Γ Ε Ν Ι Κ Ο Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ - Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Τ Α Ξ Η Β. Ρ.

Transcript

1 Γ Ε Ν Ι Κ Ο Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ - Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ 6 Γ Τ Α Ξ Η Β. Ρ. Θ Ε Μ Α ο Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη στο Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f (χ)= για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε αποδείξτε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ. Μονάδες Β. Τι λέγεται σημείο καμπής γραφικής παράστασης συνάρτησης f Γ. Γράψτε στο τετράδιό σας αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς Μονάδες 5. Αν. Αν lim f() lim = τότε το lim = f ( ) = συμπεραίνουμε ότι το χ Μονάδες Μονάδες. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β] και f ( )d τότε f()= για κάθε χ[α,β] Μονάδες 4. Αν f(χ) είναι άρτια και παραγωγίσιμη στο εφαπτόμενη τότε η Cf έχει τουλάχιστον μια οριζόντια Μονάδες 5. Αν η f είναι συνεχής στο και ( f ( ) )d τότε α=β. Μονάδες Θ Ε Μ Α ο ln, Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :[, ) με f ( )= k, α. Να δείξετε ότι k= και να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης στην γραφική παράσταση της συνάρτησης στο σημείο της Ο(,). Μονάδες 8 β. Να μελετήσετε την συνάρτηση ως προς την μονοτονία και να βρείτε τα τοπικά της ακρότατα. Μονάδες 8 γ. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f ( )=ρ, για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού. Μονάδες 9

2 ΘΕΜΑ ο Έστω συνάρτηση f:(,+ ) με f( ) f ( ) ( ) για κάθε χ> με f()= και συνεχής συνάρτηση g: ώστε i) Δείξτε ότι f()=ln g ( ) g( ) με σύνολο τιμών το. ii) Δείξτε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα, είναι - και να βρεθεί η g iii) Να δείξετε ότι g()> για χ> ιν) Να βρεθεί το εμβαδόν μεταξύ της Cg, ψ ψ, ψ=,ψ= μονάδες 7,7,,8 ΘΕΜΑ 4 ο A. Αν f δυο φορές παραγωγίσιμη στο ώστε πραγματικό, ι) να βρείτε την μονοτονία της f ( ) ( ). f ( ) lnf() για κάθε χ f το f() και το και ιι) αν ( ) f ( ) d να δείξετε oτι η f έχει ένα τουλάχιστον πιθανό σημείο καμπής f Μονάδες 5,5 B. Αν f συνεχής στο πεδίο ορισμού της [,] συνάρτηση με f ( ) d ln ( ) d ln( ) f ( ) d ι) δείξτε ότι f(χ)= ln( ) f () ιι) δείξτε ότι η f είναι κυρτή και να βρείτε την εφαπτομένη της στο σημείο της (,f()) ιιι)δείξτε ότι αν Ε το εμβαδόν 4 του χωρίου μεταξύ Cf, χ χ, ψ ψ και χ= τότε E ln( ) Μονάδες 5,5,5 ΚΑΘΕ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

3 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Λ, Λ, Σ, Σ, Σ Θ Ε Μ Α ο α. Η f ως παραγωγίσιμη στο είναι και συνεχής στο Επομένως ( ) DL ln lim( ) k lim( ) k lim( ) k k f() ( ) DL f ( ) f () ln ln lim lim( ) lim( ln ) lim( ) lim( ) f () Η εφαπτομένη είναι y f () f ()( ) ή ψ= ο άξονας χ χ β) Η f συνεχής στο [,+ ) αφού για χ> είναι γινόμενο συνεχών στο (,+ ) f ( ) ln(ln ) f ( ) (ln ) ln f ( ) (ln ) ln lim ( ) () lim( ln ) f f k lim( ) = συνεπώς Η f είναι συνεπώς γνησίως αύξουσα στο f είναι συνεχής στο [, ) και γνησίως φθίνουσα στο [ο, ) αφού η Στο έχουμε τοπικό μέγιστο το f()= (η f γνησίως φθίνουσα στο [ο, έχουμε τοπικό ελάχιστο που είναι και ολικό το f( στο [, ) και γνησίως φθίνουσα στο [ο, ) γ) η f γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο A = [ο, ) (,] )= ) ) και στο αφού η f είναι γνησίως αύξουσα συνεπώς f ( A ) ( lim f (), f ()] η f γνησίως αύξουσα και συνεχής στο A = [, ) συνεπώς f ( A ) [ f ( ),lim f ( )) [, ) Συνεπώς για η f( ) αδύνατη αφού το δεν ανήκει στο σύνολο τιμών της f

4 Αν η f( ) έχει μοναδική ρίζα στο A αφού το A, A και στο A είναι γνησίως μονότονη Αν στα A, A η f( ) είναι γνησίως μονότονη έχει δυο ρίζες μια στο A και μια στο A αφού το A, A και ΘΕΜΑ ο ( ) i) f ( ) f ( ) f f ( ) f ( ) ( ) ( ) f f f ( ) f ( ) ( ) f ( ) f ( ) ( ) ( ) ( ) f ( ) (( ) f ( )) ( ln ) f ( ) ( ) f ( ) ln c για = to c= Δηλαδή f ( ) ( ) ( ) ln f () Όμως η h( ) με χ είναι παραγωγίσιμη στο με h( ) άρα γνησίως αύξουσα οπότε -. Άρα () h( f ( )) h(ln ) f ( ) ln ii) g ( ) g( ) () Η h( ) είναι παραγωγίσιμη στο είναι γνησίως αύξουσα () hg ( ()) οπότε για κάθε, πραγματικό με με h( ) άρα h( g( )) h( g( )) h g( ) g( ) άρα η g είναι γνησίως αύξουσα και συνεπώς - οπότε είναι αντιστρέψιμη. () Για g() το ψ έχουμε y y Άρα g ( ) με χ πραγματικό. iii) g ( ) g( ) g( )( g ( ) ) και αφού g ( ),> προκύπτει ότι g()> ιν) το εμβαδόν μεταξύ της Cg, ψ ψ, ψ=,ψ= λόγω συμμετρίας ως προς την ψ=χ είναι ισοδύναμο με το εμβαδόν μεταξύ Cg, χ χ, χ= και χ= συνεπώς Ε= g ( ) d d 4 ( ) d [ ]. ( 4 4 στο [,]) ΘΕΜΑ 4 ο f ( ) A. lnf() () και τα δυο μέλη παραγωγίσιμα ως σύνθεση και πράξεις παραγωγίσιμων ακόμη f()> αφού το ln(f()) ορίζεται στο συνεπώς f ( ) f( ) f ( ) f ( ) f ( )( ) αφού f( ) f( ) και ( )

5 ( ή +ημχσυνχ=+ημ(χ) αύξουσα και ότι ) και επειδή f( ) ή f ( ) f( ) προκύπτει ότι f είναι γνησίως f( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) () f ( Στην () για χ=: ) lnf() () όμως η h( ) ln με χ>ο είναι h( ) άρα η h είναι γνησίως αύξουσα και άρα - οπότε η () h(f())=h() f()= Και από την () για χ= f() f() f () f () f() Ιι) ( ) f ( ) d f ( ) d [ f ( )] f () f () f f ( ) ( ). Όμως η f συνεχής στο [,] και παραγωγίσιμη στο (,) από ΘΜΤ f () f() υπάρχει (,) : f ( ) f () Η f είναι συνεχής στο θεώρημα Roll υπάρχει ξ καμπής. B. [, ] (, ) και παραγωγίσιμη στο με f ( ) f () άρα από : άρα η f έχει ένα τουλάχιστον πιθανό σημείο f ( ) (, ) f ( ) d ln ( ) d ln( ) f ( ) d [ ( ) ln ( f ) ln( ) f ( )] d όμως f ( ) ln ( ) ln( ) f ( ) [ f ( ) ln( )] άρα [ f ( ) ln ( ) ln( ) f ( )] d άρα [ ( ) ln ( f ) ln( ) f ( )] d [ f ( ) ln( )] δεν ήταν ίσο με μηδέν για κάθε χ [,] άρα [ f ( ) ln( )] f ( ) ln( ), χ [,] δηλαδή [ f ( ) ln( )] d και αν τότε [ f ( ) ln( )] d άτοπο Ιι) Η f είναι συνεχής στο [,] και στο (,) είναι f( ) και f( ) άρα η f ( ) είναι κυρτή στο [,] και DL f ( ) f () ln( ) ln f () lim lim lim Άρα η εφαπτόμενη της Cf στο είναι y f () f ()( ) ή y ln Ιιι) Ε= f ( ) d f ( ) d αφού f()>, ( )

6 H f κυρτή άρα f ( ) ln η ισότητα ισχύει μόνο για χ= άρα 4 4 όμως ( ln ) d [ ln ] ln ln( ) άρα E ln( ) 4 4 f ( ) d ( ln ) d

7 Δίνονται οι συναρτήσεις f(χ) = η αντίστροφη συνάρτηση f In και g() = In. i) Να δείξετε ότι ορίζεται και να βρείτε το πεδίο ορισμού της. ii) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει μοναδικό σημείο καμπής. iii) Να δείξετε ότι η εξίσωση f(g()) = έχει δύο, ακριβώς, θετικές ρίζες, με iv) Να δείξετε ότι η εξίσωση g( a) g( ), όπου α, β> και α, β, έχει μία, τουλάχιστον, ρίζα στο ( <, )