Ορισμένες σελίδες του βιβλίου

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ορισμένες σελίδες του βιβλίου"

Transcript

1 Ορισμένες σελίδες του βιβλίου

2 7. Θεωρούμε το σύνολο αναφοράς 0,,. Να οριστούν τα σύνολα: Α. των τριψηφίων αριθμών που σχηματίζουν τα στοιχεία του Ω. Β. των τριψηφίων αριθμών με διαφορετικά ψηφία Γ. των τριψηφίων αριθμών που έχουν ένα τουλάχιστον ψηφίο περιττό αριθμό. Δ. των τριψηφίων αριθμών που έχουν το πολύ ένα ψηφίο άρτιο αριθμό. Ε. των τριψηφίων αριθμών με κανένα ψηφίο άρτιο αριθμό. Ζ. των τριψηφίων αριθμών με διαφορετικά ψηφία Η. των μεγάλων τριψηφίων αριθμών. Α: Για να σχηματίζουν τα στοιχεία του Ω τριψήφιο αριθμό, θα πρέπει το ο ψηφίο να μην είναι το 0. Άρα το ο ψηφίο θα είναι ή, ενώ το ο και ο ψηφίο μπορεί να είναι 0, ή. Οι τριψήφιοι αριθμοί που μπορούν να δημιουργηθούν από τα στοιχεία του Ω φαίνονται στο διπλανό δενδροδιάγραμμα: Επομένως το σύνολο των τριψήφιων αριθμών που μπορεί να σχηματίσουν τα στοιχεία του Ω είναι: 00,0,0,0,,,0,,, 00,0,0,0,,,0,,. Β: Το σύνολο των τριψήφιων με διαφορετικά στοιχεία που μπορούν να δημιουργηθούν από τα στοιχεία του Ω, είναι : 0,0,0,0 Γ: Το σύνολο των τριψήφιων με ένα τουλάχιστον ψηφίο, περιττό αριθμό, που μπορούν να δημιουργηθούν από τα στοιχεία του Ω, είναι : 00,0,0,0,,,0,,,0, 0,,, Δ: Το σύνολο των τριψήφιων που έχουν το πολύ ένα άρτιο ψηφίο, που μπορούν να δημιουργηθούν από τα στοιχεία του Ω, είναι : 0,0,,,,. Ε: Το σύνολο των τριψήφιων με κανένα άρτιο ψηφίο, που μπορούν να δημιουργηθούν από τα στοιχεία του Ω, είναι : Ζ: Το σύνολο των τριψήφιων με διαφορετικά ψηφία, που μπορούν να δημιουργηθούν από 0,0,0,0 τα στοιχεία του Ω, είναι : Η: Το σύνολο αυτό δεν είναι καλώς ορισμένο, αφού δεν υπάρχει κριτήριο για το τι σημαίνει «μεγάλος τριψήφιος» αριθμός.

3 .. Πράξεις μεταξύ των συνόλων. Όπως και με τους πραγματικούς αριθμούς, έτσι και με τα σύνολα μπορούμε να εκτελούμε μαθηματικές πράξεις. Οι πράξεις αυτές είναι: Ένωση Ενωση δύο υποσυνόλων Α,Β ενός βασικού συνόλου Ω λέγεται το σύνολο των στοιχείων του Ω που ανήκουν τουλάχιστον σε ένα από τα σύνολα Α και Β. Συμβολίζεται με Δηλαδή x / x ή x. Δηλαδή: Ένα στοιχείο x ανήκει στην ένωση των συνόλων Α και Β αν και μόνο αν το x ανήκει ή Α ή Β ή και στα δύο.,, 4,5,, 4,5 Π.χ. Ιδιότητες της ένωσης Αυτοπαθής Αντιμεταθετική ( ) ( ) Προσεταιριστική Απορροφητικό στοιχείο της ένωσης είναι το Ω Ουδέτερο στοιχείο της ένωσης είναι το κενό Τομή Τομή των συνόλων Α και Β είναι ένα νέο σύνολο, που αποτελείται από όλα τα στοιχεία τα οποία ανήκουν ταυτόχρονα στα σύνολα Α και Β. Συμβολίζεται με Δηλαδή x / x και x Ιδιότητες της τομής Αυτοπαθής Αντιμεταθετική Προσεταιριστική ( ) ( ) Απορροφητικό στοιχείο της τομής είναι το κενό. Ουδέτερο στοιχείο της τομής είναι το Ω..

4 4. Δίνονται τα σύνολα 0,,5 και 0,,,,5 με σύνολο αναφοράς το σύνολο των φυσικών αριθμών. Να βρείτε το σύνολο όταν α). β) α) Ισχύει. Άρα το σύνολο είναι υποσύνολο του συνόλου Β. Επειδή, το σύνολο περιέχει οπωσδήποτε τα στοιχεία, που ανήκουν στο Β αλλά δεν ανήκουν στο Α. Μπορεί όμως να περιέχει και κάποια από τα στοιχεία του συνόλου Α. Επομένως το σύνολο μπορεί να είναι κάποιο από τα παρακάτω υποσύνολα του Β. 0,,5,,.,, 0,,,,,, 5,,, 0,,,, 0,5,,,,5,,, β) Ισχύει. Αφού όμως, άρα θα είναι και. Άρα το σύνολο θα περιέχει οπωσδήποτε τα στοιχεία 0,,5 που ανήκουν στο σύνολο Α. Επίσης το δεν μπορεί να περιέχει κάποιο από τα στοιχεία του Β που δεν ανήκουν στο 0,,5,. Α, π.χ. το γιατί τότε θα ήταν Όμοια το δεν μπορεί να περιέχει το. Μπορεί όμως να περιέχει οποιουσδήποτε φυσικούς αριθμούς, εκτός από τους αριθμούς και. Για παράδειγμα το θα μπορούσε να είναι κάποιο από τα σύνολα: 0,,5,4,6 κ.λ.π. 0,,5, 0,,5,4, Γενικά αν θεωρήσουμε το σύνολο, 0,,4,5,6,..., τότε αφού, θα είναι, όπου Δ είναι ένα οποιοδήποτε υποσύνολο του Γ. 5. Δίνονται τα σύνολα x / 0 x 0 και x πολλαπλάσιο του x / 4 x, Να βρείτε τα σύνολα,,,,,( ), ( ) ( ) 0,,4,6,8 4,5,6,7,8,9,0, 0,,4,5,6,7,8,9,0, 4,6,8, 0, 5,7,9,0, ( ) 0,,5,7,9,0, ( ) ( ) 0,,5,7,9,0,,

