TEXNIKH MHXANIKH 6. ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ-ΘΛΙΨΗ

Transcript

1 TEXNIKH MHXANIKH 6. ΓΚΛΩΤΣΟΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ Τμήμα Μηχανικών Βιοϊατρικής Τεχνολογίας Πανεπιστήμιο Δυτικής Αττικής Δεκέμβριος 018 1

2 ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΕΙΣ Είδη καταπονήσεων Εφελκυσμός: προκαλείται από την επίδραση δύο αντίθετων δυνάμεων που έχουν την τάση να επιμηκύνουν το υλικό Θλίψη: προκαλείται από την επίδραση δύο αντίθετων δυνάμεων που έχουν την τάση να συμπιέσουν το υλικό Διάτμηση: προκαλείται από την επίδραση δύο αντίθετων δυνάμεων οι οποίες έχουν την τάση να ψαλιδίσουν το υλικό Κάμψη: προκαλείται από την επίδραση δυνάμεων που έχουν την τάση να κάμψουν/καμπυλώσουν το υλικό Λυγισμός: προκαλείται από την επίδραση δύο αντίθετων δυνάμεων που έχουν την τάση να συμπιέσουν και να κάμψουν το υλικό Στρέψη: προκαλείται από την επίδραση δύο αντίθετων ροπών που έχουν την τάση να στρέψουν το υλικό Πηγή: Βουθούνης, Π.Α., Τεχνική Μηχανική, 011

3 ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΕΙΣ Διαγράμματα εφελκυσμού: Γραμμικά από Ο-Α (ελαστική περιοχή) Μη γραμμικά από Α-Ε (ελαστική περιοχή) Όριο ελαστικότητας στο Ε Αύξηση παραμόρφωσης χωρίς μεγάλη αύξηση των τάσεων (ΕΔ1Δ), ακόμα μεγαλύτερη επιμήκυνση (διαρροή) Αύξηση παραμόρφωσης μέχρι το σημείο Θ στο οποίο και θραύεται (σπάει) Εκπαιδευτική προβολή: Διάγραμμα τάσεων για εφελκυσμό - χάλυβας Πηγή: Βουθούνης, Π.Α., Τεχνική Μηχανική, 011 3

4 Γραμμική παραμόρφωση Ανηγμένη παραμόρφωση ε: l ' l l l l Όπου l το αρχικό μήκος του δοκιμίου, l το νέο μήκος του δοκιμίου 4

5 Αριθμητικό παράδειγμα 1 -Έστω δοκίμιο που υφίστανται εφελκυσμό. Το αρχικό μήκος είναι 50cm, ενώ κατά τη διάρκεια του εφελκυσμού επιμηκύνεται στα 50.03cm. Να βρεθεί η ανηγμένη παραμόρφωση ' l l l cm % l l 50 50cm 5

6 Αριθμητικό παράδειγμα α -Έστω κυλινδρική ράβδος με διάμετρο d=10cm και μήκος l=40cm που καταπονείται στην περιοχή ελαστικότητας από εφελκυστικό φορτίο P=500ΚN. Να βρεθεί η επιμήκυνση και η εφελκυστική τάση που ασκείται στη ράβδο δεδομένου συντελεστή ελαστικότητας Ε=00GN/m. 6

7 Αριθμητικό παράδειγμα β P l P l 500kN 40cm l E F d F E GN 10cm m 4 P N0.4m l l m mm 9 N 0.10m l m 4 3 P P 500kN N 7 N MN F d 10cm0.10m m m

8 Αριθμητικό παράδειγμα 3α -Έστω κυλινδρική ράβδος με διάμετρο d=1.5cm και μήκος l=4cm. Η ράβδος επιμηκύνεται μέχρι να υποστεί θραύση. Κατά τη διάρκεια του πειράματος μετρήθηκε ότι το φορτίο στην ελαστική περιοχή ήταν 900kp, η επιμήκυνση στην ελαστική περιοχή ήταν cm, και το φορτίο θραύσης ήταν 1400kp. Να βρεθεί η μέγιστη τάση στην περιοχή ελαστικότητας/αναλογίας, η τάση θραύσης και το μέτρο ελαστικότητας του υλικού. 8

