1 ο Τεστ προετοιμασίας Θέμα 1 ο

Transcript

1 ο Τεστ προετοιμασίας Θέμα ο Σε κάθε μια από τις ακόλουθες προτάσεις αφού πρώτα σημειώσετε το Σ (σωστή) ή το Λ (λανθασμένη), στη συνέχεια να δώσετε μια σύντομη τεκμηρίωση της όποιας απάντησή σας Αν για κάθε παραγωγίσιμη συνάρτηση f: ισχύει f() για κάθε, τότε η f δεν έχει ακρότατα Έστω η συνάρτηση f:, Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο και παρουσιάζει ελάχιστο στο, τότε ισχύει (πάντα) f Αν f() για κάθε, τότε η f έχει κατ ανάγκη μέγιστη τιμή το 4 Αν f:[,] παραγωγίσιμη με σύνολο τιμών f [,] [,5] και f()=, f()=4, τότε υπάρχουν,, τέτοια ώστε: f f 5 Αν f() για κάθε και f()= και f παραγωγίσιμη, τότε f() 6 Αν οι συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες στο (α,β) και παρουσιάζουν τοπικά ακρότατα στο,, τότε η συνάρτηση f+g παρουσιάζει πάντα τοπικό ακρότατο στο 7 Κάθε τοπικό μέγιστο είναι πάντα μεγαλύτερο από κάθε τοπικό ελάχιστο 8 Αν f() 5,, τότε η f παρουσιάζει τοπικά ακρότατα στα σημεία με τετμημένες 5 και 9 Αν f (), τότε το f() είναι πάντα τοπικό ακρότατο Το μεγαλύτερο από τα τοπικά μέγιστα της f είναι ολικό μέγιστο X(,5+,5) Θέμα ο Δίνεται η συνάρτηση f : με f() α Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης f β Να δείξετε ότι η πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f είναι ο άξονας συμμετρίας των γραφικών παραστάσεων των

2 γ συναρτήσεων f και f Θεωρούμε τη συνάρτηση G() f(t)dt i Να βρεθεί το πεδίο ορισμού και ο τύπος της συνάρτησης ii Να υπολογισθούν τα όρια: G() G() L im και L im iii Να δείξετε ότι υπάρχει τέτοιο ώστε G( ) iii Να δείξετε ότι υπάρχει τέτοιο ώστε G( ) Θέμα α Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό α> τέτοιο ώστε: ln β Δίνεται η συνάρτηση f:, με f() ln i Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα και να δείξετε ότι για κάθε > ισχύει: f() ii Να δείξετε ότι υπάρχει,e τέτοιο ώστε: f f Θέμα 4 8 Δίνονται οι συναρτήσεις f,g:[, ] οι οποίες είναι κυρτές στο [α,β] Αν γνωρίζουμε ότι: - οι f, g έχουν συνεχείς παραγώγους στο [α,β], - ισχύει ότι f ( ) και f ( ), τότε: α Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g με g() f () g () είναι γνήσια αύξουσα στο [α,β] β Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό, τέτοιο ώστε: f( ) f( ) g( ) g( ) f( )g( ) 5

3 ο Τεστ προετοιμασίας Θέμα ο Α Σε κάθε μια από τις ακόλουθες προτάσεις να σημειώσετε στο τετράδιό σας το Σ (σωστή πρόταση) ή το Λ (λανθασμένη πρόταση) Αν H() dt και t F() dt τότε H() F() t Αν για τη συνεχή συνάρτηση f: ισχύουν im f() και, τότε η εξίσωση f()= έχει τουλάχιστον μια im f() πραγματική λύση Αν η παραγωγίσιμη συνάρτηση f παίρνει θετικές τιμές τότε και ο ρυθμός μεταβολής της είναι (πάντα) θετικός 4 Αν im f() g() 8 τότε και imf() im g() 8 5 Αν η f είναι γνησίως φθίνουσα στο τότε ισχύει ότι: f 9 f 8 για κάθε Œ X= Β Να τεκμηριώσετε τις απαντήσεις σας στα Α, Α, Α 5 ++=9 Γ Έστω η συνάρτηση f με f(), Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο (,+οο), και ισχύει: f() Δίνεται η εξίσωση Θέμα ο 6 zz4re i z 4 (Ε) Α Να δείξετε ότι η εξίσωση (Ε) έχει άπειρες λύσεις στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών Β Αν z,z δυο λύσεις της (Ε), να δείξετε ότι z z 8 8 Γ Αν z,z δυο λύσεις της (Ε), για τις οποίες ισχύει z z 8, να δείξετε ότι 4 z z 5, *