5 6. Επιλέγουμε τυχαία ένα φυσικό αριθμό. Να βρείτε: α) την πιθανότητα ο αριθμός αυτός να διαιρείται με το β) την πιθανότητα να διαιρείται με το 5 γ) την πιθανότητα να διαιρείται συγχρόνως με το και το 5. Λ ύ σ η α) Έστω Α το ενδεχόμενο: «Ο φυσικός αριθμός διαιρείται με το». Από την ευκλείδεια διαίρεση γνωρίζουμε ότι ένας φυσικός αριθμός ν διαιρούμενος με τον αριθμό δίνει υπόλοιπο ή 0 ή ή. Ένας φυσικός αριθμός διαιρείτε με τον αριθμό όταν το υπόλοιπο της διαίρεσης του αριθμού με το είναι 0. Οπότε ο δειγματικός χώρος είναι: 0,, και ( ) Α: «Ο φυσικός αριθμός διαιρείται με το» είναι 0, ( ) Η επιλογή γίνεται με τυχαίο τρόπο και λόγω της περιοδικότητας των φυσικών αριθμών ως προς τα υπόλοιπα της διαίρεσής τους με το, τα απλά ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα, οπότε έχουμε: ( ) ( ) ( ) β) ( ) Όμοια Β: «Ο φυσικός αριθμός διαιρείται με το 5» οπότε : ( ) ( ) 5 γ) Όμοια Γ: «Ο φυσικός αριθμός διαιρείται συγχρόνως με το και το 5» Η πρόταση «Ο φυσικός αριθμός διαιρείται συγχρόνως με το και το 5» είναι ισοδύναμη με την πρόταση «Ο φυσικός αριθμός διαιρείται με το.5=5» 0,,,...,4 και ( ) 5 0, ( ) Οπότε έχουμε : Οπότε : ( ) ( ) ( ) 5 0. Δίνεται η συνάρτηση f x. f x 8x 45x 6x α, όπου α πραγματικός αριθμός και x. Έστω επίσης, δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου για τα οποία ισχύουν τα εξής: Η πιθανότητα είναι ίση με τη ρίζα x 0, της εξίσωσης 9x 6x 0, ενώ η πιθανότητα είναι ίση με την τιμή Α: Να βρείτε την πιθανότητα. Β: Να αποδείξετε ότι Γ: Αν και α 7, να αποδείξετε ότι. 0 9 α : Α: Η εξίσωση 9x 6x 0 έχει διακρίνουσα 0, επομένως έχει μία διπλή ρίζα x β 6 0 α 8 Άρα. Β: Από την υπόθεση έχουμε f x0 f 8 45 α α

6 .. ΙΙ: Aξιοσημείωτες ταυτότητες Ταυτότητα είναι μία ισότητα που περιέχει μεταβλητές και η οποία επαληθεύεται για όλες τις τιμές των μεταβλητών που περιέχει. Τετράγωνο αθροίσματος δύο αριθμών (α+β) Τετράγωνο διαφοράς δύο αριθμών (α-β) Κύβος αθροίσματος δύο αριθμών (α+β) Κύβος διαφοράς δύο αριθμών (α-β) Τετράγωνο αθροίσματος τριών αριθμών (α+β+γ) Διαφορά τετραγώνων α ( )( ) Διαφορά κύβων α ( )( Άθροισμα κύβων α ( )( Ταυτότητα του Euler α β γ αβγ α β γ α β γ αβ βγ γα α β γ α β β γ γ α Ταυτότητα α Lagrange β x y αx βy αy βx

7 0. Αν x y z 0, να δείξετε ότι x y yz y z zx z x xy 0 x y y z z x. Αφού x y z 0, θα είναι x y z, y z x, z x y. Επομένως έχουμε: x y yz y z zx z x xy x y y z z x x yx y yz y z y z zx z xz x xy z x y x yz yz y zx zx z xy xy z x y z x y y z x y z z x y z x x y ( x y z) 0.. Αν α β γ, α β γ, παράστασης. Έχουμε α β γ αβ βγ γα α β γ, να υπολογίσετε την τιμή της α β γ α β γ αβ βγ γα αβ βγ γα αβ βγ γα. Παίρνουμε τώρα την ταυτότητα του Euler και έχουμε: α β γ αβγ α β γ α β γ αβ βγ γα α β γ αβγ α β γ α β γ αβ βγ γα αβγ αβγ 4.

8 4. Αν α+β γ 0, και αβγ 0, να αποδείξετε ότι 0 β γ α γ α β α β γ. Έχουμε α β γ 0 β γ α Όμοια έχουμε Έτσι έχουμε: β γ α γ α β γα και β βγ γ α β γ α βγ. α β γ αβ. β γ α γ α β α β γ α β γ 0 0. βγ γα αβ αβγ αβγ βγ γα αβ 7.. Για ποιες τιμές του ρητού αριθμού ο αριθμός είναι ρητός.. Να δείξετε ότι ο αριθμός είναι άρρητος.. Έχουμε: Αν 0 τότε 0 ρητός. Αν 0, τότε έχουμε επομένως αν ο αριθμός Α είναι ρητός τότε ο αριθμός θα ήταν ρητός ως πηλίκο ρητών αριθμών. Άτοπο γιατί που είναι άρρητος. Άρα ο αριθμός είναι ρητός όταν 0.. Έχουμε 4 4 Αν ο αριθμός είναι ρητός τότε ο αριθμός 4 είναι ρητός ως πηλίκο ρητών. Άτοπο γιατί ο 4 που είναι άρρητος. Άρα ο ( ) είναι άρρητος.

9 8. Αν για τους αριθμούς x, y, z ισχύει, xyz( x y z) 0 x y z x y z να αποδείξετε ότι: Α: Δύο τουλάχιστον από τους αριθμούς x, y, z είναι αντίθετοι. Β: Αν ν θετικός ακέραιος, ισχύει x y z x y z Α: Έχουμε: x y z x y z x xy z y ν ν ν ν x yz x y z xyzx y z x y z xyz x y z yz x y z xz x y z xy x y z xyz xyz y z yz x z xyz xz x y xy xyz xyz z x y z yz y z x z y xz y z xy y z 0 y z yz x xz xy 0 y zz y x xx y 0 y zx yz x 0 yz 0 ή x y 0 ή z x 0 y z ή x y ή zx. Άρα δύο τουλάχιστον από τους x, y, z είναι αντίθετοι.. Β: Έστω ότι ισχύει y z. Τότε το πρώτο μέλος της ζητούμενης ισότητας γράφεται: ν ν ν x y z x ν z ν z ν ν ν ν ν x z z x. Ο αριθμός ν z z. είναι περιττός, άρα ν ν Το δεύτερο μέλος της ζητούμενης ισότητας γράφεται: ν x y z ν x z z ν x.άρα ισχύει x ν y ν z ν x y z ν. Όμοια αποδεικνύεται η ισότητα και όταν ισχύει x y ή z x.

