ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΜΟΡΦΕΣ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ ΣΚΕΨΗΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΜΟΡΦΕΣ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ ΣΚΕΨΗΣ"

Transcript

1 ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΧΑΣΑΠΗΣ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΜΟΡΦΕΣ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ ΣΚΕΨΗΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ 1. Έννοιες και Λέξεις O άνθρωπος στην αλληλεπίδραση του με την αντικειμενική πραγματικότητα, της οποίας και ο ίδιος αποτελεί συστατικό και ενεργό στοιχείο, συγκροτεί νοητικές κατασκευές που αντανακλούν γενικά και ουσιώδη χαρακτηριστικά γνωρίσματα των στοιχείων της πραγματικότητας, των σχέσεων που εισάγονται μεταξύ των στοιχείων αυτών και των ενεργειών, που στα πλαίσια των δραστηριοτήτων του αναπτύσσει επί των στοιχείων αυτών. Οι νοητικές κατασκευές, που αντανακλούν με πληρότητα γενικά και ουσιώδη (από μια συγκεκριμένη οπτική) χαρακτηριστικά των στοιχείων της πραγματικότητας, χαρακτηριστικά των μεταξύ τους σχέσεων και χαρακτηριστικά των ενεργειών του επί των στοιχείων αυτών, αποτελούν μια από τις σημαντικότερες μορφές της ανθρώπινης νόησης, τις έννοιες. Με βάση τις έννοιες και μέσα από τις δραστηριότητες του ο άνθρωπος διακρίνει, ομαδοποιεί, ταξινομεί και χειρίζεται τα στοιχεία της πραγματικότητας. Παράλληλα και ως αποτέλεσμα των δραστηριοτήτων του ο άνθρωπος τροποποιεί και διευρύνεί συνεχώς τις έννοιες, ώστε να αντανακλούν πληρέστερα τα χαρακτηριστικά των στοιχείων της πραγματικότητας και να επιτρέπουν ευχερέστερους και αποτελεσματικότερους χειρισμούς των στοιχείων αυτών. Οι έννοιες αποτελούν νοητικές αντανακλάσεις κοινών και ουσιωδών χαρακτηριστικών των στοιχείων της πραγματικότητας, των σχέσεων που εισάγονται μεταξύ των στοιχείων αυτών και των ενεργειών που αναπτύσσονται επί των στοιχείων αυτών, οι οποίες εκφράζονται με τις λέξεις. Οι λέξεις και γενικότερα οι συμβολικές αναπαραστάσεις αποτελούν μορφή αλλά και συνθήκη ύπαρξης των εννοιών. Η συγκρότηση επομένως των εννοιών είναι κατά κανόνα πρακτικά αδύνατη χωρίς τη διαμεσολάβηση της γλώσσας.

2 Κάθε έννοια επομένως, αποτελεί μία σύνθεση της πολυμορφίας των ατομικών περιπτώσεων σε μία ενότητα του γενικού και του μερικού λεκτικά διατυπωμένη, είναι δηλαδή μία λεκτικά διατυπωμένη συγκεκριμένη γενικότητα. *** Οι σχέσεις μιας έννοιας με τις γλωσσικές αλλά και γενικότερα με τις συμβολικές της εκφράσεις δεν είναι όμως ούτε απλές ούτε μονοσήμαντες. Κάθε λέξη δεν εκφράζει απόλυτα και μονοσήμαντα μια έννοια και αντίστροφα κάθε έννοια δεν εκφράζεται απόλυτα και μονοσήμαντα από μια λέξη. Για παράδειγμα, στη συνωνυμία διαφορετικές λέξεις αντιστοιχούν στην ίδια έννοια (π.χ. ομάδα, σύλλογος, όμιλος), ενώ στην ομωνυμία διαφορετικές έννοιες αντιστοιχούνται στην ίδια λέξη (π.χ. κύκλος: γεωμετρικό σχήμα, κύκλος: κοινωνική ομάδα). Γενικά οι λέξεις και γενικότερα οι γλωσσικές εκφράσεις δεν επικαλύπτουν απόλυτα τις έννοιες, ούτε έχουν αντιστοιχία μια-προς-μια με τις έννοιες. Η πολυσημία και η αμφισημία αποτελούν χαρακτηριστικές περιπτώσεις των σύνθετων σχέσεων μεταξύ γλωσσικών εκφράσεων και εννοιών. *** Οι έννοιες, σε γενικές γραμμές, συγκροτούνται μέσα από νοητικές διαδικασίες - διάκρισης και επιλογής κοινών χαρακτηριστικών των στοιχείων της πραγματικότητας, που ως προς άλλα χαρακτηριστικά διαφέρουν μεταξύ τους, - γενίκευσης των μερικών και συγκεκριμένων αυτών χαρακτηριστικών στο σύνολο των στοιχείων της πραγματικότητας και - γλωσσικής ή γενικότερα συμβολικής έκφρασης και λογικής επεξεργασίας. Οι έννοιες συγκροτούνται και αναπτύσσονται κατά την πορεία της ιστορικής ανάπτυξης των ανθρώπινων κοινωνιών και παράλληλα οι κοινωνικά συγκροτημένες και επεξεργασμένες έννοιες εσωτερικεύονται και επανασυγκροτούνται κατά την πορεία της ατομικής ανάπτυξης κάθε ανθρώπου, που με τη διαμεσολάβηση της γλώσσας, οικειοποιείται τη συσσωρευμένη εμπειρία των ανθρώπινων κοινωνιών. *** Με βάση τις έννοιες ο άνθρωπος ταξινομεί τα στοιχεία της πραγματικότητας σε αληλοσχετιζόμενες κατηγορίες και οργανώνει έτσι συστηματικά την αντικειμενική πραγματικότητα, ενώ ταυτόχρονα με βάση την οργάνωση αυτή: - αντιλαμβάνεται, αναγνωρίζει και κατανοεί το πλήθος των διαφορετικών στοιχείων της πραγματικότητας και των μεταξύ τους σχέσεων, 1

3 - προσδιορίζει τις σχέσεις του με τα στοιχεία της πραγματικότητας και οργανώνει τις δραστηριότητες του, - αναπτύσσει αποτελεσματικά τη γνώση και τη μνήμη των διαφορετικών στοιχείων της πραγματικότητας και των μεταξύ τους σχέσεων και - αναπτύσσει τη γλωσσική και συμβολική επικοινωνία του. Οι έννοιες μπορεί να διακριθούν ως προς την κατηγορία των στοιχείων της πραγματικότητας στα οποία αναφέρονται και διακρίθηκαν απο την κλασσική λογική σε - έννοιες όντων (αισθητών ή νοητών), που διατυπώνονται γλωσσικά με ουσιαστικά, όπως για παράδειγμα, φυτό ή Άδης. - έννοιες ιδιοτήτων των όντων, που διατυπώνονται γλωσσικά με αφηρημένα ουσιαστικά ή επίθετα, όπως για παράδειγμα, λευκός, ίσος κ.α. - έννοιες σχέσεων των όντων ή των ιδιοτήτων τους, που διατυπώνονται γλωσσικά με λέξεις ανάλογης σημασίας, όπως για παράδειγμα, επόμενος, όμοιος, διπλάσιος κ.α. - έννοιες ενεργειών ή καταστάσεων των όντων, που διατυπώνονται γλωσσικά με ρήματα, όπως για παράδειγμα, γράφω, θερμαίνομαι κ.α. 2. Λογικές Κρίσεις και Δηλωτικές Προτάσεις Λογική κρίση, σύμφωνα με την κλασική λογική, είναι η διατύπωση μιας σχέσης μεταξύ δύο εννοιών στη βάση της οποίας αποδίδεται σε μια έννοια μια άλλη έννοια, ως γνώρισμα της. Κάθε απλή λογική κρίση εκφράζεται γλωσσικά με τη μορφή μιας πρότασης και όταν διατυπώνεται με πλήρη ανάπτυξη του νοήματος της αποτελείται από τρία βασικά στοιχεία ή όρους: το Υποκείμενο της κρίσης το Κατηγορούμενο (αντικείμενο) της κρίσης και το ρήμα «είναι» ή κάθε αντίστοιχο ρήμα, που εκφράζει τη μεταξύ των δύο εννοιών (υποκειμένου και κατηγορουμένου) σχέση, όπως για παράδειγμα «το Υ ισούται (= είναι ίσο) με Κ». Πρέπει να σημειωθεί ότι δεν συμπίπτει πάντοτε το υποκείμενο μιας λογικής κρίσης με το γραμματικό υποκείμενο της αντίστοιχης πρότασης, όπως επίσης και δεν συμπίπτει πάντοτε το κατηγορούμενο μιας λογικής κρίσης με το γραμματικό κατηγορούμενο της αντίστοιχης 2

4 πρότασης με την οποία εκφράζεται. Το ασύμπτωτο αυτό μεταξύ λογικών κρίσεων και γραμματικών προτάσεων δημιουργεί συχνά παρανοήσεις. Για παράδειγμα στη λογική κρίση, που διατυπώνεται με την πρόταση «το τετράγωνο της υποτείνουσας πλευράς ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο καθέτων πλευρών του», ούτε το πρώτο μέλος της ισότητας είναι το λογικό υποκείμενο ούτε το δεύτερο μέλος είναι το λογικό κατηγορούμενο. Η τυπικά ορθή διατύπωση της λογικής κρίσης με την πρόταση «το τετράγωνο της υποτείνουσας πλευράς ενός ορθογωνίου τριγώνου και το άθροισμα των τετραγώνων των δύο καθέτων πλευρών του είναι ίσα» καθιστά εμφανείς τους όρους της. *** Οι απλές λογικές κρίσεις διακρίνονται κατά την ποιότητα σε - καταφατικές κρίσεις 1, όταν το κατηγόρημα αποδίδει ένα γνώρισμα στο υποκείμενο της κρίσης (π.χ. το τρίγωνο είναι σχήμα) και σε - αποφατικές κρίσεις 2, όταν το κατηγόρημα αποκλείει ένα γνώρισμα από το υποκείμενο της κρίσης (π.χ. το τρίγωνο δεν είναι τετράπλευρο). Ως προς την αναφορά τους οι λογικές κρίσεις διακρίνονται σε - κατηγορικές κρίσεις, όταν το κατηγόρημα αναφέρεται στο υποκείμενο χωρίς κανένα περιορισμό (π.χ. το τρίγωνο είναι σχήμα) σε - υποθετικές κρίσεις, όταν το κατηγόρημα αναφέρεται στο υποκείμενο υπό όρους, οι οποίοι διατυπώνονται με μια υποθετική πρόταση (π.χ. ένα τετράπλευρο είναι τετράγωνο εάν όλες οι γωνίες του είναι μεταξύ τους ίσες) και σε - διαζευκτικές κρίσεις, όταν δεν αναφέρεται ένα κατηγόρημα σε ένα υποκείμενο, αλλά είτε το κατηγόρημα είτε το υποκείμενο περιλαμβάνουν δύο ή περισσότερες έννοιες, που συνδέονται διαζευκτικά μεταξύ τους, οπότε μια μόνο έννοια μπορεί να συνδεθεί με τον άλλο όρο, ενώ όλες οι άλλες έννοιες αποκλείονται (π.χ. ή το Α ή το Β ή και τα δυο είναι Γ). 1 Από το ρήμα της αρχαίας ελληνικής καταφάσκω = επιβεβαιώνω 2 Από το ρήμα της αρχαίας ελληνικής αποφάσκω = αναιρώ, αρνούμαι 3

5 3. Λογικοί Συλλογισμοί και Λεκτικά Επιχειρήματα Οι λογικές κρίσεις σχηματίζονται με δύο τρόπους. Ή διαπιστώνεται μια σχέση μεταξύ δύο εννοιών άμεσα με τις αισθήσεις και διατυπώνεται γλωσσικά ή προκύπτει ως αποτέλεσμα μιας νοητικής ενέργειας που βασίζεται σε άλλες κρίσεις, δηλαδή σε άλλες γνωστές σχέσεις εννοιών. Η νοητική ενέργεια σχηματισμού μιας κρίσης από άλλες κρίσεις στη βάση της λογικής αναγκαιότητας λέγεται λογικός συλλογισμός και η λεκτική της έκφραση λέγεται συνήθως επιχείρημα. Κάθε λογικός συλλογισμός περιλαμβάνει κατά συνέπεια μια κρίση που λέγεται συμπέρασμα και προκύπτει ως λογική αναγκαιότητα άλλων κρίσεων που λέγονται προκείμενες, οι οποίες και αιτιολογούν λογικά αυτό το συμπέρασμα. Για παράδειγμα στο συλλογισμό το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι (άρα και) το άθροισμα των γωνιών ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι το συμπέρασμα (το άθροισμα των γωνιών ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι 180 0) προκύπτει από μια κρίση (το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι ) ως λογική αναγκαιότητα, που βασίζεται στην αρχή της ταυτότητας (ότι ισχύει για ένα σύνολο ισχύει και για τα μέρη του, ή ότι ισχύει για τα τρίγωνα ισχύει και για τα ορθογώνια τρίγωνα). Κάθε λογικός συλλογισμός επομένως: είναι ένα κλειστό διαταγμένο σύνολο λογικών κρίσεων στο οποίο κάθε λογική κρίση έχει με την επόμενη της έναν ή περισσότερους κοινούς όρους. Με βάση τον αριθμό των προκείμενων από τις οποίες προκύπτει το συμπέρασμα οι λογικοί συλλογισμοί διακρίνονται σε άμεσους και έμμεσους συλλογισμούς. Άμεσοι λέγονται οι συλλογισμοί, που το συμπέρασμα τους προκύπτει από μια μόνο κρίση. Άμεσοι συλλογισμοί σχηματίζονται με πολλούς τρόπους βασισμένους στις θεμελιώδεις λογικές αρχές της ταυτότητας, της αντίφασης, του αποκλειόμενου τρίτου και του επαρκούς ή αποχρώντος λόγου, όπως επίσης και στη μεταβολή της αναφοράς της προκείμενης κρίσης. Έμμεσοι λέγονται οι συλλογισμοί, που το συμπέρασμα τους προκύπτει από το λογικό συσχετισμό δύο ή περισσότερων κρίσεων. Στον έμμεσο λογικό συλλογισμό 4

6 όλοι οι πλανήτες είναι ετερόφωτοι ο Κρόνος είναι πλανήτης (άρα) ο Κρόνος είναι ετερόφωτος η σχέση των εννοιών «Κρόνος» και «ετερόφωτος» που διατυπώνεται στο συμπέρασμα συνάγεται ως αναγκαία συνέπεια της σχέσης κάθε μιας έννοιας με την έννοια «πλανήτης». Αυτή είναι η βασική δομή κάθε έμμεσου συλλογισμού. Το υποκείμενο (Κρόνος) και το κατηγόρημα (είναι ετερόφωτος) του συμπεράσματος συσχετίζονται μεταξύ τους με τη διαμεσολάβηση μιας τρίτης έννοιας (πλανήτης) με την οποία και το υποκείμενο και το κατηγόρημα έχει μια ξεχωριστή σχέση που διατυπώνεται στις προκείμενες του συλλογισμού. Η τρίτη αυτή έννοια που διαμεσολαβεί τη συσχέτιση του υποκειμένου με το κατηγόρημα στο συμπέρασμα ενός έμμεσου συλλογισμού λέγεται συνήθως μέσος όρος του συλλογισμού. *** Η βασική δομή κάθε έμμεσου λογικού συλλογισμού συγκροτείται επομένως από μια πρώτη προκείμενη κρίση, που περιλαμβάνει το κατηγόρημα και το μέσο όρο, μια δεύτερη προκείμενη κρίση, που περιλαμβάνει το υποκείμενο και το μέσο όρο, μια συμπερασματική κρίση, που περιλαμβάνει το υποκείμενο και το κατηγόρημα. Σχηματικά Μέσος όρος --- Κατηγόρημα Υποκείμενο --- Μέσος όρος Υποκείμενο --- Κατηγόρημα Η εγκυρότητα του συμπεράσματος ενός λογικού συλλογισμού εξαρτάται αποκλειστικά από τις λογικές ιδιότητες των προκείμενων κρίσεων. Για παράδειγμα, ο συλλογισμός: (άρα) όλα τα πουλιά πετούν οι στρουθοκάμηλοι είναι πουλιά οι στρουθοκάμηλοι πετούν είναι έγκυρος παρόλο που είναι ψευδής. Ο συλλογισμός είναι έγκυρος, αφού από δύο δεδομένες προκείμενες κρίσεις προκύπτει με λογική αναγκαιότητα μια συμπερασματική κρίση και παράλληλα ο συλλογισμός είναι ψευδής, γιατί η πρώτη από τις προκείμενες κρίσεις, που με βάση τους λογικούς κανόνες του συλλογισμού θεωρείται δεδομένη, δεν αντιστοιχεί στην πραγματικότητα που αναφέρεται. 5

