ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ»

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ»"

Transcript

1 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στατιστική είναι ο κλάδος των εφαρμοσμένων μαθηματικών ο οποίος αποτελείται από ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών με τις οποίες : Σχεδιάζεται η διαδικασία συλλογής δεδομένων. Παρουσιάζονται τα δεδομένα αυτά συνοπτικά με σαφή και ακριβή τρόπο. Αναλύονται και εξάγονται αντίστοιχα συμπεράσματα από τα δεδομένα αυτά. Επιπλέον ασχολείται με τη δειγματοληπτική έρευνα που επιτρέπει από τα δεδομένα μιας μικρής ομάδας με τρόπο επαγωγικό να προσδιοριστούν με κάποια προσέγγιση τα χαρακτηριστικά της ευρύτερης ομάδας η οποία περιέχει το σύνολο των ομοειδών περιπτώσεων. Η Στατιστική διαιρείται σε κλάδους Περιγραφική Στατιστική ασχολείται με τη σύμπτυξη παρουσίαση ποσοτικών πληροφοριών μιας ή περισσοτέρων συγκεκριμένων ομάδων. Επαγωγική Στατιστική ασχολείται με την εξαγωγή συμπερασμάτων για ολόκληρο σύνολο δεδομένων με βάση τα χαρακτηριστικά μιας ομάδας δεδομένων. ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Στη Στατιστική μας ενδιαφέρει να εξετάσουμε στοιχεία ενός συνόλου ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους. Πληθυσμός λέγεται το σύνολο των ομοειδών στοιχείων για τα οποία γίνεται μια έρευνα στη Στατιστική. Τα στοιχεία του πληθυσμού ονομάζονται μονάδες ή άτομα του πληθυσμού. Τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε έναν πληθυσμό ονομάζονται μεταβλητές και συμβολίζονται συνήθως με κεφαλαία γράμματα Χ, Φ, Ζ Οι δυνατές τιμές που μπορεί να πάρει μια μεταβλητή ονομάζονται τιμές τις μεταβλητής. ΕΙΔΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Τις μεταβλητές τις διακρίνουμε σε ΠΟΙΟΤΙΚΕΣ ή ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΕΣ και ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΠΟΙΟΤΙΚΕΣ είναι οι μεταβλητές των οποίων οι τιμές δεν μπορούν να μετρηθούν. Οι τιμές των ποιοτικών μεταβλητών είναι χαρακτηρισμοί και όχι αριθμοί. ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ είναι οι μεταβλητές των οπίων οι τιμές είναι αριθμοί. Διακρίνονται σε ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ οι οποίες παίρνουν μεμονωμένες τιμές και τις ΣΥΝΕΧΕΙΣ οι οποίες παίρνουν οποιαδήποτε τιμή ενός διαστήματος πραγματικών αριθμών. ΑΠΟΓΡΑΦΗ Απογραφή καλείται η μέθοδος συλλογής των δεδομένων με τον εξής τρόπο : παίρνουμε τις απαραίτητες πληροφορίες που χρειαζόμαστε για κάποιο πληθυσμό αφού εξετάσουμε όλα τα άτομα του πληθυσμού ως προς το χαρακτηριστικό που μας ενδιαφέρει. ΔΕΙΓΜΑ καλείται κάθε υποσύνολο του πληθυσμού. Για να θεωρείται αντιπροσωπευτικό ένα δείγμα ενός πληθυσμού, θα πρέπει να έχει επιλεγεί κατά κάποιο τρόπο, ώστε κάθε μονάδα του πληθυσμού να έχει την ίδια δυνατότητα να επιλέγει. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ :. Μελετάμε τους κάτοικους μιας πόλης ως προς τις ιδιότητες : Α. ηλικία Β. επάγγελμα Γ. ύψος Δ. βάρος Ε. μορφωτικό επίπεδο Σ.Τ. εισόδημα Ποιες από τις παραπάνω μεταβλητές είναι ποιοτικές και ποιες ποσοτικές:. Τα αποτελέσματα των εξετάσεων των φοιτητών του Μαθηματικού τμήματος στο μάθημα της Στατιστικής ήταν τα ακόλουθα:, 3, 3,,, 5, 5, 5, 9. Να βρείτε : α) Ποιος είναι ο Πληθυσμός; β) Ποια είναι τα άτομα; γ) Ποιες είναι οι παρατηρήσεις; δ) Ποια είναι η μεταβλητή και σε ποια κατηγορία ανήκει; ε) Ποιες είναι οι τιμές της μεταβλητής; 3. Τι έχετε να παρατηρήσετε σχετικά με την ποιότητα των παρακάτω επιλεγμένων δειγμάτων; α) Για να βρούμε τις πολιτικές προτιμήσεις, παίρνουμε δείγμα από τους κάτοικους πολλών μεγάλων πόλεων; β) Για να βρούμε πως διασκεδάζουν οι νέοι της χώρας μας, επιλέγουμε μαθητές κάποιων λυκείων. γ) Για να εκτιμήσουμε την οικονομική κατάσταση της χώρας, παίρνουμε το κατά κεφαλήν εισόδημα.. Για να βρούμε το μέγεθος των καπνιστών στην Ελλάδα αποφασίσαμε να πάρουμε ένα δείγμα 500 ατόμων. Ποιος από τους παρακάτω τρόπους είναι ο καλύτερος για να πάρουμε δείγμα; α) Να πάρουμε 500 αθλητές; β) Να πάρουμε 500 άνδρες υπάλληλους μιας επιχείρησης; γ) Να πάρουμε 500 περαστικούς από ένα δρόμο; 5. Από ένα σύνολο 00 μαθητών (60 αγόρια 0 κορίτσια) επιλέγουμε ένα δείγμα 5 μαθητών (9 αγόρια και 6 κορίτσια). Είναι το δείγμα αντιπροσωπευτικό; ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 3

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Τα στατιστικά δεδομένα, αφού συλλεχτούν, πρέπει να ταξινομηθούν σε πίνακες. Πρέπει δηλαδή τα δεδομένα να τοποθετηθούν σε γραμμές και στήλες έτσι ώστε να είναι εύκολη η κατανόηση τους, η σύγκριση τους και η εξαγωγή συμπερασμάτων. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Απόλυτη Συχνότητα της τιμής είναι ο φυσικός αριθμός που δείχνει πόσες φορές εμφανίζεται η τιμή της εξεταζόμενης μεταβλητής Χ στο σύνολο των παρατηρήσεων. Το άθροισμα όλων των συχνοτήτων, προφανώς, είναι ισο με το μέγεθος ν του δείγματος. Δηλαδή :.... Επίσης : 0 Σχετική Συχνότητα της τιμής είναι :,,,...,. Ισχύουν ότι :... και 0. Τις σχετικές συχνότητες μπορούμε να τις εκφράσουμε και επί τις εκατό, οπότε συμβολίζεται % και είναι : % %... % 00 και 0 % 00. Το σύνολο των ζευγών, ) λέγεται ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. Ρωτήσαμε ένα δείγμα 50 μαθητών της Θεσσαλονίκης ως προς την ομάδα που υποστηρίζουν. Η απαντήσεις που πήραμε ήταν οι εξής : ΠΑΟΚ, 7 ΑΡΗΣ, 3 ΠΑΝΑΘΗΝΑΙΚΟΣ, ΑΕΚ, ΟΛΥΜΠΙΑΚΟΣ και κάποιοι από αυτούς ΗΡΑΚΛΗΣ.. Να βρείτε πόσοι υποστηρίζουν τον ΗΡΑΚΛΗ.. Να κατασκευάσετε τον πίνακα κατανομής συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων και σχετικών % συχνοτήτων. Λύση :. Έστω η ποιοτική μεταβλητή : «Ομάδα» άρα :, :, :, :, : και :. Τότε οι 3 5 αντίστοιχες συχνότητες θα είναι,,..., 6 και θα ισχύει : , άρα % 0, ,3 άρα % 0, ,06 άρα 3% 0, ,0 άρα % 0, ,0 άρα 5% 0, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6 ( κατανομή συχνοτήτων ενώ το σύνολο των ζευγών, ) ή, %) λέγεται κατανομή ( σχετικών συχνοτήτων. Ένα πίνακας που έχει τις τιμές, παρατηρήσεων, ονομάζεται πινάκας κατανομής συχνοτήτων. (, για ένα δείγμα