10 Ι Ι Ι : Π α ρ α γ ο ν το π ο ί η σ η Παραγοντοποίηση μιας αλγεβρικής παράστασης λέμε τη διαδικασία μετατροπής της παράστασης από άθροισμα σε γινόμενο. Η διαδικασία της παραγοντοποίησης είναι η αντίστροφη διαδικασία της ανάπτυξης. Η χρησιμότητα της παραγοντοποίησης είναι στην εύρεση του Μ.Κ.Δ. και του Ε.Κ.Π. πολυωνύμων, στην απλοποίηση κλασματικών παραστάσεων,στην πρόσθεση και αφαίρεση κλασματικών παραστάσεων, στην επίλυση εξισώσεων δευτέρου και ανώτερου βαθμού, να δείξουμε ότι ένας αριθμός είναι πολλαπλάσιος ενός αριθμού ή διαιρεί τον αριθμό. Μεθοδολογία Η διαδικασία μετατροπής μιας αλγεβρικής παράστασης από άθροισμα σε γινόμενο γίνετε με τους παρακάτω τρόπους: Κοινός παράγοντας. Ομαδοποίηση (Κοινός παράγοντας κατά ομάδες ) Διαφορά τετραγώνων. Διαφορά - Άθροισμα κύβων Γενικά: Διαφορά - Άθροισμα όρων της μορφής Άθροισμα κύβων τριών όρων (Euler) Ανάπτυγμα τετραγώνου ή κύβου Παραγοντοποίηση τριωνύμου. Σπάσιμο όρου της παράστασης σε δύο ή περισσότερους όρους Τέχνασμα προσθαφαίρεσης όρων Αντικατάσταση κοινών ομάδων γραμμάτων. Μέθοδος ρίζας της παράστασης. Συνδυασμός όλων των περιπτώσεων.

11 Μέθοδος ρίζας. Γνωρίζουμε ότι ο αριθμός ρ είναι ρίζα μιας αλγεβρικής παράστασης όταν η τιμή της παράστασης για την τιμή x = ρ είναι 0. Βρίσκουμε τη ρίζα ρ αλγεβρικής παράστασης ( συνήθως είναι διαιρέτης του σταθερού όρου της αλγεβρικής παράστασης) Πχ Αν το ρ είναι ρίζα του τριωνύμου x x, 0 τότε από τον ορισμό της ρίζας ισχύει: 0 () Από το τριώνυμο αφαιρώ το 0 το οποίο αντικαθιστώ με το ίσο του από τη σχέση (). Κάνω ομαδοποίηση. Ισχύουν x x x x (0) x x ( ) (x ) (x ) (x )(x ) (x ) (x )[ (x ) ]. Να γίνει παραγοντοποίηση της παράστασης αν γνωρίζουμε ότι το ρ είναι ρίζα του Β. x x x Το ρ είναι ρίζα της παράστασης Β. Οπότε ισχύει 0 () x x x.. x x x () x x x (0) ( ) (x ) (x ) (x ) (x )(x x ) (x )(x ) (x ) (x )[ (x x ) (x ) ]

12 .. Σπάσιμο όρου ή προσθαφαίρεση όρων Μεθοδολογία Συνήθως με προσθαφαίρεση του ίδιου όρου ή με σπάσιμο κάποιου όρου ή με τις ταυτότητες xy, x y (x y) xy(x y), x x (x ) ( ) σχηματίζουμε ανάπτυγμα τετραγώνου (x y) ή κύβου, (x y) και με τους υπόλοιπους όρους x y (x y) της παράστασης εφαρμόζω διαφορά τετραγώνων ή κύβων ή βγάζω κοινό παράγοντα 9 x yx xy y Να απλοποιηθεί η παράσταση x yx y x 4 y 4. 9 x yx xy y 9 x 6 yx yx xy y x y x yx y x 4 y x yx xy yx 4 y x 4 y (9 x 6 yx ) ( yx y x) (xy y ) x (x y) xy(x y) y (x y) (x yx ) ( yx 4 y x) ( xy 4 y ) x ( x 4 y) xy( x 4 y) y ( x 4 y ) x y (x y )(x yx y ) x 4y ( x 4 y )(x yx y ) 5. (x x x ) x B Να γίνει παραγοντοποίηση των παραστάσεων (x x x ) x (x x x ) x [(x x x ) ] (x ) [(x x x ) ]. [(x x x ) ] (x )(x x ) (x x x) (x x x ) (x )(x x ) x(x x ) (x x x ) (x )(x x ) (x x ) [x(x x x ) (x )] (x x ) (x 4 x x x ).

13 ..

14 Bασικές ανισοταυτότητες Ισχύουν: x 0, x x x x x y xy x y x y x xy y xy ( ) 0 0 x xy y xy x y xy x y ( x y) 4 xy x 0, y 0,( x y) 0 x xy y 0 xy x y 4 4 xy0 x y x y xy xy x y x y x y ( ) 0 ( ) 4 y y y x xy y 0 ( x ) ( ) y 0 ( x ) y 0 4 y y y x xy y 0 ( x ) ( ) y 0 ( x ) y 0 4 Το άθροισμα θετικών αντιστρόφων αριθμών είναι μεγαλύτερο ή ίσο του Αν : x x 0,( x ) 0 x x 0 x x x x Το άθροισμα αρνητικών αντιστρόφων αριθμών είναι μικρότερο ή ίσο του - Αν : x0 x 0,( x ) 0 x x 0 x x x x Oι αντίστροφοι αριθμοί είναι ομόσημοι.

15 Ανισότητα του Schwars. (x x... x ) (y y... y ) (xy xy... xy ) Ανισότητα του Weirstrass Για τους θετικούς αριθμούς,,..., με ν > φυσικό αριθμό ισχύει: ( )( )...( ) (... ) Ανισότητα του Cauchy Για τους θετικούς αριθμούς x, x,..., x,, ισχύει:... x x x x x... x y z 0 x y z xyz x x x... x Ανισότητα του Εullet x y z 0 x y z xyz Ανισότητα του Bernolli.. Για κάθε αριθμό και * ισχύει: ( ). Για κάθε αριθμό και * * ισχύει: ( ) Για τους θετικούς αριθμούς,,..., με... και φυσικό αριθμό ισχύει:...

16 6. Αν 0x να διατάξετε τους αριθμούς: 0, xx,,,. x Αφού 0x θα έχουμε 0 x x x x 0 x x. Επίσης αφού 0 x x x. Άρα τελικά έχουμε: 0 x x. x 7. Να βρείτε τους x και y σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις: i) Aν (x ) (y ) 0 ii) Αν x y x 4y 5 0 i) Ισχύει (x ) 0 x 0 x (x ) (y ) 0 (x ) (y ) 0 (y ) 0 y 0 y ii) Ισχύει x y x 4y 5 0 (x x ) (y 4y 4) 0 (x ) (y ) 0 (x ) 0 x 0 x (y ) 0 y 0 y 8. Για κάθε x, y, z, να δείξετε ότι i) ii) Αν επιπλέον ισχύει xyz τότε x y xy x y z x y z x y i) Ισχύουν: (x y) 0 x y xy 0 x y xy xy () x y ii) Ισχύουν xyz, xy. Θέτοντας όπου x το x και όπου y το y στη σχέση () έ- 4 4 x y χουμε x y () x y z (x y z) xyz(x y z) x (yz) y (xz) z (xy) z y x z y x x ( ) y ( ) z ( ) x y y z z x x y y z z x x y z

17 Μέθοδος της διαφοράς Βρίσκουμε το πρόσημο της διαφορά α-β χρησιμοποιώντας τις σχέσεις που μας δίνει η άσκηση. Συνήθως πρόσημο της διαφορά το βρίσκουμε κάνοντας τα παρακάτω. Στη διαφορά α-β κάνω ομώνυμα πράξεις.. Κάνοντας παραγοντοποίηση των όρων ή γράφοντας τους όρους σε άθροισμα μη αρνητικών όρων βρίσκουμε το πρόσημο της διαφοράς. Σχόλια Προσπαθώ στη διαφορά α-β, κάνοντας της κατάλληλες πράξεις να σχηματίσω όρους με σταθερό πρόσημο. Συνήθως σχηματίζω την ταυτότητα ( ) 0 Ισχύουν 0 0 (Άθροισμα μη αρνητικών όρων). x x x (Συμπλήρωμα τριωνύμου ) x x x (Σπάσιμο όρου ) Αν στους όρους της διαφοράς υπάρχει όρος της μορφής α. β τότε πολλαπλασιάζω και διαιρώ τους όρους της διαφοράς με το ώστε να σχηματίσω την ταυτότητα ( ) Αν έχω άθροισμα ή διαφορά κύβων τότε όρος που προκύπτει από την ταυτότητα ( )( ) είναι μη αρνητικός γιατί: ( ) ( ) ( ) 0 4 Στα μαθηματικά λέμε: Ότι δεν πάει με τη διαφορά πάει με πηλίκο. 0, 0

18 9. Για τους πραγματικούς αριθμούς,,..., να δείξετε ότι: (... )... Το πρόσημο της διαφοράς των (... ), (... ) είναι: (... ) (... ) ) ( )... ( ) ( ) ( )... ( ) 0 Άρα (... ) (... ) 0 (... ) (... ) 0. Αν x, y,z R να δείξετε ότι x y z xyz Το πρόσημο της διαφοράς των αριθμών (x y z ),(xyz) είναι: Από τη ταυτότητα του Euler έχουμε: x y z xyz (x y z)[(x y) (y z) (z x) ] 0 x y z xyz 0 x y z xyz 8. Αν α, β, γ είναι τα μήκη των πλευρών ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ με υποτείνουσα α, να δείξετε ότι: Από το πυθαγόρειο έχουμε: 0 () 0 Θα δείξουμε ( ) 0 ( ) ( ) 0 που ισχύει 9. i) Να δείξετε ότι αν x 0 τότε x x ii) Για τους θετικούς x, x,..x να δείξετε ότι.. ( x )( x )...( x ) x x...x

19 . Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο οι κάθετες πλευρές είναι, i) Να υπολογίσετε την υποτείνουσα ΒΓ του τριγώνου. ii) Με τη βοήθεια της τριγωνικής ανισότητας να αποδείξετε ότι i) Εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με Α=90 0 έχουμε: ( ) ( ). ii) Γνωρίζουμε ότι σε κάθε πλευρά τριγώνου είναι μικρότερη από το άθροισμα των δύο άλλων πλευρών του τριγώνου Οπότε ισχύει στο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει

20 Μετατροπή διπλού ριζικού x y σε απλό Μεθοδολογία Πρέπει να φέρω το υπόριζο στη μορφή ώστε να έχω. Εμφανίζω το μπροστά από το μέσα ριζικό ώστε να έχω τη μορφή x y x. Βρίσκω δύο θετικούς αριθμούς, με γινόμενο. Έτσι έχουμε: x z z z και άθροισμα x. Πχ ( 5 4) 5 4. Αν α, β, γ είναι ρητοί αριθμοί και 5 να δείξετε ότι α =β =γ =0 5 ( 5 ) ( ) (). Αν 0 τότε από () έχουμε 0 0 ή 0. Αν 5 0 Άτοπο ( ρητός= άρρητος) () 0, 0. Άτοπο ( ρητός= άρρητος) Άρα β=0 Άρα. Για 0 από τη σχέση 5 () έχουμε 0 Όμοια αν. 6. Να δείξετε ότι ο αριθμός είναι ρίζα της παράστασης x x 4 Η αριθμητική τιμή της παράστασης x x 4, για x είναι ( ) ( ) Άρα ο αριθμός είναι ρίζα της παράστασης

21 . Να δείξετε ότι ο αριθμός 5 είναι ρητός. Έχουμε: ( ). ( ) ( ). ( ) ( ). ( ) ( ) Q ( ). Να δείξετε ότι ο αριθμός 5 είναι ρητός. Έχουμε: ( ). ( ) ( ). ( ) ( ). ( ) ( ) Q ( )

22 5. Για τους μη αρνητικούς αριθμούς x, y, z, u, να δείξετε ότι: x y x y z u x y z i) xy ii) 4 xyzu. iii) xyz. 4 i) Θα δείξουμε ότι: x y xy x y xy ( x y) ( xy) x xy y 4xy x xy y 0 ( x y) 0 που ισχύει. x y xy x y xy Όμοια z u zu ii) Από i) ισχύουν Οπότε λόγου της () έχουμε: ( x y) ( z u) ( x y)( z u) ( xy)( zu) ( x y) ( z y) 4 xyzu ) x y z u 4 ( x y) ( z y) 4 xyzu xyzu. iii) Από ii) i) ισχύουν 6. Να υπολογιστεί η τιμή του 4 ( ) αν Θέτω x, y Οπότε έχουμε x y Απο την ταυτότητα ( x y) x x y xy y x y xy( x y) έχουμε: ( x y) ( x y) [ x y xy( x y)] ( x y) ( ) ( ) ( ).( ). ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Άρα η τιμή της παράστασης Α είναι

23 7. Αν 0 y x, x y 5 το x x y x x y Θέτοντας στη παράσταση Α όπου έχουμε: x y x y x y () x x y Άρα έχουμε: ( x x x y x ) () x x x x x x x 4 x y Να δείξετε ότι για κάθε φυσικό αριθμό * ισχύει () ( ) ( ) () ( ) () Θα δείξουμε ότι (),() ( ) ( ) ( ) που ισχύει.

24 9. Α: Να λύσετε ανίσωση την λ x λ για τις διάφορες τιμές του λ. Β: Αν η ανίσωση λ x λ αληθεύει μόνο για τους αριθμούς που ανήκουν στο διάστημα 4,4, να βρείτε το λ. Α: Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: λ 0. Τότε έχουμε ισοδύναμα: λ x λ λ x λ λ λ x λ λ λ λ x. λ λ λ 0. Επειδή x 0 θα είναι λ x 0. Επίσης για κάθε λ ισχύει Άρα η ανίσωση λ x λ αληθεύει για κάθε λ. λ 0. λ 0. Τότε η ανίσωση γίνεται 0 x η οποία αληθεύει για κάθε λ. Β: Αφού η ανίσωση λ x λ αληθεύει μόνο για τους αριθμούς που ανήκουν στο διάστημα 4,4, θα είναι λ 0 και επομένως η ανίσωση αληθεύει στο διάστημα λ λ λ,. Άρα θα είναι 4 λ 4λ λ 4λ 0. Η εξίσωση λ λ λ λ 4λ 0 έχει διακρίνουσα 4, άρα λ ή λ. 0. Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες αληθεύει η ανίσωση x x 4 4 x. Επειδή x 0 και x 4 0, για να αληθεύει η ανίσωση θα πρέπει να είναι 4 x 0 x 4. Τότε θα είναι x 40, άρα x 4 x 4. Έτσι η ανίσωση γίνεται: x 4 x 4 x x 0. Επειδή x 0, συμπεραίνουμε ότι η ανίσωση αυτή αληθεύει μόνο ως ισότητα, για x 0 x...

25 . Δίνεται η ανίσωση α 4... x x x Α: Να αποδείξετε ότι για να έχει η εξίσωση λύσεις θα πρέπει να ισχύει α. Β: Να αποδείξετε ότι οι λύσεις της επαληθεύουν και μία από τις ανισοτικές σχέσεις: x ή x. 4 α 4 α Γ: Αν ο α είναι θετικός ακέραιος, να λύσετε την ανίσωση. Α: Έχουμε α 4 α 4 x x x. x x x Γνωρίζουμε ότι ισχύει x x x x 0. Άρα θα πρέπει να ισχύει και x α 4 x. x, θα είναι και α 4 0 Αν α 4 0, επειδή 0 α 4 x είναι αδύνατη. Επομένως θα πρέπει να ισχύει α 4 0 α 4 x 0, άρα η ανίσωση α 4 α α. Β: Έστω ότι η ανίσωση έχει λύσεις. Τότε όπως είπαμε στο προηγούμενο ερώτημα θα ισχύει α και θα ισχύει Από την ανίσωση αυτή επειδή α 4 α 4 x α 4 α 4 x. α 4 0, έχουμε ισοδύναμα: x 4 α. x α 4 Η ανίσωση αυτή έχει λύσεις: x x ή 4 α 4 α 4 α Γ: Όπως είδαμε στο ερώτημα Α, αν α 4 0 x. 4 α α 4 x x x είναι αδύνατη. Έστω τώρα ότι x, η ανίσωση α 4 0, δηλαδή α α. Επειδή όμως ο α είναι θετικός ακέραιος, η μόνη τιμή που μπορεί να πάρει ο α είναι α. Για α γίνεται:. Έχουμε x 0 x. η x x x Ο πίνακας με το πρόσημο των παραστάσεων x και x είναι ο παρακάτω: x 0 x x Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

26 x 0. Τότε x x και γίνεται: x x x x 9 x x x x x 9 x 7. x x. Άρα η ανίσωση Οι ανισώσεις x 0 και x 7 συναληθεύουν για x 0. 0x. Τότε x x και x x. Άρα η ανίσωση γίνεται: 7 x x x x 9 x x x x x 9 x 7 x. 7 7 Οι ανισώσεις 0x και x συναληθεύουν για 0 x. x. Τότε x x και x x. Άρα η ανίσωση γίνεται: x x x x 9 x x x x x 9 x x x. Οι ανισώσεις συναληθεύουν για x. Άρα τελικά η ανίσωση x x x αληθεύει για x 0, για 7 0 x και για x. Άρα για κάθε x 7,,..

27 . Μια ακολουθία (αν) είναι αριθμητική πρόοδος αν και μόνο αν ισχύει: *, Απόδειξη i) Αν ακολουθία (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος τότε υπάρχει * R τέτοιο * * ώστε,, () Θέτοντας στην () όπου ν το ν+ έχουμε : () ) Από τις ισότητες (),() προκύπτει *, ii) Η ακολουθία (α ν ) έχει την ιδιότητα Από την () προκύπτει... Άρα ισχύει. Άρα η ακολουθία είναι αριθ. Πρόοδος. * 5. Θεωρούμε την ακολουθία (αν) τέτοια ώστε, i) Να δείξετε ότι η ακολουθία (αν) είναι αριθμητική πρόοδος. ii) Να βρεθεί ο νιοστός όρος της αριθμητικής προόδου όταν ο πρώτος όρος είναι το α. i) Η ακολουθία (α ν ) έχει την ιδιότητα () Ισχύει: Θέτω στη σχέση () όπου ν το ν+ έχουμε ( ) () ( ) Προσθέτοντας τις ισότητες κατά μέλη έχουμε 4 ( ) Άρα η ακολουθία (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος. ii) Για ν= από τη σχέση () έχουμε () Οπότε ο νιοστός όρος της αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο το α και διαφορά ω = α είναι: * ( ) ( ) ( ),

28 . Αν αν, ακ, αλ είναι διαφορετικοί όροι Α.Π να δείξετε ότι αριθμός είναι ρητός Oι αριθμοί α ν, α κ, α λ είναι διαφορετικοί όροι Α.Π. οπότε οι αριθμοί ν, κ, λ είναι φυσικοί διαφορετικοί μεταξύ τους. Έχουμε: [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] Άρα ο αριθμός είναι ρητός. Σε μια αριθμητική πρόοδο δίνονται οι όροι πρώτος όρος και η διαφορά ω της προόδου. ( ) ( ) και Να βρεθούν ο Έχουμε αριθμητική πρόοδο με ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Σε μια αριθμ. πρόοδο ισχύουν: S, S, Να δείξετε ότι S Ισχύουν: ( ) S S ( ) [ ( ) ] [ ( ) ] ( ) ( ) ] [ ( ) ]

29 .. 7. * Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν) με 0, ισχύει S, Να δείξετε S ότι: Έχουμε S S ( ) ( ) S S Ασκήσεις Αριθμητικής Προόδου που λύνονται με Άτοπο Για δείξουμε ότι ένας όρος δεν είναι όρος Α.Π υποθέτω ότι είναι όρος Α.Π και καταλήγω σε μία σχέση η οποία δεν ισχύει από τα δεδομένα της άσκησης. Συνήθως δείχνω ότι ο δείκτης του όρου δεν είναι φυσικός αριθμός.. : Λυμένες Ασκήσεις 0. Να δείξετε ότι οι αριθμοί,, 7 δεν μπορεί να είναι όροι Α.Π Έστω οι αριθμοί,, 7 είναι όροι μιας αριθμητικής προόδου με διαφορά. Άρα υπάρχουν όροι,, αυτής με έτσι ώστε να ισχύουν:, και 7 7. Η ισότητα γράφεται ισοδύναμα 4. Αντικαθιστώντας την σχέση (4) στις () και () έχουμε διαδοχικά: 7 7

30 4. Να βρείτε το άθροισμα : A ) ( ).B ( )( ),. (00 99 ) (98 97 ) (96 95 )... ( ) (00 99)(00 99) (98 97)(98 97)... ( )( ) ()(99) ()(95) ()(9) Οι όροι του αθροίσματος είναι όροι αριθμ. προόδου με ( ) 99 4 ( ) Άρα το πλήθος των όρων του αθροίσματος είναι 50. Οπότε έχουμε ( 50 )50 S50 (99 ) Παρατηρώ ότι οι όροι του αθροίσματος μπορούν να γραφούν στη μορφή ( ), Οπότε έχουμε ( ) Προσθέτοντας κατά μέλη τις ισότητες έχουμε (.... ) (... ) ( )( ) ( ) 6 ( )( ) ( ) 6 ( )( )( 9) 6

31 5. Να δείξετε ότι: = Από την ταυτότητα έχουμε: ( ) ( ) Άρα + + = = = = = 7. Να βρείτε την γωνία των ευθειών : y x : y x = = είναι παράλληλη της ευθείας : y x γιατί Η ευθεία Η ευθεία : y x είναι παράλληλη της ευθείας : y x : y x Έχουμε: 0 45 γιατί Έχουμε: 60 H γωνία θ των, H γωνία 0 είναι ίση με γωνία των,

