Συνοπτική θεωρία. Οι σημαντικότερες αποδείξεις. Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου. Ασκήσεις. Διαγωνίσματα

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Συνοπτική θεωρία. Οι σημαντικότερες αποδείξεις. Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου. Ασκήσεις. Διαγωνίσματα"

Ζακχαῖος Αλεξίου
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Συνοπτική θεωρία Οι σημαντικότερες αποδείξεις Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα Μαθηματικός Περιηγητής 1

ΚΕΦΑΙΑΟ 9 ο : ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΝΟΤΗΤΑ 1 (9.1-9.

2 ΚΕΦΑΙΑΟ 9 ο : ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ( ) Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο: το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της πλευράς αυτής στην υποτείνουσα. ο λόγος των τετραγώνων των κάθετων πλευρών του είναι ίσος με το λόγο των προβολών τους πάνω στην υποτείνουσα. το άθροισμα των τετραγώνων των κάθετων πλευρών του είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσας (Πυθαγόρειο Θεώρημα). το τετράγωνο του ύψους του που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα είναι ίσο με το γινόμενο των προβολών των κάθετων πλευρών του στην υποτείνουσα. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ 2 + ΑΓ 2 = ΒΓ 2, τότε A = 1L (Αντίστροφο του πυθαγορείου θεωρήματος). ΕΝΟΤΗΤΑ 2 (9.4) 1. Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου, που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δυο άλλων πλευρών του, ελαττωμένο κατά το διπλάσιο γινόμενο της μίας από αυτές επί την προβολή της άλλης πάνω σε αυτή. α 2 = β 2 + γ 2-2β ΑΔ Μαθηματικός Περιηγητής 2

2. Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου που βρίσκεται απέναντι από αμβλεία γωνία είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών, αυξημένο κατά το διπλάσιο γινόμενο της μίας από αυτές επί την

3 2. Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου που βρίσκεται απέναντι από αμβλεία γωνία είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών, αυξημένο κατά το διπλάσιο γινόμενο της μίας από αυτές επί την προβολή της άλλης πάνω σε αυτή. α 2 = β 2 + γ 2 + 2β ΑΔ. 3. Είδος τριγώνου: Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύουν οι ισοδυναμίες: (i) α 2 > β 2 + γ 2, αν και μόνο αν A>1, (ii) α 2 = β 2 + γ 2, αν και μόνο αν A=1, (iii) α 2 < β 2 + γ 2, αν και μόνο αν A<1. 4. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση (Νόμος των συνημιτόνων) α 2 = β 2 + γ 2-2βγ συνα. Μαθηματικός Περιηγητής 3

4 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Στην στήλη Α βρίσκονται οι πλευρές ενός τριγώνου και στην στήλη Β αναγράφεται το είδος του τριγώνου. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στ ηλης Α με ένα μόνο μστοιχείο της στήλης Β, ώστε να προκύπτουν αληθείς προτάσεις ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β Α. α = 6, β= 3, γ = 4 1. Οξυγώνιο Β. α = 6, β = 8, γ = Αμβλυγώνιο Γ. α = 5, β = 12, γ = Ορθογώνιο Δ. α = 4, β = 5, γ = 6 Ε. α = 4, β = 5, γ = 7 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. 1. Σε κάθε τρίγωνο ισχύει η σχέση: 2. Σε κάθε τρίγωνο ισχύει η ισοδυναμία: 3. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει AB A, τότε 2 2 2, αν και μόνο ˆ 1L. ˆ Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους του που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα είναι ίσο με το γινόμενο των προβολών των κάθετων πλευρών του στην υποτείνουσα. Μαθηματικός Περιηγητής 4

5 ΟΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΕΡΕΣ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ 1. Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της πλευράς αυτής στην υποτείνουσα. Απόδειξη Έστω λοιπόν ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και Δ η προβολή της κορυφής Α στην υποτείνουσα ΒΓ. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι ΑΒ 2 = ΒΓ ΒΔ και ΑΓ 2 = ΒΓ ΓΔ. Για την πρώτη σχέση αρκεί να αποδείξουμε ότι, δηλαδή ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΒΑ είναι όμοια, το οποίο ισχύει αφού A = Δ = 1 και η Β είναι κοινή. Όμοια αποδεικνύεται και η σχέση ΑΓ 2 = ΒΓ ΓΔ. 2. Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το άθροισμα των τετραγώνων των κάθετων πλευρών του είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσας (Πυθαγόρειο Θεώρημα). Απόδειξη Θέλουμε δηλαδή να αποδείξουμε ότι AB 2 + ΑΓ 2 = ΒΓ 2 ή α 2 = β 2 + γ 2 Μαθηματικός Περιηγητής 5

Σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα έχουμε: AB 2 = ΒΓ ΒΔ και ΑΓ 2 = ΒΓ ΓΔ. Με πρόσθεση των ισοτήτων κατά μέλη προκύπτει ότι : ΑΒ 2 + ΑΓ 2 = ΒΓ ΒΔ + ΒΓ ΓΔ = ΒΓ(ΒΛ+ΓΔ) = ΒΓ ΒΓ = ΒΓ 2. 3.