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ,0 άρα 6% 0, Ομάδα Συχνότητα Σχετ. συχνότητα Σχετ. συχνοτ. % ΠΑΟΚ 0, ΑΡΗΣ 7 0,3 3 ΠΑΝΑΘΗΝΑΙΚΟΣ 3 0,06 6 ΑΕΚ 0,0 ΟΛΥΜΠΙΑΚΟΣ 0,0 ΗΡΑΚΛΗΣ 5 0,0 0 Σύνολο 50,00 00 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ) Έστω ένα δείγμα μεγέθους και έστω οι οποίες είναι σε αύξουσα σειρά.,...,, οι τιμές μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ, Αθροιστική Συχνότητα εκφράζουμε το πλήθος των παρατηρήσεων που είναι μικρότερες ή ίσες της τιμής. Η Αθροιστική Σχετική Συχνότητα είναι μικρότερες ή ίσες της τιμής. F εκφράζει το ποσοστό των παρατηρήσεων που Για τις αθροιστικές συχνότητες ισχύουν οι σχέσεις :... F... F F F F ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. Ρωτήσαμε 00 μαθητές πόσα βιβλία διάβασαν το περασμένο καλοκαίρι. Τα αποτελέσματα φαίνονται στον παρακάτω πινάκα. Αριθ. βιβλίων Συχνότητα Σύνολο 00 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 5

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Να κατασκευάσετε πινάκα κατανομής,, %,, F, F % Με τη βοήθεια του παραπάνω πινάκα, να βρείτε. Πόσοι μαθητές διάβασαν το πολύ βιβλία. Το ποσοστό των μαθητών που διάβασε το πολύ βιβλίο. Πόσοι μαθητές διάβασαν τουλάχιστον βιβλία. Το ποσοστό των μαθητών που διάβασε τουλάχιστον 3 βιβλία. Το ποσοστό των μαθητών που διάβασε τουλάχιστον αλλά το πολύ 3 βιβλία Λύση :. Για τις σχετικές συχνότητες σύμφωνα με τους τύπους και % 00 έχω : 90 0,5 άρα % 0, ,30 άρα % 0, ,3 άρα 3% 0, ,08 άρα % 0, ,0 άρα 5% 0, Για τις αθροιστικές συχνότητες σύμφωνα με τους τύπους : και έχω : Για τις αθροιστικές σχετικές συχνότητες σύμφωνα με τους τύπους : F και F F F F αλλά και F % 00F έχω : F F 0, 5 άρα F % 0,500 5 F F F 0,5 0, 30 F 0, 75 άρα F % 0, F3 F 3 F3 0,75 0, 3 F 3 0, 88 άρα F 3% 0, F F3 F 0,88 0, 08 F 0, 96 άρα F % 0, F5 F 5 F 0,96 0, 0 F, 5 00 άρα F %, Αριθμό. βιβλίων 5 Έτσι συμπληρώνεται ο παρακάτω πίνακας : Συχνότητα Σχετ.συχν. Σχετ.συχν. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6 % Αθρ.συχν. Αθρ.σχετ. συχν. F Αθρ.σχετ. συχν. F % , , , , , , , , ,0 00,00 00 Σύνολο 00,00 00

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Το πλήθος των μαθητών που διάβασαν το πολύ βιβλία (δηλ. 0 ή ή ) είναι : Το ποσοστό των μαθητών που διάβασε το πολύ βιβλίο (δηλ. 0 ή ) είναι : % % F % 75%. Το πλήθος των μαθητών που διάβασαν τουλάχιστον βιβλία (δηλ. ή 3 ή ) είναι : Το ποσοστό των μαθητών που διάβασε τουλάχιστον 3 βιβλία (δηλ. 3 ή ) είναι : % 5 % 8% % %. Το ποσοστό των μαθητών που διάβασε τουλάχιστον αλλά το πολύ 3 βιβλία (δηλ. ή ή 3) είναι : % % 30% 3% 8% 5% % 3 3. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πινάκα : % F % 0, Σύνολο 00 Πανελλήνιες 000 Λύση : Ισχύουν τα εξής : 0, 0, 0, 0 0 % 00 % 000, % 0 F % % F % , % 00 % 000, 3 % 30 F % % % F% 0 30 F % , % 00 3 % 3 000, 3% F % % % F F % 80 3% 3 3 % , % 00 % 000, % F % % % 3% % F% F % 00 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 7

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ % F % 0, , , , Σύνολο 0 00 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ :. Να συμπληρώσετε τους παρακάτω πίνακες : Συν. % % ,05 Συν Αθρ. N F % F % 5. Να συμπληρώσετε τους παρακάτω πίνακες : % -5 0, , Συν. N ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 8 F % F % 8 0, 0 3 0, Σύνολο

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 3 : ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ (ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ) Ραβδόγραμμα Το ραβδόγραμμα χρησιμοποιείται, όταν η μεταβλητή Χ είναι ποιοτική. Αποτελείται από ορθογώνιες στήλες που οι βάσεις τους είναι ισομήκης (με αυθαίρετη επιλογή μήκους και μεταξύ τους απόστασης) και βρίσκονται στον οριζόντιο ή στον κατακόρυφο άξονα. Το ύψος κάθε ορθογώνιας στήλης είναι ισο με τη συχνότητα ή τη σχετική συχνότητα της αντίστοιχης τιμής της μεταβλητής. Όταν θέλουμε να κάνουμε σύγκριση των αντίστοιχων τιμών της ίδιας μεταβλητής Χ για δυο διαφορετικά δείγματα (π.χ. άντρες - γυναίκες), τότε κατασκευάζουμε διπλά ορθογώνια για την ίδια τιμή της μεταβλητής Χ ένα για το κάθε δείγμα. Διάγραμμα Το διάγραμμα χρησιμοποιείται, όταν η μεταβλητή Χ είναι ποσοτική. Η διαφορά με το ραβδόγραμμα είναι ότι στο διάγραμμα αντί για ορθογώνιες στήλες σε κάθε τιμή υψώνουμε μια κάθετη γραμμή με ύψος ισο με τη συχνότητα ή τη σχετική συχνότητα της αντίστοιχης τιμής της μεταβλητής. Στον κατακόρυφο άξονα αντί για τη συχνότητα, μπορούμε να βάλουμε τις σχετικές συχνότητες, %, τις αθροιστικές συχνότητες N ή τις αθροιστικές σχετικές συχνότητες F, F % και να κατασκευάσουμε τα αντίστοιχα διαγράμματα. Αν στο διάγραμμα ενώσουμε τα σημεία (, ) δηλαδή τα πάνω άκρα κάθε κάθετης γραμμής, τότε προκύπτει το πολύγωνο συχνοτήτων. Κυκλικό Διάγραμμα Το κυκλικό διάγραμμα χρησιμοποιείται, για τη γραφική παράσταση ποιοτικών ή ποσοτικών μεταβλητών, όταν όμως οι τιμές της μεταβλητής Χ είναι σχετικά λίγες. Το κυκλικό διάγραμμα είναι ένας κυκλικός δίσκος χωρισμένος σε κ κυκλικούς τομείς (όσες και οι τιμές ). Τα τόξα κάθε κυκλικού τομέα είναι ανάλογα με τις αντίστοιχες συχνότητες ή τις σχετικές συχνότητες της μεταβλητής. Αν με συμβολίζουμε το τόξο του κυκλικού τομέα που αντιστοιχεί στην τιμή, τότε ισχύει ότι : για,,...,. Προφανώς Σημειόγραμμα Το σημειόγραμμα χρησιμοποιείται, για τη γραφική παράσταση ποιοτικών ή ποσοτικών μεταβλητών, όταν όμως οι τιμές της μεταβλητής Χ είναι λίγες. Για να το κατασκευάσουμε τοποθετούμε τις τιμές της μεταβλητής σε ένα οριζόντιο άξονα και πάνω από κάθε τιμή βάζουμε κατακόρυφα τόσες τελείες όση είναι και η αντίστοιχη συχνότητα. Χρονόγραμμα Το χρονόγραμμα ή χρονολογικό διάγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική απεικόνιση της διαχρονικής εξέλιξης ενός οικονομικού, δημογραφικού ή άλλου μεγέθους. Ο οριζόντιος άξονας χρησιμοποιείται ως άξονας μέτρησης της εξεταζόμενης μεταβλητής. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 9

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 6. Ρωτήσαμε ένα δείγμα 50 μαθητών της Θεσσαλονίκης ως προς την ομάδα που υποστηρίζουν. Η απαντήσεις που πήραμε ήταν οι εξής : ΠΑΟΚ, 7 ΑΡΗΣ, 3 ΠΑΝΑΘΗΝΑΙΚΟΣ, ΑΕΚ, ΟΛΥΜΠΙΑΚΟΣ και κάποιοι από αυτούς ΗΡΑΚΛΗΣ. Να κατασκευάσετε ραβδόγραμμα συχνοτήτων, ραβδόγραμμα σχετικών επί τοις εκατό συχνοτήτων και κυκλικό διάγραμμα για τα παραπάνω δεδομένα. Λύση : Τα δεδομένα προέρχονται από την άσκηση (βλέπε παραπάνω) οπότε έχω τον παρακάτω πινάκα. Ομάδα Συχνότητα Σχετ. συχνότητα Σχετ. συχνοτ. % ΠΑΟΚ 0, ΑΡΗΣ 7 0,3 3 ΠΑΝΑΘΗΝΑΙΚΟΣ 3 0,06 6 ΑΕΚ 0,0 ΟΛΥΜΠΙΑΚΟΣ 0,0 ΗΡΑΚΛΗΣ 5 0,0 0 Σύνολο 50,00 00 ΡΑΒΔΟΓΡΑΜΜΑ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 0

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΡΑΒΔΟΓΡΑΜΜΑ ΣΧΕΤΙΚΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΚΥΚΛΙΚΟ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ , , ,3 360, ,06 360, ,0 360, , , , ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΗΡΑΚΛΗΣ 0% ΟΛΥΜΠΙΑΚΟΣ % ΑΕΚ % ΠΑΝΑΘΗΝΑΙΚΟΣ 6% ΠΑΟΚ % ΠΑΟΚ ΑΡΗΣ ΠΑΝΑΘΗΝΑΙΚΟΣ ΑΕΚ ΟΛΥΜΠΙΑΚΟΣ ΗΡΑΚΛΗΣ ΑΡΗΣ 3% 7. Εξετάσαμε ένα δείγμα οικογενειών ως προς τον αριθμό των παιδιών που έχουν. Τα αποτελέσματα που πήραμε φαίνονται στον παρακάτω πινάκα. Να κατασκευάσετε το διάγραμμα και το αντίστοιχο πολύγωνο :. συχνοτήτων,. αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων επί τοις εκατό. Λύση : Αριθμό. παιδιών Συχνότητα Σύνολο 0. Χρησιμοποιώντας τους τύπους, F, F F και F % 00F, συμπληρώνουμε τον πινάκα ως εξής : % F % 0 8 0, , , , 0 00 Σύνολο 0 00 Το διάγραμμα και το πολύγωνο συχνοτήτων φαίνονται στο σχήμα ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Το διάγραμμα και το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων επί τοις εκατό φαίνονται στο σχήμα. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 3

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 8. Σ ένα τμήμα 5 μαθητών της γ λυκείου δόθηκε ένα τεστ μαθηματικών από όπου προέκυψαν τα παρακάτω αποτελέσματα :, 7, 9, 6, 5, 9, 3, 5, 6, 5, 9, 7, 0, 0, 6, 9, 3, 9, 5, 9, 9, 5, 7, 6, 0 α) Να κατασκευάσετε πίνακα συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων β) Α. Πόσοι μαθητές είχαν βαθμό τουλάχιστον 5 Β. Μεγαλύτερο από 3 Γ. Τι ποσοστό % μαθητών είναι κάτω από τη βάση (0) Δ. Τι ποσοστό είναι πάνω από 6 Ε. Μεταξύ 5 και 9 γ) Να κατασκευάσετε ραβδόγραμμα συχνοτήτων. 9. Τα αποτελέσματα των εκλογών, σε ένα εκλογικό τμήμα, δίνονται από το επόμενο (ελλιπή) πινάκα : Κόμμα Συχνότητα Σχετική συχνότητα Α 0,5 Β 50 0,30 Γ 0,35 Δ Σύνολο. Να βρείτε πόσοι εκλογείς ψήφισαν στο τμήμα αυτό. Να βρείτε πόσες ψήφους πήρε κάθε κόμμα σε αυτό το εκλογικό τμήμα. Να σχεδιάσετε το ραβδόγραμμα των σχετικών συχνοτήτων. (Πανελλήνιες 00 ) 0. Σε ένα κυκλικό διάγραμμα παριστάνεται το μορφωτικό επίπεδο των 00 εργαζομένων μιας επιχείρησης σε τέσσερις κατηγορίες : Α κατηγορία : Απόφοιτοι Γυμνάσιου Β κατηγορία : Απόφοιτοι Λυκείου Γ κατηγορία : Πτυχιούχοι Ανώτατης Εκπαίδευσης Δ κατηγορία : Κάτοχοι Μεταπτυχιακού Τίτλου Κάθε εργαζόμενος ανήκει σε μια μόνο από τις κατηγορίες αυτές. Στην Α κατηγορία ανήκει το 5% των εργαζομένων της επιχείρησης. Η γωνία του κυκλικού τομέα που αντιστοιχεί στους εργαζομένους της Δ κατηγορίας είναι 8. Οι εργαζόμενοι της επιχείρησης της Β κατηγορίας είναι εξαπλάσιοι των εργαζομένων της Γ κατηγορίας.. Να υπολογίσετε τον αριθμό των εργαζομένων κάθε κατηγορίας.. Να μετατρέψετε το κυκλικό διάγραμμα σε ραβδόγραμμα συχνοτήτων. (Πανελλήνιες 000 ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Όταν μια ποσοτική μεταβλητή Χ είναι συνεχής ή αν είναι διακριτή αλλά το πλήθος των παρατηρήσεων της είναι πολύ μεγάλο, τότε κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων. Πιο συγκεκριμένα ταξινομούμε (ομαδοποιούμε) τα δεδομένα σε μικρό πλήθος ομάδων οι οποίες ονομάζονται κλάσεις, ώστε κάθε τιμή να ανήκει σε μια μόνο κλάση. Τα άκρα των κλάσεων λέγονται όρια των κλάσεων. Οι κλάσεις είναι διαδοχικά διαστήματα της μορφής [, ). Μπορεί να συμβεί η τελευταία κλάση να είναι της μορφής [, ] ώστε να περιέχει την τελευταία παρατήρηση. Οι παρατηρήσεις κάθε κλάσης θεωρούνται όμοιες και μπορούν να «αντιπροσωπευτούν» από την κεντρική τιμή κάθε κλάσης. Για την κεντρική τιμή της κλάσης [α,β) ισχύει : Καλούμε πλάτος κλάσης τον αριθμό c Η διαφορά της μικρότερης παρατήρησης από τη μεγαλύτερη παρατήρηση του ύ ό δείγματος λέγεται εύρος και ισχύει : R ή ή ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ ΒΗΜΑ Πρώτα πρέπει να γίνει η εκλογή του πλήθους των κλάσεων. Συνήθως αυτό δίνεται από την εκφώνηση της άσκησης. Αν όχι (σπάνια) χρησιμοποιούμε ως οδηγό τον παρακάτω πινάκα : Μέγεθος δείγματος ν < Αριθμός κλάσεων κ R ΒΗΜΑ Προσδιορίζουμε το πλάτος κάθε κλάσης με τον τύπο : c. (αν χρειαστεί στρογγυλοποιούμε προς τα πάνω) ΒΗΜΑ 3 Κατασκευάζουμε τις κλάσεις ως εξής : ξεκινάμε από τη μικρότερη παρατήρηση και προσθέτουμε κάθε φορά το πλάτος c, μέχρι να δημιουργηθούν οι κ κλάσεις. ΒΗΜΑ Τέλος κάνουμε τη διαλογή των παρατηρήσεων. Το πλήθος των παρατηρήσεων της κλάσης λέγεται συχνότητα της κλάσης αυτής και αντιπροσωπεύει τη συχνότητα της κεντρικής τιμής της κλάσης αυτής. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. Το ύψος των μαθητών (σε cm) της Γ Λυκείου ενός σχολείου δίνονται παρακάτω : Να ομαδοποιήσετε τα δεδομένα σε κατάλληλο αριθμό κλάσεων και να κατασκευάσετε τον πίνακα με τις συχνότητες, N, %, F %. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 5

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Λύση :. Παρατηρούμε ότι το εύρος του δείγματος είναι R Έχουμε ν=0 παρατηρήσεις, δηλ. το μέγεθος του δείγματος είναι ν=0, άρα από τον κατάλληλο πινάκα θα χρειαστούμε κ=6 κλάσεις. Το πλάτος κάθε κλάσης είναι R 35 c 5,83 6, άρα χρησιμοποιώντας τους τύπους, F, 6 F F και F % 00F, συμπληρώνουμε τον πινάκα ως εξής : Κλάσεις [, ) Κεντρικές τιμές Διαλογή Συχν. Σχετ. Συχν. Σχετ. Συχν. % Αθρ. Συχν. N Αθρ. Συχν. F [56-6) 59 ΙΙ 0, [6-68) 65 ΙΙΙΙΙ ΙΙΙ 8 0, [68-7) 7 ΙΙΙΙΙ ΙΙΙΙΙ ΙΙ 0, [7-80) 77 ΙΙΙΙΙ ΙΙΙΙΙ Ι 0,75 7,5 33 8,5 [80-86) 83 ΙΙΙΙΙ 5 0,5, [86-9) 89 ΙΙ 0, Σύνολο 0,00 00 % ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 5 : ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ ΚΑΙ ΠΟΛΥΓΩΝΟ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΧΕΤΙΚΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ Για να κάνουμε τη γραφική παράσταση σε ομαδοποιημένες παρατηρήσεις, χρησιμοποιούμε το ιστόγραμμα συχνοτήτων. Για να κατασκευάσουμε ιστόγραμμα συχνοτήτων τοποθετούμε τις κλάσεις στον οριζόντιο άξονα και δημιουργούμε ορθογώνια (ενωμένα μεταξύ τους), των οποίων οι βάσεις έχουν πλάτος ισο με το πλάτος c κάθε κλάσης και ύψος ισο με. Για να κατασκευάσουμε το πολύγωνο συχνοτήτων, κατασκευάζουμε δυο ακόμα κλάσεις μια στην αρχή και μια στο τέλος των κλάσεων με συχνότητα μηδέν. Μετά ενώνουμε τα μέσα των άνω βάσεων των ορθογωνίων (δηλ τα σημεία (, ) όπου τα κέντρα των κλάσεων) και έτσι σχηματίζεται το πολύγωνο συχνοτήτων. Προσοχή :. Το εμβαδόν κάθε ορθογωνίου ισούται με τη συχνότητα της αντίστοιχης κλάσης. Αυτό σημαίνει ότι το άθροισμα των εμβαδών όλων των ορθογωνίων του ιστογράμματος συχνοτήτων, ισούται με το μέγεθος ν του δείγματος. Δηλ..... Το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται ανάμεσα στο πολύγωνο συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα ισούται με το άθροισμα των εμβαδών των ορθογωνίων, δηλαδή με το μέγεθος ν του δείγματος. ώ 3. Με παρόμοιο τρόπο κατασκευάζουμε το ιστόγραμμα και το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων ή %, αρκεί στον κατακόρυφο άξονα να βάλουμε τις τιμές ή % ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ ΚΑΙ ΠΟΛΥΓΩΝΟ ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΩΝ ΣΧΕΤΙΚΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ Ανάλογα με το ιστόγραμμα συχνοτήτων κατασκευάζουμε και το ιστόγραμμα αθροιστικών συχνοτήτων, αρκεί στον κατακόρυφο άξονα να βάλουμε τις αθροιστικές συχνότητες N. Για να κατασκευάσουμε το πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων ενώνουμε τα δεξιά άκρα των άνω βάσεων των ορθογωνίων (όχι τα μέσα). Με ανάλογο τρόπο κατασκευάζουμε το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών % συχνοτήτων με τη διαφορά ότι στον κατακόρυφο άξονα βάζουμε τις τιμές F %. ΜΙΑ ΣΗΜΑΝΤΙΚΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Ας υποθέσουμε ότι σε ένα δείγμα ομαδοποιημένων παρατηρήσεων η η κλάση είναι [,0) και έχει συχνότητα 0 και σχετική % συχνότητα 3. Τότε c 0 6, 0 και % 3. Όταν λέμε ότι οι παρατηρήσεις κατανέμονται ομοιόμορφα σε κάθε κλάση, σημαίνει ότι οι αποστάσεις των διαδοχικών τιμών τους είναι ίσες. Δηλαδή η υποθετική κλάση [,7) που έχει το μισό πλάτος c 7 3, θα έχει και τις μισές παρατηρήσεις δηλ. 0 και % 6. Καταλαβαίνουμε δηλαδή ότι τα ποσά πλάτος κλάσης και συχνότητα ή σχετική συχνότητα % είναι ανάλογα, έτσι ισχύουν : c c % και όπου c το πλάτος της αρχικής και c το πλάτος της c c % υποθετικής κλάσης, και % η συχνότητα και η σχετική συχνότητα % της αρχικής κλάσης και και % η συχνότητα και η σχετική συχνότητα % της υποθετικής κλάσης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 7

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. Για τα δεδομένα της άσκησης :. να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα και το πολύγωνο συχνοτήτων. να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα και το πολύγωνο σχετικών % συχνοτήτων. να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα και το πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων. να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα και το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών % συχνοτήτων. να βρείτε το πλήθος των μαθητών που έχουν ύψος κάτω από 7cm. να βρείτε το ποσοστό των μαθητών που έχει ύψος μεγαλύτερο ή ισο με 8cm. αν στην πρώτη γραμμή της παρέλασης συμμετέχει το 0% των πιο ψηλών μαθητών, τι ύψος πρέπει να έχει κάποιος μαθητής για να βρίσκεται στην πρώτη σειρά; Λύση :... ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 8

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ.. Οι μαθητές με ύψος μικρότερο του 7cm θα είναι αυτοί που ανήκουν στην η κλάση συν αυτούς που ανήκουν στη η κλάση συν κάποιους από αυτούς που ανήκουν στην 3 η κλάση δηλ. 3. Όπου 3 είναι η συχνότητα της υποθετικής κλάσης [68-7) 7 68 έτσι έχω: Άρα 88 8 μαθητές. 3 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 9

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Το ποσοστό των μαθητών με ύψος μεγαλύτερο ή ισο του 8cm θα είναι το ποσοστό αυτών που ανήκουν στην 6 η κλάση συν κάποιους από αυτούς που ανήκουν στην 5 η κλάση δηλ. 6 % 5 %. Όπου 5 % είναι η σχετική % συχνότητα της υποθετικής κλάσης % 5% [8-86) έτσι έχω: 6 5% 50 5% 8, % 6,5 Άρα 6 % 5 % 58,33 3,33%. Το 5% των ψηλότερων μαθητών ανήκει στην κλάση [86-9) άρα θέλω ακόμα 5% από την κλάση [80-86). Δηλ. το 0% των ψηλότερων μαθητών είναι 6 % 5 %, όπου % 5 είναι η σχετική % συχνότητα της υποθετικής κλάσης [,86) με να είναι το % 86 5 ζητούμενο ύψος. Έτσι έχω :,5(86 ) % 6,5 35,5 30, , 6cm. Άρα ο μαθητής πρέπει να έχει ύψος 83, 6cm και πάνω για να βρίσκεται στην πρώτη γραμμή της παρέλασης. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 3. Δίνεται ο παρακάτω πίνακας κατανομής συχνοτήτων της μεταβλητής Χ. Κλάσεις [, ) Κεντρικές τιμές Συχν. Σχετ. Συχν. Αθρ. Συχν. F % [-5) 0 [5-9) 50 [9-3) 85 [3-7) 95 [7-) Σύνολο. Να γράψετε στο τετράδιο σας συμπληρωμένο τον παραπάνω πινάκα.. Να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων % και το αντίστοιχο πολύγωνο. Να βρείτε το ποσοστό % των παρατηρήσεων που έχουν τιμές από έως 3 (Πανελλήνιες 00). Στα σχολεία ενός Δήμου υπηρετούν συνολικά 00 εκπαιδευτικοί. Ο συνολικός χρόνος υπηρεσίας των εκπαιδευτικών δίνεται από τον παρακάτω πίνακα. Χρόνια Υπηρεσίας Σχετική Συχνότητα [ - ) % Πόσοι εκπαιδευτικοί έχουν τουλάχιστον 5 χρόνια υπηρεσίας; ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 0