4 4 Θέμα Α Να δείξετε ότι για κάθε ισχύει e Β Θεωρούμε τη παραγωγίσιμη συνάρτηση g :[, + ) [, + ) για την οποία ισχύει: g g () g() e ln( ) για κάθε i Να δείξετε ότι η συνάρτηση g είναι «-» 8 ii Αν g() να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της g στο σημείο A,g() Θέμα 4 Δίνεται η συνάρτηση f : με f() Α Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία τα ακρότατα και να βρεθεί το σύνολο τιμών της Β Να λυθεί η εξίσωση f() Γ Να βρεθούν οι ασύμπτωτες ευθείες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f Δ Να βρεθεί το όριο f() im 4 Ε Αν για τα, ισχύει f f, να δείξετε ότι Στ Να δείξετε ότι υπάρχουν,, τέτοιοι ώστε f f 6

5 5 ο Τεστ προετοιμασίας Θέμα ο Α Σε κάθε μια από τις ακόλουθες προτάσεις να σημειώσετε στο τετράδιό σας το Σ (σωστή πρόταση) ή το Λ (λανθασμένη πρόταση) Μια συνάρτηση f:a IR λέγεται " " στο Α, όταν για οποιαδήποτε, Aισχύει η συνεπαγωγή: αν, τότε f( ) f( ) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [, ], τότε δεν έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη Αν f ()d, τότε f() για κάθε [, ] 4 Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής Aν η f () διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε: - το f( ) δεν είναι τοπικό ακρότατο - η f είναι γνησίως μονότονη στο (, ) 5 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στη θέση, τότε η g() 5 f() είναι παραγωγίσιμη στη συνάρτηση θέση Β Να τεκμηριώσετε τις απαντήσεις σας στα Α, Α, Α 5 Γ Να αποδείξετε ότι: ln Θέμα ο X= ++=9 6 Για μια συνάρτηση f: ισχύει ότι κάθε * 4 4 f() για Α Να εξεταστεί αν η γραφική παράσταση της f έχει πλάγια ασύμπτωτη,5 Β Να υπολογίσετε το όριο:

6 Τρίωρα Τεστ προετοιμασίας f() 8 L im f() f() 4 6,5 Θέμα Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z e ( )i, Α Να δείξετε ότι Re(z) Im(z) για κάθε Β Να δείξετε ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον, w z z i να είναι πραγματικός τέτοιος ώστε ο αριθμός Γ Να βρείτε τον μιγαδικό z του οποίου το μέτρο να γίνεται ελάχιστο, καθώς και το ελάχιστο μέτρο Θέμα 4 8 e Δίνεται η συνάρτηση f : με f() e, Α Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και να βρεθεί το σύνολο τιμών της,5+,5=7 Β Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τα κοίλα και τα σημεία καμπής Γ Να δείξετε ότι για κάθε > ισχύει f f f f 6 Δ i Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει με την διχοτόμο της πρώτης και τρίτης γωνίας των αξόνων ακριβώς ένα κοινό σημείο m, Mm,m με ii Να δείξετε ότι m f()d m lnm,5,5

7 7 4 ο Τεστ προετοιμασίας Θέμα ο Κάθε μια από τις ακόλουθες θεωρητικές προτάσεις (ασκήσεις) είναι ή Σ (σωστή) ή Λ (λανθασμένη) Χαρακτηρίστε την κάθε πρόταση με Σ ή Λ και δώστε στη συνέχεια μια σύντομη τεκμηρίωση της όποιας απάντησή σας Αν για τις συνεχείς συναρτήσεις f,g ισχύει f() g() για κάθε, τότε για κάθε, ισχύει f()d g()d Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α,β] με f(α)= και f(β)=, τότε υπάρχει, ώστε f ln και im g() τότε im f() 4 Αν για τη συνεχή συνάρτηση f ισχύει f()d g()d τότε είναι δυνατόν να ισχύει 5 Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και δεν είναι αντιστρέψιμη, τότε υπάρχει (πάντα) τουλάχιστον ένα κλειστό διάστημα [α,β] στο οποίο ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle για την f Αν im f() g() 6 Αν ισχύει f() f(y) y για κάθε,y, τότε η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 7 Αν για κάθε, με ισχύει f()d, τότε η συνάρτηση f είναι αντιστρέψιμη στο 8 Αν για τη συνεχή συνάρτηση f : ισχύουν: - im f() και - im f(), τότε η εξίσωση f() έχει τουλάχιστον μια πραγματική ρίζα στο 4 4 Θέμα ο Δίνεται η συνάρτηση f : με α Να υπολογισθούν τα όρια: f() i L im ii L im fe f(),5+,5