6 Σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα έχουμε: AB 2 = ΒΓ ΒΔ και ΑΓ 2 = ΒΓ ΓΔ. Με πρόσθεση των ισοτήτων κατά μέλη προκύπτει ότι : ΑΒ 2 + ΑΓ 2 = ΒΓ ΒΔ + ΒΓ ΓΔ = ΒΓ(ΒΛ+ΓΔ) = ΒΓ ΒΓ = ΒΓ Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους του που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα είναι ίσο με το γινόμενο των προβολών των κάθετων πλευρών του στην υποτείνουσα. Απόδειξη Έστω ΑΔ το ύψος του ορθογώνιου τριγώνου ΑΒΓ, που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα. Θα αποδείξουμε ότι : Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΓΑΔ είναι όμοια, αφού είναι ορθογώνια και A 1 = Γ ως συμπληρωματικές της Β. Επομένως, οι πλευρές τους είναι ανάλογες, δηλαδή AΔΒΔ = ΔΓΑΔ οπότε ΑΔ 2 = ΒΔ ΔΓ. Μαθηματικός Περιηγητής 6

7 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο με την γωνία Α ορθή. Αν ΑΓ = 20 και ΒΓ = 25, να υπολογίσετε: Α. Το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ Β. Τα ευθύγραμμα τμήματα ΔΓ και ΔΒ Γ. Το ευθύγραμμο τμήμα ΑΔ. 2. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με μήκη πλευρών α = 8, β = 6, γ = 5. Α. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο. Β. Να υπολογίσετε την προβολή της ΑΒ στην ΑΓ. 3. Στο επόμενο κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ δίνεται ότι: ΑΒ=9, ΒΓ=12, ΓΔ=13, ΔΑ=14 και η διαγώνιος ΑΓ=15. Α. Να εξετάσετε το είδος των τριγώνων ΑΒΓ και ΑΔΓ ως προς τις γωνίες τους. Β. Να υπολογίσετε τη προβολή ΑΚ της πλευράς ΑΒ στην διαγώνιο ΑΓ. Γ. Να υπολογίσετε τη προβολή ΓΛ της πλευρά ΓΔ στην ΑΓ καθώς και το ΚΛ. 4. Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο με 4 cm, 5 cm και ˆ 60. α. Να αποδείξετε ότι 21 cm. β. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου. Μαθηματικός Περιηγητής 7

8 5. Στο επόμενο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( 90 ) φέρνουμε το ύψος ΑΔ και τη διάμεσο ΑΜ, όπως φαίνεται στο επόμενο σχήμα. Αν ισχύει 6 και 8, να υπολογίσετε τα μήκη των τμημάτων ΒΓ, ΓΔ, ΑΔ και ΑΜ. 6. Στο επόμενο σχήμα έχουμε: ˆ ˆ 90 0, AB 4, B 5, AE 15 και 9. A. Να βρείτε τη πλευρά Β. Να βρείτε τη πλευρά Γ. Αν η πλευρά ισούται με 5 10, να βρείτε το είδος του τριγώνου ΒΓΔ. 7. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με μήκη πλευρών α = 8, β 4 7 και γ = 4. Α. Να εξετάσετε το είδος του τριγώνου ΑΒΓ ως προς τις γωνίες του. Β. Να υπολογίσετε τη γωνία ˆ του τριγώνου ΑΒΓ. Γ. Να αποδείξετε ότι η προβολή ΑΔ της πλευράς ΑΒ πάνω στην ΑΓ είναι Μαθηματικός Περιηγητής 8

9 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το άθροισμα των τετραγώνων των κάθετων πλευρών του είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσας (Πυθαγόρειο Θεώρημα). (Μονάδες 15) Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. 1. Σε κάθε τρίγωνο ισχύει η σχέση Σε κάθε τρίγωνο ισχύει η ισοδυναμία: 2 2 2, αν και μόνο ˆ 1L. 3. Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους του που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα είναι ίσο με το γινόμενο των προβολών των κάθετων πλευρών του στην υποτείνουσα. ΘΕΜΑ 2 ο Οι πλευρές ενός τριγώνου έχουν μήκη 9 cm, =7cm και =12cm. Α. Να προσδιορίσετε το είδος του τριγώνου. Β. Να υπολογίσετε το μήκος της προβολής της πάνω στην. ΘΕΜΑ 3 ο (Μονάδες 15) (Μονάδες 40) Σε επόμενο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( 90 ) φέρνουμε το ύψος ΑΔ και τη διάμεσο ΑΜ, όπως φαίνεται στο επόμενο σχήμα. Αν ισχύει 6 και 8, να υπολογίσετε τα μήκη των τμημάτων ΒΓ, ΓΔ, ΑΔ και ΑΜ. Μαθηματικός Περιηγητής 9

10 (Μονάδες 30) Μαθηματικός Περιηγητής 10

11 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2 ΘΕΜΑ 1 ο Α. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, 90 και ΑΔ το ύψος προς την υποτείνουσα ΒΓ. Να αποδείξετε ότι: 2. (Μονάδες 10) Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. 1. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει AB A τότε ˆ Σε κάθε τρίγωνο ισχύει η ισοδυναμία: 2 2 2, αν και μόνο ˆ 1L. (Μονάδες 20) ΘΕΜΑ 2 ο Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με μήκη πλευρών α = 8, β 4 7 και γ = 4. Α. Να εξετάσετε το είδος του τριγώνου ΑΒΓ ως προς τις γωνίες του. Β. Να υπολογίσετε τη γωνία ˆ του τριγώνου ΑΒΓ Γ. Να αποδείξετε ότι η προβολή ΑΔ της πλευράς ΑΒ πάνω στην ΑΓ είναι ΘΕΜΑ 3 ο Στο επόμενο σχήμα έχουμε: ˆ ˆ 90 0, AB 4, B 5, AE 15 και A. Να βρείτε τη πλευρά Β. Να βρείτε τη πλευρά Γ. Αν η πλευρά ισούται με 5 10, να βρείτε το είδος του τριγώνου ΒΓΔ. Μαθηματικός Περιηγητής 11

Σχετικά έγγραφα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Γεωμετρίας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Γεωμετρίας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων