Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Πρώτη Φάση)

Transcript

1 3 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Πρώτη Φάση) Κυριακή, 8 Ιανουαρίου, 00 ιάρκεια: 3 ώρες Οδηγίες: ) Το δοκίµιο αποτελείται από έξι (6) θέµατα. ) Να απαντήσετε στα ερωτήµατα όλων των θεµάτων. 3) Να εκφράζετε τις απαντήσεις σας, όπου χρειάζεται, µε ακρίβεια δύο σηµαντικών ψηφίων. 4) Όταν σε ένα θέµα δεν δίνονται αριθµητικά δεδοµένα, να εκφράζετε τις απαντήσεις σας ως συνάρτηση µεγεθών ή σταθερών που δίνονται στο αντίστοιχο θέµα. 5) Επιτρέπεται η χρήση µόνο µη προγραµµατισµένης υπολογιστικής µηχανής. 6) εν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού. 7) Τα σχήµατα των θεµάτων δεν είναι υπό κλίµακα. ΘΕΜΑ (5 µονάδες) Α. (α) Να διατυπώσετε τον πρώτο νόµο του Νεύτωνα για την περιστροφική κίνηση, γράφοντας και τις κατάλληλες µαθηµατικές σχέσεις. (,5 µον.) (β) Να γράψετε τους ορισµούς: (i) Ροπή αδράνειας υλικού σηµείου που περιστρέφεται γύρω από άξονα. ( µον.) (ii) Ροπή αδράνειας στερεού σώµατος που περιστρέφεται γύρω από άξονα. ( µον.) (γ) Από ποιους παράγοντες και πως, εξαρτάται η ροπή αδράνειας στερεού σώµατος; (,5 µον.) Β. Οριζόντια κυκλική πλατφόρµα ακτίνας R και µάζας Μ που έχει ροπή αδράνειας I MR περιστρέφεται µε γωνιακή ταχύτητα ω όπως φαίνεται στο διπλανό σχήµα. Πάνω στην R πλατφόρµα και σε απόσταση x υπάρχει στερεωµένος εσωτερικός µηχανισµός µε συµπιεσµένο αβαρές ελατήριο M στο άκρο του οποίου εφάπτεται σφαιρίδιο µάζας m. Τη χρονική στιγµή t 0 0s απελευθερώνεται το ελατήριο και το σφαιρίδιο εκτοξεύεται µε ταχύτητα υ. Τότε η πλατφόρµα αυξάνει τη γωνιακή της ταχύτητα σε ω ω κινούµενη κατά την ίδια φορά όπως και πριν. Από τα δεδοµένα του προβλήµατος (Μ, R, και ω ) να υπολογίσετε: ω ω R x υ (α) Την ταχύτητα του σφαιριδίου υ. (β) Την κινητική ενέργεια του συστήµατος πριν και µετά την εκτόξευση. (γ) Την ενέργεια που αποδόθηκε στο σύστηµα από το ελατήριο. ( µον.)