8 β Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό ώστε να ισχύει: f(ξ)= γ Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: f() f( ) I d δ Θεωρούμε τους μιγαδικούς z,w με z και z w z 8 Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z στο μιγαδικό w d επίπεδο, όταν Θέμα ο Δίνεται η συνάρτηση f:, με f() ln α Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία β Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικός γ Να λυθεί η εξίσωση f() ώστε να ισχύει f 8 δ Αν, να δείξετε ότι: ln ε Να υπολογισθεί το όριο f(t) L im dt Θέμα 4 ο Για τη παραγωγίσιμη συνάρτηση f : ισχύει: t f(t) f() e dt lne, για κάθε α Να αποδείξετε ότι f() lne e β Να βρεθεί το σύνολο τιμών της f γ Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε την δ Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τα κοίλα f ε Αν, με, να δείξετε ότι: f( ) f( ) f( ) f( )

9 9 5 ο Τεστ προετοιμασίας Θέμα ο Α Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ Αν f() για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνήσια αύξουσα στο Δ Β Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, και ισχύει f() για κάθε, +, τότε: i Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα στο, 7 ii Αν είναι γνωστό ότι υπάρχει το im f() im f(), να δείξετε ότι iii Να δείξετε ότι η συνάρτηση f δεν έχει οριζόντια ασύμπτωτη Γ Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (, ), τότε να αποδείξετε τις ακόλουθες προτάσεις: i Αν η f έχει οριζόντια ασύμπτωτη την ευθεία y, τότε iii Είναι lim f() ii Για κάθε διάστημα [, ] με, υπάρχει (, ) τέτοιο ώστε f ( ) f() f() lim f( ) f() Θέμα ο Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z yi,,y για τους οποίους ισχύει: z Im(z) α Να δείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z βρίσκονται πάνω σε μια παραβολή της οποίας να βρείτε την εξίσωση Μονάδες: 5 β Να βρεθούν οι μιγαδικοί αριθμοί z που έχουν μέτρο ίσο με 8 γ Να βρεθεί ο μιγαδικός αριθμός z yi,,y ο οποίος απέχει την ελάχιστη απόσταση από τον w i, και να υπολογίσετε την ελάχιστη αυτή απόσταση 8 δ Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό αριθμό ρ, υπάρχουν πάντα δυο μιγαδικοί z για τους οποίους ισχύει: z

10 Θέμα ο Α Αν f,g δύο συναρτήσεις συνεχείς στο [, ], τότε: i Αν f() g() για κάθε [,, ] να δείξετε ότι: f()d g()d ii Αν m η ελάχιστη και Μ η μέγιστη τιμή της f στο [, ] ισχύει: m( ) f()d M( ) Β Δίνεται η συνάρτηση h: i Να δείξετε ότι:, με h() d e h() e ii Να λύσετε την εξίσωση: h() h( ) h( ) e e Θέμα 4 ο 4, να δείξετε ότι 6 8 Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: με f(), για την οποία ισχύει για κάθε ότι: f () f() Α Να αποδείξετε ότι: τέτοιο ώστε f ( ) f(), i υπάρχει, ii f() Β Να αποδείξετε ότι Γ Αν, f() i Να βρείτε το εμβαδόν ( ) του χωρίου που ορίζεται από την γραφική παράσταση της συνάρτησης f και τις ευθείες ii Να δείξετε ότι: 4 ( ) y και y iii Αν το α αυξάνει με ρυθμό μον/sec, να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του Ε(α) τη χρονική στιγμή κατά την οποία είναι μονάδες 4