7 Αντίθετα ο συλλογισμός: άρα όλοι οι κλέφτες φορούν γάντια αυτός ο άνθρωπος φοράει γάντια αυτός ο άνθρωπος είναι κλέφτης δεν είναι έγκυρος, γιατί η πρώτη προκείμενη κρίση δεν δηλώνει ότι μόνο οι κλέφτες φορούν γάντια. Κατά συνέπεια, η συμπερασματική κρίση προκύπτει με αυθαίρετη γενίκευση του μερικού παραβιάζοντας αντίστοιχους λογικούς κανόνες στη μεταβολή της αναφοράς της πρώτης προκείμενης κρίσης. *** Με βάση τις λογικές ενέργειες από τις οποίες προκύπτει το συμπέρασμα οι έμμεσοι λογικοί συλλογισμοί διακρίνονται σε παραγωγικούς συλλογισμούς, με τους οποίους συμπεραίνεται απ ότι ισχύει για ένα όλο εκείνο που ισχύει για ένα μέρος του. επαγωγικούς συλλογισμούς, με τους οποίους συμπεραίνεται απ ότι ισχύει για κάθε μέρος (δηλαδή για όλα τα μέρη) ενός όλου εκείνο που ισχύει για το όλο. αναλογικούς συλλογισμούς, με τους οποίους συμπεραίνεται απ ότι ισχύει για κάποιο μέρος ενός όλου εκείνο που ισχύει για κάποιο άλλο μέρος του ίδιου όλου. Παραγωγικοί συλλογισμοί Παραγωγικοί συλλογισμοί, όπως προαναφέρθηκε, λέγονται οι έμμεσοι συλλογισμοί με τους οποίους συμπεραίνεται απ ότι ισχύει για ένα όλο εκείνο που ισχύει για ένα μέρος του. Σχηματικά Επαγωγικοί συλλογισμοί Επαγωγικοί συλλογισμοί, όπως προαναφέρθηκε, λέγονται οι έμμεσοι συλλογισμοί με τους οποίους συμπεραίνεται απ ότι ισχύει για κάθε μέρος (δηλαδή για όλα τα μέρη) ενός όλου 6

8 εκείνο που ισχύει για το όλο. Οι επαγωγικοί συλλογισμοί δηλαδή, ακολουθούν αντίστροφη λογική διάταξη εκείνης των παραγωγικών συλλογισμών. Σχηματικά Επειδή όμως σε πολλές περιπτώσεις είναι αδύνατη η διερεύνηση όλων των μερών ενός όλου, τότε το συμπέρασμα συνάγεται με βάση μερικά μέρη, που όμως μπορούν να θεωρηθούν ως χαρακτηριστικά μέρη του όλου. Στην περίπτωση αυτή ο επαγωγικός συλλογισμός είναι ατελής και το συμπέρασμα του είναι ουσιαστικά μια πιθανολογική κρίση. Τέτοια περίπτωση αποτελεί για παράδειγμα, η διερεύνηση του δείγματος ενός όλου και η συναγωγή συμπερασμάτων για το όλο. Είναι προφανές ότι η εγκυρότητα του συμπεράσματος ενός τέτοιου συλλογισμού προσδιορίζεται από το πλήθος και κυρίως την αντιπροσωπευτικότητα των μερικών περιπτώσεων στις οποίες στηρίζεται. Χαρακτηριστικό παράδειγμα επαγωγικού συλλογισμού αποτελεί η επαγωγική απόδειξη των μαθηματικών: Όταν μια ιδιότητα η οποία αληθεύει για n = 1, διαπιστώνεται ότι εάν αληθεύει για n = k, αληθεύει και για n = k+1, έχουμε την απόδειξη ότι αληθεύει για κάθε n. Αρκεί δηλαδή να αληθεύει σε δύο μόνο περιπτώσεις (για n = 1 και για n = k+1) για να διατυπωθεί το συμπέρασμα, ότι αληθεύει σε κάθε περίπτωση. Αναλογικοί συλλογισμοί Αναλογικοί συλλογισμοί, όπως προαναφέρθηκε, λέγονται οι έμμεσοι συλλογισμοί με τους οποίους συμπεραίνεται απ ότι ισχύει για κάποιο μέρος ενός όλου εκείνο που ισχύει για κάποιο άλλο μέρος του ίδιου όλου. Σχηματικά 7

9 Παραλογισμοί Οι παραλογισμοί προέρχονται από παραβιάσεις των τυπικών κανόνων σύνθεσης ή διατύπωσης ενός λογικού συλλογισμού και στην κλασσική λογική αποκαλούνται σοφίσματα. Χαρακτηριστικές κατηγορίες παραλογισμών είναι οι: παραλογισμοί που προκύπτουν από την χρήση των λέξεων (ή «παρά την λέξιν» σύμφωνα με τη διατύπωση του Αριστοτέλη), οι οποίοι οφείλονται σε ασαφείς ή διφορούμενες γλωσσικές διατυπώσεις των κρίσεων που σχηματίζουν ένα συλλογισμό. Για παράδειγμα δύο φορές το δύο και τρία ίσον εφτά [ (2 x 2) + 3 = 7 ] δέκα ίσον δύο φορές το δύο και τρία [ 10 = 2 x ( 2 + 3) ] άρα δέκα ίσον επτά παραλογισμοί που προκύπτουν από τη λήψη του ζητούμενου (ή «τω εν αρχή αιτείσθαι» σύμφωνα με τη διατύπωση του Αριστοτέλη), οι οποίοι οφείλονται στη συναγωγή ενός συμπεράσματος βασισμένου σε προκείμενες κρίσεις που και οι ίδιες έχουν ανάγκη απόδειξης. Για παράδειγμα όλοι οι κάτοικοι των φτωχών σε φυσικούς πόρους περιοχών είναι φτωχοί οι Χ είναι κάτοικοι μιας φτωχής σε φυσικούς πόρους περιοχής άρα οι Χ είναι φτωχοί παραλογισμοί που προκύπτουν από ανεπαρκή δεδομένα (ή «παρά το συμβεβηκός» σύμφωνα με τη διατύπωση του Αριστοτέλη), οι οποίοι οφείλονται στη χρήση προκείμενων κρίσεων που η αλήθεια τους δεν είναι γενική αλλά ισχύει μόνο σε μερικές και συγκεκριμένες ή σε τυχαίες και συμπτωματικές περιπτώσεις. Για παράδειγμα το νερό σταματάει τη δίψα η θάλασσα είναι νερό άρα η θάλασσα σταματάει τη δίψα 8

10 Η ΓΕΝΕΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΗΣ ΣΥΓΚΡΟΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ ΣΚΕΨΗΣ: ΤΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΡΟΤΥΠΟ ΤΟΥ PIAGET Η πληρέστερη ίσως μέχρι σήμερα επιστημονική υπόθεση για τη λογική συγκρότηση και ανάπτυξη του ατόμου έχει διατυπωθεί από τον Piaget και τη σχολή της Γενεύης. Βασική παραδοχή του θεωρητικού σχήματος του Piaget είναι ότι η νόηση συνίσταται από λογικά οργανωμένες δομές, που παρέχουν αναπαραστάσεις των στοιχείων της πραγματικότητας στα οποία αναφέρονται. Μέσα από τις δομές αυτές και με βάση τις λειτουργίες τους ο άνθρωπος, ως δρων υποκείμενο, κατανοεί, χειρίζεται και μετασχηματίζει την πραγματικότητα. Με αυτή την έννοια οι νοητικές δομές, που έχουν εννοιολογικό αλλά και ταυτόχρονα γνωστικό περιεχόμενο, προσδιορίζουν τη νοητική συμπεριφορά του ατόμου και όταν ενεργοποιούνται για την επίλυση ενός προβλήματος, εκδηλώνονται ως ένα σύνολο νοητικών ικανοτήτων. Οι νοητικές δομές αποτελούν σχετικά ευσταθή συστήματα οργάνωσης της νόησης και βάσεις συγκρότησης των νοητικών ικανοτήτων του ατόμου αλλά ταυτόχρονα λειτουργούν και ως μηχανισμοί απόκτησης νέας γνώσης και ανάπτυξης νέων νοητικών ικανοτήτων μέσα από την ενσωμάτωση νέων γνώσεων σε ήδη προϋπάρχουσες συγκροτημένες δομές (διαδικασία αφομοίωσης) που ταυτόχρονα μετασχηματίζονται, αναδιοργανώνονται και διευρύνονται ώστε να καθίσταται δυνατή η αφομοίωση νέων γνώσεων (διαδικασία συμμόρφωσης). Η νοητική διαδικασία της αφομοίωσης και η νοητική διαδικασία της συμμόρφωσης συγκροτούν ένα ενιαίο λειτουργικό σύστημα νοητικής προσαρμογής και ανταπόκρισης του ατόμου στο περιβάλλον του και κατά συνέπεια συνιστούν τη βάση της ανθρώπινης γνωστικής λειτουργίας. Μέσα από μια συνεχή διαδικασία προσαρμογής και αναδιοργάνωσης οι νοητικές δομές διαφοροποιούνται και αναπτύσσονται αυξάνοντας την πληρότητα και την ευστάθειά τους, ενώ ταυτόχρονα μετασχηματίζονται και αλληλοσυσχετίζονται, έτσι που κάθε φορά συγκροτούν μια δομική ολότητα, η οποία χαρακτηρίζει τη νοητική συγκρότηση και προσδιορίζει τη νοητική συμπεριφορά του ατόμου. Η ανάπτυξη αυτή χαρακτηρίζεται από μια αλληλουχία φάσεων ευστάθειας και αστάθειας της κάθε νοητικής δομικής ολότητας. Κάθε φάση ευστάθειας αντιστοιχεί σε μια διαφορετική ποιότητα, σε μια διαφορετική πληρότητα και σε μια διαφορετική οργάνωση των νοητικών δομών, δηλαδή σε μια ποιοτικά διαφορετική νοητική δομική ολότητα η οποία υποβάλλει και αντίστοιχα διαφορετικές νοητικές ικανότητες και συμπεριφορές. 9

