ΟΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Θέμα Α ΘΕΜΑ Β

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΟΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Θέμα Α ΘΕΜΑ Β"

Ἑρμοκράτης Ευταξίας
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΟΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Α. Θεώρημα Ενδιάμεσων τιμών σελίδα 94 Α. Ορισμός σελίδα 88 Α3. Ορισμός σελίδα 59 Θέμα Α Α4. α) Λάθος β) Σωστό γ) Λάθος δ) Σωστό ε) Σωστό B. Έστω z + yi. Τότε ΘΕΜΑ Β z 4 z + yi 4 + yi ( 4) + yi ( ) + yi ( 4) + y ( ) + y ( 4) + y 4( ) + 4y 3 + 3y + y 4 Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ. B.α) z z 4 z z 4 z 4 z 4 z 4 z 4 w ( z + z ) z + z z 4 4 z z z + z w 4 4 4z 4 z z Άρα w πραγματικός. β) Αρκεί να δείξουμε ότι w 4 w z + z ( z + z ) 4 Β3. w 4 z + z 4 z + 4z + z + + z (z + ) z + z (ΑΒ) z z z z z (ΑΓ) z 3 z iz z (i )z i z ( ) + z 5 z (BΓ) z 3 z 3 + z iz + z (i + )z + i z 5 z Οπότε (ΑΓ)(ΒΓ) άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

2 ΘΕΜΑ Γ Γ. f() e +, R f () e ( +) e ( +) f () e ( ) > για κάθε Αφού επιπλέον η f είναι συνεχής στο R θα είναι γνησίως αύξουσα στο R Οπότε f(a) ( f(), f()) (, + ) f() f() + + de l hspit e al + + Γ. Η f είναι γνησίως αύξουσα άρα είναι και - οπότε η εξίσωση γίνεται f(e 3 ( + )) f() e 3 ( + ) e3 e e 3 + f() e3 f(a) και f γνησίως αύξουσα στο R άρα υπάρχει μοναδικό R τέτοιο ώστε f( ) e3 Γ3. Θεωρώ τη συνάρτηση F(). Η F είναι παραγωγίσιμη στο [, 4] ως αρχική της συνεχούς f. Οπότε F συνεχής στο [, 4]. Άρα από Θεώρημα Μέσης Τιμής υπάρχει ξ (, 4) τέτοιο ώστε F (ξ) F(4) F() 4 4 f(ξ) 4 f ξ < 4 f(ξ) < f(4) 4 < f(4) 4 < f(4) Γ4. Για > η g είναι παραγωγίσιμη ως γινόμενο παραγωγίσιμων με (4f(4) f()) g () 4 4 f(4) + f(4) f() 4f(4) f() 4 f(t) 4 f(4) + (f(4) f()) >

3 αφού ισχύει : 4 f(4) > από Γ3 ερώτημα και (f(4) f()) > γιατί > και 4 > f(4) > f() f οπότε (f(4) f()) > Άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο (, + ). Αρκεί να δείξουμε ότι g συνεχής στο χ g() 4 4 a a () 4f(4) f() 4f()-f()f()g() οπότε g γνησίως αύξουσα στο [,+ ) Δ. f () e f() + e f() f () (e f() e f() ) () ΘΕΜΑ Δ e f() e f() + c (για c ) Άρα: e f() e f() ef() e f() e f() e f() e f() e f() + (e f() ) + () Έστω g() e f(), R. H g είναι συνεχής στο R ως διαφορά συνεχών. Έστω g() g () +, άτοπο άρα g() για κάθε R. Συνεπώς η g διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R και αφού g()> προκύπτει g()> για κάθε R. Επομένως από () e f() + e f() + + f() ln( + + ), R. () Δ. α) Η f είναι παραγωγίσιμη στο R με f () + + ( + + ) + + ( ( + ) > για κάθε R + + )

4 Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο R. f () + + ( + )( + ) f () χ f () > χ < + f + - f Άρα η f είναι κυρτή στο (, ] και κοίλη στο [, + ). Παρουσιάζει καμπή στο σημείο (,) β) Η εξίσωση της εφαπτομένης στο (,) είναι y f() f ()( ) y E f() d ( f())d γιατί στο [, + ) η f είναι κοίλη άρα η y είναι πάνω από τη Cf. Οπότε f(). E ( ln( + + )) [f()] + ln( + ) + [ ] ln( + + )d d f() + + [ + ] ln( + ) + f Δ3. > f() > f() f() > Άρα f() f(). Επομένως έχουμε + (e f (t)dt ) lnf() + e f (t)dt lnf() De l H + e f (t)dt f () ln f() f () f() + [ ee f() f () f ()ln f()] e

5 f() + f () f() f () () + f ()ln f() + (f()lnf()) (): [f()lnf()] + lnf() + f() έ uf() lnu u + u De l H u + u u u + u Δ4. Η εξίσωση γίνεται ( ) [ 3 f(t ) Θεωρώ τη συνάρτηση h() ( ) ( 3 στο [,3] Η h είναι συνεχής στο [,3] ως πράξεις συνεχών. dt)] + ( 3)(8 3 f (t)dt ) στο (,3) f(t )dt) + ( 3)(8 3 f (t)dt) h() f (t)dt h(3) 3 f(t )dt < > Επομένως h() h(3) < αφού από Δ έχουμε f(t) t f(t ) t f(t )dt < 3 Επίσης f(t) t tf(t ) 3 f (t)dt > t f (t) t f (t)dt < 8 3 f (t)dt < f (t)dt 8 < Επομένως από Θεώρημα Blzan υπάρχει ένα τουλάχιστον (,3) τέτοιο ώστε h( ). Οπότε και η αρχική εξίσωση θα έχει την ως ρίζα. Οι μαθηματικοί του Φροντιστηρίου: Βρύνας Σπύρος Δρούλια Σοφία Κουλούρης Βασίλης Λιακόπουλος Σπύρος Φωτόπουλος Γιώργος Σημείωση: Οι λύσεις είναι ενδεικτικές. Υπάρχουν και διαφορετικοί τρόποι επίλυσης των θεμάτων.

Σχετικά έγγραφα

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημερομηνία: 25 Μαΐου 2015

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημερομηνία: 5 Μαΐου 5 Απαντήσεις Θεμάτων Θέμα Α Α. Θεωρία, βλ. σχολικό βιβλίο σελ. 94