11 6 ο Τεστ προετοιμασίας Α Να δοθούν οι ορισμοί Θέμα ο - Τι ονομάζουμε κρίσιμα σημεία μιας συνάρτησης; - - Πότε μια συνάρτηση ονομάζεται κυρτή και πότε κοίλη σε ένα διάστημα Δ; - Πότε η ευθεία y ονομάζεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης στο, αντιστοίχως στο ; - Πότε το σημείο A(,f( )) της γραφικής παράστασης Cf μιας συνάρτησης f καλείται «σημείο καμπής» της C f ; Β Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σ ένα διάστημα [, ] Αν G είναι μια παράγουσα της f στο [, ], τότε να αποδείξετε ότι: f(t)dt G( ) G( ) Γ Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση i Κάθε συνάρτηση, που είναι - στο πεδίο ορισμού της, είναι γνησίως μονότονη ii Αν μια συνάρτηση f είναι κυρτή σε ένα διάστημα Δ, τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται «πάνω» από τη γραφική της παράσταση iii Αν η f είναι συνεχής στο α, β με f (α) < και υπάρχει ξ (α, β) ώστε f (ξ) =, τότε κατ ανάγκη f (β) > Θέμα ο 9 6 e Δίνεται η συνάρτηση f() e α Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα Μονάδες: 7 β Να μελετήσετε την f ως προς τη καμπυλότητα και τα σημεία καμπής γ Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f

12 δ Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από: C της συνάρτησης f, - Τη γραφική παράσταση f - Την ασύμπτωτης της C f, - Τον άξονα yy, - Της ευθείας, όπου α η θέση του (ολικού) ελαχίστου της f 6 Θέμα ο Δίνεται η συνάρτηση f() e,, Α Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα B Να λύσετε την εξίσωση f 4 f e Γ Να αποδείξετε ότι για κάθε t, με ισχύει: f() f(t) f( ) Δ Να υπολογίσετε το όριο: im f(t)dt Θέμα 4 ο 4 9 Δίνονται οι μη μηδενικοί μιγαδικοί αριθμοί z, z,z των οποίων οι εικόνες Az, Bz, z στο μιγαδικό επίπεδο είναι σημεία του κύκλου y και για τους οποίους ισχύει z z z Α Να αποδείξετε ότι zz z z z z zz zz zz B Να αποδείξετε ότι zz z 9 z z z Γ zz zz zz e Αν ισχύει ότι: e d z z z i zz z,, να δείξετε ότι: ii z z z 6

13 7 ο Τεστ προετοιμασίας Θέμα ο Α Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f(), είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει: f() ln Β Πως ορίζεται η εφαπτομένη της f A,f( ) ; C στο σημείο της 8 7 Γ Κάθε μια από τις ακόλουθες προτάσεις είναι ή Σ (σωστή) ή Λ (λανθασμένη) Χαρακτηρίστε την κάθε πρόταση με Σ ή Λ i Για κάθε θετικό ακέραιο κ ισχύει: 4k i για κάθε ii Αν f(),,, τότε η συνάρτηση f είναι κατ ανάγκη σταθερή στο Α iii Αν f()d, τότε κατ ανάγκη f() για κάθε, iv Μια συνεχής συνάρτηση f στο διάστημα, δεν μπορεί να έχει σύνολο τιμών το f( ) v Αν για τις παραγωγίσιμες συναρτήσεις f,g ισχύει: f() g() για κάθε, τότε f() g() c, c Θέμα ο Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z yi και w z(4i) z( 4i) όπου,y α Να δείξετε ότι w β Να βρεθεί ο μιγαδικός αριθμός z, αν ισχύει γ Αν w 5, w z 5 i Να βρεθεί το σύνολο των σημείων M(z), που είναι οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z ii Να βρείτε το μιγαδικό αριθμό z που έχει το μικρότερο μέτρο Μονάδες: 5 8

14 4 Δίνεται η συνάρτηση f : με Θέμα ο f() e i Να δείξετε ότι f() για κάθε ii Να βρεθεί η ασύμπτωτη της iii Να λύσετε την εξίσωση iv Να δείξετε ότι: e C f στο f() f( ) f( ) 8 Θέμα 4 ο Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: η οποία έχει σύνολο τιμών όλο το και γνωρίζουμε ότι ισχύει f () 4f() 4, για κάθε Α Να μελετηθεί η f : - ως προς τη μονοτονία, - ως προς τη καμπυλότητα και τα σημεία καμπής, - να βρεθεί το πρόσημό της συνάρτησης f Β Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε την f Γ Να λυθεί η ανίσωση f () f() Δ Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα Ε Να λυθεί η ανίσωση: 4 I f()d f 6, 4 4

15 5 8 ο Τεστ προετοιμασίας (όρια συνέχεια) Θέμα Α Χαρακτηρίσετε τις ακόλουθες προτάσεις σαν σωστή ή λάθος, σημειώνοντας στο γραπτό σας αντίστοιχα Σ (σωστό) ή Λ (λάθος) και να δώσετε μια σύντομη αιτιολόγηση της απάντησή σας Η εικόνα f( ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης είναι διάστημα Αν η συνάρτηση συνεχής f είναι συνεχής για κάθε, τότε η f είναι, πάντα, 4 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β], ώστε f() για κάθε, τότε πάντα είναι, f f Αν για τη συνεχή συνάρτηση f στο, ισχύει f( ) f( ) f( ),,,, με, τότε πάντα υπάρχει ένας τουλάχιστον, τέτοιος ώστε f( ) 5 Κάθε πολυώνυμο ου βαθμού με πραγματικούς συντελεστές έχει τουλάχιστον μια πραγματική ρίζα Β Έστω η συνεχής συνάρτηση f: Μονάδες, για την οποία ισχύει f () για κάθε Να βρεθεί η συνάρτηση Θέμα Δίνεται η συνάρτηση f με f() e e i Να αποδείξετε ότι η f είναι - Μονάδες 8 ii Να βρείτε το σύνολο τιμών της f iii Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f() έχει μοναδική ρίζα στο Μονάδες 7 iv Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f () 9 έχει μοναδική ρίζα στο

16 6 Θέμα Έστω οι συναρτήσεις f,g:, ώστε να ισχύει: f () g () f() g() για κάθε Α Να αποδείξετε ότι f() g() για κάθε Β Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις f και g είναι συνεχείς στο Μονάδες 6 f() Γ Να βρεθεί το im Μονάδες 6 Δ Αν η g είναι συνεχής στο, να αποδειχθεί ότι η εξίσωση g() έχει τουλάχιστον μια πραγματική λύση Μονάδες 8 Θέμα 4 Έστω η συνάρτηση g: με g() im y e y, y i Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης g ii Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι συνεχής στο iii Να αποδείξετε ότι για τη συνάρτηση g στο διάστημα,,, υπάρχει ένας τουλάχιστον, ισχύει g( ) g( ) g( ), και για κάθε τέτοιος ώστε να g(), iv Ορίζουμε τη συνάρτηση f με τύπο f() ln(), α Να υπολογίσετε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f β Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό,4 f 7 f f f 4 ώστε να ισχύει:

17 7 9 ο Τεστ προετοιμασίας (μιγάδες - όρια) Ζήτημα ον Έστω ο μιγαδικός αριθμός z Θέμα ον i με, Α Τι καλείται μέτρο του μιγαδικού αριθμού z ; μονάδες Β Τι εκφράζει γεωμετρικά το μέτρο του z; μονάδες Γ Αποδείξτε ότι για κάθε μιγαδικό αριθμό z ισχύει η σχέση: z z z μονάδες Δ Αν οι μιγαδικοί αριθμοί z και w έχουν στο μιγαδικό επίπεδο αντίστοιχες εικόνες Α και Β τότε: Tι εκφράζει γεωμετρικά το z w ; μονάδες Αποδείξτε το προηγούμενο μονάδες Ζήτημα ον «Ερωτήσεις σωστού Λάθους» Για κάθε z,z ισχύει z z z z Σ Λ μονάδες Για κάθε z,z ισχύει z z z z Σ Λ μονάδες Το τρίγωνο που έχει για κορυφές στο μιγαδικό επίπεδο τις εικόνες των μιγαδικών z, z,z είναι ορθογώνιο και ισοσκελές 4 Η εξίσωση z z5 έχει δυο ρίζες που είναι συζυγείς μιγαδικοί αριθμοί Σ Λ μονάδες Σ Λ μονάδες 5 Για κάθε z,w ισχύει: 4 6 z w z w Σ Λ μονάδες

