ΘΕΜΑ 151 ο. x -f(t) 2f(x)+f (x)= 2 e dt και f(0) = 0.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΘΕΜΑ 151 ο. x -f(t) 2f(x)+f (x)= 2 e dt και f(0) = 0."

Transcript

1 ΘΕΜΑ 5 ο Έστω συνάρτηση f :[0, + ) παραγωγίσιμη στο διάστημα [0, + ) για την οποία ισχύει : 2 -f(t) 2f()+f ()= 2 e dt και f(0) = 0. i) Να δείξετε ότι + f() 0 για κάθε є [0, + ). ii) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα και ότι f() > 0 για κάθε є (0, + ). 0 iii) Να δείξετε ότι f() f()e = για κάθε є [0, + ). iv) Να δείξετε ότι ln και ότι 2f() > ln για κάθε є (0, + ) v) Να βρείτε το lim f() καθώς και το σύνολο τιμών της f. + vi) Να αποδείξετε ότι η ευθεία με εξίσωση y = είναι εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο O(0, 0). vii) Να δείξετε ότι η f είναι κοίλη και επιπλέον ότι f() για κάθε є [0, + ). viii) Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να ορίσετε την f -. i) Να υπολογίσετε τα : f(e), f e. e+ e ) Να βρείτε την τιμή του αθροίσματος f(t)dt+ - f (t)dt. 0 0 i) Να υπολογίσετε το ii) Να βρείτε το : λe λ 0 E(λ)= -f() d, λ > 0. lim Ε(λ). λ +

2 ΘΕΜΑ 52 ο Δίνεται μία συνάρτηση f με συνεχή παράγωγο στο και f (0) = και f - f =,. 2 2 Να αποδείξετε ότι: α) Η f είναι αντιστρέψιμη. β) Η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο με f () = f(). γ) Να βρείτε τον τύπο της f. δ) Να βρείτε τον τύπο της αντίστροφης της f ε) Να υπολογίσετε το f ()d. 0

3 ΘΕΜΑ 53 ο Δίνεται η συνάρτηση f : δύο φορές παραγωγίσιμη με f () 0 με συνεχή δεύτερη παράγωγο. Η γραφική παράσταση της f διέρχεται από τα σημεία A(, 0) και B(2, -). Α) Να δείξετε ότι η f έχει μοναδική λύση στο. B) Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Γ) Έστω ο μιγαδικός u. Αν ισχύει f 2+f iu+ γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών u. 0, να βρεθεί ο Δ) Έστω οι μιγαδικοί z, z, z 2, w για τους οποίους ισχύει z-z = f(), w-z = f(2) και z -z = 2f 3. Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή του z-w.

4 ΘΕΜΑ 54 ο Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο ώστε να ισχύει 2f(2 3) + f(6 ) = 2, για κάθε є. 2-3 A) Nα αποδειχθεί η σχέση 2 f(t)dt = --6 για κάθε є. B) Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα 7 4 f()d Γ) Να βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης g()= 2-5 f 5u- 4 du Δ) Να δείξετε ότι η εξίσωση 3f() 0 = 0 έχει τουλάχιστον μια πραγματική ρίζα.

5 Έστω η συνάρτηση f, f() = ΘΕΜΑ 55 ο + t+ t 2 + dt Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. Β) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται. Γ) Να υπολογίσετε τα όρια: lim - f(), lim f() και να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού της f -. Δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση : = t +dt έχει μοναδική πραγματική ρίζα.

6 ΘΕΜΑ 56 ο Έστω η συνεχής συνάρτηση f:, η οποία είναι τέτοια ώστε: f() e 2 f(t )dt Να αποδείξετε ότι: Α) f() ( )e,., για κάθε. Β) η ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο,τέμνει τη γραφική παράσταση της f σε ένα μόνο σημείο. Γ) η γραφική παράσταση της f παρουσιάζει ένα μόνο σημείο καμπής και (+)e+3 --5, για κάθε [-3,+ ). Δ) υπάρχει μοναδική ευθεία = 0, η οποία χωρίζει το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από τη C f, τον άξονα χ χ και τις ευθείες = 0, =, σε δύο χωρία, των οποίων ο λόγος των εμβαδών είναι 20.

7 ΘΕΜΑ 57 ο Δίνεται μια συνάρτηση f συνεχής στο για την οποία ισχύει f() 0 για κάθε є και 0 f()d= 20. ) Να αποδείξετε ότι f() > 0 για κάθε є. 2) Να λυθεί η ανίσωση f(t)dt f(t)dt ) Θεωρούμε τη συνάρτηση g με g()= tf(t)dt, t,. 0 α) Να αποδείξετε ότι g()= tf(t)dt για κάθε β) Δείξτε ότι η συνάρτηση g είναι συνεχής στο σημείο o = 0. γ) Αν επιπλέον ισχύει 2 0 tf(t)dt = 3 tf(t)dt, να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ є (, 2) τέτοιο, ώστε f(ξ) = 2g(ξ).

8 Δίνεται η συνάρτηση f() = Να αποδείξετε ότι: ΘΕΜΑ 58 ο 2 dt, lnt ln2, = α) ισχύει ln2 f() 2 ln2, για κάθε. β) η συνάρτηση f είναι συνεχής στο σημείο o =. γ) η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα στο πεδίο ορισμού της. δ) υπάρχει μοναδικός αριθμός α є (, + ) τέτοιος, ώστε 2 α dt = 20+ dt. lnt lnt α 2 2

9 ΘΕΜΑ 59 ο Έστω οι συνεχείς συναρτήσεις f και g στο, για τις οποίες ισχύει η σχέση y f(t)dt = 0 2 4g(u) g 2(u)+ du dy, για κάθε, y є. i) Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει η σχέση: -2 f () 2 για κάθε є. ii) Να αποδείξετε ότι f(β)-f(α) 2 β-α για κάθε α,β є. iii) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό o є, ώστε να ισχύει: f ( )= 3. o o iv) Να αποδείξετε ότι 4 0 f t dt = 0 2. v) Να αποδείξετε ότι: 4 f(t)dt 8. 0 vi) Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης f, αν γνωρίζουμε ότι η f() είναι πολυώνυμο ου βαθμού και στη σχέση του ερωτήματος v) ισχύει η ισότητα.

10 Δίνονται οι συναρτήσεις 2 g() = ln - h() -, > 0 ΘΕΜΑ 60 ο h() = lntdt, > 0 και. Να δείξετε ότι η εξίσωση g() = 0 έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα [, e]. 2. Να δείξετε ότι η συνάρτηση h είναι - στο [, + ) 3. Δίνεται και η συνάρτηση F() = f() lnt dt, > ln f() ln(f()), =, όπου f παραγωγίσιμη συνάρτηση στο με f () > 0, f(0) = 0 και lim(f ()) = α) Να δείξετε ότι η F είναι συνεχής στο [, + ) β) Αν γνωρίζουμε ότι F(e) = f() και ln(f(e))= να δείξετε ότι f() = γ) Αν επίσης γνωρίζουμε ότι F()ln = h(), για >, να δείξετε ότι f() =

11 ΘΕΜΑ 6 ο A) Να δειχθεί ότι: e2 για κάθε є. B) Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :, για την οποία ισχύει: 2f() 2 f()e -f ()= για κάθε є. i) Να δείξετε ότι: f() > 0, για κάθε є*. ii) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. iii) Να βρείτε το lim + f(). iv) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα και τις ευθείες με εξισώσεις : = - και = 0 συναρτήσει του f(-).