32 : y 0,, : x 0 5 : y 00x 6 Να τις γράψετε σε αύξουσα σειρά τις γωνίες των 8. Δίνονται οι ευθείες: : y 5x 4, : y x, : x y, 4 παραπάνω ευθειών που σχηματίζει η κάθε μια με τον άξονα x x. Γνωρίζουμε ότι: Αν, [0. ) :, (, ) : 5,,, 4 0, 6 00, ο 5 Εχουμε: Αρα: 4 δεν ορίζεται άρα ω = Να βρείτε το είδος της γωνίας ω για τις διάφορες τιμές του που σχηματίζει με τον άξονα x x οι ευθείες: i) ( ) : y ( )x 4 ii) ( ) : y ( )x Γνωρίζουμε ότι το είδος της γωνίας ω που σχηματίζει μια ευθεία με τον άξονα με x x εξαρτάται από το πρόσημο του συντελεστή διεύθυνσης λ ε τη ευθείας: i) ( ) ( ) Άρα η γωνία είναι οξεία. ( ) 0,. ii) Η γωνία είναι οξεία όταν 0 0 ή..η γωνία είναι αμβλεία όταν 0 0. Η γωνία είναι 0 0 όταν 0 0 ή. 4. Να δείξετε ότι η εξίσωση της ευθείας που τέμνει τους άξονες στα σημεία Α (μ,0) και Β (0, κ) x y είναι η,, 0 τέμνει τους άξονες στα σημεία Α (μ, 0) και Β (0, κ) Έστω : y x η εξίσωση της ευθείας.ισχύουν: (,0) (0, ) 0 : y x y x 0 Άρα y x x y y x.

33 6. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α( 5,), Β (,) και η εξίσωση της διχοτόμου ΒΔ της γωνίας Β είναι ε:y = x. Nα βρείτε την εξίσωση της πλευράς ΒΓ. Η εξίσωση της διχοτόμου της γωνίας Β είναι ε: y = x η οποία είναι η εξίσωση της διχοτόμου της ης γωνίας. Επομένως το συμμετρικό του σημείου Α( 5,) ως την διχοτόμο της ης γωνίας είναι το σημείο Δ(,5) το οποίο είναι και σημείο της ΒΓ..Οπότε ισχύουν: Έστω : y x η εξίσωση της ευθείας. Ισχύουν: (,) (,5) Άρα : y x 8 η εξίσωση της ευθείας. 9.. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων (, ).. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων (, ). i.έστω Μ(x,y) ο γεωμετρικός τόπος των σημείων (, ) που θέλω με x x x y y x y x x y Άρα τα σημεία (, ) είναι σημεία της ευθείας (ε): y x = - ii.έστω Μ(x,y) ο γεωμετρικός τόπος των σημείων A(, ) που θέλω με x y 0 x y x 0

34 Να γραφούν τα σημεία μιας γραμμής f(x,y) = 0 ως σημεία δύο ή περισσοτέρων ευθειών. Μεθοδολογία. Κάνω πράξεις στην ισότητα που μου δίνουν,φέρνω τους όρους αυτής στο πρώτο μέλος.. Γράφω το πρώτο μέλος σε μορφή γινομένου πρωτοβαθμίων όρων.. Κάθε όρος του γινομένου = 0 είναι ο τύπος των ευθειών που θέλω. Ισχύουν Αν ρ, ρ είναι ρίζες του τριωνύμου τότε ισχύουν: x x (x )(x ) Αν η ισότητα f(x,y)=0 είναι τριώνυμο ως προς τη μεταβλητή x τότε οι εξισώσεις των ευθειών είναι ε : x = ρ, ε : x = ρ γιατί κάνοντας το τριώνυμο γινόμενο έχουμε: x x x 0 (x )(x ) 0 ή x Συμπλήρωμα τριωνύμου: x x (x ) ( ) 5. Να δείξετε ότι τα σημεία Μ(y) της x 4xy 4y 4 0 είναι σημεία δύο ευθειών (ε),(ε). Ισχύει x 4xy 4y 4 0 x y 0 ή x y 0 Άρα τα σημεία Μ(x,y) της εξίσωσης (x y) 0 (x y ) (x y ) 0 ( ) : x y 0 ( ) x y 0 x 4xy 4y 4 0 είναι σημεία των ευθειών Οι συντεταγμένες της προβολής ενός σημείου Α σε μια ευθεία ε. Μεθοδολογία. Βρίσκω την εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από το σημείο Α και είναι κάθετη στη ευθεία ε..οι συντεταγμένες της προβολής του σημείου Α στην ευθεία ε είναι η λύση του συστήματος των εξισώσεων των ε, ε. * Το σημείου Κ της ευθείας ε το οποίο απέχει την ελάχιστη απόσταση από το σημείο Α εκτός ευθείας είναι η προβολή του Α στην ευθεία ε.

35 Οι συντεταγμένες του συμμετρικού ενός σημείου Α σε μια ευθεία ε Μεθοδολογία. Βρίσκω τις συντεταγμένες της προβολής Δ του σημείου Α στην ευθεία ε.. Αν το σημείο Κ είναι το συμμετρικό του Α ως προς την ευθεία ε,τότε το Δ είναι μέσο του x x y y ΑΚ. Οπότε ισχύουν: x, y Απόσταση δύο παραλλήλων ευθειών ε,ε Μεθοδολογία. Βρίσκω τις συντεταγμένες ενός σημείου Α στην ευθεία ε..βρίσκω τις συντεταγμένες της προβολής Δ του σημείου Α στην ευθεία ε.. Ισχύει Η Απόσταση παραλλήλων ευθειών ε,ε είναι ίση με την ΑΔ. d(, ) d(, ) 7. Δίνεται σημείο Α( -,) και η ευθεία : y x i) Να βρείτε την προβολή Δ του σημείου Α στην ευθεία ε. i) Να βρείτε το συμμετρικό του σημείου Α ως προς την ευθεία ε. Το σημείο Α( -,) δεν είναι σημείο της ευθείας : y x γιατί οι συντεταγμένες του σημείου Α δεν επαληθεύουν την εξίσωση της ε. Ισχύει: ( ) Oι συντεταγμένες της προβολής Δ του σημείου Α στην ευθεία ε είναι η λύση του συστήματος με ε- ξισώσεις τις εξισώσεις των ευθειών της ευθείας ε και της ευθείας η οποία διέρχεται από το σημείο Α και είναι κάθετη στην ευθεία ε. Έστω : y x η εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σημείο Α και είναι κάθετη στην ευθεία ε (,).. 0 y x Άρα : Oι συντεταγμένες της προβολής Δ είναι η λύση του συστήματος με εξισώσεις y x y x y 4y y 5 Αν y x x y x y 6 x 5 το σημείο (x, y ) είναι συμμετρικό του σημείου Α ως προς την ευθεία ε τότε το σημείο 6 (, ) είναι μέσο του τμήματος ΑΚ..Οπότε 5 5 x x x 6 x 5.

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ 1 ΜΕΡΟΣ Α ΚEΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Aπάντηση Απόλυτη τιμή αριθμού είναι η απόσταση του αριθμού από το 0. Συμβολίζεται με 3 = 3-3 = 3 + και και είναι πάντα θετικός αριθμός. Π.

Aπάντηση Απόλυτη τιμή αριθμού είναι η απόσταση του αριθμού από το 0. Συμβολίζεται με 3 = 3-3 = 3 + και και είναι πάντα θετικός αριθμός. Π. ΜΕΡΟΣ Α : Α Λ Γ Ε Β ΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και πράξεις τους 1. Γράψε τα βασικότερα σύνολα τιμών: Aπάντηση Ν{0,1,,,4,5,6,..+

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Π.χ. Ιδιότητα Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός. Αντιμεταθετική α + β = β + α αβ = βα. Προσεταιριστική α + (β + γ) = (α + β) + γ α(βγ) = (αβ)γ

Π.χ. Ιδιότητα Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός. Αντιμεταθετική α + β = β + α αβ = βα. Προσεταιριστική α + (β + γ) = (α + β) + γ α(βγ) = (αβ)γ Η θεωρία της Γ Γυμνασίου 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) Α Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Πραγματικοί αριθμοί είναι όλοι οι αριθμοί που γνωρίσαμε στις προηγούμενες

Διαβάστε περισσότερα

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α.1. 1) Ποιοι φυσικοί αριθμοί λέγονται άρτιοι και ποιοι περιττοί; ( σ. 11 ) 2) Από τι καθορίζεται η αξία ενός ψηφίου σ έναν φυσικό αριθμό; ( σ. 11 ) 3) Τι

Διαβάστε περισσότερα

Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ

Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Α λ γ ε β ρ α Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Α λ γ ε β ρ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Με πολυ μερακι Για τους μικρους φιλους μου Τακης Τσακαλακος Κερκυρα

Διαβάστε περισσότερα

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση 1 ΘΕΩΡΙΑΣ.....με απάντηση ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 0 Εξισώσεις Ανισώσεις 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΙΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί Α. 7. 1 1. Τι είναι τα πρόσημα και πως χαρακτηρίζονται οι αριθμοί από αυτά; Τα σύμβολα

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος 013-014, Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Γεώργιος Α. Κόλλιας - μαθηματικός. 150 ασκήσεις επανάληψης. και. Θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Γεώργιος Α. Κόλλιας - μαθηματικός. 150 ασκήσεις επανάληψης. και. Θέματα εξετάσεων Γεώργιος Α. Κόλλιας - μαθηματικός Περιέχονται 50 συνδυαστικές ασκήσεις επανάληψης και θέματα εξετάσεων. Δεν συμπεριλαμβάνεται το κεφάλαιο των πιθανοτήτων, της γεωμετρικής προόδου, της μονοτονίας συνάρτησης,

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 69. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Ορισμός Ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού με έναν άγνωστο κάθε ισότητα που έχει την μορφή α +β+ γ = 0 με α 0 (ο είναι ο άγνωστος της εξίσωσης,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Οι Πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι είναι οι πραγματικοί αριθμοί ; Ποιοι είναι οι

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

2 Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 016-017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΡΗΤΟΙ λέγονται οι αριθµοί : ΟΙ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΙ αριθµοί είναι :. ΑΡΡΗΤΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

A N A B P Y T A ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ. 1 (α + β + γ) [(α-β) 2 +(α-γ) 2 +(β-γ) 2 ] και τις υποθέσεις

A N A B P Y T A ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ. 1 (α + β + γ) [(α-β) 2 +(α-γ) 2 +(β-γ) 2 ] και τις υποθέσεις ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΑΣΚΗΣΗ η Αν α +β +γ = αβγ και α + β + γ, να δείξετε ότι το πολυώνυμο P()=(α β) +(β γ) + γ α είναι το μηδενικό πολυώνυμο. Από την ταυτότητα του Euler α +β +γ -αβγ = (α + β + γ)[(α-β)

Διαβάστε περισσότερα

11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης;

11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης; 10. Τι ονομάζουμε Ευκλείδεια διαίρεση και τέλεια διαίρεση; Όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε υπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί αριθμοί π και υ, έτσι ώστε να ισχύει: Δ = δ π + υ. Ο αριθμός Δ λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα.

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. (2) Ποιοι είναι οι άρτιοι και ποιοι οι περιττοί αριθμοί; Γράψε από τρία παραδείγματα.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Μεθοδική Επανάληψη

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Μεθοδική Επανάληψη Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Μεθοδική Επανάληψη Στέλιος Μιχαήλογλου www.askisopolis.gr Η επανάληψη των Μαθηματικών βήμα - βήμα Άλγεβρα Κεφάλαιο 1ο: Αλγεβρικές παραστάσεις 1.1. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

x y z xy yz zx, να αποδείξετε ότι x=y=z.

x y z xy yz zx, να αποδείξετε ότι x=y=z. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦ. ο A. Ταυτότητες, ιδιότητες δυνάμεων, διάταξη.1 Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: 1. 15a x 15a y 5a x 5a y. a x a x a x a x 3 3 4 3 3 3 3. x 4xy 16 4 y

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Α. Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Ποια εξίσωση λέγεται εξίσωση ου βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β λέγεται μια διαδικασία (κανόνας), με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ακριβώς ένα στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 15

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 15 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 5 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 9. 5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Εάν έχουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β τότε λέμε ότι ο α είναι μεγαλύτερος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av +... + a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,...,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Α Σύνολα αριθμών Για τα σύνολα των αριθμών γνωρίζουμε ότι N Z Q R. ) Το N= { 0,,,,... } είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών. ) Το Z = { 0, ±, ±, ±,... } είναι το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω.

ΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω. ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ Έστω α, β πραγµατικοί αριθµοί για τους οποίους ισχύουν: α β = 4 και αβ + αβ = 0 α) Να αποδείξετε ότι: α + β = 5. (Μονάδες 0) β) Να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθµού µε ρίζες τους αριθµούς α, β

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΘΕΩΡΙΑ. Β. Να συμπληρώσετε στο γραπτό σας τις παρακάτω σχέσεις ώστε να προκύψουν ταυτότητες:

ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΘΕΩΡΙΑ. Β. Να συμπληρώσετε στο γραπτό σας τις παρακάτω σχέσεις ώστε να προκύψουν ταυτότητες: ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΣΑΞΗ: Γ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α. Τι λέγεται ταυτότητα; Β. Να συμπληρώσετε στο γραπτό σας τις παρακάτω σχέσεις ώστε να προκύψουν ταυτότητες: Γ. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία

Διαβάστε περισσότερα

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Γ Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α Τάξης Γυμνασίου

Μαθηματικά Α Τάξης Γυμνασίου Μαθηματικά Α Τάξης Γυμνασίου Διδακτικό Έτος 2018-2019 Ι. Διδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου. Κεφ. 1 ο :

Διαβάστε περισσότερα

Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - -. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους. Αν + y = -, να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: α A = + y + ( + y β B = ( - y -( y γ Γ = -(

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 6ο κεφάλαιο: Συναρτήσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

ii) Να ποια τιμή του ώστε η εξίσωση (1) έχει μία διπλή πραγματική ρίζα; Έπειτα να βρεθεί η ρίζα αυτή. Ασκήσεις Άλγεβρας

ii) Να ποια τιμή του ώστε η εξίσωση (1) έχει μία διπλή πραγματική ρίζα; Έπειτα να βρεθεί η ρίζα αυτή. Ασκήσεις Άλγεβρας . Δίνεται η εξίσωση, (). i) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα. ii) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει δύο ίσες πραγματικές ρίζες. iii) Να βρεθεί ο

Διαβάστε περισσότερα

Web page: Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Γ Γυμνασίου Γεωμετρία-Τριγωνομετρία

Web page:    Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Γ Γυμνασίου Γεωμετρία-Τριγωνομετρία Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Άλγεβρα Κανόνας των πρόσημων: (+) (+) = + ( ) ( ) = + (+) ( ) = ( ) (+) = Συνοπτική

Διαβάστε περισσότερα

Ω = { ω 1, ω 2,, ω ν } Δηλαδή το ενδεχόμενο Α είναι ένα υποσύνολο του δειγματικού χώρου Ω. Α Ω

Ω = { ω 1, ω 2,, ω ν } Δηλαδή το ενδεχόμενο Α είναι ένα υποσύνολο του δειγματικού χώρου Ω. Α Ω Πείραμα τύχης και δειγματικός χώρος Πείραμα τύχης: λέγεται κάθε πείραμα για το οποίο δεν μπορούμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμα, όσες φορές και να επαναληφθεί κάτω από τις ίδιες συνθήκες. Δειγματικός χώρος

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: α. την έννοια του μιγαδικού αριθμού και β. πότε δύο μιγαδικοί αριθμοί είναι ίσοι. Να μπορεί να βρίσκει: α. το άθροισμα,

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΡΟΣ Α ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών. Ονομάζεται αλγεβρική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων

9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων 4ο Κεφάλαιο 9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμοί Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής ν αx όπου α R, * ν N και x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 10 ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΑΠΟ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΕΣ ΤΑΞΕΙΣ α ) Ταυτότητες 1. (a-β)(a+β)=a - b. (a ± b ) = a ± ab + b 3 3 3 3. (a ± b ) = a ± 3a b + 3ab

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση ( ) ( ) ( ).. Ισχύει ότι P( A B) P( A

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0% Να βρείτε: i Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 31. Έστω Α, Β δύο ενδεχόµενα του ίδιου δειγµατικού χώρου. Αν Ρ(Α ) 0,8 και Ρ(Β ) 0,71 δείξτε ότι Ρ( Α Β) 1,01 Ρ( Α Β) i Το ενδεχόµενο Έχουµε Α Βδεν είναι το κενό. Ρ( Α Β)

Διαβάστε περισσότερα

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της.

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της. ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Α.1.2 1. Οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών αριθμών είναι οι εξής : Αντιμεταθετική ιδιότητα π.χ. α+β=β+α Προσετεριστική ιδιότητα π.χ. α+β+γ=(α+β)+γ=α+(β+γ) 2.Η πραξη της αφαίρεσης

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» 1 2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ιδιότητες των πράξεων Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και με την οήθειά τους η αφαίρεση και η διαίρεση. Για

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ Α': ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: Αλγεβρικές παραστάσεις Παράγραφος A..: Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) Β: Πράξεις με μονώνυμα Τα σημαντικότερα σημεία

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ. Δύο ομάδες Ο, Ο παίζουν μεταξύ τους σε μια σχολική ποδοσφαιρική συνάντηση (οι αγώνες δεν τελειώνουν ποτέ με ισοπαλία). Νικήτρια θεωρείται η ομάδα που θα νικήσει

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και

Διαβάστε περισσότερα

2018 Φάση 2 ιαγωνίσµατα Επανάληψης ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' Γενικού Λυκείου. Σάββατο 21 Απριλίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης:3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ

2018 Φάση 2 ιαγωνίσµατα Επανάληψης ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' Γενικού Λυκείου. Σάββατο 21 Απριλίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης:3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A ΑΛΓΕΒΡΑ Α' Γενικού Λυκείου Σάββατο 1 Απριλίου 018 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑΤΑ Πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f (x) από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β ονομάζουμε το σύνολο Α, στο οποίο φαίνονται οι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 016-17 1. Τι ονομάζεται αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται κάθε έκφραση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών και μεταβλητών.. Τι ονομάζεται αριθμητική τιμή αλγεβρικής

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11 2. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. x + 5= 6 (1) και. x = 1, οπότε η (2) γίνεται 1 5x + 1= 7 x = 1 ΘΕΜΑ Β. Άσκηση 1. Να βρείτε τον αριθμό x R όταν. Λύση.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. x + 5= 6 (1) και. x = 1, οπότε η (2) γίνεται 1 5x + 1= 7 x = 1 ΘΕΜΑ Β. Άσκηση 1. Να βρείτε τον αριθμό x R όταν. Λύση. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,... 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +...+α

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι η Ευκλείδια διαίρεση; Είναι η διαδικασία κατά την οποία όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε βρίσκουμε άλλους δύο φυσικούς αριθμούς π και υ,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο «ΑΛΓΕΒΡΑ»

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο «ΑΛΓΕΒΡΑ» ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΥ ΜΕΡΣ ο «ΑΛΓΕΒΡΑ». Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = ( + ) 4( ) 8, όταν = 0,45. Απλοποιούμε πρώτα την παράσταση : Α = ( + ) 4( ) 8 = = + 6 4 + 4 8

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Επαναληπτικές Ασκήσεις Έστω ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου ( x ) α Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης β Να βρείτε τα 0 και Ρ γ Αν το πολυώνυμο ( x) είναι x να βρείτε: x + x είναι 3x

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Α. Άλγεβρα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Α. Άλγεβρα ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Άλγεβρα 1. Τι ονομάζεται ακέραια αλγεβρική παράσταση και τι είναι μονώνυμο; Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι μονώνυμα; 3xa,, 5, x 3, 5 x a (σελ.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 31. Έστω Α, Β δύο ενδεχόµενα του ίδιου δειγµατικού χώρου. Αν Ρ(Α ) 0,8 και Ρ(Β ) 0,71 δείξτε ότι Ρ( Α Β) 1,01 Ρ( Α Β) i Το ενδεχόµενο Α Β δεν είναι το κενό. Έχουµε Ρ( Α

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3()

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3() ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0% Να βρείτε: i Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

Η Ευκλείδεια διαίρεση

Η Ευκλείδεια διαίρεση 1 Η Ευκλείδεια διαίρεση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρηµα Αποδεικνύεται ότι για οποιουσδήποτε ακέραιους α και β, β 0, ισχύει το παρακάτω θεώρηµα και διατυπώνεται ως εξής : Αν α και β ακέραιοι µε β

Διαβάστε περισσότερα

GREEK MATHEMATICAL SOCIETY Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) ΑΘΗΝΑ Τηλ Fax:

GREEK MATHEMATICAL SOCIETY Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) ΑΘΗΝΑ Τηλ Fax: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ GREEK MATHEMATICAL SOCIETY Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 361653-3617784 - Fax: 364105 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα