Κβαντομηχανική σε μία διάσταση

Transcript

1 vrsy of Io Dr of Mrls Scc & grg Couol Mrls Scc κή Θεωρία της Ύλης ιδάσκων: Λευτέρης Λοιδωρίκης Π 76 csl.rls.uo.gr/ldor σταση Μία ιάσ ανική σε Μ κή Θεωρ ρία της Ύλης: Κβα αντομηχα Κβαντομηχανική σε μία διάσταση Στατιστική ερμηνεία κυματοσυνάρτησης Κανονικοποίηση M Bor 95: η κυματοσυνάρτηση εμπεριέχει όλες τις πληροφορίες σχετικά με το σωματίδιο εν γένει συνάρτηση του χώρου και του χρόνου η πιθανότητα να βρεθεί το σωματίδιο στο απειροστό διάστημα d γύρω απο το P d * d δεν μπορούμε να μετρήσουμε το Ψ μόνο το μέτρο του στο τετράγωνο που εκφράζει πυκνότητα πιθανότητας η Ψ πρέπει να είναι ομαλή και μονότιμη. Το ίδιο και η παράγωγός της Το άθροισμα όλων των πιθανοτήτων είναι μονάδα το σωματίδιο κάπου πρέπει να βρίσκεται d συνθήκη κανονικοποίησης αο οοίηης Πιθανότητα να βρίσκεται στο διάστημα < < b P b b d εαν δεν είναι κανονικοποιημένη b P b η Ψ εννοείται κανονικοποιημένη d d

2 Παράδειγμα 5. Παράδειγμα 5. Έστω η κυματοσυνάρτηση ενός σωματιδίου C / απεικονίστε την γραφικά κανονικοποιήστε την βρείτε τo C / d C C / d d d C Υπολογισμός ολοκληρώματος / / d αντικατάσταση y y d d dy / y y d dy / d Παράδειγμα 5. κή vs Κλασική Στο προηγούμενο παράδειγμα ποιά η πιθανότητα το σωματίδιο να βρίσκεται σε P d P / y P dy d / P % d αντομηχα ανική σε Μία ιάσ σταση Ύλης: Κβα ρία της Ύ κή Θεωρ Κλασική μηχανική κή μηχανική χρονική εξέλιξη: νόμος Κυματοσυνάρτηση: εξίσωση Νεύτωνα Schrödgr χρονοανεξάρτητη θέση ταχύτητα επιτάχυνση Χρονική εξέλιξη: εξίσωση Schrödgr

3 Ελεύθερο σωματίδιο Ελεύθερο σωματίδιο Ελεύθερο σωματίδιο δεν ασκείται καμία δύναμη σταθερή ορμή σταθερή ενέργεια Η λύση ένα απλό επίπεδο κύμα με χωρική συχνότητα χρονική συχνότητα ω A Acos As Πυκνότητα πιθανότητας το σωματίδιο έχει ισόποση πιθανότητα να βρεθεί οπουδήποτε P Απροσδιοριστία στην θέση Ορμή σωματιδίου Απροσδιοριστία στην ορμή A A Ελεύθερο σωματίδιο στην πράξη θεωρία ολοκληρωμάτων Fourr Ένα επίπεδο κύμα είναι αφύσικη λύση εκτείνεται παντού ενώ ένα σωματίδιο έχει κάποιον εντοπισμό Χρησιμοποιούμε μια επαλληλία επίπεδων κυμάτων σε ελεύθερο λύθ σωματίδιο όλα τα επιτρέπονται το άθροισμα γίνεται ολοκλήρωμα d τα πλάτη βρίσκονται απο την θεωρία ολοκληρωμάτων λ Fourr Χρονική εξέλιξη d { } d Αρχική εξίσωση: Πολλαπλασιάζουμε λ με και ολοκληρώνουμε λ σε όλο τον χώρο d d dd Στο δεξί μέρος εκτελούμε πρώτα την ολοκλήρωση κατά χ και μετά κατά. d d d Η συνάρτηση δy του Drc: είναι μη-μηδενική μηδενική μόνο για y Τελικό αποτέλεσμα: d