12 ΘΕΜΑ 62 ο Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : 0, για την οποία ισχύει ότι ln f() για κάθε θετικό αριθμό. (α) Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο o = και να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο αυτής με τετμημένη. (β) Θεωρούμε την συνάρτηση g με () Να βρείτε το g() lim 2. g() f(t)dt ln, 0. (2) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό ξ є (, e] τέτοιο ώστε να ισχύει ότι: f(t)dt eln.

13 Έστω f : 0, ΘΕΜΑ 63 ο δυο φορές παραγωγίσιμη για την οποία ισχύουν : f () f (), για κάθε є(0,+ ) και f(0) f (0). Δείξτε ότι : α) f() e για κάθε є[0,+ ). Πότε ισχύει η ισότητα ; β) f γνησίως αύξουσα και κυρτή στο [0,+ ). γ) υπάρχει ξ є(0,) : δ) υπάρχει r є(0,) : f(t)dt. 0 f(r) r.

14 ΘΕΜΑ 64 ο Έστω συνάρτηση f :, αντιστρέψιμη και τέτοια ώστε για κάθε є να ισχύει : f () e f ().. Να βρεθεί η f. 2. Να αποδείξετε ότι: α. η f είναι γνησίως φθίνουσα. β. οι γραφικές παραστάσεις των f, f - έχουν ακριβώς ένα κοινό σημείο lim, - 3. Να υπολογιστούν τα όρια: f ()+ - lim - - f ()

15 ΘΕΜΑ 65 ο Δίνεται η συνάρτηση f : * για την οποία ισχύει 3 2 2f() 3f() α) Να αποδείξετε ότι 4 f(). για κάθε 0, και f() = -3. β) Να αποδείξετε ότι η f δεν αντιστρέφεται. γ) Να βρείτε το όριο δ) Να βρείτε το όριο f() 3 lim. 2 2 lim f() ε) Να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση της f είναι συμμετρική ως προς το (0, 0).

16 ΘΕΜΑ 66 ο Δίνεται η συνάρτηση f : με f f() -f()=-. α) Να αποδείξετε ότι η f είναι -. β) Αν υπάρχει το lim f(), να δείξετε ότι υπάρχει και το o lim f (). o γ) Να υπολογίσετε το lim o f () f(). δ) Με δεδομένο ότι υπάρχουν τα ακόλουθα όρια, να αποδείξετε ότι f () lim lim f() f (). ε) Να αποδείξετε ότι αν η fof είναι γνησίως αύξουσα, τότε και η f είναι γνησίως αύξουσα.

17 ΘΕΜΑ 67 ο Έστω συνάρτηση f : κοίλη στο με f(0) = 0 και f(2)= 4. α) Να δείξετε ότι για κάθε > 0 ισχύει : f () f(). β) Αν f(t) h() dt με > 0, να δείξετε ότι : t 2 i) η h είναι κοίλη στο (0, + ) ii) h() 2 4 για κάθε > 0.

18 Έστω ΘΕΜΑ 68 ο f : e, δύο φορές παραγωγίσιμη για την οποία ισχύουν : f() f ()ln 0 για κάθε є (e, + ) και f(e) = f (e) =. 2 Α) Δείξτε ότι : α) f() ln, για κάθε є [e, + ). β) f f(3). Β) Δείξτε ότι υπάρχει (e,e 2) τέτοιο ώστε o o f(t) dt. t e Γ) Δείξτε ότι f γνησίως αύξουσα στο [e, + ). Δ) Υπολογίστε το όριο : f () lim 2.

19 ΘΕΜΑ 69 ο Δίνεται η συνάρτηση f :[0, 3] με τύπο f() 2 e. α) Να μελετηθεί συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. β) Να αποδειχθεί ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρεθεί η αντίστροφη της. γ) Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα δ) Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα Q e2 f (e 2) ln(e 4 ) d ln f() 0 e 2 4ln 2. W d e d 2 2 e d 0

20 ΘΕΜΑ 70 ο Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, με f(0) = 0 και f() f () f() για κάθε 0, Α) Δείξτε ότι, α) f() > 0, για κάθε > 0.. β) f() e για κάθε є (0, ). f() Β) Αν Ε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την g() = f(), τον άξονα και τις ευθείες = 2, = 3 να δείξετε ότι : 2ef(2) f(3). e Γ) Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του μέτρου z z2 όπου z, z 2 μιγαδικοί που ανήκουν στην γραμμή με εξίσωση : zf(200) zf(200) 2f(20).

21 ΘΕΜΑ 7 ο Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση g : 0, ώστε 2 t 2 g dt g() g() g dt t, > 0. Θεωρούμε επίσης την συνάρτηση G() =, >0. g(t)dt α) Nα βρεθεί ο τύπος της g(). β) Nα αποδειχθεί ότι G() 0. γ) Να αποδειχθεί ότι g(t)dt g(t)dt. δ) Να λυθεί η ανίσωση 223 lnt dt t2 G() ε) Να βρεθεί, εφόσον υπάρχει το lim g().

22 ΘΕΜΑ 72 ο A. Nα αποδείξετε την ανίσωση e >, για κάθε B. Θεωρούμε τις συναρτήσεις f () = α όπου α > και g () = ,. (i) Nα μελετηθούν οι f, g ως προς τη μονοτονία. (ii) Να αποδείξετε ότι (f + g)(e + 202) > (f + g)( + 20). (iii) Eάν ισχύει f () g (), για κάθε, να υπολογίσετε τη τιμή της παραμέτρου α. (iv) Για τη τιμή της παραμέτρου α, που υπολογίσατε στο ερώτημα (iii), να υπολογίσετε το εμβαδόν του επίπεδου χωρίου που περικλείεται μεταξύ των συναρτήσεων f και h () = e + +. (v) Για τη τιμή της παραμέτρου α, που υπολογίσατε στο ερώτημα (iii), να υπολογίσετε το εμβαδόν του επίπεδου χωρίου που περικλείεται μεταξύ των συναρτήσεων f και k () = και των ευθειών = και =.

23 Δίνεται η συνάρτηση f() = ln ΘΕΜΑ 73 ο, με > 0.. Να μελετηθεί η μονοτονία της f. 2. Αν [, e], να βρεθεί ο μιγαδικός αριθμός z = + i f() με το μέγιστο μέτρο. 3. Αν [, e], να αποδειχθεί ότι υπάρχει μιγαδικός αριθμός z = + i f() με μέτρο Να αποδειχθεί ότι η γραφική παράσταση της f έχει ένα μόνο σημείο καμπής. 5. Να αποδειχθεί η ανισοτική σχέση π > 2 lnπ. 6. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της σύνθετης συνάρτηση fof. 7. Να λυθεί η εξίσωση f() f()e =ln. 8. Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης (f()) 2 = Να αποδειχθεί ότι υπάρχει o > 0 με o e+ : f( e+ o)= f Να αποδειχθεί ότι υπάρχει o > 0 τέτοιος ώστε η εφαπτομένη της C f στο σημείο ( o, f( o ) ) να την τέμνει στο σημείο 3 3,f 2 2. Αν 2 g() = f(t)dt, να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει ο > 0, τέτοιο ώστε ο (g ( ο ) + ) = g( ο ) + 2 ο f( ο ). f()+ 2. Να υπολογιστεί το όριο lim e. +..