11 Στην ανάπτυξη των νοητικών δομών υπάρχει επομένως μια συνέχεια με την έννοια ότι κάθε νέα δομική ολότητα παράγεται από προϋπάρχουσες και βασίζεται σε προϋπάρχουσες νοητικές δομές, αλλά ταυτόχρονα και μια ασυνέχεια με την έννοια ότι κάθε ποιοτικά νέα δομική ολότητα εμφανίζει χαρακτηριστικά και ιδιότητες που δεν ανάγονται σε προϋπάρχουσες στο άτομο νοητικές δομές. Από την άποψη της λογικής σκέψης η διαφορετική ποιότητα μιας νοητικής δομικής ολότητας σε σχέση με μια προηγούμενη χαρακτηρίζεται από το επίπεδο της πληρότητας και το βαθμό της εσωτερικής οργάνωσης του περιεχομένου της και παράλληλα από το είδος των διαθέσιμων λογικών νοητικών πράξεων και κυρίως τη σύνθεσή και το συντονισμό τους σ' ένα ολοκληρωμένο σύστημα, το οποίο προσδίδει ιδιότητες και δυνατότητες χαρακτηριστικές στην κάθε δομική ολότητα. Μια λογική νοητική πράξη, όπως ορίζεται στα πλαίσια της θεωρίας του Piaget, είναι μια εσωτερικοποιημένη συμβολική πράξη, ένα σχήμα μετασχηματισμού δεδομένων, με την ιδιότητα της αντιστρεψιμότητας. Μπορεί δηλαδή να αντιστραφεί και να επανασχηματίσει την αρχική κατάσταση που μετασχημάτισε απαλείφοντας (αναίρεση, άρνηση) ή εξισορροπώντας (αντιστάθμιση, εξίσωση) τα αποτελέσματα του μετασχηματισμού. Η ιδιότητα αυτή υποβάλλει και την αναγκαιότητα διατήρησης βασικών χαρακτηριστικών των στοιχείων του συνόλου της δομικής ολότητας από ένα μετασχηματισμό. Χαρακτηριστικοί τύποι λογικών νοητικών πράξεων αποτελούν: - οι πράξεις μετασχηματισμού μεμονωμένων στοιχείων, όπως είναι η τροποποίηση της μορφής ή η μεταβολή της θέσης ενός αντικειμένου στο χώρο, - οι πράξεις οργάνωσης ενός πλήθους στοιχείων σε τάξεις, όπως είναι η ομαδοποίηση, δηλαδή η διάκριση στοιχείων με κριτήρια βασισμένα σε ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους και ο σχηματισμός τάξεων, η διαμέριση, δηλαδή η διάκριση με κριτήρια βασισμένα σε ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους και ο αντίστοιχος διαχωρισμός σε τάξεις ενός πλήθους στοιχείων, η αντιστοίχιση, δηλαδή η λογική σύνδεση των στοιχείων δύο καθορισμένων τάξεων μεταξύ τους και - οι πράξεις σειροθέτησης ενός πλήθους στοιχείων ή τάξεων με κριτήρια βασισμένα σε ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους, όπως είναι η διάταξη με βάση το μέγεθος ή τη χρονική αλληλουχία εμφάνισης τους σε ένα γεγονός κλπ. 10

12 Πέρα όμως από το είδος των διαθέσιμων λογικών νοητικών πράξεων, καθοριστική για τη νοητική συγκρότηση του ατόμου είναι η οργάνωση και ο συντονισμός τους σε ολοκληρωμένα συστήματα συνόλου στα πλαίσια των οποίων κάθε μια λογική νοητική πράξη αποκτά ιδιότητες και λειτουργίες που δεν έχει θεωρούμενη αυτόνομα. Τα συστήματα οργάνωσης των λογικών νοητικών πράξεων περιγράφονται στη θεωρία του Piaget με όρους τυπικής λογικής, ως συνδυασμοί τάξεων, ως συνδυασμοί σχέσεων μεταξύ τάξεων και ως συνδυασμοί λογικών κρίσεων και προτάσεων. Τα διαφορετικά συστήματα οργάνωσης των λογικών νοητικών πράξεων που κυριαρχούν σε κάθε ευσταθή δομική ολότητα, αποδίδουν στις λογικές νοητικές πράξεις διαφορετικές ιδιότητες και λειτουργίες, οι οποίες καθιστούν δυνατή τη συγκρότηση και ανάπτυξη διαφορετικών τύπων νοητικών χειρισμών και κατά συνέπεια διαφορετικών τύπων λογικών συλλογισμών. Με βάση τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά των συστημάτων των λογικών νοητικών πράξεων που κυριαρχούν σε κάθε ευσταθή δομική ολότητα περιγράφεται στο θεωρητικό σχήμα του Piaget η νοητική εξέλιξη του ατόμου, η οποία συσχετιζόμενη ταυτόχρονα με τη βιολογική του εξέλιξη και την προοδευτική κοινωνικοποίηση της σκέψης του, διακρίνεται σε τέσσαρες κύριες περιόδους. Την περίοδο της αισθησιο-κινητικής νοημοσύνης (μέχρι την ηλικία των 2 ετών περίπου), την περίοδο της προ-συλλογιστικής σκέψης (από την ηλικία των 2 μέχρι την ηλικία των 7 ετών περίπου), την περίοδο των συγκεκριμένων λογικών πράξεων (από την ηλικία των 7 μέχρι την ηλικία των 11 ετών περίπου) και την περίοδο των τυπικών λογικών πράξεων (από την ηλικία των 12 ετών περίπου και εξής) 3. Κάθε περίοδος περιλαμβάνει περισσότερα από ένα στάδια συγκρότησης, ανάπτυξης και οργάνωσης των λογικών νοητικών δομών σε μια σταθερή σε γενικές γραμμές ακολουθία. 3 Τα χρονικά όρια που αντιστοιχούν σε κάθε περίοδο νοητικής ανάπτυξης είναι σύμφωνα με το θεωρητικό πλαίσιο του Piaget ενδεικτικά και σε καμιά περίπτωση σταθερά ή ενιαία για κάθε άτομο, εξαρτώμενα από μια σειρά ψυχο-βιολογικών, κοινωνικών και εκπαιδευτικών παραγόντων. 11

ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Ενότητα 2: Δημήτρης Χασάπης Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία ΣΚΕΨΗ ΓΛΩΣΣΑ Έννοιες Λέξεις Κρίσεις Προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Ενότητα 1: Δημήτρης Χασάπης Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΩΤΟ ΟΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Ποιες ιδιομορφίες

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Ενότητα 2: Δημήτρης Χασάπης Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΣΧΕΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΑΤΑΝΟΩΝΤΑΣ ΤΑ ΠΡΑΓΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΥΤΕΡΗ: ΛΕΞΕΙΣ ΝΟΗΜΑ ΚΑΙ ΚΑΘΟΛΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΑΤΑΝΟΩΝΤΑΣ ΤΑ ΠΡΑΓΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΥΤΕΡΗ: ΛΕΞΕΙΣ ΝΟΗΜΑ ΚΑΙ ΚΑΘΟΛΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΑΤΑΝΟΩΝΤΑΣ ΤΑ ΠΡΑΓΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΥΤΕΡΗ: ΛΕΞΕΙΣ ΝΟΗΜΑ ΚΑΙ ΚΑΘΟΛΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 1. Λέξεις και νόημα Η γλώσσα αποτελείται από λέξεις. Η λέξη είναι το μικρότερο τμήμα της γλώσσας

Διαβάστε περισσότερα

Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση

Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση Ενότητα 6: Γεωμετρικά σχήματα και μεγέθη δύο και τριών διαστάσεων Δημήτρης Χασάπης Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ Ή ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ Ή ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ Ή ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Με τις ερωτήσεις του τύπου αυτού καλείται ο εξεταζόμενος να επιλέξει την ορθή απάντηση από περιορισμένο αριθμό προτεινόμενων απαντήσεων ή να συσχετίσει μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΟΠΟΙ ΠΕΙΘΟΥΣ. Επίκληση στη λογική Επίκληση στο συναίσθημα Επίκληση στο ήθος

ΤΡΟΠΟΙ ΠΕΙΘΟΥΣ. Επίκληση στη λογική Επίκληση στο συναίσθημα Επίκληση στο ήθος ΤΡΟΠΟΙ ΠΕΙΘΟΥΣ Επίκληση στη λογική Επίκληση στο συναίσθημα Επίκληση στο ήθος ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΕΚΜΗΡΙΑ (ΜΕΣΑ ΠΕΙΘΟΥΣ ΕΠΙΚΛΗΣΗ ΣΤΗ ΛΟΓΙΚΗ) Όταν θέλουμε να πείσουμε με λογικές αποδείξεις, τότε χρησιμοποιούμε:

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Μαθηματικά (Άλγεβρα - Γεωμετρία) Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Η ιστορία της παιδικής συμπεριφοράς γεννιέται από την συνύφανση αυτών των δύο γραμμών (Vygotsky 1930/ 1978, σελ. 46).