4 Εξίσωση Schrödgr σταση rw Schrödgr 96 Μία ιάσ ανική σε Μ Η συνάρτηση είναι η δυναμική ενέργεια Η δύναμη που ασκείται στο σωματίδιο είναι d F αντομηχα Η δύναμη που ασκείται στο σωματίδιο είναι Η εξίσωση Schrodgr είναι μια έκφραση του νόμου διατήρησης ενέργειας d F Ύλης: Κβα ξ η g μ φρ η μ ήρη ης ργ ς για επίπεδο κύμα ρία της Ύ η εξίσωση Schrödgr γίνεται κή Θεωρ Τελεστές ορμής και ενέργειας σταση Ορίζουμε τον τελεστή της ορμής δ ά ά έ ί δ ύ Μία ιάσ η δράση του πάνω σε ένα επίπεδο κύμα ανική σε Μ Ορίζουμε τον τελεστή της ολικής ενέργειας δ ά ά έ ί δ ύ Ê αντομηχα η δράση του πάνω σε ένα επίπεδο κύμα Ύλης: Κβα Ορίζουμε τον τελεστή της κινητικής ενέργειας η δράση του πάνω σε ένα επίπεδο κύμα K ρία της Ύ η δράση του πάνω σε ένα επίπεδο κύμα K K κή Θεωρ Ορίζουμε τον τελεστή της Χαμιλτονιαλής K H Εξίσωση Schrödgr H Λύση χρονικής εξέλιξης σταση Έστω οτι η είναι γνωστή. Πως βρίσκουμε την ; Μία ιάσ η γ ή ς ρ μ η ; γνωρίζοντας την παράγωγο κλίση ως πρός την χρόνο ανάπτυγμα Foyrr ανική σε Μ αντομηχα Ύλης: Κβα μετά απο κάθε βήμα ξανα-υπολογίζουμε την παράγωγο ως πρός χρόνο ρία της Ύ λ ό λί ό υπολογιστική μεθοδολογία κή Θεωρ υπολογισμός κλίσης στον χρόνο προσδιορισμός νέας κυματοσυνάρτησης στον +δ Υπολογισμός ιδιοσυναρτήσεων σταση Χωρισμός μεταβλητών: Μία ιάσ ] [ ] [ ] [ ανική σε Μ αντομηχα Ύλης: Κβα ρία της Ύ κή Θεωρ Χρονο-ανεξάρτητη εξίσωση Schrödgr d d d d

5 Υπολογισμός ιδιοσυναρτήσεων Ιδιοσυναρτήσεις: στάσιμες καταστάσεις d d Χρονική εξέλιξη d d d d l Χρονοανεξάρτητη κυματοσυνάρτηση ψ ομαλή πεπερασμένη μονοσήμαντη με συναχή παράγωγο για μηδέν δυναμικό μηδέν δυνάμεις ελεύθερα σωματίδια επίπεδα κύματα d d Ιδιοσυνάρτηση: η λύση ψχ της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schrödgr Η πυκνότητα πιθανότητας για μια ιδιοσυνάρτηση όταν δηλαδή είναι σε μορφή χωρισμού μεταβλητών στις ιδιοσυναρτήσεις δεν μεταβάλλεται η κατανομή πιθανοτήτων - στάσιμα κύματα π.χ. ατομικά τροχιακά Σωματίδιο σε κουτί Απειρόβαθο ορθογώνιο φρέαρ δυναμικού Ελεύθερο σωματίδιο περιορισμένο στον χώρο η κλασική εικόνα: ελεύθερη κίνηση η μέσα στο κουτί ελαστική ανάκλαση στα τοιχώματα κανένας περιορισμός για την ενέργεια του σωματιδίου μπορεί να γίνει και μηδέν Η κβαντική εικόνα αρχή της απροσδιοριστίας κβάντωση ενέργειας Απλουστευμένο πρόβλημα: απειρόβαθο πηγάδι ή απειρόβαθο ορθογώνιο φρέαρ δυναμικού V = για << = για < και > το σωματίδιο ΔΕΝ μπορεί να υπάρξει έξω απο το κουτί Ψάχνουμε για σταθερές λύσεις ιδιοσυναρτήσεις στάσιμες λύσεις λύνουμε την χρονο-ανεξάρτητη εξίσωση Εξίσωση Schrödgr d d Μέσα στο πηγάδι = d d Έξω απο το πηγάδι = ψχ = συνοριακές συνθήκες: Κβάντωση: βρείτε τις επιτρεπτές ενέργειες Ε και κυματοσυναρτήσεις