24 ΘΕΜΑ 74 ο Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z=e +(-)i,. α) Να δείξετε ότι : Re(z) Im(z) και Re(z) 2 Im(z) ά. β) Να δείξετε ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον o є(0,) τέτοιος ώστε ο αριθμός w z2 z 2i να είναι πραγματικός. γ) Να βρείτε τον μιγαδικό z, του οποίου το μέτρο γίνεται ελάχιστο, καθώς και το ελάχιστο μέτρο του. δ) Να υπολογίσετε το ορισμένο ολοκλήρωμα : 0 Re(z) Im(z) d

25 ΘΕΜΑ 75 ο Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: και η g: για τις οποίες γνωρίζουμε ότι: η f στρέφει τα κοίλα κάτω, η γραφική της παράσταση στο σημείο της A3,f(3) έχει εφαπτομένη τον, 2 g()= f( -2), για κάθε є. α. Να δείξετε ότι f() 0, για κάθε є. β. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει μοναδικό ακρότατο, (τοπικό ή ολικό). γ. Να μελετήσετε την μονοτονία της συνάρτησης g και να βρείτε τις θέσεις στις οποίες παρουσιάζει τοπικό ακρότατο καθώς και το είδος του ακρότατου. δ. Αν, επιπλέον, γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη τότε: i. να δείξετε ότι και η g είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και ii. να δείξετε ότι η εξίσωση g () = 0 έχει δύο τουλάχιστον ρίζες.

26 ΘΕΜΑ 76 ο Έστω f συνεχής συνάρτηση στο σύνολο των πραγματικών αριθμών και η συνάρτηση t t 0 0 g() = e f(u)du dt,. Α) α. Να δείξετε ότι η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη και ισχύει: g()= 0 t e - e f(t)dt β. Αν f() 0 για κάθε є, να δείξετε ότι και g() 0 για κάθε є. Β) Αν επιπλέον ισχύει: g () 2,. f() e 2,. α. Να δείξετε ότι β. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της συνάρτησης f και τον άξονα.

27 ΘΕΜΑ 77 ο Έστω η συνάρτηση f: με α f()= -e, και α. e α. Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f και να δείξετε ότι δεν έχει σημεία καμπής. α(+) α α e -e α(+) β. Να δείξετε ότι: e < <e, για κάθε. γ. Να δείξετε ότι: f() 0,για κάθε є. δ. Να βρείτε την τιμή του α για την οποία ισχύει f() -,για κάθε є.

28 ΘΕΜΑ 78 ο Έστω f, g δύο συναρτήσεις ορισμένες στο σύνολο των πραγματικών αριθμών για τις οποίες ισχύουν: f παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο και f(0) =. 0 tf (t)dt -=(-)e 2 f(t )dt α, για κάθε πραγματικό αριθμό g() =, για κάθε πραγματικό αριθμό και g() = 0 α. Να δείξετε ότι f()=e,. β. Να δείξετε ότι α =. γ. Να βρεθεί το πρόσημο της συνάρτησης g. δ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου το οποίο περικλείεται από την γραφική παράσταση της συνάρτησης g και τους άξονες και y y ε. Να βρεθεί το όριο lim + g().

29 ΘΕΜΑ 79 ο A) Να αποδείξετε ότι e, ά 0. Β) Έστω συνάρτηση f:[0.+ ), συνεχής και γνησίως μονότονη στο [0, + ) με f(e) = και για κάθε 0 ισχύει f() f()e. i) Nα δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο [0,+ ). ii) Να δείξετε ότι για κάθε > 0 ισχύει : ln f() 2. iii) Nα δείξετε ότι η f αντιστρέφεται, να βρείτε το σύνολο τιμών της καθώς και την αντίστροφή της. iv) Nα βρείτε την οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο +. v) Nα βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f - στο +. vi) Nα λύσετε την εξίσωση f 2( ) f( ) e lnf( ) e, 0. vii) Nα δείξετε ότι υπάρχει ένα o є(0,e) τέτοιο ώστε : f ( ). Γ) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο [0,+ ) τότε : i) Nα δείξετε ότι η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο [0,+ ). ii) Nα δείξετε ότι η f είναι κοίλη iii) Nα δείξετε ότι υπάρχει cє(0,e) τέτοιο ώστε : f c e iv) Nα βρεθεί η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο 0. v) Nα δείξετε ότι για κάθε 0 ισχύει : f(). 2e o o vi) Nα υπολογιστούν τα : e e f() f() e f()e f() f() 0 0e e I f()d J d

30 ΘΕΜΑ 80 ο Δίνεται η συνάρτηση f : με e e f(), και ο μιγαδικός 2 αριθμός z, για τον οποίο γνωρίζουμε ότι : z0 3z 6 3z 6 i 0z i, όπου i η φανταστική μονάδα. Α) Να δείξετε ότι : i) 2 0, για κάθε πραγματικό αριθμό α. ii) η συνάρτηση f είναι αντιστρέψιμη και να ορίσετε την αντίστροφή της. Β) Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z είναι ο κύκλος με κέντρο Κ(,0) και ακτίνα ρ = 3. Γ) Αν είναι w, τέτοιος ώστε zw=2, να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών w είναι επίσης κύκλος του οποίου να προσδιορίσετε το κέντρο και την ακτίνα. Δ) Αν w ο μιγαδικός του προηγουμένου ερωτήματος τότε να δείξετε ότι : 4w 2z2 z 2 4w e e e e

31 ΘΕΜΑ 8 ο A) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικός o,0 B) Δίνεται ο μιγαδικός z e i,. 2 ώστε: e o 0. i) Nα βρείτε την ελάχιστη απόσταση m της εικόνας του z από την αρχή των αξόνων συναρτήσει του o. ii) Nα δείξετε ότι η εικόνα του z ανήκει στην γραφική παράσταση της συνάρτησης g() = ln, > 0. iii) Έστω ο κύκλος C με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα m. α) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης g και ο κύκλος C στο σημείο επαφής τους δέχονται κοινή εφαπτομένη. o β) Να δείξετε ότι ο μιγαδικός w mz2m 2 2z m στην περιφέρεια του κύκλου C. βρίσκεται στο εσωτερικό ή

32 ΘΕΜΑ 82 ο Δίνεται η συνάρτηση f :, γνησίως αύξουσα με f(-) > 0 και ο μιγαδικός αριθμός f( )f(0) z 4 3 i, για τον οποίο ισχύει 2 f() z z i 3. Να αποδείξετε ότι ισχύουν : 2 α) f( )f(0)f() 8 β) 2Re(z) = z γ) f(-) < 2 < f() δ) - < f z < 0

33 ΘΕΜΑ 83 ο Έστω η συνεχής συνάρτηση f:, ώστε να ισχύει f3 f2 f, για κάθε є. i. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο. ii. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. iii. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη της iv. Να λύσετε την εξίσωση f() = v. Να βρεθούν οι γεωμετρικοί τόποι των εικόνων των μιγαδικών z f()i, w f() i,. vi. Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου, μεταξύ των δύο τόπων του (v) υποερωτήματος. vii. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο.

