιστου κύβου» για την μελέτη των τάσεων/ παραμορφώσεων σε πραγματικά υλικά. Τάσεις εξασκούνται κάθετα στις πλευρές του κύβου (ορθές τάσεις) αλλά και στα επίπεδα των πλευρών Λόγω συμμετρίας η ανάλυση γίνεται μόνο στην θετική φορά των τριών πλευρών του σχήματος Β1. Τάσεις και Παραμορφώσεις 20

21 Ορθές και Διατμητικές Τάσεις Στον απειροελάχιστο «κύβο» εξασκούνται 3 ορθές και 6 διατμητικές τάσεις. Οι τάσεις συμβολίζονται ως εξής: σ ij Το i αναφέρεται στο επίπεδο που η τάση δρα Το j αναφέρεται στην παραλληλία με άξονα συντεταγμένων Κάθε «επίπεδο» ορίζεται από τον κάθετο άξονα του. Π.χ. yz =x, xy =z, xz =y Β1. Τάσεις και Παραμορφώσεις 21

22 Διατμητικές Τάσεις (1/2) Σε κατάσταση ισορροπίας οι διατμητικές τάσεις που ασκούνται σε 2 κάθετα επίπεδα είναι ίσες μεταξύ τους και κατευθύνονται προς την κοινή ακμή των επιπέδων ή απομακρύνονται από αυτή (Cauchy). Β1. Τάσεις και Παραμορφώσεις 22

23 Διατμητικές Τάσεις (2/2) z τ zy τ yz. C τ yz τ zy y x Σε κατάσταση ισορροπίας αν πάρουμε τις ροπές ως προς το C έχουμε: dz dy zydxdy yzdxdz 2 2 Εάν κάνουμε την ίδια άσκηση για όλες τις διατμητικές τάσεις προκύπτει:,, xy yx zx xz zy yz Β1. Τάσεις και Παραμορφώσεις 23

24 Ορθές και Διατμητικές Τάσεις Άρα οι 6 τάσεις που επενεργούν στον απειροελάχιστο κύβο είναι Ορθές τάσεις:,, xx x yy y zz z Διατμητικές τάσεις:,, xy yx zx xz zy yz Συμβολισμοί I xx yy zz xy yx xz zx yz zy II x y z xy xy xz zx yz zy III Β1. Τάσεις και Παραμορφώσεις 24

25 Τανυστές Τάσεων Εαν και οι 6 τάσεις είναι γνωστές τότε γνωρίζουμε πλήρως την εντατική κατάσταση του σώματος. Οι πιο πάνω συνιστώσες αποτελούν τα στοιχεία του τανυστή τάσης ij xx yx zx Εάν επιλέξουμε ένα σύστημα αξόνων για τους οποίους οι διατμητικές τάσεις μηδενίζονται τότε οι εναπομένουσες ορθές τάσεις ονομαζονται κύριες τάσεις. Ο αντίστοιχος σ ij είναι: ij x 0 0 xy yy zy 0 0 y xz yz zz 0 0 z Β1. Τάσεις και Παραμορφώσεις 25

26 Ορισμός Παραμόρφωσης Παραμόρφωση ορίζεται ως το σύνολο των μετατοπίσεων των σημείων ενός σώματος που οδηγούν στην μεταβολή της γεωμετρίας του σχήματος. Μακροσκοπικά εκφράζεται από το παρακάτω σχήμα. Β1. Τάσεις και Παραμορφώσεις 26

27 Αξονική Παραμόρφωση Ως ανηγμένη παραμόρφωση ή απλά παραμόρφωση, ε, ορίζεται ο λόγος: ' ' l l l l 1 l l l Β1. Τάσεις και Παραμορφώσεις 27

28 Διατμητική Παραμόρφωση Η γωνιακή ή διατμητική παραμόρφωση, γ (σε ακτίνια rad), στο στοιχείο κύβου σε επίπεδη εντατική παραμόρφωση ορίζεται ως: tan Β1. Τάσεις και Παραμορφώσεις 28

29 Είδη Παραμόρφωσης Ελαστική παραμόρφωση το σώμα επανέρχεται στο αρχικό του σχήμα όταν πάψει να ενεργεί η δύναμη που προκάλεσε την παραμόρφωση. Παράδειγμα ελαστικής παραμόρφωσης είναι αυτή ενός ελατηρίου, που επανέρχεται στο αρχικό του μήκος μόλις πάψει να του ασκείται δύναμη. Η ελαστική παρμόρφωση περιγράφεται μαθηματικά από το νόμο του Hooke. Πλαστική παραμόρφωση είναι αυτή που είναι μόνιμη, δηλαδή το σώμα δεν επανέρχεται στο αρχικό του σχήμα. Παράδειγμα μπορεί να είναι το τράβηγμα ενός κομματιού πλαστελίνης, το ξεχύλωμα μιας πλαστικής σακούλας κλπ. Β1. Τάσεις και Παραμορφώσεις 29

30 Παραμόρφωση σημείου (1D) Απαραμόρφωτο Παραμορφωμένο Τα σημεία P και Q μετακινούνται στις θέσεις P' και Q'. Οι αξονικές μετατοπίσεις είναι: u p u (1) u u ( u u ) uu (2) Q p Q p Η παραμόρφωση στο P υπολογίζεται στο όριο της παραμόρφωσης του x 0. uu u u du (1), (2) p lim lim x 0 x x 0 x dx Β1. Τάσεις και Παραμορφώσεις 30

31 Αξονική παραμόρφωση ράβδου Απαραμόρφωτη (αριστερά) και αξονικά παραμορφωμένη (δεξιά) δοκός. P τάση A ορθή παραμόρφωση L Το διπλάσιο φορτίο απαιτείται για να πάρουμε την ίδια παραμόρφωση όταν διπλασιάζεται η διατομή και η μετατόπιση παραμένει η ίδια (. 2P 2 A L P A Β1. Τάσεις και Παραμορφώσεις Αν διπλασιάσουμε το μήκος και κρατήσουμε την ίδια διατομή, A, η παραμόρφωση θα παραμείνει η ίδια μόνο όταν η μετατόπιση διπλασιαστεί. P A 2 2L L 31

32 Παραμόρφωση ενός σώματος (γενικά) Β1. Τάσεις και Παραμορφώσεις 32

33 Παραμόρφωση στις 2 διαστάσεις (1/3) y D C γ 2 D C dy A (u, v) (u, v) γ 1 B A dx B Β1. Τάσεις και Παραμορφώσεις 33 x

34 ΑΒ dx (1) Παραμόρφωση στις 2 διαστάσεις (2/3) u v u u v A B dx dx dx = dx 12 (2) x x x x x u v Για σχετικά μικρές μεταβολές:, 0 x x y u u και 12 1 (3) x x u (διωνυμική σειρά για 1) x u (2),(3) AB dx dx (3) D x Τέλος η ορθή παραμόρφωση xx δίνεται από: επιμήκυνση AB AB u dy xx (4) αρχικό μήκος AB x (4) Τελικό αποτέλεσμα στις 2 διαστάσεις: u v xx, yy x y 2 2 A Β1. Τάσεις και Παραμορφώσεις D C γ 1 B A (u, v) (u, v) dx γ 2 B 34 C x

35 Παραμόρφωση (διατμητική) στις 2 διαστάσεις (3/3) γ 2 γ 1 Οι διατμητικές παραμορφώσεις βρίσκονται από τις εφαπτόμενες του σχήματος: v v dx u 1 tan x x v x 1 tan 1 1 u u dx dx 1 x x x v u Επομένως: 1, 2 x y Β1. Τάσεις και Παραμορφώσεις 35

36 Συνολικές διατμητικές παραμορφώσεις Η συνολική διατμητική παραμόρφωση στο xy επίπεδο είναι: v xy 12 x u y Ανάλογα οι διατμητικές παραμορφώσεις στα άλλα επίπεδα είναι: xz u w, v w yz z x z y Β1. Τάσεις και Παραμορφώσεις 36

37 Τυχαία παραμόρφωση σώματος στις 3 διαστάσεις (1/2) * (a) Αρχική κατάσταση σώματος (b) Παραμορφωμένο π σώμα *Στο σχήμα δεξιά έχoυν παραληφθεί για συντομία τα μήκη dx και dy. Β1. Τάσεις και Παραμορφώσεις 37

38 Τυχαία παραμόρφωση σώματος στις 3 διαστάσεις (2/2) Το P( xy, ) μετακινείται στο P': ( x uy, v) u v Το Q( xdx, y) μετακινείται στο Q': ( xu dx dx, yv dx) x x u v Το R( xy, dy) μετακινείται στο R': ( x u dy, y v dy dy) y y u u v v Το S( x dx, y dy) μετακινείται στο S': ( x u dx dx dy, y vdy dy dy) x y x y Για να εκφράσουμε τις παραμορφώσεις σε όρους μετακίνησης έχουμε: xx PQ x dx Κατ' αναλογία: PQ xx u xu dx dx x u dx x dx u, x y yy yy zz w z v y v dy dy y v dy PR PR y v dy dy y Β1. Τάσεις και Παραμορφώσεις 38

39 Συνολική παραμόρφωση Η παραμόρφωση εκφράζει την ανα μονάδα μήκους επιμήκυνση ή βράχυνση για ορθές παραμορφώσεις και την μετατόπιση της ορθής γωνίας για διατμητικές παραμορφώσεις. Β1. Τάσεις και Παραμορφώσεις 39

40 Ο τανυστής παραμόρφωσης Η εφαρμογή τάσεων επιφέρει παραμορφώσεις. Όπως έχει ήδη προαναφερθεί υπάρχουν δύο διαφορετικοί τύποι, η ανηγμένη (εκτατική) παραμόρφωση και η διατμητική παραμόρφωση. Για μικρές τιμές παραμορφώσεων η συνολική κατάσταση παραμόρφωσης του υλικού μπορεί να εκφραστεί με τον αντίστοιχο τανυστή παραμόρφωσης x xy xz ij yx y yz zx zy z Όπως και στην περίπτωση των τάσεων και επειδή το στερεό δεν περιστρέφεται έχουμε:,, xy yx xz zx yz zy Β1. Τάσεις και Παραμορφώσεις 4. Τάσεις και Παραμορφώσεις/ Μηχανική Υλικών

41 Γενικευμένος νόμος Hooke (1/3) Έχουμε εξετάσει ήδη την γενική εντατική κατάσταση πάνω σε ένα απειροελάχιστο κύβο που αποτελεί τη «σημειακή» μας αναφορά. Η μακροσκοπική σχέση μεταξύ τάσης και παραμόρφωσης δεν είναι προφανής (εκτός εάν αναφερόμαστε σε ένα τέλειο κρύσταλλο γνωστής γεωμετρίας και σταθερών δεσμού). Μπορούμε όμως να υποθέσουμε ότι κάθε συνιστώσα της τάσης συνδέεται γραμμικά με κάθε συνιστώσα παραμόρφωσης (με άλλα λόγια η επιβολή μιας ορισμένης τάσης επιφέρει παραμορφώσεις σε όλα τα επίπεδα και διευθύνσεις που εξετάσαμε). Β1. Τάσεις και Παραμορφώσεις 4. Τάσεις και Παραμορφώσεις/ Μηχανική Υλικών

42 Θέλουμε λοιπόν να εκφράσουμε όλες τις τάσεις που εξασκούνται στο στερεό σώμα ως συνάρτηση των έξι ανεξαρτήτων συνιστωσών παραμόρφωσης. yz xz xy z y x yz yz xz xy z y x y yz xz xy z y x x F E D C B A.. F E D C B A F E D C B A εξισώσεις που περιέχουν 36 ελαστικές σταθερές A n, B n...f n Γενικευμένος νόμος Hooke (2/3) 4. Τάσεις και Παραμορφώσεις/ Μηχανική Υλικών Β1. Τάσεις και Παραμορφώσεις

43 Γενικευμένος νόμος Hooke (1/3) Οι έξι εξισώσεις μπορούν να παρασταθούν συνοπτικά με την εξίσωση: ij c ijkl ij Τανυστές 2ας τάξης (συνήθως 3Χ3 στοιχείωνεδώ περιέχουν 6 ανεξάρτητες μεταβλητές) Τανυστής 4ης τάξης (συνήθως 9Χ9 στοιχείωνεδώ περιέχει 36 ελαστικές σταθερές) Η πιο πάνω εξίσωση αποτελεί το γενικευμένο νόμο του Hooke για τα στερεά σώματα και για μικρές παραμορφώσεις (γραμμική προσέγγιση). Ο αριθμός των ελαστικών σταθερών που απαιτούνται εξαρτάται από το βαθμό ανισοτροπίας στις ιδιότητες του στερεού σώματος. Β1. Τάσεις και Παραμορφώσεις 4. Τάσεις και Παραμορφώσεις/ Μηχανική Υλικών