18 8 Θέμα ον Ζήτημα ον Σύμφωνα με τη συνθήκη που ικανοποιούν οι μιγαδικοί z να γράψετε την εξίσωση της καμπύλης που αντιστοιχεί για την εικόνα τους στο μιγαδικό επίπεδο A zi z, B z 4i, Γ zi 5, 4 4 Δ z z Ζήτημα ον 4Χ,5= μονάδες Αν z8 z, να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z 5 μονάδες Θέμα ον Ζήτημα ον Έστω η συνάρτηση f: για την οποία ισχύει f() ( ), για κάθε Να βρεθεί το f() μονάδες Να δειχθεί ότι limf() f() 5 μονάδες Ζήτημα ον Να βρεθεί ο αριθμός έτσι ώστε να υπάρχει το και να βρεθεί το L L lim 7 μονάδες Ζήτημα ον Έστω w ένας καθαρός (γνήσιος) μιγαδικός αριθμός για τον οποίον ισχύει ότι 5 w Δείξτε ότι w,5 μονάδες Δείξτε ότι 4 w w w w,5 μονάδες Δείξτε ότι 4 Δείξτε ότι w w w,5 μονάδες w w w,5 μονάδες

19 9 ο Τεστ προετοιμασίας (όρια συνέχεια) Θέμα Α Χαρακτηρίσετε τα ακόλουθα σημειώνοντας στο γραπτό σας αντίστοιχα Σ (σωστό) ή Λ (λάθος) Κάθε συνάρτηση που είναι συνεχής και μη σταθερή, έχει σαν σύνολο τιμών ένα ανοικτό διάστημα Αν για τη συνάρτηση f : ισχύει f() για κάθε, τότε η f είναι, πάντα, συνεχής Αν η συνάρτηση f:, είναι συνεχής, τότε ο αριθμός ανήκει στο σύνολο τιμών της f( ) f( ) 4 Αν για τη συνεχή συνάρτηση f:, είναι f( ) f( ) και, τότε, πάντα, υπάρχει ένας τουλάχιστον, τέτοιος ώστε f( ) 5 Η συνάρτηση f() e παίρνει μία ελάχιστη και μία μέγιστη τιμή στο διάστημα [,] 6 Για τη συνάρτηση f() ισχύει το θεώρημα ελάχιστης και μέγιστης τιμής στο διάστημα [, ] 7, Για τη συνάρτηση f() είναι f( ) και, f() 6 Τότε για κάθε αριθμό με 6, υπάρχει, πάντα,, με f( ) 8 Αν η συνάρτηση f:a είναι συνεχής στο Α και ισχύει f( ) f( ) με,,, τότε υπάρχει, πάντα, ένας τουλάχιστον,, τέτοιος ώστε f( ) 9 Έστω η συνάρτηση f: και Αν η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο, τότε κατ ανάγκη, δεν υπάρχει το imf() Αν η συνάρτηση f: είναι συνεχής στο, τότε και η συνάρτηση f είναι συνεχής στο Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [,, ] τότε η f() συνάρτηση g με g() e έχει ολικό μέγιστο και ολικό ελάχιστο στο [, ] Αν f μια συνεχής συνάρτηση με πεδίο ορισμού το διάστημα, τότε για κάθε έχουμε imf() f( ) Μονάδες 8 Β Να μελετηθεί ως προς τη συνέχεια η συνάρτηση

20 g() Θέμα Μονάδες 7 Α Αν για μια συνεχή συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το, είναι Limf() και Limf(), τότε να αποδειχθεί ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα τέτοιο ώστε f( ) 5 Μονάδες ( ), Β Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f(),, i Να προσδιορισθούν οι παράμετροι, ώστε να εφαρμόζεται το θεώρημα Bolzano στο διάστημα [, ] Μονάδες ii Στη συνέχεια να βρεθούν τα, στο, του θεωρήματος του Bolzano Θέμα Έστω η συνάρτηση f : τέτοια ώστε για κάθε να ισχύει: 6 f() 6 8 i Να αποδείξετε ότι: f() 9 ii Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο Μονάδες 9 Μονάδες 8 iii Να προσδιορίσετε το ώστε η συνάρτηση g με τύπο: f() 9 g() 64 να είναι συνεχής στο Μονάδες 8 Έστω η συνάρτηση Θέμα 4 ( ) (5), f() 5, με

21 Α Να βρεθούν τα Limf() και Limf() Β Να εξετάσετε αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο Γ Αν επί πλέον για κάθε, ισχύει f(), τότε: i Αποδείξετε ότι 5 ii Βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα iii Βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f και αποδείξτε ότι η π εξίσωση f() 49 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (, )