ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 4 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2018 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. x 1 x 1 x 1

Transcript

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 08 ΘΕΜΑ A Α. α. Λάθος β. Σωστό γ. Λάθος δ. Σωστό ε. Σωστό στ. Λάθος ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Αν η f είναι συνεχής = τότε ισχύει: lim f() = lim f() = f() () + κ κ κ ( ) lim f () = lim λ+ =λ+ lim = κ ( )( + + ) =λ+ lim =λ+ 6κ. ( ) lim f () = lim λ κ + = λ+ κ+. + f () = λ+ κ+. Αν ισχύει η () τότε: λ+ 6κ= λ+ κ+ κ λ= κ λ= (άτοπο). Γιατί (κ λ) ακέραιος και δεν είναι ακέραιος. Άρα δεν υπάρχουν ακέραιοι αριθμοί κ και λ ώστε η f να είναι συνεχής στο =. ΘΕΜΑ Β Β. Η f είναι συνεχής στο ΙR, άρα και στο = α. Επομένως α lim f() = lim f() = f(α) lim( + β + 0) = lim ( + 6β)e = + α α α α = α 6β α + β + 0 = α 6β α + α + + β + 6β + 9 = 0 (α + ) + (β + ) = 0 α = και β=. Αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (0,) ώστε + e = 0.

2 Β.α. Θεωρούμε τη συνάρτηση g() = + e, [0,]. Η g είναι συνεχής στο [0,] ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων. g(0) = < 0 και g() = e > 0. Άρα g(0) g() < 0. Σύμφωνα με το θεώρημα Blzan υπάρχει ένα τουλάχιστον (0,) τέτοιο ώστε g( ) = 0. f() f() f() f() e + e = e + e + = + ( ) f() e + = +, ΙR. Θεωρούμε Τότε ισχύει Επειδή f() g() = e +, ΙR. g () = + g() = +, ΙR. + 0 g() 0, για κάθε ΙR και η g είναι συνεχής συνάρτηση, η g διατηρεί πρόσημο στο ΙR. Όμως Άρα g() > 0 για κάθε ΙR. Επομένως f() g() = + e + = + f() f (0) 0 g(0) = e = e = > 0. ( ) e = + f() = ln +, ΙR. β. f γνησίως φθίνουσα στο ΙR = (, + ). Άρα ( ) f(a) = lim f(), lim f() = (, + ) = ΙR γιατί: Θέτουμε + =ω. 0 + lim ( + ) = lim + lim = = + + = lim = 0 και lim f () = lim ln ω =. ω lim ( + ) = lim + + = ( + ) = +. Άρα lim f () = lim ln ω = +. ω + f () f () ln 09 γ. e 09 = 0 e = 09 f () = ln 09 f () =

3 f () = ln 09. Επειδή ln 09 f (A) =ΙR η εξίσωση f () = ln 09 έχει μία τουλάχιστον λύση στο ΙR, που είναι μοναδική γιατί η f είναι γνησίως μονότονη. ΘΕΜΑ Γ Γ.α. lim συν f() + e f(+ ) = συν f() + ef() επειδή η f είναι συνεχής συνάρτηση. e Άρα συν f() + ef() = 0 f() = f(). συν e Επομένως f () f () = f () < 0 γιατί συν αν f() = 0 τότε και f() = 0 (άτοπο) αφού η f είναι γνησίως μονότονη άρα " ". Ισχύουν για την f οι υποθέσεις του θεωρήματος Blzan στο [,]. Άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) έτσι ώστε f( ) = 0 και είναι μοναδικό γιατί η f είναι γνησίως μονότονη. β. Επειδή f( ) = 0 με (, ) και μοναδικό, η f ως συνεχής συνάρτηση, διατηρεί πρόσημο στα διαστήματα (, ) και (, + ). και (, ) και, 6 ( + ). Άρα f( ) και f( ) ομόσημοι, όπως και f(), f(6) ομόσημοι. Επομένως f( ) f( ) > 0 και f() f(6) > 0. Άρα f( ) f( ) f() f(6) > 0. Γ.α. Έστω f() =Σ() f() = ( ) Σ() lim( ) = 0 και lim Σ () =. Άρα limf() = 0 = 0= f() γιατί η f είναι συνεχής. f() f() ( ) Σ() ( )( + ) Σ() β. lim = lim = lim = Άρα η f είναι παραγωγίσιμη στο = με f () Είναι g() = συνπ f () = 0. g() g() συν( π)f() f() Επίσης lim = lim = lim συν( π) lim =

4 = συνπ Άρα g () ΘΕΜΑ Δ Δ.α. Οι c f και c g έχουν κοινή εφαπτομένη στο σημείο με = αν και μόνο αν ισχύουν: f () = g() () και f () = g () () Είναι f () =, > 0 και g () = + β, ΙR. Άρα (): α = +β και (): = + β β=. Επομένως α= = 0 α= 0. β. Για α = 0 και β= είναι f() = ln και g() = και f () =, > 0 g () =, ΙR. Αν A(,y ) ένα τέτοιο σημείο τότε πρέπει f ( ) g ( ) = ( ) = = Όμως f = ln g. Άρα οι c f και c g δεν έχουν κοινό σημείο στο οποίο οι εφαπτόμενες είναι κάθετες μεταξύ τους. Δ.α. Είναι Α f = ΙR και f() = + αe, Έστω, ΙR με f( ) = f( ) + αe = + αe αe = αe Άρα η f είναι " " και η f αντιστρέφεται. y Έστω f() = y + αe = y e = α y = ln α α = ln y y > 0 y> α α Άρα f (A) = (, + ) = A f και f () = ln.

5 β. Είναι ( ) α f () = ln = =, >. ε: ( ) 5 y f () = f () ( ) y ln α = ( ) y = + + ln α γ. Για = 0 είναι y = + lnα. Σημείο τομής με τον y y είναι B(0, + ln α). Για y = 0 είναι = + lnα. Σημείο τομής με τον είναι Γ ( + ln α, 0). (O ΒΓ ) = ( ΟΒ) ( ΟΓ ) = + lnα + ln α = ( + ln α) = + ln α + ln α = ln α= 0 α= ln α( + ln α) = 0 ή + ln α= 0 lnα= α= e ΚΟΥΡΤΟΓΛΟΥ ΘΕΑΓΕΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΣ SCIENCE PRESS