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Με την προϋπόθεση ότι κάθε εκπαιδευτικός θα συνταξιοδοτηθεί όταν συμπληρώσει 35 χρόνια; α) Πόσοι εκπαιδευτικοί θα συνταξιοδοτηθούν μέσα στα επόμενα,5 χρόνια; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. β)πόσοι συνολικά εκπαιδευτικοί πρέπει να προσληφθούν μέσα στα επόμενα 5 χρόνια, ώστε ο αριθμός των εκπαιδευτικών που θα υπηρετούν στα σχολεία του Δήμου να παραμείνει ο ίδιος; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. (Πανελλήνιες 000) 5. Το βάρος των αποσκευών καθενός εκ των 80 επιβατών μιας πτήσης κάποιας αεροπορικής εταιρίας είναι τουλάχιστον κιλά αλλά μικρότερη από 6 κιλά. Γνωρίζουμε ότι 8 επιβάτες έχουν αποσκευές με βάρος μικρότερο από κιλά, το 30% των επιβατών έχει αποσκευές με βάρος μικρότερο από 7 κιλά, 8 επιβάτες έχουν αποσκευές με βάρος μικρότερο από 0 κιλά και 5% των επιβατών έχει αποσκευές με βάρος τουλάχιστον 3 κιλά.. Να παρασταθούν τα δεδομένα σε ένα πινάκα συχνοτήτων (, N, %, F % ). Κάθε επιβάτης δικαιούται να μεταφέρει αποσκευές με βάρος μικρότερο των 0 κιλών, διαφορετικά έχει πρόσθετη οικονομική επιβάρυνση. Να βρείτε τι ποσοστό από τους 80 επιβάτες της πτήσης αυτής έχει πρόσθετη οικονομική επιβάρυνση. Να βρεθούν οι γωνίες των αντίστοιχων κυκλικών τομέων του κυκλικού διαγράμματος σχετικών συχνοτήτων, για τα δεδομένα του προβλήματος. (Πανελλήνιες 00) 6. Δίνεται ο εβδομαδιαίος μισθός σε 50 υπάλληλων μιας εταιρίας Να γίνει ομαδοποίηση των παρατηρήσεων σε κλάσεις ίσου πλάτους και να κατασκευαστεί ο αντίστοιχος πίνακας συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων.. Να γίνουν : a. Ιστόγραμμα συχνοτήτων. b. Ιστόγραμμα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων F %. c. Τα αντίστοιχα πολύγωνα.. Ποιο ποσοστό των υπάλληλων έχει εβδομαδιαίο μισθό πάνω από 350 ; 7. Στον παρακάτω πίνακα Δίνεται η ημερήσια δαπάνη 00 μαθητών σε ευρώ: δαπάνη σε ευρώ Μαθητές [5,0) 0 [0,5) 30 [5,0) 5 [0,5) 0 [5,30) 0 [30,35) 5 Σύνολο 00. Να κατασκευάσετε τον πίνακα συχνοτήτων με τις στήλες των,, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ N, %, F %.

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Ποιο ποσοστό μαθητών ξοδεύει τουλάχιστον 0 ευρώ την ημέρα;. Να κατασκευάσετε το Ιστόγραμμα συχνοτήτων και το πολύγωνο συχνοτήτων.. Να κατασκευάσετε το Ιστόγραμμα των αθροιστικών επί τοις εκατό συχνοτήτων καθώς και το αντίστοιχο πολύγωνο.. Με τι ισούται το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται ανάμεσα στο πολύγωνο συχνοτήτων και στον οριζόντιο άξονα; 8. Οι μέρες καλοκαιρινών διακοπών μιας ομάδας ατόμων δίνεται στο παρακάτω πίνακα. Ημέρες Άτομα [7,) [,5) 0 [5,9) 8 [9,3) 3 [3,7 6. Να κατασκευάσετε τον πίνακα με τις συχνότητες, N, %, F %.. Να κατασκευάσετε το Ιστόγραμμα συχνοτήτων και το πολύγωνο συχνοτήτων.. Να κατασκευάσετε το Ιστόγραμμα των αθροιστικών επί τοις εκατό συχνοτήτων καθώς και το αντίστοιχο πολύγωνο.. Να βρείτε : a. Το πλήθος των ατόμων που έκαναν διακοπές κάτω από Ημέρες. b. Το ποσοστό των ατόμων που έκαναν διακοπές τουλάχιστον 6 Ημέρες. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ.3 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Με τον όρο μέτρα θέσης εννοούμε τα μέτρα τα οποία δίνουν τη θέση του «κέντρου» των παρατηρήσεων στον οριζόντιο άξονα, δηλαδή τη θέση γύρω από την οποία είναι συγκεντρωμένες οι περισσότερες τιμές της κατανομής. Τα κυριότερα μέτρα θέσης με τα οποία θα ασχοληθούμε είναι η μέση τιμή ή αριθμητικός μέσος, ο σταθμικός μέσος και η διάμεσος. Το σύμβολο που θα συναντήσουμε παρακάτω, συμβολίζει το άθροισμα πολλών προσθετέων. Για παράδειγμα έως 0». 0 t t t... t0 και διαβάζουμε «άθροισμα των t από ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Η μέση τιμή (μέσος Όρος) είναι ίσως το πιο χρήσιμο μέτρο θέσης και εκφράζει το άθροισμα των παρατηρήσεων δια του πλήθους των παρατηρήσεων Όταν οι παρατηρήσεις μιας μεταβλητής Χ είναι όλες διαφορετικές μεταξύ τους δηλ. της μορφής t, t,..., t, τότε για την εύρεση μέσης τιμής χρησιμοποιούμε τον τύπο : _ t t... t Όταν οι παρατηρήσεις,,... έχουν συχνότητα,,... αντίστοιχα, τότε θα χρησιμοποιούμε τον τύπο : _... Καλό θα είναι, αν πρόκειται να χρησιμοποιήσουμε αυτόν τον τύπο, να συμπληρώσουμε στον πίνακα συχνοτήτων τη στήλη. Όταν γνωρίζουμε τη σχετική συχνότητα της παρατήρησης, τότε αξιοποιούμε τον τύπο : Ο τύπος αυτός προκύπτει επειδή : t Στην περίπτωση ομαδοποιημένων παρατηρήσεων, ως παρατήρηση παραπάνω τύπους θα παίρνουμε την κεντρική τιμή της -κλάσης. στους ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 3

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. Οι βαθμοί ενός μαθητή της γ λυκείου στα 6 μαθήματα που έδωσε εξετάσεις είναι : 5, 6,, 6, 8,.. Να βρείτε τη μέση βαθμολογία του μαθητή.. Τι βαθμό πρέπει να γράψει στο 7 ο μάθημα (ΑΟΘ) ώστε ο μέσος όρος του να γίνει 5,5; Λύση : 6 t _ t t... t Έστω t 7 ο βαθμός που πρέπει να γράψει στο 7 ο μάθημα (ΑΟΘ), τότε για την καινούρια μέση τιμή ισχύει : 90 t 7 7 5,5 90 t 7 _ t 5,5 08,5 t 7 8,5 t... t 7 6 t 7 5,5 6 t 7 t 7 5,5. Ο παρακάτω πίνακας δίνει την κατανομή συχνοτήτων των οικογενειών ως προς τον αριθμό των παιδιών τους. Αριθμός παιδιών Αριθμός οικογενειών Σύνολο 50 Να βρείτε τη μέση τιμή των παιδιών που έχει κάθε οικογένεια. Λύση : Η μέση τιμή του πλήθους των παιδιών δίνεται από τον τύπο : 5 _ Στον πινάκα κατανομής συχνοτήτων θα προσθέσω μια στήλη με τα γινόμενα Άρα : Αριθμός παιδιών Αριθμός οικογενειών Σύνολο ν= _ 88, 76 παιδιά : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 3. Εξετάσαμε ένα δείγμα οικογενειών ως προς τον αριθμό των υπολογιστών (laptop ή pc) που υπάρχουν στο σπίτι. Οι αθροιστικές συχνότητες % που πρόεκυψαν φαίνονται στον παρακάτω πινάκα. Να βρείτε τη μέση τιμή των υπολογιστών που υπάρχουν σε κάθε σπίτι. Αριθμός υπολογιστών F % Σύνολο Λύση : Από τα δεδομένα του πινάκα καταλαβαίνουμε ότι πρέπει να βρούμε τις σχετικές συχνότητες, και μετά για να βρούμε τη μέση τιμή να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο : _ 5. Από τις σχέσεις : F % 00F, F και F F συμπληρώνουμε τον πινάκα : Αριθμός υπολογιστών F % F 0 0,05 0, ,5 0, ,5 0,50 0, ,5 0, ,5 0,05, ,0 Σύνολο,9 _ 5 Άρα, 9 υπολογιστές.. Ο παρακάτω πίνακας δίνει τον αριθμό των επισκέψεων 0 μαθητών σε διάφορα μουσεία της χώρας κατά τη διάρκεια ενός έτους. Κλάσεις Συχν. [, ) [0-) 8 [-) [-6) 0 [6-8) 6 [8-0) Να βρείτε τη μέση τιμή. Λύση : Στον πινάκα κατανομής συχνοτήτων που δίνεται θα συμπληρώσουμε δυο επιπλέον στήλες, μια με τις κεντρικές τιμές και μια στήλη με τα γινόμενα. Έτσι έχω : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 5

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Άρα : 5 Κλάσεις [, ) Κεντρικές τιμές Συχν. [0-) 8 8 [-) 3 36 [-6) [6-8) 7 6 [8-0) 9 36 Σύνολο ν=0 7 _ 7, 3 μουσεία. 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΤΑΘΜΙΚΟΣ ΜΕΣΟΣ Το σταθμικό μέσο τον χρησιμοποιούμε σε περιπτώσεις στις τιμές,,... ενός συνόλου παρατηρήσεων δίνεται διαφορετική βαρύτητα. Πιο συγκεκριμένα αν σε κάθε τιμή της μεταβλητής,,... δίνεται διαφορετική βαρύτητα που εκφράζεται από τους συντελεστές στάθμισης (βαρύτητα) w, w,... w, τότε ο σταθμικός μέσος δίνεται από τον _ τύπο : w w... w w w... w w w ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 5. Η επίδοση ενός μαθητή σε πέντε μαθήματα είναι, 0, 6, 8,. Να βρείτε τη μέση επίδοση. Αν τα μαθήματα είχαν συντελεστές στάθμισης, 3,,, και 3 αντίστοιχα ποια θα ήταν η μέση επίδοση; Λύση : _ _ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο. ΘΕΜΑ (ΙΟΥΝΙΟΣ 000) ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο. Τιμές Μεταβλητής Συχνότητα σχετική Σχετική Αθροιστική f % f N 0

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ»

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στατιστική είναι ο κλάδος των μαθηματικών ο οποίος ως έργο έχει την συγκέντρωση

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Όταν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι μεγάλο, είναι απαραίτητο οι παρατηρήσεις να ταξινομηθούν σε μικρό πλήθος ομάδων που ονομάζονται κλάσεις (class intervals). Η ομαδοποίηση αυτή γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος.

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση 1 (Προτάθηκε από Χρήστο Κανάβη) Έστω CV 0.4 όπου CV ο συντελεστής μεταβολής, και η τυπική απόκλιση s = 0. ενός δείγματος που έχει την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Θέμα εξετάσεων 2000 Εξετάσαμε 50 μαθητές ως προς τα βιβλία που έχουν διαβάσει και διαπιστώσαμε ότι: 5 μαθητές δεν έχουν διαβάσει κανένα βιβλίο, 15 μαθητές έχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A A. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f g f g,. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ 9 ο ΜΑΘΗΜΑ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Πότε κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων; Όταν το πλήθος των τιμών μιας μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων. Αυτό συμβαίνει είτε

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Γενικής Παιδείας Μαθηματικά Γ Λυκείου Στατιστική ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Γενικής Παιδείας Μαθηματικά Γ Λυκείου Στατιστική ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Γενικής Παιδείας Μαθηματικά Γ Λυκείου Στατιστική Επιμέλεια: ΑΝΔΡΕΑΣ ΓΚΟΥΡΤΖΟΥΝΗΣ ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ e-mail: info@iliaskos.gr www.iliaskos.gr 1) Να

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός. Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας.

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. 7 ο ΜΑΘΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. Προσδοκώμενα αποτελέσματα Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο R, να αποδείξετε ότι (f() + g() )=f ()+g (), R Μονάδες 7 Α. Σε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι (f() + g ()) f () + g (),. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραµα µε ισοπίθανα

Διαβάστε περισσότερα

Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η 2. 1. Β Α Σ Ι Κ Ε Σ Ε Ν Ν Ο Ι Ε Σ.

Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η 2. 1. Β Α Σ Ι Κ Ε Σ Ε Ν Ν Ο Ι Ε Σ. Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Στατιστική έρευνα : Πρόκειται για ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών με αντικείμενο : 1) το σχεδιασμό της διαδικασίας συλλογής δεδομένων. Κλάδος της στατιστικής που ασχολείται : Σχεδιασμός

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 11. Δίνεται ο μηνιαίος μισθός (σε ευρώ) των 50 υψηλόμισθων υπαλλήλων μιας μεγάλης εταιρείας.

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 11. Δίνεται ο μηνιαίος μισθός (σε ευρώ) των 50 υψηλόμισθων υπαλλήλων μιας μεγάλης εταιρείας. ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ (κλάσεις ίσου πλάτους) ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ου 11. Δίνεται ο μηνιαίος μισθός (σε ευρώ) των 5 υψηλόμισθων υπαλλήλων μιας μεγάλης εταιρείας. 18 11 17 19 1 195 195 13 13 195 2 3 2 3 2

Διαβάστε περισσότερα

ΖΗΤΗΜ Α 1 Ο. Α1. Τι είναι το ραβδόγραµµα και πότε χρησιµοποιείται; 5) Α2. Σε τι διακρίνονται οι µεταβλητές και τι είναι οι τιµές τους;

ΖΗΤΗΜ Α 1 Ο. Α1. Τι είναι το ραβδόγραµµα και πότε χρησιµοποιείται; 5) Α2. Σε τι διακρίνονται οι µεταβλητές και τι είναι οι τιµές τους; ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 1 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΖΗΤΗΜ Α 1 Ο Α1. Τι είναι το ραβδόγραµµα

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ.

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ. Λυµένη Άσκηση στην οµαδοποιηµένη κατανοµή Στην Γ τάξη του Ενιαίου Λυκείου µιας περιοχής φοιτούν 4 µαθητές των οποίων τα ύψη τους σε εκατοστά φαίνονται στον ακόλουθο πίνακα. 7 4 76 7 6 7 3 77 77 7 6 7 6

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2ο (2000) Α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο.

ΘΕΜΑ 2ο (2000) Α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο. ΘΕΜΑ 2ο (2000) Α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο. Τιμές Μεταβλητής Συχνότητα Σχετική Συχνότητα Σχετική Συχνότητα Αθροιστική Συχνότητα x i ν i f i f

Διαβάστε περισσότερα

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α1 Αν οι συναρτήσεις f,g

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. 1 12 2 3 24 40 5 0,05 Σύνολο. x i v i f i % N i F i -1 4 0,1 0 30 2 3 6 Άθροισμα 40

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. 1 12 2 3 24 40 5 0,05 Σύνολο. x i v i f i % N i F i -1 4 0,1 0 30 2 3 6 Άθροισμα 40 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.Να συμπληρωθούν οι πίνακες x i v i f i f i % x 1 7 x 2 5 x 3 15 x 4 14 x 5 9 Άθροισμα 50 x i v i f i f i % 1 12 2 3 24 40 5 0,05 Σύνολο x i v i f i % N i F i -1 4 0,1 0 30 2 3 6 Άθροισμα 40

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Σ Υ Λ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Ι Π Ρ Ο Β Λ Η Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Ι. της απαντήσεις τους κατασκευάστηκε το παρακάτω ραβδόγραμμα. κανάλι α i. συχνότητα ν i.

