Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα

Transcript

1 ΦΥΣΙΚΗ

2 Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Σειρά: Γενικό Λύκειο Θετικές Επιστήμες Φυσική Γ Λυκείου Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση Αναστασία Αγιαννιωτάκη Μάρκος Άρχων Υπεύθυνος Έκδοσης: Θεόδωρος Πενέσης Επιστημονική Επιμέλεια: Διονύσης Συνοδινός Γλωσσική Επιμέλεια: Ναυσικά Τσαούση Σχεδιασμός Εξωφύλλου: Ιάκωβος Γαβαλάς συγγραφέα: Copyright 2009 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ, Αναστασία Αγιαννιωτάκη Μάρκος Άρχων για την ελληνική γλώσσα σε όλον τον κόσμο ISBN: SET: Απαγορεύεται η με οποιονδήποτε τρόπο, μέσο και μέθοδο αναδημοσίευση, αναπαραγωγή, μετάφραση, διασκευή, θέση σε κυκλοφορία, παρουσίαση, διανομή και η εν γένει πάσης φύσεως χρήση και εκμετάλλευση του παρόντος έργου στο σύνολό του ή τμηματικά, καθώς και της ολικής αισθητικής εμφάνισης του βιβλίου (στοιχειοθεσίας, σελιδοποίησης κ.λπ.) και του εξωφύλλου του, σύμφωνα με τις διατάξεις της υπάρχουσας νομοθεσίας περί προστασίας πνευματικής ιδιοκτησίας και των συγγενικών δικαιωμάτων περιλαμβανομένων και των σχετικών διεθνών συμβάσεων. Σωτήρος και Αλκιβιάδου 132, Τ.Κ Πειραιάς τηλ.: , fax: url:

3 ΑΝΑΣΤΑΣΙΑ ΑΓΙΑΝΝΙΩΤΑΚΗ ΜΑΡΚΟΣ ΑΡΧΩΝ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Α ΤΟΜΟΣ

4

5 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το παρόν εκπαιδευτικό βιβλίο απευθύνεται στους μαθητές της Θετικής και της Τεχνολογικής κατεύθυνσης της Γ Λυκείου. Με τη συγγραφή του επιδιώκουμε οι μαθητές να κατανοήσουν σε βάθος την εξεταστέα ύλη των δύο πρώτων κεφαλαίων της Φυσικής Γ Λυκείου. Για τον σκοπό αυτό οι θεματικές ενότητες στις οποίες διαιρείται κάθε κεφάλαιο, περιλαμβάνουν: Θεωρία, αναλυτικά γραμμένη σύμφωνα με αυτήν του σχολικού βιβλίου, η οποία επιπλέον περιέχει, όπου χρειάζεται, και βασικές συμπληρωματικές γνώσεις. Ερωτήσεις Αξιολόγησης, οι οποίες καλύπτουν όλη τη θεωρία του μαθήματος και βοηθούν τον μαθητή να ελέγξει τις γνώσεις του. Διακρίνονται σε ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής, ερωτήσεις του τύπου «Σωστό Λάθος», ερωτήσεις αντιστοίχισης και ερωτήσεις εναλλακτικής απάντησης με αιτιολόγηση. Βασικές ασκήσεις με αναλυτική λύση, οι οποίες βοηθούν τον μαθητή να κατανοήσει θέματα, τα οποία συναντά συχνά. Ασκήσεις προς λύση, στις οποίες τα ερωτήματα είναι κλιμακούμενης δυσκολίας. Κριτήρια Αξιολόγησης διάρκειας 3 ωρών. Στο τέλος του βιβλίου υπάρχουν οι απαντήσεις των ερωτήσεων και οι λύσεις των ασκήσεων. Θα θέλαμε να ευχαριστήσουμε τον συνάδελφο, φυσικό Διονύση Συνοδινό, ο οποίος μελέτησε αναλυτικά όλα τα πρωτότυπα και οι εύστοχες παρατηρήσεις και οι επισημάνσεις του βοήθησαν στην επιστημονική πληρότητα του βιβλίου. Θα θέλαμε επίσης να ευχαριστήσουμε τον συνάδελφο, φυσικό Θοδωρή Πενέση, ο οποίος είχε τη γενική επιμέλεια του βιβλίου, για την άρτια έκδοση του. Οι συγγραφείς

6 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Τυπολόγιο 11 ΠΕΡΙΟΔΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ Θεωρία 15 ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ Α. Κινηματική Προσέγγιση Θεωρία 15 Βασικές ασκήσεις 20 Ερωτήσεις αξιολόγησης 28 Ασκήσεις προς λύση 42 1ο Κριτήριο αξιολόγησης 46 Β. Δυναμική Προσέγγιση Θεωρία 51 Βασικές ασκήσεις 55 Ερωτήσεις αξιολόγησης 68 Ασκήσεις προς λύση 77 Γ. Ενεργειακή Προσέγγιση Θεωρία 85 Βασικές ασκήσεις 91 Ερωτήσεις αξιολόγησης 110 Ασκήσεις προς λύση 129 2ο Κριτήριο αξιολόγησης 148 ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Θεωρία 153 Βασικές ασκήσεις 163 Ερωτήσεις αξιολόγησης 175 Ασκήσεις προς λύση 193 3ο Κριτήριο αξιολόγησης 203 ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Θεωρία Βασικές ασκήσεις Ερωτήσεις αξιολόγησης Ασκήσεις προς λύση ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Θεωρία Βασικές ασκήσεις Ερωτήσεις αξιολόγησης Ασκήσεις προς λύση

7 ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ Θεωρία Βασικές ασκήσεις Ερωτήσεις αξιολόγησης Ασκήσεις προς λύση ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4ο Κριτήριο αξιολόγησης ο Κριτήριο αξιολόγησης 331 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΚΥΜΑΤΑ Τυπολόγιο 341 ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ Θεωρία 345 Βασικές ασκήσεις 358 Ερωτήσεις αξιολόγησης 373 Ασκήσεις προς λύση 393 6ο Κριτήριο αξιολόγησης 407 ΣΥΜΒΟΛΗ ΚΥΜΑΤΩΝ Θεωρία Βασικές ασκήσεις Ερωτήσεις αξιολόγησης Ασκήσεις προς λύση ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ Θεωρία 461 Βασικές ασκήσεις 475 Ερωτήσεις αξιολόγησης 486 Ασκήσεις προς λύση 501 7ο Κριτήριο αξιολόγησης 512 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ Θεωρία Βασική άσκηση Ερωτήσεις αξιολόγησης Ασκήσεις προς λύση ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΘΛΑΣΗ Θεωρία Βασικές ασκήσεις Ερωτήσεις αξιολόγησης Ασκήσεις προς λύση ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 579 8ο Κριτήριο Αξιολόγησης 593 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΛΥΣΕΙΣ 601

8

9 ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ - ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Περιοδικά φαινόμενα Απλή αρμονική ταλάντωση Α. Κινηματική προσέγγιση Β. Δυναμική προσέγγιση Γ. Ενεργειακή προσέγγιση Ηλεκτρικές ταλαντώσεις Φθίνουσες ταλαντώσεις Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις Σύνθεση ταλαντώσεων

10

11 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ-ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Χρονική εξίσωση της απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας Χρονική εξίσωση της ταχύτητας Χρονική εξίσωση της επιτάχυνσης Χρονική εξίσωση της φάσης της ταλάντωσης Σχέση επιτάχυνσης - απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας Σχέση ταχύτητας - απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας Σχέση επιτάχυνσης - ταχύτητας Ρυθμός μεταβολής της απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας Ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας Ρυθμός μεταβολής της φάσης x = Aημ(ωt + φ ο ) υ = υ max συν(ωt + φ ο ), όπου υ max = ωα α = α max ημ(ωt + φ ο ), όπου α max = ω 2 Α φ = ωt + φ ο α = ω 2 x υ = ±ω Α2 x2 (με απόδειξη) α = ±ω υ2 max υ2 (με απόδειξη) dx dt = υ dυ dt = α dφ dt = ω ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Δύναμη επαναφοράς F = D x Σταθερά επαναφοράς D = mω 2 Περίοδος ταλάντωσης Τ = 2π m D Σταθερά επαναφοράς συστήματος σώμα-ελατήριο D = Κ Μέγιστη τιμή της δύναμης που δέχεται ένα σώμα από κατακόρυφο ελατήριο Ελάχιστη τιμή του μέτρου της δύναμης που δέχεται ένα σώμα από κατακόρυφο ελατήριο Ρυθμός μεταβολής της ορμής του σώματος F ελ(max) = K(Δl + Α), όπου Δl η παραμόρφωση του ελατηρίου στη θέση ισορροπίας του σώματος Αν Α > Δl τότε F ελ(min) = 0 Αν Α < Δl τότε F ελ(min) = K(Δl Α) dp dt = F ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ 11

12 ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Κινητική ενέργεια Δυναμική ενέργεια Ολική ενέργεια Αρχή διατήρησης της ενέργειας Ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας Ρυθμός μεταβολής της δυναμικής ενέργειας Έργο δύναμης επαναφοράς Μέγιστη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου Ελάχιστη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου Κ = 1 2 mυ2 U = 1 2 Dx2 E = 1 2 DA2 Ε = Κ + U dκ = Fυ = Dxυ dt du dt = dκ dt W F = 1 2 mυ2 τελ 1 2 mυ2 αρχ = 1 2 Dx2 αρχ 1 2 Dx2 τελ U ελ(max) = 1 2 K(Δl + A)2, όπου Δl η παραμόρφωση του ελατηρίου στη θέση ισορροπίας του σώματος Αν Α < Δl, τότε U ελ(min) = 1 K(Δl Α)2 2 Αν Α > Δl, τότε U ελ(min) = 0 στο φυσικό μήκος ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Χρονική εξίσωση του φορτίου του πυκνωτή (αν q = Q την t = 0) q = Qσυν(ωt) Χρονική εξίσωση της έντασης του ρεύματος στο κύκλωμα (αν q = Q την t = 0) i = Iημ(ωt) Σχέση έντασης ρεύματος και φορτίου i = ±ω Q2 q2 Ενέργεια μαγνητικού πεδίου πηνίου U B = 1 2 Li2 Ενέργεια ηλεκτρικού πεδίου πυκνωτή U E = 1 q2 2 C = 1 2 CV 2 = 1 C 2 qv C Ολική ενέργεια E = 1 Q2 2 C = 1 2 LI2 Αρχή διατήρησης της ενέργειας E = U E + U B Περίοδος της ηλεκτρικής ταλάντωσης T = 2π LC 1 Γωνιακή συχνότητα της ηλεκτρικής ταλάντωσης ω = LC Σχέση ανάμεσα στο πλάτος της έντασης του ρεύματος και στο πλάτος του φορτίου Ι = ωq Χρονική εξίσωση της ενέργειας του ηλεκτρικού πεδίου του πηνίου (αν q = Q την t = 0) U E = Εσυν 2 (ωt) Χρονική εξίσωση της ενέργειας του μαγνητικού πεδίου του πηνίου (αν q = Q την t = 0) U B = Εημ 2 (ωt) 12 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ

13 ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Εκθετική μείωση του πλάτους μιας μηχανικής ταλάντωσης Α = Α 0 e Λt Το πηλίκο δύο διαδοχικών μέγιστων απομακρύνσεων προς την ίδια κατεύθυνση A1 = A1 =... = σταθ. A0 A2 Εκθετική μείωση της ολικής ενέργειας Ε = Ε 0 e 2Λt (με απόδειξη) Απώλεια ενέργειας σε ορισμένο χρονικό διάστημα Ε Δt απωλ = Ε αρχ Ε τελ ή Ε απωλ = 1 2 DA2 1 αρχ 2 DA2 τελ Έργο δύναμης αντίστασης σε ορισμένο χρονικό W διάστημα Δt Fαντ = Ε τελ Ε αρχ ή W Fαντ = 1 2 DA2 1 τελ 2 DA2 αρχ Επί τοις εκατό ποσοστό μείωσης του πλάτους μιας A αρχ A τελ φθίνουσας μηχανικής ταλάντωσης σε ορισμένο 100% A χρονικό διάστημα Δt αρχ Εκθετική μείωση του πλάτους του φορτίου του πυκνωτή σε μια φθίνουσα ηλεκτρική ταλάντωση Q = Q 0 e Λt Εκθετική μείωση της ολικής ενέργειας της ταλάντωσης σε μια φθίνουσα ηλεκτρική ταλάντωση Ε = Ε 0 e 2Λt (με απόδειξη) Θερμότητα που εκλύεται από τον αντιστάτη σε ορισμένο χρονικό διάστημα Δt Q R = Ε αρχ Ε τελ ή Q R = 1 Q2 αρχ 2 C 1 Q2 τελ 2 C Επί τοις εκατό ποσοστό μείωσης της ολικής ενέργειας της φθίνουσας ταλάντωσης (μηχανικής ή ηλεκτρικής) E αρχ E τελ E αρχ 100% ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Ιδιοσυχνότητα ενός συστήματος ελατηρίου-σώματος f 0 = 2π 1 K m Ρυθμός απώλειας της ενέργειας του συστήματος λόγω της δύναμης της αντίστασης Ρυθμός με τον οποίο ο διεγέρτης προσφέρει ενέργεια στο σύστημα Ενέργεια που προσφέρει ο διεγέρτης στο σύστημα ανά περίοδο dw απωλ = F dt αντ υ dw Fεξ = F dt εξ υ W προσφ = πba 2 ω (με απόδειξη) Ιδιοσυχνότητα ενός κυκλώματος LC f 0 = 1 2π LC Ρυθμός με τον οποίο παράγεται θερμότητα στην αντίσταση ενός κυκλώματος LC λόγω φαινομένου Joule Ενέργεια που προσφέρεται στο κύκλωμα σε κάθε περίοδο μέσω της εναλλασσόμενης τάσης dq = i2 R dt W προσφ = Ι2RT (με απόδειξη) 2 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ 13

14 ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ Α. Σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων (1) και (2) που έχουν εξισώσεις: x 1 = Α 1 ημ(ωt) και x 2 = Α 2 ημ(ωt + φ), αντίστοιχα. Εξίσωση της συνισταμένης ταλάντωσης x = Aημ(ωt + θ) Πλάτος της συνισταμένης ταλάντωσης Διαφορά φάσης θ μεταξύ της συνισταμένης ταλάντωσης και της συνιστώσας ταλάντωσης (1) A = A12 + A22 + 2A1A2συνφ A2ημφ εφθ = A1 + A2συνφ Β. Σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων που έχουν εξισώσεις: x 1 = Αημ(ω 1 t) και x 2 = Αημ(ω 2 t). Εξίσωση της συνισταμένης ταλάντωσης Πλάτος της συνισταμένης ταλάντωσης Περίοδος διακροτήματος Τ δ = Συχνότητα διακροτήματος ή συχνότητα αυξομείωσης του πλάτους της ταλάντωσης Συχνότητα της συνισταμένης ταλάντωσης f = Αριθμός μεγιστοποιήσεων (ή μηδενισμών) του πλάτους της συνισταμένης ταλάντωσης σε ορισμένο χρόνο Δt Αριθμός ταλαντώσεων που εκτελεί το σώμα σε ορισμένο χρόνο Δt x = ω1 ω2 2Aσυν t ημ ω1 + ω2 t 2 2 A = 2A συν ω1 ω2 t 2 1 f1 f2 f δ = f 1 f 2 f1 + f2 2 N δ = f δ Δt N = f Δt 14 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ

15 ΘΕΩΡΙΑ ΠΕΡΙΟΔΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ Περιοδικά ονομάζονται τα φαινόμενα που επαναλαμβάνονται σε σταθερά χρονικά διαστήματα. Περίοδος Τ ενός περιοδικού φαινομένου ονομάζεται ο χρόνος που απαιτείται για μια πλήρη επανάληψη του φαινομένου. Μονάδα μέτρησης της περιόδου στο S.I. είναι το 1s. Συχνότητα f ενός περιοδικού φαινομένου ονομάζεται το πηλίκο του αριθμού N των επαναλήψεων του φαινομένου προς τον αντίστοιχο χρόνο t. Είναι δηλαδή: Ν f = t Μονάδα μέτρησης της συχνότητας στο S.I. είναι το 1 Ηz ή το 1/s. Η προηγούμενη σχέση για Ν = 1 και t = T γράφεται: f = 1 Τ Γωνιακή ή κυκλική συχνότητα ω είναι ένα φυσικό μέγεθος που αναφέρεται σε όλα τα περιοδικά φαινόμενα χωρίς άμεση φυσική σημασία και δίνεται από σχέση: 2π ω = 2 πf= T Μονάδα μέτρησης της γωνιακής συχνότητας στο S.I. είναι το 1 rad/s. Μια περιοδική παλινδρομική κίνηση ονομάζεται ταλάντωση. Όταν η ταλάντωση πραγματοποιείται σε ευθεία γραμμή ονομάζεται γραμμική ταλάντωση. ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ Α. KINHMATIKH ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Χρονικές εξισώσεις Έστω ένα σώμα, το οποίο εκτελεί ταλάντωση πάνω στον άξονα x x, ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ 15

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ανάμεσα σε δύο ακραίες θέσεις P' και P και γύρω από το σημείο Ο που είναι το μέσο της τροχιάς του. Το σημείο Ο λέγεται θέση ισορροπίας του σώματος. Α ( ) α υ ( + ) P Ο P Αν η απομάκρυνση x (αλγεβρική τιμή του διανύσματος θέσης x ) του σώματος από τη θέση ισορροπίας του δίνεται από τη σχέση: x x= Aημ ( ωt + φ ), ο 1.1 τότε η κίνηση του σώματος ονομάζεται απλή αρμονική ταλάντωση. Ο όρος Α είναι η μέγιστη απομάκρυνση, δηλαδή η μέγιστη απόσταση από το σημείο Ο, στην οποία φτάνει το ταλαντούμενο σώμα, και ονομάζεται πλάτος της ταλάντωσης. Η γωνία φ ο ονομάζεται αρχική φάση της ταλάντωσης και υπολογίζεται από την εξίσωση (1.1), αν τη χρονική στιγμή t = 0 γνωρίζουμε την απομάκρυνση x του σώματος από τη θέση ισορροπίας του και τη φορά κίνησής του. Για την αρχική φάση φ ο θεωρούμε ότι ισχύει 0 φ ο <2π rad. Φάση φ της ταλάντωσης είναι η γωνία ωt + φ ο. Ισχύει δηλαδή ότι: φ = ωt+ φ o Η χρονική εξίσωση της ταχύτητας είναι της μορφής: υ = υ max συν(ωt + φ ο ), 1.2 όπου υ max = ωα είναι μέγιστη τιμή της ταχύτητας. Το σώμα έχει ταχύτητα μέγιστου μέτρου όταν διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του Ο(x = 0). Η χρονική εξίσωση της επιτάχυνσης είναι της μορφής: α = α ημ( ωt + φ ), 1.3 max o 16 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ

17 ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ όπου α max = ω2α είναι η μέγιστη τιμή της επιτάχυνσης. Το σώμα έχει επιτάχυνση μέγιστου μέτρου όταν βρίσκεται στις ακραίες θέσεις P και P'. Αν τη χρονική στιγμή t = 0 το σώμα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του κινούμενο κατά τη θετική φορά του άξονα x x, οι χρονικές εξισώσεις της απομάκρυνσης x, της ταχύτητας υ και της επιτάχυνσής του α γίνονται: x = Αημ(ωt) υ = υ max συν(ωt) α= α max ημ(ωt) Στα παρακάτω διαγράμματα φαίνονται η χρονική μεταβολή της απομάκρυνσης, της ταχύτητας και της επιτάχυνσης στην περίπτωση που τα μεγέθη αυτά περιγράφονται από τις εξισώσεις (1.4), (1.5) και (1.6) αντίστοιχα. x A 0 A Τ/2 Τ t υ υ max 0 υ max Τ/2 Τ t α α max 0 α max Τ/2 Τ t ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ 17

18 ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ Επιτάχυνσης και Απομάκρυνσης Σχέσεις μεταξύ μεγεθών Η σχέση (1.3) γράφεται: α = ω2αημ(ωt + φ ο ) ή α = ω2[αημ(ωt + φ ο )] ή λόγω της (1.1): α = ω2x 1.7 Από τη σχέση (1.7) προκύπτει ότι η επιτάχυνση έχει πάντα αντίθετη κατεύθυνση από την απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας του. Στο παρακάτω διάγραμμα φαίνεται η γραφική παράσταση της αλγεβρικής τιμής της επιτάχυνσης α σε συνάρτηση με την απομάκρυνση x του σώματος από τη θέση ισορροπίας του. α α max A 0 A x α max Ταχύτητας και Απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας Από τη σχέση (1.1) έχουμε: x = Αημ(ωt + φ ο ) ή ημ(ωt + φ ο ) = A x 1.8 Από τη σχέση (1.2) έχουμε: υ = υ max συν(ωt + φ ο ) ή συν(ωt + φ ο ) = ωa υ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ

19 ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Ισχύει, όμως ότι: ημ2(ωt + φ ο ) + συν2(ωt + φ ο ) = 1, ή λόγω των (1.8) και (1.9): 2 x 2 A 2 υ + 2 ω A 2 = 1 ή x2ω2 + υ2 = ω2α2 ή υ2 = ω2(α2 x2) ή 2 2 υ = ± ω A x 1.10 Το περιστρεφόμενο διάνυσμα Έστω ότι ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και η χρονική εξίσωση της απομάκρυνσης του σώματος από τη θέση ισορροπίας του δίνεται από τη σχέση: x = Αημ(ωt), όπου Α το πλάτος και ω η γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης. Κάθε αρμονικά μεταβαλλόμενο μέγεθος μπορεί να περιγραφεί με ένα περιστρεφόμενο διάνυσμα. Η απομάκρυνση x του σώματος από τη θέση ισορροπίας του περιγράφεται από ένα περιστρεφόμενο διάνυσμα ΟΓ, το οποίο έχει μέτρο ίσο με το πλάτος Α της ταλάντωσης και περιστρέφεται αριστερόστροφα με σταθερή γωνιακή ταχύτητα, μέτρου ίσου με τη γωνιακή συχνότητα ω της ταλάντωσης, γύρω από το σημείο Ο. Τη χρονική στιγμή t = 0 το περιστρεφόμενο διάνυσμα ΟΓ βρίσκεται στον οριζόντιο άξονα, όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα. Τη χρονική στιγμή t το διάνυσμα θα έχει περιστραφεί κατά γωνία φ = ωt. Τη χρονική στιγμή t η προβολή του διανύσματος ΟΓ πάνω στον κατακόρυφο άξονα x x είναι ίση με: (ΟΒ) = (ΟΓ)ημφ ή (ΟΒ) = Αημ(ωt) ή x = Αημ(ωt) Επομένως, η προβολή του περιστρεφόμενου διανύσματος ΟΓ πάνω στον άξονα x x είναι ίση με την απομάκρυνση x του σώματος από τη θέση ισορροπίας του. x A B x 0 Γ t φ = ωt t = 0 A x ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ 19