6 Απειρόβαθο ορθογώνιο φρέαρ δυναμικού Απειρόβαθο ορθογώνιο φρέαρ δυναμικού Xρονο-ανεξάρτητη εξίσωση μέσα στο κουτί d d Πιθανές λύσεις της χρονο-ανεξάρτητης εξίσωσης cos s Κάθε μια ικανοποιεί την εξίσωση Schrödgr Ποιά όμως διαλέγουμε ως λύση; Με τί κριτίριο επιλέγουμε; Επιλέγουμε έναν γραμμικό συνδιασμό πιθανών λύσεων Επιβάλουμε τις συνοριακές συνθήκες Η κβάντωση προκύπτει λόγω των συνοριακών συνθηκών Γενική λύση με στάσιμα κύματα As B cos ή με επίπεδα κύματα A B και τα δύο είναι ισοδύναμα καθώς cos s Λύση: βρείτε τις σταθερές Α Β που ικανοποιούν τις συνοριακές συνθήκες με τα στάσιμα κύματα είναι πιο εύκολο A s B cos B As : οποιοσδήποτε θετικός ακέραιος Η κβάντωση προκύπτει λόγω των συνοριακών συνθηκών Απειρόβαθο ορθογώνιο φρέαρ δυναμικού Απειρόβαθο ορθογώνιο φρέαρ δυναμικού Συνθήκη κβάντωσης Με απλά λόγια: στάσιμα κύματα όπου ακέραιος αριθμός μισών μηκών κύματος χωρούν στο κουτί οι πιθανότητες του που θα βρεθεί το σωματίδιο δεν είναι ισοκατανεμημένες Ιδιοσυναρτήσεις ρή Κανονικοποίηση Ενέργειες A A As s d As A A s y dy A s κβαντισμένες διακριτές ενέργειες ελάχιστη ενέργεια για = δεν υπάρχει κατάσταση με ενέργεια μηδέν

7 Ενεργειακές ιδιοτιμές Παράδειγμα 5.6 Ενέργεια θεμελιώδους κατάστασης επίσης ονομάζεται ενέργεια μηδενικού σημείου Ενεργειακές ιδιοτιμές: κή φύση της ύλης: ένα περιορισμένο σωματίδιο δεν μπορεί να έχει μηδενική ενέργεια θα μπορούσαμε να προσεγγίσουμε την θεμελιώδη ενέργεια απλά χρησιμοποιώντας την αρχή της απροσδιοριστίας; Σε ένα απλοποιημένο μοντέλο ατόμου υποθέτουμε το άτομο ως φρέαρ δυναμικού. Εάν η ακτίνα του ατόμου είναι. πόση ενέργεια απαιτείται για διέγερση απο την θεμελιώδη στην πρώτη διεγερμένη γρμ στάθμη; Σε τι μήκος κύματος φωτονίου αντιστοιχεί αυτή η ενέργεια; g J s.559 J C V 8. V 9. V J V 8. V Παράδειγμα 5.5 Παράδειγμα 5.5 Ένα μικρό αντικείμενο μάζας g είναι περιορισμένο ανάμεσα σε δύο τοιχώματα με = c. ποιά η ελάχιστη ενέργεια του σωματιδίου; J s J 6 - g ποιά η ελάχιστη ταχύτητά του; J 6. /s 6 g σε πόσο χρόνο θα διανύσει την απόσταση ;. 6. /s s 6 yrs s Ένα μικρό αντικείμενο μάζας g είναι περιορισμένο ανάμεσα σε δύο τοιχώματα με = c. Εάν η ταχύτητά του είναι c/s σε ποιόν κβαντικό αριθμό αντιστοιχεί; 6 g. /s / J.55 ποιά η σχετική μεταβολή ενέργειας σε τόσο μεγάλους κβαντικούς αριθμούς; J J