Σ Υ Λ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Ι Π Ρ Ο Β Λ Η Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Ι. της απαντήσεις τους κατασκευάστηκε το παρακάτω ραβδόγραμμα. κανάλι α i. συχνότητα ν i. Γ. ΛΥΚ. ΘΡΑΚΟΜΑΚΕΔΟΝΩΝ (2014-15) Λ. Γρίλλιας Σ Υ Λ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Ι Π Ρ Ο Β Λ Η Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Ι 1) Σε ένα σχολείο ρωτήθηκαν 70 μαθητές για την προτίμησή τους σε ποδοσφαιρικές ομάδες. Από της απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΜΑΪΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΜΑΪΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 008 ΘΕΜΑ o ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ ΜΑΪΟΥ 008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ - ΘΕΜΑ Ο Έστω η συνάρτηση f( ) =, 0 ) Να αποδείξετε ότι f ( ). f( ) =. ) Να υπολογίσετε το όριο lm f ( )+ 4. ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) 5 1 1 1η σειρά ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) ΘΕΜΑ 1 Α. Ας υποθέσουμε ότι x 1,x,...,x κ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής X, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

γ. Η διακύμανση είναι μέτρο διασποράς και είναι καθαρός αριθμός, δηλαδή δεν έχει μονάδες. Μονάδες 9

γ. Η διακύμανση είναι μέτρο διασποράς και είναι καθαρός αριθμός, δηλαδή δεν έχει μονάδες. Μονάδες 9 ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:........................................... ΤΜΗΜΑ:....... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:.... / 0 / 20 ΘΕΜΑ A. Έστω μεταβλητή Χ, με τιμές x, x 2,...., x k, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους ν, με k,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΟΣ ΣΑΡΑΚΗΝΟΣ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΟΣ ΣΑΡΑΚΗΝΟΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΟΣ ΣΑΡΑΚΗΝΟΣ Άσκηση 1 Οι βαθμοί 5 φοιτητών που πέρασαν το μάθημα της Στατιστικής ήταν: 6 5 7 5 9 5 6 6 8 10 8 5 6 7 5 6 5 7 8 9 5 6 7 5 8 i. Να κάνετε πίνακα κατανομής

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 2o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ: ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδες Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Μέση τιμή Για να βρούµε τη µέση τιµή ενός συνόλου παρατηρήσεων, προσθέτουµε όλες τις παρατηρήσεις και διαιρούµε µε το πλήθος των παρατηρήσεων αυτών.

Μέση τιμή Για να βρούµε τη µέση τιµή ενός συνόλου παρατηρήσεων, προσθέτουµε όλες τις παρατηρήσεις και διαιρούµε µε το πλήθος των παρατηρήσεων αυτών. ΜΕΡΟΣ Α 4.5 ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ-ΔΙΑΜΕΣΟΣ 185 4.5 ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ-ΔΙΑΜΕΣΟΣ Μέση τιμή Για να βρούµε τη µέση τιµή ενός συνόλου παρατηρήσεων, προσθέτουµε όλες τις παρατηρήσεις και διαιρούµε µε το πλήθος των παρατηρήσεων αυτών.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ»

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» 1. Να αντιστοιχίσετε κάθε μεταβλητή της αριστερής στήλης του παρακάτω πίνακα με την κατηγορία που βρίσκεται στη δεξιά στήλη: ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 1. ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ 2. ΜΙΣΘΟΣ 3.ΑΡΙΘΜΟΣ ΤΗΛΕΦΩΝΟΥ Α. ΠΟΙΟΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 04/ 01/ 2010

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 04/ 01/ 2010 ΕΠΩΝΥΜΟ:........................ ΟΝΟΜΑ:........................... ΤΜΗΜΑ:........................... ΤΣΙΜΙΣΚΗ & ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ THΛ : 270727 222594 ΑΡΤΑΚΗΣ 12 Κ. ΤΟΥΜΠΑ THΛ : 919113 949422 www.syghrono.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 Πέµπτη, Ιουνίου 00 ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙ ΕΙΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α.. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει ότι P(A B) P(A)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

(f(x) + g(x)) = f (x) + g (x).

(f(x) + g(x)) = f (x) + g (x). ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ 1o ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 1 ΙΟΥΛΙΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c σταθερός πραγματικός αριθμός, να αποδείξετε με τη χρήση του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες ΕΙΣΑΓΩΓΗ Βασικές έννοιες Σε ένα ερωτηματολόγιο έχουμε ένα σύνολο ερωτήσεων. Μπορούμε να πούμε ότι σε κάθε ερώτηση αντιστοιχεί μία μεταβλητή. Αν θεωρήσουμε μια ερώτηση, τα άτομα δίνουν κάποιες απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Δείκτες Κεντρικής Τάσης

Κεφάλαιο 4 Δείκτες Κεντρικής Τάσης Πανεπιστήµιο Κρήτης Σχολή Επιστηµών Αγωγής Παιδαγωγικό Τµήµα Δηµοτικής Εκπαίδευσης Β06 03. Στατιστική περιγραφική εφαρµοσµένη στην Ψυχοπαιδαγωγική Διδάσκων: Κωνσταντίνος Π. Χρήστου ΑΣΚΗΣΗ 1 Κεφάλαιο 4

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t, t,..., t ν οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν, που έχουν µέση τιµή x. Σχηµατίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ 1ο Α.1. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t,t,...,t ν οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν,

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ. οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους ν με k.

Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ. οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους ν με k. Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ ΘΕΜΑ Α A Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση () είναι παραγωγίσιμη στο R με () Α Έστω k οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 20 ΜΑΪΟΥ 20 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

(f(x)+g(x)) =f (x)+g (x), x R

(f(x)+g(x)) =f (x)+g (x), x R ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιµες στο IR, να αποδείξετε ότι (()+g()) ()+g (), R Μονάδες 7 Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι βαθμοί που πήραν είκοσι φοιτητές του Μαθηματικού τμήματος σ ένα μάθημα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι βαθμοί που πήραν είκοσι φοιτητές του Μαθηματικού τμήματος σ ένα μάθημα .. ΕΝΟΤΗΤΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 ου ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1. Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι βαθμοί που πήραν είκοσι φοιτητές του Μαθηματικού τμήματος σ ένα μάθημα 9 3 1 7 5 3 6 5 7 5 7 3 6 1 5 1 3 5 α. Ποια είναι η

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΡΧ. ΜΑΚΑΡΙΟΥ Γ - ΠΛΑΤΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 015 ΒΑΘΜΟΣ : ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Αριθμητικά.. ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 1/6/015 ΒΑΘΜΟΣ:... ΤΑΞΗ: Α Ολογράφως:... ΧΡΟΝΟΣ: ώρες

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) A. Aν οι συναρτησεις

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688. Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 1

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688. Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 1 ο Αχαρνών 97 Αγ Νικόλαος 086596 ο Αγγ Σικελιανού Περισσός 078688 Ε ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 7 t t 5 Ο πληθυσµός µιας κοινωνίας βακτηριδίων δίνεται από τον τύπο P(t) = e e σε δεκάδες µικρόβια και t 0 Α Να αποδειχθεί

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1o ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ A. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ΙR. και c πραγματική σταθερά. Να αποδείξετε ότι (c f()) =c f (), ΙR. B.α. Πότε δύο ενδεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. 2013-2014 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1. Τι ονομάζουμε: i. πληθυσμό και μέγεθος πληθυσμού; (σελ. 59) ii. μεταβλητή; (σελ.59-60) 2. Ποιες μεταβλητές ονομάζονται ποσοτικές; (σελ.60)

Διαβάστε περισσότερα

Λύση α) Μετά από την σχετική διαλογή ο πίνακας των συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων είναι ο παρακάτω. Aθρ. Συχν N. συχν

Λύση α) Μετά από την σχετική διαλογή ο πίνακας των συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων είναι ο παρακάτω. Aθρ. Συχν N. συχν 1 2.2 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 78 83 Α ΟΜΑ ΑΣ 1. Η βαθµολογία 5 φοιτητών στις εξετάσεις ενός µαθήµατος είναι: 3 4 5 8 9 7 6 8 7 1 8 7 6 5 9 3 8 5 6 6 6 3 5 6 4 2 9 8 7 7 1 6 3 1 5 8 1 2 3 4 5 6 7 9

