Μάθηµα 11. Κεφάλαιο: Στατιστική

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μάθηµα 11. Κεφάλαιο: Στατιστική"

Ἄρτεμις Στεφανόπουλος
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Μάθηµα Κεφάλαιο: Στατιστική Θεµατικές Ενότητες:. Παρουσίαση Στατιστικών εδοµένων (Στατιστικοί Πίνακες). Γενικά για στατιστικούς πίνακες. Τα στατιστικά δεδοµένα καταγράφονται σε στατιστικούς πίνακες (ή σε γραφικές παραστάσεις), ώστε να είναι εύκολη η κατανόησή τους και η εξαγωγή σωστών συµπερασµάτων. Οι στατιστικοί πίνακες χωρίζονται σε γενικούς πίνακες (αναλυτικοί και λεπτοµερειακοί, περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από τη στατιστική έρευνα) και σε ειδικούς πίνακες (σαφείς και συνοπτικοί, προκύπτουν από τους γενικούς πίνακες). Πίνακες κατανοµής συχνοτήτων. Κάθε στατιστικός πίνακας, για να είναι σωστός και πλήρης, πρέπει να περιέχει: a) Τον τίτλο του πίνακα. Γράφεται στο πάνω µέρος και δηλώνει το περιεχόµενο του πίνακα. Ουσιαστικά φανερώνει περιληπτικά το αντικείµενο στο οποίο αναφέρεται. b) Τις επικεφαλίδες των γραµµών και των στηλών. Γράφονται στην αρχή κάθε γραµµής και στήλης και δείχνουν τη φύση και τις µονάδες των δεδοµένων που διαβάζουµε στις γραµµές και τις στήλες του πίνακα. c) Το κύριο σώµα του πίνακα. ηλαδή τα κελιά στα οποία διασταυρώνονται οι γραµµές και οι στήλες του πίνακα και στα οποία αναγράφονται τα στατιστικά δεδοµένα. d) Την πηγή. Γράφεται στο κάτω µέρος του πίνακα και δείχνει από που προέρχονται τα στατιστικά στοιχεία που αναγράφονται στον πίνακα). Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου, Στατιστική 09

2 Τα Στατιστικά εδοµένα (Συχνότητες). Είναι τα στατιστικά µεγέθη (οι αριθµοί) που περιέχονται στα κελιά του στατιστικού πίνακα). Μας παρουσιάζουν πλήρως και αναλυτικά όλες τις πληροφορίες που απαιτούνται για µια ολοκληρωµένη στατιστική ανάλυση. Η Απόλυτη Συχνότητα Έστω,,..., k οι τιµές µιας µεταβλητής που αναφέρεται στα άτοµα ενός δείγµατος µεγέθους ν (µε κ ν) και ν, ν,..., νκ οι φυσικοί αριθµοί που δείχνουν πόσες φορές εµφανίζονται οι τιµές,,..., αντίστοιχα. Κάθε αριθµός ν, ν,..., νκ ονοµάζεται απόλυτη συχνότητα (ή, απλά, συχνότητα) της αντίστοιχης τιµής,,..., της εξεταζόµενης µεταβλητής. k k Η Σχετική Συχνότητα Το κλάσµα = ν ν, =,,...,κ τιµής,,..., της εξεταζόµενης µεταβλητής. k ονοµάζεται σχετική συχνότητα της αντίστοιχης Παρατηρήσεις.. Τις περισσότερες φορές, στην πράξη, τις σχετικές συχνότητες τις εκφράζουµε επί τοις εκατό (%), οπότε συµβολίζονται µε %.. Τις τιµές, ν, για ένα δείγµα, συγκεντρώνονται σε ένα πίνακα ο οποίος ονοµάζεται πίνακας κατανοµής συχνοτήτων ή, απλά, πίνακας συχνοτήτων. 3. Για κάθε µεταβλητή του δείγµατος, το σύνολο των ζευγαριών (, ν ) αποτελεί την κατανοµή συχνοτήτων και το σύνολο των ζευγαριών (, ) η (, %) αποτελεί την κατανοµή των σχετικών συχνοτήτων. 4. Ειδικά (και µόνο) για τις ποσοτικές µεταβλητές, χρησιµοποιούνται και οι αθροιστικές συχνότητες καθώς και οι αθροιστικές σχετικές συχνότητες F, οι οποίες εκφράζουν το πλήθος και το ποσοστό αντίστοιχα των παρατηρήσεων που είναι µικρότερες ή ίσες της τιµής. Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου, Στατιστική 0

3 Προσοχή!!! Σηµαντικές Σχέσεις στη Στατιστική Ανάλυση k = (το άθροισµα των απολύτων συχνοτήτων όλων των τιµών της µεταβλητής, ισούται µε το µέγεθος του δείγµατος). =, 0 (η σχετική συχνότητα κάθε τιµής της µεταβλητής, είναι το πηλίκο της απόλυτης συχνότητας της τιµής της µεταβλητής, δια του µεγέθους του δείγµατος και είναι αριθµός ανάµεσα στο 0 και στο ) k =, % + % k % = 00 (το άθροισµα των σχετικών συχνοτήτων όλων των τιµών της µεταβλητής, ισούται µε και το άθροισµα των ποσοστιαίων σχετικών συχνοτήτων όλων των τιµών της µεταβλητής, ισούται µε 00) 4. =, F = (η αθροιστική συχνότητα της πρώτης τιµής µιας ποσοτικής µεταβλητής ισούται µε την απόλυτη συχνότητα της ης τιµής και η αθροιστική σχετική συχνότητα της πρώτης τιµής µιας ποσοτικής µεταβλητής ισούται µε την σχετική συχνότητα της ης τιµής).... = , F = (η αθροιστική συχνότητα της νιοστής τιµής µιας ποσοτικής µεταβλητής, ισούται µε το άθροισµα των απόλυτων συχνοτήτων όλων των τιµών, από την η µέχρι και τη νιοστή και η αθροιστική σχετική συχνότητα της νιοστής τιµής της µεταβλητής, ισούται µε το άθροισµα των σχετικών συχνοτήτων όλων των τιµών, από την η µέχρι και τη νιοστή) 6. k =, F k =, F k % = 00 (η αθροιστική συχνότητα της τελευταίας τιµής µιας ποσοτικής µεταβλητής, ισούται µε το µέγεθος του δείγµατος, η αθροιστική σχετική συχνότητα της τελευταίας τιµής της µεταβλητής, ισούται µε και η ποσοστιαία αθροιστική σχετική συχνότητα της τελευταίας τιµής της µεταβλητής, ισούται µε 00). Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου, Στατιστική

4 Λυµένες Ασκήσεις.. Για ένα δείγµα, =,,..., παρατηρήσεων µιας ποσοτικής µεταβλητής, έχουµε: = 4, = 0,, = 9, F3 = 0, 47, 4% = 0 και F %, =. Να παρουσιάσετε πλήρη πίνακα κατανοµής συχνοτήτων (απόλυτων, σχετικών, αθροιστικών). Λύση. Από τα δεδοµένα έχουµε ήδη τον ακόλουθο πίνακα: F % F %, 4 0, 9 0, Σύνολο Από τη γνωστή σχετική συχνότητα, υπολογίζουµε το µέγεθος του δείγµατος (δηλαδή το άθροισµα των ). 4 Έχουµε λοιπόν: = 40 = = 0, =. Από την αθροιστική συχνότητα έχουµε + = = = 9 4=. Είναι = =. Είναι = = = 0,, οπότε % 0, 00, 40 = =. Είναι = F = 0,, οπότε F % =,. 9 Έχουµε F = = = 0,, οπότε F % =,. Από υπόθεση είναι = 0,, άρα % = 0. Τώρα έχουµε: F3 = = F3 = 0, 47 0, 0,= 0,, οπότε % =. 3 3 Τώρα είναι 3 = 3 = 3 = 40 0, = 0. Είναι 3 = = = 9. Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου, Στατιστική

5 F3 F3 % = 00= 47,. 4% 0 4% = = = = 0, = 4 = 4 = 0, 40= 8. 4 = 3+ 4 = 9+ 8= 7. F4 = F3 + 4 = 0, 47+ 0, = 0, 67, οπότε F % = 67,. 4 = = = 40. = 4+ = 4+ = 4 = 40 7= 3. 3 = = = 0,3, οπότε 40 % = 3,. F = και F % = 00. Τέλος, = και % + % + 3% + 4% + % = 00. Άρα, τελικά, διαµορφώνεται ο επόµενος στατιστικός πίνακας: F % F % 0, 0,,, 4 0, 9 0, 0, 0 0, 9 0,47 47, 3 8 0, 7 0, , 4 3 0,3 40 3, 00 Σύνολο Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου, Στατιστική 3

6 Άλυτες Ασκήσεις.. Να συµπληρωθεί ο επόµενος στατιστικός πίνακας: F % F % 0, ,07 7 Σύνολο 80. Όµοια για τον πίνακα F % F % 4 0, 6 3 0,6 4 6 Σύνολο 3. Όµοια για τον πίνακα F % F % 0 4 0, 6 3 0,6 4 6 Σύνολο 4. Στον επόµενο πίνακα, φαίνεται η κατανάλωση (σε λίτρα ανά 00 χλµ.) βενζίνης 0 αυτοκινήτων: 6,6 7 7,6 7, 6,8 7,4 7 7,8 7, 7,4 7,4 7, 6,6 7 7,6 6,6 7,4 7,6 7 7, 7 7,6 8 7,4 7, 7,4 8 6,8 7, 8 7, 6, ,4 7, 6,8 7,6 7,8 7,4 7,6 7,4 7, 7 7,6 6,6 7 7, 6,6 7,8 Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου, Στατιστική 4

7 a) Να κατασκευάσετε πλήρη πίνακα κατανοµής συχνοτήτων (απόλυτων, σχετικών και αθροιστικών). b) Να βρείτε το ποσοστό των αυτοκινήτων που έχουν κατανάλωση: ) κάτω από 7 λίτρα, ) πάνω από 7,4 λίτρα και 3) τουλάχιστον 7, αλλά το πολύ 7,8 λίτρα.. Σε ένα διαγωνισµό για κάποιες θέσεις εργασίας, έλαβαν µέρος 0 άτοµα, τα οποία κλήθηκαν να απαντήσουν σε 0 ερωτήσεις. Η επεξεργασία των αποτελεσµάτων οδήγησε στον επόµενο πίνακα: Πλήθος Σωστών Απαντήσεων Συχνότητα Να βρείτε το πλήθος και το ποσοστό των διαγωνιζοµένων που έδωσαν: a) Τουλάχιστον σωστές απαντήσεις. b) Πάνω από 6 σωστές απαντήσεις. c) Από 4 έως 7 σωστές απαντήσεις. d) Το πολύ 8 σωστές απαντήσεις. e) Ακριβώς 9 σωστές απαντήσεις. ) Εάν πρόκειται να προσληφθεί το 8% των εξεταζοµένων, πόσες σωστές απαντήσεις πρέπει να έχει δώσει κάποιος για να διεκδικήσει τη θέση; 6. Ένα πανεπιστηµιακό τµήµα έχει 0 φοιτητές. Οι βαθµοί τους στα µαθηµατικά στην τελευταία εξεταστική περίοδο, είναι: 3,4,,8,9,7,6,8,7,0,8,7,6,,9,3,8,,6,6,6,3,,6,4,,9,8,7,7,,6,3,,,8,,,3, 4,,6,7,9,0,9,8,7,6,. Αφού κατασκευάσετε πλήρη πίνακα κατανοµής συχνοτήτων (απόλυτων, σχετικών και αθροιστικών), να βρείτε το πλήθος και το ποσοστό των φοιτητών που: a) Πέρασε το µάθηµα. b) Αρίστευσε (άριστα: 9 ή 0). c) Βαθµολογήθηκε τουλάχιστον µε 7 αλλά το πολύ µε 9. Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου, Στατιστική

8 7. Ο επόµενος πίνακας δίνει την κατανοµή των απουσιών 0 εργαζοµένων από την εργασία τους. Πλήθος Απουσιών (Ηµέρες) Συχνότητα (Εργαζόµενοι) Βρείτε το πλήθος και το ποσοστό των εργαζοµένων που απουσίασαν από την εργασία τους: a) Τουλάχιστον µία µέρα. b) Πάνω από πέντε µέρες. c) Από τρεις µέχρι πέντε µέρες. d) Το πολύ πέντε µέρες. e) Ακριβώς πέντε µέρες. 8. Στον επόµενο πίνακα φαίνονται οι τροχαίες παραβάσεις που έγιναν από 0 οδηγούς, τον τελευταίο χρόνο. Πλήθος Παραβάσεων Συχνότητα (Οδηγοί) Να βρείτε το πλήθος και το ποσοστό των οδηγών που έκαναν: a) Τουλάχιστον µία παράβαση. b) Από µέχρι 6 παραβάσεις. c) Ακριβώς παραβάσεις. d) Πάνω από παραβάσεις. e) Το πολύ παραβάσεις. Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου, Στατιστική 6

Σχετικά έγγραφα

Βασικές έννοιες. Παραδείγµατα: Το σύνολο των φοιτητών που είναι εγγεγραµµένοι

Βασικές έννοιες. Παραδείγµατα: Το σύνολο των φοιτητών που είναι εγγεγραµµένοι Τι είναι η Στατιστική? Η ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ορίζεται σήµερα ως η επιστήµη που σχετίζεται µε τις επιστηµονικές µεθόδους συλλογής, παρουσίασης, αξιολόγησης και γενίκευσης (: εξαγωγής συµπερασµάτων) της πληροφορίας.