34 ΘΕΜΑ 84 ο Έστω συνάρτηση f : ώστε να ισχύει f3 3 +f()= για κάθε є. i. Να δείξετε ότι η f είναι περιττή. ii. Να δείξετε ότι f() > 0 για κάθε > 0. iii. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο. iv. Να υπολογίσετε τα όρια A = lim f(),b = lim f() v. Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο.. vi. Να βρείτε το σύνολο τιμών f(). vii. Να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο. viii. Να δικαιολογήσετε την αντιστρεψιμότητα της f και να βρείτε το είδος της μονοτονίας της αντίστροφης. i. Να βρείτε τον τύπο της f -.. Να λύσετε την εξίσωση f(f()) =. i. Να δείξετε ότι η f - είναι συνεχής στο. ii. Να βρείτε τον τύπο της f -. f iii. Να βρεθεί, αν υπάρχει το lim 0 iv. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα f(t) I = 2 dt d f 2(t)+

35 ΘΕΜΑ 85 ο Δίνεται η άρτια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το για την οποία ισχύουν τα εξής: η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο, με 0 2 f 0 2f 0 4. Α. Να αποδείξετε ότι: i. 0 f(0) 2. ii. f 2f 0 4. iii. f για κάθε є. iv. lim f() lim f(). v. 006 f()d 202f(0). 006 Β. Δίνεται ο μιγαδικός z 5i, με 6z5i z5i f 2, για κάθε f()d 0, για κάθε є. i. Να αποδείξετε ότι το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών z ανήκουν στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης g της οποίας να βρεθεί ο τύπος. ii. Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g. iii. Αν y = φ() είναι η ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της g στο +, να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από την γραφική παράσταση της συνάρτησης h() 24 ()g(), τον άξονα, τον άξονα y y και την ευθεία =3. lim g(t) (t) dt. iv. Να υπολογίσετε το όριο

36 ΘΕΜΑ 86 ο Έστω f, g παραγωγίσιμες στο συναρτήσεις με f(0) = 0, f()d 2, g() 0 για κάθε є και f 2g g για κάθε 0 є. Να δείξετε ότι: α) Η συνάρτηση h με τύπο με τιμή h() = 2 για κάθε є. β) g() < 0 για κάθε є. γ) 2 για κάθε є. f(t)dt δ) Υπάρχει ξ є(, 2) τέτοιο ώστε h f(t)dt g(t)dt, є είναι σταθερή 0 f(t)dt ε) Η εξίσωση f() = 2g() + 2 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (0, ).

37 ΘΕΜΑ 87 ο Έστω η συνεχής συνάρτηση f : με τύπο: 2, 0 f(), 0, όπου α, β є σταθερές. i) Να δείξετε ότι α + β = 0 και να βρείτε τους α, β є. ii) Να βρείτε το όριο lim f() iii) Να δείξετε ότι: f()d 0.. iv) Να δείξετε ότι το σύνολο τιμών της f είναι το διάστημα [0, ].

38 ΘΕΜΑ 88 ο Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις f,g : για τις οποίες ισχύουν 2 f() 2 f 2 t dt για κάθε є και g t dt f() για κάθε є. Να δείξετε ότι : Α) η f είναι παραγωγίσιμη στο. Β) ο τύπος της f είναι f() e2. Γ) 0g()d 2 Δ) υπάρχει ξ є(0,) τέτοιο ώστε g(t)dt. 0 Ε) η εξίσωση g() έχει τουλάχιστον μια λύση στο 0g(t)dt διάστημα (0, ).

39 ΘΕΜΑ 89 ο et g t f g(t)dt t. Έστω οι συναρτήσεις α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση g ως προς τη μονοτονία. β) Να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση της g έχει οριζόντια ασύμπτωτη και να βρεθεί το σύνολο τιμών της. γ) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. 2 δ) Για κάθε 0, να δείξετε ότι : eln g(t)dt e ln ε) Να βρεθεί το lim f. 2 2

40 ΘΕΜΑ 90 ο A. Η εξίσωση z2 z 0,, δεν έχει πραγματικές ρίζες. Αποδείξτε ότι β > 0 και το μέτρο των ριζών της είναι. Β. Δίνεται η εξίσωση 2 5 z 5 z 4 0 όπου λє(-, ). i) Nα βρείτε το σύνολο τιμών της f() 5 5,,. ii) Aποδείξτε ότι η εξίσωση έχει δυο μη πραγματικές ρίζες z, z 2. iii) Aποδείξτε ότι οι εικόνες των z, z 2 βρίσκονται στον ίδιο κύκλο. iv) Aποδείξτε ότι zz2 4. v) Nα βρείτε την τιμή του λє(-, ) για την οποία το μέτρο z z2 γίνεται μέγιστο, καθώς και τους z, z 2 σε αυτή την περίπτωση.

41 ΘΕΜΑ 9 ο Έστω f : παραγωγίσιμη και f() 0 για κάθε є, όπου η γραφική παράσταση της f τέμνει το θετικό ημιάξονα Οy και η g f(t) dt. f() Α) Να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημο της g. B) Nα βρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της g στο σημείο που τέμνει τον. Γ) Αν ισχύει f 0 για κάθε є, να δείξετε ότι f() f(t)dt f(), για κάθε є. Δ) Αν ισχύει f 0 f 0 για κάθε є, να μελετήσετε την κυρτότητα της g στο, και έπειτα να δείξετε ότι g(),.

42 ΘΕΜΑ 92 ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f() 2 ln, 0 0, 0, για την οποία για κάθε 0 ισχύει 2 ln f. e Α.) Να αποδείξετε ότι για κάθε 0 ισχύει 2) Να υπολογίσετε τον αριθμό α. Β. Για α = 0 : f 2ln. ) Nα μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. 2) Να μελετήσετε την f ως προς τα κοίλα στο διάστημα (0, + ) και να βρείτε το σημείο καμπής. 3) Να αποδείξετε ότι 2f h f 2h, h 0.

43 ΘΕΜΑ 93 ο Θεωρούμε μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο φθίνουσα στο κάθε є 0,. 0, και f , Δίνεται επιπλέον ότι Ορίζουμε τη συνάρτηση F με F. 0, 0 f(t)dt f(0), 0 με f γνησίως f 0 για Α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση F είναι συνεχής στο o 0.. f() Β) Να αποδείξετε ότι για κάθε 0, ύ F Γ) Να αποδείξετε ότι η F είναι γνησίως αύξουσα.. Δ) Να αποδείξετε ότι F(t)dt F(e) tf (t)dt 0 0

44 ΘΕΜΑ 94 ο Για την δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f ισχύουν : f () e 0 ά, f f e 2 z e f 0 z A) Να δειχθεί για κάθε, ό f e z. B) Να δειχθεί για κάθε, ό f e z. Γ) Να δείξετε ότι υπάρχουν ξ, ξ 2 2 є[-, ] ώστε : 2 e f f e. Δ) Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της f(), καθώς και ο z ώστε η ελάχιστη αυτή τιμή να γίνεται μέγιστη. Ε) Αν επιπλέον ισχύει, z ln2 z να βρεθεί που κινούνται οι εικόνες των z. τότε z και e e z z 2Rez ΣΤ) Να δειχθεί ότι η f είναι κυρτή και ότι f() z. Ζ) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του wz, όταν η εξίσωση z f() = 0 έχει μοναδική λύση.

45 ΘΕΜΑ 95 ο Δίνεται η συνάρτηση t 2 2t 2 2 f() e dt, є. Α) Να δείξετε ότι : f() 0, για κάθε є. Β) Να δείξετε ότι : f()d f 2 (0). 0 Γ) Να βρείτε ο є, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Μ( o,f( o )), να περνά από την αρχή των αξόνων. Δ) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση g() f(t)dt, є.

46 ΘΕΜΑ 96 ο Α) Δίνεται η συνάρτηση g() 3,. Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία, ακρότατα, κοίλα και σημεία καμπής. Β) Έστω συνάρτηση f : ώστε να ισχύει 3 f f,. ) Να δείξετε ότι η f είναι γνήσια αύξουσα στο, και να βρεθεί το πρόσημο των τιμών της. 2) Να δείξετε ότι είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε την αντίστροφη της. 3) Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο. 4) Να μελετηθεί η f ως προς τα κοίλα και σημεία καμπής. 5) Να δείξετε ότι f() f f 0,. 4 4 f() 2f() 6) Να δείξετε ότι,,. 7) Να δείξετε ότι 2 f()d. 0. 8) Να δείξετε ότι 3 f()d f ()d 3 9) Αν h 0 f(t)dt, να δειχθεί ότι υπάρχει μοναδικό ξ є(, 3) ώστε 4 f t dt 4. 3f 2(t) Γ) Αν τώρα f : 0, και z, w μιγαδικοί ώστε να ισχύει f z 3i 2 f w 2i 2. α) Να βρείτε το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών z, w. β) Να αποδειχθεί ότι zw 8.