44 Παραδείγματα μητρώων ελαστικών σταθερών Εντελώς ανισότροπο (21 ελαστικές σταθερές) Ορθότροπο (9 ελαστικές σταθερές) Εγκαρσίως ισότροπο (5 ελαστικές σταθερές) Ανεξάρτητο Μηδενικό Ισο Κρύσταλλος κυβικού συστήματος (3 ελαστικές σταθερές) Ισότροπο (2 ελαστικές σταθερές) Μονο κρύσταλλοι πολλών γνωστών υλικών δεν μπορούν να μελετηθούν μηχανικά χωρίς τη γνώση των ως άνω κρυσταλλικών τους σταθερών. Πχ. το πυρίτιο (Si) που ανήκει στο κυβικό σύστημα χρειάζεται 3 ελαστικές σταθερές για τον πλήρη μηχανικό χαρακτηρισμό του. Β1. Τάσεις και Παραμορφώσεις 4. Τάσεις και Παραμορφώσεις/ Μηχανική Υλικών

45 Ισότροπα υλικά και τεχνικές σταθερές (1/2) Σε αυτή την περίπτωση όλοι οι άξονες είναι ισοδύναμοι: C C C C C C C C Οι ελαστικές (μαθηματικές) σταθερές συνδέονται με τις σταθερές Lamé: G C C 1 C Σε ισότροπα υλικά που εμφανίζουν γραμμική ελαστικότητα, όπως είναι τα μέταλλα και τα κράματά τους, τα κεραμικά και κάποια πολυμερή, οι παραμορφώσεις και οι τάσεις στην ελαστική περιοχή συνδέονται μεταξύ τους με γραμμικό τρόπο μέσω μιας τεχνικής σταθεράς που ονομάζουμε μέτρο Young, E (από νόμο Hooke) και του λόγου Poisson, ν, που εκφράζει συρρίκνωση ή διαστολή στην εγκάρσια διεύθυνση. Οι τεχνικές σταθερές συνδέονται με τις σταθερές Lamé με τις σχέσεις: E G 2 3 2G G G Μία άλλη σημαντική σχέση που προκύπτει είναι αυτή που συνδέει το μέτρο διάτμησης, G, με το μέτρο ελαστικότητας, E, και το λόγο Poisson, ν: G E 2(1 ) Β1. Τάσεις και Παραμορφώσεις 4. Τάσεις και Παραμορφώσεις/ Μηχανική Υλικών

46 Ισότροπα υλικά και τεχνικές σταθερές (2/2) Χρειαζόμαστε μόνο 2 τεχνικές σταθερές για να προσδιορίσουμε τη συμπεριφορά ενός ισότροπου υλικού σε εφελκυσμό ή θλίψη ΓΙΑ ΜΙΚΡΕΣ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ. Ο λόγος του Poisson, ν, είναι ο λόγος της παραμόρφωσης στη διεύθυνση j προς την παραμόρφωση στη διεύθυνση i, όταν επιβάλλεται παραμόρφωση μόνον στη διεύθυνση i. Το αρνητικό πρόσημο εξασφαλίζει ότι όταν πχ επιβάλλεται εφελκυσμός (διαστολή) στη μια διεύθυνση σε μια από τις εγκάρσιες διευθύνσεις θα προκύψει θλίψη (συστολή): j vij,i, i j Αν πάρουμε την περίπτωση του μονοαξονικού εφελκυσμού με τάση σ x τότε οι παραμορφώσεις στις 3 διευθύνσεις (βλ. σχήμα) θα δίνονται από: x x x x, y, z E E E Β1. Τάσεις και Παραμορφώσεις 4. Τάσεις και Παραμορφώσεις/ Μηχανική Υλικών