8 Παράδειγμα 5.7 Παράδειγμα 5.7 Έστω σωματίδιο σε φρέαρ δυναμικού στην θεμελιώδη κατάσταση. ποιά η πιθανότητα το σωματίδιο να εντοπιστεί στο κεντρικό ήμισυ του φρέατος / < < / s P d s d cosy dy s sy y dy % Έστω σωματίδιο σε φρέαρ δυναμικού στην θεμελιώδη κατάσταση. πως αλλάζει αυτή η πιθανότητα σαν συνάρτηση του ; s P d s d cosy dy / s y dy sy O 5% Πεπερασμένο φρέαρ δυναμικού Πεπερασμένο φρέαρ δυναμικού Στην πράξη δεν έχουμε ποτέ απειρόβαθα πηγάδια δυναμικού πιο συνηθισμένα: πηγάδια που δημιουργούνται μεταξύ διαφορετικών ημιαγωγών πολύ χρήσιμα σε lsr D αισθητήτες Δυναμική ενέργεια: όταν όταν κβαντικό πηγάδι GAs/AlGAs Λύση εξίσωσης Schrödgr στις περιοχές Ι ΙΙ ΙΙΙ ξεχωριστή γενική λύση σε κάθε περιοχή Ι ΙΙ ΙΙΙ εφαρμογή συνοριακών συνθηκών: συνέχεια της κυματοσυνάρτησης στο χ= χ= συνέχεια της πρώτης παραγώγου της κυματοσυνάρτησης στο χ= χ= Αποτέλεσμα: ενεργειακές ιδιοτιμές και κυματοσυναρτήσεις για Ε>: ελεύθερα σωματίδια μπορούν να βρεθούν παντού για Ε<: δέσμια σωματίδια μπορούν να είναι μόνο μέσα στο πηγάδι

9 Δέσμιες καταστάσεις Ε< Δέσμιες καταστάσεις Ε< Περιοχή ΙΙ χ εξίσωση Schrödgr d II II d II II II γενική λύση C s D cos II / συνοριακές συνθήκες I II I II Περιοχή Ι και ΙΙΙ χ και χ εξίσωση Schrödgr d I II III I I I I d II III γενική λύση A B I d / III F Προσέγγιση ενεργειακών ιδιοτιμών: το πρόβλημα είναι παρόμοιο με απειρόβαθο πηγάδι μεγαλύτερού μγ πλάτους το σωματίδιο εισχωρεί κατά μέσο όρο απόσταση δ: δ=/α η απόσταση όπου ψ= - Αυτοσυνεπή εξίσωση για την ενέργεια Πεπερασμένος αριθμός δέσμιων καταστάσεων τόσες όσο ικανοποιείται η Παράδειγμα 5.8 Γενική περίπτωση δυναμικής ενέργειας Προσεγγίστε την ενέργεια θεμελιώδους κατάστασης ενός ηλεκτρονίου παγιδευμένου σε φρέαρ δυναμικού εύρους. και βάθους V. Προσεγγιστική λύση: θεωρούμε φρέαρ απείρου βάθους με εύρος +δ. / Δεν γνωρίζουμε το Ε. Εφαρμόζουμε αυτοσυνεπή επαναλληπτική διεργασία πρώτη μαντεψιά 9. V J s g V - 9. V.6 δεύτερη μαντεψιά 6.7 V J s g V V.6 τρίτη μαντεψιά 6.5V.55 J. J πραγματική τιμή 6.5 V Γενική περίπτωση δυναμικής ενέργειας ελάχιστα: σημεία ευσταθούς ισορροπίας d d d d μέγιστα: σημεία ασταθούς ισορροπίας d d Στο σημείο d d για χ=: F για χ<: F Στο σημείο b για χ=b: F για χ<b: F για χ>: F για χ>b: F

10 Γενική περίπτωση δυναμικής ενέργειας Κλασικός αρμονικός ταλαντωτής Γενική περίπτωση δυναμικής ενέργειας ελάχιστα: σημεία ευσταθούς ισορροπίας d d d d Γενική μορφή γύρω απο το σημείο...!!! για χα: μεταφορά του χ άξονα στο μεταφορά του y άξονα στο d K K d αρμονικός ταλαντωτής δυναμική ενέργεια K δύναμη επαναφοράς d F K d Κλασικός ταλαντωτής: σταθερά ελατηρίου Κ K μάζα συχνότητα ταλάντωσης Εαν η ολική ενέργεια είναι Ε K το Ε μπορεί να πάρει οποιαδήποτε οιαδή οτε τιμή Η μέγιστη κινητική ενέργεια K Η μέγιστη δυναμική ενέργεια K Το πλάτος ταλάντωσης K κός αρμονικός ταλαντωτής Θεμελιώδης κατάσταση Δυναμική ενέργεια K Εξίσωση Schrödgr d d συνοριακές συνθήκες Η θεμελιώδης κατάσταση πρέπει να είναι συμμετρική γύρω απο το χ= μια δοκιμαστική κυματοσυνάρτηση είναι C αντικαθιστούμε στην εξίσωση Schrödgr C CC C Εξίσωση Schrödgr d d C C