47 ΘΕΜΑ 97 ο Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις f, g :, με την f γνησίως φθίνουσα και την g γνησίως αύξουσα. Θεωρούμε τις συναρτήσεις, με є. F() f(t)dt G() g(t)dt 0 0 Υποθέτουμε ότι υπάρχει α > 0 τέτοιο, ώστε f(t)dt g(t)dt. 0 0 Να αποδειχθεί ότι : α) η συνάρτηση F είναι κοίλη και η G είναι κυρτή. β) υπάρχει ξ є(0,α) τέτοιο, ώστε f(ξ) = g(ξ). γ) η συνάρτηση h() F() είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα (0, + ) και (-, 0). δ) για κάθε, y є ισχύει ότι y G() G(y) G. 2 2 ε) ισχύει y f(t)dt g(t)dt y, για κάθε, y є(0, α). 0 0

48 ΘΕΜΑ 98 ο Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :, με f() = 6 και f(3)=0, για την οποία ισχύει: με α πραγματική σταθερά. α) Να αποδείξετε ότι f(α) = 0. 0 t f(t) f 2 f( ) e dt για κάθε є, β) Να βρείτε τη συνάρτηση f και την τιμή της σταθεράς α. γ) Αν για την συνάρτηση g ισχύει fog () gof () για κάθε є, να αποδείξετε ότι η εξίσωση g() = έχει μια τουλάχιστον λύση. δ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f εφάπτεται με την γραφική παράσταση της h όπου h 2 2. ε) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που σχηματίζουν οι γραφικές παραστάσεις των f, h και ο άξονας y'y.

49 ΘΕΜΑ 99 ο Για την παραγωγίσιμη, με συνεχή παράγωγο συνάρτηση f : 0,, e 2f()e d f()e f(0) και f 5 0f f 2. 4 ισχύει f () i. Να δείξετε ότι f() 2 ά 0,. ii. Να βρεθεί το εμβαδό του χωρίου Ω που περικλείεται από την γραφική παράσταση της f, τον y'y και την y =. iii. Να βρείτε την τιμή του α є(0, ), ώστε η ευθεία (ε): y = α 2, να χωρίζει το χωρίο Ω σε δύο ισεμβαδικά χωρία. iv. Να δείξετε ότι f() f() 4 e e 2, για κάθε є[0,].

50 ΘΕΜΑ 200 ο Δίνονται δύο συνεχείς συναρτήσεις f, g :[0,+ ) για τις οποίες για κάθε є [0,+ ) ισχύουν οι σχέσεις : 4 e f() 2 g t dt () 2 0 e 4 e g() 2 f t dt (2) 2 0 e A) Να αποδείξετε ότι f(),g() > 0 και ότι f() = g() για κάθε є[0,+ ) B) Να βρείτε τον τύπο της f και να την μελετήσετε ως προς τη μονοτονία. Γ) Να αποδείξετε ότι οι f, g είναι αντιστρέψιμες και να βρείτε τις τετράδες των α, β, γ, δ που ικανοποιούν την εξίσωση: f f g g 2 Δ) Αν Ε(Ω) είναι το εμβαδό του χωρίου που ορίζεται από τις γραφικές παραστάσεις των f, f να δείξετε ότι: 2 E 2 e, όπου λ η τετμημένη του σημείου τομής των δύο γραφικών παραστάσεων.

ΘΕΜΑ 101 ο. α. Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος του z είναι η ευθεία (ε): x 2y 3 = 0.

ΘΕΜΑ 101 ο. α. Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος του z είναι η ευθεία (ε): x 2y 3 = 0. ΘΕΜΑ 0 ο t - Αν για κάθε ισχύει z - i e dt z - + 3i - α. Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος του z είναι η ευθεία (ε): y 3 = 0. β. Δίνεται ο μιγαδικός w, με w = z + 004. Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος

Διαβάστε περισσότερα

x R, να δείξετε ότι: i)

x R, να δείξετε ότι: i) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύουν: f ( ), f ( ) για κάθε R και f ( ) f ( ) α) Να βρείτε τον τύπο της f για κάθε R g( ) β) Αν g είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β ΜΕΡΟΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β ΜΕΡΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7-8 Β ΜΕΡΟΣ. Δίνεται η τέσσερις φορές παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f τέτοια ώστε : f (4) () + f () () = ημ + συν, για κάθε και f() =, f () =, f () = - και f () () =. α) Να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Α ΜΕΡΟΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Α ΜΕΡΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7-8 Α ΜΕΡΟΣ Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει : f ()+f()=, για κάθε και f()=e+ α) Να δείξετε ότι f()=+e -, β) Να βρείτε το όριο lim ( lim f(y)) y γ) Να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Τεστ προετοιμασίας Θέμα 1 ο

1 ο Τεστ προετοιμασίας Θέμα 1 ο ο Τεστ προετοιμασίας Θέμα ο Σε κάθε μια από τις ακόλουθες προτάσεις αφού πρώτα σημειώσετε το Σ (σωστή) ή το Λ (λανθασμένη), στη συνέχεια να δώσετε μια σύντομη τεκμηρίωση της όποιας απάντησή σας Αν για

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ (Α κύκλος)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ (Α κύκλος) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ (Α κύκλος) Δίνεται η εξίσωση z-=z-3i,zc α) Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι η ευθεία ε: -3y+4= β) Να βρείτε την εικόνα του μιγαδικού z, για τον οποίο το

Διαβάστε περισσότερα

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ <

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ < Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [008-009 < Mathematica.gr], τον οποίο κι ευχαριστώ ιδιαίτερα για

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x

ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x ΘΕΜΑ A ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f ( ) ln,,. Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφής της.. Να δικαιολογήσετε ότι η εξίσωση f ( ) a, a,

Διαβάστε περισσότερα

e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim

e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)()=- για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f()=, β) η f αντιστρέφεται, γ) f - ()=-f(), є R., δ ) να λύσετε

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης

Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης 6 Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης ΘΕΜΑ Έστω η συνεχής συνάρτηση f : (, ) R τέτοια ώστε για κάθε να ισχύει: t f ( ) dt. f () t te ( ) α) Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: β) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. [ ] z, w. 3 f x, x 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. [ ] z, w. 3 f x, x 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 1. i) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό 3 3 0 1, ώστε: 3 e, 1 ln 0 + 0 = 0 ii) Δίνεται ο μιγαδικός 3 z = ln + i, > 0 a) Να βρείτε την ελάχιστη απόσταση k της εικόνας του z από την αρχή

Διαβάστε περισσότερα

f(x 2) 5 x 1 α) Να αποδείξετε ότι: i) f (3) = 5 και ii) f (3) = 6 x 2 f(x)

f(x 2) 5 x 1 α) Να αποδείξετε ότι: i) f (3) = 5 και ii) f (3) = 6 x 2 f(x) . Έστω η συνάρτηση = + e. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία.. Να λύσετε την εξίσωση e = 3. Θεωρούμε τη γνησίως μονότονη συνάρτηση g : R R η οποία για κάθε R ικανοποιεί τη σχέση g() + e g() = +.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β κύκλος 6-7 ) Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει : α) Να δείξετε ότι f()=+e -, f ()+f()=, για κάθε και f()=e+ β) Να βρείτε το όριο ( y f(y)) γ) Να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο

Διαβάστε περισσότερα

Θ Ε Μ Α Τ Α Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θ Ε Μ Α Τ Α Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θ Ε Μ Α Τ Α Π Ρ Ο Α Γ Ω Γ Ι Κ Ω Ν Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ω Ν Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - 3 Α Π Ο Λ Υ Τ Η Ρ Ι Ε Σ Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ι Σ Θ Ε Τ Ι Κ Η Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η ΘΕΜΑ ο : Α.. Αν η

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση i. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της

Διαβάστε περισσότερα

20 επαναληπτικά θέματα

20 επαναληπτικά θέματα 0 επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης Γ λυκείου (τεύχος σχολικό έτος 03-04) Γράφουν οι μαθηματικοί: Βέρρας Οδυσσέας Καρύμπαλης Νώντας Κοτσώνης Γιώργος Κώνστας Χάρης Μπούζας Δημήτρης Πετρόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α + + i = βi () β + αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι πραγµατικός αριθµός. β) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012 Μαθηματικά Γ Λυκείου Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων 5/5/ Έκδοση Α Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ( mac964@gmail.com) Αθήνα (λίγο πριν τις εκλογές) Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ TEXΝΟΛΟΓ. 5... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β κύκλος ) Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f για την οποία ισχύει : [f()] 8 +α[f()] = -e f(), α>,για κάθε. α) Να δείξετε ότι f()=c, για κάθε,όπου c αρνητική σταθερά. β) Να βρείτε τις

Διαβάστε περισσότερα

20 επαναληπτικά θέματα

20 επαναληπτικά θέματα 0 επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης Γ λυκείου Γράφουν οι μαθηματικοί: Βέρρας Οδυσσέας Ζαχαράκης Δημήτρης Καρύμπαλης Νώντας Κλίτσας Γιώργος Κοτσώνης Γιώργος Μπούζας Δημήτρης Πετρόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο : Έστω z, z C με R(z ) = και R(z ) = Αν f() ( z )( z )( z

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. σε µια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρµοσµένα στις επιταγές του ΝΤ MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 05 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. σε µια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρµοσµένα στις επιταγές του ΝΤ MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 05 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε µια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρµοσµένα στις επιταγές του ΝΤ (IMF: 4o µεσοπρόθεσµο.) ( WWF:.εξοικονόµηση πόρων.) MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 5 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0.

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Άσκηση Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν η συνάρτηση την» ορίζεται στο τότε δεν μπορεί να έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη ) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 000-05 Περιεχόµενα Θέµατα Επαναληπτικών 05............................................. 3 Θέµατα 05......................................................

Διαβάστε περισσότερα

2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση.

2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση. . Έστω η συνάρτηση f : με την παρακάτω γραφική παράσταση. Α. Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα, κυρτή, κοίλη, καθώς και τα τοπικά ακρότατα και τα σημεία

Διαβάστε περισσότερα

qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj

qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj qwφιeryuiopasdfghjklερυυξnmηq σwωψerβνyuςiopasdρfghjklcvbn mqweryuiopasdfghjklcvbnφγιmλι ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ qπςπζαwωeτrνyuτioρνμpκaλsdfghςj Τάξη : Γ Λυκείου klcvλοπbnαmqweryuiopasdfghjkl

Διαβάστε περισσότερα

20 επαναληπτικά θέματα

20 επαναληπτικά θέματα επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης Γ λυκείου (τεύχος 3 σχολικό έτος 4-5) Γράφουν οι μαθηματικοί: Βέρρας Οδυσσέας Καρύμπαλης Νώντας Κοτσώνης Γιώργος Κώνστας Χάρης Λιτζερίνος Χρήστος Μπούζας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα

Για παραγγελίες των βιβλίων 2310610920

Για παραγγελίες των βιβλίων 2310610920 Για παραγγελίες των βιβλίων 369 Θέματα Προσομοίωσης Πανελλαδικών D.A.T. ΘΕΜΑ o ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 8 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj

qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj qwφιrtyuiopasdfghjklzερυυξnmηq σwωψrβνtyuςiopasdρfghjklzcvbn ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ mqwrtyuiopasdfghjklzcvbnφγιmλι qπςπζαwωτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj Τάξη : Γ Λυκείου klzcvλοπbnαmqwrtyuiopasdfghjklz

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x,

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x, Θέμα Α Θέματα Α. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f() διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου

Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου Ασκήσεις Επανάληψης σε όλο το εύρος της διδακτέας ύλης Κων/νος Παπασταματίου Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Τηλ. 4 3 598 Θε ματα ΟΕΦΕ - 5 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Νίκος Ζανταρίδης (Φροντιστήριο Πυραμίδα) ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ένα γενικό θέμα Ανάλυσης Χρήσιμες Προτάσεις Ασκήσεις για λύση Μικρό βοήθημα για τον υποψήφιο μαθητή της Γ Λυκείου λίγο πριν τις εξετάσεις Απρίλιος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. α) Αν z=x+yi 0, z = ρ και θ ένα όρισµα του z, να αποδείξετε ότι ο z παίρνει τη µορφή z=ρ (συνθ + iηµθ) Μονάδες 8,5

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. α) Αν z=x+yi 0, z = ρ και θ ένα όρισµα του z, να αποδείξετε ότι ο z παίρνει τη µορφή z=ρ (συνθ + iηµθ) Μονάδες 8,5 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΤΡΙΤΗ 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 00 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA (ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Θέματα στην Κατεύθυνση της Γ Α. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Γενικά Θέματα στην Κατεύθυνση της Γ Α. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ stergiu@otenet.gr Σελίδα από 4 Γενικά Θέματα στην Κατεύθυνση της Γ Αγαπητοί συνάδελφοι - Φίλοι μαθητές! Προσπάθησα να συγκεντρώσω ηλεκτρονικά μερικά γενικά επαναληπτικά θέματα που έφτιαξα ο ίδιος ή συνάντησα,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Ο Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασµένες.. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ) ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016

5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016 5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 6 Διάρκεια: 3 ώρες ΘΕΜΑ A Α Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Να αποδείξετε ότι αν η f είναι συνεχής στο Δ και f για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. α) Αν z=x+yi 0, z = ρ και θ ένα όρισµα του z, να αποδείξετε ότι ο z παίρνει τη µορφή z=ρ (συνθ + iηµθ) Μονάδες 8,5

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. α) Αν z=x+yi 0, z = ρ και θ ένα όρισµα του z, να αποδείξετε ότι ο z παίρνει τη µορφή z=ρ (συνθ + iηµθ) Μονάδες 8,5 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΤΡΙΤΗ 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 00 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA (ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Θέματα στην Κατεύθυνση της Γ Α. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Γενικά Θέματα στην Κατεύθυνση της Γ Α. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ stergiu@otenet.gr Σελίδα από 45 Γενικά Θέματα στην Κατεύθυνση της Γ Αγαπητοί συνάδελφοι - Φίλοι μαθητές! Προσπάθησα να συγκεντρώσω ηλεκτρονικά μερικά γενικά επαναληπτικά θέματα που έφτιαξα ο ίδιος ή συνάντησα,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης τη f(x) στο σηµείο x ο είναι f x ) (Μονάδες 4)

ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης τη f(x) στο σηµείο x ο είναι f x ) (Μονάδες 4) Αµυραδάκη, Νίκαια (-493576) ΘΕΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 3 Α. Πότε µια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιµη στο ο ; Β. Τι σηµαίνει γεωµετρικά το θεώρηµα Rolle ; Γ. Να αποδείξετε ότι ( ) a = a ln a (Μονάδες 5) (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ 1. Αν f συνεχής στο [α, β] είναι f ( ) d 0 f ( ) 0 2. Αν f συνεχής και γν. αύξουσα στο [α, β] ισχύει ότι: f ( ) d 0. 3. Αν f ( ) d g( ) d, ό f ( ) g( ) ά [, ]. 4. Το σύνολο τιμών

Διαβάστε περισσότερα

Γ1. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα (0, + ).