47 Τριαξονική φόρτιση Κάθε στοιχείο παραμόρφωσης συνδέεται γραμμικά με το φορτίο που το προκαλεί. Η παραμόρφωση που προκύπτει είναι μικρή και δεν αλλάζει τις συνθήκες εφαρμογής του φορτίου στις άλλες διευθύνσεις. Για τριαξονική φόρτιση ισχύει η αρχή της επαλληλίας (περισσότερα στο επόμενο κεφάλαιο): E E E,, xx xx yy zz yy yy xx zz zz zz xx yy Β1. Τάσεις και Παραμορφώσεις 4. Τάσεις και Παραμορφώσεις/ Μηχανική Υλικών

48 Μηχανές μηχανικής φόρτισης (1/2) δοκίμιο Β1. Τάσεις και Παραμορφώσεις 48

49 Μηχανές μηχανικής φόρτισης (2/2) Τυπική μηχανή εφελκυστικής φόρτισης δοκιμίων. Β1. Τάσεις και Παραμορφώσεις Τυπικό μεταλλικό δοκίμιο που υφίσταται αξονική φόρτιση με φορτίο P and επιμήκυνση L > L0. 49

50 Καμπύλες τάσης παραμόρφωσης: ψαθυρά υλικά Θραύση Διάγραμμα τάσης-παραμόρφωσης για ένα τυπικό ψαθυρό υλικό. Δοκίμιο που έχει υποστεί ψαθυρή θραύση. Β1. Τάσεις και Παραμορφώσεις 50

51 Ψαθυρά και Όλκιμα Υλικά MPa MPa Β1. Τάσεις και Παραμορφώσεις 51

52 Καμπύλες εφελκυσμού/ Κρίσιμες τιμές (Αγγλική ορολογία) Β1. Τάσεις και Παραμορφώσεις 52

53 Ανάλυση καμπύλης φόρτισης (εφελκυσμός θλίψη) Στην συγκεκριμένη καμπύλη τάσηςπαραμόρφωσης στον εφελκυσμό διακρίνονται 2 περιοχές καταπόνησης. Αρχικά η ελαστική περιοχή όπου ισχύει ο νόμος Hooke σ=ε ε, στη συνέχεια η ελαστοπλαστική όπου σχηματίζεται «λαιμός». Στη θλίψη το δοκίμιο λυγίζει μετά από μια κρίσιμη τιμή φορτίου. Β1. Τάσεις και Παραμορφώσεις 53

54 Ορισμός μέτρου ελαστικότητας Β1. Τάσεις και Παραμορφώσεις 54

55 Χαρακτηριστικές ιδιότητες υλικού που προκύπτουν από [σ ε] Ολκιμότητα : εκφράζει την ικανότητα των υλικών να διαρέουν. Είναι μέτρο της πραγματικής παραμόρφωσης μέχρι την θραύση και της μείωσης της επιφάνειας. Όλκιμο χαρακτηρίζεται ένα υλικό που μπορεί να παραλάβει μεγάλες πλαστικές παραμορφώσεις. Ψαθυρό χαρακτηρίζεται ένα υλικό που θραύεται πρίν αποκτήσει μεγάλη παραμόρφωση. Ολκιμότητα και ψαθυρότητα δεν είναι ιδιότητες των υλικών (όπως ο λόγος Poisson, ν, ή το μέτρο ελαστικότητας, Ε) και μεταβάλλονται ανάλογα με τις συνθήκες της καταπόνησης. Β1. Τάσεις και Παραμορφώσεις 55

56 Κρίσιμες τιμές Όριο ελαστικότητας : η μέγιστη ορθή τάση που δύναται να ανπτυχθεί χωρίς να παρουσιαστούν στο δοκίμιο μακροσκοπικά μόνιμες ή πλαστικές παραμορφώσεις Όριο διαρροής : η τάση εκείνη κατά την οποία παρατηρείται σημαντική αύξηση της παραμόρφωσης χωρίς αύξηση της τάσης και πέραν αυτής η παραμόρφωση παύει να είναι ελαστική και γίνεται πλαστική. Όριο αντοχής : η τάση πέραν της οποίας παρατηρείται εγκάρσια παραμόρφωση (στένωση, λαιμός) του δοκιμίου. Συμβατικό όριο διαρροής : η τάση εκείνη που επιφέρει στο δοκίμιο μία μετρήσιμη μόνιμη παραμόρφωση. Β1. Τάσεις και Παραμορφώσεις 56