2 3η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Πρώτη Φάση) ΘΕΜΑ (5 µονάδες) Α. ύο αστροναύτες (ακίνητοι και αποµονωµένοι στο διάστηµα) αποφασίζουν να παίξουν βόλεϊ. Να περιγράψετε εν συντοµία την εξέλιξη του παιχνιδιού, διατυπώνοντας και τη σχετική αρχή πάνω στην οποία στηριχτήκατε. Β. ύο όµοιες σφαίρες Α και Β αµελητέων διαστάσεων, δένονται µεταξύ τους µε λεπτό, ανθεκτικό, αβαρές και µη εκτατό νήµα µήκους. Αρχικά βρίσκονται σε οριζόντιο επίπεδο πολύ κοντά η µια στην άλλη, ώστε να θεωρηθεί ότι τα κέντρα µάζας τους συµπίπτουν. Ρίχνουµε τη σφαίρα Α κατακόρυφα προς τα πάνω µε ταχύτητα υ 0 0g. ίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g. υ 0 h Ζητούνται: (α) Η ταχύτητα υ της σφαίρας Α ακριβώς τη στιγµή που τεντώνει το νήµα. ( µον.) (β) Η κοινή ταχύτητα υ των δύο σφαιρών ακριβώς µετά που θα τεντώσει το νήµα. Να δεχθείτε ότι το νήµα τεντώνει ακαριαία. (3 µον.) (γ) Το µέγιστο ύψος h από το οριζόντιο επίπεδο, στο οποίο θα φτάσει η σφαίρα Α. ΘΕΜΑ 3 (0 µονάδες) ύο οµάδες µαθητών Ο και Ο, χρησιµοποίησαν τις πειραµατικές διατάξεις που φαίνονται στα σχήµατα &, για τη µελέτη της κρούσης δύο αµαξιών. Οι µάζες των αµαξιών Α και Β είναι m 0, kg και m 0,4 kg. Με κατάλληλες επεξεργασίες που έγιναν στα δύο πειράµατα, λήφθηκαν οι γραφικές παραστάσεις του διαγράµµατος του σχήµατος 3, της ορµής κάθε αµαξιού σε συνάρτηση µε το χρόνο. Αφού επιλέξετε την πειραµατική διάταξη της µιας µόνο οµάδας να απαντήσετε στα πιο κάτω ερωτήµατα. Αµαξάκι Β Σχήµα (Οµάδα ) Αµαξάκι Α (α) (β) Ποια όργανα ή υλικά χρησι- µοποιήθηκαν στο πείραµα; Να υπολογίσετε τις ταχυτήτες των αµαξιών (µέτρο και κατεύθυνση) πριν και µετά την κρούση. Αµαξάκι Β Σχήµα (Οµάδα ) Αµαξάκι Α

3 ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 3η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Πρώτη Φάση) (γ) Για το σύστηµα των δύο αµαξιών, να εξετάσετε: (i) αν ισχύει η αρχή διατήρησης της ορµής και (ii) αν η κινητική ενέργεια διατηρείται. (kgms - ) 0,6 0,4 0, 0, Για να καταλήξετε στο συµπέρασµά σας να δεχθείτε αποδεκτά σφάλµατα µέχρι 5%. (6 µον.) 0,08 0,06 (δ) Να καθορίσετε το είδος της κρούσης στο πείραµα. ( µον.) (ε) Να σχεδιάσετε, σε κοινούς βαθµολογηµένους άξονες, τις γραφικές παραστάσεις F f (t) και F f (t) όπου F και F οι µέσες δυνάµεις που ασκούνται στο κάθε αµαξάκι κατά τη διάρκεια της κρούσης. Οι γραφικές παραστάσεις να σχεδιαστούν στα ίδια χρονικά περιθώρια όπως αυτά καθορίζονται στο διάγραµµα του σχήµατος 3. 0,04 0,0 0-0,0-0,04 0 0, 0,4 0,6 0,8 t (s) Σχήµα 3 ΘΕΜΑ 4 (5 µονάδες) Α. (α) Να ορίσετε τη στροφορµή στερεού σώµατος ως προς άξονα περιστροφής. ( µον.) (β) Να διατυπώσετε την αρχή διατήρησης της στροφορµής. ( µον.) (γ) Να αναφέρετε και να περιγράψετε εν συντοµία, µια εφαρµογή της αρχής διατήρησης της στροφορµής στην καθηµερινή ζωή. ( µον.) Β. Σφαιρίδιο µάζας m είναι στερεωµένο µε ειδικό αβαρή µηχανισµό στο κάτω άκρο ράβδου µάζας Μ 3 m που ισορροπεί στην κατακόρυφη θέση. Η ράβδος µπορεί να περιστρέφεται γύρω από το άκρο K χωρίς τριβές και έχει µήκος. Τη χρονική στιγµή t 0 0 s το σφαιρίδιο 3g εκτοξεύεται από το µηχανισµό µε ταχύτητα υ, όπου g η επιτάχυνση της βαρύτητας. Η ράβδος τίθεται σε ταλάντωση γύρω από το άκρο Κ. Να υπολογίσετε (συναρτήσει του µήκους ) το πλάτος ταλάντωσης x 0 της ράβδου. Η ροπή αδράνειας της ράβδου δίνεται από τη σχέση I M 3 ( µον.) υ 3g Κ x 0 3

4 3η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Πρώτη Φάση) ΘΕΜΑ 5 (5 µονάδες) Α. Το σώµα Σ, µάζας m, του διπλανού σχήµατος είναι δεµένο σε ελατήριο σταθεράς Κ και βρίσκεται µέσα σε διαστηµικό σταθµό εκτός πεδίου βαρύτητας. Το σώµα εκτρέπεται από τη θέση ισορροπίας του, κατά µήκος του ελατηρίου και αφήνεται ελεύθερο. Να διερευνήσετε αν το σώµα εκτελεί γραµµική αρµονική ταλάντωση και (αν εκτελεί) να βρείτε την περίοδό της. (7 µον.) θ Σ Β. Σώµα δεµένο στην άκρη νήµατος µήκους είναι στερεωµένο στον ανεµοθώρακα καταδιωκτικού αεροπλάνου που κάνει βύθιση κατακόρυφα προς τα κάτω. Το νήµα εκτρέπεται από τη θέση ισορροπίας του (θ<5 ο ) και αφήνεται ελεύθερο. Να υπολογίσετε τις τιµές της επιτάχυνσης του αεροπλάνου σε συνάρτηση µε την επιτάχυνση της βαρύτητας g, ώστε το σώµα να εκτελεί γραµµική αρµονική ταλάντωση και να καθορίσετε την περίοδό του. (8 µον.) θ α ΘΕΜΑ 6 (0 µονάδες) Α. (α) Τι ονοµάζουµε Γραµµική Αρµονική Ταλάντωση (Γ.Α.Τ.) ( µον.) (β) Να διατυπώσετε την αναγκαία και ικανή συνθήκη ώστε ένα σώµα να εκτελεί Γ.Α.Τ. Να γράψετε και την κατάλληλη µαθηµατική σχέση. ( µον.) Β. Σώµα µάζας M 0,4 kg είναι στερεωµένο σε αβαρές ελατήριο σταθεράς Κ 0 N/m. Εκτρέπουµε το ελατήριο στη θέση Α, σε απόσταση d 0, m και τη χρονική στιγµή t 0 0 s το αφήνουµε ελεύθερο. Όταν το σώµα περνά από τη Θ.Ι. (για δεύτερη φορά) σφηνώνεται σ αυτό σφαίρα µάζας m 0,5 kg που κινείται µε ταχύτητα υ σ 3, m/s. Ο χρόνος που διαρκεί η κρούση είναι αµελητέος. Τριβές δεν υπάρχουν. m0,5kg υ σ 3,m/s Θ.Ι M0,4kg d0,m Α Κ0N/m Ζητούνται: (α) Η µέγιστη ταχύτητα υ 0 του σώµατος πριν την κρούση. (3 µον.) (β) Η ταχύτητα του συστήµατος αµέσως µετά την κρούση (στη Θ.Ι.). (3 µον.) (γ) Η νέα κυκλική συχνότητα ω και το πλάτος ταλάντωσης x 0 του συστήµατος των δύο µαζών µετά την κρούση. (3 µον.) (δ) Η χρονική στιγµή t κατά την οποία το σώµα φτάνει στη µέγιστη θετική αποµάκρυνση του x 0. ( µον.) (ε) Να σχεδιάσετε σε βαθµολογηµένους άξονες τη γραφική παράσταση υ f(t), της ταχύτητας σε συνάρτηση µε το χρόνο, του σώµατος µέχρι τη χρονική στιγµή t. 4

5 3 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Πρώτη Φάση) Κυριακή, 8 Ιανουαρίου, 00 Προτεινόµενες Λύσεις ΘΕΜΑ (5 µονάδες) Α (α) Πρώτος νόµος του Νεύτωνα για την περιστροφική κίνηση: Τα σώµατα τείνουν να διατηρήσουν την κατάσταση ηρεµίας ή περιστροφικής κίνησης τους µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα, όταν η συνιστάµενη ροπή που ασκείται σ αυτά είναι ίση µε µηδέν. Αν ω 0 Σ Μ 0 (,5 µον.) ω σταθερή ή (β) (i) Ροπή αδράνειας υλικού σηµείου µάζας m που περιστρέφεται γύρω από άξονα, ορίζουµε το γινόµενο της µάζας του υλικού σηµείου επί το τετράγωνο της απόστασης του, r από τον άξονα. Η ροπή αδράνειας υλικού σηµείου είναι µονόµετρο µέγεθος και δίνεται από τη σχέση, I mr ( µον.) (ii) Ροπή αδράνειας στερεού σώµατος που περιστρέφεται γύρω από άξονα, ορίζουµε το άθροισµα των γινοµένων των στοιχειωδών µαζών από τα οποία αποτελείται το σώµα, επί τα τετράγωνα των αποστάσεων τους από τον άξονα περιστροφής. Η ροπή αδράνειας στερεού σώµατος είναι µονόµετρο µέγεθος και δίνεται από τη σχέση, n I m i r i ( µον.) i (γ) Η ροπή αδράνειας εξαρτάται από τους πιο κάτω παράγοντες: Μάζα (Μεγαλύτερη µάζα Μεγαλύτερη ροπή αδράνειας). Κατανοµή µάζας (Μεγαλύτερη συγκέντρωση µάζας µακρύτερα από τον άξονα περιστροφής Μεγαλύτερη ροπή αδράνειας). Από τη θέση του άξονα περιστροφής. (,5 µον.)

6 3η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Πρώτη Φάση) Λύσεις Β. (α) Για το σύστηµα πλατφόρµα σφαιρίδιο ισχύει η αρχή διατήρησης της στροφορµής. Lπριν Lµετά ( MR mx ) ω MR ω mυx MR M R MR M R ( ) ω ω υ 4 MR MR 8 8 MR ω MυR 8 MυR ω MR ω υ 4ω R ω ω R x υ (β) E ( Ι Ι ) ω MR ω κινπριν π σφ ω M R 4 5MR E κινπριν ( µον.) 8 Eκινµετά Ιπω mυ ω MR 4ω M 6R ω MR ω 6MR ω 5MR Eκινµετά ( µον.) (γ) E E κινµετά E κινπριν 5MR ω 5MR ω 8 45MR ω 8 5MR ω E ( µον.) ΘΕΜΑ (5 µονάδες) Α. Οι δυο αστροναύτες και η µπάλα θεωρούνται αποµονωµένο σύστηµα σωµάτων. Μόλις ο αστροναύτης Α πετάξει την µπάλα στον αστροναύτη Β, θα κινηθεί, σύµφωνα µε την αρχή διατήρησης της ορµής, µε αντίθετη ορµή απ αυτή της µπάλας. Αυτό θα έχει σαν αποτέλεσµα να αρχίσει να αποµακρύνεται από τον Β. Η µπάλα φτάνει στον αστροναύτη Β. Στην προσπάθεια του να πασάρει προς τον Α, θα κινηθεί µε ορµή που θα έχει αντίθετη κατεύθυνση απ ότι η µπάλα µε αποτέλεσµα τελικά οι δύο αστροναύτες να αποµακρύνονται ο ένας απ τον άλλον. Σε ένα αποµονωµένο σύστηµα σωµάτων ( F 0) παραµένει σταθερή. Σ εξ η ολική ορµή του συστήµατος Συστ.αρχ Συστ.τελ ( µον.) Β. (α) Το νήµα αρχίζει να τεντώνει µόλις η µπάλα Α φτάσει σε ύψος. Από το Θ..Μ.Ε έχουµε: Ε µηχ Ε µηχ mυ0 mg mυ υ g υ 0g g υ 0 υ 8 g ( µον.) υ 0 Θέση Θέση

7 3η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Πρώτη Φάση) Λύσεις (β) Αφού το νήµα τεντώνει ακαριαία δεχόµαστε ότι ισχύει η αρχή διατήρησης της ορµής παρά το γεγονός ότι τα βάρη των σφαιρών είναι εξωτερικές δυνάµεις. (0.5 µον.) αρχ τελ mυ ( m m) υ m 8g mυ υ g (,5 µον.) (γ) Από τη στιγµή που τεντώνει το νήµα, το σύστηµα των δύο σφαιρών κινείται από τη θέση µε ταχύτητα υ µέχρι τελικά, η σφαίρα Α, να φτάσει στο µέγιστο ύψος (θέση 3). Ισχύει το Θ..Μ.Ε. E E µηχ. συστ. µηχ. συστ.3 mg mυ mυ mgh mg( h ) g g gh g 4 h h Θέση 3 Θέση h ΘΕΜΑ 3 (0 µονάδες) (α) Οµάδα : Αεροδιάδροµο, ower, δύο αµαξάκια Α & Β, χαρτονάκια, ειδικές βάσεις µε λαστιχάκια ή ελάσµατα ή ειδικές βάσεις µε µαγνήτες, αισθητήρες κίνησης τοποθετηµένους σε ορθοστάτη, ζυγό, διασύνδεση µε Η.Υ. και οθόνη. Οµάδα : Αεροδιάδροµο, ower, δύο αµαξάκια Α & Β, χαρτονάκια, ειδικές βάσεις µε λαστιχάκια ή ελάσµατα ή ειδικές βάσεις µε µαγνήτες, φωτοδιόδους τοποθετηµένες σε ορθοστάτες, ζυγό, διασύνδεση µε Η.Υ. και οθόνη. Αµαξάκι Β Σχήµα (Οµάδα ) Αµαξάκι Α (β) Από τις γραφικές παραστάσεις του σχήµατος 3 µπορούµε να υπολογίσουµε τα µέτρα των ταχυτήτων των δύο αµαξιών. πριν 0,kgms m υ Α πριν 0,υ υ πριν 0,55m / s πριν 0 µετά m υ Α 0,03kgms 0,υ πριν πριν υ πριν 0m / s µετά 0,υ υ µετά 0,5m / s 0,υ µετά µετά (kgms - ) 0,6 0,4 0, 0, 0,08 0,06 0,04 0,0 0-0,0-0,04 Αµαξάκι Β Αµαξάκι Α Σχήµα (Οµάδα ) 0 0, 0,4 0,6 0,8 Σχήµα 3 t (s) 3

8 3η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Πρώτη Φάση) Λύσεις µετά m υ 0,4υ 0,4kgms 0, 4υ µετά µετά µετά υ µετά 0,35m / s (Να αφαιρεθεί 0,5 µον. αν δεν καθοριστεί η κατεύθυνση των ταχυτήτων µε πρόσηµο ή µε άλλο τρόπο) (γ) συστ πριν συστ. πριν πριν Β 0, 0 0, kgms. µετά µετά Β µετά 0,03 0,4 0, kgms Ισχύει η αρχή διατήρησης της Ορµής αφού συστ.πριν συστ. µετά E E κιν. συστ. πριν κιν. συστ. µετά ( m ( m πριν ) µετά Ελέγχουµε το % σφάλµα: ) ( m ( m πριν ) ) µετά 0, 0,4 ( 0,03) 0,4 0 0,0305J 0,4 0,8, ( µον.) 0,0675J Eκιν 0,0675 0,0305 % σφά λµα.00.00,57% που είναι στα αποδεκτά E 0,0305 κιν. πριν όρια. Έτσι µπορούµε να πούµε ότι η κινητική ενέργεια διατηρείται. (δ) Από τα αποτελέσµατα µας στο (γ) µπορούµε να πούµε ότι η κρούση είναι ελαστική. ( µον.) (ε) F F t t µετά µετά t t πριν πριν 0,03 0, 0,4 0,7N 0,65 0,35 0, 0,4 0 0,4 0,7N 0,65 0,35 0, ( µον.) F (N) 0,8 0,6 0,4 0, 0-0, -0,4-0,6-0,8 F 0 0, 0,4 0,6 0,8 t (s) F ( µον.) 4

9 ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 3η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Πρώτη Φάση) Λύσεις ΘΕΜΑ 4 (5 µονάδες) Α. (α) Στροφορµή στερεού σώµατος ως προς άξονα περιστροφής, ονοµάζουµε το άθροισµα των στροφορµών όλων των υλικών σηµείων από τα οποία αποτελείται το σώµα. Η διεύθυνση της στροφορµής είναι κάθετη στο επίπεδο της κυκλικής τροχιάς των υλικών σηµείων του σώµατος και η φορά της καθορίζεται µε τον κανόνα της δεξιάς παλάµης. n L Li miri ω ω miri L Iω ( µον.) i n i n i (β) Αν η συνισταµένη ροπή των (εξωτερικών) δυνάµεων που ασκούνται σ ένα σώµα (σ ένα σύστηµα σωµάτων) είναι µηδέν, τότε η στροφορµή του παραµένει σταθερή. Αν Σ M 0 L αρχ Lτελ Ι αρχωαρχ Ιτελωτελ ( µον.) (γ) Άλµα κατάδυσης: Όταν ο δύτης πηδά από την εξέδρα, ασκεί δύναµη σ αυτή µε αποτέλεσµα να δηµιουργείται ροπή ως προς το κέντρο µάζας του και να περιστρέφεται. Από τη στιγµή που εγκαταλείπει την εξέδρα, δεν ασκείται σ αυτόν καµιά εξωτερική ροπή µε αποτέλεσµα η στροφορµή του να διατηρείται σταθερή. Για να αυξήσει τη γωνιακή του ταχύτητα, συµµαζεύει το σώµα του, µε αποτέλεσµα η ροπή αδράνειάς του να ελαττώνεται και να περιστρέφεται πιο γρήγορα. Στο τέλος της βουτιάς τεντώνει τα πόδια του ώστε να κτυπήσει στο νερό µε µικρότερη γωνιακή ταχύτητα (LΙωσταθερό). ( µον.) Β. Για το σύστηµα ισχύει η αρχή διατήρησης της στροφορµής πριν και µετά την εκτόξευση. Κ Lαρχ. Lτελ. 0 mυ I ρωρ 3g 3g m m 3g ωρ M 3m 3 3 Το κέντρο µάζας της ράβδου θα ανέλθει κατά h. Ισχύει η αρχή διατήρησης της µηχανικής ενέργειας µεταξύ των θέσεων και. 3g E Mηχ EMηχ I ρωρ Mgh M ωρ Mgh gh h υ 3g φ Α x 0 h Γ Τότε για τη γωνία φ στο σχήµα ισχύει: h ο συνφ 4 φ 60 πό το τρίγωνο ΚΑΓ θα έχουµε ηµφ 5 x0 3 x0 x 0 3 ( µον.)

10 3η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Πρώτη Φάση) Λύσεις ΘΕΜΑ 5 (5 µονάδες) Α. Στην τυχαία θέση y το σώµα δέχεται µόνο την δύναµη F Ky από το ελατήριο, αφού δεν υπάρχει βαρύτητα στο διαστηµικό σταθµό. Άρα, Σ F y F Ky δηλαδή στο σώµα ασκείται δύναµη ανάλογη της αποµάκρυνσης µε φορά προς τη θέση ισορροπίας. Η δύναµη αυτή είναι δύναµη επαναφοράς άρα το σώµα εκτελεί Γ.Α.Τ. µε D K Τότε K D K mω π ω. Αφού T m ω T π Σηµείωση: Αν η θετική φορά επιλεγεί προς τα πάνω τότε ΣF y F Ky και η απάντηση βαθµολογείται ως απόλυτα ορθή αφού η κατεύθυνση της συνιστάµενης δύναµης σ αυτή την περίπτωση συµπίπτει µε την θετική φορά δηλαδή είναι προς τη Θ.Ι. ( µον.) m K θ -Κy φυσικό µήκος ελατηρίου Θ.Ι. y Τ.Θ. Σ Β. Πάνω στο σφαιρίδιο ασκούνται, η τάση του νήµατος S και το βάρος mg. Αναλύουµε την τάση του νήµατος σε δύο συνιστώσες Sηµθ και Sσυνθ (θετική φορά των διανυσµάτων στους δύο άξονες φαίνεται στο σχήµα). Τότε ισχύει, ΣF Sηµθ ΣF x y Sσυνθ mg ma S m( a g ) συνθ y α x Sηµθ mg θ Sσυνθ m( a g) ηµθ m( a g) από τις σχέσεις () και () ΣF x m( a g) εφθ x. Για να συνθ m( a g) µπορεί λοιπόν το σώµα να εκτελεί Γ.Α.Τ. θα πρέπει ο συντελεστής να είναι µεγαλύτερος από µηδέν, ώστε Σ F x Dx m( a g) > 0 a > g (6 µον.) m( a g) a g D mω π ω. Τότε η περίοδος θα είναι T π ω α g ΘΕΜΑ 6 (0 µονάδες) ( µον.) Α. (α) Γραµµική αρµονική ταλάντωση (Γ.Α.Τ.) ονοµάζουµε κάθε περιοδική παλινδροµική κίνηση (µεταξύ δύο ακραίων θέσεων) που γίνεται σε ευθεία γραµµή κατά την οποία η αποµάκρυνση του κινητού από τη θέση ισορροπίας είναι ηµιτονοειδής (ή συνηµιτονοειδής) συνάρτηση του χρόνου. ( µον.) (β) Για να εκτελεί ένα σώµα Γ.Α.Τ. πρέπει να ασκείται σ αυτό δύναµη που να έχει µέτρο ανάλογο µε την αποµάκρυνση και φορά προς τη θέση ισορροπίας, να είναι δηλαδή δύναµη επαναφοράς. 6 ΣF -Dy ( µον.)

11 3η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Πρώτη Φάση) Λύσεις Β. (α) Αφού το σώµα εκτελεί ταλάντωση θα έχει µέγιστη ταχύτητα του δίνεται από τη σχέση υ 0 ω x0 ωd Για να την υπολογίσουµε θα πρέπει πρώτα να καθορίσουµε την κυκλική συχνότητα ω. K 0 rad ω 5 M 0,4 s Τότε υ 5.0, 0,5m / s (3 µον.) 0 m0,5kg υ σ 3,m/s Θ.Ι M0,4kg d0,m Α Κ0N/m (β) Η κρούση γίνεται όταν το σώµα περνά από τη θέση ισορροπίας για δεύτερη φορά. Τότε η ταχύτητα του θα είναι υ 0 0,5m / s. Από την αρχή διατήρησης της ορµής θα έχουµε: συστ. αρχ. συστ. τελ. Mυ 0 mυ σ ( M m) V V Mυ 0 mυ ( M m) σ 0,4.0,5 0,5.3, 0, 7 V m / s Η ταχύτητα αυτή είναι και η µέγιστη ταχύτητα της νέας ταλάντωσης αφού η κρούση γίνεται στη Θ.Ι. (3 µον.) (γ) Μετά την κρούση τα σώµατα ταλαντώνονται µαζί. Τότε ω (δ) K M m ω 0 rad 3 s Για να βρούµε το νέο πλάτος x 0 του συστήµατος των δύο µαζών V εφαρµόζουµε τη σχέση V ωx0 x0 x0 0, 6m ω 0 / 3 (3 µον.) Η χρονική στιγµή t καθορίζεται από τη στιγµή που το σώµα µάζας M αρχίζει την 3T T κίνηση του. Σύµφωνα µε τα δεδοµένα της άσκησης t όπου Τ και Τ οι 4 4 περίοδοι της αρχικής και τελικής ταλάντωσης του. M 0,4 T π π 0, 4π s Κ 0 M m 0, T π π 0, 6π s Κ 0 3T T 3.0,4π 0,6π Τότε t (ε) Το σώµα τη χρονική στιγµή t 0 0s ξεκινά µε µηδενική ταχύτητα αφού βρίσκεται στη δεξιά ακραία θέση του. Εκτελεί τα ¾ της πρώτης του ταλάντωσης µε περίοδο Τ και το υπόλοιπο ¼ της δεύτερης ταλάντωσης του µε περίοδο T 0 0, t 0,45π s ( µον.) υ (m/s),5,5 0,5 0-0,5-0, 0, 0,3 0,4 0,5 t (πxs)