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 4 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 4 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) o ΘΕΜΑ A. Aν n

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο ΙR. και c πραγµατική σταθερά. Να αποδείξετε ότι (c f(x)) =c f (x), x ΙR. Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών & Στ. Στατ/κής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2000

Θέµατα Μαθηµατικών & Στ. Στατ/κής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2000 Θέµατα Μαθηµατικών & Στ. Στατ/κής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 000 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα ο Α.α) ίνεται η συνάρτηση F() f() + g(). Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες, να αποδείξετε ότι: F () f () + g

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x))) =f (g(x)) g (x) Μονάδες 2

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x))) =f (g(x)) g (x) Μονάδες 2 ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΣΑΒΒΑΤΟ 14 MAΪΟΥ 2011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ 3

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ 3 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ 3 Ηλίας Αθανασιάδης Αναπληρωτής καθηγητής Π.Τ..Ε. Παν. Αιγαίου 1.8. Αθροιστική κα τα νο μή Σε ορισμένες κατανομές παρουσιάζει ενδιαφέρον να παρακολουθούμε πώς

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Ο : Α. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω να αποδειχθεί ότι: Ρ(Α-Β)=Ρ(Α)-

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 Ε_3.Μλ3Γ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 01 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/ Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή Δύο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα, όταν η τιμή του ενός πολλαπλασιαστεί επί έναν αριθµό, τότε η τιµή του

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 1. ( x 1) ( x) 5( x ). x ( x ) 6 x. x ( x) x 5( x 1) x 1 (1 x) x ( x) x x. 1 x 5. x 6 1 1 ( ) 1 1 6. x 1 x 7. 1 x

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 ο δείγμα Α. Θεωρία Α) Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Β) Να δώσετε τον ορισμό της εγγεγραμμένης γωνίας σε κύκλο (Ο, ρ). (Να γίνει σχήμα) Γ) Ποια

Διαβάστε περισσότερα

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 96) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. f (x) s lim e. t,i 1,2,3,...

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 96) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. f (x) s lim e. t,i 1,2,3,... Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 96) Άσκηση ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω οι παρατηρήσεις δυο δειγμάτων αντίστοιχα των μεταβλητών Χ και Ψ Δίνεται ότι η μέση τιμή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι ασκήσεις του φυλλαδίου δεν είναι ανά κεφάλαιο, αλλά τυχαία με σκοπό την τελική επανάληψη, και είναι θέματα εξετάσεων από διάφορα σχολεία του νομού Σερρών Σέρρες

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων 1 Μάθημα του A Εξαμήνου

Στατιστική Επιχειρήσεων 1 Μάθημα του A Εξαμήνου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Στατιστική Επιχειρήσεων 1 Μάθημα του A Εξαμήνου Περιεχόμενα-Ύλη του Μαθήματος Περιγραφική Στατιστική: Είδη δεδομένων, Μετασχηματισμοί,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Εισαγωγή Στο Κεφάλαιο 8 υπολογίζονται και συγκρίνονται τα ποσοστά επιλογής του µαθήµατος στους ετήσιους πληθυσµούς, ανά φύλο και κατεύθυνση. Υπολογίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Όταν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις αx+βy=γ και α x+β y=γ και ζητάμε τις κοινές λύσεις τους, τότε λέμε ότι έχουμε να λύσουμε ένα γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτική & Ποιοτική Ανάλυση εδομένων Βασικές Έννοιες. Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη 2013-2014

Ποσοτική & Ποιοτική Ανάλυση εδομένων Βασικές Έννοιες. Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη 2013-2014 Ποσοτική & Ποιοτική Ανάλυση εδομένων Βασικές Έννοιες Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη 2013-2014 Περιγραφική και Επαγωγική Στατιστική Η περιγραφική στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΣΑΒΒΑΤΟ 14 MAΪΟΥ 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΣΑΒΒΑΤΟ 14 MAΪΟΥ 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΑΒΒΑΤΟ 4 MAΪΟΥ 0 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

ΆΣΚΗΣΗ 1 Η διάμεσος τιμή της ηλικίας των Ελλήνων το 1990 ήταν 30 έτη. Το 2001, η διάμεσος τιμή ήταν 33,1 (Πηγή:Ε.Σ.Υ.Ε.).

ΆΣΚΗΣΗ 1 Η διάμεσος τιμή της ηλικίας των Ελλήνων το 1990 ήταν 30 έτη. Το 2001, η διάμεσος τιμή ήταν 33,1 (Πηγή:Ε.Σ.Υ.Ε.). ΛΥΜΕΝΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ ΆΣΚΗΣΗ 1 Η διάμεσος τιμή της ηλικίας των Ελλήνων το 1990 ήταν 30 έτη. Το 2001, η διάμεσος τιμή ήταν 33,1 (Πηγή:Ε.Σ.Υ.Ε.). a. Τι μπορεί να συνέβη όταν η διάμεσος αυξήθηκε; Το γεγονός ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α ισχύει: Ρ(Α )=-Ρ(Α) Μονάδες 7 Α. Να ορίσετε το μέτρο διασποράς εύρος ή

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑ.Λ. (ΟΜΑ Α Β ) ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΕΥΤΕΡΑ, 22 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 201 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=..

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=.. Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = 1 : ψ =..=.. = o Για χ = -1 : ψ =..=.. = o Για χ = 0 : ψ =..=.. = o Για χ = 2 :

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ: ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ

ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ: ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ ΤΙΤΛΟΣ ΣΕΝΑΡΙΟΥ Μέτρα διασποράς - Συντελεστής μεταβολής ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ ΣΕΝΑΡΙΟΥ ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ: Καραγιάννης Βασίλης ΑΜ: 201118 Οικονόμου Κυριάκος AM: 201102 ΓΝΩΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΧΗ: Στατιστική Γ Λυκείου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω μια συνάρτηση ff που έχει πεδίο ορισμού το ΔΔ. 1. Πότε η ffλέγεται συνεχής στο xx 0 ΔΔ ; 2. Πότε η ff λέγεται συνεχής; (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 3 4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Μεταβλητές 1. Ποιες από τις παρακάτω μεταβλητές είναι ποιοτικές; Ποιες είναι ποσοτικές; Ποιες από τις ποσοτικές είναι διακριτές

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α. α) Αν x>0, τότε ( x ) = x

ΘΕΜΑ Α. α) Αν x>0, τότε ( x ) = x ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 4 ΙΟΥΝΙΟΥ 2011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 3 ο. Περιγραφική Στατιστική

Μάθηµα 3 ο. Περιγραφική Στατιστική Μάθηµα 3 ο Περιγραφική Στατιστική ΗΣτατιστικήείναι Μια τυποποιηµένη σειρά αναλυτικών µεθόδων, οι οποίες χρησιµοποιούνται από τον εκάστοτε ερευνητή για την ανάλυση των διαθέσιµων δεδοµένων. Υπάρχουν δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

2013-14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΘΕΜΑΤΑ. http://cutemaths.wordpress.

2013-14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΘΕΜΑΤΑ. http://cutemaths.wordpress. 3-4 ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΘΕΜΑΤΑ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ttp://cutemats.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ Η παρούσα εργασία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. 1. Στον πιο κάτω πίνακα παρουσίαζονται οι μέρες της άδειας ασθενείας των υπαλλήλων μιας εταιρείας. Μέρες Άδειας Ασθενείας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. 1. Στον πιο κάτω πίνακα παρουσίαζονται οι μέρες της άδειας ασθενείας των υπαλλήλων μιας εταιρείας. Μέρες Άδειας Ασθενείας ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1. Στον πιο κάτω πίνακα παρουσίαζονται οι μέρες της άδειας ασθενείας των υπαλλήλων μιας εταιρείας. Μέρες Άδειας Ασθενείας 5 6 7 8 9 10 Υπάλληλοι 9 13 6 9 5 4 Α. Να βρεθεί πόσοι υπάλληλοι

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 20 MAΪΟΥ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 20 MAΪΟΥ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 0 MAΪΟΥ 0 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση

Διαβάστε περισσότερα