Η ιστορία της παιδικής συμπεριφοράς γεννιέται από την συνύφανση αυτών των δύο γραμμών (Vygotsky 1930/ 1978, σελ. 46). 1896 1934 2 ξεχωριστές στην καταγωγή τους γραμμές ανάπτυξης: Α) Μία πρωτόγονη, φυσική γραμμή ανάπτυξης,, αυτόνομης εκδίπλωσης των βιολογικών δομών του οργανισμού, και Β) μία πολιτισμική, ανώτερη ψυχολογική

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση Διδακτικής του Μαθήµατος των Θρησκευτικών. Γ Οµάδα

Άσκηση Διδακτικής του Μαθήµατος των Θρησκευτικών. Γ Οµάδα Άσκηση Διδακτικής του Μαθήµατος των Θρησκευτικών Γ Οµάδα Διδάσκων: Αθ. Στογιαννίδης Λέκτορας 11ο Μάθηµα Διερεύνηση Προϋποθέσεων Διδασκαλίας - Α : Η θεωρία του Jean Piaget για τη νοητική ανάπτυξη του ανθρώπου

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Ενότητα 4: Δημήτρης Χασάπης Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία ΚΛΑΣΜΑ ΚΑΙ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΚΛΑΣΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτική Ψυχολογία Μάθημα 2 ο. Γνωστικές Θεωρίες για την Ανάπτυξη: Θεωρητικές Αρχές και Εφαρμογές στην Εκπαίδευση

Εκπαιδευτική Ψυχολογία Μάθημα 2 ο. Γνωστικές Θεωρίες για την Ανάπτυξη: Θεωρητικές Αρχές και Εφαρμογές στην Εκπαίδευση Εκπαιδευτική Ψυχολογία Μάθημα 2 ο Γνωστικές Θεωρίες για την Ανάπτυξη: Θεωρητικές Αρχές και Εφαρμογές στην Εκπαίδευση Αντιπαράθεση φύσης ανατροφής η ανάπτυξη είναι προκαθορισμένη κατά την γέννηση από την

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΖΟΥΜΕ ΚΑΘΕ ΕΙΔΟΥΣ ΕΡΩΤΗΣΗ - ΑΣΚΗΣΗ Σκοπός της ενότητας αυτής είναι να προετοιμάσει το μαθητή, ώστε να μπορεί να ανταπεξέλθει σε κάθε

ΠΩΣ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΖΟΥΜΕ ΚΑΘΕ ΕΙΔΟΥΣ ΕΡΩΤΗΣΗ - ΑΣΚΗΣΗ Σκοπός της ενότητας αυτής είναι να προετοιμάσει το μαθητή, ώστε να μπορεί να ανταπεξέλθει σε κάθε ΠΩΣ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΖΟΥΜΕ ΚΑΘΕ ΕΙΔΟΥΣ ΕΡΩΤΗΣΗ - ΑΣΚΗΣΗ Σκοπός της ενότητας αυτής είναι να προετοιμάσει το μαθητή, ώστε να μπορεί να ανταπεξέλθει σε κάθε είδους ερώτηση που θα τεθεί στις Πανελλήνιες εξετάσει.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΤΟ ΑΠ ΤΟΥ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΣΧΟΛΕΙΟΥ

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΤΟ ΑΠ ΤΟΥ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΣΧΟΛΕΙΟΥ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΤΟ ΑΠ ΤΟΥ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΣΧΟΛΕΙΟΥ Τι είναι Μαθηματικά; Ποια είναι η αξία τους καθημερινή ζωή ανάπτυξη λογικής σκέψης αισθητική αξία και διανοητική απόλαυση ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΤΟ ΑΠ ΤΟΥ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία Μαθηματικά Β Γυμνασίου Επανάληψη στη Θεωρία Α.1.1: Η έννοια της μεταβλητής - Αλγεβρικές παραστάσεις Α.1.2: Εξισώσεις α βαθμού Α.1.4: Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων Α.1.5: Ανισώσεις α βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΊΕς ΜΆΘΗΣΗς ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΆ

ΘΕΩΡΊΕς ΜΆΘΗΣΗς ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΆ ΘΕΩΡΊΕς ΜΆΘΗΣΗς ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΆ ΔΟΜΕΣ Δομή Ομάδας Σύνολο Α και μια πράξη η πράξη είναι κλειστή ισχύει η προσεταιριστική ιδότητα υπάρχει ουδέτερο στοιχείο υπάρχει αντίστροφο στοιχείο ισχύει η αντιμεταθετική

Διαβάστε περισσότερα

Αρχές Φιλοσοφίας Β Λυκείου Τράπεζα Θεμάτων: 2 ο κεφάλαιο «Κατανοώντας τα πράγματα»

Αρχές Φιλοσοφίας Β Λυκείου Τράπεζα Θεμάτων: 2 ο κεφάλαιο «Κατανοώντας τα πράγματα» Αρχές Φιλοσοφίας Β Λυκείου Τράπεζα Θεμάτων: 2 ο κεφάλαιο «Κατανοώντας τα πράγματα» Α] Ασκήσεις κλειστού τύπου (Σωστό Λάθος) Για τον Πλάτωνα οι καθολικές έννοιες, τα «καθόλου», δεν είναι πράγματα ξεχωριστά

Διαβάστε περισσότερα

Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I.

Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I. Γεωμετρία Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I. Εισαγωγή Η διδασκαλία της Γεωμετρίας στην Α Λυκείου εστιάζει στο πέρασμα από τον εμπειρικό στο θεωρητικό τρόπο σκέψης, με ιδιαίτερη έμφαση στη μαθηματική απόδειξη. Οι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΚΕΨΗ 30/11/2001. Εισαγωγή στην Ψυχολογία Σκέψη Στέλλα Βοσνιάδου

ΣΚΕΨΗ 30/11/2001. Εισαγωγή στην Ψυχολογία Σκέψη Στέλλα Βοσνιάδου ΣΚΕΨΗ Έννοιες Κλασσική θεωρία: αναγκαία και επαρκεί καθοριστικά γνωρίσµατα Θεωρία των προτύπων: Rosch Medin & Murphy Barsalou Αριθµός µετασχηµατισµών από το πρότυπο Η αναγνώριση των γεωµετρικών σχηµάτων,

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία του Piaget για την εξέλιξη της νοημοσύνης

Η Θεωρία του Piaget για την εξέλιξη της νοημοσύνης Η Θεωρία του Piaget για την εξέλιξη της νοημοσύνης Σύμφωνα με τον Piaget, η νοημοσύνη είναι ένας δυναμικός παράγοντας ο οποίος οικοδομείται προοδευτικά, έχοντας σαν βάση την κληρονομικότητα, αλλά συγχρόνως

Διαβάστε περισσότερα

18/11/ η ΠΑΡΑΔΟΣΗ. Η ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΗΣ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗΣ (Κονστρουκτιβιστική προσέγγιση)

18/11/ η ΠΑΡΑΔΟΣΗ. Η ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΗΣ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗΣ (Κονστρουκτιβιστική προσέγγιση) 2 η ΠΑΡΑΔΟΣΗ JEAN PIAGET JEAN PIAGET Η ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΗΣ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗΣ (Κονστρουκτιβιστική προσέγγιση) 1 Το κονστρουκτιβιστικό πλαίσιο αναφοράς «Η Η νοημοσύνη είναι μία προσαρμογή», (Piaget 1936, 1977, σελ. 15),

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑ (ΨΧ 00)

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑ (ΨΧ 00) ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑ (ΨΧ 00) Πέτρος Ρούσσος ΔΙΑΛΕΞΗ 5 Έννοιες και Κλασική Θεωρία Εννοιών Έννοιες : Θεμελιώδη στοιχεία από τα οποία αποτελείται το γνωστικό σύστημα Κλασική θεωρία [ή θεωρία καθοριστικών

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Καταστάσεων προβλημάτων στο Νηπιαγωγείο. Από τη μοιρασιά της τούρτας στην ανάπτυξη γεωμετρικών εννοιών

Διαχείριση Καταστάσεων προβλημάτων στο Νηπιαγωγείο. Από τη μοιρασιά της τούρτας στην ανάπτυξη γεωμετρικών εννοιών Διαχείριση Καταστάσεων προβλημάτων στο Νηπιαγωγείο Από τη μοιρασιά της τούρτας στην ανάπτυξη γεωμετρικών εννοιών Το πρόβλημα Ζητήθηκε από τα παιδιά να χωριστούν σε ομάδες και να προσπαθήσουν να μοιράσουν