Γ1. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα (0, + ). ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Γ. ίνεται η συνάρτηση f(),. Γ. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα (, ). Γ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f( ( )) έχει στο σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

x 1 vii) f(x) 5 x 4 viii) 2 + γ) f (x) = στ) f (x) = e x -1 Β. Γραφική παράσταση Γ. Ίσες συναρτήσεις x 3 x 3 f(x), g(x) ιι)

x 1 vii) f(x) 5 x 4 viii) 2 + γ) f (x) = στ) f (x) = e x -1 Β. Γραφική παράσταση Γ. Ίσες συναρτήσεις x 3 x 3 f(x), g(x) ιι) Α.Πεδίο ορισμού. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους ι) f() = v) f() 4 6 6 5 log 4 ii) f() = iii) f() = log ( ) iv) f() = log ( log 4(- )) vi) f() = 4 vii) f() 5 4 viii) f() ημ.

Διαβάστε περισσότερα

Τελευταία Επανάληψη. την ευθεία x=1 και τoν x x. 2 1 x. Λύση. x 2 1 x 0, άρα. x 1 x. x x 1. γ) x 1 e x x 1 x e ln x 1 x f x.

Τελευταία Επανάληψη. την ευθεία x=1 και τoν x x. 2 1 x. Λύση. x 2 1 x 0, άρα. x 1 x. x x 1. γ) x 1 e x x 1 x e ln x 1 x f x. Δίνεται η συνάρτηση ln Τελευταία Επανάληψη α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της β) Να μελετήσετε την ως προς την μονοτονία της γ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης e, δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ÏÅÖÅ. x και f ( x ) >, τότε f ( ) 0

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ÏÅÖÅ. x και f ( x ) >, τότε f ( ) 0 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 3 ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέµα ο Α. α) Έστω η συνάρτηση ( ) στο R και ισχύει: f '( ) ηµ f = συν. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΕΠΙΚΑΙΡΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου

Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου Ασκήσεις Επανάληψης σε όλο το εύρος της διδακτέας ύλης Κων/νος Παπασταματίου Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Τηλ. 4 598 Θε ματα Δεσμω ν 98- Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2014

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2014 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μια συνάρτηση f: Α R η οποία είναι. Να γράψετε τον ορισμό της αντίστροφης συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. 0, αν x

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. 0, αν x Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ/ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΩΡΙΑ. Πότε δύο συναρτήσεις και g είναι ίσες;. Πότε μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α λέγεται " " ; 3. Πότε μία συνάρτηση λέγεται συνεχής στο σημείο o του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

= 1-3 i, να γράψετε στο τετράδιό

= 1-3 i, να γράψετε στο τετράδιό ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ ΙΟΥΝΙΟΥ 001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ 1o A.1. ίνονται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 7 ΘΕΜΑ Α A Έστω συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ Αν f σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο : Έστω z, z C με (z ) και (z ) Αν f() ( z )( z )( z )( z

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Συλλογή. Γενικού Λυκείου. Ημερησίου-Εσπερινού-Ομογενών

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Συλλογή. Γενικού Λυκείου. Ημερησίου-Εσπερινού-Ομογενών ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Συλλογή Γενικού Λυκείου Ημερησίου-Εσπερινού-Ομογενών 07-08 Πρόλογος Το παρόν αρχείο αποτελείται από όλα τα θέματα των Μαθηματικών Θετικής και

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2019 Β ΦΑΣΗ

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2019 Β ΦΑΣΗ ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ / ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: Σάββατο 11 Μαΐου 19 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Έστω f μια

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1. εξισώσεις x= π 3, x= π 2. ΑΣΚΗΣΗ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις : f (x)= 1. 1 u 2 x. du και g(x)= 1 f (t )dt

ΑΣΚΗΣΗ 1. εξισώσεις x= π 3, x= π 2. ΑΣΚΗΣΗ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις : f (x)= 1. 1 u 2 x. du και g(x)= 1 f (t )dt ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f (x)= ημ x, x (0,π). α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα κοίλα. β) Να βρείτε της ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f. γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της f στο Δ ονομάζεται κάθε συνάρτηση F που είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκληρώματα. Κώστας Γλυκός ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α

Ολοκληρώματα. Κώστας Γλυκός ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α Ολοκληρώματα Κώστας Γλυκός 9 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7.. 8 8. 8 8 Kglykos.gr / / 6 εκδόσεις Καλό πήξιμο τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 Επιλεγμένες ασκήσεις από βιβλία Σε

Διαβάστε περισσότερα

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. 2. Να βρεθεί ο λ R ώστε f(x) = ln ( x 2 +2λx+9) να έχει πεδίο ορισμού Α = R

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. 2. Να βρεθεί ο λ R ώστε f(x) = ln ( x 2 +2λx+9) να έχει πεδίο ορισμού Α = R Α.Πεδίο ορισμού. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους ι) f() = 4 6 6 ii) f() = iii) f() = log ( ) iv) f() = log ( log 4(- )) v) 5 f() log vi) f() = 4 4 vii) f() 5 4 viii) f() ημ.

Διαβάστε περισσότερα

y = 2 x και y = 2 y 3 } ή

y = 2 x και y = 2 y 3 } ή ΘΕΜΑ Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z, w για τους οποίους ισχύουν οι σχέσεις z = και w i =. i). Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των z και w. ii). Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν μιγαδικοί αριθμοί z,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΡΑΜΑΤΑ ΣΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ Η. ΡΟΥΣΑΛΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. ΤΟ 3ο ΚΑΙ ΤΟ 4ο ΘΕΜΑ (ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΤΑΚΗ)

ΠΑΡΟΡΑΜΑΤΑ ΣΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ Η. ΡΟΥΣΑΛΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. ΤΟ 3ο ΚΑΙ ΤΟ 4ο ΘΕΜΑ (ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΤΑΚΗ) ΠΑΡΟΡΑΜΑΤΑ ΣΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ Η. ΡΟΥΣΑΛΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΟ ο ΚΑΙ ΤΟ 4ο ΘΕΜΑ (ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΤΑΚΗ) Στις επισυναπτόμενες σελίδες του παραπάνω βιβλίου έχουν γίνει από τον συγγραφέα

Διαβάστε περισσότερα

<Πεδία ορισμού ισότητα πράξεις σύνθεση>

<Πεδία ορισμού ισότητα πράξεις σύνθεση> Συναρτήσεις 1 A Έστω μία συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης B Δίνεται η συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων :, και Γ Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1. Μιγαδικοί αριθμοί

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1. Μιγαδικοί αριθμοί Σελίδα από 4 ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θετική & Τεχνολογική κατεύθυνση Το παρόν κείμενο αποτελεί μια μορφοποιημένη έκδοση του αρχείου που μας έστειλε ο συνάδελφος Σπύρος Κούρτης.(Επιμέλεια : Μπάμπης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΟΝΤΑΙ ΜΙΑ ΔΕΥΤΕΡΗ ΜΑΤΙΑ

ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΟΝΤΑΙ ΜΙΑ ΔΕΥΤΕΡΗ ΜΑΤΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΟΝΤΑΙ ΜΙΑ ΔΕΥΤΕΡΗ ΜΑΤΙΑ? Εύρεση πεδίου ορισμού σε συνθέσεις.. Δίνεται η γν. αύξουσα συνάρτηση :[ -, ] R. Α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της g () = ( + ) + ( + ). Β. Να βρεθεί η μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο. Έστω f μια συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο διάστημα Δίνεται επίσης συνάρτηση g συνεχής στο διάστημα Ορίζουμε τις συναρτήσεις: ftgtdt,,,

Διαβάστε περισσότερα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÊÏÑÕÖÇ ÓÅÑÑÅÓ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 19 ΜΑΪΟΥ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÊÏÑÕÖÇ ÓÅÑÑÅÓ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 19 ΜΑΪΟΥ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 9 ΜΑΪΟΥ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα. Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΚΑΙ ΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΑΥΤΗΣ. x 0 για κάθε xεr και για την συνάρτηση g ισχύει i. Να βρείτε

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΚΑΙ ΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΑΥΤΗΣ. x 0 για κάθε xεr και για την συνάρτηση g ισχύει i. Να βρείτε ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΤΑ ΣΤΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΚΑΙ ΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΑΥΤΗΣ Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : IR IR τέτοια ώστε f ( ) 1 για κάθε IR (1) και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο i Να βρείτε τα κ και λ

Διαβάστε περισσότερα

Θ.Rolle Θ.Μ.T. Συνέπειες Θ.Μ.Τ

Θ.Rolle Θ.Μ.T. Συνέπειες Θ.Μ.Τ Θέματα Πανελλαδικών 000-05 στις Παραγώγους Εφαπτομένη Έστω η συνάρτηση f :, με f 000 ln Έστω η συνάρτηση Έστω c > 000 και έστω ότι η ευθεία y = c και η C f τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία Α,Β του επιπέδου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ( 2001 2011 ) ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΙΣ Ο.Ε.Φ.Ε. ( 2003 2011 )

ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ( 2001 2011 ) ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΙΣ Ο.Ε.Φ.Ε. ( 2003 2011 ) ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ( & ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΙΣ Ο.Ε.Φ.Ε. ( Επιμέλεια Συρραφή Θεμάτων Ζαχαριάδης Λάζαρος - Μαθηματικός ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΑΠΟ ΕΩΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ε Σ Ε Π Α Ν Α Λ Η Π Τ Ι Κ Ε Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ

Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ε Σ Ε Π Α Ν Α Λ Η Π Τ Ι Κ Ε Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ε Σ Ε Π Α Ν Α Λ Η Π Τ Ι Κ Ε Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( ) Α.. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΘΕΜΑ o ΜΑΪΟΥ A Έστω μια συνεχής συνάρτηση σ' ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. α) Αν z=x+yi 0, z = ρ και θ ένα όρισµα του z, να αποδείξετε ότι ο z παίρνει τη µορφή z=ρ (συνθ + iηµθ) Μονάδες 8,5

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. α) Αν z=x+yi 0, z = ρ και θ ένα όρισµα του z, να αποδείξετε ότι ο z παίρνει τη µορφή z=ρ (συνθ + iηµθ) Μονάδες 8,5 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΤΡΙΤΗ 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA (ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 5 MAΪΟΥ 5 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω μια συνάρτηση f, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

1o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α. βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ.

1o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α. βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ. o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α Δίνεται τετράγωνο με κορυφές τα σημεία Α,, Β,, Γ, και Δ, και μία συνεχής στο, συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ. B. Nα βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ <

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ < Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [008-09 < Mathematica.gr], τον οποίο κι ευχαριστώ ιδιαίτερα για το

Διαβάστε περισσότερα

3.7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ

3.7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ 68 Να γράψετε τον τύπο που δίνει το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της, τις ευθείες, και τον άξονα, όταν για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

23 2011 ΘΕΜΑ Α A1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x 0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x 0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 5 ΜΑΪΟΥ 15 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 6 Τι ονομάζουμε αρχική μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ ονομάζουμε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

4 η ΕΚΑ Α. = g(t)dt, x [0, 1] i) είξτε ότι F(x) > 0 για κάθε x (0, 1] ii) είξτε ότι f(x)g(x) > F(x) για κάθε x (0, 1] και G(x) για κάθε x (0, 1]

4 η ΕΚΑ Α. = g(t)dt, x [0, 1] i) είξτε ότι F(x) > 0 για κάθε x (0, 1] ii) είξτε ότι f(x)g(x) > F(x) για κάθε x (0, 1] και G(x) για κάθε x (0, 1] ΜΑΘΗΜΑ 48 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 η ΕΚΑ Α 3. Έστω f συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο [, ], µε f() >. ίνεται επίσης συνάρτηση g συνεχής στο [, ], για την οποία ισχύει g() > για κάθε [, ] Ορίζουµε τις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Συλλογή. Γενικού Λυκείου. Ημερησίου-Εσπερινού-Ομογενών

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Συλλογή. Γενικού Λυκείου. Ημερησίου-Εσπερινού-Ομογενών ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Συλλογή Γενικού Λυκείου Ημερησίου-Εσπερινού-Ομογενών 07-08 Πρόλογος Το παρόν αρχείο αποτελείται από όλα τα θέματα των Μαθηματικών Θετικής και

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 2000-2015

Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 2000-2015 Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 000-05 Περιεχόµενα Θέµατα Επαναληπτικών 05............................................. 3 Θέµατα 05......................................................

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Πανελλαδικών στις Παραγώγους. Εφαπτομένη

Θέματα Πανελλαδικών στις Παραγώγους. Εφαπτομένη Θέματα Πανελλαδικών 000-04 στις Παραγώγους Εφαπτομένη Έστω η συνάρτηση f :, με f 000 ln Έστω c > 000 και έστω ότι η ευθεία y = c και η C f τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία Α,Β του επιπέδου Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ σελ. από 0 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ ΙΟΥΝΙΟΥ 04 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 10 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 10 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ /4/8 ΕΩΣ 4/4/8 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Τρίτη Απριλίου 8 Διάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Έστω μία συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αν o

Διαβάστε περισσότερα

h ln 1 γ) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο Δ, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο Δ.

h ln 1 γ) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο Δ, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο Δ. ΘΕΜΑ A Α1. α) Να δώσετε τον ορισμό πότε μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο (α, β) και πότε στο [α, β]. Σχεδιάστε μια συνάρτηση που είναι συνεχής στο =1 αλλά όχι παραγωγίσιμη β) Να διατυπώσετε τον ορισμό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 3 ΙΟΥΝΙΟΥ 03 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 5/5/6 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο Α Τι ορίζουμε ως εφαπτομένη (όχι κατακόρυφη) της γραφικής παράστασης C f

Διαβάστε περισσότερα

40 επαναληπτικά θέματα

40 επαναληπτικά θέματα 4 επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Σχολικό έτος 4 Ελεύθερη διάθεση για εκπαιδευτικούς σκοπούς ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

Διαβάστε περισσότερα

6 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 51.

6 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 51. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 6 η ΕΚΑ Α 5. ίνεται η συνάρτηση ln, αν > 0 f () 0, αν 0 Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 0 i Να µελετήσετε την f ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα και να βρείτε το σύνολο τιµών

Διαβάστε περισσότερα

( ) t, για κάθε x R. f t. xxκαι ' τις ευθείες x = 2 ΜΙΑ ΣΥΛΛΟΓΗ 60 ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

( ) t, για κάθε x R. f t. xxκαι ' τις ευθείες x = 2 ΜΙΑ ΣΥΛΛΟΓΗ 60 ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΙΑ ΣΥΛΛΟΓΗ 6 ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Α ΕΚΔΟΣΗ:// ΑΣΚΗΣΗ (από Περικλή Παντούλα) Έστω η συνεχής συνάρτηση :, με ( ) α. Να δείξετε ότι ( )

Διαβάστε περισσότερα