11 Πρώτη διεγερμένη κατάσταση Καταστάσεις αρμονικού ταλαντωτή Η πρώτη διεγερμένη θα πρέπει να έχει έναν δεσμό να είναι αντισυμμετρική στο μηδέν Δοκιμαστική συνάρτηση C Αντικατάσταση στην εξίσωση Schrödgr d d 6 6 σταση Μία ιάσ ανική σε Μ αντομηχα Ύλης: Κβα ρία της Ύ κή Θεωρ... Παράδειγμα 5.9 Παράδειγμα 5. Κανονικοποίηση της κυνατοσυνάρτησης της θεμελιώδους κατάστασης του ταλαντωτή C C d C d δίνεται: d d C C C Τα όρια ταλάντωσης για έναν κλασικό ταλαντωτή με ενέργεια αυτή της θεμελιώδους κατάστασης του κβαντικού ταλαντωτή A K KA ποιά η πυκνότητα πιθανότητα να βρεθεί ένας κβαντικός ταλαντωτής στο χ=α; P A A C P A / C

12 Παράδειγμα 5. Παράδειγμα 5. Ποια η πιθανότητα ο κβαντικός ταλαντωτής να βρεθεί στην μη κλασική περιοχή; P A d P A A P P / / θέτουμε: y A d d C / y d dy.57 ~ 6% Η κβάντωση ενέργειας ταλαντωτή στο κλασικό όριο. Έστω μια μάζα =. g σε ελατήριο σταθεράς K=. N/. Μπορούμε να παρατηρήσουμε την κβαντική συμπεριφορά; Ποια η διαφορά μεταξύ των ενεργειακών σταθμών; K N/. g.6 rd/s V s.6 rd/s.8 εαν ταλαντώνεται με πλάτος Α=c σε τι κβαντικό αριθμό αντιστοιχεί; 6 KA. N/. 5 6 J.6 J/V.8 5 V J V Μέση τιμή μετρήσεων Μέση τιμή μετρήσεων Εστω οτι εκτελούμε πολλές μετρήσεις θέσης σε ένα κβαντικό σύστημα οι τιμές που λαμβάνουμε έχουν σχέση με την κατανομή πιθανοτήτων ψχ τι συμεράσματα μπορούμε να βγάλουμε; μπορούμε αν κάνουμε στατιστική ανάλυση των μετρήσεων; Έστω οι παρακάτω μετρήσεις θέσης: A/A τιμή A/A τιμή A/A τιμή μέση τιμή N N 5.8 Πως μπορούμε να υπολογίσουμε τον μέσο όρο αλλοιώς; στο παραπάνω παράδειγμα: το γράφουμε ισοδύναμα ως: τιμή συχνότητα πιθανότητα θέσης εμφάνισης εμφάνισης P /8 /8 /8 /8 5 /8 6 /8 7 /8 8 /8 9 /8 /8 A/A τιμή A/A τιμή A/A τιμή P P στο συνεχές P d P d

13 Αναμενόμενες τιμές Υπολογισμός αβεβαιότητας θέσης Στην κβαντική η μέση τιμή της μέτρησης μιας ποσότητας ονομάζεται «αναμενόμενη» τιμή και συμβολίζεται με αναμενόμενη τιμή της θέσης d εν γένει η αναμενόμενη τιμή είναι συνάρτηση του χρόνου για ιδιοκαταστάσεις στάσιμες η αναμενόμενη τιμή είναι σταθερή αναμενόμενη τιμή μιας οποιαδήποτε συνάρτησης του χ για παράδειγμα f f d d Η αβεβαιότητα θέσης σχετίζεται με την τυπική απόκλιση N N N N N N N N N N N κβαντική αβεβαιότητα θέσης Παράδειγμα 5. Φυσικά μεγέθη και τελεστές Υπολογίστε την μέση θέση <χ> και την αβεβαιότητα Δχ για σωματίδιο σε απειρόβαθο πηγάδι που βρίσκεται στην θεμελιώδη κατάσταση d s d s ydy y yy d s d s y ydy. 8 Φυσικό μέγεθος είναι οποιαδήποτε μετρήσημη ιδιότητα του σωματιδίου π.χ. θέση ορμή ενέργεια κτλ σε κάθε φυσικό μέγεθος αντιστοιχίζεται ένας τελεστής Η αναμενόμενη τιμή για ένα φυσικό μέγεθος Q * Q d Αβεβαιότητα στην μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους Q Q Q

14 Σαφή μεγέθη Ασαφή μεγέθη Q Σαφή μεγέθη: π.χ. ενέργεια στάσιμων καταστάσεων ορμή επίπεδων κυμάτων Για ένα σαφές μέγεθος η κυματοσυνάρτηση είναι ιδιοσυνάρτηση του αντίστοιχου τελεστή π.χ. η Χαμιλτονιανή για στάσιμα κύματα φρέατος H s d d s *Ĥ d * H HH d * d * s d Q Ασαφή μεγέθη: π.χ. θέση ορμή στάσιμων κυμάτων d s s d * d * d cos s cos d d στο παραπάνω το είναι ασαφές ενώ το είναι σαφές Πρόβλημα 5. Πρόβλημα 5. Ένα ελεύθερο ηλεκτρόνιο έχει κυματοσυνάρτηση το χ σε μέτρα α το μήκος κύματος d Brogl 5 - β η ορμή του ηλεκτρονίου.557 As η ενέργεια του ηλεκτρονίου σε V J s g /s g 7.56 J 95.5 V 9.6 J/V.6 J g /s Σε μια περιοχή του χώρου ένα σωματίδιο με μηδενική ενέργεια έχει κυματοσυνάρτηση / A βρείτε την δυναμική ενέργεια σαν συνάρτηση της θέσης d d d d / A A / / / / 6 6 ελάχιστο ενέργειας

15 Πρόβλημα 5.6 Πρόβλημα 5.8 Έστω οτι το πυρηνικό δυναμικό προσεγγίζεται απο ορθογώνιο απειρόβαθο φρέαρ δυναμικού πλάτους = -5. ποιό μήκος κύματος εκπέμπεται όταν πρωτόνιο μεταπίπτει απο την πρώτη διεγερμένη στην θεμελιώδη κατάσταση; J s 6.8 J.5 V g hc 6.5 V V 6 6 V. Ένα ηλεκτρόνιο βρίσκεται ορθογώνιο απειρόβαθο φρέαρ δυναμικού πλάτους =. στην κατάσταση = Ποιά μήκη κύματος θα εκπεμφθούν κατά την αποδιέγερσή του σε χαμηλότερες στάθμες; J s 8 6. J 7.6 V 9 9. g hc hc hc hc hc hc Πρόβλημα 5. Πρόβλημα 5. Ηλεκτρόνιο περιγράφεται απο την κυματοσυνάρτηση C σχεδιάστε την κανονικοποιήστε την C d C d C C Ηλεκτρόνιο περιγράφεται απο την κυματοσυνάρτηση C Ποιά η πιο πιθανή θέση του ηλεκτρονίου; d d l Ποιά η μέση θέση του ηλεκτρονίου C d / χρησιμοποιούμε d οταν η κυματοσυνάρτηση δεν είναι συμμετρική:

16 Πρόβλημα 5.8 Πρόβλημα 5.9 Βρείτε το Δχ για έναν κβαντικό ταλαντωτή στην θεμελιώδη του κατάσταση δίνονται: C C d d d d C d d C d Βρείτε το Δ για έναν κβαντικό ταλαντωτή στην θεμελιώδη του κατάσταση C C δίνονται: d d d * * d d C - d C d d d * * d C - d C d C d C d Πρόβλημα 5. Χρησιμοποιώντας τα δύο παραπάνω προβλήματα πως εκφράζεται η αρχή της απροσδιοριστίας για τον αρμονικό ταλαντωτή στη θεμελιώδη του κατάσταση; Αυτό είναι το μισό απο οτι είχαμε θεωρήσει μέχρι τώρα. Από μια αυστηρότερη θεώρηση της αρχής της απροσδιοριστίας προκύπτει οτι η ελάχιστη δυνατή τιμή του γινομένου ΔχΔ είναι ακριβώς το / και αυτή η ελάχιστη τιμή εμφανίζεται πράγματι στον αρμονικό ταλαντωτή