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Ενότητα 3: Δημήτρης Χασάπης Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία ΟΙ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΤΙ ΕΝΑΙ ΑΡΙΘΜΟΣ; Μάθημα

Διαβάστε περισσότερα

4. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ Ή ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ

4. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ Ή ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 4. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ Ή ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Με τις ερωτήσεις του τύπου αυτού καλείται ο εξεταζόµενος να επιλέξει την ορθή απάντηση από περιορισµένο αριθµό προτεινόµενων απαντήσεων ή να συσχετίσει µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

Στ Τάξη. Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1

Στ Τάξη. Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1 Ενδεικτική Οργάνωση Ενοτήτων Στ Τάξη Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1 15 Αρ3.1 Απαγγέλουν, διαβάζουν, γράφουν και αναγνωρίζουν ποσότητες αριθμών Επανάληψη μέχρι το 1 000

Διαβάστε περισσότερα

Αναπτυξιακή Ψυχολογία. Διάλεξη 6: Η ανάπτυξη της εικόνας εαυτού - αυτοαντίληψης

Αναπτυξιακή Ψυχολογία. Διάλεξη 6: Η ανάπτυξη της εικόνας εαυτού - αυτοαντίληψης Αναπτυξιακή Ψυχολογία Διάλεξη 6: Η ανάπτυξη της εικόνας εαυτού - αυτοαντίληψης Θέματα διάλεξης Η σημασία της αυτοαντίληψης Η φύση και το περιεχόμενο της αυτοαντίληψης Η ανάπτυξη της αυτοαντίληψης Παράγοντες

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 1 4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Εξίσωση µε έναν άγνωστο: Ονοµάζουµε µία ισότητα η οποία περιέχει αριθµούς και ένα γράµµα που είναι ο άγνωστος της εξίσωσης.. Λύση ή ρίζα της εξίσωσης : Είναι ο αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

άλγεβρα και αλγεβρική σκέψη μαρία καλδρυμίδου

άλγεβρα και αλγεβρική σκέψη μαρία καλδρυμίδου άλγεβρα και αλγεβρική σκέψη μαρία καλδρυμίδου άλγεβρα από την επίλυση εξισώσεων στη μελέτη των μεταβολών, των σχέσεων, των κανονικοτήτων και δομών, σε ένα περιβάλλον αναλυτικού συμβολικού συλλογισμού με

Διαβάστε περισσότερα

Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση

Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση Ενότητα 4: Ευκλείδειος χώρος και γεωμετρικές έννοιες Δημήτρης Χασάπης Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Ποιες είναι

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Ενότητα 4: Οι αριθμητικοί πράξεις: Πολλαπλασιασμός - Διαίρεση Δημήτρης Χασάπης Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Ενότητα 3: Δημήτρης Χασάπης Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία ΟΙ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Τι είναι αριθμός; Ποιες

Διαβάστε περισσότερα

Αναπτυξιακή Ψυχολογία

Αναπτυξιακή Ψυχολογία Αναπτυξιακή Ψυχολογία Διάλεξη 2: Η ανάπτυξη της σκέψης του παιδιού Η γνωστική-εξελικτική θεωρία του J. Piaget Μέρος Ι Θέματα διάλεξης Νοημοσύνη Ανάπτυξη Μάθηση Οι κύριοι παράγοντες που ορίζουν την ανάπτυξη

Διαβάστε περισσότερα

Αξιολόγηση Επιχειρήματος Θεωρία & Ασκήσεις

Αξιολόγηση Επιχειρήματος Θεωρία & Ασκήσεις ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Γιάννης Ι. Πασσάς, MEd 29 Απριλίου 2018 Αξιολόγηση Επιχειρήματος Θεωρία & Ασκήσεις Διδακτικοί Στόχοι Επιδιώκεται ο μαθητής να ελέγχει την αλήθεια, την εγκυρότητα και την ορθότητα ενός

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

παράγραφος Εκταση Περιεχόμενο Δομή Εξωτερικά στοιχεία 8-10 σειρές Ολοκληρωμένο νόημα Οργανωμένη και λογική Εμφανή και ευδιάκριτα

παράγραφος Εκταση Περιεχόμενο Δομή Εξωτερικά στοιχεία 8-10 σειρές Ολοκληρωμένο νόημα Οργανωμένη και λογική Εμφανή και ευδιάκριτα παράγραφος Εκταση 8-10 σειρές Περιεχόμενο Ολοκληρωμένο νόημα Δομή Οργανωμένη και λογική Εξωτερικά στοιχεία Εμφανή και ευδιάκριτα Δομή παραγράφου Θεματική περίοδος- πρόταση Βασικές λεπτομέρειες /σχόλια

Διαβάστε περισσότερα

Κοινωνικο-πολιτισμική προσέγγιση - VYGOTSKY

Κοινωνικο-πολιτισμική προσέγγιση - VYGOTSKY Ο πρώτος που διατύπωσε μια ιστορικο-κοινωνική προσέγγιση της ανθρώπινης νοητικής δραστηριότητας η ανθρώπινη δραστηριότητα δια-μεσολαβείται από ιστορικά και κοινωνικά διαμορφωμένα συστήματα συμβολικών αναπαραστάσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΚΑΤΑ ΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΟΥΣ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΕΟΛΟΓΙΚΟΙ ΤΟΥΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΙ

ΤΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΚΑΤΑ ΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΟΥΣ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΕΟΛΟΓΙΚΟΙ ΤΟΥΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΙ ΤΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΚΑΤΑ ΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΟΥΣ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΕΟΛΟΓΙΚΟΙ ΤΟΥΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΙ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΧΑΣΑΠΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ Δ.Ε. ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία. I. Εισαγωγή

Γεωμετρία. I. Εισαγωγή I. Εισαγωγή Γεωμετρία Η διδασκαλία της Γεωμετρίας στην Α Λυκείου εστιάζει στο πέρασμα από τον εμπειρικό στο θεωρητικό τρόπο σκέψης, με ιδιαίτερη έμφαση στη μαθηματική απόδειξη. Οι μαθητές έχουν έρθει σε

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτική Ψυχολογία Μάθημα 2 ο. Γνωστικές Θεωρίες για την Ανάπτυξη: Θεωρητικές Αρχές και Εφαρμογές στην Εκπαίδευση

Εκπαιδευτική Ψυχολογία Μάθημα 2 ο. Γνωστικές Θεωρίες για την Ανάπτυξη: Θεωρητικές Αρχές και Εφαρμογές στην Εκπαίδευση Εκπαιδευτική Ψυχολογία Μάθημα 2 ο Γνωστικές Θεωρίες για την Ανάπτυξη: Θεωρητικές Αρχές και Εφαρμογές στην Εκπαίδευση Αντιπαράθεση φύσης ανατροφής η ανάπτυξη είναι προκαθορισμένη κατά την γέννηση από την

Διαβάστε περισσότερα

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι για το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουν

Διαβάστε περισσότερα

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1.

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. Στο επίπεδο 0, στις πρώτες τάξεις του δηµοτικού σχολείου, όπου στόχος είναι η οµαδοποίηση των γεωµετρικών σχηµάτων σε οµάδες µε κοινά χαρακτηριστικά στη µορφή τους, είδαµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑ (ΨΧ 00)

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑ (ΨΧ 00) ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑ (ΨΧ 00) Πέτρος Ρούσσος ΔΙΑΛΕΞΗ 6 Τι είναι Νοημοσύνη; Η ικανότητα του ατόμου να αφομοιώνει νέες πληροφορίες, να επωφελείται από τις εμπειρίες του και να προσαρμόζεται ρμ σε νέες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ Εισαγωγικό σημείωμα... 7 ΛΟΓΙΚΗ... 13 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 15 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 25 I Η έννοια της Λογικής... 25 II Κύριες διαιρέσεις της Λογικής -Έκθεση - Χρησιμότητα αυτής της επιστήμης - Σύνοψη

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική θεωρία. Οι σημαντικότερες αποδείξεις. Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου. Ασκήσεις. Διαγωνίσματα

Συνοπτική θεωρία. Οι σημαντικότερες αποδείξεις. Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου. Ασκήσεις. Διαγωνίσματα Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Συνοπτική θεωρία Οι σημαντικότερες αποδείξεις Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΚΕΦΑΙΑΟ 9 ο : ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του

Διαβάστε περισσότερα

ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΟΡΙΑΚΗΣ ΙΑΤΡΙΚΗΣ και ΒΙΟΪΑΤΡΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ. http://www.imibe.gr info@imibe.gr

ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΟΡΙΑΚΗΣ ΙΑΤΡΙΚΗΣ και ΒΙΟΪΑΤΡΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ. http://www.imibe.gr info@imibe.gr ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΟΡΙΑΚΗΣ ΙΑΤΡΙΚΗΣ και ΒΙΟΪΑΤΡΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ http://www.imibe.gr info@imibe.gr Άννα Παγοροπούλου Επικ. Καθηγήτρια Ψυχολογίας Φιλοσοφική Σχολή Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Η σημερινή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α Τάξης Ημερησίου ΓΕΛ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α Τάξης Ημερησίου ΓΕΛ ΑΛΓΕΒΡΑ Α Τάξης Ημερησίου ΓΕΛ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ Ι. Εισαγωγή Το μάθημα «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων» περιέχει σημαντικές μαθηματικές έννοιες, όπως, της απόλυτης τιμής, των προόδων, της συνάρτησης κ.ά.,

Διαβάστε περισσότερα

Επιβλέπων καθηγητής: κ. Δημήτρης Χασάπης

Επιβλέπων καθηγητής: κ. Δημήτρης Χασάπης ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΙΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΤΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Σπανοπούλου Ελένη ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

Λογική. Μετά από αυτά, ορίζεται η Λογική: είναι η επιστήμη που προσπαθεί να εντοπίσει και να αναλύσει τους καθολικούς κανόνες της νόησης.

Λογική. Μετά από αυτά, ορίζεται η Λογική: είναι η επιστήμη που προσπαθεί να εντοπίσει και να αναλύσει τους καθολικούς κανόνες της νόησης. Λογική Εισαγωγικά, το ζήτημα της Λογικής δεν είναι παρά η άσκηση 3 δυνάμεων της νόησης: ο συλλογισμός, η έννοια και η κρίση. Ακόμη και να τεθεί θέμα υπερβατολογικό αναφορικά με το ότι πρέπει να αποδειχθεί

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

O μετασχηματισμός μιας «διαθεματικής» δραστηριότητας σε μαθηματική. Δέσποινα Πόταρη Πανεπιστήμιο Πατρών

O μετασχηματισμός μιας «διαθεματικής» δραστηριότητας σε μαθηματική. Δέσποινα Πόταρη Πανεπιστήμιο Πατρών O μετασχηματισμός μιας «διαθεματικής» δραστηριότητας σε μαθηματική Δέσποινα Πόταρη Πανεπιστήμιο Πατρών Η έννοια της δραστηριότητας Δραστηριότητα είναι κάθε ανθρώπινη δράση που έχει ένα κίνητρο και ένα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά για Διδασκαλία III

Μαθηματικά για Διδασκαλία III Μαθηματικά για Διδασκαλία III Μαριάννα Τζεκάκη Απαραίτητα στον εκπαιδευτικό Μαθηματικό περιεχόμενο γνώση Ζητήματα των στόχων της διδασκαλίας των μαθηματικών μάθησης και του σχετικού μαθηματικού περιεχομένου

Διαβάστε περισσότερα

Νεοελληνική Γλώσσα Γ Λυκείου

Νεοελληνική Γλώσσα Γ Λυκείου Νεοελληνική Γλώσσα Γ Λυκείου Αξιολόγηση Επιχειρήματος Α. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Είδη Συλλογισμών ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΟΣ ΕΠΑΓΩΓΙΚΟΣ κατηγορικός γενίκευση υποθετικός αίτιο -αποτέλεσμα διαζευκτικός αναλογία Παραγωγικός Συλλογισμός

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

Αναπτυξιακή Ψυχολογία. Διάλεξη 3: Η ανάπτυξη της σκέψης του παιδιού Η γνωστική-εξελικτική θεωρία του J. Piaget Μέρος ΙI

Αναπτυξιακή Ψυχολογία. Διάλεξη 3: Η ανάπτυξη της σκέψης του παιδιού Η γνωστική-εξελικτική θεωρία του J. Piaget Μέρος ΙI Αναπτυξιακή Ψυχολογία Διάλεξη 3: Η ανάπτυξη της σκέψης του παιδιού Η γνωστική-εξελικτική θεωρία του J. Piaget Μέρος ΙI Θέματα διάλεξης Το στάδιο ανάπτυξης της συγκεκριμένης λογικής σκέψης Tο στάδιο ανάπτυξης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΜΟΡΦΩΜΕΝΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΝΟΗΜΑΤΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ Β ΤΑΞΗ (Σ. Καρύπη, Μ. Χατζοπούλου) Ι.Ε.Π. 2018

ΑΝΑΜΟΡΦΩΜΕΝΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΝΟΗΜΑΤΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ Β ΤΑΞΗ (Σ. Καρύπη, Μ. Χατζοπούλου) Ι.Ε.Π. 2018 Περιεχόμενο γενικών στόχων ΑΝΑΜΟΡΦΩΜΕΝΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΝΟΗΜΑΤΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ Β ΤΑΞΗ (Σ. Καρύπη, Μ. Χατζοπούλου) Ι.Ε.Π. 2018 Αντιληπτική γλώσσα Εκφραστική γλώσσα Ο/η μαθητής-τρια ασκείται βαθμιαία

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

Σχόλιο. Παρατηρήσεις. Παρατηρήσεις. p q p. , p1 p2

Σχόλιο. Παρατηρήσεις. Παρατηρήσεις. p q p. , p1 p2 A. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Στα Μαθηµατικά χρησιµοποιούµε προτάσεις οι οποίες µπορούν να χαρακτηριστούν ως αληθείς (α) ή ψευδείς (ψ). Τις προτάσεις συµβολίζουµε µε τα τελευταία µικρά γράµµατα του Λατινικού αλφαβήτου:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ «ΝΕΑ ΠΑΙΔΕΙΑ» Τοµέας Νέων Ελληνικών. ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2018 Εξεταστέα Ύλη Νεοελληνικής Γλώσσας

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ «ΝΕΑ ΠΑΙΔΕΙΑ» Τοµέας Νέων Ελληνικών. ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2018 Εξεταστέα Ύλη Νεοελληνικής Γλώσσας ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ «ΝΕΑ ΠΑΙΔΕΙΑ» Τοµέας Νέων Ελληνικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2018 Εξεταστέα Ύλη Νεοελληνικής Γλώσσας 12 Στην εξεταστέα ύλη του µαθήµατος της Νεοελληνικής Γλώσσας της Γ' τάξης Ηµερησίου Γενικού

Διαβάστε περισσότερα

p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q

p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q Σημειώσεις του Μαθήματος Μ2422 Λογική Κώστας Σκανδάλης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2010 Εισαγωγή Η Λογική ασχολείται με τους νόμους ορθού συλλογισμού και μελετά τους κανόνες βάσει των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Ενότητα 3: Oι έννοιες του αριθμού Δημήτρης Χασάπης Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία ΜΑΘΗΜΑ ΕΚΤΟ Συμβολικές

Διαβάστε περισσότερα

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες. ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ 1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη

Διαβάστε περισσότερα

A N A B P Y T A ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ. 1 (α + β + γ) [(α-β) 2 +(α-γ) 2 +(β-γ) 2 ] και τις υποθέσεις

A N A B P Y T A ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ. 1 (α + β + γ) [(α-β) 2 +(α-γ) 2 +(β-γ) 2 ] και τις υποθέσεις ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΑΣΚΗΣΗ η Αν α +β +γ = αβγ και α + β + γ, να δείξετε ότι το πολυώνυμο P()=(α β) +(β γ) + γ α είναι το μηδενικό πολυώνυμο. Από την ταυτότητα του Euler α +β +γ -αβγ = (α + β + γ)[(α-β)

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΛΟΓΙΚΗΣ ΧΛΤΖΙΝ ΠΥΛΟΣ ΒΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ύο προτάσεις που έχουν την ίδια σηµασία λέγονται ταυτόσηµες. 2. Μια αποφαντική πρόταση χαρακτηρίζεται αληθής όταν περιγράφει µια πραγµατική κατάσταση του κόσµου µας.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑ 331 Διδακτική των Μαθηματικών. Παρουσίαση «Γεωμετρία» ΤΑ ΕΠΙΠΕΔΑ Van Hiele Επίπεδο 0. Επίπεδο Σφαιρικής ή ολικής αντίληψης

ΕΠΑ 331 Διδακτική των Μαθηματικών. Παρουσίαση «Γεωμετρία» ΤΑ ΕΠΙΠΕΔΑ Van Hiele Επίπεδο 0. Επίπεδο Σφαιρικής ή ολικής αντίληψης ΕΠΑ 331 Διδακτική των Μαθηματικών Παρουσίαση «Γεωμετρία» ΤΑ ΕΠΙΠΕΔΑ Van Hiele Επίπεδο 0. Επίπεδο Σφαιρικής ή ολικής αντίληψης 1 ΤΑ ΕΠΙΠΕΔΑ Van Hiele Επίπεδο 0. Επίπεδο Σφαιρικής ή ολικής αντίληψης 1. Αναγνωρίζουν

Διαβάστε περισσότερα

1. Γενικά για τα τετράπλευρα

1. Γενικά για τα τετράπλευρα 1. ενικά για τα τετράπλευρα Ένα τετράπλευρο θα λέγεται κυρτό αν η προέκταση οποιασδήποτε πλευράς του αφήνει το σχήμα από το ίδιο μέρος (στο ίδιο ημιεπίπεδο, όπως λέμε καλύτερα). κορυφές γωνία εξωτερική