9 Αριθμητικό παράδειγμα 3β l cm l 4cm PA PA 900kp kp A F d cm cm 4 4 P P 1400kp kp F d cm cm 4 4 kp kp cm cm 1kp9.8 N 5 N GN cm cm 4 9

10 Αριθμητικό παράδειγμα 4 -Έστω κυλινδρική ράβδος με διάμετρο d=cm και μήκος l=5cm. Η ράβδος επιμηκύνεται μέχρι να υποστεί θραύση. Κατά τη διάρκεια του πειράματος μετρήθηκε ότι το φορτίο στην ελαστική περιοχή ήταν 500kp, η επιμήκυνση στην ελαστική περιοχή ήταν cm, και το φορτίο θραύσης ήταν 1100kp. Να βρεθεί η μέγιστη τάση στην περιοχή ελαστικότητας/αναλογίας, η τάση θραύσης και το μέτρο ελαστικότητας του υλικού. Άσκηση για μελέτη στο σπίτι 10

11 Αριθμητικό παράδειγμα 5α -Έστω κωνική ράβδος με ελάχιστη διάμετρο d=5cm, μέγιστη διάμετρο D=15cm και μήκος 50cm. Η ράβδος καταπονείται στην περιοχή ελαστικότητας από εφελκυστικό φορτίο P=500N. Να βρεθεί η επιμήκυνση της ράβδου δεδομένου συντελεστή ελαστικότητας Ε=0MN/cm. Να βρεθεί η ελάχιστη και η μέγιστη εφελκυστική τάση που ασκείται στην ράβδο. Εκπαιδευτική προβολή: 11

12 Αριθμητικό παράδειγμα 5β Έστω τυχαία τομή της ράβδου σε απόσταση y από την κορυφή. Η επιμήκυνση που προκαλείται σε αυτήν την τυχαία/στοιχειώδης τομή μπορεί να υπολογιστεί σύμφωνα με τον νόμο του Hooke ως εξής: P F y l l l Pdy E F y Για να βρω την συνολική επιμήκυνση χρειάζεται να ολοκληρώσω (να αθροίσω) όλες τις στοιχειώδης επιμηκύνσεις που συμβαίνουν για κάθε στοιχειώδες τμήμα dy: l l P dy P dy E F y E F y 0 0 l 1

13 Αριθμητικό παράδειγμα 5γ Παρατηρώ τα όμοια τρίγωνα και υπολογίζω με βάση τις αναλογίες των όμοιων πλευρών: D d l D d l y d y d y y d y D d D d y y d y l l Το εμβαδόν της τυχαίας τομής F(y) είναι: F y D d d y y l

14 Αριθμητικό παράδειγμα 5δ Άρα, σύμφωνα με τον νόμο του Hooke έχουμε: l 0 0 l P dy P dy P l l E F y E F y E F F P l P l l D d D d E E P l P l l D d Dd E E 4 4 D d 14

15 Αριθμητικό παράδειγμα 5ε P l 500N 50cm l D d 6 N cm 5cm E cm cm P P 500N N d 4 4 max F min cm cm 15

16 Αριθμητικό παράδειγμα 6α -Έστω κωνική ράβδος με ελάχιστη διάμετρο d=5cm, μέγιστη διάμετρο D=15cm και μήκος 50cm που καταπονείται στην περιοχή ελαστικότητας από εφελκυστικό φορτίο P=500N. Να βρεθεί η επιμήκυνση της ράβδου δεδομένου συντελεστή ελαστικότητας Ε=00000N/cm. Να βρεθεί η ελάχιστη και η μέγιστη εφελκυστική καταπόνηση/τάση της ράβδου. 16

17 Αριθμητικό παράδειγμα 6β d D 5 15 F cm 58.87cm P l 500N 50cm l cm E F N cm cm P P 500N N max Fmin d 5cm cm P P 500N N min.8309 Fmax D 15cm cm

18 Αριθμητικό παράδειγμα 7 -Έστω κωνική ράβδος με ελάχιστη διάμετρο d=10cm, μέγιστη διάμετρο D=0cm και μήκος 70cm. Η ράβδος καταπονείται στην περιοχή ελαστικότητας από εφελκυστικό φορτίο P=3000N. Να βρεθεί η επιμήκυνση της ράβδου δεδομένου συντελεστή ελαστικότητας Ε=MN/cm. Να βρεθεί η ελάχιστη και η μέγιστη εφελκυστική τάση που ασκείται στην ράβδο. Άσκηση για μελέτη στο σπίτι 18

19 Αριθμητικό παράδειγμα 8α -Έστω σύρμα που χρησιμοποιείται για την ανύψωση βαρών. Το σύρμα έχει μήκος l=50cm και διάμετρο d=cm. Να υπολογιστεί η επιμήκυνση και η μέγιστη τάση του σύρματος δεδομένου κατακόρυφου φορτίου 500Ν. Το ειδικό βάρος του σύρματος είναι γ=780000n/m 3 και η σταθερά Ε=00GN/m. 1 H/K Τ 19

20 Αριθμητικό παράδειγμα 8β l l l W P P l P l 500N 0.5m lp E F d N 0.0m E 0010 P 9 4 m l m cm cm l W Wl E F Όπου W το βάρος του σώματος. Το ειδικό βάρος γ του σώματος (που έχουμε ως δεδομένο στην άσκηση) συνδέεται με το βάρος του σώματος W μέσω της πυκνότητας ρ και του όγκου V του σώματος ως εξής: m V m W mg W g g V V W V 0

21 Αριθμητικό παράδειγμα 8γ Άρα η επιμήκυνση λόγω του βάρους μπορεί να εκφραστεί ως εξής: W l V l V Fl F l l l lw E F E F E F E N m m l lw m cm 9 N 0010 W m cm Άρα η συνολική επιμήκυνση του σύρματος είναι: l l l cm cm cm W P 1

22 Αριθμητικό παράδειγμα 8δ P W P F l P max P W l F F d F d N N 6 N N max m m m m m 4 MN MN MN max m m m

23 Αριθμητικό παράδειγμα 9 -Έστω σύρμα που χρησιμοποιείται για την ανύψωση βαρών. Το σύρμα έχει μήκος l=30cm και διάμετρο d=1cm. Να υπολογιστεί η επιμήκυνση και η μέγιστη τάση του σύρματος δεδομένου κατακόρυφου φορτίου 800Ν. Το ειδικό βάρος του σύρματος είναι g=750000n/m 3 και η σταθερά Ε=0GN/m. 1 H/K Τ Άσκηση για μελέτη στο σπίτι 3

24 Αριθμητικό παράδειγμα 10α -Έστω δικτύωμα με ΒΓ=ΒΑ=ΓΑ=0cm όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Το δικτύωμα αποτελείται από δύο ίδιες ράβδους (αβαρείς) με διάμετρο 5cm και σταθερά Ε=GN/m. Στο σημείο Α ασκείται φορτίο P=1000Ν. Να βρεθεί η επιμήκυνση της κάθε ράβδου και η νέα θέση (A ) του σημείου A Β Δ Γ Εκπαιδευτική προβολή: θ θ A A P 4

25 Αριθμητικό παράδειγμα 10β P1 P P 0 P1 sin Psin 0 x Αφού το δικτύωμα είναι συμμετρικό 0cm sin cm o Β Δ P1 θ θ P A A P Γ o P1 P P 0 P1 cos Pcos P 0 y P1 cos P P 1000N P1 P N cos cos 30 5

26 Αριθμητικό παράδειγμα 10γ P1 P N 5 N F1 d1 0.05m cm 4 4 P1l P1 BA N 0.m l l 1 E F d E 9 N m 10 4 m 4 5 l l.9410 m=0.0094cm 1 Β Δ P1 θ θ P A A P Γ 6

27 Αριθμητικό παράδειγμα 10δ l l l 0cm cm=0.0094cm ' l l l 0cm cm=0.0094cm ' B cm 0cm cm Β Δ P1 θ θ P A A P Γ ' ' ' ' B cm ' cm cm 7

28 Αριθμητικό παράδειγμα 11α -Έστω δικτύωμα με ΒΓ=ΒΑ=ΓΑ=50cm όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Το δικτύωμα αποτελείται από δύο ράβδους με διάμετρο 4cm, ειδικό βάρος γ=750000n/m 3 και σταθερά Ε=0GN/m. Στο σημείο Α ασκείται φορτίο P=1000Ν. Να βρεθεί η επιμήκυνση της κάθε ράβδου και η νέα θέση (A ) του σημείου Α Β Δ Γ P1 θ θ P A A P 8

29 Αριθμητικό παράδειγμα 11β P1 P P 0 P1 sin Psin 0 x Αφού το δικτύωμα είναι συμμετρικό 50cm sin cm o Β Δ P1 θ θ P A A P Γ o P1 P P 0 P1 cos Pcos P 0 y P1 cos P P 1000N P N cos cos 30 9

30 Αριθμητικό παράδειγμα 11γ l l l P1 P P1l P1 BA N 0.5m lp l 1 P E F d E 9 N m m 4 5 l l m= m= cm W l V l V Fl F l l l lw E F E F E F E N m m l lw m cm 9 N 010 W W P m cm Β Δ P1 θ θ P A A P Γ 30

31 Αριθμητικό παράδειγμα 11δ Β Δ Γ l l l cm cm cm W l l l 50cm cm= ' l l l 50cm cm= ' P P1 θ θ P A A P B cm 50cm cm ' ' ' ' B ' cm 5cm cm 31

32 Αριθμητικό παράδειγμα 11ε P W P F l P max P W l F F d F d N N max m m m 4 MN MN MN max m m m 3

33 Αριθμητικό παράδειγμα 1 -Έστω δικτύωμα με ΒΓ=30cm, ΒΑ=ΓΑ=40cm όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Το δικτύωμα αποτελείται από δύο ράβδους με διάμετρο 3cm, ειδικό βάρος γ=750000n/m 3 και σταθερά Ε=GN/m. Στο σημείο Α ασκείται φορτίο P1=100Ν. Να βρεθεί η επιμήκυνση της κάθε ράβδου και η νέα θέση (A ) του σημείου Α Β Δ Γ θ θ A A P1 Άσκηση για μελέτη στο σπίτι 33

34 Αριθμητικό παράδειγμα 13 -Έστω δικτύωμα με ΒΓ=35cm,, ΒΔ=10cm, ΒΑ=3.787cm, ΓΑ=40cm όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Το δικτύωμα αποτελείται από δύο ράβδους με διάμετρο 3cm, ειδικό βάρος γ=750000n/m 3 και σταθερά Ε=GN/m. Στο σημείο Α ασκείται φορτίο P1=100Ν. Να βρεθεί η επιμήκυνση της κάθε ράβδου και η νέα θέση (A ) του σημείου Α Β Δ Γ θ1 θ A A P1 Άσκηση για μελέτη στο σπίτι 34

35 ΓΛΩΣΣΑΡΙ - ΕΠΕΞΗΓΗΣΕΙΣ Πηγή: Διαδικτυακή ή άλλη πηγή από την οποία ανακτήθηκαν τα δεδομένα (π.χ. εικόνες, γραφήματα, πίνακες) Εκπαιδευτική προβολή: Διαδικτυακό βίντεο που περιγράφει βασικές αρχές λειτουργίας και εφαρμογές Ασκήσεις: Άλυτες ασκήσεις για μελέτη στο σπίτι 35