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Απόδειξη

Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Σύντομο ιστορικό σημείωμα: Η πρώτη απόδειξη στην ιστορία των μαθηματικών, αποδίδεται στο Θαλή το Μιλήσιο (~600 π.χ.). Ο Θαλής απέδειξε, ότι η διάμετρος διαιρεί τον κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση

Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση Ενότητα 5: Η ανάπτυξη της γεωμετρικής σκέψης. Η θεωρία των van Hiele. Δημήτρης Χασάπης Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΡΟΣ Α ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών. Ονομάζεται αλγεβρική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων 2016-2017 Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Περιεχόμενα Στόχοι Πηγή Υλικού 3.1 Αριθμοί Οι μαθητές πρέπει: Σχολικά βιβλία Ε και ΣΤ Φυσικοί, Δεκαδικοί, μετρήσεις Να μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ; Εμμ. Νικολουδάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ; Εμμ. Νικολουδάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ; Εμμ. Νικολουδάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών Η Ευκλείδεια Γεωμετρία σε σχέση με Θεωρία van Hiele Οι τρεις κόσμοι του Tall

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2:Στοιχεία Μαθηματικής Λογικής Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

άλγεβρα και αλγεβρική σκέψη στην πρώτη σχολική περίοδο (Νηπιαγωγείο Δημοτικό) μαρία καλδρυμίδου

άλγεβρα και αλγεβρική σκέψη στην πρώτη σχολική περίοδο (Νηπιαγωγείο Δημοτικό) μαρία καλδρυμίδου άλγεβρα και αλγεβρική σκέψη στην πρώτη σχολική περίοδο (Νηπιαγωγείο Δημοτικό) μαρία καλδρυμίδου κάποια ερωτήματα τι είναι η άλγεβρα; τι περιλαμβάνει η άλγεβρα; ποια η σχέση της με την αριθμητική; γιατί

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Ενότητα 5: Οι διαδοχικές επεκτάσεις της έννοιας του αριθμού: ακέραιος, κλάσμα, ρητός και πραγματικός αριθμός Δημήτρης Χασάπης

Διαβάστε περισσότερα

Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση

Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση Ενότητα 6: Γεωμετρικά σχήματα και μεγέθη δύο και τριών διαστάσεων Δημήτρης Χασάπης Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων : Επίκουρος Καθηγητής Στάθης Παπασταθόπουλος. Τμήμα: Φιλοσοφίας, Παιδαγωγικής και Ψυχολογίας

Διδάσκων : Επίκουρος Καθηγητής Στάθης Παπασταθόπουλος. Τμήμα: Φιλοσοφίας, Παιδαγωγικής και Ψυχολογίας Τίτλος Μαθήματος: ΑΝΑΠΤΥΞΙΑΚΗ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑ Ι Ενότητα: Η ΘΕΩΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΗΣ ΣΚΕΨΗΣ ΤΟΥ L. S. Vygotsky Διδάσκων : Επίκουρος Καθηγητής Στάθης Παπασταθόπουλος Τμήμα: Φιλοσοφίας, Παιδαγωγικής και Ψυχολογίας

Διαβάστε περισσότερα

Πρόταση. Αληθείς Προτάσεις

Πρόταση. Αληθείς Προτάσεις Βασικές έννοιες της Λογικής 1 Πρόταση Στην καθημερινή μας ομιλία χρησιμοποιούμε εκφράσεις όπως: P1: «Καλή σταδιοδρομία» P2: «Ο Όλυμπος είναι το ψηλότερο βουνό της Ελλάδας» P3: «Η Θάσος είναι το μεγαλύτερο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Ψυχολογία Ενότητα 13: Σκέψη

Εισαγωγή στην Ψυχολογία Ενότητα 13: Σκέψη Εισαγωγή στην Ψυχολογία Ενότητα 13: Σκέψη Διδάσκουσα: Ειρήνη Σκοπελίτη Τμήμα Επιστημών της Εκπαίδευσης και της Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Σκοπός ενότητας Εισαγωγή στις βασικές διεργασίες της ανθρώπινης

Διαβάστε περισσότερα

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος.

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Ενότητα 2 Γραμμικά Συστήματα Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Να ερμηνεύουμε γραφικά τη

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμένες σελίδες του βιβλίου

Ορισμένες σελίδες του βιβλίου Ορισμένες σελίδες του βιβλίου 7. Θεωρούμε το σύνολο αναφοράς 0,,. Να οριστούν τα σύνολα: Α. των τριψηφίων αριθμών που σχηματίζουν τα στοιχεία του Ω. Β. των τριψηφίων αριθμών με διαφορετικά ψηφία Γ. των

Διαβάστε περισσότερα

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ ΚΥΠΡΙΑΝΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς είναι ίσο με την υποτείνουσα επί την προβολή της πλευράς στην υποτείνουσα. ΑΒ 2 = ΒΓ ΑΔ ή ΑΓ 2 = ΒΓ ΓΔ Σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Σύµφωνα µε την Υ.Α /Γ2/ Εξισώσεις 2 ου Βαθµού. 3.2 Η Εξίσωση x = α. Κεφ.4 ο : Ανισώσεις 4.2 Ανισώσεις 2 ου Βαθµού

Σύµφωνα µε την Υ.Α /Γ2/ Εξισώσεις 2 ου Βαθµού. 3.2 Η Εξίσωση x = α. Κεφ.4 ο : Ανισώσεις 4.2 Ανισώσεις 2 ου Βαθµού Σύµφωνα µε την Υ.Α. 139606/Γ2/01-10-2013 Άλγεβρα Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΛ Ι. ιδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου» (έκδοση 2013) Εισαγωγικό κεφάλαιο E.2. Σύνολα Κεφ.1

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Εκπαιδευτικής Έρευνας στη ΜΕ

Μεθοδολογία Εκπαιδευτικής Έρευνας στη ΜΕ Μεθοδολογία Εκπαιδευτικής Έρευνας στη ΜΕ Χ Α Ρ Α Λ Α Μ Π Ο Σ Σ Α Κ Ο Ν Ι Δ Η Σ, Δ Π Θ Μ Α Ρ Ι Α Ν Ν Α Τ Ζ Ε Κ Α Κ Η, Α Π Θ Α. Μ Α Ρ Κ Ο Υ, Δ Π Θ Α Χ Ε Ι Μ Ε Ρ Ι Ν Ο 2 0 17-2018 2 ο παραδοτέο 8/12/2016

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑ με έμφαση στις γνωστικές λειτουργίες. Θεματική Ενότητα 5: Σχολές σκέψης στην ψυχολογία: III

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑ με έμφαση στις γνωστικές λειτουργίες. Θεματική Ενότητα 5: Σχολές σκέψης στην ψυχολογία: III ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑ με έμφαση στις γνωστικές λειτουργίες Θεματική Ενότητα 5: Σχολές σκέψης στην ψυχολογία: III Θεματική Ενότητα 5: Στόχοι: Η εισαγωγή των φοιτητών στην ψυχολογική προσέγγιση της Σχολής

Διαβάστε περισσότερα

2. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 και του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες, όταν αντιστραφούν τα ψηφία τους; Γ. Αν, Δ. Αν, τότε. τότε.

2. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 και του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες, όταν αντιστραφούν τα ψηφία τους; Γ. Αν, Δ. Αν, τότε. τότε. 11η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα πρίλιος 010 Χρόνος: 60 λεπτά ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Το τελευταίο ψηφίο του αριθμού 1 3 5 Ε 9 7. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες όταν αντιστραφούν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 016-17 1. Τι ονομάζεται αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται κάθε έκφραση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών και μεταβλητών.. Τι ονομάζεται αριθμητική τιμή αλγεβρικής

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρικές έννοιες και µετρήσεις µεγεθών. (ή, διαφορετικά, αντίληψη του χώρου)

Γεωµετρικές έννοιες και µετρήσεις µεγεθών. (ή, διαφορετικά, αντίληψη του χώρου) Γεωµετρικές έννοιες και µετρήσεις µεγεθών (ή, διαφορετικά, αντίληψη του χώρου) αντιλήψεις παιδιών (κι όχι µόνο) τι είναι γεωµετρία; Όταν αντιμετωπίζω προβλήματα γεωμετρίας νιώθω σαν να κάνω ένα είδος μεταγνωστικής

Διαβάστε περισσότερα

II ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ. Κεφ.3ο: Τρίγωνα 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων

II ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ. Κεφ.3ο: Τρίγωνα 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΛΗΣ (version 22-10-2016) Τα παρακάτω προέρχονται (με δικές μου αλλαγές μορφοποίησης προσθήκες και σχολιασμό) από το έγγραφο (σελ.15 και μετά) με Αριθμό Πρωτοκόλλου 150652/Δ2, που

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα